Deret Harmonik

Definisi Deret Harmonik

• Deret harmonik dinyatakan dengan notasi sigma: ( \Sigma \frac{1}{n} ) dari n = 1 hingga tak hingga.
• Barisan deret harmonik: 1, 1/2, 1/3, 1/4, dst.

Kekonvergenan Barisan

• Limit dari ( a_n ) ketika n menuju tak hingga adalah 0.
• Barisan dianggap konvergen menuju 0.

Kekonvergenan Deret

• Diperlukan perhitungan jumlah parsial (SN).
• Jumlah parsial ( S_N ):
  • ( S_N = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_N )
  • Contoh: ( S_N = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{N} )

Teknik Pembuktian Divergensi

• Pengelompokan suku-suku:
  • ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{2} )
  • ( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{1}{2} )
  • Setiap kelompok menghasilkan jumlah yang lebih besar dari ( \frac{1}{2} ).
• Sebagai contoh:
  • ( S_N ) > ( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + ... )

Kesimpulan

• ( S_N ) akan terus bertambah (divergen) karena penjumlahan ( \frac{1}{2} ) seterusnya.
• Jika deret yang lebih kecil (biru) saja divergen, maka deret yang lebih besar (ungu) juga pasti divergen.
• Konklusi: Deret harmonik divergen.

Catatan Tambahan

• Barisan menuju 0 (konvergen), tetapi deret menuju tak hingga (divergen).