Appunti sulla somma e sottrazione di frazioni algebriche

Introduzione

• Operazioni con frazioni algebriche: addizione e sottrazione.
• Partiremo da esempi pratici.

Esempio 1: Semplificazione di frazioni

• Operazione: ( \frac{1}{1 + 2x} + \frac{x}{x^2 + 2x + 1} )
• Stesso denominatore:
  • Numeratori: ( 1 + x )
  • Denominatore: ( x^2 + 2x + 1 )
• Scomposizione:
  • Numeratore: ( x + 1 )
  • Denominatore: ( (x + 1)^2 )
• Condizioni di esistenza:
  • ( x + 1 \neq 0 ) → ( x \neq -1 )
• Risultato finale: ( \frac{1}{x + 1} ) con ( x \neq -1 )

Esempio 2: Addizione e sottrazione di più frazioni

• Operazione: ( \frac{1}{a^2 - 1} - \frac{1}{a^2 - a} - \frac{1}{a^2 + a} )
• Scomposizione denominatori:
  • ( a^2 - 1 = (a + 1)(a - 1) )
  • ( a^2 - a = a(a - 1) )
  • Denominatore irriducibile: ( a^2 + a )
• Minimo comune multiplo (mcm): ( (a + 1)(a - 1)a )
• Condizioni di esistenza:
  • ( a \neq 0, a + 1 \neq 0, a - 1 \neq 0 ) → ( a \neq 0, a \neq -1, a \neq 1 )
• Numeratore finale: ( -a ) → Risultato: ( -\frac{1}{(a + 1)(a - 1)} )

Esempio 3: Scomposizione e somma di tre frazioni

• Operazione: ( \frac{1}{x^2 - 2x + 1} - \frac{2}{x^2 - 1} - \frac{1}{x + 1} )
• Scomposizione:
  • ( x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 )
  • ( x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) )
• mcm: ( (x - 1)^2 (x + 1) )
• Condizioni di esistenza:
  • ( x - 1 \neq 0 ) → ( x \neq 1 )
  • ( x + 1 \neq 0 ) → ( x \neq -1 )
• Numeratore finale: ( -x^2 + x + 2 ) → Scomposizione finale: ( -\frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 1)^2} )

Conclusioni

• Importanza di scomporre i denominatori e semplificare.
• Condizioni di esistenza fondamentali per evitare divisioni per zero.
• Esercitazione consigliata per il miglioramento delle competenze.
• Invito a interagire (mi piace, commento, iscrizione).