Introducción a la Composición de Funciones

Definiciones Básicas

• Composición de funciones: Dadas dos funciones $f$ y $g$, la función compuesta $g ,\circ, f$ se define como: $$g ,\circ, f(x) = g(f(x))$$
• Notación simplificada: A veces se omite el símbolo de composición y se escribe simplemente $g ,\circ, f$.

Ejemplos de Función Compuesta

1. Dadas $f(x) = x^2 + 1$ y $g(x) = x + 2$. Queremos encontrar $g(f(x))$ para una serie de valores:

   • Valores del dominio: $0, 1, 2, 3$
   • Proceso:
     1. Aplicar $f$ a cada valor del dominio.
     2. Usar los resultados como entradas en $g$.

2. Resultados para $f(x) = x^2 + 1$:

   • $f(0) = 1$
   • $f(1) = 2$
   • $f(2) = 5$
   • $f(3) = 10$

3. Resultados para $g(x) = x + 2$ con salidas de $f$:

   • $g(1) = 3$
   • $g(2) = 4$
   • $g(5) = 7$
   • $g(10) = 12$

Dominio de una Función Compuesta

• El dominio de $g ,\circ, f$ es el conjunto de todas las $x$ en el dominio de $f$ tales que $f(x)$ está en el dominio de $g$.
• Importante: Asegurarse de que $f(x)$ tenga valores dentro del dominio de la segunda función $g$.

Ejemplo Práctico de Dominio

• Considerando los valores y funciones anteriores, comprobamos que todas las salidas de $f$ están en el dominio de $g$.

Comprobación Rápida de Función Compuesta

• Función compuesta $g ,\circ, f(x) = x^2 + 3$.
• Comprobamos que los resultados finales coinciden usando la función compuesta directamente:
  • $0 \rightarrow 3$
  • $1 \rightarrow 4$
  • $2 \rightarrow 7$
  • $3 \rightarrow 12$

Ejemplos Variados para Practicar

1. Calcular $f(5)$ si $f(x) = 3x - 1$.

   • Sustituyendo: $f(5) = 3(5) - 1 = 14$

2. Calcular $g(-2)$ si $g(x) = 2x + 3$.

   • Sustituyendo: $g(-2) = 2(-2) + 3 = -1$

3. Calcular $f(3x + 1)$ si $f(x) = 3x - 1$.

   • Sustituyendo: $f(3x + 1) = 3(3x + 1) - 1 = 9x + 2$

4. Calcular $g(2a + b)$ si $g(x) = 2x + 3$.

   • Sustituyendo: $g(2a + b) = 2(2a + b) + 3 = 4a + 2b + 3$

5. Composición de funciones $f(g(x))$ y otra composición $g(f(x))$:

   • Ejemplo práctico de transformación múltiple de valores.

Consejos para Practicar

• Sustituir la variable primero dentro de paréntesis para evitar errores algebraicos.
• Resolver paso a paso aplicando distributivas y simplificando términos.

Ejercicio de Composición

1. Usando $f(x) = 3x - 1$ y $g(x) = 2x + 3$.

   • $f(g(x))$ y $g(f(x))$ se realizan paso a paso sustituyendo y simplificando.

2. Variación con nuevas funciones más complejas, aplicando la misma técnica de sustitución por paréntesis y simplificación.