[संगीत] हेलो एवरीवन वेलकम टू माय चैनल फर्स्ट ऑफ ल तो सॉरी क्योंकि वीडियो बनाने में थोड़ा सा लेट हो गया थोड़ा नहीं बहुत ज्यादा लेट हो गया क्योंकि बहुत ज्यादा इवॉल्वमेंट चल रहा था लाइक सीएट का असाइनमेंट वगैरह का मार्क्स अपलोड था फिर सी थ का एग्जाम लेना था उसके बाद और एक जो चल रहा है कि कॉपी चेकिंग चल रहा है ऑफ द लास्ट ऑट सेमेस्टर तो सब मिलाकर बिल्कुल टाइम नहीं मिल पा रहा है फिलहाल वीडियो बनाने में मैं लेकिन बीच-बीच में मैं कोशिश कर रहा हूं जब भी टाइम मिले अ तो प्रोबेबिलिटी एंड स्टेटिस्टिक्स जो है इन दिस सेमेस्टर और सेकंड सेमेस्टर उसमें से स्टेटिस्टिक्स का पार्ट तो मैंने ऑलरेडी स्टार्ट कर दिया उसमें अ मीन मीडियन मोड स्टैंडर्ड डेविएशन वेरियंस स्टैंडर्ड स्टैंडर्ड डेविएशन तक तो हो गया खत्म अ उसके बाद मैं मोमेंट्स कराऊंगा वहां पे पीपीटी रेडी सेड वीडियो बनाने का टाइम नहीं मिल रहा है लेकिन अभी मैं कोशिश कर रहा हूं कि बना लूं और एक के बाद एक अपलोड करता रहूं और उसके साथ-साथ एक भी एक और भी काम चल रहा है फॉर दिस अ चैनल ओनली जो मैं एक सरप्राइज है जो मैं अनाउंस करूंगा बहुत जल्द एक लाइव में आके और देखते हैं कब क्या कुछ होता है तो एनीवेज तो यह प्रोबेबिलिटी हम लोग यहां से स्टार्ट कर रहे हैं दिस इज गोइंग टू द वेरी फर्स्ट लेक्चर ऑफ प्रोबेबिलिटी एंड वी आर स्टार्टिंग विद द स्टार्टिंग फ्रॉम द फर्स्ट मॉड्यूल बेसिक प्रोबेबिलिटी लेकिन प्रोबेबिलिटी स्टार्ट करने से पहले एक दो चीज जो जानना हमें जरूरी है फ्रॉम द प्रोबेबिलिटी पार्ट दैट इज प्रोबेबिलिटी है क्या एंड एंड कुछ इंपोर्टेंट डेफिनेशंस है जो मैं यहां पर लेके आया हूं एंड एक के बाद हम लोग ये डिस्कस करते चलेंगे विथ एग्जांपल्स ओबवियसली ताकि हमें कांसेप्ट पहले समझ में आए फिर उसके बाद हम लोग क्वेश्चन सॉल्व भी करेंगे अच्छा तो देखो प्रोबेबिलिटी इज अ वेरी प्रैक्टिकल टॉपिक एंड टू बी ऑनेस्ट अभी जो रियल लाइफ में जो प्रोजेक्ट्स वगैरह काम वगैरह हो रहा है मेनली सभी में प्रोबेबिलिटी एंड स्टेटिस्टिक्स बहुत ज्यादा इवॉल्वड है क्योंकि जहां कहीं भी चांस का अ लाइक चांस ये वर्ड या फिर चांस रिलेटेड कुछ आ जाता है वहीं पे प्रोबेबिलिटी भी आ जाता है एंड प्रोबेबिलिटी में क्या होता है अ जो प्रोबेबिलिटी का जो बेसिक जो स्टेटमेंट है या फिर जो बैकबोन है दैट इज कोई भी एक काम को हम लोग रैंडम करते हैं लेकिन उसका रिजल्ट एक डिटरमिनिस्टिक रिजल्ट होता है एंड इसी को ही प्रोबेबिलिटी कहा जाता है अब इसको और डिटेल में समझने के लिए एक बहुत ही इंपॉर्टेंट टॉपिक है प्रोबेबिलिटी का जहां से हम लोगों कांसेप्ट स्टार्ट होना चाहिए दैट इज स्टेटिस्टिक्स पे स्टेटिस्टिक्स है वर्ड क्या बताया स्टैटिस्ट कल रेगुलेरिटी इसको मैं अलग से मैं इसको एक समझाऊं छोटा सा एक वीडियो बना के क्योंकि इसी से प्रोबेबिलिटी का एक डेफिनेशन भी जनरेट होता है दैट इज फ्रीक्वेंसी डेफिनेशन ऑफ प्रोबेबिलिटी इसके बारे में हम लोग बात करेंगे इन द अपकमिंग वीडियोस तो पॉइंट ये है कि दो पॉइंट यहां से मैं बताना चाहूंगा एक तो प्रोबेबिलिटी एंड स्टेटिस्टिक्स हमेशा एक दूसरे के साथ कनेक्टेड है जो कि मैं स्टेटिस्टिक्स के वीडियो में भी बताते आ रहा हूं दूसरा प्रोबेबिलिटी का जो बेसिक कांसेप्ट यह है कि किसी भी एक काम को रैंडम किया जाता है लेकिन उसका रिजल्ट जो आता है डिटरमिनिस्टिक रिजल्ट आता है पर्टिकुलर रिजल्ट आता है जो हम लोग सोचते हैं कि इनमें से ही कुछ रिजल्ट आएगा वही रिजल्ट आता है इसी को ही प्रोबेबिलिटी बोला जाता है दैट्ची पॉसिबिलिटी ये सब आता है वहीं पे प्रोबेबिलिटी आ जाता है फॉर एग्जांपल अभी आईपीएल का सीजन स्टार्ट हो चुका है आईपीएल का डेटा रिलेटेड भी बहुत सारा हम लोग वीडियो बनाएंगे मैंने सोचा है एंड पंजाब के बीच में ठीक है तो अगर मैं तुमसे ये क्वेश्चन करूं तुम लोगों से कि व्हाट इज द लाइक पंजाब के जितने का चांसेस कितना है या फिर दिल्ली के जितने का चांसेस कितना है तो देखा इसमें भी एक आईपीएल का जो मैच है आईपीएल जो भी है उसमें भी प्रोबेबिलिटी भरभर के इवॉल्वड है स्टेटिस्टिक्स भी इवॉल्वड है जो हम लोग आगे देखेंगे स्टेटिस्टिक्स के लिए हमें डटा चाहिए होता है जब भी हमारे पास डाटा आ गया उसमें हम लोग स्टेटिस्टिक्स का कांसेप्ट डाल सकते हैं तो अभी अगर मैं पूछूं कि पंजाब के जितने का पॉसिबिलिटी कितना है चांस कितना है तुम लोग बोलोगे सर 50 पर चांस है पंजाब के जितने का 50 पर चांस है दिल्ली को जितने का तो इसका मतलब पंजाब के जितने का प्रोबेबिलिटी इज 1/2 एंड दिल्ली का भी जितने का प्रोबेबिलिटी इज 1/2 वो टाई वाला सिचुएशन हम लोग निकाल रहे हैं फिलहाल व आर कीपिंग द थिंग्स वेरी सिंपल तो उसमें से ये तो देखा प्रोबेबिलिटी इज एवरी वेयर ठीक है अच्छा तो ये तो हो गया बेसिक कांसेप्ट कुछ मैंने बताया प्रोबेबिलिटी के बारे में और प्रोबेबिलिटी का बहुत सारा टॉपिक्स अ मतलब कांसेप्ट जनरेट हुआ है कैसीनो से भी कैसीनो में कैसीनो में जो मतलब जो गैंबलिंग वगैरह होता है हालांकि इंडिया में बैंड है लेकिन बाहर के बहुत सारे कंट्रीज में कैसीनो या फिर गैंबलिंग लीगल है तो कैसीनो या फिर गैंबलिंग में जो लोग गैंबलर होते हैं ना उनका प्रोबेबिलिटी का कांसेप्ट एकदम भयंकर होता है जिसका कांसेप्ट जितना क्लियर होगा प्रोबेबिलिटी का वो उतने अच्छे से गैलिंग कर पाता है यह बिल्कुल मैं लॉजिकली बता रहा हूं और नॉट ओनली दैट प्रोबेबिलिटी का बहुत सारा कंसेप्ट कैसिनो में जो भी गेम्स है गैंबलिंग वगैरह है व वहां से जनरेट भी हुआ है जो हम लोग आगे वीडियोस में बात करेंगे ठीक है अच्छा तो प्रोबेबिलिटी हम लोग स्टार्ट करते हैं प्रोबेबिलिटी में शुरू में हमें कुछ बेसिक टर्मिनोलॉजी हमें पढ़ना है कुछ इंपोर्टेंट डेफिनेशन हमें पढ़ना है एंड वी आर स्टार्टिंग विथ द फर्स्ट डेफिनेशन ट इज रैंडम एक्सपेरिमेंट ट इ रैंडम एक्सपेरिमेंट ठीक है दिस वन क्या बोल रहा है एन एक्सपेरिमेंट एन एक्सपेरिमेंट और ऑब्जर्वेशन च मे बी रिपीटेड अ लार्ज नंबर ऑफ टाइम्स अंडर री थ्री नियर आइडेंट कल कंडीशंस द पॉसिबल आउटकम ऑफ एनी पर्टिकुलर ऑब्जर्वेशन इज अनप्रेसिडेंटेड आ गया क्योंकि नाउ अ डेज दे आर आस्किंग द डेफिनेशंस थ्योरी बेस क्वेश्चंस आ रहा है तो डेफिनेशंस तो हमें जानना ही है विथ एग्जांपल्स एग्जांपल तो मैं बताऊंगा तो बेसिकली रैंडम एक्सपेरिमेंट का कांसेप्ट यही है कि कोई भी एक एक्सपेरिमेंट देखो दो वर्ड है यहां पर रैंडम एक्सपेरिमेंट एक्सपेरिमेंट तो हमें पता है कि वी आर लाइक डूइंग समथिंग कुछ कर रहे हैं कुछ काम हम कर रहे हैं बट द पॉइंट इज रैंडम एक्सपेरिमेंट का मतलब क्या है कि एक काम हम लोग बिल्कुल रैंडम कर रहे हैं उसका क्या-क्या पॉसिबल आउटकम्स हो सकता है हमें वह पता है लेकिन एगजैक्टली कौन सा आउटकम आएगा यह हमें नहीं पता है दैट टाइप ऑफ एक्सपेरिमेंट इज कॉल्ड रैंडम एक्सपेरिमेंट रैंडम एक्सपेरिमेंट को हम लोग जितने ज्यादा टाइम्स रिपीट करते हैं उतना ज्यादा सॉरी डिटरमिनिस्टिक या फिर एग्जैक्ट रिजल्ट हमें मिलता है जो हमें चाहिए होता है फॉर एग्जांपल अभी आईपीएल का सीजन है हर हर मैच में रवि शस्त्री आएगा और कॉइन टॉस करेगा तो कॉइन टॉस एंड थ्रोइंग अ डाई दीज आर टू फेमस एग्जांपल्स ऑफ प्रोबेबिलिटी जो हमें बार-बार मिलेगा क्वेश्चंस में भी मिलेगा न्यूमेरिकल प्रॉब्लम्स में भी मिलेगा सो द एक्सपेरिमेंट ऑफ टॉसिन इज अ रैंडम एक्सपेरिमेंट व्हाई बिकॉज जब हम लोग देखो अगर कॉइन टॉस करें तो हमें पता है कि हमें पता है कि दो ही रिजल्ट आ सकता है आइर हेड और टेल बिल्कुल सही है लेकिन कौन सा एगजैक्टली आएगा ए और टी दैट इज हेड और टेल वो हमें नहीं पता अगर वो पता होता तो सभी कैप्टन टॉस जीतता कोई टॉस हारता नहीं तो दिस इज एन एग्जांपल ऑफ रैंडम एक्सपेरिमेंट कि क्या आउटकम आएगा वो हमें एग्जैक्ट आउटकम पता नहीं है लेकिन क्या-क्या आउटकम आ सकता है पॉसिबल आउटकम्स क्याक है दैट वी नो तो दिस इज एन एग्जांपल ऑफ अ रैंडम एक्सपेरिमेंट सिमिलरली जब हम डाई थ्रो करते हैं है ना लूडो में जो डाई होता है उसको हम जब थ्रो करते हैं तो हमें पता है कि 1 2 3 4 5 6 में से ही कोई आएगा लेकिन एगजैक्टली कौन सा नंबर आएगा वो हमें पता नहीं है तो थ्रोइंग अ डाई इज आल्सो एन एग्जांपल ऑफ रैंडम एक्सपेरिमेंट ठीक है चलो आगे बढ़ते हैं सैंपल पॉइंट्स और इवन पॉइंट्स अभी जो मैंने बताया देखो क्या लिखा है अ द आउटकम्स मैं थोड़ा सा इंक चेंज कर लेता हूं इसको ब्राइट वाला कुछ लेते हैं अ क्या बोले द आउटकम्स ऑफ रैंडम एक्सपेरिमेंट आर कॉल्ड सैंपल पॉइंट्स और इवेंट पॉइंट्स अभी जो मैं ने यहां पे ये जो लिखा है मतलब एक रैंडम एक्सपेरिमेंट का जितने भी पॉसिबल आउटकम्स हो सकता है ठीक है उन पॉइंट्स को मतलब उन वैल्यूज को या फिर उन एलिमेंट्स को हम लोग क्या बोलते हैं इवेंट पॉइंट्स और सैंपल पॉइंट्स फॉर एग्जांपल सैंपल पॉइंट्स इन द एक्सपेरिमेंट टॉसिन अ कॉइन आर हेड एंड टेल इन सिंबल दैट इज डिनोटेड बाय h एंडटी जो अभी-अभी मैंने यहां पे लिखा है सो हेड टेल दीज आर द सैंपल पॉइंट्स फॉर दिस पर्टिकुलर रैंडम एक्सपेरिमेंट ऑफ़ व्हाट रैंडम एक्सपेरिमेंट ऑफ टॉसिन अ कॉइन अच्छा सैंपल स्पेस बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट डेफिनेशन है सैंपल स्पेस द सेट ऑफ ऑल सैंपल पॉइंट्स दैट इज द सेट ऑफ ऑल पॉसिबल आउटकम्स ऑफ़ अ रैंडम एक्सपेरिमेंट इज कॉल्ड सैंपल स्पेस एंड इट इज डिनोटेड बाय s ये बिल्कुल एक स्टैंडर्ड नोटेशन है हम लोग कैपिटल s से ही सैंपल स्पेस को डिनोट करते हैं और सैंपल स्पेस क्या होता है बेसिकली एक सेट होता है सेट कैसे लिखा जाता है ये हमें सभी को पता है इन सेकंड ब्रैकेट वी राइट अ सेट और उनमें जो एलिमेंट्स होता है उनको हम लोग कॉमा कॉमा देके लिखते हैं तो एक अगर मैं एक सिंगल कॉइन को टॉस कर रहा हूं तो उसका पॉसिबल आउटकम्स क्या हो सकता है आइ दर हेड और टेल हेड को हम लोग ए से डिनोट करते हैं एंड टेल को हम लोग t से डिनोट करते हैं सो दिस इज द सैंपल स्पेस ये सैंपल स्पेस है किसका सैंपल स्पेस ऑफ द रैंडम एक्सपेरिमेंट ऑफ थ्रोइंग अ कॉइन अब मान लो रवि शास्त्री थोड़ा सा ज्यादा तो उसने दो कॉइन एक साथ टॉस कर दिया थ्रोइंग और टॉसिन टू कॉइंस टुगेदर एक साथ दो कॉइन मैं टॉस कर रहा हूं तो एक साथ जब मैं दो कॉइन टॉस कर रहा हूं तो क्या-क्या आउटकम आ सकता है समझना एक में हेड दूसरे कॉइन में टेल फर्स्ट कॉइन में टेल सेकंड कॉइन में हेड ऐसा हो सकता है या फिर दोनों में हेड हो सकता है या फिर दोनों में टेल हो सकता है तो टोटल चार आउटकम्स हमें मिल सकता है जैसे कि फर्स्ट में हेड सेकंड में भी हेड फर्स्ट में हेड सेकंड में टेल फर्स्ट में टेल सेकंड में हेड दोनों में टेल सो दिस इज द सैंपल स्पेस ऑफ व्हिच इवेंट ऑफ द ऑफ व्हिच रैंडम एक्सपेरिमेंट द रैंडम एक्सपेरिमेंट ऑफ थ्रोइंग टू कॉइंस टुगेदर एक साथ दो कॉइन अगर मैं थ्रो करूं इफ वी थ्रो टू कॉइंस एक ही साथ वंस देन अ दिस इज़ द पॉसिबल आउटकम्स एंड दिस सेट इज़ द सैंपल स्पेस ऑफ़ दिस पर्टिकुलर डम एक्सपेल अगर मैं एक डाई को थ्रो करूं रोलिंग अ डाई मतलब वही अ लूडो वाला तो उसका जो सैंपल स्पेस होगा s उसमें कौन-कौन सा पॉइंट रहेगा 1 2 3 4 5 6 दैट इट सिंपल बिल्कुल बेसिक सा डेफिनेशंस है लेकिन हमें पता होना चाहिए इवेंट अब यह बहुत ही ज्यादा एक इंपॉर्टेंट है एनी सबसेट ऑफ़ द सैंपल स्पेस ए ऑफ़ अ रैंडम एक्सपेरिमेंट इज़ कॉल्ड एन इवेंट ठीक है अच्छा यहां पे एक चीज और बताना था दैट इज ट्रायल ट्रायल क्या होता है मैंने क्या बताया रैंडम एक्सपेरिमेंट को हम लोग जितना ज्यादा रिपीट करें जितना लार्ज नंबर ऑफ टाइम्स हमें रिपीट करें उतना एक्यूरेट रिजल्ट हमें निकल के आता है और इसी को समझाने के लिए मैं एक क्वेश्चंस एक मैं क्वेश्चन कराऊंगा एक मैं क्वेश्चन समझाऊ अलग से स्टैटिस्ट कल रेगुलेरिटी में ताकि ये कांसेप्ट और भी अच्छे से फिट हो इसमें ट्रायल क्या होता है रैंडम एक्सपेरिमेंट का हर मतलब मान लो एक सिंगल कॉइन को मैं थ्रो कर रहा हूं तो फर्स्ट फर्स्ट टाइम जब मैंने थ्रो किया हेड आया सेकंड टाइम टेल आया फिर उसके बाद टेल आया फिर टेल आया फिर हेड आया तो ये इंडिविजुअली हर एक स्टेप मतलब हर एक रिजल्ट को एक-एक टॉस में जो भी रिजल्ट्स आ रहा है इनको ट्रायल्स कहा जाता है दीज आर इंडिविजुअली हर एक को एक वन वन मतलब वन ट्रायल दिस इ फर्स्ट ट्रायल सेकंड ट्रायल थर्ड ट्रायल तो हर एक को एक-एक ट्रायल बोला जाता है सो ट्रायल भी थोड़ा सा पता होना चाहिए दिस इज मतलब दिस इज द एग्जांपल ऑफ ट्रायल्स ठीक है सेकंड अच्छा अब मैं इवेंट पे आ जाता हूं इवेंट क्या होता है कि अ सैंपल स्पेस है सैंपल स्पेस में रैंडम एक्सपेरिमेंट का जितने भी पॉसिबल आउटकम हो सकता है सभी है अब उनमें से अगर कुछ मैं पर्टिकुलर एग्जांपल्स पिक करूं कुछ पर्टिकुलर एलिमेंट्स मैं पिक करूं तो जो मुझे सेट मिलके सेट बनके आएगा दैट इज इवेंट स्पेस और दैट पर्टिकुलर केस इज कॉल्ड इवेंट एग्जांपल बताता हूं देखो क्या बोल रहा है इन एन एक्सपेरिमेंट ऑफ थ्रोइंग टू कॉइंस वी आर कंसीडरिंग दिस मतलब मान लो मैंने दो कॉइन टॉस किया है अब मैं ये बोल रहा हूं कि वी आर कंसीडरिंग समझना यहां पे वी आर कंसीडरिंग एन इवेंट ए अ व्हिच डिनोट्स की दो कॉइन में से एटलीस्ट वन हेड आई शुड गेट एटलीस्ट वन हेड एटलीस्ट वन हेड या फिर अ ऐसा बोलो कि अ मतलब नहीं सपोज अच्छा यह भी हो सकता है अगर मैं बोलूं एटलीस्ट वन हेड तो इसका जो इवेंट स्पेस बनेगा मतलब इसमें कौन-कौन सा पॉइंट रहेगा एटलीस्ट वन हेड देखो तो इसका मतलब यह तो रहेगा इसमें तो दो हेड है मुझे एटलीस्ट एक हेड से ही चलेगा तो ए एच रहेगा फिर h रहेगा एटलीस्ट वन हेड फिर प रहेगा एटलीस्ट वन हेड यह वाला नहीं रहेगा क्योंकि इसमें दोनों ही टेल है एक भी हेड नहीं है तो ये पॉइंट नहीं रहेगा तो इवेंट मैं क्या बता रहा हूं रैंडम एक्सपेरिमेंट का कोई पर्टिकुलर केस रैंडम एक्सपेरिमेंट क्या था जिसमें मैं दो कॉइन को टॉस कर रहा हूं चारों हो सकता है चार मैंने लिख दिया s के अंदर कैपिटल s के अंदर उसमें से कोई भी पर्टिकुलर एग्जांपल या फिर पर्टिकुलर केस मैं ले रहा हूं उसमें बता रहा हूं कि दो कॉइन मैं टॉस कर रहा हूं ट एंड द इवेंट ए डिनोट्स की एटलीस्ट वन हेड आई विल गेट अ सो उसका जो करेस्पॉन्डिंग्ली वन हेड इज देयर बिल्कुल इजी कांसेप्ट है आई होप क्लियर है ओके अब इवेंट्स का डिफरेंट कैटेगरी होता है मतलब देयर आर डिफरेंट टाइप्स ऑफ इवेंट्स जैसे कि स्टार्टिंग विथ द फर्स्ट वन दैट इज सर्टेन इवेंट दिख रहा होगा यहां पे सर्टेन इवेंट मैं थोड़ा सा हट जाता हूं है ना बीच में आ रहा होगा मुझे बाद में पता चला चलो सर्टेन इवेंट सर्टेन इवेंट क्या है सिंस एवरी सेट इज अ सबसेट ऑफ इट सेल्फ सो द सैंपल स्पेस इज अ सबसेट ऑफ इट सेल्फ एज वेल सो दिस इवेंट इज कॉल्ड सर्टेन इवेंट देखो सर्टेन इवेंट का डेफिनेशन यहां पर लिखा है अगर डेफिनेशन आएगा तो हमें यही लिखना है पीछे का कांसेप्ट जो हमें ध्यान रखना है सर्टेन इवेंट का वो क्या बोल रहा है सर्टेन इवेंट इ सच अ इवेंट दैट विल डेफिनेटली ऑकर दैट विल डेफिनेटली ऑकर सर्टेन इवेंट इ एन इवेंट दैट विल डेफिनेटली ओकर एग्जांपल कि सपोज अह ऐसा बोल रहा हूं कि मान लो अह फॉर एग्जांपल अ आई एम थ्रोइंग अ डाई अ रोलिंग अ डाई है ना एंड मैं बोल रहा हूं आई विल गेट अ नंबर बिटवीन 1 टू 6 ना दिस इज़ अ दिस इवेंट मतलब सपोज इवेंट ए डिनोट्स इवेंट ए स्टेट्स क्या स्टेट कर र है कि अ इवेंट ए स्टेट्स आई विल गेट अ नंबर बिटवीन 1 टू 6 बिलकुल परफेक्टली यह इवेंट तो होगा ही होगा डेफिनेटली होगा क्योंकि एक डाई को अगर मैं थ्रो करूं तो वन से सिक्स में से कोई एक नंबर जरूर आएगा ऑन द फ्रंट फेस ऑफ़ द डाई गिरने के के बाद तो इसका मतलब दिस इज अ सर्टेन इवेंट जो इवेंट होगा ही होगा डेफिनेटली होगा बिल्कुल इसका अपोजिट होता है नेक्स्ट वाला दैट इज इंपॉसिबल इवेंट इंपॉसिबल इवेंट एन इवेंट दैट कंटेंस नो सैंपल पॉइंट्स इन इट फॉर एग्जांपल बता रहा हूं अ मैं देखो यहां पे लिखा है एक डाई थ्रो कर रहा हूं एंड आई आई एम एक्सपेक्टिंग कि सेवन आएगा उसमें फेस मतलब डाई का जो फेस है अपर फेस में सेवन आएगा क्या ये पॉसिबल है कभी पॉसिबल नहीं है क्योंकि हमें पता है एक डाई में 1 टू 6 तक ही नंबर होता है है ना या फिर एक कॉइन को मैं टॉस कर रहा हूं एंड आई एम एक्सपेक्टिंग कि कॉइन अ कॉइन में टॉस करने के बाद उसमें सिक्स आएगा सिक्स कैसे आ सकता है भाई हेड या टेल आता है सिक्स कैसे आएगा सो इसका मतलब दीज आर द एग्जांपल्स ऑफ इंपॉसिबल इवेंट्स इंपॉसिबल इवेंट को हम लोग फाई से डिनोट करते हैं क्यों क्योंकि फाई इज द सिंबल ऑफ नल सेट और एमटी सेट सो इंपॉसिबल इवेंट्स आर डिनोटेड बाय फा ध्यान रखना इट इज डिनोटेड बाय फाइ मैं बीच में आ रहा हूं मेरे पीछे लिखा हुआ है है ना अगर मैं हटूंगा इधर इधर हां वो देखो फा दिख रहा है इट इज डिनोटेड बाय फा ठीक है ओके नेक्स्ट चलते [संगीत] हैं हां नेक्स्ट क्या है कंप्लीमेंट इवेंट ठीक है इसका देख सकते हो थोड़ा सा उतना ज्यादा इंपॉर्टेंट नहीं है पर फिर भी मैं बता देता हूं सपोज कोई एक इवेंट है a देयर इज एन इवेंट कंटेनिंग ऑल द सैंपल पॉइंट्स इन द सैंपल स्पेस व्हिच आर नॉट इन ए मतलब बिल्कुल सेट का जो कंप्लीमेंट का जो कंसेप्ट है वही कंसेप्ट यहां पे फॉलो होगा एग्जांपल लेके बताता हूं वही मान लो अच्छा कैसे डिनोट किया जाता है ए कंप्लीमेंट इज डिनोटेड बाय आइर a के पावर में c या फिर a बार या फिर a ड ऑल दीज आर द सिंबल्स ऑफ a कंप्लीमेंट ये तुम लोगों ने सेट थ्योरी में पढ़ा होगा क्लास 11 12 में बहुत बार पढ़ा है को सो नथिंग न्यू राइट ओके एंड एग्जांपल मान लो ये मतलब ये मेन जो सेट है सिंपल स्पेस है इसमें सभी पॉइंट्स आर देयर अ फॉर कौन सा ये एक्सपेरिमेंट है थ्रोइंग टू डाइस थ्रोइंग टू कॉइंस टुगेदर एक साथ एक साथ दो कॉइन मैं टॉस कर रहा हूं और a एक एक इवेंट स्पेस है जहां पे बता रहा हूं a एक ऐसा इवेंट है जिसमें एक हेड और एक टेल मुझे मिलना चाहिए है ना दोनों ही सेम आउटकम नहीं आना चाहिए सपोज a इज अ इवेंट व्हिच डिनोट्स दोनों ही सेम आउटकम नहीं आना चाहिए मतलब दोनों ही हेड या फिर दोनों ही टेल ये नहीं होना चाहिए तो उसका जो इवन स्पेस होगा ओबवियसली ऐसा होगा टी और एटी मतलब एक में टेल एक में हेड या फिर एक में हेड एक में टेल ऐसा तो इसका जो कंप्लीमेंट सेट होगा दैट इज दिस वन a डस्ट उसमें क्या रहेगा सिंपली क्या करना है a ड क्या हो जाएगा या फिर a कंप्लीमेंट क्या हो जाएगा इस सेट में से a सेट का पॉइंट्स को निकाल देना है मतलब ये मेरा एस सेट है यूनिवर्सल सेट है या फिर सैंपल स्पेस है इसमें से मैं टी और h2 को हटा दूंगा तो जो बाकी का पोर्शन रहेगा वही मेरा हो जाएगा क्या सर ए कॉम्प्लीयंट एज दैट तो बिल्कुल मैं फॉलो कर रहा हूं कंप्लीमेंट का जो कांसेप्ट है सेट थ्योरी में बिल्कुल वही कांसेप्ट फॉलो होगा आई होप इट इज क्लियर क्लियर हो रहा है कांसेप्ट समझ में आ रहा है अच्छा लग रहा है तो एक लाइक जरूर करना लाइक करने से मुझे मोटिवेशन मिलता है सो डू लाइक एंड अगर अभी तक सब्सक्राइब नहीं किया है देखते देखते हैं बहुत लोग सब्सक्राइब नहीं करते बुरा लगता है सब्सक्राइब कर लो बेल आइकॉन प्रेस कर लो शेयर करो अमंग योर फ्रेंड्स जितना ज्यादा हो सके ओके अच्छा नेक्स्ट यह बहुत इंपॉर्टेंट है साइमल नियस रेंस ऑफ़ टू इवेंट्स यहां से क्वेश्चंस बहुत जनरेट होता है बिल्कुल एगजैक्टली क्वेश्चंस में यही टर्म रहता है एटलीस्ट वन ऑफ़ दिस होने का पॉसिबिलिटी है प्रोबेबिलिटी कितना है या फिर दोनों एक साथ होने का प्रोबेबिलिटी कितना है बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट है क्वेश्चंस में बहुत ज्यादा पूछा जाता है यह दोनों साइमल पेनियस रेंस ऑफ़ टू इवेंट्स एंड एटलीस्ट वन ऑफ़ टू इवेंट्स बहुत ज्यादा तो पढ़ लो एक बार डेफिनेशन देख लो लेट a1 एंड a2 दो टू इवेंट्स है टू इवेंट्स हो रहा है a1 एंड a2 ठीक है तो देन द सेट a1 इंटरसेक्शन a2 a1 इंटरसेक्शन a2 मतलब दोनों में जो कॉमन है वही है और कुछ नहीं कॉमन इंटरसेक्शन क्या होता है दोनों सेट दो सेट का इंटरसेक्शन होता है कि दो सेट में जो कॉमन एलिमेंट्स है वही होता है उसका मेंबर किसका इंटरसेक्शन सेट का रिप्रेजेंट्स द साल्ट नियस रेंस ऑफ टू इवेंट्स a1 एंड a2 एंड दिस इज़ डिनोटेड बाय देखो प्रोबेबिलिटी में जनरली इंटरसेक्शन हम लोग नहीं लिखते हैं इन इन प्लेस ऑफ़ दिस और इंस्टेड ऑफ़ दिस वी राइट a1 a2 a1 * a2 इसको दिस इज़ नथिंग बट इंटरसेक्शन इट सेल्फ ठीक है तो यही नोटेशन होगा जो हम ज्यादातर हमें मिलेगा इन प्रोबेबिलिटी a1 * a2 मतलब a1 इंटरसेक्शन a2 ही होता है ये बिल्कुल दिमाग में फिट कर लो और कुछ नहीं दैट्ची है अच्छा एग्जांपल एक डाई मैंने थ्रो कर दिया है ना समझते हैं इसको एक डाई मैंने थ्रो कर दिया इस सैंपल स्पेस में मेरे पास होगा 1 2 3 4 5 6 ठीक है दो इवेंट मैं कंसीडर कर रहा हूं a1 इवेंट में है इवन फेस तो बताओ इनमें से इवन नंबर कौन-कौन सा है सर टू है सर फोर है और सर सिक्स है ये हो गया मेरा a1 a2 क्या है सर मल्टीपल ऑफ थ्री a2 में क्या आ जाएगा मल्टीपल ऑफ़ थ्री मतलब थ्री का मल्टीपल कौन-कौन है थ्री है और सिक्स है और कोई नहीं है इन द ए सेट सो थ्री आएगा एंड सिक्स आएगा अब तुम लोग बताओ कि अगर मैं बोलूं कि ये दोनों इवेंट एक साथ हो रहा है साइमल नियस अरेंस ऑफ दिस टू इवेंट्स में आंसर क्या होगा दोनों सेट में जो कॉमन एलिमेंट है तो a1 इंटरसेक्शन a2 इज सिक्स सो दिस इज द इवेंट हुज रेंस शोज द साइमल नियस रेंस ऑफ़ a1 एंड a2 मतलब अगर मैं बोलूं कि कि दो इवेंट है a1 एंड a2 और दोनों एक साथ होना चाहिए दैट इज जो जो मतलब नंबर आएगा वो इवन भी होना चाहिए एंड मल्टीपल ऑफ थ्री भी होना चाहिए दोनों एक साथ होना चाहिए साइमल पेनियस अरेंस ऑफ टू इवेंट्स साइमल पेनियस अरेंस मतलब दोनों इवेंट एक साथ होना तो दोनों ही एक साथ सेटिस्फाई होगा इफ एंड ओनली इफ सिक्स आ रहा है मतलब सैंपल स्पेस मतलब उस पर्टिकुलर इवेंट का जो इवेंट स्पेस है उसमें सिर्फ एक ही नंबर हमें दिखेगा दैट इज सिक्स आई होप कांसेप्ट बिल्कुल क्लियर है साइमल नियस रेंस ऑफ टू इवेंट्स आई होप ये क्लियर है तो चलते हैं नेक्स्ट में दैट इज एटलीस्ट वन ऑफ टू इसका थोड़ा सा अपोजिट सेंस में यह बनता है एटलीस्ट वन ऑफ़ टू मतलब दोनों में से कोई एक उसमें क्या था दोनों का एक साथ ऑ करेंस था दोनों को एक साथ होना प मतलब दोनों ही कंडीशन सेटिस्फाई होना पड़ेगा इसमें क्या है दोनों में से कोई भी एक कंडीशन सेटिस्फाई होगा तो चलेगा समझ लेते हैं तो फिर से a1 एंड a2 दो इवेंट्स हैं एंड जो इनका एटलीस्ट वन ऑफ टू का जो सिंबल बनेगा बेसिकली यूनियन होता है और कुछ नहीं मतलब साइमल नियस रेंस मतलब एक साथ रेंस में इंटरसेक्शन होता है एंड एटलीस्ट वन ऑफ टू में यूनियन होता है ये पहले तो ध्यान रखो दिस रिप्रेजेंट्स एटलीस्ट वन ऑफ a1 एंड a2 एंड दिस इज डिनोटेड बाय a1 + a2 देखो ये तो सेट में हो गया सेट थ्योरी में हम लोग यूनियन यूज़ करते हैं एंड प्रोबेबिलिटी में प्लस यूज़ होता है a1 + a2 मतलब ही होता है a1 यूनियन a2 ये थोड़ा सा ध्यान रखना क्योंकि प्रोबेबिलिटी में हमें जनरली यूनियन नहीं दिखेगा प्लस दिखेगा प्लस का मतलब प्रोबेबिलिटी में यूनियन ही होता है ये ध्यान रखना है एग्जांपल लेके चलते हैं तो फॉर एन एग्जांपल इन एन एक्सपेरिमेंट ऑफ रोलिंग अ डाई सेम ए एक्सपेरिमेंट हम लोग कंसीडर कर रहे हैं एक डाई को थ्रो कर रहे हैं है ना डाई तो सभी को पता है है ना कुछ इस तरीके का होता है अभी मैं ड्रॉ कर रहा हूं इतना ज्यादा सब कुछ एग्जांपल्स दे देने के बाद यहां पे वन सपोज यहां पे अ फोर है ना यहां पे मान लो की अ टू इस तरीके से रहता है जो वो ठीक है इसको मैंने थ्रो कर दिया a1 क्या बोल रहा है a1 इज इवन फेस वही सेम 2 46 रहेगा उसमें अभी लास्ट एग्जांपल किया था एंड a2 इज मल्टीपल ऑफ़ थ तो a2 में दो एलिमेंट्स रहेगा थ्री एंड 6 अभी मैंने बताया तो a1 इंटरसेक्शन a2 क्या बनेगा मतलब सॉरी ये यूनियन होगा माय बैड a a1 यूनिन a2 क्या बनेगा तो मुझे क्या करना है यूनियन कैसे निकालते हैं तो a1 सेट का दैट इज 2 46 और 3 एंड 36 मतलब इन दोनों सेट को मिला के कंबाइन करके लिखना है और कोई भी एलिमेंट अगर रिपीट हो रहा है तो उसको सिर्फ और सिर्फ एक बार लिखना है तो इसमें देखो टू एक बार है दोनों सेट में एक ही बार ऑकर कर रहा है a1 एंड a2 में तो टू को एक बार लिख देना है मैंने लिख लिया फोर भी एक बार ऑकर कर रहा है दोनों सेड में फोर को लिख दिया सिक्स जो है वो दो बार हो रहा है लेकिन हमें लिखना एक ही बार है तो एक बार मैंने लिखा और इस सेट में ये थ्री था उसको भी हमें लिख देना है तो थ्री मैंने लिख दिया अब ये कौन सा इवेंट है दिस इवेंट डिनोट्स कि रेंस अ शोज दैट द रेंस ऑफ एटलीस्ट वन ऑफ टू एटलीस्ट वन ऑफ इवन फेस और मल्टीपल ऑफ़ थ्री मतलब यहां पे अगर ऐसा पूछा जाएगा कि मान लो ऐसा बोला है कि अ वी आर थ्रोइंग अ डाई एंड अ व्हाट इज द प्रोबेबिलिटी ऑफ गेटिंग और या फिर व्हाट इज द सैंपल स्पेस इवेंट स्पेस व्हाट इज़ द इन स्पेस कि जो फेस आएगा मतलब जो आउटकम आएगा आइर दैट विल बी अ अ इवन फेस और अ मल्टीपल ऑफ़ थ्र तो उसका जो आंसर बनेगा दैट इज दिस वन 2 4 6 3 आइर और एटलीस्ट वन ऑफ है ना दोनों में से कोई एक दोनों ही सेटिस्फाई होने का जरूरत है नहीं जो कि लास्ट वाला था ये क्या है एटलीस्ट वन ऑफ दीज टू इवेंट्स तो उसका आंसर बनेगा ये यूनियन लेना है ध्यान रखना यूनियन लेना है अगर एटलीस्ट बोल रहा है तो एटलीस्ट वन ऑफ टू बोल रहा है तो यूनियन लेना है और दोनों ही बोथ कंडीशन सेटिस्फाई हो रहा है रेंस ऑफ साइमल नियस इवेंट अगर हो रहा है तो इंटरसेक्शन लेना है आई होप दिस इज क्लियर एवरीवन ठीक है अच्छा नेक्स्ट वाला और भी ज्यादा इंपॉर्टेंट है दैट इज डिसजॉइंट और म्यूचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट्स ठीक है डेफिनेशन हमें पता है कि मान लो टू इवेंट्स है a1 एंड a2 एंड दे हैव नो कॉमन एलिमेंट्स बिटवीन देम दोनों में कोई कॉमन एलिमेंट नहीं है मतलब उन लोगों का इंटरसेक्शन फाई है a1 इंटरसेक्शन a2 इज फ देन दे कॉल्ड म्यूचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट्स ठीक है एग्जांपल ये हो सकता है कि मान लो एक फिर से डाई थ्रो कर रहा हूं 1 2 3 4 5 6 a1 इवेंट कंसीडर कर रहा हूं जिसमें ओनली ऑड नंबर्स आर देयर a2 इवेंट कंसीडर कर रहा हूं जिसमें सिर्फ इवन नंबर्स आर देयर ठीक है तो उसके बाद क्या होगा अगर मैं दोनों का इंटरसेक्शन करूं क्या बताया मैंने फिर से बता देता हूं एक सेकंड हां सपोज एक डाई थ्रो किया मैंने सैंपल स्पेस तो बता है a1 a1 इज द इवेंट दैट इज दैट कंटेंस ओनली ऑड फेसेस तो ऑट फेसेस मतलब 1 3 5 एंड a2 अ इवन फेसेस 2 46 अब बताओ दोनों में क्या कुछ कॉमन पॉइंट है नहीं है इंटरसेक्शन अगर करूंगा a1 इंटरसेक्शन a2 तो तो सर ये फ होगा नो कॉमन पॉइंट तो इसका मतलब a1 एंड a2 ये दोनों जो इवेंट है दिस टू इवेंट्स आर म्यूचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट्स और डि जॉइंट इवेंट्स ध्यान रखना बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट टर्म है म्यूचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट्स या फिर डिसजॉइंट इवेंट्स इंटरसेक्शन इज फाइव ठीक है चलो नेक्स्ट चलते हैं पेयर वाइज डिसजॉइंट इवेंट्स ये भी इंपॉर्टेंट है ये भी इंपॉर्टेंट है अ पेयर वाइज डिसजॉइंट क्या होता है मान लो लास्ट एग्जांपल में मैंने सिर्फ दो इवेंट्स बताया था टू इवेंट्स ओनली a1 एंड a2 मान लो और भी ज्यादा इवेंट्स हो रहा है 7 8 9 10 इवेंट्स हो रहा है मान लो टोटल 10 इवेंट्स हो रहा है a1 a2 a3 अप टू a10 ठीक है क्या बताया मैंने टोटल कुछ भी कोई भी एक रैंडम एक्सपेरिमेंट है एंड उसका करेस्पॉन्डिंग्ली एक्सक्लूसिव हो तो कहने का मतलब सॉरी मान लो इनमें से a1 के साथ a2 इंटरसेक्शन फ है a1 के साथ a3 का इंटरसेक्शन फ है a1 के साथ अप टू बिल्कुल तक इंटरसेक्शन a10 तक अगर फा हुआ तो मतलब सभी के साथ सभी का पेयर वाइज इंटरसेक्शन अगर फा हुआ तो a2 के साथ a3 a2 के साथ a4 a2 के साथ a5 करके a2 के साथ a10 a3 के साथ a4 a3 के साथ a5 करके a1 तक मतलब सभी के साथ पेयर वाइज सभी के साथ सभी का अगर इंटरसेक्शन फा हुआ तो हम लोग क्या बोलते हैं कि दिस इवेंट्स आर पेयर वाइज डिसजॉइंट इवेंट्स ये 10 जो टोटल 10 इवेंट्स है दिस इवेंट्स आर पेयर वाइज डिसजॉइंट इवेंट्स ठीक है ओकेने नेक्स्ट है एग्जॉस्ट इव इवेंट्स ये भी इंपॉर्टेंट है डेफिनेशन सभी डेफिनेशंस इंपॉर्टेंट है तुम लोग ये बचपन से पढ़ते आ रहे हो क्लास 11 12 से प्रोबेबिलिटी था सिलेबस में तभी से पढ़ते आ रहे हो फिर से एक बार रिकप कर दे रहा हूं और कुछ नहीं एग्जॉस्ट इव इवेंट्स क्या है टू और मोर इवेंट्स आर सेड टू बी एग्जॉस्ट इफ एटलीस्ट वन ऑफ देम नेसेसरीली ओकर्स और इन द अदर वर्ड्स द इवेंट्स a1 a2 आर एग्जॉस्ट इव इफ दिस देखो एग्जॉस्ट इवेंट्स समझने का दो तरीका है इन टू वेज यू कैन अंडरस्टैंड मान लो ए पॉजिटिव इवेंट्स के लिए पहले तो आई मतलब एटलीस्ट टू इवेंट्स चाहिए एक इवेंट से नहीं होगा टू इवेंट्स चाहिए या फिर टू से ज्यादा एटलीस्ट टू या फिर मोर टू और मोर इवेंट्स अब इनको एग्जॉस्ट इवेंट्स टुगेदर इनको एग्जॉस्ट इव इवेंट्स क्या कब बोला जाएगा अगर उन सभी का सभी इवेंट्स का यूनियन लेने से मुझे पूरा सैंपल स्पेस मिल जा रहा है एस एस सेट मिल जा रहा है आदर दिस और अ ऐसे भी देख सकते हैं या फिर ऐसे भी समझ सकते हैं कि जो भी इवेंट्स है मतलब a1 से ए a n तक मतलब जो भी इवेंट्स है उनमें से एटलीस्ट एक कोई भी मतलब 10 मान लो टोटल 10 इवेंट्स है तो उनमें से एटलीस्ट वन इवेंट अगर डेफिनेटली ऑकर करे दैट इज अ सर्टेन इवेंट हुआ तो ठीक है दूसरा वाला मतलब ये वाला कंडीशन समझने में इजी रहता है तो मैं इसी इसी से एग्जांपल थोड़ा सा बता देता हूं मान लो अ यह वाला भी चलेगा या फिर दूसरा मैं यहां पे एक देता हूं देखो यहां पे कौन सा एग्जांपल है वही लाइक जो दो कॉइन एक साथ टॉस करने वाला तो उसमें जो वही हेड हेड टेल टेल हेड टेल टेल तो देखो यहां पे टोटल थ्री इवेंट्स इन लोगों ने कंसीडर किया है फर्स्ट इवेंट क्या है कि द इवेंट a1 डिनोट्स कि बोथ द कॉइन विल हैव हेड तो उसका इवेंट स्पेस क्या आएगा h h a2 इवेंट डिनोट्स की बोथ द कॉइन शुड डिस्प्ले टेल दोनों ही कॉइन में टेल आना चाहिए तो उसका इवेंट हो गया टीटी तीसरा a3 क्या ले रहे हैं हम लोग कि एक में हेड एक में टेल दिखना चाहिए a3 इज अ इवेंट व्हिच डिनोट्स की एक में हेड एक में टेल दिखना चाहिए तो उसका जो इवेंट स्पेस होगा दैट विल बी दिस हेड टेल टेल हेड तो अब देखो अगर मैं इन तीनों को यूनियन कर दूं दैट इज अगर मैं a1 य a2 य a3 कर दूं ठीक है तो मेरा आंसर क्या आएगा मुझे ना ये पूरा ए मिल जाएगा है ना आई विल गेट द ए द टोटल सैंपल स्पेस तीनों को जोड़ने से सो दिस थ्री इवेंट्स a1 a2 a3 आर एग्जॉस्ट इव इवेंट्स एग्जांपल ऑफ एग्जॉस्ट इव इवेंट्स अगर तीनों तीन चार पांच जितने भी इवेंट्स सो उनको यूनियन करने से अगर पूरा सैंपल स्पेस मुझे मिल रहा है ए सेट मुझे मिल रहा है दैट मींस दोज इवेंट्स आर एग्जॉस्ट इव इवेंट्स दैट्ची है अच्छा अ सिंपल इवेंट और कंपोजिट इवेंट तुम लोग थोड़ा सा देख लेना यहां पे डेफिनेशन लिखा हुआ है उतना ज्यादा इंपॉर्टेंट नहीं है इसलिए फिलहाल मैं स्किप कर रहा हूं थोड़ा सा अ इक्वली लाइक सैंपल पॉइंट्स इसका भी क्वेश्चंस हम लोग करेंगे फिलहाल थोड़ा सा डेफिनेशन देख लेते हैं द सैंपल्स पॉइंट द सैंपल पॉइंट्स ऑफ़ अ सैंपल स्पेस आर सेड टू बी इक्वली लाइक इफ वन ऑफ देम मे नॉट बी एक्सपेक्टेड दर देन अदर इसका इसको मैं फिलहाल थोड़ा सा होल्ड कर रहा हूं क्योंकि यह हम लोग समझेंगे क्वेश्चन सॉल्व करके इसलिए मैं थोड़ा सा इसको फिलहाल के लिए थोड़ा सा होल्ड कर रहा हूं फिलहाल डेफिनेशन याद रखो कांसेप्ट और एग्जांपल हम लोग समझेंगे जब हम लोग क्वेश्चन सॉल्व कर रहे होंगे ठीक है ओके अ ठीक है तो बेसिकली जो फर्स्ट पार्ट था दैट इज इंपोर्टेंट टर्मिनोलॉजी फिलहाल के लिए इतना काफी है यह सभी जो इंपॉर्टेंट डेफिनेशन है मैं मैंने बता दिया नेक्स्ट वीडियो से नेक्स्ट लेक्चर से अ हम लोग स्टार्ट करेंगे जो भी अ कुछ इंपॉर्टेंट थ्योरम्स हैं वो करेंगे प्रोबेबिलिटी का डेफिनेशंस करेंगे उसके साथ-साथ न्यूमेरिकल क्वेश्चंस भी हम लोग सॉल्व करेंगे तो अगर यह लेक्चर मैं फिलहाल इसको य यहीं तक रख रहा हूं अ दिस इज़ द फर्स्ट लेक्चर ऑफ बेसिक प्रोबेबिलिटी एंड टर्मिनोलॉजी अ लेकिन इस सीरीज को कंटिन्यू करना टू अंडरस्टैंड द कांसेप्ट ऑफ प्रोबेबिलिटी सभी टॉपिक्स को अच्छे से समझने के लिए पूरा लेक्चर पूरा सीरीज ये कंप्लीट करना बहुत जरूरी है ऑफ बेसिक प्रोबेबिलिटी तो इसमें मैंने सभी इंपॉर्टेंट डेफिनेशंस मैंने बता दिया नेक्स्ट वीडियो से मैं स्टार्ट करूंगा इंपॉर्टेंट थ्योरम्स उनका प्रूव्स जो भी इंपॉर्टेंट लगेगा उसके साथ-साथ डेफिनेशंस ऑफ प्रोबेबिलिटी डिफरेंट डेफिनेशंस ऑफ प्रोबेबिलिटी एज वेल एज न्यूमेरिकल क्वेश्चंस भी हम लोग सॉल्व करेंगे ठीक है तो इस वीडियो के लिए इतना ही एवरीवन अगर अच्छा लगे तो लाइक जरूर करना शेयर करना अमंग योर फ्रेंड्स एंड सब्सक्राइब कर लेना अगर अभी तक नहीं किया है तो थैंक यू मिलते हैं नेक्स्ट वीडियो में