Coniques

Introduction

• Coniques sont des courbes planes définies par l'intersection d'un cône de révolution avec un plan.
• Trois types principaux de coniques non dégénérées :
  • Ellipse (incluant le cercle comme cas particulier)
  • Parabole
  • Hyperbole

Caractéristiques

• Excentricité détermine la forme de la conique :
  • e < 1 : Ellipse
  • e = 1 : Parabole
  • e > 1 : Hyperbole

Définitions

• Monofocale : Définie par un foyer et une directrice.
• Bifocale : Ellipses et hyperboles ont deux foyers et directrices.

Géométrie

• Coniques peuvent être analysées à travers la géométrie projective.
• Courbes d'un intérêt particulier en astronautique et mécanique céleste (orbites).

Intersections et Angles

• Différents types dépendent de l'angle d'inclinaison du plan avec l'axe du cône.
  • Angle inférieur à l'angle d'ouverture : Hyperbole
  • Angle égal à l'angle d'ouverture : Parabole
  • Angle supérieur à l'angle d'ouverture : Ellipse

Equations et Propriétés

• Coniques peuvent être définies par des équations de degré 2.
• Forme générale :
  • Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0
• Propriétés de symétrie et axes principaux.

Applications et Histoire

• Historiquement étudiées par Ménéchme, Euclide, et Apollonius.
• Utilisées dans des problèmes de réflexion optique.
• Développement par des mathématiciens comme Descartes, Newton, Pascal.

Géométrie Analytique et Projective

• Géométrie projective : Utilisée pour classifier coniques par homographies.
• Transformations affines : Permettent d'étudier les propriétés invariantes sous transformations.

Méthodes de Construction

• Problème de Ménéchme : Intersection de parabole et hyperbole.
• Théorème des cinq points : Permet de déterminer une conique à partir de cinq points.

Conclusion

• Les coniques continuent d'être un sujet d'étude en géométrie classique et moderne.
• Applications s'étendent dans divers domaines scientifiques et techniques.