Deze video gaat over de methoden die je kent voor het oplossen van een kwadratische vergelijking. En we maken even een overzichtje. De eerste methode die je kent, dat is als je een kwadratische vergelijking hebt in de vorm x² is een getalletje of x plus p tussen haken in het kwadraat is een getalletje, is een constante.
Dat komt eigenlijk beide op hetzelfde neer. Bijvoorbeeld deze, x² is 16. Ja, wat is die x dan? Die x dan? 4 of de x is min 4. Een iets uitgebreidere variant daarvan is dat je ziet dat je wel x kwadraten hebt en een getaltje maar geen losse x's. Nou en als je nou die 48 naar het rechter lid brengt dan krijg je dus 3x kwadraat is min 48. Dan heb je hem in de vorm x kwadraat is getal.
Dan gaan we links en rechts nog even delen door die 3. x kwadraat is dan min 16. Maar goed. Een getal in het kwadraat kan nooit negatief zijn, dus deze vergelijking die heeft geen oplossingen. Nou, en dit is van die tweede vorm, x plus p tussen haken in het kwadraat is c.
En veel leerlingen zijn nu geneigd om eerst aan de linkerkant de haken weg te werken, maar in sommige gevallen moet je dat niet doen, want hier heb je de vorm iets in het kwadraat is 50. Nou, en... Je zou het ook zo kunnen zien. Als ik nou over die x plus 4 even een roze vlek teken en ik zet er de letter a in, dan zie je a kwadraat is 50. En dat betekent dus dat die a zelf de wortel van 50 is of die a is minder wortel van 50. Maar goed, er stond niet een a, nee, die heb ik even in de plaats gezet van x plus 4. Dus die x plus 4 die zet ik nu weer terug.
x plus 4. is dus de wortel van 50, of x plus 4 is min de wortel van 50. Nou, dan brengen we die plus 4 naar het rechterlid, x is dan min 4 plus de wortel van 50, of, en dan doen we dat in die andere ook, de 4 naar het rechterlid, x is min 4, min de wortel van 50. Hier staan de exacte antwoorden, het zijn de antwoorden precies, het zou kunnen zijn dat er bij staat een rondje. Antwoorden af op twee decimalen, dan moet je nog even een stapje verder. x is dan ongeveer 3,07 of x is ongeveer min 11,07. De tweede methode is ontbinden in factoren. En dat wat het verschil maakt is dat er nu in ieder geval nog een x bij komt.
Dus je ziet een x² en een x. En als je een x² en een x hebt dan kun je een x... Buiten haken halen en binnen de haken hou je erover 2x plus 7. Kijk, nu heb je een vermenigvuldiging waar 0 uit moet komen. En dan moet 1 van de factoren in ieder geval 0 zijn zodat dat klopt.
Dus of de x is 0 of 2x plus 7 is 0. Nou ja, x is 0 is dus een oplossing. En 2x plus 7, als dat 0 moet zijn, dan brengen we de plus 7 even naar het rechterlid. 2x is dan min 7. Dus... Dus x is 0 of, en dan gaan we links en rechts delen door die 2, x is min 3,5 en dit zijn dus de twee oplossingen.
Je kunt ook een drieterm hebben, dus een x² en een x en een min 2, waarbij de antwoorden vrij netjes zijn en het je lukt om het linkerlid te ontbinden in factoren. Dat je dus twee getallen zoekt die met elkaar vermenigvuldigd min 2 zijn en bij elkaar opgeteld plus 1 en dat zijn de getallen min 1. En plus 2. De oplossingen zijn dus x is 1 of x is min 2. Wat je ook kan hebben is een x kwadraat en een x en dan gewoon een los getalletje. Maar als je alles even naar het linker lid brengt, dus die 45 die brengen we naar het linker lid, zo. Dan krijgen we 15x kwadraat plus 30x min 45 is 0. Dit kun je met de ABC-formule doen, maar alle getallen die je ziet staan...
Die zijn deelbaar door die 15. Dus dan krijg je x² plus 2x min 3 is 0. En dit kun je vrij makkelijk ontbinden in factoren. Dan krijg je x min 1 keer x plus 3. En daarmee heb je minder kans op fouten. Want bij de ABC-formule heb je toch wel een grotere kans op het maken van domme foutjes. Nou, de oplossingen zijn dus x is 1 of x is min 3. En dan hebben we natuurlijk nog de ABC-formule als we een vergelijking krijgen waarbij het ons niet lukt om te ontbinden in factoren. We zullen direct wel zien waarom het hier niet lukt.
Kijk, nou moeten we de ABC-formule wel gebruiken. A is 1, de B is 5 en de C is min 4. En de discriminant is dan de B in het kwadraat, min 4 keer de A keer de C. En hier komt 41 uit. En wij moeten dan straks voor de antwoorden...
De wortel voor 41 trekken. En dat is een heel vervelend getalletje. En omdat het zo'n vervelend getal is, lukte het ons ook niet om die vergelijking te ontbinden in factoren.
Want dan had ik die twee hele vervelende getallen moeten kunnen vinden. En dat lukt me zo niet. Dus met de ABC-verhuurlijk kom ik er wel achter.
De ene oplossing is min B. Min de wortel van de discriminant, gedeelde 2A. De andere oplossing is min B.
Plus de wortel van het discriminant gedeelde 2a. En hier staan eigenlijk de exacte antwoorden. En afgerond op twee decimalen is het x is ongeveer min 5,70.
Of x is ongeveer 0,70. Wat je ook kan krijgen is bijvoorbeeld een vergelijking zoals deze. Een half x kwadraat plus 2 en een half x min 2. En je kunt hier de ABC-formule op loslaten.
Het enige vervelende is dat je dan met... breuken gaat werken en dan wordt het er niet leuker op. Maar we kunnen ook alles even met een getalvermenigvuldigen zodat we die breuken kwijtraken.
En we zien daar die half staan en ook verderop nog een 2,5. Dus als ik alles nou eens even keer 2 doe, dan krijg ik x² plus 5x min 4 is 0. Maar ja, nou zie ik het al. Dat is dezelfde vergelijking als die ik daar aan de linkerkant heb staan.
Dus dat gaat dan op exact dezelfde manier. Dan daarna verder door. Dus zorg er even voor.
dat je geen breuken in je vergelijking hebt, zodat je daarna misschien wel makkelijk kan ontbinden in factoren, of de ABC-formule gaat gebruiken zonder breuken. Let nog even op. Ik heb hier twee vergelijkingen staan die heel veel op elkaar lijken.
Het linkerlid is gelijk aan elkaar, maar het rechterlid is verschillend. Het rechterlid is in het ene geval 0 en in het andere geval 10. En nu zou je bij die eerste, die linker, zou je... We kunnen beginnen met haken weg te werken.
Maar, maar, maar, maar, maar, maar, maar. Dat hoeft helemaal niet. Kijk, er staat een vermenigvuldiging waar 0 uit moet komen.
En dan is of de ene is 0, 2x-3 is 0. Of de andere is 0, 5x-8 is 0. En dan ben je veel sneller klaar. Dit ga ik verder niet uitwerken, dat weet je wel. Dan ben je veel sneller klaar dan wanneer je eerst de haken gaat wegwerken en dan de ABC-formule gaat toepassen of zoiets. Maar die tweede, daar aan de rechterkant, ja dat is een stuk vervelender. Het zijn twee dingen die je met elkaar vermenigvuldigt waar 10 uit moet komen.
Ja en dan weet je daar nog helemaal niks van. En dan kun je niks anders dan dat je gewoon aan de linkerkant eerst de haken wegwerkt. En dan alles naar het linkerlid brengt en dan maar eens gaat kijken van oké, kan ik ontbinden in factoren of heb ik de ABC-formule nodig.
Dan nog drie opmerkingen. We hebben hier een kwadratische vergelijking. 2 x kwadraat min 3 x plus 1 is 0. En deze is wel te ontbinden. Ik ga alles delen door 2 en dan krijg je x kwadraat min 1,5 x plus 1,5 is 0. Deze valt te ontbinden in factoren, want hij heeft twee vrij nette oplossingen. Die zijn namelijk x is 1,5 of x is 1. En als ik die oplossingen weet, dan kan ik ook even terugredeneren.
Als dat de laatste regel is, x is een half of x is 1, dan is de regel ervoor is, dan natuurlijk, x min een half is 0 of x min 1 is 0. En dan kan ik die twee linkerleden zo tussen haken zetten. x min een half tussen haken keer x min 1 tussen haken. Zo, want kijk maar, min een half keer min 1 is plus een half. En min een half en min 1 bij elkaar opgetrokken.
is die min anderhalf, dus het klopt allemaal wel precies. Maar goed, had jij deze ontbinding kunnen bedenken? En misschien niet, en misschien wel, maar doe je er dan heel lang over en ga dan alsjeblieft de ABC-formule gebruiken.
Nou is het zo dat alle kwadratische vergelijkingen met de ABC-formule op te lossen zijn. Maar dat is niet altijd slim. Kijk eens even, deze 3x²-12 is 0. Deze kun je met de ABC-formule doen. Maar we gaan hem eerst even oplossen op de manier 1. Dus kwadraat is getal. We brengen de min 12 even naar het rechterlid.
3x kwadraat is 12. x kwadraat is dan 4. En als x kwadraat 4 is, dan is de x min 2 of de x is 2. Bam! Daar staan de oplossingen van de vergelijking. Ik kan het ook met de ABC-formule aanpakken. De a is 3, de b is 0. Hé, wacht even, er staan geen x'en.
Je zou kunnen zeggen 3x² plus 0x min 12 is 0, dus de b is 0. En de c is min 12. We moeten heel goed kijken, wat is de a, wat is de b en wat is de c. De discriminant, dat is de b in het kwadraat, min 4 keer de a keer de c en daar komt 144 uit. Daar ben ik op zich wel blij mee, want de wortel van 144 komt mooi uit.
De ene oplossing is dus min b, min 0, ja dat is dus gewoon 0, daarom heb ik dat minnetje even tussen haken gezet, min de wortel van de discriminant gedeeld door 2 keer de a. En dat is dus min 12 gedeeld door 6 en dat is min 2. Of x is min 0, min b, plus de wortel van de discriminant gedeeld door 2 keer de a. Dat is 12 gedeeld door 6. En dat is 2. En zie je dat je hier veel meer berekeningen moet doen.
En dat de kans ook veel groter is op fouten. En dat het dus niet zo slim is om het dan met de ABC-formule te doen. Kijk, nu proberen we met een kanon een mug dood te schieten.
En de grote kans is dat de kogel die mug gewoon domweg mist. In ons geval dat we het kanon gebruiken om een mug dood te schieten. Maar door kleine foutjes. Ja, de goede antwoorden niet vinden.
En let ook even op de volgorde. Min 3x plus 1 plus 2x kwadraat is 0 is exact dezelfde vergelijking als die helemaal bovenaan staat. Alleen dan in een niet al te handige volgorde. En als je hem zo laat staan, dan moet je je dus wel goed realiseren dat de a dus het getal voor de x kwadraat is.
Dat is 2. En dat de b het getal voor de x is en dat is min 3. En dat de c dus, dat losse getalletje is, 1 is. Dat je dat wel even goed ziet. En daarom is het misschien handig om eerst alles maar in de juiste volgorde te zetten.
Eerst maar de x² en dan de x'en en dan het losse getalletje is 0.