[Musica] in una delle lezioni precedenti abbiamo visto che è possibile realizzare dei sistemi meccanici complessi che vengono definiti meccanismi accoppiando tra di loro diversi corpi rigidi in questa lezione considereremo quindi i casi più tipici di accoppiamenti tra corpi rigidi e in particolare ci occuperemo di quelli accoppiamenti che consentono un moto relativo piano tra i due corpi accoppiati Allora vediamo Innanzitutto alcune definizioni che ci permetteranno di meglio comprendere questi argomenti possiamo dire che se due corpi rigidi si muovono nello stesso piano e questi due corpi sono indipendenti uno dall'altro saranno necessarie 6 coordinate per definirne la configurazione infatti abbiamo visto che nel piano un corpo rigido ha la possibilità di muoversi lungo tre coordinate 2 di traslazione e una di rotazione Quindi se due corpi rigidi sono nel piano avranno 6 gradi di libertà complessivamente Ecco quindi il sistema complessivo costituito da questi due corpi è in totale 6 gradi di libertà però questi due corpi possono essere vincolati in qualche modo tra di loro Quindi è possibile stabilire un collegamento tra questi due corpi questo collegamento limiterà Allora i gradi di libertà Cioè ridurrà in qualche misura il numero di gradi di libertà complessivo Allora definiamo coppia cinematica una coppia di corpi quindi in coppia cinematica è costituita da due corpi che sono accoppiati tra di loro e tra questi due corpi è possibile Un moto relativo quello che caratterizza una certa coppia cinematica è il moto relativo possibile quindi il parametro caratterizzante è proprio il moto relativo che si può realizzare tra questi due elementi accoppiati il moto relativo dipende sempre dalla forma delle superfici lungo le quali due corpi sono a contatto queste superfici lungo le quali i corpi si accoppiano vengono definite superfici coniugate quindi la forma è un parametro sempre caratterizzante del tipo di accoppiamento però non sempre è sufficiente per definire il motore relativo a volte la sola forma delle superfici coniugate non è sufficiente definire il motore relativo perché è necessario anche conoscere quali sono le forze scambiate tra le superfici coniugate abbiamo detto che ci occupiamo di meccanismi piani e quindi dovremo considerare quelle coppie cinematiche che consentono di realizzare un moto piano relativo tra i due elementi accoppiati queste coppie cinematiche sono elencate qui in particolare Sono la coppia rotoriale la coppia prismatica e la coppia a cam Ecco adesso vorrei mostrarvi qualche oggetto che ho portato per far vedere qualche realizzazione pratica di questi tipi di accoppiamento Qui abbiamo due corpi il primo corpo è questa piastra gialla che presenta un foro circolare e il secondo corpo è questa forcella una forcella che ha due ali su ognuna delle due ali sono ricavate dei Fori circolari analoghi a quelli a quello ricavato sul primo corpo come vediamo questi due corpi si possono muovere liberamente nel piano Supponiamo che il piano del moto sia il piano su cui sono appoggiati questi due corpi questi due corpi possono traslare in direzione verticale in direzione orizzontale possono anche ruotare Vediamo come si possono accoppiare Allora l'accoppiamento avviene in questo modo vengono allineati i fori e poi viene utilizzato un terzo elemento che è questo perno di collegamento viene infilato nei fori e viene chiuso con un sistema scatto in questo caso qua Allora qui abbiamo realizzato l'accoppiamento vediamo che i due corpi sono collegati tra di loro al di là di un piccolo gioco che è necessario per consentire il moto relativo Però vediamo che il moto relativo concesso è soltanto questo moto rotatorio Cioè se teniamo per esempio fisso uno dei due elementi Supponiamo la forcella vediamo che L'altro elemento non può più ruotare non può più traslare per esempio in direzione verticale neanche in direzione orizzontale ma può soltanto ruotare attorno all'ansia del perno Ecco in questa figura vediamo rappresentato questo accoppiamento che abbiamo appena visto con uno indicata la piastra con due indicata la forcella e in questa figura laterale in questa sezione si vedono i due elementi proprio nel piano del moto e qui abbiamo visualizzato che dei tre gradi di libertà possibili del corpo 1 Supponendo che il corpo 2 sia fisso il corpo 1 avrebbe se fosse svincolato tre gradi di libertà che sono indicati dalla velocità lungo l'asse XVI con X dalla velocità lungo yco Y e dalla velocità angolare Omega di questi tre gradi di libertà 2 sono impediti da questo accoppiamento di X e Y per cui l'unico moto consentito è questo moto rotatorio indicato dalla velocità angolare Omega quindi questo accoppiamento consente un grado di libertà relativo in questa figura vediamo una rappresentazione schematica di questa coppia rotoidale Qui abbiamo i due corpi uno e due che sono accoppiati dalla cerniera collocata nel punto p questo punto P è un punto che appartiene tanto al corpo 1 quanto il corpo 2 potrebbe essere per esempio l'asse del perno di collegamento Allora vediamo che il punto p può muoversi nel piano e quindi compiere Degli spostamenti questo accoppiamento Però tra il corpo 1 e il corpo 2 impone che lo spostamento del punto P con 1 cioè solidale al corpo 1 sia sempre uguale allo spostamento subito dal punto P con 2 solidale al corpo 2 la rotazione teta 2 su 1 che è stata indicata qui rappresenta il grado di libertà relativo tra i due membri qui in basso Vediamo rappresentate invece la stessa coppia ma sul corpo 1 è stata indicata in questa estremità di sinistra una coppia rotoidale con asse fisso questa cooperativa viene rappresentata in questo modo con un cerchio diviso in quattro con due campi opposti anneriti in questo caso con teta 1 Abbiamo indicato quindi la rotazione assoluta che può compiere il corpo 1 mentre con Z2 su 1 indichiamo la rotazione relativa cioè il grado di libertà relativo che il corpo 2 può compiere rispetto al corpo 1 Notiamo anche che questa questo tipo di accoppiamento C'è la copia rotoidale viene comunemente chiamata anche cerniera Ecco poi qui abbiamo un altro esempio di accoppiamento molto comune che è definito coppia prismatica allora il primo elemento che possiamo considerare è questo questa sbarra a sezione rettangolare vediamo che si tratta di un corpo prismatico a sezione rettangolare a questo corpo può essere accoppiato un secondo corpo che è questo cursore questo cursore presenta nella parte centrale un foro a sezione rettangolare Questa sezione rettangolare ha la stessa forma e all'incirca le stesse dimensioni della sezione della sbarra Allora questi due corpi possono essere accoppiati In questo modo si infila la sbarra all'interno del cursore e quindi abbiamo realizzato l'accoppiamento vediamo che l'unico moto possibile è uno scorrimento lungo l'asse della coppia l'asse della coppia sarà l'asse longitudinale posizionato sul centro della sbarra di scorrimento della guida prismatica si vede quindi che mentre prima dell'accoppiamento i due corpi possono muoversi liberamente nel piano una volta effettuato l'accoppiamento l'unico moto relativo possibile è questo moto longitudinale del cursore rispetto alla sbarra possiamo di nuovo visualizzare questo tipo di accoppiamento in questa diapositiva qui vediamo il corpo 2 che rappresenta la sbarra il corpo uno che rappresenta il cursore in questa figura di destra i due corpi sono rappresentati nel piano del moto il piano del moto potrebbe essere per esempio un piano verticale passante per l'asse della coppia in questo caso sono state di nuovo riportati tre gradi di libertà possibili che avrebbe il corpo uno se fosse libero di muoversi nel piano Cioè lui potrebbe muoversi lungo l'asse x con questa velocità di con X lungo l'asse Y e potrebbe ruotare quindi muoversi con questa velocità angolare Omega Se però accoppiamo il cursore 1 con questa sbarra 2 e vincoliamo la sbarra ad un supporto fisso Allora vediamo che il corpo 1 non può più traslare verticalmente non può più ruotare Ma potrà soltanto muoversi lungo l'asse x cioè lungo l'asse della coppia e quindi questo movimento è il motore relativo concesso era presente il grado di libertà relativo di questa coppia in questa figura vediamo una rappresentazione schematica di questo accoppiamento vediamo nuovamente il corpo 1 che corrispondeva alla sbarra il corpo 2 che corrispondeva al cursore e vediamo anche rappresentato un punto P il punto p è un punto che può essere pensato appartenere tanto al corpo 1 quanto al corpo 2 e che in un certo istante [Musica] coincide con i punti P1 e P2 appartenenti ai due elementi della coppia come vediamo non è possibile una rotazione relativa quindi il corpo 2 non potrà variare la propria inclinazione rispetto al corpo 1 l'unico grado di libertà concesso è questo spostamento sdp di 2 rispetto ad uno Questo significa che il punto p Potrà muoversi nel piano e siccome il punto p coincide con un punto P1 solidale al corpo 1 e con un punto P2 solidale al punto al corpo 2 questi punti P1 e P2 potranno compiere Degli spostamenti che possono anche essere diversi tra di loro cioè il punto P1 solidale al corpo 1 può muoversi in una certa direzione il punto P2 solidale al corpo 2 può muoversi in una direzione diversa lo spostamento relativo sarà la differenza vettoriale tra questi due spostamenti e cioè lo spostamento del punto P2 solidale al corpo 2 meno lo spostamento del punto P1 solidale al corpo 1 L'unica condizione necessaria che questi spostamenti devono rispettare è che la differenza tra questi due spostamenti cioè lo spostamento di P2 rispetto ad uno dovrà essere indirizzato lungo l'asse della coppia il terzo tipo di accoppiamento che consideriamo è definito coppia a cam in questa figura vediamo da che cosa è costituito vediamo due corpi un corpo uno è un corpo 2 che sono tangenti in un punto P dobbiamo pensare che questi due corpi abbiano delle dimensioni in tutte le direzioni dello spazio e quindi il punto p rappresenta un punto di contatto tra superfici queste superfici dei due corpi a contatto vengono definite in superficie coniugate in questa figura però noi vediamo soltanto dei profili delle superfici questi profili che rappresentano la sezione delle superfici coniugate nel piano del moto vengono definiti profili coniugati Allora abbiamo detto che il punto p è il punto di contatto tra i due profili coniugati questo punto P coinciderà con un punto P1 solidale al corpo 1 è un punto P2 solidale al corpo 2 quindi possiamo indicare con sp1 lo spostamento che il punto P1 Se vi danno il corpo 1 esegue nel piano e con SP2 lo spostamento che Analogamente il punto P2 solidale a corpo 2 esegue nel piano per garantire il contatto non è necessario che questi due spostamenti siano uguali tra di loro però è necessario che la componente normale cioè la componente perpendicolare alle superfici nel punto di contatto le due componenti di questi due spostamenti siano uguali tra di loro Altrimenti o perdiamo il contatto tra le due superfici oppure avremmo dei problemi di compenetrazione di un corpo all'interno dell'altro Questo significa che lo spostamento relativo tra i due corpi sarà la differenza tra gli spostamenti dei punti P1 e P2 Cioè questo vettore indicato in arancione sdp2 rispetto a 1 quindi per il fatto che questi due spostamenti dovranno avere la stessa componente normale questo implica che lo spostamento relativo sdp2 rispetto 1 dovrà essere contenuto dovrà essere indirizzato in una direzione completamente tangenziale ai due profili coniugati nel punto di contatto Notiamo poi che è possibile anche una rotazione relativa del corpo 1 rispetto al corpo 2 che è stata indicata qui con tetta 1 e sbarra 2 quindi vuol dire che il corpo 1 può ruotare Può variare la sua inclinazione rispetto al corpo 2 questi due spostamenti cioè sdp2 rispetto 1 e tetta di 1 su 2 rappresentano i due gradi di libertà relativi che i due corpi hanno in questa situazione quindi Questo significa che questo tipo di accoppiamento consente due gradi di libertà esiste però un caso particolare e cioè Supponiamo che i due spostamenti dei punti più 1 e P2 solidarie di due corpi siano uguali tra di loro cioè possiamo immaginare che questi due vettori sp1 ed SP2 coincidano se questi due vettori coincidessero la loro differenza cioè sdp2 su 1 sarebbe nulla Questo significa che questo spostamento relativo che rappresenta uno strisciamento tra le due superfici nel punto di contatto non esisterebbe più e Quindi rimarrebbe come moto relativo possibile Soltanto questo moto angolare che viene definito moto di rotolamento puro Quindi questa situazione è una situazione che si può realizzare in un accoppiamento a cam nell'accoppiamento cam possiamo avere tanto una possibilità di eseguire due movimenti indipendenti cioè una rotazione relativa più uno strisciamento ma in certe condizioni possiamo anche avere soltanto un grado di libertà relativo che è costituito dalla rotazione relativa in questo caso si dice che i due corpi rotolano senza strisciare uno sull'altro Ecco questa situazione si può ottenere ma dipende non soltanto dalla forma delle superfici a contatto dipende anche dalle forze che vengono scambiate tra i due corpi nel punto di contatto quindi vedremo poi in seguito anche in questo corso quali saranno le condizioni che consentiranno di ottenere questo tipo di moto relativo come caso particolare di questo ultimo tipo di accoppiamento vediamo questa situazione che viene definita rotolamento di una ruota sul piano Ecco qui vediamo il sistema a cui ci stiamo riferendo abbiamo un piano fisso Supponiamo che sia questo piano indicato in verde dalla lettera 2 e abbiamo questa ruota indicata con uno che rotola senza strisciare sul piano il piano del moto di questo sistema sarà quindi un piano verticale che può essere pensato coincidente con il piano del disegno dunque se la ruota rotola senza strisciare Allora il punto A2 appartenente al piano è fisso anche il punto A1 sarà un punto fisso in quanto non essendoci strisciamento la velocità del punto a 1 dovrà essere uguale alla velocità del punto a 2 e quindi in questo caso il punto A con 1 appartenente alla ruota rappresenterà anche il centro di istantanea rotazione di tutti i punti della ruota Allora di per sé la ruota avrebbe nel piano del moto che è questo piano verticale due possibilità di movimento se non fosse vincolata a arrotolamento puro sul piano di appoggio e cioè potrebbe spostarsi lungo questa direzione orizzontale parallela al piano d'appoggio indicata da Vico no E potrebbe anche ruotare nel piano del moto e quindi questo secondo movimento è indicato qui dalla velocità angolare Omega Se però noi imponiamo la condizione di rotolamento puro che implica che a con uno sia il centro di istantanea rotazione della ruota Ecco che tra queste due possibilità di movimento cioè la Vico no e la Omega si stabilisce una relazione biunivoca rappresentata da questo rapporto cioè dico no diviso Omega è uguale al raggio della ruota quindi complessivamente i gradi di libertà della ruota in questo sistema si riducono a uno La Ruota ha un solo grado di libertà ecco adesso ci riallacciamo a questo esempio per vedere come è possibile effettuare l'analisi di un sistema di questo tipo cioè considereremo il moto di rotolamento puro di una ruota su un piano e vediamo come possiamo identificare le caratteristiche di questo moto Allora rappresentiamo qui la ruota appoggiata sul piano di scorrimento e fissiamo un sistema di riferimento un sistema di riferimento potrebbe essere un asse orizzontale X adagiato sul piano di scorrimento e un asse verticale Y invece passante per il centro della ruota nella sua posizione iniziale fissiamo anche due versori di riferimento chiamiamoli i e J associati ai due assi coordinati X e Y chiamiamo con o il centro della ruota e con r il suo raggio Supponiamo che ci sia un punto appartenente alla ruota che nell'istante iniziale è a contatto col piano d'appoggio adesso immaginiamo che questa ruota proceda lungo la direzione dell'asse x con una certa velocità e quindi indichiamo con Vico No la velocità con cui si sposta il centro della ruota e con a conò l'accelerazione corrispondente Inoltre la ruota avrà anche un moto angolare e quindi questo moto angolare lo rappresentiamo con una velocità angolare omega e un'accelerazione angolare Omega punto Supponiamo di osservare il movimento di questa ruota per un certo tempo e dopo un certo intervallo la vedremo raggiungere una nuova posizione che è questa qui tratteggiata in questa nuova posizione il punto o si sarà portato in una posizione o prima e il punto di contatto col terreno lo chiamiamo con a il punto c che è un punto appartenente alla ruota si sarà spostato in una posizione diversa potrebbe per esempio essere arrivato in questa posizione che indichiamo con C primo questa posizione può essere individuata considerando questo angolo teta l'angolo tetto è un angolo che vale 0 nella situazione iniziale quando ci primo è a contatto col terreno quindi coincide con C mentre nella situazione finale l'angolo teta a un certo valore che permette di individuare la posizione di C primo nel piano del moto il piano del moto ovviamente è il piano XY bene Adesso vediamo di ricavare come prima cosa il moto del centro della ruota vediamo che il centro della ruota si è spostato da questa posizione iniziale a questa posizione finale quindi ha compiuto uno spostamento che chiamiamo S con o questo spostamento è secco no è uguale alla lunghezza del segmento AC ma nelle condizioni in cui ci siamo posti e cioè nella condizione di rotolamento puro questo segmento AC sarà anche uguale alla lunghezza dell'arco a c primo lunghezza dell'arco che possiamo calcolare conoscendo questo angolo teta che descrive proprio la posizione di C primo questo arco sarà uguale al prodotto del raggio della ruota per l'angolo teta la velocità della del centro della ruota può essere ricavata derivando questa espressione della posizione quindi la velocità vi dico no sarà uguale alla derivata di R per teta R una costante perché era il raggio della ruota Quindi sarà uguale ad R teta punto l'accelerazione a sua volta sarà la derivata della velocità Quindi sarà uguale a cono a RZ in questo modo abbiamo identificato il moto del centro della ruota Vediamo adesso di identificare una cosa un pochino più interessante che è il moto del punto c questo punto c che vi ricordo è un punto posizionato sulla circonferenza della ruota sulla sua superficie esterna e che compie un certo movimento parte per esempio da questa posizione e poi in questo istante si trova nella posizione C prima e poi proseguirà nel suo movimento per individuare il moto di questo punto c primo possiamo analizzarlo secondo questo sistema di coordinate cartesiane e quindi incominciare a definire la sua posizione nel sistema cartesiano Quindi definiremo rispetto al sistema XY che abbiamo assunto come riferimento la sua ascissa X con c e la sua ordinata Y con c che possiamo ricavare in questo modo la fissa X con C sarà uguale allo spazio percorso dal centro s0 meno questa lunghezza che è la proiezione del raggio secondo l'angolo teta Quindi sarà uguale a s con o meno R per il seno di Teta siccome S con o a sua volta è funzione di Teta possiamo raccogliere un R che Moltiplica tetta meno seno di Teta l'ordinata del punto c nella posizione C primo sarà l'altezza la lunghezza di questo segmento e quindi vale il raggio della ruota meno la proiezione del raggio sulla verticale secondo l'angolo teta quindi yc sarà uguale ad R meno R per il coseno di Teta ovvero R che Moltiplica uno meno il coseno di Teta Queste sono le coordinate cartesiane della posizione del punto c in un istante generico se vogliamo ricavare adesso la velocità e l'accelerazione del punto c basterà derivare nel tempo queste due espressioni per esempio la derivata prima della scissa cioè la x punto c sarà uguale ad R che una costante per la derivata di Teta che sarà detta appunto Ovvero la velocità angolare Omega meno la derivata del seno di Teta e cioè Omega per il coseno di Teta la derivata prima della Y nel tempo sarà uguale la derivata di questa espressione quindi R che moltiplica la derivata di meno coseno di Teta quindi Omega per il seno di Teta poi potremo ricavare anche le componenti dell'accelerazione lungo X lungo Y derivando ulteriormente nel tempo queste due espressioni e quindi avremo la x due punti C che è uguale ad R che moltiplica la derivata di questa parentesi quindi qui avremo una Omega punto meno Omega quadro Dunque per fare questo possiamo per esempio raccogliere una R Omega che Moltiplica uno meno coseno di teca Allora avremo una R che moltiplica la derivata della Omega cioè Omega punto per uno meno coseno di Teta più Omega per la derivata di questa parentesi la derivata di meno coseno di tetta è Omega per il seno di Teta ecco infine ricaviamo la derivata seconda della ascissa del punto c dobbiamo derivare questo termine Quindi avremo una R che moltiplica la derivata di Omega Cioè o meglio appunto per il seno di Teta più Omega per la derivata versione di tetta che è uguale ad Omega per il coseno di Teta Queste sono le componenti dell'accelerazione lungo l'asse x e lungo l'asse Y in un istante generico a questo punto la cosa forse più interessante è vedere cosa succede al punto c quando si trova a contatto col piano di appoggio cioè quando il punto c è effettivamente il centro di istantanea rotazione della ruota Allora se ci è il centro di istantanea rotazione allora potremmo identificare questa situazione assegnando all'angolo tetto un particolare valore cioè l'angolo teta è uguale a 0 Quindi potremmo riconoscere questa situazione imponendo all'angolo tetto il valore Zero in questo caso per quanto riguarda la velocità vedremo subito che tutti i termini della velocità si annullano in quanto il Cos'è una ditta è uno uno meno uno fa zero quindi la componente lungo X della velocità è 0 e la componente lungo Y è 0 perché il seno di 0 è 0 quindi Nell'istante in cui teta è uguale a zero cioè il punto c è a contatto col terreno e quindi è centro di istantanea rotazione la sua velocità è 0 e questo ci conferma il fatto che la velocità del centro di istantanea rotazione di un corpo è nulla la cosa più interessante viene quando applichiamo questa condizione alle componenti dell'accelerazione Infatti vediamo che la x due punti C se imponiamo a Tete il valore 0 diventa 0 Infatti il seno di 001 meno il coseno di 0 è 0 quindi il punto c ha un'accelerazione che non ha componenti lungo l'asse x Mentre se imponiamo la condizione di Teta uguale a zero alla componente dell'accelerazione lungo l'asse Y vediamo che il seno di Tete è uguale a 0 quindi questo primo termine si annulla il coseno di Teta è uguale a 1 e quindi abbiamo un termine pari a r per Omega quadro Allora il risultato è questo e cioè il centro di istantanea rotazione è effettivamente un punto che a velocità nulla però questo non non impedisce che abbia un'accelerazione diversa da zero Infatti Notiamo che l'accelerazione del punto c cioè del centro di istantanea rotazione sarà uguale alla somma delle due componenti una lungo x e una lungo Y Quindi sarà la x due punti C nel versore i più la Y due punti C nel versore J di queste due componenti una è nulla quella lungo X Ma la componente lungo Y non è nulla e quindi l'accelerazione del centro di Sant'Anna rotazione vale in questo istante R Omega quadro versore J Cioè se vogliamo rappresentare vettorialmente l'accelerazione del centro di istantanea rotazione la dovremo rappresentare in questo modo Questo è il centro di istantanea rotazione della ruota la sua accelerazione ha con c è un vettore diretto verso il centro della ruota e il modulo è pari a r per Omega quadro bene Adesso vorrei provare a risolvere un esercizio utilizzando con le informazioni che abbiamo visto riguardo agli accoppiamenti tra corpi rigidi cioè incominciamo a vedere un primo esempio di meccanismo piano è un meccanismo costituito da una serie di elementi tutti accoppiati tra di loro da delle coppie rotoidali cioè delle cerniere e vedremo di effettuare l'analisi di questo meccanismo Per quanto riguarda soltanto le velocità il meccanismo è costituito da questo sistema è presente una sbarretta posizionata in direzione verticale il barretta che indichiamo con il numero 1 nell'estremità inferiore è presente una cerniera ad asse fisso e quindi la rappresento così come vi ho fatto vedere in una diapositiva precedente cioè con un cerchio diviso in quattro con due campi opposti anneriti questo rappresenta una cerniera da se fisso nell'estremità superiore che chiamiamo a invece è presente una cerniera mobile c'è una cerniera che consente l'accoppiamento di questo corpo 1 con un altro corpo l'altro corpo è questo ed è un'altra sbarretta che chiamiamo 2 che termina all'estremità B con un ulteriore cerniera che permette di accoppiarla a un terzo elemento che chiamiamo 3 l'elemento 3 a alla sua estremità a destra una cerniera fissa nel punto c sono definite le distanze tra queste due cerniere fisse Quindi abbiamo in orizzontale una distanza pari a 250 mm mentre in verticale abbiamo una distanza pari a 50 mm poi conosciamo le lunghezze di due di questi tre elementi di questi tre corpi e cioè la lunghezza chiamiamola R con 1 del corpo 1 che vale 100 mm e la lunghezza R con 3 del corpo 3 che vale 75 mm a questo meccanismo è assegnata una certa condizione di moto in particolare viene Imposta una velocità angolare chiamiamola Omega 3 questa velocità angolare ha il verso indicato in figura cioè un verso antiorario e ha un valore di 2 radianti al secondo vogliamo determinare le velocità angolari degli altri due elementi cioè del corpo unico e del corpo 2 Omega 1 e Omega 2 per fare questo possiamo per esempio utilizzare il metodo del centro di istantaneo E rotazione incominciamo a considerare il corpo 2 e vediamo come si può ricavare il centro di istantanea rotazione del corpo 2 per fare questo è necessario identificare il moto di due suoi punti i punti più convenienti da utilizzare sono il punto A e il punto B il punto A è un punto che oltre che appartenere al corpo 2 appartiene anche al corpo 1 e quindi potremmo identificare il moto del punto a sapendo che appartenendo il corpo 1 si dovrà muovere lungo una traiettoria che è un trattore circolare con centro in o e quindi in questo istante sarà una traiettoria con tangente orizzontale il punto B Analogamente è un punto che oltre che appartenere al corpo 2 appartiene anche al corpo 3 e quindi si dovrà muovere lungo una traiettoria circolare con centro nel punto c quindi la direzione del moto di B in questo istante è verticale Allora per determinare la posizione del centro di istantaneo a rotazione del corpo 2 sarà sufficiente tracciare le rette passanti per Hyper B e perpendicolare le direzioni del moto quindi per a traccio questa retta verticale e per B traccerò una retta orizzontale queste due rette si incontrano in questo punto che chiamo C2 C2 è il centro di istantanea rotazione del corpo 2 vuol dire che in questo istante tutti i punti di questa sbarretta stanno Ruotando attorno a due posso anche calcolare quindi la lunghezza del segmento bc2 e la lunghezza del segmento a C2 dai dati del problema noto questo quindi posso calcolare come prima cosa la velocità angolare del corpo 2 La velocità angolare del corpo 2 Dipenderà dalla velocità del punto B la velocità del punto b può essere calcolata come prima cosa la velocità vb sarà una velocità calcolabile Considerando che il punto B appartiene anche al corpo 3 il corpo 3 sta Ruotando in verso antiorario attorno a c Quindi anche la velocità di B sarà diretta in modo che B ruoti verso antiorario attorno a c la velocità di B modulo Vale Omega 3 per R3 e quindi può essere calcolata perché conosciamo entrambi questi valori nota la velocità del punto B adesso Dobbiamo considerare che B appartiene anche al corpo 2 Il corpo 2 in questo istante sta Ruotando attorno ad un punto che non è fisso ma è il centro di istantanea rotazione quindi questo punto C2 è il centro attorno a cui ruotano tutti i punti della sbarretta AB e quindi Notiamo che il punto B riferito al corpo 2 ruota attorno al centro di rotazione della sbarra 2 in verso orario quindi questo vuol dire che la velocità angolare Omega 2 con cui ruota nel piano il corpo 2 avrà un verso orario questa velocità Omega 2 può essere calcolata conoscendo la velocità del punto B sarà uguale a vdb diviso la lunghezza del segmento bc2 anche questa lunghezza può essere calcolata sapendo che sarà la differenza tra 250 mm e la lunghezza del corpo 3 R3 che 75 mm quindi Omega 2 è calcolabile ed è una prima risposta il valore di Omega 2 calcolato sarà uguale a 0,86 radianti al secondo il verso l'abbiamo individuato qua è un verso orario e quindi possiamo indicarlo in questo modo rimane da ricavare la velocità angolare del corpo 1 anche in questo caso possiamo considerare che il corpo 1 ha una un punto di contatto in a col corpo 2 la velocità del punto a può essere determinata perché noi conosciamo la velocità con cui ruotano tutti i punti della sbarretta attorno al proprio centro di istantanea rotazione quindi la velocità di a dovrà essere coerente con quello che fanno tutti gli altri punti del corpo 2 il punto A dovrà a sua volta quindi ruotare attorno al centro C2 di istantanea rotazione e quindi la velocità di con a sarà uguale a Omega 2 per la lunghezza del segmento a C2 nota la velocità vicona A questo punto Siccome a appartiene anche al corpo 1 potremo calcolare la velocità angolare Omega 1 con cui ruotano tutti i punti del corpo 1 e cioè Omega 1 sarà uguale al rapporto tra la velocità angolare vicona e la sua distanza rispetto al centro di rotazione del corpo 1 e cioè la lunghezza R con 1 eseguendo questo calcolo si trova un valore di 0,43 radianti al secondo per quanto riguarda il verso abbiamo visto che siccome il punto A ruota attorno a 1 in verso orario questo sarà anche il verso di rotazione di tutti gli altri punti del corpo e quindi è un verso orario bene con questo si conclude questa lezione Arrivederci [Musica]