Definition: Zwei geometrische Figuren sind dann ähnlich, wenn die Streckenverhältnisse und Winkel übereinstimmen.
Transformationen: Vergrößerungen, Verkleinerungen, Drehungen oder Verschiebungen verändern nicht die Ähnlichkeit, solange Streckenverhältnisse und Winkel gleich bleiben.
Ähnlichkeitsarten
Zentrische Streckung: Vergrößerung oder Verkleinerung einer Figur mit gleichem Streckenverhältnis und Winkel.
Ähnlichkeitsfaktor k beschreibt das Verhältnis der Größenänderung.
Beispiel: k = 2 bedeutet doppelte Seitenlängen.
Verschiebung: Bewegung der Figur in eine beliebige Richtung, wobei Streckenverhältnisse und Winkel gleich bleiben.
Drehung: Drehung um einen bestimmten Winkel ohne Veränderung der Winkel oder Seitenverhältnisse.
Spiegelung: Spiegeln jedes Punktes entlang einer Achse, wobei die Abstände zu dieser Achse gleich bleiben.
Ähnlichkeit berechnen
Winkel und Seitenverhältnisse: Alle Winkel müssen gleich sein und alle Seitenverhältnisse müssen übereinstimmen.
Beispiel: Zwei Dreiecke A und B sind ähnlich, wenn ihre Winkel und Seitenverhältnisse gleich sind.
Ähnlichkeitsfaktor
Berechnung: Verhältnis von zwei entsprechenden Seitenlängen der Figuren.
Beispielrechnung:
Gegebene Seitenlängen a' = 2, a = 6, Ähnlichkeitsfaktor k = a'/a = 1/3.
Seitenlängen berechnen
Methode: Multiplizieren der Seitenlängen der Ursprungsfigur mit dem Ähnlichkeitsfaktor.
Beispiel:
Gegebener Ähnlichkeitsfaktor k = 1,5.
Seitenlänge a' = a * k, b' = b * k, c' = c * k.*
Kongruenz
Definition: Spezialfall der Ähnlichkeit, bei der die Figuren nicht nur gleiche Form, sondern auch gleiche Größe haben.
Transformationen: Verschiebung, Drehung, Spiegelung ohne Größenänderung.
Eigenschaft: Alle kongruenten Figuren sind ähnlich, aber nicht alle ähnlichen Figuren sind kongruent.
Kongruenzsätze
Ermöglichen es, die Kongruenz von zwei Figuren ohne Vergleich aller Winkel und Seiten zu überprüfen.
Zusammenfassung
Ähnliche Figuren haben gleiche Winkel und proportionale Seiten.
Transformationen wie zentrische Streckung, Verschiebung, Drehung und Spiegelung erhalten die Ähnlichkeit.
Der Ähnlichkeitsfaktor gibt das Verhältnis der Größenänderung an.
Kongruenz ist ein Spezialfall der Ähnlichkeit mit identischen Maßeinheiten.