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Notion de fonction

[Musique] bonjour dans cette vidéo je te propose de revoir tout le cours sur le chapitre notion de fonction alors ceci ne suffira pas bien évidemment pour préparer un contrôle ou même un examen mais l'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre pour t'entraîner je te conseille de cliquer sur le lien en haut à droite tu tomberas sur une playlist qui contient plein d'exercces alors dans cette séquence on verra bien sûr ce que c'est qu'une fonction plus précisément la notion d'image et d'antécédent puis on verra comment représenter graphiquement une fonction et à partir de là lire l'image ou un antécédent par cette fonction c'est parti on peut commencer on va commencer par attaquer tout ce qui est notation et vocabulaire parce que c'est vrai que pour les fonctions c'est pas évident il y a des notations qui sont quand même très spécifiques très abstraites et il faut bien comprendre c'est très important alors pour bien les comprendre ben on va partir d'une situation concrète on te dit que le prix d'entrée à un spectacle est de 20 € par personne à partir de là on a construit un petit tableau qui va nous permettre de calculer et bien dans différentes situations le prix à payer on va donc mettre sur la première ligne le nombre de personnes qui vont au spectacle et en dessous le prix à payer alors évidemment dans le cas où on est qu'une personne vu que le prix par personne c'est 20 € on va payer 20 €. si on est deux personnes bien dans ce cas-là on va payer 2 x 20 c'est-à-dire 40 €. 3 personnes donc 3 x 20 60 5 personnes 5 x 20 100 et 10 personnes si on est un groupe dans ce cas-là c'est 10 x 20 200 on est bien d'accord que à chaque fois on a le nombre de personnes et on obtient en sortie le prix à payer alors ce qu'on va faire c'est que on va tout doucement aller vers l'abstraction on va dire que le nombre de personnes on l'appelle x donc tous les nombres qui sont sur la première ligne de mon tableau je vais les appeler les valeurs de x et en deuxième ligne donc le prix à payer bah on va choisir là aussi une lettre et on va choisir la lettre p p comme prix à payer donc sur la deuxème ligne j'ai à chaque le prix correspondant à payer j'ai donc bien une correspondance entre la première ligne le nombre de personnes et la deuxième ligne le prix à payer alors par exemple pour une personne je mets donc le nombre 1 quel est le prix à payer dans ce CASL bien on le voit dans le tableau c'est 20 dans le cas où j'ai deux personnes quel est le prix à payer bien c'est 40 on le voit aussi dans le tableau donc finalement au nombre 1 je fais correspondre 20 au nombre 2 je fais correspondre 40 on est tout doucement là en train de fabriquer notre fonction alors de façon générale le prix à payer que je vais noter P c'est bien comme ça qu'on l'a noté tout à l'heure si j'ai de façon générale x personnes quel serait le prix à payer a bien regardons de nouveau dans notre tableau dans le cas de deux personnes qu'est-ce que j'ai fait j'ai fait le prix d'une personne 20 x 2 x 2 personnes c'estàd j'ai trouvé 40 j'ai donc fait 20 x 2 pour 3 personnes qu'est-ce que j'ai fait bah j'ai de nouveau pris le prix pour une 20 j'ai multiplié par 3 20 x 3 puis pour 5 personnes bien j'ai fait 20 x 5 pour 10 personnes 20 x 10 et bien pour X personnes et bien pour X personnes 20 X X et bien le prix à payer pour X personnes il est de 20 x x que je peux écrire 20x et bien voilà j'ai là ici fait correspondre à x le nombre 20x comme j'ai fait correspondre à 2 le nombre 40 et cetera c'estàdire que on a ici exprimé le prix à payer en fonction du nombre de personnes en fonction de x j'ai donc exprimé le prix à payer en fonction de x qu'est-ce que c'est que ça et bien c'est une fonction on vient de définir ici une fonction qui porte un nom qui s'appelle la fonction P et qui a x associe le nombre 20 x x ceci ça se lit précisément à X j'associe 20 x par la fonction P et une fonction et bien c'est quoi une fonction c'est en fait une machine mais une machine mathématique qui répond à certaines règles elle fait quoi cette machine mathématique et bien tu lui donnes un nombre elle te transforme ce nombre en suivant certaines règles en un autre nombre c'est exactement ce qu'a fait la fonction P elle fait quoi cette machine P et bien tu lui donnes un nombre elle te renvoie un autre nombre pas n'importe comment avec la règle suivant elle te renvoie 20 fois le nombre de départ à chaque fois que tu lui donnes un nombre elle R voit 20 fois le nombre que tu lui as donné ça c'est le principe de la machine et on voit bien que cette fonction cette fonction P dépend donc du nombre de départ chaque valeur que j'aurai en sortie va dépendre du nombre du nombre de départ ce nombre-là on le voit dans le tableau de valeur et bien ce nombre-là est capable de varier et bien x ça s'appelle une variable X est appelé une variable car X peut vari je l'ai dit juste à l'instant tout à l'heure le tableau qui est euh là-haut porte un nom également pour une fonction ça s'appelle un tableau de valeur alors ce tableau de valeur on pourrait dire il est incomplet parce que finalement vu qu'on peut faire varier x on pourrait encore accorder à X tout plein d'autres valeurs ici j'en ai mis certaines mais on pourrait encore donner 2,5 15,8 16,632 pour toutes ces valeurs de x combien nous renvoie P et bien 20 fois plus mais ça il faudrait encore effectuer les calculs en tout cas un tableau de valeur bien c'est quoi c'est un tableau dans lequel on présente des valeurs pour X et des valeurs renvoyées par la fonction et ce qui est noté ici est une notation officielle en mathématique pour les fonctions ceci exprime que la fonction P à X renvoie 20 X X mais il existe une autre façon de le noter comme P dépend de X et bien on met P et entre parenthèses on met X la variable et on écrit que P qui dépend de cette variable X est égal bien est égal à quoi est égal à 20 FO la variable x P parenthè x = 20x et la 2è notation officielle pour définir une fonction ceci se lit p P Dex = 20x voilà donc les deux notations officielles pour définir une fonction ces de ces deux notations il faut bien les connaître se rappeler que X est une variable et se souvenir également que le tableau qui est noté là-haut s'appelle un tableau de valeur alors attaquons maintenant la notion d'image et d'antécédent pour une fonction pour cela donc je repars de la notation que je viens d'expliquer ici px = 20 x seulement je l'ai écrite dans deux cas particuliers qui sont donc issus du tableau ici à droite du tableau de valeur donc j'ai remplacé ici X par 2 pourquoi parce que si X vaut 2 et bien on voit bien que P vaut 40 on écrit P 2 = 40 un autre exemple pour 5 si X vaut 5 et bien dans ce cas-là on obtient en sortie 100 p 5 = à 100 et bien dans ce dans ces deux cas on peut parler d'image et d'antécédent je vais prendre le premier cas P 2 = 40 2 nous renvoie 40 l'image de 2 c'est 40 et bien tout est dit l'image de 2 c'est 40 2 a pour image 40 et bien voilà un premier terme mathématique l'image de ce nombre là c'est ce qui est renvoyé par la fonction c'est ce qui se trouve donc sur la deuxème ligne du tableau l'image de 2 et 40 on peut le noter mais alors si l'image de 2 et 40 on aimerait pouvoir lire euh cette phrase dans l'autre sens et dire que bien quel est le machin chose de 40 et bien quel est le machin chose de 40 ça pourrait être justement 2 c'està dire quel est le machin chose que j'avais avant 40 et bien pour cela il y a un mot qui s'appelle antécédent on peut dire que 40 A pour antécédent 2 alors ce mot n'est pas facile à se rappeler mais il y a juste un petit truc c'est le préfixe ané an qui signifie avant justement quel était le nombre que j'avais avant la machine P elle m'a renvoyé 40 mais au départ je lui ai mis quoi dans cette machine bien au départ je lui ai mis 2 c'estd que avant je lui ai mis de qu'est-ce que j'avais avant an antécédent et bien un antéc 2 40 c'est 2 on peut le noter voilà donc les deux mots qui sont présentés ici d'autres exemples pour être sûr que tu as bien compris si je demande quelle est l'image de 3 c'est 60 dans l'autre sens si je demande quel est un antécédent de 100 c'est 5 quel est un antécédent de 200 c'est 10 quelle est l'image de 1 c'est 20 et cetera donc donc voilà comment lire image et antécédent dans le tableau de valeur à partir de l'expression de la fonction on peut exact également le comprendre à partir de la première notation qu'on a vu 2 associe 40 et bien on retrouve ici un antécédent de 40 c'est 2 et de l'autre côté on retrouve l'image de 2 qui est 40 mais je ne sais pas si tu as remarqué j'ai dit ici l'image 2 et là j'ai dit un antécédent 2 et oui car un nombre ne peut avoir que une seule image autrement dit si je donne un nombre à ma machine elle transforme elle me renvoie une image pas deux si je lui donne 5 elle me renvoie un nombre unique terminé elle me renvoie pas deux nombres ça c'est pas possible par contre dans l'autre sens est-ce que un nombre peut avoir plusieurs antécédents et bien la réponse est oui c'est pour cela que j'ai dit ici un antécédent de 40 et 2 car il se peut que 40 a plusieurs antécédents autrement dit je me retrouve en bas j'ai un nombre en résultat je voudrais savoir quel est le nombre de départ qui m'a donné ce résultat il peut y en avoir plusieurs des nombres il pourrait très bien y avoir si j'ai le nombre 32,6 à la fin quel est le nombre qui m'a donné 32,6 ça pourrait être 7,4 mais ça pourrait être aussi 8,9 pour bien comprendre un exemple alors on considère maintenant une nouvelle fonction habituellement une fonction on la note f F comme fonction naturellement et quand on a besoin de deux fonctions dans un exercice la suivante on la note habituellement g mais bon c'est des choix qui sont arbitraires on peut très bien la noter p comme tout à l'heure alors cette fonction je c'est la fonction carrée en fait FX = x² c'est-à-dire que à chaque fois que je lui donne un nombre elle va me renvoyer le nombre le même nombre mais au carré c'est-à-dire multiplier par lui-même on va compléter ce tableau de valeur pour bien comprendre je vais commencer par la dernière colonne c'est la plus facile donc au départ j'ai le nombre 2 j'ai le nombre 2 et je voudrais obtenir donc la valeur en sortie c'est-à-dire on a dit x² autrement dit 2 au²r 2 au² c'est 2 x 2 ça me donne 4 4 qu'arrive-t-il à é bien si je calcule ici F0 donc ça va me donner 0 au carré 0 au Carr c'est 0 x 0 ça donne 0 et enfin pour - 2 je donne à ma machine - 2 qu'est-ce qu'elle me donne en sortie bien elle me donne - 2 au carré mais attention - 2 au carré c'est-à-dire - 2 x - 2 - 2 x - 2 ça me donne in par moin + 4 c'est-à-dire 4 donc - 2 au² est ég à 4 si je lui donne - 2 elle me donne 4 à partir de là bien on pourrait noter sous cette forme certains résultats du tableau je vais en noter deux celui de la première et la dernière colonne F de - 2 est égal à 4 F de 2 est ég à 4 alors revenons à notre notion d'image et d'antécédent ceci ça veut dire quoi bien ça veut dire que l'image de - 2 c'est 4 on peut l'écrire à côté et ceci ça veut dire quoi bah ça veut dire que l'image de 2 est 4 j'aurais pu également écrire que l'image de 0 est 0 mais bon on s'arrête là dans l'autre sens j'aimerais savoir quel est un antécédent de 4 alors un antécédent de 4 bah je vais chercher dans le tableau 4 ou ici et je vois que j'ai deux possibilités finalement je pourrais dire que un antécédent de 4 c'est 2 mais je pourrais également dire qu'un antécédent de 4 c'est Mo- 2 on le voit également ici un antécédent de 4 c'est 2 ou - 2 et bien voilà on se retrouve là dans une situation où on a deux antécédents pour un même nombre on a eu quatre en sortie mais on l'a obtenu de deux façons différentes et bien voilà on se trouve là avec deux antécédents les antécédents 2 4 sont 2 et - 2 alors j'ai écrit les antécédents ça veut dire qu'il n'y en a pas d'autres et ben il pourrait y en avoir d'autres finalement qu'est-ce qu'on saigne si on poursuivait notre tableau peut-être qu'on trouvera encore d'autres valeurs de 4 mais non je te rassure il n'y en a pas d'autres ceci on le sait mathématiquement on attaque donc la représentation graphique d'une fonction alors oui une fonction peut se représenter graphiquement on va le voir par des courbes ou même des droites alors le cas des droites fait partie des fonctions affines et des fonctions linéaires et ceci sera traité dans un autre cours je l'ai dis en introduction nous on va travailler avec la fonction suivante FX = x² - 3 c'est une machine F donc je lui donne un nombre elle modifie ce nombre en faisant quoi elle le met au carré et elle enlève 3 et elle me renvoie un nombre en sortie pour faire la représentation graphique d'une fonction il nous faut un tableau de valeur le tableau de valeur est prêt il faut juste le compléter alors celui-ci il y a pas beaucoup de valeur en général dans les exercices il en faut un peu plus mais là pour que la vidéo soit pas trop longue j'ai essayé de limiter les calculs donc on va compléter ici ce tableau de valeur je vais détailler les calculs pour que tu les comprennes bien prier cas x vaut - 2 x vaut - 2 c'est-à-dire je calcule F de - 2 ce qui me donne quoi bien je remplace donc X par - 2 dans l'expression ça fait donc - 2 au carré 3 bien ça alors on calcule bien - 2 au carré ça fait 4 4 - 3 ça fait 1 donc ici je mets 1 si X vaut - 2 la fonction me renvoie 1 F0 ce qui veut dire que je remplace X par 0 soit 0 car 3 é= alors 0 car ça fait 0 donc 0 - 3 3 donc ici je mets 3 quand x vaut 0 la fonction me renvoie - 3 pour F1 ça nous fait donc 1² - 3 1 x 1 1 1 - 3 - 2 donc là je mets - 2 et enfin pour x = 3 3 au²r 3 3 au² ça fait 9 - 3 6 donc je note 6 en dessous de 3 voilà notre tableau de valeur est complété on va maintenant pouvoir représenter graphiquement notre fonction et pour cela on a besoin d'un repère voilà notre repère est prêt on va maintenant pouvoir placer dans ce repère tous les points dont on connaît les coordonnées on va donc placer tous les points dont on est sûr qu'il se trouent sur la courbe qui représente la fonction f pour cela il faut regarder dans le tableau je je sais que si X vaut 2 FX vaut 1 alors ici l'axe des abscisses correspond au X l'axe des ordonnées correspond à FX je sais que X vaut - 2 et FX vaut 1 donc x vaut - 2 et dans ce cas-l FX vaut 1 je mets fais donc une correspondance ici entre - 2 et 1 et j'obtiens un premier point si X é= à - 2 et bien FX est égal à 1 j'ai donc là ici le point de coordonné - 2 1 et on va faire de même avec les trois autres points à chaque fois chaque couple ici va me renvoyer un point dont les coordonnées sont X et FX par exemple si X vaut 0 donc 0 FX vaut - 3 3 alors là je me retrouve tout là-bas en bas et j'ai ici un deuxième point qui va appartenir à la courbe qui représente la fonction f et on poursuit x vaut 1 FX vaut - 2 alors x vaut 1 FX vaut - 2 autrement dit mon 3è point se trouve ici 1 - 2 alors moi ici je mets des petits des petits pointillers mais si tu tu fais ça sur une feuille cadrillée tu auras pas besoin de mettre les pointillés bien évidemment he c'est juste pour qu'on arrive bien à le lire et enfin un dernier couple x vaut 3 FX vaut 6 c'est-à-dire le point de coordonnée 3 6 donc 3 6 j'ai donc un troisème point ici voilà on obtient donc nos quatre points donc celui-ci celui-ci celui-ci et celui-ci tu as bien compris qu'à chaque fois j'utilise le ces nombres là donc le nombre de départ et le nombre d'arrivée c'est-à-dire une valeur et son image pour obtenir les coordonnées d'un point de la courbe alors je le répète encore normalement on a beaucoup plus de points ce qui fait que l'allure de la courbe est beaucoup plus lisible en fait la courbe si on avait d'autres points on en verrait encore un là un là et cetera et la courbe elle a cette allure- là tu apprendras plus tard que cette courbe porte un nom et qu'elle s'appelle une parabole c'est étudié au lycée donc le le truc suivant à faire et bien c'est de relier tous ces points alors ici il ne s'agit pas de les relier à la règle il faut les relier à main levée et essayer de faire la courbe la plus jolie la plus lisse qui passe par tous les points qu'on a représentés on va le faire voilà on a représenté la courbe de la fonction f on voit bien qu'elle passe par les quatre points qu'on a considéré dans notre tableau de valeur mais ce qu'il faut savoir c'est qu'en réalité cette courbe elle s'arrête pas aux limites qu'on a qu'on a donné dans le table tableau de valeur en réalité notre courbe elle continue bien au-delà mais là encore ça fait partie d'un autre cours alors à partir de là il est possible de lire sur le graphique et bien d'autres valeurs qui ne sont pas données dans le tableau de valeur par exemple je voudrais connaître l'image de 2 on a l'image de 0 de 1 de 3 mais on a pas l'image de 2 et bien c'est le graphique qui va nous donner l'image de 2 pour cela et bien ce qu'on va faire c'est qu'on va déjà chercher 2 sur l'axe des abscisses si je cherche l'image de 2 cela veut dire que je cherche ce que me renvoie la fonction f lorsque je lui donne 2 ce que je lui donne c'est x donc ça veut dire que au départ ici je donne 2 et je voudrais savoir dans ce cas qu'est-ce que me renvoie la fonction f bien pour le voir il suffit de rejoindre ici la courbe et de regarder dans ce cas-là ce qu'elle nous renvoie traçons-le et bien on le voit si je donne 2 à X et bien j'obtiens pour FX1 ce qui veut dire que l'image de 2 et bien c'est 1 on peut le noter ici chemin inverse je voudrais trouver des antécédents de - 2 j'ai mis un s à antécédent car on va en trouver plusieurs des antécédents de 2 alors ce qui veut dire que j'ai obtenu - 2 en sortie ça veut donc dire que FX est égal à - 2 c'est le résultat donc le - 2 cette fois-ci je dois le chercher sur l'axe des ordonnées il est ici le - 2 et je voudrais retrouver et bien un antécédent de - 2 et bien on en voit un ici on en a tracé 1 tout à l'heure c'est1 effectivement on le retrouve dans notre tableau de valeur comme je l'ai expliqué plutôt dans la vidéo j'ai- 2 en sortie un antécédent de - 2 c'est 1 donc on retrouve ici 1 comme antécédent de - 2 je peux le noter mais attention c'est pas tout parce qu'en fait il y en a un deuxème d'antécédent de - 2 et oui j'ai choisi ici d'aller dans ce sens-là j'étais un petit peu guidé par les petits points et donc je suis allé dans ce sens-l j'ai rejoint la courbe j'ai trouvé un mais finalement j'aurais pu aller dans l'autre sens ici et partir cette fois-ci vers la gauche et si je pars vers la gauche qu'est-ce qui arrive et bien je vais trouver un deuxième antécédent un deuxième antécédent qui est -1 et oui en partant vers la gauche on trouve -1 c'est-à-dire que si je donne -1 à ma fonction elle me renvoie - 2 autrement dit quel est le nombre que j'ai utilisé au départ pour trouver - 2 c'est -1 j'ai une deuxième solution qui est -1 il y avait bien un s à antécédent voilà on en a fini sur le cours sur sur la notion de fonction je le dis et je le répète très important de faire des exercices n'hésite pas à te rendre sur la playlist correspondante cette séquence est terminée