Geometrická posloupnost

Rozdíl mezi aritmetickou a geometrickou posloupností

• Geometrická posloupnost se od aritmetické liší tím, že:
  • Následující člen dostáváme vynásobením předchozího člen kvocientem (Q).
  • Aritmetická posloupnost: A2 = A1 + diference.

Příklady geometrické posloupnosti

• Pokud je A1 = 1 a Q = 2:
  • A1 = 1, A2 = 2, A3 = 4, A4 = 8, A5 = 16, ...
  • Vzorec: A_{n+1} = A_n * Q.*_

Vztahy mezi členy posloupnosti

• Třetí člen (A3):
  • A3 = A1 * Q^2.
• Obecný vztah mezi libovolnými členy:
  • A_r = A_s * Q^(r-s).

Ověření geometrické posloupnosti

• Pro ověření, zda je posloupnost geometrická:
  • Vydělit libovolný následující člen předchozím členem (A_{n+1} / A_n = Q)._

Součet geometrické posloupnosti

Součet prvních n členů

• Vzorec pro součet prvních n členů:
  • S_n = A1 * (1 - Q^n) / (1 - Q).
• Příklad:
  • A1 = 2, Q = 3, S_5 = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3) = 242.

Nekonečný součet

• Může existovat pouze pokud |Q| < 1.
• Vzorec pro nekonečný součet:
  • S = A1 / (1 - Q).
• Příklad:
  • První člen = 1/2, Q = 1/2,
  • S = (1/2) / (1 - (1/2)) = 1.

Vysvětlení konvergence nekonečného součtu

• Příkladem může být čtverec o délce strany 1,
  • Když rozdělujeme na poloviny, zůstává vždy kousek místa.

Kdy nekonečný součet neexistuje

• Pokud |Q| >= 1, nekonečný součet neexistuje.
• Konečný součet existuje i pro |Q| > 1.

Shrnutí

• Geometrická posloupnost:
  • Následující člen = předchozí člen * Q.
• Vztahy mezi členy:
  • A_r = A_s * Q^(r-s).
• Součet prvních n členů = A1 * (1 - Q^n) / (1 - Q).
• Nekonečný součet: existuje, pokud |Q| < 1 (S = A1 / (1 - Q)).*