हेलो हेलो स्टूडेंट्स इस प्राची वेलकम टू अवर चैनल आज हम करने वाले हैं क्लास एलवन प्रॉब्यॉलिटी की सेकंड एक्सरसाइज की इंटरडॉक्शन प्लस इसके एक्सांपल्स अगर आपने इसके फर्स्ट एक्सरसाइज इसकी इंटरडॉक्शन एक्सिमाटिक एप्रोच इन प्रॉब्लिबिलिटी तो एक्सिमाटिक वर्ड जो है वह कहां से आया है एक्सिम से आया है तो यह एक्सिम क्या होते हैं एक्सिम वह होते हैं हम कह सकते हैं ऐसी एजम्शन जो यूनिवर्सल ट्रूथ होती है जिनको हमें प्रूफ देनी की कोई जरूरत नहीं होती है जैसे कि फॉर एग्जांपल अगर यह एक पैन है और एक यह कैप है ठीक है मैं कहती हूं कि मैं इसको अलग कर देती हूं तो मैं कहती हूँ कि ये जो cap है वो इस pen से छोटी है और इसी का ही part है तो ये एक universal truth है कि ये cap इस से छोटी है और ये इसी का ही part है part है तबी उससे क्या है छोटी है obviously तो इसके लिए हमें कोई proof देनी की कोई जुरत नहीं है ऐसी जीजों को ऐसी assumptions को हम exams कहते हैं clear है ये बात तो इसके basis के उपर हमारे पास probability के कुछ rules होते हैं जो हम पहले भी पढ़ चुके हैं उनी को ही हम एक बार फिर से revise करने वाले हैं जैसे कि कोई भी सांपल स्पेस होता है, सांपल स्पेस का मतलब क्या है, कि हमने पूरे एक event को explain जो किया, that is a sample, तो ठीक है, कि कोई भी एक sample है, जिसके अंदर क्या है, कोई भी क्या है, points है, तो omega 1 है, omega 2 है, omega 3 है, up to omega n है, मतलब कि easy language में बोलें, कि कोई भी हमने experiment किया है, और कि कोई भी हमने experiment किया है ओके तो अब हम क्या करते हैं इसको एक एक example के साथ लेते रहते हैं ताकि आपको और अच्छे से समझ आ जाए तो मालो कि हमने एक die को throw किया है तो क्या हुआ sample space क्या बनेगा कुछ भी आ सकता है 1,2,3,4,5,6 तो यह sample space यहाँ पे हम example साथ के साथ चलाते रहेंगे अब यह कुछ rules कहती हैं कि इन में से यह जितने भी individual होते हैं इन individuals को हम sample point कहते हैं these are called sample points यह हम sample points कहते हैं clear है यह बात ठीक है अब आती है बात इनकी rules की जो हम पहले भी पढ़ चुके हैं that is कि जो probability होती है किसी भी event की वो हमेशा greater than equal to 0 होती है ठीक है और यह कोई भी sample point की i, i मतलब कि 1 to up to n but less than equal होती है one के कि कोई भी probability किसी भी event की कभी भी zero से less negative नहीं हो सकती one से greater नहीं हो सकती है obviously नहीं हो सकती है क्यों क्योंकि अगर हम कोई भी हम बोलते हैं इसे कि मालो कि इसमें अगर मैं कह देती हूँ कि probability of an even number बताओ तो probability of an even number क्या होगा even number है 246 तो कितने outcomes है favorable favor में कितने even के 2463 है और total फेवरेबल डिवाइड में टोटल होते हैं, टोटल कितने है 6 है, तो इस वान बाई 2, that means कि यह जीरो नहीं हो सकता, यानि कि जीरो हमने इसमें क्या बोलूगी, जीरो हो सकता है कि हाँ, a number greater than 6, तो कोई भी नहीं है, जीरो बाई 6, तो जीरो हो सकती है, बट कभी भी negative नहीं हो आउटकम्स उठाते ही टोटल में से हैं ना एक्सपेरिमेंट किया उसी में से तो हम इवेंट्स उठाते हैं ना सॉइट इस द फर्स्ट रूल ओके अब सेकंड रूल यह तो हम छोटे होते ही पढ़ते आ रहे हैं ना ऐसे ही सेकंड रूल क्या जाता है कि जितने भी हम इवेंट्स के ग्राम प्रॉब्लमिटी होती है अगर हम उन सब का सम कर देते हैं तो उनका समा आता है वह वन की इक्वल आता है जैसे कि अब हमने एक का निकाल लिए इवेंट्स तो इवेंट्स का एक और क्या बनता है और दूसरा इवेंट क्या बनता है और तो probability of an odd odd क्या है? 1, 5, 1, 3, 5 again 3 by 6 तो वो क्या कह रहे हैं? सभी event का ये जो 2 event हमने possible event उठाए हैं इनका जो sum होगा वो 1 की equal होगा तो yes 1 by 2 plus 1 by 2 equals to 1 ठीक है?
ये भी हम चोटे बद्दे से पढ़ते आ रहे हैं next आपको क्या बोलता है? कि अगर हम मालो कोई भी एक event उठाते हैं कि एक कोई भी हमने इसके अंदर से एक इवेंट उठाया ठीक है जिसके अंदर से 123 यहां तक है सिर्फ ओमेगा वान है ओमेगा टू है ओमेगा थी है सिर्फ यह तीन सैंपल सारे हैं तो हम कह सकते हैं कि प्रॉबाइबिलिटी ऑफ ए जो होगी ऑमेगा थी के इक्वल होगी कोई भी हमने इसमें से उठाया है जैसे कि हमारे इसी का ही एग्जांपल लेते हैं इसमें से मैं कोई एक event उठा लेती हूँ अब again जैसे हम इन में से उठा रहे हैं तो हम उठा लेते हैं event का उठा लेते हैं तो event में क्या आएगा event के अंदर आएगा 2, 4, 6 यह आएगा तो probability of A जो आई है वो 1 by 2 है क्या हम इसको check करें कि बाकियों की equal आ रही है probability of A equals to probability of 2 plus probability of 4 plus probability of 6 तो 2 कितनी बार है? वन टाइम है, तो यह होज़ेगा 1 by 6, 4 कितनी टाइम है? 4 वन टाइम है, 1 by 6, 6 भी 1 by 6, तो टोटल कितना हो गया?
3 by 6, कैंसल होकर कितना हो गया? 1 by 2, तो देखा हमने कि even की probability भी total 1 by 2 आ रही थी, यहाँ पर भी इन सब का sum भी कितना आ रहा है? 1 by 2 आ रहा है तो example 4 क्या कह रहा है, let a sample space omega 1, omega 2 up to omega 6, which of the following assignments of the probability to each outcome are valid, तो अब इन वेश से आपको बतानी है कि कौन सी valid outcomes है, तो outcomes आपको दे रखी है 6 तक, तो पहला जो है वो क्या दे रखा है कि इसकी probability 1 by 6 है, इसकी भी, इसकी भी, और इसकी भी, क्या ये assignment जो है, वो possible है, क्या तो किस basis पे हम बोलते हैं, valid है या नहीं है, क्या, अभी-अभी हमने rules पढ़े हैं, कौन सा rule पढ़ा है, सबसे पहले हमने rule पढ़ा है, कि probability greater than equal to 0 but less than equals to 1 होनी चाहिए, है न, और क्या है, उन सब का जो sum होता है, all probabilities का जो sum होता है, चाई event 1 है, चाई probability of event 2 है, and जितने भी event, जैस और थर्ड रूल हमने अभी-अभी क्या पढ़ा है यह इसके अंदर तो चलो वैलिड नहीं हो रहा कि कोई भी एक उठा लो इवेंट उठा लो तो इसमें से तो हम कोई भी एक इवेंट नहीं हमें तो पूरा का पूरा ही दे रखा है तो इन ही के बेसिस पर पहले तो इन दोन but less than 1 है right तो हम यहाँ लिख सकते है it is greater than 0 but it is less than 1 ठीक है also second के लिए second probability के लिए क्या हो जाएगा इन सब का sum क्या 1 की equal आ रहे है तो देख लो 1 by 6 plus 1 by 6 6 by 6 आ गया cancel के कितना आ गया 1 so yes it is valid इट इस वैलिड ठीक है सेकंड के लिए देखता अब सेकंड में क्या है यह स्पॉब्लिटी मैक्सिमम टो मैक्सिमम वन है और मिनिमम टो मिनिमम जीरो है और इन सब का सम जो है वह क्या आएगा बन भी आएगा तो यह इट इस ऑलसो वैलिड ठीक है नेक्स्ट सी में अगर हम देखें तो इनकी असाइनमेंट में नूटिस करो कि हां नेगेटिव आ रहा है नेगेटिव इस लेस्ट देन जीरो तो अगर नेगेटिव आ रहा है इट इस ऑलरेडी लेस्ट देन जीरो दाट मीज हम सेकंड व तो चाहेंगे ही नहीं, first rule ही हमारा out हो गया, है न, कि ये negative नहीं हो सकते, तो this is not a valid assignment, ठीक है, next देखो, yes it is, कोई भी negative नहीं है, चलो, ठीक है, less than 0, ठीक है, sorry, greater than 0, less than 1, but ये देखो, it is greater than 1, 3 by 2 is 1.5, which is greater than 1, है न, तो this is again a not valid, because यहाँ पे probability जादा बड़ी आ रही है वाल से, जो, करें नहीं होता ठीक है तो इस ऑल्ड वैलेट असाइनमेंट लास्ट वाले को देखो सभी के सभी जिरू से बड़े हैं लेस्ट एन वन है करेक्ट अब सेकंड के लिए क्या है अब सेकंड क्या कहती है उसके लिए कि हम चेक करना है कि इन सब का जो सम है कि क्या वह वन की इक्वल आ रहा है तो चेक कर लेते हैं कि इन सब का सम वन की इक्वल आ रहा है तो देख लेते हैं तो इनके लिए हम चेक करें सो दिस जी रो पॉइंट वन प्लस जी रो पॉइंट टू अ प्लस 0.3 प्लस 0.4 0.5 प्लस 0.6 इन सबका सम 2.1 आ रहा है तो विच इस गरेटर देन वन इस नॉट पॉसिबल कि इन सबका सम मैक्सिमल मैक्सिमल वन आ सकता है इस ऑल्सो नॉट अ वैलेड असाइनमेंट क्लियर है यह बात तो यह था तो एक्सांपल फोर्ट तो बिल्कुल स्टार्टिंग के बेसिस के ऊपर बेस्ट था अब हम बात करते हैं प्रॉब्लमिटी ऑफ एंड इवेंट की तो किसी भी probability of event के लिए सबसे पहले आपके पास experiment होता है experiment को आप sample space कहते हैं ठीक है उस sample space से आप क्या निकालते हैं event निकालते हैं फिर event से उस event की क्या निकालते हो probability निकालते हो right तो example फिर से हम ले लेते हैं मालो sample space है कि आपने क्या किया है आपके पास one coin है जिसको आपने toss किया है ठीक है तो जब आपने वन कोईन को सॉरी टू कॉइंस है टू कॉइंस को आपने टॉस किया तो सांपल स्पेस क्या बनेगा हेच हेच एच टी टी एच टी ठीक है इवेंट हम माल ले रहे हैं डबलेट आए डबलेट का मतलब क्या होता है दो ठीक है तो ह ह या फिर टी टी आए तो प्रोबिलिटी आफ इवेंट कौन सा इवेंट डबलेट आए वो कितनी है टू और टोटल में कितने है फोर यानि कि दिस इस कॉल्ड फेवरेबल आउटकम्स ठीक है एंड डिवाइड में टोटल पॉसिबल आउटकम ठीक है यह तो हम छोटे होते से करते आ रहे हैं तो यह सिर्फ एक रिकॉल करने का मैथड था कि यह अब अगेन दिस प्रॉबाइबिलिटी इस ग्रेटर देने जीरो बट लेस्ट थे वाइट पॉसिबल आफ इक्विली लाइकली इवेंट्स प्रॉब्लमिटी आफ इक्विल लाइकली इवेंट्स का मतलब क्या होता है कि सैंपल स्पेस के अंदर जितने भी इवेंट्स जितने भी उसके पॉइंट्स है उन सबके आने की प्रॉब्लिटी सेम होगी जैसे एक एग्जांपल एक हमने डाइक को थ्रो करा तो उसका सैंपल स्पेस क्या बनेगा वान टू ट्री फोर फाइड सिक्स ठीक है तो इसके probability हर एक की probability आने की कितनी है 1, 1 time है तो 1 by 6 2, 2 time, 2 भी 1 time है वो भी 1 by 6 तो हर एक की आने की probability 1 by 6 है तो इस type के event को हम बोलते है probability of equally likely events example एक और ले लेते है मालों को यह आपके पास sample space ऐसा है 1, 2, 2, 3, 4, 4, 9 तो अभी यहाँ पर देखो हर एक की आने की probability same नहीं है 1, तो 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, तो 1 by 7 है 3 1 by 7 है, 9 1 by 7 है, लेकिन 2 2 times है, तो 2 by 7, 4 2 times है, तो 2 by 7, तो यह जो है equally likely event नहीं है, तो ऐसे ही different event की बात करते हैं, next event आता है probability of A or B, यहनी कि A की sample space से आपने 2 events निकाले हैं, उनकी probability निकालनी है, तो this is probability of event A or B, A or B का मतलब क्या होता है, और का मतलब होता है union, यादाना चाहिए आपको union, ठीक है तो इसको हम कैसे समझ सकते हैं मान लो अगेन मैं एक सांपल स्पेस लेती हूं अगेन डाइ का ही 1, 2, 3, 4, 5, 6 ठीक है A event मैं ले लेती हूँ even numbers का तो even numbers में हो गए 2, 4, 6 B event मैं ले लेती हूँ odd numbers का वो हो गए 1, 3, 5 अब मुझे निकालनी है probability of A union B के निकालनी है यह पूरा का पूरा sample space हो गया, this is A, जिसके अंदर है 2, 4, और 6 numbers हैं, और यह हो गया B, जिसके अंदर है 1, 3, 5, और यह दूर-दूर हैं, क्योंकि इनके बीच में कुछ भी common नहीं है, कुछ भी common नहीं है, अगर इनमें कुछ common होता, तो हम एक दूसरे के उपर इसके उपर lie कर प्लस प्रॉब्यूबिलिटी ऑफ बी कर दें ठीक है तो देखो क्या हो जाएगा यह कितनी है थ्री तो थ्री बाइस इस यह भी कितनी है थ्री बाइस इस तो यह हो जाएगा थ्री बाइस इस प्लस थ्री बाइस इस लाटर सिक्स पाइस इस विच इफेक्ट्स टू वाल यह कब है जब इनके बीच में कुछ भी कॉमन ए इंटरसेक्शन भी कुछ भी नहीं है फाइ है तो यह है इसका पहला फॉर्म लाख फ्लेड है यह बात ठीक है कि प्रॉब्लिटी ऑफ इवेंट ए और बी ए और बी में सबसे पहली हमने यह देख लिया कि उन दोनों के बीच में कुछ भी नहीं है ठीक है अब दूसरा ही केस यहां पर देख लेते हैं मान लो कि वेन ए इंटरसेक्शन भी इज नॉट इक्वल टू रहा है इनके बीच में कुछ नो कुछ कॉमन है इसको वेन डायग्राम से समझते हैं ठीक है मालो इनके बीच में कुछ नो कुछ common है, ये है और ये है, ठीक है, अब इसके अंदर पुछना कुछ common है, इसको example लो, इसे में ही example ले लेते हैं, मालो A आपने ले लिया even, ठीक है, जिसके अंदर है 2, 4, 6, और B आपने ले लिया greater than 4, greater than 4, तो greater than 4 में क्या आएगा, 5, 6, ये आ 4 और 6 और यहां पर है 5 and 6 तो योगे 2, 4 और 6 यहां पर आ जाएगा और यह B, यह A है और यह B, B में क्या है?
5 और 6, 6 इसका भी यहां पर आ जाएगे यहां पर 6 दो बार आ गया है ना तो यहां पर हमें एक बार क्या करना पड़ेगा इसकी probability के लिए क्या निकालना पड़ेगा probability of A तो ठीक है plus probability of B भी ठीक है but इनके अंदर 6 टू times आ रहे हैं मुझे तो 6 एक की बार चाहिए ना इनका intersection में एकी बार चाहिए ना, तो इसमें से minus करना पड़ेगा क्या इनके intersection की probability, कि वो मुझे एकी बार चाहिए, यह दो बार नहीं हो सकता, तो यहाँ पर 6 मुझे एकी बार चाहिए, तो this is the formula, and this is very important formula, कि जब उनके बीच का intersection कुछ ना कुछ है, खाली नहीं है, उनके बी अगर आप यह फॉर्मला यूज करोगे तो इसको याद करने की भी जुरूरत नहीं पड़ेगी, क्यों? क्योंकि अगर मालो दोनों में कुछ common ही नहीं है, तो अगर मैं यहाँ पर minus P A intersection B भी लगा देता हूँ, तो जब intersection है ही नहीं तो आप यहाँ पर भी तो क्या put करोगे, 0 तो अब next आपके पास आता है probability of event not A ठीक है तो क्या होगा तो अगर मान लो again sample space है आपके पास 1, 2, 3, 4, 5, 6 ठीक है and A क्या है A मान लेते हैं even है ठीक है तो even में क्या होगा 2, 4, 6 not A not A का मतलब A complement तो A complement यहाँ नहीं कि even नहीं है तो odd है ठीक है तो क्या होगा 2, 4, 6 को छोड़ के बाकी जो बच गई वो 1 35 ठीक है तो यह हम हमेशा कैसे निकालते हैं इस ऑलवेज लाइक प्रॉब्लिटी ऑफ अकरिंग ए प्लस प्रॉब्लिटी ऑफ नॉट अकरिंग इवेंट ए इज इकवल टू वन होता है हमेशा कि प्रॉब्लिटी की हो रहा है प्लस प्रॉब्लिटी नहीं हो रहा है उन दोनों का समझ की प्लस प्रॉब्लिटी ऑफ नॉट अकरिंग ए इवेंट इज ऑफ इकवल्स टू वन माइनस 3 by 6 that is 1 by 2, इसकी भी कितनी है 3 by 6 that is 1 by 2, ठीक है तो इसमें से 1 में से 1 by 2 minus करेंगे तो भी कितना आएगा 1 by 2 आएगा, clear है यह बात, अब यहाँ पे एक extra चीज मैं आपको बता देती हूँ, जो आपके आगे भी use होगी, हम उसे बोलते हैं De Morgan's Law, De Morgan's Law, अब यह De Morgan's Law क्या कहता है इस नॉट इंटरसेक्शन नॉट ऐप निकालना मैं एबी नहीं यूज कर रही हूं ताकि आप डीम ऑर्गन से आप स्कोल अलग से समझ सको सिर्फ इसलिए तो इसके लिए आपके लिए कितना डिफिकल्ट हो जाएगा कि पहले आपको निकालना पड़ेगा इस प्लेमेंट सैंपल स्पेस में आपको पहले इन माइनस करना पड़ेगा फिर सैंपल स्पेस में तो उसके बजाए D Morgan ने बोला, कि आप एक काम करो, आप E union F करो, और उसका complement कर दो, these both are equal, these both are equal, ठीक है, अब इसको समझो कैसे, Venn Diagram से समझते हैं, ठीक है, माल लेते हैं, अब आपके पास कोई भी E है, और कोई भी F है, ठीक है, यह चीज बना लेता है हम इस इस एफ इस इस इंटरसेक्शन रेफ और यह क्या होता है यह सब इनका कंप्लीमेंट होता माइनस होता है इनका है ना ओके तो देखो इन कंप्लीमेंट क्या हुआ यह सारा पोर्शन यह इस वाले को छोड़ करें सारा पोर्शन एफ कंप्लीमेंट क्या हुआ कि इस वाले को छोड़ कर सारा का सारा पोर्शन और इनका इंटरसेक्शन यह हो गया यह नहीं कि इन सब को छोड़कर इस खाली स्पेस है यह वाला पोर्शन हो गया है कि समझ आ रही है आपको ठीक है सिमिलरली इसको अगर मैं देखती हूं यह क्या बनेगा इसका क्या बन डाइग्राम बनेगा इसमें देख लो यह है और यह ऐप है ठीक है अब देखो यह यूनियन एफ यह यूनियन एफ क्या हो गए यह अंदर का पारा का सारा पार्ट यह गोले-गोले वाला सारा पार्ट उसको कंप्लीमेंट यह गोले-गोले पार्ट छोड़ दो तो यह पोषण जा सारा तो दोनों का दोनों क्या होते हैं सीम मतलब होता है ठीक है तो ऐसी ही तो यह है लो सेकंड लो क्या कहता है इसका अगर आपने इनका union निकालना है, not E, union not F निकालना है, तो वो इसका बिल्कुल उल्टा हो जाएगा, कि आप इसका intersection निकाल दो और उसका क्या कर दोगे, complement कर दोगे, अब इसको भी Venn Diagram से बना लेते हैं, मान लो ये है और ये है, E और F है, तो E complement क्या हुआ, सिर्फ इतने से portion तो उसका union, उसका union क्या हुआ? उसका union का मतलब ही हुआ कि आप सिर्फ इस portion को छोड़ दोगे, है न, देखो E complement, यानि कि this complete, F complement, this complete, और उनमें जो common है, यानि कि ये portion छोड़ के, बाकि ये सारा का सारा portion, सिर्फ ये portion छोड़ेंगे आप, ये मतलब हुआ इसका, यह है और यह तो इनका इंटरसेक्शन इनका इंटरसेक्शन यह पोर्शन हुआ यह वाला अब इस पोर्शन का कॉम्प्लीमेंट इसको छोड़कर बाकी सारा पार्ट तो यह दोनों का ही क्या है से मतलब है क्लियर है तो यह इसके डीमोर्गन लॉ है अगर आपको वाइन डायग्राम से समझ में आता है तो बहुत अच्छी बात है नहीं तो आपको जब आप प्रैक्टिकली इनको सॉल करेंगे तो भी आपको और अच्छे से क्लियर हो जाएगा तो इन्हीं सबसे रिलेटेड हमारे पास नेक्स्ट एक तो कार्ट्स वाले को एक बार फटा फटा से रिवाइज करते हैं मैंने इस टेंथ में भी आप लोगों को एक्स्पेन किया है कि टोटल 52 कार्ट्स होते हैं ठीक है टोटल 52 कार्ट्स में से 26 आर रेड और 26 आर ब्लाक ठीक है अब इस रेड में से 13 हार्ट और 13 हो गए डाइमेंट ठीक है 26 में से 13 हो गए club और 13 हो गए spade ठीक है तो ये 13 13 के आपके पास deck बन चुके हैं अब इन 13 को हम कैसे लिखते हैं king queen jack ठीक है 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 और 1 की जगा क्या आता है ace तो king queen jack ठीक है ऐसे ही यहां पर भी किंग क्विन जैक टेन से लेकर इस किंग क्विन जैक टेन टू इस किंग क्विन जैक टेन टू इस ऑल्सों अब किंग क्विन जैक के ऊपर क्या बनी होते हैं फेसेस बनी होते हैं देश वाइ इनको क्या बोलते हैं हम फेस कार्ड कहते हैं ठीक है 52 कार्ड्स में से ठीक है अभी हमने टेबल बना ली है अब इसमें से हम क्वेश्चन करेंगे तो वन कार्ड इस ड्रॉन फॉर्म वेल शॉप डेक ऑफ 52 कार्ड्स इफ इच आउटकम इस इक्वली लाइकली कैलकुलेट द प्रॉब्लमिटी द डा कार्ड बिल दी नंबर वन अटाइमेंट ठीक है तो देखो हमने 52 कार्ड्स में से कोई कार्ड उठाया और उसमें से हमें बताना वह डाइमेंट डाइमेंट है कितने टोटल 13 तो फेवरेवर में कितने हो गए थर्टी और टोटल कितने है 52 तो कितना हो जाएगा 13 by 52, but अगर सिर्फ यही हम answer लिख देते हो तो हमें answer थोड़ी मिलेगा, हमें marks नहीं मिलेंगे न, तो हम यहाँ पर सबसे पहले लिखेंगे, total possible outcomes, तो कितने है, total 52 cards है, ठीक है, and favorable, favorable मतलब कि diamond कितने है, diamond है आपके पास 13, तो probability of diamond कितनी हो जाएगी, यहाँ पे प्रॉपर लिखेंगे favorable outcomes मैं आपको एक ही लिखकर दिखा रही हूं, बाकि आप खुद लिखेंगे, ठीक है, मैं सिरफ आपको answers explain कर दी जाओंगी, divide में total possible outcomes, तो favor में कितनी है 13, total कितनी है 52, cancer को कितना आ गया, 1 by 4 is your answer, ठीक है, ऐसे ही second के लिए उन्हें बोला है, not an ace, ठीक है, not an ace, मतलब की, देखो, नॉट एन एस का मतलब इन एस को छोड़ दो एस ना हो तो अगर एस है कितने टोटल चार तो 52 में से चार हटा दो नॉट एन एस कितनी हो गए फिर 48 है ना तो हम यहाँ पर अगेन लिखेंगे टोटल पॉसिबल आउटकम्स मैं सिधर टीपी ओ लिख लेते हूँ आप आप ध् तो क्या करना है आपको फाइव पूरे सांपल स्पेस में से इसको माइनस कर देना है तो कितना जाएगा 48 तो नॉट एन एस थैंक्स 48 ना प्रोबाइबिलिटी ऑफ नॉट एस यह इसके फेवर में कितनी है 48 और टोटल कितनी है 52 इसको क्या कर देंगे कैंसल कर देंगे तो यह हो जाएगा ट्वेल्व और यह जाएगा थर्टी तो इस ट्वेल्व बाइ 30 अ एक तो यह मैथड है इसका एक दूसरा मैथड यह भी है क्या प्रोबिलिटी ऑफ नॉट एन इस वह क्या हमने बताया था फॉर्मला वन माइनस प्रोबिलिटी ऑफ इस है ना तो वन माइनस प्रोबिलिटी ऑफ इस इस है कितने फॉर तो फॉर बाइ 52 आप इस तरीके भी इसको सॉल्व कर सकते हो ठीक है तो यह हो जाएगा फॉर बंद फॉर फॉर फॉर एंड फॉर थ्री जटर तो वन माइनस वन बाइ 13 एंड सीएम तो आप इसको इस method से भी कर सकते हैं आप इसको इस method से भी कर सकते हैं but I'll suggest आप ये method use करना क्योंकि जो exams में वो क्या देखते हैं कि बच्चों कितनी knowledge है तो अगर ये लगा दोगे तो examiner खुश हो जाएगा कि हाँ बच्चा पढ़ गया है ठीक है this is practical knowledge ये आपकी bookish वाली हो गई थोड़ी सी ठीक है तो जैसे आपको सही लगे उस time पे ओके next क्या है a black card देट इस अपना और स्पेड अब लाइक का टेस्ट लब और स्पेड ब्लैक होती कितने हैं 26 होते हैं फेवर में कितने हो गए 26 टोटल कितने हो गए 52 तो क्या आ जाएगा 26 बाइट 52 डिवेट यहां पर लिख देते हैं आप प्रॉपर लिख देना ब्लैक के फेवर में कितने हैं टोटल कितने हैं कैंसल होकर आ गया वन बाइट ठीक है ऐसे ही फोर्स देखो नॉट डायमंड तो देखो डायमंड है कितने 13 तो नॉट डायमंड यहीं कि 52 में से 13 हटा दू ठीक है तो 52 में से अगर मैं 13 हटा देती हूँ तो कितने आएगा तो 52 माइनस 13 कितना हो जाएगा 39 हो जाएगा ठीक है तो आप इसक तो diamond कितने नहीं है? 39 diamonds नहीं है out of 52 तो cancel कर देंग��� 13 threes are 13 fours 13 fours are 52 आप ऐसे भी कर सकते हो again not के लिए हम क्या लगाते हैं probability of getting a diamond plus probability of not getting a diamond equals to 1 तो we have to calculate probability of not getting a diamond which is equal to 1 minus probability of getting a diamond तो 1 minus probability of getting a diamond तो diamond कितने है? तो यह तरथी है तो 13 by 52 हो जाएगा तो आप इसको ऐसे भी calculate कर सकते हो तो this will be equal to 1 by 4 तो 1 minus 1 by 4 LCM 4 minus 1 again 3 by 4 which is an alternative way ठीक है तो again हमने यहाँ पर क्या लगाया है formula लगाया तो आप दोनों method से कर सकते हो last आता है not a black card black card ना हो तो अगर black नहीं होगा तो क्या होगा red होगा ना not a black that is red तो यानि कि अगेन कितने हैं?
not a black कितने हैं? 26 हैं तो probability of not black कितनी हो जाएगी? 26 by total 52 अगेन कितना होगा?
1 by 2 ठीक है? तो ये था आपका example 5th जो पूरा कुबुरा cards के उपर base है I hope आपने screenshot ले लिया होगा इस table का नहीं लिया तो take a screenshot ताकि आप इसको ध्यान में रखे कोई भी आप अपना answer दे सकते हैं तो यह था example 5, चलिए करते है example 6, so अब example 6 क्या कह रहा है, a bag contains 9 discs of which 4 are red, 3 are blue, 2 are yellow, discs are similar in shape and size, a disc is drawn at the random from the bag, calculate the probability that it will be a red, तो हम माल लेते हैं, total कितनी है, total, पॉसिबल आउटकम्स हम डिरेक्ट अपने ही काम पर जाएंगे ठीक है तो टोटल पॉसिबल आउटकम्स कितनी है नाइन उसमें से रेड तो हम आर बता देते हैं रेड कितनी है फॉर एंड ब्लू ब्लू के लिए हम लगा देते हैं बी लू कितनी है तो देखो प्लेस टू नाइन ठीक है ना फर्स्ट वाइड प्रोबेलिटी ऑफ रेड ठीक है तो टो फेवरेबल आउटकम्स ट्रिवाइड में टोटल पॉसिबल फेवर में कितनी है फॉर टोटल कितनी है नाइन ठीक है अगें येलो तो रोबलिटी ऑफ गेटिंग ए येलो तो येलो के फेवर में कितनी है तो टोटल कितनी है नाइन नेक्स्ट प्रोबाइलिटी ऑफ ब्लू ब्लू कितनी है थ्री ब्लू के फेवर में थ्री टोटल कितनी है नाइन ठीक है फोर्थ प्रोबाइबिलिटी ऑफ इस not blue, not blue, अब ध्यान देखो, not blue, मतलब कि red या फिर yellow, तो कितनी होगी, 4 plus 2, 6 by 9, इसको आप कैसे कर सकते हो, probability of not blue, तो b dash हो जाएगा, which is equal to 1 minus probability of blue, तो 1 minus probability of blue आपने कितनी निकाल ली है, 1 by 3, तो यह हो जाएगा, 3 minus 1, which is equal to 2 by 3, तो अगर आप इसको ऐसे नहीं करते, ऐसे करते हैं अगर not blue है that means red या yellow हुई 4 plus 2, 6 by 9 again 2 by 3, आप ऐसे भी कर सकते थे right, तो ये था इसका fourth part अब fifth part में क्या कह रहा है either red or blue या तो red हो जाए या blue हो जाए ठीक है, तो probability of either red or blue और का मतलब क्या होता है यह नहीं कि यूनियन होता है probability of red, union, probability of blue ऐसे होता है red, union, blue तो यह क्या होगा probability of red plus probability of blue यह किसके लिए था जब उन में कोई intersection नहीं है तो common तो कुछ नहीं है red वाली blue थोड़ी हो सकती है तो probability of red कितनी आई थी 4 by 9 probability of blue कितनी आई थी 3 by 9 तो यह क्या होज़ेगा total 7 by 9, this is the answer, clear है ये बात, ठीक है, तो ये था आपका example 6, चलिए करते हैं example 7, so example 7 is important, धिहान से देखेंगे इसको, two students Anil and Ashima appeared in exam, examination, probability that Anil will qualify the exam is 0.05, and that the Ashima will qualify the exam is 0.10, the probability that both will qualify the exam is 0.02, प्रॉब्लम विडियो नंबर वन बोट विल नॉट क्वालिफाई नंबर टू एट लिस्ट वन विल नॉट वन ऑफ थैंक विल नॉट क्वालिफाई रहे हैं कि प्रॉब्लिटी अनिल जो है वह क्वालिफाई कर जाएगा ठीक है वह कितनी है 0.05 प्रॉब्लिटी अच्छा दोनों यह है एडियो से है ना तो यहां पर प्रॉपर में नाम लिख देती हूं अनिल यहाँ पर हम probability पूरी लिख देते हैं आशिमा तो वो कितनी है 0.10 है अब probability that both will qualify दोनों qualify करेंगे यानि कि यह आपको union दिया हुआ है intersection दिया हुआ है अब यहाँ पर आप बताएं मुझे दोनों के दोनों qualify करेंगे यानि कि दोनों का मतलब क्या है कि दोनों commonly यह exam प्रोब्लम क्वालिफाई करेंगे एक ही तो एक्जाम अलग-लग तो नहीं एक्जाम एक एक्जाम को दोनों क्वालिफाई करेंगे दोनों का क्या है इंटरसेक्शन है दोनों में कॉमन है यह एक्जाम तो प्रॉब्लम इटी ऑफ अनिल ठीक है इंटरसेक्शन आशिमा वह आपको कितनी दे रखें 0.02 दे रखिए ठीक है अब हमें क्या बताना है नंबर वान बोट अनिल एंड आशिमा दोनों ही क्वालिफाई नहीं करते हैं दोनों क्व तो दोनों qualify नहीं करेंगे का क्या मतलब है हमें क्या find करना है इसका मतलब है सबसे पहले देखो both qualify नहीं करेंगे Anil qualify नहीं करेगा तो probability of Anil not qualified डैश आ गया ठीक है फिर probability कि आशिमा भी नहीं करेगी आशिमा भी नहीं करेगी वो यह होगी इनके commonly दोनों qualify नहीं करेंगे दोनों के दोनों commonly qualify नहीं करेंगे एक ही exam ना that's why तो दोनों commonly qualify नहीं करेंगे तो आप इसको कैसे लिख सकते हो कि you have to calculate probability of anil complement intersection asima complement ठीक है कि दोनों कॉमनली एक्जाम यह क्वालिफाइड नहीं करेंगे तो यह वाला आपने निकालना है अब यह हमने अभी-अभी पढ़ा था क्या पढ़ा था यह हमने डी मॉर्गन फ्लॉम मैंने अभी आपको एक्सप्लेन करा था कि कभी भी इस तरीके से आपके हैं तो यह किसके रिक्वल हो जाएगा पी अनिल यूनियन आशिमा अजय को का कंप्लीमेंट यह हो जाएगा तो सबसे पहले हम क्या करेंगे हम इसका यूनियन निकाल लेते हैं ठीक है तो प्रॉब्लिटी ऑफ अनिल यूनियन आशिमा इसका क्या होगा फॉर्मला हमें पता है प्रॉब्लिटी ऑफ अनिल प्लस प्रॉब्लिटी ऑफ आशिमा माइनस प्रॉब्लिटी ऑफ अनिल इंटरसेक्शन आशिमा यह तो मैं सार्टिंग में पड़ा था तो यह हो जाएगा प्रॉब्लिटी ऑफ अनिल है 0.05 इसकी है 0.05 0.10, minus 2 की कितनी है 0.02, ठीक है, इसको पूरे को calculate करके आपके पास आता है 0.13, अब आपने इसका complement निकालना है, ठीक है, Anil Union Ashima का complement, which is equal to 1 minus इनका not complement, है न, that is Anil Union Ashima, तो यह हो जगा 1 minus 0.13, which is equal to, equal to 0.87 और यह किसके equal है इसके equal है कि probability of annul complement intersection आशिमा complement ठीक है तो यह आ गया आपके पास इसका answer राइट तो यह था इसका A part B part क्या कह रहा है at least one of them will not qualify कम से कम एक qualify नहीं करेगा ठीक है तो कम से कम एक क्वालिफाई नहीं करेगा इसका क्या मतलब है दूसरा पार्ट क्या हुआ कि दोनों क्वालिफाई कर जाएंगे है ना तो देखो इसको हम कैसे लिख सकते हैं कि प्रॉब्लिटी कि एट लीस्ट वन ऑफ देम विल नॉट क्वालिफाई ठीक है तो इसको इसको इसको इसक शॉरली एक बहार जाएगा ठीक है तो इसका ऑपोजिट क्या होगा प्लस प्रॉब्लिबिटी कि बोथ क्वालिफाइस बोथ क्वालिफाइस कि दोनों हो जाएंगे तो इसका ऑपोजिट यह होगा दोनों का प्लस क्या होता है वह कि प्रॉबिलिटी आफ जितनी है जिरू पंच जिरू टो डिरेक्ट आपके पास आन्सर आ जाता है वन माइनस जिरू पंच जिरू टो विशेष एकॉल टो जिरू पंच नाइन एक्ट ठीक है तो यह था इसका बीपार्ट अब सीपार्ट क्या कह रहा है तो इसका सीपार्ट क्या कह रहा है ओनली वन ऑफ टेंप विल क्वालिफाई द एक्जाम अब दोनों में से कोई एक ही एक्जाम क्वालिफाई करेगा तो मतलब जा रहा है सबसे पहले हम कह सकते हैं केस वन तो अगर अ अनिल करेगा तो आश्रिमा नहीं करेगी ठीक है तो अनिल को हम मान लेते हैं ए और आश्रिमा को मान लेते हैं बी तो पूरा पूरा नेम नहीं लिखा जाएगा ना हमसे तो हम मान लेते हैं अनिल के लिए ए और आश्रिमा के लिए बी तो अनिल उन्होंने बोला है only one of them will qualify तो और दोनों एक ही exam qualify करने के लिए competition में है तो क्या करेंगे हम क्या होगा intersection and case 2 क्या हो सकता case 2 is अब annul नहीं कर पाता बट आश्यमा कर लेती है तो probability that annul नहीं कर पाता exam qualify बट आश्यमा कर लेती है और एक common exam है तो intersection ठीक है तो अब या तो case ये हो सकता या ये हो सकता यानि कि और आ गया बीच में तो यानि कि अब हम क्या करेंगे इन दोनों का यूनियन होगा ठीक है तो प्रॉब्लिबिलिटी ऑफ ए इंटरसेक्शन बी कंप्लीमेंट यूनियन प्रॉब्लिबिलिटी ऑफ ए इंटरसेक्शन ए कंप्लीमेंट इंटरसेक्शन बी अब यह क्या है अब ऐसा तो हमने कोई फॉर्मला पड़ा नहीं हुआ है तो इस फॉर्मले को हम क्या करेंगे हम इसको वेन डायग्राम से समझेंगे तो देखो किसे भी चीज का अगर मान लो मेरे को ए कंप्लीमेंट इंटरसेक्शन बी निकालना है तो वो क्या होता है कैसे निकलता है देखो एक वैन डायग्राम बनाते हैं, मान लो ये A है और ये B है, इस एस A, इस एस B, ठीक है, अब मेरे को निकालना है A complement intersection B निकालना है, ठीक है, तो हम इसको कैसे निकाल सकते हैं, या फिर हम सबसे पहले easy निकालते हैं, A intersection B complement निकालते हैं, ठीक है, दोनों में से कोई भी न ठीक है, intersection, किसके साथ common, B complement का, अब B complement जो होगा, वो क्या होगा B complement, B complement मतलब कि B को ये वाले part को छोड़के, ये सारा part होगा न, ये A, B, sample space भी सब कुछ होगा, ठीक है, तो ये सारा होगे B complement, और यहां A ये है, और इनका common, इनका common सिर्फ ये part बचा, red part, ये वाला आ गया आपके पास, है न, अब इस part को हम कैसे लिख सकते हैं, इसको हम लिख सकते हैं कि अगर A में से मैं ये वाला part हटा दूँ है ना ये part है क्या A intersection B तो ये क्या हो जाएगा A intersection B clear है ये किसका आया है ये आपके आपके पास किसका आया है ये A intersection B complement का answer आ गया कि A में से हम अगर minus कर देते हैं क्या हटा देते हैं उसका intersection हटा देते हैं इसके लिए बनाए तो इसके लिए क्या बनेगा देखो ए एंट बी दिस ए दिस पी अब ए कंप्लीमेंट ठीक है ए कंप्लीमेंट का मतलब क्या हुआ यह पोर्शन छोड़ दो यह पोर्शन छोड़कर सारा का सारा इंक्लूडिंग भी इंक्लूडिंग दिस पेस्ट यूनिवर्सल स्पेस यह सब चीज है ठीक है अब इसका इंटरसेक्शन किसके साथ बी के साथ सिर्फ बी के ठीक है तो इस पार्ट को कैसे लिख सकते हैं एक कंप्लीमेंट इंटरसेक्शन भी को कैसे लिख सकते तो बी में से हम क्या करेंगे माइनस करेंगे यह वाला पार्ट अभी कौन सा पार्ट होता है इंटरसेक्शन भी का तो बी में से हमने एंटरसेक्शन भी माइनस कर दिया ठीक है तो इस तरीके से हमारे पास फॉर्मला बन गया अगर ए है बी कंप्लीमेंट तो ए माइनस दिस वन तो अगर यहां कंप्लीमेंट तो बी माइनस इस फॉर्मले को हमारे कंटेन्यू करेंगे तो अब जैसे यहाँ पर है तो यह हो जाएगा इसके लिए हम क्या लिखेंगे पहले इसके लिए तो बीच में क्या है Union है है ना तो किसी भी चीज का Union हम कैसे लिखते हैं हमें पता है कि Probability of A या फिर हम यहाँ पर माल लेती हूं मैं E, E Union F को हम कैसे लिखते हैं Probability of E plus Probability of F minus Probability कि probability of A union B complement plus probability of A intersection B complement minus probability of A intersection B complement फिर intersection A and complement B intersection ठीक है यह हो गया and yes one more thing अब इनके अंदर यह जो चीज होती है यह क्या होती है कि यह क्या होती है अब चलो इसको हम निकालते हैं कि इसमें और इसमें कॉमन क्या है अब देखो इसके अंदर और इसके अंदर कॉमन क्या है तो देखो इसका यह वेंड डाइग्राम है इसका वेंड डाइग्राम है इन्होंने तो कुछ यह इन्हें किसका इंटरसेक्शन फाइ होता है और अगर किसी भी फाइ का प्रॉब्लमिटी हम निकालते हैं वह क्या होती है जीरो कि इन दोनों में क्या है कुछ कॉमन तो नहीं आ रहा ठीक है तो यहां पर लिखेंगे कि पूरी की पूरी प्रॉब्लमिटी हो जाएगी जीरो ठीक है बाकि हम इसको अपन कर लेंगे इसके लिए हमने क्या निकाला था फॉर्मला इसके लिए हमने निकाला था प्रॉब्लिट तो अब यहाँ पर देखो यह हो गया probability of A plus probability of B यह दोनों same है तो minus 2 of probability A intersection B probability of A हमने annul मानी थी 0.05 probability of B हमने asima मानी थी minus 2 और इन दोनों का intersection 0.02 ठीक है इसको plus कर देंगे योजे 0.15 minus 0.04 ओके तो इसमें से इसको minus करेंगे तो 0.15 2.11 दिस फॉर आंसर ठीक है तो यह था आपका एग्जांपल नंबर सेवन थे और अब करते हैं एग्जांपल नंबर एक एग्जांपल नंबर एक लिए कह रहा है अ कमेटी ऑफ टू परसंस इस सिलेक्टेड फ्रॉम टू मैन एंड टू वुमैन ठीक है वह टेस्ट पॉबिलिटी द द कमेटी विल है नंबर वन नो मैं नंबर टू बन मैं एंड नंबर 32 में ठीक है तो एक कमेटी को हमने सिलेक्ट करना है है तो उसमें क्या है टू पर्सन्स को सेलेक्ट करना है जिसमें से टू मैन है और टू वूमन है तो टू मैन है तो एम वन है एम टू है टू वूमन है डब्ली वन है डब्ली टू है ठीक है अब इनमें से हमने दो पर्सन्स सेलेक्ट करने है तो अब चार ऑप्शंस है हमारे पास अब इन चार में से हम दो किसी भी तरीके से हम इसको सेलेक्ट कर सकते हैं दो मैन हो सकते हैं एक मैन एक वूमन हो सकता दोनों वूमन हो सकती है दोनों मैन हो सकते कुछ भी हो सकता ठीक है अ तो कोई भी ways हो सकते है number of ways हो सकते हैं तो जब कभी भी आपके पास इस number of ways आते हैं तो हम यहाँ पे क्या use करते हैं yes combination use करते हैं there are different type of combinations no man, no woman या one man, one woman ठीक है इस तरीके combinations आ रहे हैं तो हम यहाँ पे हम combinations use करते हैं तो अब सबसे पहले हम यहाँ पे sample space यहाँ पे हम बोल सकते हैं total possible outcomes total possible outcomes कैसे निकलती है किस कितने नंबर ऑफ वेज हो सकते हैं चार सिलेक्ट चार में से कितने सिलेक्ट करने हैं टू सिलेक्ट करने तो इस टोटल पॉसिबल आपका ठीक है अब हमारे पास डिफरेंट डिफरेंट ऑप्शन साजेंगे एक एक नो मैन मतलब कि दोनों की दोनों वुमन हो ठीक है तो वुमन है कितनी दो हैं तो यानि कि यू है टो सिलेक्ट टू वुमन आट ऑफ टू तो प्रॉबेबिलिटी ऑफ नो मैन यह नहीं कि फेवरेबल डिवाइड में टोटल फेवरेबल डिवाइड में टोटल ठीक है और विनो देट एन सी आर का फॉर्म लाइक होता है एंड फैक्टोरियल डिवाइड में आर फैक्टोरियल अपने एन माइनस आर फैक्टोरियल यह में पहले पढ़ रखा है ठीक है इसी को हमारे कंटिन्यू करेंगे सुधिस टू फैक्टोरियल अपने टू फैक्टोरियल 12.4 माइनस टू फैक्टोरियल तो यह हो जाएगा जी रोफ एक्टर बन होता है यह खत्म हो गए यहां आ गया बन यहां पर आ गया फॉर फैक्टोरियल ठीक है और यहां पर आ जाएगा टू फैक्टोरियल इंटू टू तो फॉर फैक्टोरियल कैसे ओपन करते हैं ऐसे ठीक है यह गए टू इंटू वन और यह गए टू फैक्टोरियल अगेंट टू इंटू वन इसको इससे कैंसल इसको इससे कैंसल यह हो जाएगा वन बाई सिक्स ठीक है तो यह होगा अ वन बाइस इस प्रॉब्लम इटीविटी देट अगर हम उसमें से सिलेक्ट करते हैं और कोई भी मैन नहीं आएगा ठीक है बी पार्ट क्या कह रहा है इसका बीपार्ट कह रहा है वन मैन एक मैन होगा ठीक है इस चीज को ध्यान से समझना इट इज इंपोर्टेंट हमने सिलेक्ट करने हैं टू टू पर्सन सिलेक्ट करने हैं ठीक है तो अब उन्होंने बोला एक मैन हो ठीक है तो हमने क्या करना है हमने सिलेक्ट करने हैं टू पर्सन्स अ तो टू पर्सन सेलेक्ट करना है उनमें से मैन होना चाहिए वन वन ठीक है अब हमारी कंडीशन क्या हुई है पूरी नहीं हुई है जब हमारे पास कंडीशन पूरी नहीं होती है तो मिश्मे क्या लगाते हैं मल्टीप्ला याद रखना मैंने प्रोफेशन कंडीशन में आपको बहुत अच्छे से स्पेन किया था कि कहां हम बीच में मल्टीप्ला लगाते कहां प्लस कि बच्चों को बहुत कंफ्यूजन होता ठीक है तो वहां पर जहां पर हमारी कंडीशन अभी तक पूरी नहीं हुई पाती है देखो टू मैन में से एक मैन आएगा अब टू वुमन में से एक woman आएगी तब ही तो total दोनों के दोनों person select हो जाएगे न 2 person तो पूरी condition तब आ रही है न आपके पास 2 person select हो रहे हैं तो बीच में हम क्या लगाते हैं multiply लगाते हैं ठीक है तो इस तरीके से हम इसे solve करेंगे अब 2 C1 ठीक है यह हो जाएगा इसकी favorable outcome है this is favorable outcome ठीक है तो probability निकालनी है तो probability that one man आएगा that is favorable outcome 2C1 into 2C1 divide में total possible outcome that is 4C2 ठीक है तो इसको करेंगे तो 2 factorial upon 1 factorial into 1 तो 2 ही आएगा इसका भी 2 ही आएगा इसको solve करके हमारे पास क्या आया था 1 by 6 आया था direct लिख देंगे हम 1 by 6 तो sorry 1 by 6 नहीं आता only 6 आता है इसको solve करके क्या आता है only 6 आता है तो इस पर आपके पास 2 by 3 आ गया है कि आप सब्सक्राइब करें और उसके पास और दो मैंने ही हमने क्या करने उसमें से तो क्या होगा फेवरेवल में कितनी आएगी टू सी टू डिवाइड में फोर सी टू सी टू की वैल्यू होती है वन और इसकी वैल्यू कितनी हमने फाइंड करी थी तो यह था आपका एक्सांपल एट्स तो थैंक यू देस्ट और फॉर इस वीडियो नेक्स्ट वीडियो में डिस्कस करेंगे एक्सरसाइज 14.2 कंप्लीट थैंक यू