Witam wszystkich na kanale MatSpot. W dzisiejszym odcinku będziemy mówić o trójkątach przystających, czyli o trójkątach identycznych. No i o tym, jak rozpoznać, czy dwa trójkąty są przystające.
Do tego mamy trzy cechy przystawania trójkątów. Pierwsza z nich to, dwa trójkąty są przystające, gdy boki jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom drugiego trójkąta. Tą cechę nazywamy bok-bok-bok, w skrócie BBB. No i to jest taka najprostsza cecha przystawania trójkątów. dwa trójkąty będą przystające, gdy będą mieć takie same boki.
Jeśli w jednym trójkącie mam boki AB i C, to w drugim trójkącie też muszę mieć boki AB i C. I jeśli tak jest, to trójkąty są przystające. Na przykład tutaj, jeśli mamy trójkąt o bokach 3, 6 i 7, a w drugim trójkącie mamy boki 3, 7 i 6, to te trójkąty będą przystające z tej cechy bok, bok, bok. I nawet jeśli siódemka z szóstką by się zamieniły, to w dalszym ciągu w tym trójkącie mam boki 3, 6 i 7 i to są takie same boki jak w tym drugim trójkącie 3, 6 i 7. I to tyle na temat tej pierwszej, najprostszej cechy przystawania. Druga cecha przystawania trójkątów to dwa trójkąty są przystające, gdy dwa boki jednego trójkąta są równe odpowiednim dwóm bokom drugiego trójkąta oraz kąty między tymi bokami w obu trójkątach mają równe miary.
Taką cechę będziemy nazywać bok-kąt-bok, w skrócie BKB. No i ta cecha przystawania trójkątów działa tak, że jeśli w jednym trójkącie mam bok A i bok B, oznaczmy je na czerwono, a między nimi jest kąt alfa, to tutaj się utworzył taki zwarty układ dwóch boków i kąta pomiędzy nimi. To jeśli takie samo coś znajdziemy w drugim trójkącie, to trójkąty są przystające. W naszym drugim trójkącie, jeśli tutaj mam kąt alfa, tutaj może być bok A, tutaj może być bok B, no i wtedy tworzy nam się też taki sam zwarty układ dwóch czerwonych boków A i B oraz kąta alfa pomiędzy nimi zawartego.
Jeśli w jednym i drugim trójkącie jest taki sam układ, to te trójkąty są przystające. To przystawanie by się zepsuło, gdybyśmy na przykład jeden z tych boków, na przykład bok A, stąd zabrali i przenieśli go tutaj. To wtedy, co prawda, mielibyśmy boki A i B, ale kąt alfa nie byłby zawarty pomiędzy nimi. wtedy trójkąty nie byłyby przystające. Przystające są tylko wtedy, gdy A jest tu, a B jest tu, ewentualnie na odwrót.
Z tej drugiej cechy przystawania trójkątów stwierdzimy sobie, czy te dwa trójkąty są przystające. Patrzymy na pierwszy trójkąt. Tutaj mamy układ taki, jest bok 9, jest bok 8 i jest kąt między nimi 40 stopni.
Czyli mamy ten nasz zwarty taki układ. A w drugim trójkącie też mamy bok 8 i bok 9. ale kąt 40 stopni wcale nie jest zawarty między tymi dwoma bokami. Kąt 40 stopni gdyby był tu, to te trójkąty byłyby przystające, a w takiej sytuacji te dwa trójkąty nie są przystające. A co z tymi dwoma trójkątami? Czy one są przystające?
Mamy siódemkę, mamy szóstkę. W drugim trójkącie też jest siódemka i szóstka, więc boki to nam się nawet zgadzają, ale kąt trochę się nie zgadza, bo tutaj w tym drugim trójkącie pomiędzy siódemką a szóstką mamy kąt 50 stopni, a w tym trójkącie mamy 7 i 6 i kąt pomiędzy nimi to my go nie znamy, więc nie możemy na razie przynajmniej stwierdzić, czy te trójkąty są przystające, ale jeśli znamy kąt 70 i kąt 60, to my sobie możemy obliczyć, ile tutaj jest stopni, bo wszystkie kąty w trójkącie dają razem 180. Więc jeśli od 180 stopni odejmiemy te dwa kąty razem, czyli 70 plus 60, To nam wyjdzie 180 minus 130, a to jest 50 stopni. To nam znaczy, że w tym miejscu mamy kąt 50 stopni.
I to już nam pasuje, bo teraz mamy zwarty układ dwóch czerwonych boków 6 i 7 i kąta pomiędzy nimi zawartego równego 50 stopni. I taki sam układ jest w drugim trójkącie. Jest 7 i jest 6, czerwone, i pomiędzy nimi zielony kąt 50 stopni.
Identyczny zwarty układ jest w tym trójkącie i w tym trójkącie, a to znaczy, że te dwa trójkąty są przystające z cechy bok-kąt-bok, czyli BKB. No i teraz o tym, jak działa trzecia cecha przystawania trójkątów. Ona brzmi tak.
Dwa trójkąty są przystające, gdy jeden bok trójkąta jest równy bokowi drugiego trójkąta oraz dwa kąty sąsiadujące z tymi równymi bokami w obu trójkątach mają równe miary. Ta cecha nazywa się kąt-bok-kąt, czyli KBK. Tutaj potrzebować będziemy dwóch kątów i jednego boku.
Tak jak na tym obrazku. Mamy jeden bok i do niego przylegające kąty alfa i beta. One koniecznie muszą sąsiadować z bokiem A.
I w tym trójkącie mam taki układ. I w drugim trójkącie mam dokładnie ten sam układ. Tutaj jest bok A i do niego przystają kąty alfa i beta. To jest tak samo jak tutaj.
Jest kąt, bok, kąt. I tutaj też jest kąt, bok, kąt. Więc te dwa trójkąty są przystające.
Czy teraz będziemy mogli stwierdzić, że te dwa trójkąty są przystające? W pierwszym trójkącie mamy kąty 60 i 40 stopni i mamy bok równy 8. W drugim trójkącie też mamy kąty 40 i 60 stopni i też mamy bok 8. Tylko, że tutaj jak popatrzymy do czerwonego boku 8, te kąty są tak jakby przyklejone. 60 i 40 są przyklejone do 8. A tutaj do 8, no to przyklejona może jest 40. ale na pewno nie jest przyklejona 60. Więc tutaj na pewno te dwa trójkąty nie są przystające z cechy kąt-bok-kąt, czyli KBK. Te trójkąty byłyby przystające, gdyby ta ósemka była nie tutaj, tylko gdybyśmy tą ósemkę mieli tu. Wtedy byłyby to trójkąty przystające, do tej ósemki mielibyśmy przyklejone kąty 40 i 60 stopni i tak samo do tej ósemki byłyby przyklejone kąty 60 i 40. Jednak gdy ósemka jest tu, to te trójkąty nie są przystające.
A czy teraz możemy stwierdzić, że te dwa trójkąty są przystające, czyli identyczne? Mamy tutaj kąt 65 stopni i mamy dwa boki równe 12, a w drugim trójkącie mamy bok 12 i dwa kąty do niego przyklejone 50 i 65. Z tej naszej cechy kąt-bok-kąt wychodzi, że powinniśmy mieć jeden bok i dwa kąty przyklejone do tego boku, czyli coś takiego jak tu. Tutaj mamy bok 12 i do niego przyklejone są kąty 50 i 65. Taki sam układ potrzebowalibyśmy znaleźć w tym drugim trójkącie. Czy taki układ tutaj znajdziemy? No mamy bok 12, ale mamy do niego przyklejony tylko jeden kąt, więc to się wydaje, że to jest trochę za mało, ale są tutaj inne wskazówki, które nam pozwolą to stwierdzić, czy te trójkąty są przystające, czy nie.
Mamy tutaj 12 i tu 12. A to oznacza, że ten trójkąt jest równoramienny. Jedno ramię i drugie ramię. Wtedy ten bok jest podstawą. Kąty przy podstawie w trójkącie równoramiennym są sobie równe. To oznacza, że jeśli tu jest 65 stopni, to tutaj też musi być 65 stopni.
Dzięki temu to my już możemy sobie policzyć, ile stopni będzie tu. Wystarczy, że od 180 stopni odejmiemy te dwa kąty razem. Czyli 65 plus 65. To będzie 180 minus.
130 po dodaniu tego i tego, to się ostatecznie równa 50 stopni. To nam oznacza, że w tym miejscu mamy kąt 50 stopni. I sprawdźmy teraz. Do czerwonego boku 12 mamy przyklejony kąt 65 stopni i 50 stopni.
W tym trójkącie jest dokładnie tak samo. Do czerwonego boku 12 przyklejony jest kąt 65 i 50 stopni. To jest identyczny układ tu i tu.
Zatem... Te dwa trójkąty są przystające z cechy kąt-bog-kąt, czyli KBK. Ja już dziękuję za uwagę i zapraszam na kolejne odcinki na kanale MatSpot.