Introducción a Funciones y sus Dominios y Rango

Definición de Función

• Función: Correspondencia entre números de entrada (valores x) y números de salida (valores y) que asigna a cada número de entrada exactamente un número de salida.
• Analogia: Una función puede pensarse como una regla o una máquina que toma valores x como entrada y da valores y como salida.

Ejemplo No Matemático

• Función madre biológica: Toma como entrada una persona y da como salida a su madre biológica.
• Condición: Cada persona tiene exactamente una madre biológica, lo cual satisface la definición de función.
• Si se cambia a la función madre: Puede tener múltiples salidas (biológica, adoptiva, madrastra, etc.), lo cual ya no cumple con la definición de función.

Notación y Evaluación de Funciones

• Ecuación: Ejemplo y = x^2 + 1 puede reescribirse como f(x) = x^2 + 1, donde f(x) denota el valor de salida y.
• No Multiplicación: f(x) no representa la multiplicación de f por x, sino el valor de la función f evaluado en x.
• Ejemplos: Evaluación de f(2) como 2^2 + 1 = 5, evaluación de f(5) como 5^2 + 1 = 26.

Evaluación de Expresiones Complejas

• Evaluar la función sobre expresiones complejas: Por ejemplo, f(a + 3) = (a + 3)^2 + 1.
• Importancia de los paréntesis: Evaluar la función sobre toda la expresión y no sólo una parte.

Funciones Descritas con Gráficas

• Gráfica de una Función: Puede usarse una estructura gráfica en vez de una ecuación.
• Ejemplo: Evaluar g(x) en x = 2 encuentra el y = 3.
• Si no hay y asociado a un x, como en x = 5, g(5) es indefinido.

Dominio y Rango de una Función

• Dominio: Todos los posibles valores de x para los que la función está definida.
• Rango: Todos los posibles valores de y que la función puede tomar.
• Ejemplo: Para una gráfica, dominio es el intervalo de x proyectado en el eje x y el rango es el intervalo de y proyectado en el eje y.

Consideraciones Algebraicas

• Para encontrar el dominio, excluir valores de x que hagan que el denominador sea cero o valores que hagan que una expresión dentro de una raíz cuadrada sea negativa.
• Regla general: Excluir valores que hagan las expresiones algebraicas imposibles de evaluar.

Ejemplos Prácticos

• Función racional: Excluir valores que hagan el denominador cero.
• Función con raíces: Excluir valores que hagan la expresión dentro de la raíz negativa.

Funciones Incrementales y Decrementales

• Función Incremental: f(x) es incremental si f(x2) > f(x1) para x2 > x1.
• Función Decremental: f(x) es decreciente si f(x2) < f(x1) para x2 > x1.
• Ejemplo: Graficar en la función donde y sube o baja conforme x aumenta.

Máximos y Mínimos

• Máximo Absoluto: f(x) tiene un máximo absoluto en x=c si f(c) >= f(x) para cualquier x en el dominio de f.
• Mínimo Absoluto: f(x) tiene un mínimo absoluto en x=c si f(c) <= f(x) para cualquier x en el dominio de f.
• Máximo y Mínimo Local: Valores más grandes o pequeños en un intervalo abierto alrededor de c.
• Caso especial en puntos terminales donde algunos textos no consideran el punto como máximo o mínimo local.

Simetría en Gráficas

• Simetría respecto al eje x: Para cualquier punto (x, y), el punto (x, -y) también está en la gráfica.
• Simetría respecto al eje y: Para cualquier punto (x, y), el punto (-x, y) también está en la gráfica.
• Simetría respecto al origen: Para cualquier punto (x, y), el punto (-x, -y) también está en la gráfica.
• Funciones Pares: Simétrica respecto al eje y ( ext{cosine}).
• Funciones Impares: Simétrica respecto al origen (sine).

Transformaciones de Funciones

• TRanslaciones Verticales y Horizontales: Números fuera de la función afectan y y resultan en movimientos verticales, mientras que números dentro afectan x, resultando en movimientos horizontales.
• Estiramientos y Encogimientos: Multiplicar números fuera y dentro de la función puede estirar o encoger la gráfica.
• Reflejos: Negativos fuera resultan en reflejos verticales y negativos dentro en reflejos horizontales.

Introducción a las Funciones por Partes

• Funciones por Partes: Definidas con diferentes reglas para diferentes intervalos de x.
• Ejemplo: Encontrar f(x) evaluando en la regla correspondiente al intervalo de x.
• Continudad de la Función: Una función es continua si se puede dibujar sin levantar el lápiz.
• Soluciones usuales: Usualmente al cambiar de regla puede darse una discontinuidad.

Funciones Inversas

• Función Inversa: Invierte lo que la función f hace.
• Notación: f^-1(x).
• Propiedad: f(f^{-1}(x)) = x y f^{-1}(f(x)) = x
• Prueba de Línea Horizontal: Una función tiene una función inversa solo si pasa la prueba de la línea horizontal.

Conversión entre Unidad Angular

• Grados a Radianes y Viceversa: Usar la relación de que 180 grados = π radianes.
• Minutos y Segundos a Grados: 60 minutos en un grado y 3600 segundos en un grado.

Longitud de Arco y Área de Sector

• Para un ángulo θ en radianes, la longitud de arco es rθ y el área del sector es 1/2 * θ * r^2.

Velocidad Angular y Tangencial

• Velocidad Angualr: Medida en radianes/segundo o grados/minuto, etc.
• Velocidad Tangencial: Distancia recorrida en la circunferencia en una unidad de tiempo.
• Conversión: v = ωr, donde v es la velocidad tangencial, ω es la velocidad angular y r es el radio.

Funciones Trigonométricas

• Definición de sin, cos, tan: Para un triángulo rectángulo, sin(θ) = opuesto/hipotenusa, cos(θ) = adyacente/hipotenusa, tan(θ) = opuesto/adyacente.
• Tangente: tan(x) = sin(x)/cos(x)
• Secante, Cosecante, Cotangente: Secante = 1/cos(x), Cosecante = 1/sin(x), Cotangente = 1/tan(x)

Funciones Trigonométricas de Ángulos Especiales

• 30º, 45º, 60º: Valores específicos de seno y coseno basados en triángulos 45-45-90 y 30-60-90.
• Propiedades de Simetría: Cada gráfico tiene simetría específica respecto al eje x, y, y el origen.

Gráficas de sin y cos

• Periodo: Ambos tienen un periodo de 2π.
• Amplitud: Ambos tienen una amplitud de 1.
• Desfase: Relación de desfase entre sin y cos. Un desfase de π/2.

Funciones Sinusoidales Transformadas

• Transformaciones de sin(θ) y cos(θ) incluyen estiramientos, encogimientos, traslaciones y reflejos.
• Formato general: y = a sin(bx - c) + d, donde a cambia la amplitud, b cambia el periodo, c afecta el desplazamiento horizontal, y d afecta el desplazamiento vertical.

Gráficas de tan, sec, csc, cot

• Tangente: Periodo de π.
• Secante y Cosecante: Relacionadas con cos y sin, tienen asíntotas verticales cuando cos o sin es 0 respectivamente.
• Cotangente: Similar a tangente pero decreciente.

Funciones Trigonométricas Inversas

• Definición y dominio/rango de sin^-1(x), cos^-1(x), y tan^-1(x).

Ecuaciones Trigonométricas

• Resolución: Encontrar soluciones en un intervalo especificado e identificar todas las soluciones posibles.
• Ejemplo: 2 cos(x) + 1 = 0 se resuelve identificando los valores angulares en los que cos(x) es -1/2.

Identidades Trigonométricas

• Identidades Pilares: Relaciones entre sin, cos y tan derivadas del círculo unitario y el Teorema de Pitágoras.

Fórmulas de Ángulos Suma y Diferencia

• Fórmulas para sin(a + b) y cos(a + b).

Fórmulas de Ángulo Doble

• Fórmulas para sin(2θ) y las tres versiones de cos(2θ).

Fórmulas de Medio Ángulo

• Fórmulas para cos(θ/2) y sin(θ/2) usando trigonometría básica.

Resolución de Triángulos Oblicuos

• Ley de Coseno y de Seno: Utilizadas para resolver triángulos no rectángulos.

Coordenadas Polares

• Conversión: Relaciones entre coordenadas polares y cartesianas.

Ecuaciones Paramétricas

• Usadas para describir curvas que no pueden describirse como funciones de y en términos de x.
• Conversión a Ecuación Cartesianas: Eliminar el parámetro.

Cuota de Diferencia y Tasa Promedio de Cambio

• Conceptos introductorios a la derivada.
• Cuota de Diferencia: Formula f(x + h) - f(x)/h utilizada para aproximar la tasa de cambio instantánea de una función.