Dinner set, jewelry set, kitchen set क्या आपने notice किया? इन सारे sets में कुछ objects के collection हैं बिल्कुल सही पकड़े हैं आज बात करेंगे कुछ ऐसी collection of objects के mathematics के sets में Hello everyone, I hope all of you are doing good and I am back today with a video on class 11th Maths Sets जैसा कि आप सबको बता है कि हर बार की तरह इस वीडियो में हम cover करेंगे सारे important concepts उनके examples के साथ पूरे chapter को cover करेंगे एक ही वीडियो में इस lesson के अंदर हम कुछ important topics जो cover करने वाले हैं वो हैं Sets, Sets notation in roaster form and set builder form, Empty set, finite and infinite set, singleton set, Vendor इंटरविल्स इंटरविल्स इंटरविल्स इंटरविल्स इंटरविल्स इंटरविल्स इंटरविल्स इंटरविल्स इंटरविल्स इंटरविल्स इंटरविल्स इंटरविल्स इंटरविल्स इंटरविल्स इंटरविल्स इंटरविल्स इंटरविल्स इंटरविल्स इंट तो जैसे जैसे हम पढ़ेंगे आपको पता चलेगा कि कैसे चुटकियों में सेट्स खत्म हो जाएगा तो लेट्स गेट स्टार्टेड सेट जो वर्ड है यह वर्ड ही हम तब यूज करते हैं जब हम कोई कलेक्शन की बात करते हैं एक एग्जांपल देती हूं बहुत ही आम तौर पर जो लेडीज को अच्छे से समझ जाएगा जब हम कहते हैं कि यार मेरे वह सेट कहां रखी है सेट का मतलब होता है जिसमें नेकलेस भी हो यह रिंग्स भी हो में भी साथ में रिंग्स और बैंकल्स वगैरह हो क्योंकि यह कलेक्शन of jewelries एक जगह है तो उसको हम set कहते हैं ठीक उसी तरह से mathematics में set हम कहते हैं well defined collection of objects एक ही तरह की बहुत सारी चीज़ें जब साथ में रहती हैं तो उसे हम एक set कहते हैं example जैसे कि rivers of India इंडिया की जितनी भी नदियां हैं, वो एक सेट बना सकती हैं, तैट अब उसके अंदर गंगा, यमुना, सारी नदियां आ जाएंगी, अगर हम बोलें कि students of ABC school, यानि कि ABC school में पढ़ने वाले सारे बच्चे, वो एक सेट बना जाएंगी, लेंगे मैं कह सकते हूं मेंबर्स आफ माइ फैमिली मेरे घर पर जितने भी लोग हैं मेरे पैरेंट्स मेरे हस्बेंड मेरे बच्चे सब जो है वह एक ही सेट का पार्ट है तो इस तरह से जब भी हम ऐसा कहेंगे कि कलेक्शन आफ बहुत सारी चीज चीजे तो वह होता है सेट अब माथमाटिक्स में जरूरी होता है कि हम सब कुछ को रिप्रेजेंट करें यह तो मैंने बता दिया कि भाई सब कुछ का कलेक्शन हो तो वह सेट है पर इसको हम माथमाटिकली रिप्रेजेंट कैसे करेंगे तो सेट को हम हमेशा अल्फाबेट से रिप्रेजेंट करेंगे वह भी कापिटल लेटर एबीसीड कुछ भी यूज कर सकते हैं एक सेट को रिप्रेजेंट करने के लिए बट कापिटल लेटर्स में ओके ठीक है अब इन सेट के अंदर जो यह ऑब्जेक्ट है इनको कैसे रिप्रेजेंट करें करेंगे इनको अगर हमें जेनरिक टर्म में रिप्रेजेंट करना है तो इन्हें भी हम आल्फाबेट से रिप्रेजेंट कर सकते हैं लेकिन स्मॉल लेटर ठीक है तो इसमें देखिए लेटर का बहुत सिंग्निफिकेंस है भाई ठीक है ना ओके आगे बढ़ते हैं अब यह जो ऑब्जेक्ट होते हैं मतलब एक सेट के अंदर जो भी चीजें होती हैं उनको हम कहते हैं एलिमेंट्स एलिमेंट्स भी कहा जाता है उन्हें मेंबर्स भी कहा जाता है और उन्हें ऑब्जेक्ट भी कहा सकते हैं हम तो यानि कि जैसे अगर मान लेते हैं हम बात करते हैं रिवर्स ऑफ इंडिया की तो गंगा यमुना यह सारे जो है इस सेट के एलिमेंट से लिया रहा तक ओके आगे बढ़ेंगे अब जब कभी कोई एक एलिमेंट जो है वह एक सेट का पार्ट है इस बात को हम मैथमेटिकली कैसे रिप्रेजेंट करें अब हमेशा इतना बड़ा तो लिखने सकते हैं कि भाई गंगा इज एन एलिमेंट ऑफ द सेट रिवर या फिर द सेट ए हमेशा इतना लंबा तो लिखें लिखेंगे नहीं क्योंकि हम मैथ पढ़ रहे हैं तो सब कुछ हम शॉट में लिखेंगे तो कैसे लिखेंगे इसके लिए हम एक सिंबल का यूज करते हैं जिसे हम कहते हैं बिलॉंग्स टू और वह कुछ ऐसा होता है देखने में एक्जैक्टी अब हम लेते हैं कि हमारे पास एक सेट है कैपिटल ए और इस सेट का एक एलिमेंट है स्मॉल ए तो हम इसको कैसे लिखेंगे मैथमेटिकली स्मॉल ए बिलॉंग्स टू कैपिटल ए असान दरीका है बिल्कुल भी लंबे से पूरी कहानी लिखने की ज़रूरत नहीं है अब दूसरी तरफ अगर मार लेते हैं कि एक element है small b ये जो है set A का element नहीं है तो कैसे लिखेंगे तो हम कहेंगे B does not belong to A तो does not belong to का symbol काफ़े simple है belongs to के उपर एक cut मार दो तो इस तरह से हम represent करेंगे अब एक real life example लेते हैं जैसे मार लेते हैं कि हम बात कर रहे हैं एक सेट ए की जिसके अंदर सारे इवन नंबर्स हैं तीक है, even numbers यानि कि जो भी number 2 से divisible होता है, तो इसमें किस तरह के numbers आएंगे, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ऐसे numbers आएंगे, ठीक है, ये हमारा set A है, तो अगर मैं आपसे पूछूं कि 3 जो है, क्या वो इस set का member है, लेकिन 3 तो 2 से divisible है ही नहीं, 3 तो even number है ही नहीं, यानि कि हम कहेंगे कि 3 तो अभी तक का सारा concept clear है? ओके, mathematics world के कुछ popular sets, जैसे कि capital N, इससे हम denote करते हैं set of all natural numbers, यानि कि 1, 2, 3, 4 से ले करके infinity तक, ये सारे natural numbers हैं और इनके पूरे set को हम denote करते हैं capital N से, उसी तरह Z यूज़ करते हैं हम set of all integers के लिए, जिसमें positive, negative, zero सब कुछ आएगा, Q यूज़ करते हैं set of odd rational numbers, rational numbers मतलब P by Q form में जो हो जहांपे Q not equal to 0 और real numbers इसके लिए हम यूज़ करते हैं capital R, तो इस तरह से mathematics में जो commonly जिस तरह के numbers यूज़ होते हैं उनके लिए एक specific letter हम यूज़ करते हैं उसके set को denote करने के लिए, अब यहाँ पर साफ साफ कहा गया है कि A जो है यह है all even numbers का set यानि कि 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 and so on तो सवाल पर यह पूछा जा रहा है कि 1, 7, 4, 9 यह सारे इस set के members हैं या नहीं अब जाहिर सी बात है कि अगर यहाँ पर हम सिर्फ even numbers रख रहे हैं यानि कि जो number 2 से divisible है तो उस case में यहाँ पर सिर्फ 4 एक ऐसा number है जो 2 से divisible है और इसलिए 4 जो है वो इस set का member है इसके अलावा बाकी तीनों नंबर चाहे वन है या सेवन है या नाइन है, ये सभी even numbers नहीं है और इस वज़े से ये सारे इस set का member नहीं है. किसे भी set को हम दो तरीके से represent कर सकते हैं, जो पहला तरीका होता है उसको हम कहते है roster और tabular form, इस form में हम क्या करते हैं कि all the elements of the set are listed, जिसको हम कहते है second bracket, वही वाले bracket हम यहां use करते है, जितने भी elements हैं सबको लिख डालते हैं, एक के बाद एक बीच में रहता है comma, ठीक है, यह simple तरीका होता है, roster form में किसी भी set को लिखने का, जैसे example लेते हैं, मान लेते हैं कि अगर हमें एक set लिखना है, जिसमें हम represent करेंगे English के जो total 26 alphabet है, उनके vowels को, तो vowels कौन-कौन से होते हैं, A, E, I, O, U, ये पाँच vowels होते हैं, इनको comma दे दे के लिख दिया, और इसको braces के अंदर डाल दिया, एक capital letter से denote किया set का नाम, तो इस तरीके से हम represent करते हैं, roaster form में, किसी भी set को, और जब हम roaster form में representation की बात करते हैं, तो यहाँ पे order कुछ matter नहीं कर A E I O U लिखें या फिर हम E I O A U लिखें या U E I O A लिखें उससे कुछ फरक नहीं पड़ता है, elements को हम किसी भी order में लिख सकते हैं, दूसरी बात जो हमें ध्यान रखनी है वो यह है कि कभी भी जब हम इस तरह से set को represent करते हैं, तो हम एक ही letter को, यानि कि एक ही element को हम दो बार या एक बार से ज़्यादा बार repeat नहीं करते हैं, एक example देती हूँ, मान लेते हैं कि हमारे पास एक word है mathematics, ठीक है, अब अगर मुझे एक set बनाना है सारे letters का जो इस word को बनाता है, तो इस word में कितने सारे letters हैं, जैसे M, A, T, H, E, ऐसे ऐसे करके बहुत सारे letters से ये word बना है, तो अगर हमें उन सारे letters का एक set बनाना है, तो कैसे ब और सारे letters को comma दे करके लिखेंगे, M, A, T, H, E, उसके बाद वापिस से M, तो M repeat हो रहा है, लेकिन हम जब elements लिखेंगे, तो M को repeat नहीं करवाएंगे, क्योंकि एक बार तो हमने लिख दिया है, कि M जो है वो इस set का element है, तो दुबारा लिखने की जरूरत नहीं है, I, C और S, तो set of all the letters, तो यहां दो बातें याद रखने एक तो यह कि एलिमेंट का ऑडर मैटर नहीं करता है और हम कुछ भी एलिमेंट को रिपीट नहीं करते हैं अब जो दूसरा तरीका होता है रिप्रेजेंट करने का वो होता है सेट बिल्डर फॉर इस मेथड में यह होता है कि ऑल द एलिमें� possess a single common property which is not possessed by any element outside the set, तो इस वाले तरीके में हम क्या करते हैं, हम सारे elements को लिखते नहीं है, जैसे roaster form में तो हमने सारे elements को comma दे दे कर लिखा है, यहाँ पे हम सारे elements नहीं लिखेंगे, यहाँ हम क्या करेंगे, यह जो elements है, इनके कुछ एक ऐसी property होगी, जो उस set के सारे elements के लि� बाहर जितने भी elements हैं उनके लिए वो true नहीं होगी, तो इस तरह के representation में हम उस property के बारे में mention करते हैं, हम exactly elements नहीं लिखते हैं, हम खाली वो property के बारे में mention करते हैं, एक example देती हूँ, जैसे कि हम फिर से यही example लेते हैं, vowels वाला, अब alphabet के अंदर, 26 alphabet के अंदर सिर्फ 5 ही ऐसे letters तो बजाएं कि हम ये इन पाचो वावल्स को अलग-अलग से लिखें कॉमा दे देकर, हमारे पास एक alternative तरीका ये है कि हम इसकी property बताएंगे, हम बताएंगे कि ये जो v set है, इसके element है x, x एक variable है, जहाँ पे x is a vowel in English alphabet, तो basically आप यहाँ notice कर रहे हैं कि यहाँ पे हम elements को लिख न हम उन elements की एक ऐसी property बता रहे हैं, कि उस property को जान के किसी को भी समझ में आ जाएगा, कि इस set के अंदर क्या है, अब आप पूछेंगे कि इस तरह का representation का जरूरत क्या है, अब roster form वावल्स के लिए लिखना तो easy है, क्योंकि पाँच ही वावल्स होते हैं, बट जब हमें कुछ ऐसा represent करना हो, वैसे cases में उतने सारे elements को लिखना feasible नहीं होता है, और वहाँ पे काम आता है set builder form, तो यहाँ पे एक खास बात ये भी है कि अगर कोई भी सेट ऐसा है जहाँ पे कोई भी ऐसी common property नहीं है या फिर कोई भी ऐसा pattern नहीं है तो उस सेट को हम set builder form में नहीं लिख सकते हैं तो set builder form में लिखने के लिए उस सेट के जितने भी elements हैं उन सब की एक common property होनी चाहिए अब यहाँ पर screen पे हम कुछ examples देखेंगे set के तो अगर हम देखे शुरू के जो 4 sets है, A, B, C और D, इन सब में हमने set के elements mention नहीं किये हैं, हमने उनके property के बारे में बताया है, जैसे कि अगर हम set A को देखे, x is an integer and minus 3 less than x less than 7, यानि कि xx ऐसा integer है, जो minus 3 से बड़ा है और 7 से छोटा है, यानि कि इसके अगर मुझे इसके exact elements लिखने हो तो वो कुछ ऐसे होंगे, minus 2, minus 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, यह इसके exact elements है, तो यह पहले के A, B, C, D, यह जो चारों है, यह चारों लिखे हैं set builder form में, इसके अलावा नीचे के जितने भी हैं, E, F, G, H, I, यह सारे हैं roaster form में, क्योंकि इन सब में, सार एग्जैक्टली एलिमेंट्स लिखे हुए हैं, उनके प्रॉपर्टी के बारे में कुछ नहीं बताया हुआ है। अब कभी का बार आपको इस तरह के सवाल पूछे जा सकते हैं कि एक सेट जो है सेट बिल्डर फॉर्म में दिया हुआ है, इसको रोस्टर फॉर्म में लिखे हैं। तो जैसे कि पहला सेट A को जो दिया हुआ है वो सेट बिल्डर फॉर्म है और यहां जो हमने लिखा है वो रोस्टर फॉर्म है। b is equal to x is a natural number less than 6, natural number शुरू होता है 1 से, तो ये less than 6 होगा, तो इसके elements हो जाएंगे, 1, 2, 3, 4, 5, कुछ और try करते हैं, जैसे मान लेते हैं हम e को try करते हैं, ये जो है, ये दिया हुआ है roaster form में, और अगर इसे हमें set builder form में लिखना हो, तो हम कैसे लिखेंगे, इसकी पहले property ढू तो अगर इसको आप notice करें, तो 3, 1 is a 3, 3, 2 is a 6, 3, 3 is a 9, 3, 4 is a 12, ये सारे जो है 3 के multiple है, right, तो अगर हम ऐसा लिखें, E is equal to X, जहांपे X is a multiple of 3, क्या इतना ही लिखना काफी होगा, नहीं, क्योंकि अगर सिर्फ इतना लिखेंगे, उसका मतलब है कि इसके अंदर तो बहुत सा x is less than 15, 15 से कम जो सबसे बड़ा 3 का multiple होगा, वो होगा 12, तो उस case में ये 3, 6, 9 और 12 तक ही सीमित रहेगा, तो इस तरह से यहां हमने देखा कि E जो है वो roaster form में दिया हुआ था, और हमने उसको set builder form में लिखा, ये तो बहुत आसान था, क्यों बच्चो, empty set, नाम से ही पदा चल रहा है कि ये क्या है? empty है, खाली है, set के अंदर कुछ है ही नहीं तो ये empty set है अब empty set के कई और नाम है इसे null set भी कहा जाता है और void set भी कहा जाता है और इसको हम represent कैसे करते हैं?
जैसे बाके set को करते हैं braces लगा देंगे बट अंदर खाली है, अंदर कुछ भी नहीं है exactly बट empty set को represent करने का एक तरीका और है और वो है देश सिंबल फाई जी हां तो या तो हम ब्रेसिस लगा के अंदर खाली छोड़ सकते हैं और नहीं तो हम फाई से रिप्रेजेंट कर सकते हैं ठीक है आप सोच रहे होंगे कि यार एमटी सेट जब सेट के अंदर कुछ है ही नहीं तो वे एमटी सेट का कॉनसेप्ट क्यों है और x बढ़ा बाद 5 लेकिन 6 बाद बढ़ा बाद अब x की value क्या हो सकती है? क्योंकि x जो है वो natural number है natural number क्या होते है? जो 1 से start होते हैं, 2, 3, 4, 5 ऐसे जाते हैं और infinity तक जाते हैं अब 5 से बड़ा natural number लेकिन 6 से छोटा बढ़ 5 के बाद तो 6 है नाचरल number में इनके बीच में कोई natural number तो नहीं होता है तो इसका मतलब है कि इस तरह के x की value possible ही नहीं है तो set A हमारा इस case में हो जाता है null set, या फिर void set, या फिर empty set, यहाँ पर 3 set A, B, C दिये हुए हैं, और हमें इन में से null set निकालना है, तो पहले वाले set का, पहले इन सब को roster form में निकालना पड़ेगा, तब ही हमें पता चलेगा कि कौन-कौन से elements है, तो पहले में हम देखते हैं क तो इस equation को अगर हम solve करें तो हमें पदा चलेगा कि x की value 1 हो सकती है, x की value 2 हो सकती है, तो यानि कि जो a है, इस a के अंदर x के दो ही values possible हैं, और वो है 1 और 2, तो ये एक ऐसा set है जिसके अंदर दो elements हैं, तो इसलिए क्या ये null set है, नहीं, b set को देखते हैं, x is a natural number, x square is equal to 4, जहां x square is equal to 4, तो x की possible values हो सकती है plus 2 और एक possible value हो सकती है minus 2, but minus 2 impossible नहीं है क्योंकि यहाँ पर x जो है वो एक natural number है, तो यह minus 2 possible नहीं है, तो इस case में अगर इसो है रोस्टर form में लिखे, तो b is equal to 2 हो जाएगा, तो यहाँ कितने element है set में, एक, तो क्या यह null set है, नहीं, set C को देखते हैं, x is a natural number and 2x minus 1 is equal to 0, तो इसको अगर हम solve करें तो x is equal to 1 by 2, लेकिन question में बोला गया है कि x जो है वो natural number है, but 1 by 2 तो natural number नहीं है, क्योंकि natural number क्या होता है, number starting from 1 goes on like 1, 2, 3, 4, 5, 6 till infinity, तो 1 by 2 तो उसमें आता है नहीं है, तो इस case में c के अंदर कितने element है, कोई सा भी नहीं, क्योंकि होना जाए था half, but चुकि half natural number नहीं है, तो क्या ये null set है? येस, finite और infinite sets, क्या होंगे ये?
सब guess कर चुके होंगे, मुझे पूरा यकीन है, finite यानि कि fixed number, जिन sets के अंदर fixed number of elements होते हैं, मतलब कितने elements हैं, वो अगर fixed है, तो उसे हम कहेंगे finite set, और अगर उसमें un-gin-nert number of elements हैं, तो से हम कहेंगे infinite set जैसे कि अगर हम एक ऐसे set की बात करें माल लेते हैं कि एक set A है जिसके अंदर जो elements हैं वो क्या है natural numbers यानि कि सारे natural numbers कितने natural numbers होते हैं? 1 से शुरू करते हैं तो वो infinity तक जाते हैं तो ये कैसा set हुआ? ये हुआ infinite set दूसरी तरफ हम example लेते हैं set B का इसके अंदर elements हैं 1, 2, 3, 4, 5 5 fixed number of elements है चाहे वो 5 हो, चाहे 50 हो, चाहे 500 हो, चाहे 50, 1000 हो but number जो है वो fixed fixed number of elements है तो ये क्या हुआ? ये हुआ finite set कुछ और example नंबर लेते हैं डेली लाइफ से जैसे कि अगर हम बोलें कि भाई हमारा सेट है जिसमें डेज ऑफ द वीक है तो वह फाइनाइट होगा या इनफाइनाइट एक वीक में कितने दिन होते हैं साथ दिन तो यानी कि उस सेट में कितने एलेमेंट्स के साथ तो वह फाइनाइट सेट है स्क्रीन पर फिर से कुछ एक्सांपल्स है और हमें बताना है कौन सा फाइनाइट है और कौन सा इनफाइनाइट है, उसके लिए जानना ज़रूरी है कि इनके अंदर एलिमेंट्स है कौन से, तो पहले केस में एक्स नाचरल नंबर है, एक्स माइनस वान इंटो एक्स माइनस B set की अगर बात करें तो यह एक natural number है x और x greater than 6 है, यानि कि इसकी जो value है वो 7 से start होगी, बट खतम कहां होगी पता नहीं, क्योंकि last कहां तक जाएगी वो दिया हुआ नहीं है, तो इससे साफ पता चलता है कि यह एक infinite set है, set C, x natural number है 2x-1 is equal to 0, तो इस equation को अगर हम देखें तो x की value है 1 by 2, अब 1 by 2 जो है वो natural number नहीं है, तो यानि कि ये जो है ये एक null set है, इसमें zero elements है, तो ये भी हमारा finite set है, क्योंकि null set में zero elements होते हैं, तो obviously वो infinity तक तो जाने का कोई scope ही नहीं है, तो सारे null set जो है वो finite set के category में ही आते हैं, finally D set, X जो है natural number है and X is odd, तो यानि कि odd numbers जैसे कि 1, 3, 5, 7, 9, 11 and so on but ये खतम कहां होगा बता नहीं ये जाएगा infinity तक तो इसलिए ये हो गया infinite set ये तो बहुत आसान था क्यों बच्चो equal set equal बराबर इसमें तो कुछ समझाना ही नहीं है यार खुद ही समझ गए होगे equal का मतलब क्या हुआ बराबर अगर दो set बराबर कब होंगे जब दोनों में same to same elements होंगे simple right तो मैंने कहा था ना कि sets chapter बहुत simple है नाम सुनते खुद ही guess कर लोगे कि ये क्या है represent कैसे करेंगे is equal to symbol से a is equal to b और अगर दोनों equal नहीं है दोनों में अगर same elements नहीं है तो हम कहेंगे a is not equal to b simple अब यहाँ पे एक बात है जो आपको ध्यान देना है वो यह है कि equal sets के लिए ऐसा जरूरे नहीं है कि elements का order भी same हो जैसे अगर set a में तीन elements है 1,2,3 set b में भी तीन elements है 3,2,1 तो क्या ये equal sets होंगे? बिल्कुल होंगे क्योंकि elements तो वही है भले आगे पीछे है तो इनका order matter नहीं करता है बस बराबर elements होने चाहिए दोनों में एक बहुत important concept subset and superset ये हो सकता है आप guess ना कर पाए हो बट कोई बार नहीं मैं समझाओंगी subset का concept होता है कि अगर हमारे पास दो sets हैं A और B तो ए जो है वह बी का सबसेट तब कहलाएगा जब ए के अंदर जितने भी एलिमेंट्स हैं वह सारे एलिमेंट्स बी के अंदर भी हैं बल्कि बी में शायद कुछ और एक्स्ट्रा एलिमेंट भी हो सकते हैं बट ए के जितने भी एलिमेंट्स हैं वह सारे के सारे बी में हैं अ elements है, माल लेते हैं, example लेते हैं, A, एक set है A, जिसके अंदर 3 elements है, 1, 2, 3, एक set है B, जिसके अंदर 4 elements है, 1, 2, 3, 4, ठीक है, अब A के अंदर जितने भी elements हैं, वो सारे elements B के अंदर हैं, इसका क्या मतलब हुआ, A is a subset of B, भले ही B में थोड़े extra elements है, तो A is a subset of B, लेकिन अगर मैं कहूं, कि क्या या बी जो है वो भी एका सबसेट है, नहीं, क्योंकि बी के अंदर चार elements हैं, और वो सारे elements एके अंदर नहीं है, इसलिए बी is not a subset of A, clear हैं यहां तक, ठीक है, अब सबसेट की जब हम बात करते हैं, तो इसने एक concept और आता है, कोई भी set, वो अपने खुद का सबसेट होता है, खुद में है तो वो खुद का तो सबसेट ही है राइट तो एक कोई भी सेट जो है वो अपने आपका सबसेट होता है यह एक चीज आपको याद रखनी है और दूसरा आपको ध्यान रखना है कि जो नल सेट होता है यानि कि जो एम्टी सेट होता है वो हर सेट का सबसेट होता तो इसलिए जो null set होता है वो सारे set का subset होता है तो subset का concept simple सा था यही तक था अब सवाल यह उठता है कि अगर हमारे पास दो set है A और B जहांपे हम कह रहे हैं A के अंदर 1,2,3 element है और B के अंदर 1,2,3,4 है तो A जहाँ वो B का subset है तो फिर B,A का क्या हुआ?
B,A का हुआ super set super, super का मतलब होता है थोड़ा बड़ा, थोड़ा बेटर, यानि कि बी में थोड़े एक्स्ट्रा एलिमेंट है, ए में जो है, तो तो है ही, उसके अलावा भी एक एक्स्ट्रा एलिमेंट है, फोर, तो इसलिए बी जो है, वो एका हो जाएगा, सूपर सेट, यहां तक भी सही, एक और लास्ट कॉं B is also a subset of A. सबसेट के concept को थोड़ा और तगड़ा करने के लिए कुछ examples देखते हैं. Set Q of rational numbers and set R of real numbers. तो अगर rational numbers का set और real numbers के set के बीच का relation बताना हो तो कैसे बताएंगे? अगर सोचेंगे तो सारे rational numbers जो हैं वो real numbers हैं.
लेकिन सारे real numbers rational numbers नहीं हैं. कि जितने भी real numbers हैं, उसी के अंदर के कुछ numbers rational numbers हैं, which means कि जो rational numbers हैं, that is a subset of real numbers. दूसरा example देखेंगे, A is 135, B is X is an odd natural number less than 6. पहले तो देखते हैं, B को हम roaster form में लिखते हैं, odd natural number less than 6, यानि कि इसमें क्या क्या आजाएगा, 1, 3, 5, यह आजाएगा, ठीक है, तो अब A और B में क्या relation है, A और B में साफ साफ दिख रहा है, दोनों में same ही elements हैं, तो हम कह सकते हैं कि A जो है वो B का subset है, B जो है वो A का subset है, और जब ऐसा होता है तो A और B बराबर होते हैं, जब भी दो sets equal होते हैं, मतलब उनमें same number of elements होते हैं और same elements ही होते हैं, तो वो दोनों ही set एक दूसरे का subset होता है, तीसरा example, A is equal to A, E, I, O, U and B is equal to A, B, C, D. तो यहां अगर हम देखें, तो A में काफी elements ऐसे हैं जो B में नहीं है.
उसी तरह B में भी काफी elements ऐसे हैं जो A में नहीं है. इसका मतलब है कि A is not subset of B. और ठीक उसी तरह B is not subset of A.
अगला example, a is equal to 1, 2, 3, 4, b is equal to 1, 2, 3, 4, 5, 6, यहाँ पे हम देख रहे हैं कि a के जितने भी elements वो b में हैं, बल्कि b में कुछ extra है, इसका मतलब है a जो है वो b का subset है, जिसका ये भी मतलब है कि b जो है वो a का superset है, अब Mathematics वर्ल्ड में भी ये सबसेट का concept एक्सिस्ट करता है, जो आपको अच्छे से समझाना चाहिए, क्योंकि इससे related कई बार questions भी पूछे जाते हैं, और कई बार दूसरी questions solve करने में ये concept काम आता है, तो ये काफी important है, सारे natural numbers जो है, वो integers का subset है, क्योंकि natural number में क्या आता है तो जाहिर सी बात है सारे natural numbers जो है वो integers का subset है, और integers जो है ये सारे rational numbers का subset है, क्योंकि सारे integers जो है वो rational numbers हैं, पर सारे rational numbers integers नहीं है, और थोड़ा और आगे बढ़ेंगे तो सारे rational numbers जो है वो real number के subset है, singleton set, singleton, मतलब पता नहीं, single, एक अकेला, जिस सेट के अंदर एक अकेला member होता है, उसे हम कहते हैं singleton set, तो देखते हैं is this a singleton set, यहाँ पे एक set दिया हुआ है a, जहाँ पे कहा जा रहा है कि x is a natural number, ठीक है, and x minus 1, x minus 2 is equal to 0, इससे हमें पता चलता है कि x की दो value possible है, एक है 1 और दूसरा है 2, तो यानि कि यह जो set A है इसके अंदर दो elements रहेंगे 1 और 2, तो क्या यह singleton set होगा, singleton होने के लिए तो सिर्फ एक element होना चाहिए, तो यह singleton set नहीं है, दूसरा example है, x belongs to natural number and x square is equal to 4, x square is equal to 4 का मतलब है, एक की दो value possible है, एक तो plus 2 और एक minus 2, बट यहाँ पे चूंकि x जो है वो natural number है, तो minus 2 का option खतम हो गया, तो इसका मतलब है set B जो है इसमें एक ही element होगा universal set क्या होता होगा universal set अब मेरा एक question है universe क्या होता है? जिस तरह universe के अंदर सब कुछ आता है, planets हो, stars हो, solar system वगरा वगरा सब कुछ है, वो universe के अंदर आता है. उसे तरह universal set एक ऐसा set है, जिसके अंदर बाकी सारे sets वगरा सब कुछ आता है. यानि कि ये एक ऐसा set है, जिसके अंदर कोई भी एक given situation के all possible value, एक्सेंपल लेकर समझते हैं जैसे कि माल लेते हम बात करते हैं नाचुरल नंबर्स की नाचुरल नंबर्स क्या होते हैं एक specific type के नंबर होते हैं जैसे 1,2,3,4,5,6 बात करते हैं rational numbers की, ये क्या होते हैं?
ये भी एक specific type के number होते हैं, जैसे कि P by Q के form में होता है, जहांपे Q जो है वो 0 ना हो, ठीक है? चलो ये भी ठीक है, integers की बात करते हैं, ये भी एक special तरीके के numbers होते हैं, जिसमें सारे positive, सारे negative और 0, ये सब आता है, तो ये सारे जो numbers हैं, अब हम बात करते हैं real numbers की, तो real numbers जो हैं, जिसके अंदर ये अभी जो भी तीनो numbers की, मैंने बात की वो सारे उसके सबसेट हैं सभी उसके अंदर फॉल करता है तो इस केस में रियल नंबर को हम कंसीडर कर सकते हैं कि एक यूनिवर्सल सेट है जिसके अंदर ये सारे जो है सबसेट है तो बेसिकली कोई भी एक सिचुएशन कोई भी एक प्रॉब्लम के अंदर उसक हम universal set को हमेशा दिखाते हैं, कि total जो है, वो एक rectangle में हम दिखाते हैं, universal set, और उसके अंदर circles में हम दिखाते हैं, अलग-अलग sets, sets के बारे में हम जब भी पढ़ते हैं, ज़रूरी है कि हम open और closed interval का concept को एकदम crystal clear कर लें, वरना कई बार हम फाल्तु में इसके ओले के बहुत confused होते रहते हैं, आपने देखा होगा कि sets में, specially जब हम set builder notation में लिखते हैं, तो वहाँ पे कई बार हम इस तरह के description लिखते हैं, कि x की जो value है, that is greater than 5 less than 10 तो इस तरह के situation में हम open interval और closed interval को use कर सकते हैं तो सवाल यह होता है कि इंटरवल होता क्या है तो यह जो 5 और 10 यह जो दो end points है यह हमें बताती है कि वो interval क्या है, मतलब x जो है, वो किस range में lie करता है, चलो ये भी ठीक है, अब ये interval दो तरह के होते हैं, एक होता है open interval, open interval का मतलब होता है कि x की value है, वो 5 से ज्यादा है, और 10 से कम है, यानि कि अगर मैं x की values लिखने बैठूं, तो पहला number क्या आएगा, 5 आएगा, नहीं आएगा, 5 से अधिक है, तो 6 से गिनती चालूँगी, 6, 7, 8, 9, वापिस 10 भी नहीं आएगा, क्योंकि ये 10 से less है, तो open interval वो होता है, जिसमें जो end points हैं, यानि कि 5 और 10, ये included नहीं होते हैं, तो open interval को हम denote कैसे करते हैं? first bracket से आपने देखा होगा first bracket कैसा होता है?
ऐसा, कुछ यूँ दिखता है first bracket एक बहुत ज़रूरी बात यहाँ पर यह हो जाती है कि याद कैसे रहेगा कि open interval कौन सा वाला होता है और closed कौन सा वाला दिक्कत है ऐसे याद रखेंगे open interval जो है वो first bracket से use करते है first bracket को अगर ऐसे join कर दे तो क्या बन गया लगभग ओ बन गया तो ओ मतलब first bracket जहां पे भी ये first bracket दिखे 5, 10 और उसके आसपास first bracket यानि कि ये open interval है यानि कि 5 और 10 ये दोनों की value included नहीं है तो ये हो गया open interval clear अब बारी है closed interval की, closed interval में क्या होता है कि जो end points हैं वो included होते हैं, यानि कि 5 और 10 भी included होते हैं, इसका मतलब है x की जो value है, वो greater than equal to 5 होता है और less than equal to 10 होता है, तो उसकी गिंती जो है यहां से start होती है, 5, 6, 7, 8, 9, 10 तो अब फिर से वही सवाल कि closed interval को denote कैसे करते हैं, third bracket से square bracket जिसे कहते हैं, कुछ यू ठीक है, तो ये यह जो थर्ड ब्राकेट है यह प्लोज इंटरवेल है कैसे याद रहेगा अगर इसे हम जॉइन कर दें यह लगभग एक खिर्की के जैसा है खिर्की बंद खिर्की तो इसलिए यह प्लोज है और प्लोज है मतलब जो एंड पॉइंट्स है वह इंट्रूडेड है तो कई बार यानि कि first bracket ठीक है, closed interval यानि कि एक closed window यानि कि third bracket, अब हम पढ़ा open और closed interval का उसके basis पे, क्या हम कह सकते हैं कि इन सब के meanings क्या क्या है, यहाँ पे आप देख रहे हैं कि जो brackets हैं ना, कहीं पे तो दोनों तरफ open है, कहीं पे तो दोनों तरफ closed है, कहीं पे एक तरफ open, एक तरफ closed है, तो क्या इसका मतलब है जो x की value है वो कुछ ऐसी है कि वो a से ज्यादा है और b से कम है, अगर हम इसकी बात करें तो ये closed है, यानि कि x की value ऐसी है कि वो greater than equal to a है और less than equal to b है, तो इस case में जो है a और b दोनों की values included है यहाँ पे, तीसरे case में हम कहेंगे कि x की जो value है वो कुछ ऐसी है, यह b है, यह a है, यह a के तरफ closed है, यानि कि a less than equal to x, less than b, क्योंकि b की तरफ यह open है, उसी तरह यहाँ पे हम कह सकते हैं कि x की ऐसी value है, कि a less than x है, लेकिन x less than equal to b है, तो b इसमें included है, बर a included नहीं है, तो basically यह मैंने इसलिए बताया कि इस तरह के options भी possible है, जहाँ पे एक तरह open है और दूसरी तरह closed है, जैसे अगर आपको इस format में दिया हुआ हो और कहा जाए कि इसे interval के form में लिखो, तो कैसे लिखेंगे, minus 4 less than x, यानि कि minus 4 जो है वो included नहीं है, तो यह minus 4 से पहले क्या हो जाएगा, open, x less than equal to 6, less than equal to 6, यानि कि 6 included है, तो 6 की तरफ हो जाएगा close खतरनाक important topic है इस lesson का और वो है Venn Diagrams अजीब सा नाम है Venn Diagrams ऐसा नाम क्यों है? क्योंकि इसे एक scientist के नाम के उपर दिया गया है और जिसका नाम था John Wynn यह diagrams क्या करते हैं? सेट्स के आपस में जो relationships हैं यह हम इन diagrams के help से बहुत आसानी से समझ सकते हैं तो इन diagrams में हम बनाते क्या हैं? इनके कुछ protocols हैं, इन diagrams में हम use करते हैं rectangles और circles का, अलग-अलग sets को represent करने के लिए, जिसमें rectangle जो है वो represent करता है universal set को, जिसके अंदर सारे possible values हैं किसी भी एक particular problem का और जितने बाकी subsets हैं, क्योंकि बाकी तो सारे set universal set के subset ही होंगे तो उन सारे subsets को हम denote करते हैं circles से एक example लेते हैं, मान लेते हैं यहाँ पे universal set है जिसके अंदर elements हैं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 इसका एक subset है या फिर एक set है A, उसके अंदर elements है 1, 2, 3, 4, तो उसको हमने बना दिया एक circle इस rectangle के अंदर, तो हम देख रहे हैं कि circle के अंदर 1, 2, 3, 4 हैं और बाकी जो है वो circle से बाहर है लेकिन rectangle के अंदर है, तो एक तरह से 1 से 10 तक सारे numbers जो हैं rectangle के तो अंदर ही है, लेकिन सि डायग्राम को देख के ही हमें साफ पता चल रहा है कि A is a subset of U अब Venn Diagrams के help से हम तीन तरह के operation के बारे में समझेंगे Operation, कैसा operation?
डरने वाली बात नहीं है, मैं उस operation की बात नहीं कर रही हूँ मैं mathematical operations की बात कर रही हूँ जैसे जब हम numbers की बात करते हैं तो उसमें हम addition, subtraction, multiplication, division ये सारे operations करते हैं उसे तरह से जब हम sets की बात करेंगे तो यहाँ पे हम तीन operations की बात करेंगे एक है union, एक है intersection और एक है difference of sets और ये तीन operations को अब हम when diagrams के help से समझेंगे पहली बारी है union of set union, मिलन सब चीज जब साथ में इकठा हो जाते हैं उसे हम कहते है union तो अगर हमारे पास दो set है A और B, तो A और B का union क्या हो जाएगा और इसको हम denote कैसे करेंगे? इसके लिए हम ये symbol यूज़ करेंगे यू तो A union B को हम इस तरह के से represent करेंगे और अगर हम Venn डाइग्राम में इसको represent करना चाहें तो हम इस तरह से represent करेंगे एक set A, एक set B और दोनों के अंदर जो shaded region है वो represent कर रहा है A union B यूज़ का जो concept हमने पढ़ा उसके हिसाब से A में जितने भी elements हैं और B में जितने भी elements हैं दोनों मिल के बनता है union तो यहाँ पे A है 2, 4, 6, 8 और B है 6, 8, 10, 12 तो A union B जो है वो हो जाएगा 2, 4, 6, 8, 10, 12 ध्यान देजे कि यहाँ पे भी हम elements को repeat नहीं करेंगे क्योंकि repeat करेंगे कुछ point ही नहीं है तो basically A union B मतलब जो सारे elements इन दोनों में मिलाके हैं तो वही important बात कि common elements जो है वो हमने एक ही बार लिया है हमने 6 और 8 को repeat नहीं किया है अब फटाफट देखते हैं union of set की properties को a union b is equal to b union a जिसको हम कहते है commutative law ये properties जैसे हम numbers के case में भी जो properties पड़ते है commutative, distributive, associative उसी तरह से चलती हैं यहाँ पर भी associative law के सापसे a union b within bracket Union C is equal to A union within bracket B union C, अब इन सब को आप चाहे तो कुछ भी random examples लेके prove भी कर सकते हैं, उसके बाद है law of identity element, यानि कि A union 5, 5 जो है वो null set है, क्या हो जाएगा, A, A union A is always A, जिसको हम कहते है idempotent law, यानि कि अगर कोई भी element अपने आप से ही union करेगा, तो क्या होगा, उसको अपना खुद के ही elements मिलेंगे, right, कि अगर मान लेते हैं कि A जो है, ये एक set है, जिसके अंदर 1, 2, 3, ये 3 elements है, अगर A खुद के साथ ही union करेगा, तो क्या हैगा result, ए 1, 2, 3 ही हैगा, U union A is equal to U, जहाँ पे U क्या है, universal set है, तो यानि कि universal set है, मतलब जो set A है, वो universal set का subset ही होगा तो अगर दोनों का union करेंगे तो result क्या निकलेगा? यू ही निकलेगा अगला operation है intersection of sets intersection क्या होता है intersection?
generally हम इसको कहा use किये हैं पहले जब एक line दूसरे line को cut करती है तो हम कहते हैं वो intersect कर रही है मतलब कुछ भी जब overlap करता है तो उसे हम कहते है intersection तो A और B अगर दो set इनका intersection का मतलब है कि वैसे elements जो दोनों में common है जो A में भी है और B में भी है उसे हम कहते हैं intersection तो इसको represent कैसे करेंगे इसके लिए हम union का उल्टा सिम्मालाई है लगाते हैं उल्टा यू तो ए इंटरसेक्शन भी इसे हम ऐसे रिड करते हैं और अगर हमें इसे वेंड डाइग्राम में दिखाना हो तो यह जो एरिया है और बी के बीच का शेयर डिजन यह है ए इंटरसेक्शन पर लेट एग्वल टू तो यानि कि A intersection B will be equal to 6, 8 तुम्हारा अंसर आया क्या? अगर दो सेट्स ऐसे हो जिनके बीच में कुछ भी common ना हो तो ऐसे सेट्स को हम कहते हैं disjoint sets यानि कि उनके बीच में कुछ भी ऐसा है ही नहीं जो इनको आपस में जोड सके, connect कर सके अगर एक सेट है A जिसके अंदर 3 elements है 1, 2, 3 दूसरा सेट है B जिसके अंदर 3 elements है तीन एलिमेंट है 4 5 6 कॉमन तो कुछ है नहीं तो ऐसे दो सेट्स को हम कहेंगे डिस्ट जॉइंट सेट्स और वेंट डायग्राम में उन्हें हम ऐसे दिखाएंगे जिसमें आप देख रहे हैं कि बीच का कॉमन एरिया है ही नहीं दोनों इक्वल सेपरेट है इंटरसेक्शन की प्रॉपर्टीज देखेंगे एंटर सेक्शन बीज इक्वल टू बी इंटरसेक्शन ए एंटर सेक्शन बी इंटर सेक्शन सी इस इक्वल टू एंटर सेक्शन बी इंटर सेक्शन सी यानि के एसोशियेटिव लॉग फाइड इंटरसेक्शन A is equal to phi क्योंकि यहाँ पे हम common की बात कर रहे है तो phi जो है वो null है अब चुकी null है और A में तो कुछ भी रह सकता है तो common क्या हुआ? null ही हुआ U intersection A यहाँ पे हो जाएगा A यही major फरक है जब हम union की बात कर रहे थे तो जो set में ज़्यादा elements थे वो answer हो रहा था बट यहाँ चुकी हम intersection की बात कर रहे है तो common होना चाहिए दोनों में तो जिसमें कम चीज़े है वो answer है A intersection A is equal to A, जिसको हम यहां भी idempotent law ही कहेंगे, एक last important property A intersection B union C is equal to A intersection B union A intersection C, जिसको हम कहते है distributive law, यहां आपको distributive law में ऐसा होता था, A into B plus C is equal to A into B plus A into C, यहां पे हम दो तरह की operation को deal करते थे, एक तो प्लस और एक तो multiply, यहां भी हम दो deal कर रहे हैं, एक union और एक intersection, but है exactly उसी format, difference of sets, दो sets के बीच के difference, यानि कि फर्ब को कैसे निकालेंगे, मान लेते हैं अगर हमारे पास दो sets है, A और B, A minus B, यानि कि difference of A and B, उसका मतलब होता है, ऐसे सारे elements जो A में हैं, लेकिन B में नहीं है, ठीक उसी तरह अगर हम लिखते हैं B-A, इसका मतलब है वो सारे elements जो B में हैं, लेकिन A में नहीं है, इसका logic काफी simple है, जैसे हम numbers में भी 4-2 करते हैं, इसका मतलब क्या होता है कि 4 में से हम 2 को हटा देते हैं, जो कुछ 2 में हैं वो सब हटा दिया, जो बाकी बचा वो difference हो गया, वो हो गया A-B, A is equal to 1, 2, 3, 4, 5, 6, B is equal to 2, 4, 6, 8, find A-B, तो A-B का मतलब हुआ कौन सी ऐसी elements हैं जो A में हैं लेकिन B में नहीं हैं, तो यानि कि A-B अगर यहां पे हम बात करें तो यह जो blue region है यह है A-B, तो इसको निकालने के लिए हम देखें कि कौन सी elements हैं जो A में हैं पर B और ऐसे elements है 1, 3, 5. अगर हमें B-A निकालना हो, इसका मतलब है वैसे elements जो B में है, लेकिन A में नहीं है, और वैसा सिर्फ एक ही element है, और वो है 8, क्योंकि 2, 4, 6 बी में भी है, और A में भी है. अब यहाँ पर एक important property है, कि यह जो sets होती है, A-B, A intersection B, और B-A.
यह हमेशा म्यूचुअली डिस जॉइंट सेट्स होती है डिस जॉइंट मतलब इनमें कुछ भी कॉमन नहीं होता है अगर चाहे तो हम इसी एग्जांपल में देख सकते हैं ए माइनस बी तो हमने ऑलरेडी निकाल रखा है बी माइनस एबी हमने ऑलरेडी निकाल रखा है ए इ तीनों जो है ये mutually disjoint sets है, complement of a set important concept है देखते हैं क्या होता है, complement अगर एक set है हमारे पास a तो उसका complement होगा a dash उसको हम ऐसे represent करेंगे ठीक है, but ये होता क्या है, मतलब complement of a set में वो सारे elements होते हैं जो उस सेट में नहीं होते हैं, कुछ समझ नहीं हाया, समझाते हैं, जैसे मान लेते हैं कि अगर हमारे पास एक universal set है U, इसके अंदर एक set है A, तो एक complement जो है, यह एक ऐसा set होगा, जिसमें A के अंदर जो भी elements हैं, वो उसमें नहीं है, तो एके बाहर universal सेट में जो भी elements है वो हो जाएगा a complement तो एक तरीके से हम कह सकते हैं कि a complement जो है ये universal set minus set A है तो universal set और set A का जो difference है वही a complement है तो अगर just an example अगर हम मालते हैं कि A सेट के अंदर दो elements है 1, 2 और पूरे universal सेट के अंदर 1, 2, 3, 4 है तो जो एक complement है वो हो जाएगा 3, 4, क्योंकि एक complement में वैसे elements होंगे जो ए में नहीं है, universal set है 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, मतलब कि इस पूरे rectangle के अंदर 1 से लेके 10 तक है, ए के अंदर क्या क्या है, 1, 3, 5, 7, 9, इसके अंदर यही है, तो ए का complement होगा यानि कि a'जो होगा उसमें वैसे elements होंगी, जो A में नहीं है, A के अलावा बाकी बाहर जो कुछ भी है, वो सारे होंगे, तो basically universal set में से, हम वैसे elements हटा देंगे, जो A में है, यानि कि हम 1, 3, 5, 7, और 9 को हटा देंगे, तो बचेगा क्या? 2, 4, 6, 8, 10, तो यही हो जाएगा complement of A, अब जल्दी से complement sets की properties देखते हैं, अगर A और A'ये दो complement sets हैं, तो A union A complement is equal to U, A intersection A complement is equal to Phi, क्योंकि common तो इनके बीच में कुछ होता ही नहीं है, तो obviously intersection जो है वो null set ही होगा, D. Morgan's law कहते हैं इसे, जो कहता है कि A union B'is equal to A'intersection B', उसी तरह A intersection B dash is equal to A dash union B dash, अब इनको अगर आप चाहे तो बड़े ही आराम से आप Venn diagram की help से भी prove कर सकते हैं, Venn diagrams भी, अभी हमने पढ़ा है and it's very easy to prove these things using Venn diagrams law of double complementation जिसका मतलब है कि a dash dash का मतलब होता है a जो की काफी obvious सी बात है मान लेते हैं अगर a एक set है जिसमें है elements 1 or 2 और universal set जो है वो है 1, 2, 3, 4 तो इस case में a dash जो होगा वो क्या होगा 3, 4 वैसे elements जो a में नहीं है झाल अगर हम A'का dash निकालें, यानि कि इस A'का complement, तो यानि कि A'में जो भी चीज़ें हैं, वो हमें नहीं चाहिए, तो क्या बचेगा हमारे पास, 1, 2, तो basically A'डाश जो है, ये A के ही बराबर हो गया, law of empty set and universal set, ये कहता है कि 5'का complement है, null set का complement होता है, universal set, और universal set का complement होता है, null set, क्योंकि वो दोनों एक दूसरे के बिल्कुल opposite है अभी तक हम बात कर रहे थे सेट के अंदर कौन-कौन से elements है उसके बारे में अब हम बात करेंगे number of elements in set एक सेट के अंदर कितने elements है 10 elements है, 12 elements है, 20 elements है number की बात करेंगे और यहाँ पे अगर हमारे पास 3 sets हैं ABC और 3 वो finite set हैं यानि कि उनमें fixed number of elements है तो हम कहेंगे कि number of elements in A union B is equal to number of elements in A plus number of elements in B minus number of elements in A intersection B, इसको भी आराम से यहाँ prove कर सकते हैं, जितने elements A union B में होगा, वो कितने elements होगे, जितने A में हैं plus जितने B में हैं, बट उसमें से हमने इसको minus क्यों किया, क्योंकि यह जो common area है, जब हम दोनों को जोड दे रहे हैं, तो इ number of element of A में भी जुड़ा है और number of element of B में भी जुड़ा है तो इसलिए इसका जो ये common area है उसको एक बार subtract करना जरूरी है दूसरा property होता है कि number of element of A union B union C अगर तीन sets है हमारे पास तो number of element of A plus B plus C बट इस case में भी ये वाले जो common areas है इनको हमें subtract करना है एक बारी, इसलिए minus number of element of A intersection B, minus B intersection C, minus A intersection C, plus number of element of A intersection B intersection C, यानि कि ये, A intersection B intersection C जो है, वो ये वाला जगह है, ठीक है, ये दो properties बहुत important हैं, कि इनके basis पे बहुत सारे word problems हम solve कर सकते हैं, अब कुछ Venn Diagrams ड्रॉ करने की प्राक्टिस करेंगे, अगर हमें ड्रॉ करना हो A union B का complement, तो सबसे पहले देखते हैं A union B क्या होगा, ये पूरा, इसका complement, मतलब सब कुछ जो इसके बाहर है, बट Universal Set के अंदर है, तो यानि कि A union B का complement हो जाएगा, ये पूरा जगा, राइट, डाश, intersection B डाश, तो उस case में A डाश क्या हो जाएगा, A डाश मतलब A के बाहर का पूरा जगा, ये पूरा जगा A के बाहर का, B डाश हो जाएगा B के बाहर का पूरा जगा, तो basically इस case में भी जो intersection उनका होगा, वो हो जाएगा ये पूरा जगा, इससे हम देख रहे हैं कि A union B'is equal to A'intersection B'.
A intersection B', इसको हम कैसे दिखाएंगे? A intersection B, यानि कि यह वाला जगा, इसको छोड़के बाकी सब जगा. तो basically यह हो जाएगा यह पूरा जगा, सिवाई A intersection B वाले पार्ट को छोड़कर.
अगला है A-Union B-यानि कि A के अलावा बाकी पूरा region, B के अलावा बाकी पूरा region और उन दोनों के बीच का जो भी union है, यानि कि common की बात नहीं, दोनों को जोड़ दो, तो A को छोड़ के बाकी पूरा जग़ा जो है, वो हो गया, ये, ठीक है, ये पूरा हो गया, बी को छोड़ के बाकी पूरा जगा, यह क्या हो गया, यह बी को छोड़ के गर हम बाकी पूरा करेंगे, तो उसमें यह भी आ जाएगा, और दोनों का union, मतलब सिर्फ यह बीच वाला पार्ट छोड़ के बाकी पूरा ही आ जाएगा, तो उससे हम देख रहे हैं कि यह दोनों और अब हम एक last word problem देखेंगे, in a school there are 20 teachers who teach mathematics or physics, out of these 20 teach mathematics, तो मान लेते हैं कि number of teachers teaching mathematics जो है, वो है 12, दिया हुआ है actually, और number of teachers teaching both physics and mathematics, मतलब mathematics और physics का जो intersection है, वो है 4, how many teach physics? तो यानि कि physics कितने लोग पढ़ाते हैं वो निकालना है और 20 total teachers हैं जो physics या mathematics दोनों में से कुछ ना कुछ तो पढ़ाते हैं यानि कि जो union है वो है 20 तो ये हमें values दी भी हैं और ये निकालना है तो अगर इसको Venn diagram के form में भी हम बनाएं तो हम देखेंगे मान ये diagram लेते हैं मान लेते हैं कि ये जो blue color है ये बता रहा है mathematics और ये जो orange color है ये बता रहा है physics, और ये बीच का जो जग़ा है ये बता रहा है common, तो ये जग़ा जो है ऐसे 4 teachers है, mathematics वाले 12 teachers है, ठीक है, physics वाले हमें निकालने है, और total जो है वो 20 है, तो हमने ये relationship पढ़ा है कि number of elements of A union B is equal to number of elements of A plus number of elements of B, minus number of elements of A intersection B, तो यहाँ पर union जो है, वो है 20, number of A, यानि की M, जो की है 12, physics पढ़ाने वाले हमें निकालने हैं, और intersection जो है, वो है 4, तो physics बढ़ाने वाले teachers हो जाएंगे, 20 minus 12 plus 4, यानि की 12, so total 12 ऐसे teachers हैं, जो physics पढ़ाते हैं, learn now, एक ऐसा फ्री लर्निंग प्लैटफॉर्म जहां पर आपको मिलते हैं वीडियोस नोट एंसी आटी सोल्यूशन सैंपल पेपर्स एंड ऑनलाइन टेस्ट आपसुलूटली फ्री ऑफ कॉस्ट इतना ही नहीं लर्नोहब क्लास 11 12 यूट्यूब चैनल पर चलते हैं फ्री बाचेस फॉर 11th और 12th क्लास 11th के बच्चों के लिए अथर्फ बाच मंडे टू फ्राइडे आट 430 पी एम और क्लास 12 के बच्चों के लिए अनंत बैच, मंडे टू फ्राइडे आट 6 पी एम. अगर आप या आपके जान पेचान का कोई तैयारी कर रहा है नीट या जेई का, तो हमारे यूट्यूब चैनल पर है लर्नो हब नीट पेजीत, जेई पेजीत का कम्पलीट कोर्स आबसुलूटली फॉर फ्री.
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