हेलो प्यारे बच्चों सभी को मेरी तरफ से हमेशा की तरह जय श्री कृष्ण राधे राधे राधे राधे टू एवरीवन जय जिनेंद्र सत शि अकाल अस्सलाम वालेकुम तो क्या हाल चाल बच्चों क्या हाल चाल जल्दी से बच्चे कह रहे हैं लेक्चर वन मैथ लेक्चर मतलब ये लास्ट लेय एक वन शॉर्ट वीडियो ही है चिंता मत करो ठीक है राधे राधे राधे राधे टू एवरीवन राधे राधे टू एवरीवन भाई सीक्वेंस सीरीज के खूबसूरत सफर पर मेरे साथ चलने के लिए तैयार हो जल्दी से कमेंट बॉक्स में लिखो तैयार हैं हम तैयार हैं जल्दी से कमेंट बॉक्स में लिखो हम तैयार हैं सबसे ज्यादा काटा पीटी जो जेई मेंस ने बचाई है वो इसी चैप्टर में बचाई है बत ज्यादा काटा पीटी मचाए सबसे ज्यादा काटा पीटी इसी चैप्टर में हुई है बहुत सारी चीजें बहुत सारे टॉपिक्स एक्सक्लूड कर दिए गए हैं जेई मेंस में लेकिन जेई एडवांस में सब कुछ इंक्लूडेड है यानी एक तरीके से पढ़ना भी सभी कुछ है एडवांस तक के लिए अगर सोचते हैं तो सब कुछ ही पढ़ना है तो चलिए शुरू करते हैं आज की कार्यवाही आज की कार्यवाही तो अगर तुम्हारा बैकलॉग है भाई अगर तुम्हारा बैकलॉग है या फिर अगर तुम रिवीजन करना चाहते हो तो दोनों ही सूरत में ये लेक्चर बहुत कारगर सिद्ध होने वाला तुम्हारे लिए इधर मत देखो जाकर नोटबुक और पेन लेकर आओ ताकि एक-एक चीज नोट कर सको खाली मत बैठना इस वीडियो को इस वीडियो को मूवी की तरह देखना पाप है कॉपी और पेन के साथ बैठिए और एक-एक चीज नोट डाउन करते रहिए क्वेश्चंस को मेरे साथ सॉल्व करते रहिए ताकि अगर कहीं पर कैलकुलेशन में मुझे आपकी जरूरत पड़े तो आप मुझे बता सके है ना तो वहां मैं चेक करता रहूंगा बीच-बीच में गलतियां कर कर के हां भाई यह वाला बताओ इसका आंसर क्या आ रहा है भाई इसका आंसर बताओ क्या आ रहा है तो वो तभी बता पाओगे जब तुम नोटबुक और पेन लेकर आ जाओगे तो जाओ नोटबुक और पेन लेकर आओ है कि नहीं है या ऐसे ही बैठे हो हां ही से बात कर रहा हूं तुझी से बात कर रहा हूं भाई इधर उधर मत देख तुझी से बात कर रहा हूं क्या नोटबुक और पेन है तेरे पास नहीं है तो जा लेके जा दूसरे कमरे से देखो इतने आलसी है अभी भी बैठे हैं कई लोग तो इतने आलसी लोग हैं भाई उठ जाओ जाके नोटबुक और पेन लेकर आओ और लिखना शुरू करना कई लोग ड्यूरेशन लेक्चर ड्यूरेशन लेक्चर ड्यूरेशन पूछ रहे हैं बेटा तुम बता सकते हो कि ड्यूरेशन कई लोग कह रहे हैं लेक्चर ड्यूरेशन भाई मैं क्या कहूं जितने समय में लेक्चर खत्म होगा तुम्हारे सामने खत्म होगा अभी तो मुझे भी कुछ नहीं पता कि कहां तक जाएंगे वह सब डिपेंड करेगा तुम्हारे जोश के ऊपर और तुम्हारे अंडरस्टैंडिंग पावर के ऊपर डिपेंड करेगा ठीक है तो चलिए शुरुआत करते हैं आज की कार्यवाही से तो आज सबसे पहले मैं जेई मेंस 20202 वर्सेस 20224 अगर आप देखें 2023 और 2024 में अर्थमेटिक ज्योमेट्री प्रोग्रेशन दोनों में कॉमन है इंसर्ट ऑफ एमजीएम बिटवीन टू नंबर्स वह भी दोनों में कॉमन है रिलेशन बिटवीन एमजीएम रिलेशन बिटवीन एमजीएम से मतलब एम जीएम इनक्व से है वह भी दोनों में कॉमन है सम अप टू एंड टर्म्स ऑफ स्पेशल सीरीज भाई यह सब काट दिया गया है यह सब काट दिया गया है अर्थमेटिक एजीपी भी काट दी गई है यानी अब सिर्फ एक तरीके से ए है जीप है और रिलेशन बिटवीन एम जीएम है लेकिन क्या सर आप इतना ही पढ़ाओ ग नहीं हम पढ़ेंगे तो पूरा ही लेकिन मैं आपके साथ में शेयर कर रहा हूं कि क्या-क्या हट गया है सिलेबस में से तो ये पूरे टॉपिक्स हट चुके हैं बस एपी जीपी और रिलेशन बिटवीन एएम जीएम हमारे सिलेबस में है ठीक है ना यही सिर्फ हमारे सिलेबस में है बाकी सब हटा दिया गया है और आपको पता है जेई एडवांस 26 मई को है उसमें सब कुछ आ रहा है यहां पर एक छोटा सा एनालिसिस मैंने तुम्हारे सामने रखा है बेस्ड ऑन फाइव इयर्स 19 20 21 22 23 जेई मेंस का अगर आप देखो सीक्वेंस सीरीज चैप्टर में से अर्थमेटिक प्रोग्रेशन में लगभग 30 पर आ रखा है लगभग 30 पर और अगर ज्योमेट्री प्रोग्रेशन में देखो तो लगभग 32 पर के करीब आपको यहां मिलेगा ज्योमेट्री प्रोग्रेशन और एमजीएम और मिसलेनियस जो है वो 38 पर है वो कितना है 38 पर एमजीएम एचएम और मिसलेनियस सीक्वेंसेस ये 38 पर है अब क्या हुआ ये वाला तो बहुत ही कम हो गया इसमें सिर्फ क्या बचा एम जीएम और एचएम बचा बाकी ये हटा दिया गया है तो इसका मतलब क्या हुआ अब इनका वेटेज जेई मेंस में बढ़ जाएगा जेई मेंस विल विल इंक्रीज द वेटेज ऑफ दस टू टॉपिक्स यानी एपीजीपी दोनों का वेटेज बढ़ जाएगा इनके ऊपर बेस प्रॉब्लम ज्यादा आएंगे ठीक है ना इनके ऊपर में इनके ऊपर सवाल ज्यादा आने वाले हैं यानी कि अब एपी जीपी के ऊपर बहुत अच्छे से मेहनत हासिल होनी चाहिए तब जाकर हम जेई मेंस में इसके प्रॉब्लम्स कर पाएंगे अच्छे से एक चीज और बता दूं बाल्टी भर-भर के सवाल आते थे बाल्टी भर भर के कुआ भर-भर के सवाल आते थे सीक्वेंस सीरीज से और ऐसी उम्मीद अभी भी है कि इस साल भी डेफिनेटली इस चैप्टर से काफी सारे सवाल आएंगे लेकिन अबकी बार वोह सारे सवाल आपको एएम एपी जीपी कि सीरीज समेशन टर्म्स के ऊपर ज्यादा मिलेंगे राद देन मिसलेनियस सीरीज के ऊपर और एएम जीएम इनिक्वालिटी के एक दो सवाल आपको मिल सकते हैं तो इसलिए एपी जीपी बहुत अच्छे से पढ़िए मेरे साथ रहिएगा लास्ट तक वादा करो कि मेरे साथ लास्ट तक मेरा साथ निभाओगे एकएक चीज पढ़ोगे साथ में ताकि वहां जेई मेंस में हम एकएक क्वेश्चन बिल्कुल सही से कर पाएं बिल्कुल सही से कर पाए हा या ना और हम जब पढ़ेंगे तो बिल्कुल बेसिक से पढ़ेंगे बिल्कुल बेसिक से बिल्कुल ही ज्यादा बेसिक से पढ़ेंगे भाई बिल्कुल ही ज्यादा बेसिक से पढ़ने वाले हैं ठीक है चलो चलो तो शुरुआत करें शुरुआत करते हैं सबसे पहले सबसे पहले सीक्वेंस किसको कहते हैं सीक्वेंस किसको कहते हैं मैं आपको थोड़ा सा बता दूं सीक्वेंस होता है अगर आप कुछ नंबर्स को कॉमा से सेपरेट करके लिख दें 2 3 7 11 मान लो 10 ऐसे लिख दिया तो ये क्या बनेगा ये बनेगा सीक्वेंस तो व्हाट इज अ सीक्वेंस सीक्वेंस इज एन ऑर्डरिंग ऑफ नंबर्स रिटन इन अ पर्टिकुलर ऑर्डर सेपरेटेड बाय कमास यानी अगर आप कुछ नंबर्स को कॉमा से सेपरेट करके एक के बाद एक लिखते चले जाएं तो रिजल्टिंग अरेंज को क्या बोलते हैं सीक्वेंस यहां हर नंबर की पोजीशन अपने आप में क्या होती है फिक्स्ड होती है क्या सीक्वेंस के टर्म्स किसी एक रूल को फॉलो करने चाहिए जरूरी नहीं है यह जरूरी नहीं है कि सीक्वेंस के टर्म्स किसी एक पर्टिकुलर ऑर्डर को ओबे करें किसी रूल को ओबे करें जैसे कि यहां पहले टू आया फिर थ्री आया फिर सेन फिर 11 फिर 10 आ गया फिर कुछ और आ जाएगा तो यह जो सीक्वेंस है ये इसके टर्म्स किसी भी पर्टिकुलर ऑर्डर को फॉलो नहीं कर रहे कर भी सकते हैं और नहीं भी कर सकते यानी सीक्वेंस क्या होता है कुछ टर्म्स को एक के बाद एक के बाद एक लिख दो सेपरेटेड बाय कमाज इन अ डेफिनेट ऑर्डर देन दैट बिकम अ सीक्वेंस तो उसे क्या बोलते हैं सीक्वेंस तो सीक्वेंस के टर्म्स मे और मे नॉट फॉलो अ रूल यह क्या कहलाते हैं यह सब के सब टर्म्स कहलाते हैं टर्म्स ऑफ सीक्वेंस दीज आर कॉल्ड एज टर्म्स ऑफ सीक्वेंस यह टर्म्स है सीक्वेंस की टर्म्स ऑफ सीक्वेंस में और मे नॉट फॉलो अ रूल मे और मे नॉट फॉलो अ रूल मे नॉट फॉलो अ रूल कर भी सकते हैं और नहीं भी कर सकते कर भी सकते हैं और नहीं भी कर सकते ठीक है ना सर अगर यह रूल फॉलो करते हैं इफ द टर्म्स ऑफ अ सीक्वेंस प्रोग्रेस इन अ डेफिनेट मैनर देन इट इज कॉल्ड एज अ प्रोग्रेशन तो आपको ये समझ में आना चाहिए सीक्वेंस ऑफ प्रोग्रेशन में फर्क क्या है सीक्वेंस के टर्म्स एक रूल को फॉलो कर भी सकते हैं नहीं भी कर सकते जबक प्रोग्रेशन के जो टर्म्स होते हैं वो एक डेफिनेट रूल को फॉलो करते हुए एक तरीके से प्रोग्रेस करते हैं इसलिए उसको क्या कहते हैं प्रोग्रेशन तो हर सीक्वेंस क्या प्रोग्रेशन होगा जल्दी बताओ और क्या हर प्रोग्रेशन सीक्वेंस होगा तो इफ टर्म्स ऑफ सीक्वेंस इफ टर्म्स ऑफ सीक्वेंस प्रोग्रेस प्रोग्रेस इन अ पर्टिकुलर मैनर इन पर्टिकुलर पैटर्न इट इ सेड टू बी अ इट इज सेड टू बी अ प्रोग्रेशन इट इ सेड टू बी अ प्रोग्रेशन उसे क्या बोलते हैं प्रोग्रेशन बोलते हैं तो एवरी सीक्वेंस इज अ प्रोग्रेशन एवरी सीक्वेंस इज अ प्रोग्रेशन नो बट एवरी प्रोग्रेशन इज अ सीक्वेंस एवरी प्रोग्रेशन इज अ सीक्वेंस यानी मैं कहना मुझे कहना चाहिए कि यह अगर सीक्वेंस है यह अगर क्या है सीक्वेंस है यह होगा प्रोग्रेशन दिस विल बी प्रोग्रेशन यह हो जाएगा प्रोग्रेशन तो प्रोग्रेशन हमेशा इसका क्या होगा सबसेट होगा प्रोग्रेशन विल बी सबसेट ऑफ सीक्वेंस एवरी प्रोग्रेशन इज अ सीक्वेंस बट एवरी सीक्वेंस इ नॉट अ प्रोग्रेशन लिए हम जो पढ़ रहे हैं उस चैप्टर का नाम है अर्थमेटिक प्रोग्रेशन ज्योमेट्री प्रोग्रेशन क्योंकि वहां जो टर्म्स है वो डेफिनेट पैटर्न में चलती है डेफिनेट पैटर्न को ओबे करती हैं ठीक है ना हां तो हर सीक्वेंस प्रोग्रेशन नहीं होता हर प्रोग्रेशन सीक्वेंस होता है अब प्रोग्रेशन कितने होते हैं बहुत सारे प्रोग्रेशन होते हैं बहुत सारे लेकिन हम उनमें से कुछ गिने चुने प्रोग्रेशंस पढ़ने वाले हैं एपी पढ़ेंगे जीपी पढ़ेंगे एचपी एजीपी और मिसलेनियस यानी के अर्थमेटिक प्रोग्रेशन ज्योमेट्री प्रोग्रेशन हार्मोनिक प्रोग्रेशन अर्थमेटिक और ज्योमेट्री प्रोग्रेशन और साथ में और साथ में क्या हां और साथ में क्या साथ में मिसलेनियस प्रोग्रेशन सबसे पहले सबसे पहले शुरुआत करते हैं शुरुआत करते हैं सीक्वेंस को कैसे रिप्रेजेंट करते हैं थोड़ा सा ये भी बता दूं सीक्वेंस को ज्यादातर हम करली ब्रैकेट में लिख देते हैं इस तरह के ब्रैकेट में लिख देते हैं जैसे यहां लिख दूं अगर मैं सीक्वेंस को सीक्वेंस सीक्वेंस का रिप्रेजेंटेशन ऐसे है ऐसे रिप्रेजेंट करते हैं यहां पर ए1 का मतलब पहली टर्म a2 का मतलब दूसरी टर्म a3 का मतलब तीसरी टर्म a4 का मतलब चौथी टर्म ये हो गया रिप्रेजेंटेशन या फिर कई बार लोग इसे ऐसे भी लिख देते हैं करली ब्रैकेट लगाया और ए लिख दिया ऐसे भी लिखा जा सकता है किसको सीक्वेंस को सो सीक्वेंस कैन बी रिप्रेजेंटेड इन टू वेज आइर दिस और दैट यानी प्रोग्रेशन को भी हम ऐसे ही रिप्रेजेंट कर सकते हैं ऐसे ही रिप्रेजेंट कर सकते हैं जरा देखो जरा देखो जैसे कि एक प्रोग्रेशन की बात करूं ये देखो n क - 1 लिखा है n क - 1 का मतलब है पहली टर्म क्या आएगी वन रखो 1 -1 0 दूसरे बार टू रखो 2 क - 1 7 3 रखो 26 बढ़ते चले जाओ ये पूरा प्रोग्रेशन आ गया इसी तरीके से ये लिखा है n / n स् + 1 n को वन रखो 1/2 2 रखो 2/5 3 रखो 3/10 ये पूरा का पूरा प्रोग्रेशन आ गया क्लियर है बात ठीक ठीक ठीक ठीक यह सबको आता ही है अब आते हैं आगे अब बढ़ते हैं आगे अब बढ़ते हैं आगे एपी की तरफ लेट अस बिगिन विद एप ए से स्टार्ट करते हैं व्हाट इज एन एपी अरिदमन की बात करते हैं तो ए की बात करते हैं स्टैंडर्ड अपीयरेंस ऑफ ए क्या है ए ए प् डी a प् डी ए प् 3डी एंड सो ऑन यानी के यहां पर जो सक्सेसिव टर्म्स होती हैं उनके बीच का जो डिफरेंस होता है वह हमेशा कांस्टेंट होता है यानी इस प्रोग्रेशन की खासियत क्या है यहां टर्म्स कौन से पैटर्न को फॉलो करती हैं यहां टर्म्स इस पैटर्न को फॉलो करती है कि उनकी कंकूट टर्म्स के बीच का जो डिफरेंस होता है वह कैसा होता है कांस्टेंट होता है वह कांस्टेंट होता है तो डिफरेंस बिटवीन है ना स्टैंडर्ड डिफरेंस बिटवीन एनी टू कंकूट टर्म्स यानी अगर मैं इसको ऐसे कह दूं कि t ए प्व या t ए माइन t ए माइव इ इक्वल टू कांस्टेंट इज इक्वल टू कांस्टेंट हमेशा कांस्टेंट होगा और उस कांस्टेंट कितना होगा डी के बराबर होगा डी के बराबर होगा यानी दो कंकूट टर्म्स के बीच का डिफरेंस हमेशा कांस्टेंट होगा और वो डी के बराबर होगा अगर तुम ऐसे बढ़ते हो तो डी जुड़ता जाता है ऐसे बढ़ते हो तो डी घटता चला जाता है दैट सीक्वेंस इ कॉल्ड एज एन एी अर्थमेटिक प्रोग्रेशन इसका एनट टर्म क्या होगा जरा सोच के बताओ जल्दी से एनट टर्म पहली में एक भी डी नहीं आया दूसरी में दो डी एक डी आया तीसरी में दो डी आ रहे हैं चौथी में तीन डी आ रहे हैं पांचवी में कितने डी आएंगे सर पांचवी में चार डी आएंगे फटी में पाडी आएंगे एक कम आ रहा है देखो तीसरी में दो टर्म दोडी आ रहे हैं चौथी में तीन डी आ रहे हैं तो पांचवी में कितने डी आएंगे पांचवी में कितने डी आएंगे पांचवी में जो डी आएंगे सर वो आ जाएंगे चार तो n में कितने आएंगे n - 1 नडी तो दैट इज द ए टर्म ऑफ ए एन टर्म ऑफ ए a प् n - 1 नडी a प् n-1 नडी दैट इज द टर्म ऑफ ए अब जरा देखो ये जोडी है सोच के बताना अगर d रो से बड़ा हो तो ए कैसी होगी अगर d 0 हो और अगर d लेस दन 0 हो तो सोच के बताओ अगर d ग्रेटर दन 0 होगा तो ए कैसी होगी इंक्रीजिंग इंक्रीजिंग क्यों इंक्रीजिंग क्योंकि हर टर्न पिछली टर्म से बढ़ती चली जाएगी कितने अंतर से d के अंतर से d अगर रो होगा तो कांस्टेंट ए बन जाएगी क्या बन जाएगी कांस्टेंट ए इट विल बिकम अ कांस्टेंट ए और अगर डी लेसन जीरो हो तो डिक्रीजिंग ए डिक्रीजिंग ए यानी के यानी के हम यह कह सकते हैं के ी कैन बी इंक्रीजिंग डिक्रीजिंग और जीरो आपको पता है जी एडवांस ने इस बात को लेकर गलती कर दी थी एक बार जे एडवांस ने इस कांसेप्ट को लेकर गलती कर दी थी मेंस ने नहीं एडवांस ने एडवांस हैड मेड अ मिस्टेक रिलेटिंग टू दिस कांसेप्ट क्योंकि जेई एडवांस में प्रॉब्लम आया था जहां पर डी बराबर जीरो भी हो सकता था तो जेई एडवांस ने शायद वो पॉसिबिलिटी सोची नहीं कि किसी भी एपी में डी जीरो भी हो सकता है तो अगर डी जीरो हो सकता था तो उसके दो आंसर आ रहे थे जबकि व क्वेश्चन सिंगल करेक्ट इंटी जर टाइप में दे रखा था तो वहां गड़बड़ हो गई तो ये छोटी सी बात है दिखान में छोटन लागे पर घाव करे गंभीर वव करे गंभीर हा इंक्रीजिंग कांस्टेंट d0 से ए कैसे हो सकता है बिल्कुल d0 हो गया तो कांस्टेंट ए होगी सारी की सारी टर्म्स कैसी हो जाएंगी इक्वल हो जाएंगी सारी की सारी टर्म्स इक्वल हो जाएंगी ठीक है ना यह बात समझ में आ गई यह बात क्लियर हुई यह बात क्लियर हुई हां यह बात समझ में आ गई चलो फिर इसके बाद फिर इसके बाद अगर मैं यहां पर एक ए लिखूं तुम्हारे सामने 2 4 6 ए 8 10 12 14 16 18 20 कितनी टर्म्स है भाई सर ये है एक दोती च पा 6 सा आन 10 10 टर्म्स है टोटल हमारे पास अगर मैं तुम्हें कहू लास्ट से तीसरी लास्ट से तीसरी लास्ट से तीसरी लास्ट से कौन सी है तीसरी कोई बता सकता है शुरू से नंबर ऑफ टर्म्स कितनी है यहां पर नंबर ऑफ टर्म्स है 10 नंबर टर्म कितनी है 10 लास्ट से तीसरी टर्म शुरू से कौन सी भी टर्म बैठेगी जल्दी से बताओ शुरू से कौन सी भी टर्म बैठेगी य लास्ट से थर्ड है और शुरू से कौन सी भी टर्म होगी शुरू से कौन सी भी टर्म होगी जल्दी से बताओ शुरू से कौन सी भी टर्म होगी तो शुरू से होगी एक दो तीन चार पा 6 सा आ य ए टर्म होगी है ना तो मैं कह सकता हूं थ फ्रॉम लास्ट थर्ड टर्म थर्ड टर्म फ्रॉम लास्ट थर्ड टर्म फ्रॉम एंड यह बराबर हो हो जाएगा ए फ्रॉम बिगिनिंग 8 या ए टर्म फ्रॉम बिगिनिंग एथ टर्म फ्रॉम बिगिनिंग बिल्कुल सर ए टर्म फ्रॉम बिगिनिंग यानी के टर्म थर्ड फ्रॉम लास्ट इ इक्वल टू ए टर्म फ्रॉम बिगिनिंग अच्छा अगर मैं अगर मैं तुमसे इसके बाद वाली टर्म पूछूं कोई मान लो मैं यह पूछ लेता हूं ये अब जरा यह देखो ये 12वी कौन सी टर्म है 12 कौन सी टर्म है जरा बताओ सर एक एक दोती च पा ये पांचवी टर्म है लास्ट से और शुरुआत से कौन सी होगी तो शुरुआत से होगी एक दोती च पा 6 यानी फिफ्थ टर्म फ्रॉम एंड फिफ्थ टर्म फ्रॉम फम एंड फ्रॉम एंड इज इक्वल टू सिक्सथ टर्म फ्रॉम बिगिनिंग सिक्स टर्म फ्रॉम बिगिनिंग सही बात देखा जाए तो मैं कह सकता हूं एक तरीके से 10 हमें कौन सी टर्म चाहि थी थर्ड 10 माइन 3 प्व फ्रॉम बिगिनिंग फ्रॉम बिगिनिंग यही मिल रहा है भाई हां सर देख लो 10 में से तीन गया प्लस एक आ और यहां पर 10 माइनस पा प्लस एक फ्रॉम फ्रॉम बिगिनिंग फ्रॉम बिगिनिंग जरा सोच के देखो हां यह बात समझ में आई यह बात क्लियर हुई तो मैं कह सकता हूं क्या कह सकता हूं निचोड़ क्या हुआ इसका इसका निचोड़ बताओ जल्दी से इससे क्या समझ में आया इससे समझ में यह आया छोटा सा निचोड़ निचोड़ यह हुआ क्या निचोड़ हुआ मेरे भाई तो निचोड़ यह हुआ के इन एन ए इन एन एपी ऑफ एन टर्म्स ऑफ एन टर्म्स के टर्म फ्रॉम एंड केथ टर्म फ्रॉम एंड किसके बराबर होगा जल्दी से कमेंट बॉक्स में लिख के बताओ इ इक्वल टू कमेंट बॉक्स में लिख के बताओ कमेंट बॉक्स में लिख के बताओ अरे वाह क्या बात है भाई क्या बात है फ्रॉम इक्वल ए प्लस ए माइनस के प्लस वन टर्म फ्रॉम बिगिनिंग फ्रॉम बिगिनिंग कई बार हमसे लास्ट टर्म भी फ्रॉम बिगिनिंग ठीक है ना हा ए माइन के प्व क्या क्या बात है भैया बच्चे बड़े होशियार है बिल्कुल बहुत बढ़िया बहुत बढ़िया बहुत बढ़िया हां क्लियर है बात हां सर यह बात बिल्कुल क्लियर है अच्छा अब एक चीज और देखो दूसरा तरीका अगर कोई केथ टर्म पूछ ले लास्ट से हम ए को उल्टा भी तो कर सकते हैं तो मेथड वन तो ये हो गया ये क्या हो गया मेथड वन मेथड टू क्या होगा अगर मैं ए को उल्टा कर दूं 20 18 16 14 12 एंड फिर 10 फिर 8 फिर 6स फिर फोर और फिर ू मैंने क्या किया रिवर्स कर दिया रिवर्सिंग रिवर्सिंग द जीपी ए मैंने ए को रिवर्स कर दिया यानी लास्ट टर्म क्या बन गई पहली टर्म बन गई अब अब मुझे क्या चाहिए था थर्ड टर्म फ्रॉम एंड थर्ड टर्म फ्रॉम एंड हो जाएगी थर्ड टर्म फ्रॉम बिगिनिंग अब जो डी हो गया नाउ कॉमन डिफरेंस कितना होगा जल्दी बताओ अब कॉमन डिफरेंस कितना होगा सर कॉमन डिफरेंस हो जाएगा माइनस डी अब t3 फ्रॉम एंड फ्रॉम एंड वह बराबर हो जाएगा 20 किसम t3 फ्रॉम एंड इस वाली में t3 फ्रॉम एंड इ इक्वल टू t3 फ्रॉम बिगिनिंग इन अबब फ्रॉम स्टार्ट इन अबब सही बात है हां सर बिल्कुल सही बात है और वह हो जाएगा 20 प्स 3 - 1 इन -2 ए प् n -1 नडी यानी 20 - 4 यानी के 16 और देख लो क्या आई थी टर्म 16 ही आई थी क्या आई थी टर्म 16 ही आई थी 16 ही आई थी बिल्कुल वाह यानी के दूसरा तरीका क्या होगा दूसरा तरीका होगा मेथड टू क्या होगा मेथड टू होगा रिवर्स द जीपी रिवर्स द ए मेथड टू क्या होगा भाई मेथड टू रिवर्स द ए रिवर्स द ए नाउ लास्ट टर्म क्या बन जाएगी लास्ट टम बिकम फर्स्ट टर्म बिकम फर्स्ट टर्म वो क्या बन जाएगी फर्स्ट टर्म बन जाएगी वो फर्स्ट टर्म बन गई एंड टी के टर्म फ्रॉम एंड फ्रॉम एंड बिकम फर्स्ट टम एंड कॉमन डिफरेंस लिख रहा हूं सीडी बराबर माइडी के टर्म फ्रॉम एंड हो जाएगी एल प्लस ए माइव इन माइडी ए प् ए माइव इन माइडी क्या यह बात समझ में आई क्या यह बात समझ में आई यानी के कभी भी ए की के टर्म फ्रॉम एंड फाइंड करनी है तो क्या करो सर ए को रिवर्स कर दो और ए को रिवर्स करने के बाद ए को रिवर्स करने के बाद आप के टम फ्रॉम बिगिनिंग निकाल लो बस डी की जगह माइनस रख दो और ए क्या बन जाएगा लास्ट टर्म ए बन जाएगी लास्ट टर्म ए बन जाएगी लास्ट बन जाएगी a और k चाहिए ना k तो यहां k लिख देते हैं k -1 हमने n लिख दिया क्या लिख देंगे k -1 क्लियर है भाई हां सर अब क्लियर हो गया l + k -1 * - d दैट विल बी द केथ टर्म फ्रॉम द एंड तो इस तरह से हम किसी भी ए में शुरुआत से एथ टर्म और लास्ट से एन टर्म निकाल सकते हैं निकाल सकते हैं निकाल सकते हैं ये क्लियर हो गया यह बात क्लियर है हां यह बात समझ में आई आओ तुम्हें एक अपने खास स्टूडेंट से मिलाते हैं एक तुम्हें अपने खास स्टूडेंट से मिलाते हैं मिलाए यह हमारे खास स्टूडेंट है जिसका नाम है चुन्नू जिसका नाम है चुन्नू ये आपसे आप पर निगरानी रखेगा पूरा पूरा निगरानी रखेगा तुम्हारे ऊपर इस लेक्चर के दौरान तुम पढ़ाई कर रहे हो या नहीं कर रहे हो या फिर बस चैट में तुम्हारा पूरा का पूरा ध्यान है और भाई कैसे हो क्या हाल चाल है भाई समझ में भी आ रहा कि नहीं आ रहा भाई जल्दी बताओ भाई क्लियर हुआ कि नहीं हुआ अरे सर य सब के सब लोग बैक लोग वाले हैं बैक लोग और बहुत सारे तो सर यहां पे अपना रिवीजन करने आए हैं सर हो जाएगा भाई सर पर विश्वास रखना धीरे-धीरे चलते रहना सर के साथ लास्ट तक मस्त रिवीजन हो जाएगा कॉपी पेन लेकर बैठे रहि सब बढ़िया हो जाएगा सही बता रहा मैं अपने एक्सपीरियंस बता रहा भाई सर के साथ चलते रहिए सब बढ़िया हो जाएगा चिंता ना करिए बस एक बार बस अ आंख मीच कर फॉलो करते चले आइए हां बेटा चुन्नू धन्यवाद धन्यवाद धन्यवाद ठीक है भाई हा यह बात ठीक है भाई क्लियर हुआ चलो यह बात समझ में आ गई भाई बात समझ में आ गई यह बात समझ में आ गई ए का कोई भी लास्ट टर्म चलो एक छोटा एग्जांपल देते हैं आपको मान लो मैं आपको दे दू मान लो मैंने दे दिया ी 7 11 और 15 इ एन एपी ऑफ 100 टर्म्स इ एन एपी ऑफ ह टर्म्स ह टर्म्स फ फाइंड फिथ टर्म या फाइंड 18 टम फ्रॉम एंड चलो करो भाई 18 टर्म फ्रॉम एंड आखरी से अवा टर्म बताना है तुमको आखरी से 18 टर्म आखरी से 18 टर्म बताओ जल्दी से आखरी से अवा टर्म बताओ तो बहुत आसान मतलब बहुत आसान बहन ये तो बहुत ही आसान सवाल है बहुत आसान है दो मिनट में हो जाएगा ये तो बहुत आसान है हां बेटा बहुत आसान है लेकिन कर लो एक बार अच्छी बात है प्रैक्टिस हो जाएगी अच्छी बात है प्रैक्टिस हो जाएगी तो पहला मेथड 18 टर्म फ्रॉम एंड 18 टर्म फ्रॉम एंड जल्दी से आंसर बताओ फ्रॉम एंड बराबर होगा कितनी टर्म्स है 100 माइ 18 प्व इ इक्वल टू 73 टर्म फ्रॉम बिगिनिंग या फ्रॉम स्टार्ट कितना आ जाएगा सो 73 थर्ड टर्म हो जाएगी 3 प्स 72 73 माइव इन 4 ट विल बी 3 प्स 72 इन 4288 291 आ रही है शायद जरा चेक करो 291 आ रही है 291 आ रही है कितनी आ रही है भाई जरा चेक करो यार एक बार 72 100 माइ 18 100 टर्म्स है टोटल 100 टर्म्स है 18 टर्म चाहिए तो 72 प् 1 73 73 टर्म होगी 73 टर्म होगी 291 आएगा भाई 291 आएगा 83 टर्म है 83 टर्म है हा 82 83 आएगा बिल्कुल सही 83 टर्म आया क्या बात है मान गए तुमको तुम्हारी पार की नजर और निर्मा सुपर दोनों को बच्चे बता रहे हैं हां देखा बेटा इसी तरह से हम तुम्हारी अटेंशन चेक करते रहेंगे बीच-बीच में 82 * 4 82 * 4 विल बी इक्वल टू 3 प्लस कितना 8 और 328 तो कितना आ गया 331 आ गया अच्छा मैं क्या करोगे मेथड टू मेथड टू मेथड टू में लास्ट टर्म बताओ पहले मेथड टू में लास्ट टर्म क्या होगी सर लास्ट टर्म होगी t 100 सवी टर्म होगी ना और वो किसके बराबर होगी 3 प्स 100 माइव इन 4 यानी के 3 प्स 99 न 4 कितना आया 396 399 जरा चेक करो 396 390 ना लास्ट टर्म ये आ गई हां सर अब मुझे बताओ अब मुझे बताओ 18 टर्म फ्रॉम एंड फ्रॉम एंड विल बी इक्वल टू विल बी इक्वल टू व्ट ए प्लस 18 - 1 इन माइडी यानी के 399 प् 1 * माइ 4 यानी के 399 -1 4 68 कितना आ गया 331 331 यस हां भाई बात समझ में आ गई बहुत अच्छे से हां सर बात बहुत बढ़िया तरीके समझ में आ गई है अब ए की एक बहुत ही इंपॉर्टेंट प्रॉपर्टी देखो जरा ए की बहुत ही इंपॉर्टेंट प्रॉपर्टी देखो मान लो मेरे पास एक एी हो 2 4 6 8 10 12 12 और 14 और 16 अगर तुम इसको और इसको जोड़ो कितना आता है सर 18 आता है इसको और इसको जोड़ो तब भी 18 आता है इसको और इसको जोड़ो तब भी 18 आता है इन दोनों को जोड़ो तब भी 18 आता है कहने का मतलब है कहने का मतलब है कहने का मतलब है अगर तुम टर्म्स को शुरुआत से और लास्ट इक्विडिस्टेंट टर्म पकड़ लो और दोनों को जोड़ते चले जाओ हमेशा आंसर सेम आएगा और वह बराबर होगा फर्स्ट टर्म प्लस लास्ट टर्म यानी मैं क्या कह सकता हूं क्या कह सकता हूं सम ऑफ इक्विडिस्टेंट टर्म्स इक्विडिस्टेंट टर्म्स इक्विडिस्टेंट का मतलब हो गया शुरू से और आखिरी से बराबर दूरी पर शुरू से दूसरी लास्ट से दूसरी लास्ट से दूसरी 14 शुरू से दूसरी चार 14 और चार 18 18 आ रहा है सम शुरू से तीसरी लास्ट से तीसरी दोनों को जोड़ा फिर 18 आया सम ऑफ इक्विडिस्टेंट टर्म्स फ्रॉम बिगिनिंग एंड एंड इ इल टू फ्रॉम बिगिनिंग एंड एंड इज इक्वल टू सम ऑफ सम ऑफ फर्स्ट एंड लास्ट टर्म फर्स्ट एंड लास्ट फर्स्ट एंड लास्ट टर्म ये फर्स्ट और लास्ट टर्म के बराबर होता है ठीक है हां अगर ऑड नंबर सर बहुत सारी लोग सोच हा यहां तो सारे जोड़े बन गए अगर जोड़े ना बने तो फिर क्या होगा सर जोड़ी नहीं बने तो फिर क्या होगा तब तो आप गलत बोलोगे फिर तो नहीं आने का सर सही हां बेटा बेटा चुनो यह गणित है यहां कोई बैक बॉन्डिंग कोई स्टेरिक ड्रेंस नहीं होता है ये देखो कितनी टर्म है एक दो तीन चर पाछ सा सात टर्म्स है भाई हा तो जरा इनको जोड़ो सर ये हो गया 24 इसको इससे जोड़ो भाई इसकी शादी इसके साथ 24 इसकी शादी इसके साथ और 12 की शादी 12 के साथ क्योंकि ये शुरुआत से चौथी और लास्ट से चौथी है तो 12 को 12 के साथ जोड़ो तब भी 24 आ जाएगा तब भी 24 आ जाएगा वाह सर ये तो जादू हो गया कतई जादू अरे वाह यह तो बिल्कुल जादू हो गया सर मजा आ गया सर मजा आ गया तो बिल्कुल हां बेटा तो सम ऑफ इक्विडिस्टेंट टर्न्स फ्रॉम बिगिनिंग एंड एंड इ ऑलवेज कांस्टेंट एंड इज इक्वल टू सम ऑफ फर्स्ट एंड लास्ट टर्म एक मस्त बात बताऊ ऐसा क्यों होगा टी के प्लस टी के फ्रॉम लास्ट टी के फ्रॉम एंड जरा बताओ कैसे लिखोगे जरा इसको बताओ तो t के t के प् t के फ्रॉम एंड यह बराबर होगा a प्स k -1 * d यही होगा भाई हां सर t के फ्रॉम एंड कैसे लिखेगा l प्लस के -1 न माइडी उल्टा कर देंगे ए को और t के कैसे लिखेंगे लास्ट से ऐसे लिख देंगे ऐसे लिख सकते हैं मेथड टू से हां और फिर क्या होगा देखो बेटा ऐसा क्यों हो रहा है आपको नजर आएगा यह कट गया देख रहे हो यह चल बसा हमारे बीच नहीं रहा ये और यह कट गया और उत्तर क्या आया पुत्तर सर ए प् ए हेंस प्रूव्ड यह प्रूव हो गया यह हो गया प्रूव बात समझ में आ गई भाई बात समझ में आ गई क्या मतलब य तो गजब हो गया सर मतलब प्रूफ भी हो गया य तो बहुत बढ़िया मतलब देखने को पता चल गया कैसे आ रहा य अरे वाह मजा आ गया सर ए प्लस ए आ गया बेटा प्रूव हो गई यह बात हा सर यह बात प्रूव हो गई अब एक मस्त चीज बताऊ एक और मस्त चीज बताऊ देख एक मस्त चीज बताता हूं यह टर्म वन यह टर्म टू यह टर्म थ्री यह टर्म फोर और यह टर्म फ यह टर्म सिक्स यह टर्म सेन यह टर्म 8 और यह टर्म मान लो ना लिख दू इ एन ए मान लो यह ए है यह क्या है ए एक मस्त बात बता देख व प्स t9 यह बराबर होगा t3 प्लस जरा जल्दी से कमेंट बॉक्स में लिखो t3 प्लस क्या लिखू आगे यह बराबर होगा t5 प्लस या t4 प्लस क्या लिखूं आगे जल्दी से बताओ t4 प्लस क्या लिखू आगे t3 के आगे क्या लिखू t3 के आगे क्या लिखूं हा t3 के आगे क्या लिखू भाई बताओ जल्दी से t3 के आगे क्या लिखू t3 के आगे लिखेंगे t7 और t4 के आ क्या लिखू 36 आप देखो अगर इन इंसेस का सम ये जो लिखे हुए हैं यह सम बराबर है सा और तीन 10 साछ और चार 10 यानी कहने का मतलब है यहां से एक बहुत मस्त चीज निकल कर आती है अगर m प् ए बराबर प प्स क देन इन ए ए इन एन ए टर्म ए प्लस टर्म n विल बी इक्वल टू टर्म प प्लस टर्म q बोलो भाई हां सर यह बात तो गजब हो गई सर अब जरा एक चीज और देख ले देख ले यह बात ध्यान रखना अगर m ् n बराबर p प् q है तो टर्म m प्लस टर्म n बराबर टर्म p प्लस टर्म q होगा ये नई चीज है किसी किताब में नहीं है ये किसी भी किताब में नहीं है यह किसी भी किताब में नहीं है यह है ना यह कहीं भी नहीं है यह बात क्लियर हुई यह बात क्लियर हो गई यह बात क्लियर हो गई जी सर यह बात क्लियर हो गई जसे मान लो अगर मैं कहू इ एव ए2 ए3 न बी एन ए बी एन ए फाइंड द वैल्यू ऑफ फाइंड द वैल्यू ऑफ फाइंड द वैल्यू ऑफ ए5 प्लस ए1 डिवाइडेड बाय ए1 प्लस एना प्लस ए 20 प्लस ए 1 अपॉन ए 18 प्लस ए 19 है ना और प्लस a21 माइनस ए 13 अपॉन ए1 माइनस ए 11 चलो जल्दी से इसका आंसर बताओ जल्दी से इसका आंसर बताओ जल्दी से इसका आंसर बताओ जल्दी से आंसर बताओ हां जल्दी से बताओ इसका आंसर सर इसका आंसर हो जाएगा सर 19 यह भी 19 यह तो हो गया सर वन यह हो गया सीधा सधा वन यह कितना हो गया सर यह भी वन हो गया क्यों यह 37 और यह भी 37 वन यह कितना हुआ यह कितना हुआ बच्चे बता रहे थ्री भावना में भगा बेटा तुम भावना में भगा बेटा तुम जरा यहां देख लो इसमें क्या होगा सर a21 - a13 अगर मैं इसको इवेलुएट करूं तो ऊपर लिखा है a1 + 20d - a1 + 12d ये लिखा है भाई ऊपर और नीचे लिखा है सिर्फ d d क्यों कंकूट टर्म्स का डिफरेंस सेम होता है कांस्टेंट होता है कॉमन डिफरेंस के बराबर होता है तो ये और ये कट गया तो ऊपर कितना बचा ऊपर बच गया 8d पोपट होई गया मोई मोई हो गया मोई मोई हां बेटा जहां समझा चिंदी वही लगेगी बिंदी ध्यान रखना हां स बता रहे हैं जहां समझा चिंदी वहीं लगेगी बिंदी एट आ गया हां तो आंसर क्या हुआ आंसर आ गया है आंसर आ गया 10 बात क्लियर हो गई बात क्लियर हो गई हो गया मोए मए हां बात क्लियर हो गई जल्दी से अगर समझ में आया तो हार्ट स्पैम करते फटाफट लाल लाल दिल लाल लाल दिल स्पैम करने अगर बात समझ में आ गई है तो अगर बात समझ में आ गई है तो लाल लाल दिल स्पैम कर दें ठीक है अब आते हैं सम ऑफ एन टर्म्स ऑफ ए पर सम ऑफ एन टर्म्स ऑफ ए पर अगर मैं एन टर्म्स ऑफ एी अगर हम एन टर्म्स ऑफ एपी की बात करें चलो बहुत बढ़िया बहुत बढ़िया बहुत ही बढ़िया सर जो कह रहे ना रिपीट रिपीट बहुत सारे बच्चे सर जो कह रहे एक दो जो रिपीट रिपीट य वो है सर जो लेक्चर देखते देखते मोनू गेट बंद करया मोनू जरा देखि जरा मोनो गेट बंद करिया मम्मी जरा चाय दे दो फिर यह वापस लेक्चर प आवे फिर पूछो सर समझ में नहीं आया भाई देखिए अगर आप इस लेक्चर को अटेंट देखेंगे तो एक एक चीज समझ में आएगी लेकिन अगर आप घर के माहौल में लगे रहेंगे मम्मी नम ले आओ मोनू गेट बंद कर दे सोनू चाय ले आ तो भैया फिर यह लेक्चर समझ में नहीं आएगा इसलिए ध्यानपूर्वक अलग कमरे में या एक जगह ध्यानपूर्वक बैठकर इस लेक्चर को देखें तो एक-एक चीज क्लियर होती जाएगी ध्यान रखिएगा यह आपके करियर का सवाल है बहुत इंपॉर्टेंट चीजें चल रही है सारी की सारी चीजें ना जाने किस रूप में नारायण मिल जाए ठीक है भाई अब जरा देखें सम ऑफ ए टर्म्स ऑफ ए मान लो मेरे पास एक ए है ए प्लस ए प्स d फिर ए प् 2d मैंने क्या किया इस सबके सम को इ सब की टर्म्स को ड किया लास्ट टर्म ए टर्म्स मान रहा हूं तो लास्ट टम होगी ए प् ए माइन डी तो इसका जो सम होता है इसका जो सम होता है वो कैसे मिलता है आप इसी को उल्टा करके लिख लो इसी को आप उल्टा करके लिख लो उल्टा करके लिख दिया a ् n - 1d हां सर इसके पहले क्या आया होगा सर यहां n -1 तो उसके पहले आया होगा a प् n - 2 नडी फिर उसके पहले a प् n - 3 नडी और फिर लास्ट तक चलते चलते टिन टिन टिन यहां आ जाएगा ए हमने इसे उल्टा करके लिख दिया और अब दोनों को ऐड करते चले जाओ अब इन दोनों को ऐड करते चले जाओ तो कितना हो जाएगा सर ये हो जाएगा 2sn जब आप इसको और इसको ऐड करोगे तोय आएगा 2a प्स n माइव नडी हमने इसको और इसको ऐड किया पूरे को फिर हमने इसको और इसको ऐड किया यह भी आ जाएगा है ना 2a प्लस n माइन 2 प्व यानी n माइव नडी फिर उससे अगले वाले को देखो यह भी य आ जाएगा 2a प् ए माइव नडी फिर प्लस लास्ट में चलते चलते प् ए माइव नडी कितनी बार आ गया ए बार आ गया तो 2sn यही टर्म कितनी बार आई य टर्म कितनी बार आई ए बार तो उसका सम कितना हो जाएगा n इन 2a प् ए माइव नडी ए ए हो गया n बाटू इन 2a प्लस ए माइव इन ये आ गया सम ऑफ ए टर्म्स यह आ गया सम ऑफ टर्म्स ठीक है हां सर यह आ गया सम ऑफ ए टर्म्स इसको अगर आप चाहो तो इसको अगर आप चाहो तो ऐसे भी लिख सकते हो कैसे जरा देखो कैसे भी लिख सकते हो ए ए बराबर इसे लिखो n बाटू ए प्लस ए प् n-1 नडी जल्दी से बताओ यह क्या बन गया जल्दी से कमेंट बॉक्स लिख के बताओ यह क्या बन गया व्हाट डज इट बिकम जल्दी से बताओ यह क्या बन गया सर sn2 इन ए प् ए n बाट * ए प् ए फर्स्ट टर्म प्लस लास्ट टर्म फर्स्ट टर्म प्लस लास्ट टर्म ए ए हो गया n बाट * ए प् ए सही बात है भाई हां यह क्लियर हु हु ये लास्ट टर्म बन गया तो फर्स्ट टर्म प्लस लास्ट टर्म इन n बाटू दैट इज द सम ऑफ n टर्म्स ऑफ ए अच्छा अब जरा इसको अगर मैं ओपन कर लूं तो कैसा दिखाई देगा सर 2 ए प्लस यह कैसा एक्सप्रेशन दिखाई देगा ए एक छोटी सी बात बता देता हूं यहां पर इफ सम ऑफ ए टर्म्स ऑफ अ सीक्वेंस ऑफ सीक्वेंस इज क्वाड्रेटिक इन ए क्वाड्रेटिक को किसम ए में देन ऑफ द टाइप ऑफ द टाइप बहुत इंपॉर्टेंट बात बताने जा रहा हूं ध्यान से सुनना ए स्क्वा प्स बी ए देन द सीक्वेंस इज एन ए देन द सीक्वेंस इज एन ए सीक्वेंस क्या होगी ए होगी विद कॉमन डिफरेंस विद कॉमन डिफरेंस टू ए अभी तक जेई मेंज ने इसके ऊपर सवाल नहीं पूछा जल्दी ही पूछ सकता है अब पूछ सकता है क्योंकि अब उसके पास लिमिटेड नंबर ऑफ रिसोर्सेस हैं अब उसके पास हां अब उसके पास लिमिटेड नंबर ऑफ रिसोर्सेस हैं ठीक है ना ध्यान रखिए अगर किसी भी सीक्वेंस का सम आपको ए टर्म्स का सम आपको क्या दे रखा है क्वाड्रेटिक दे रखा है किस फॉर्म का ए स्क्र प् बी ए फॉर्म का तो पक्का वो क्या होगी तो पक्का वह ए होगी और उसका कॉमन डिफरेंस कितना होगा 2a होगा दूसरी इंपॉर्टेंट बात दूसरी इंपॉर्टेंट बात दूसरी इंपॉर्टेंट बात यह है फॉर एनी फर एनी सीक्वेंस इफ एस ए इ सम ऑफ ए टर्म्स सम ऑफ ए टर्म्स देन तुम मुझे बताओ एव क्या होगा सर एव होगा t1 के बराबर एव का मतलब होगा एक टर्म का सम ए2 किसके बराबर होगा वो होगा टर्म वन प्लस टर्म टूथ किसके बराबर होगा टर्म वन प्लस टर्म टू प्लस टर्म थ एंड सो ऑन यह बात सुनने में बड़ी छोटी सी लगती है यह बात सुनने में बड़ी छोटी सी लगती है हां यह बात सुनने में बड़ी छोटी सी लगती है कि अगर किसी सीक्वेंस के ए टर्म्स का सम sn1 दूसरी टर्म क्या होगी और s2 क्या होगा t1 प् t2 s3 क्या होगा t1 प् t2 प् t3 अक्सर यह बात वक्त आने पर याद नहीं रहती के s1 की वैल्यू टर्म वन के बराबर होनी चाहिए यानी अगर स अगर आप ए टर्म्स के सम में n को वन रख दें तो आपको कौन सा टर्म मिल जाएगा पहला टर्म मिल जाएगा ठीक है ना हां यह याद रखें और दूसरी चीज दूसरी इंपॉर्टेंट चीज आल्सो एंड ए माइनस ए ए माइव यह बराबर होगा टी ए यह बात हर सीक्वेंस के लिए होल्ड करती है यह बात हर सीक्वेंस के लिए होल्ड करती है एक तो यह बात इंपॉर्टेंट हो गई और एक यह बात इंपॉर्टेंट हो गई दोनों बातें याद रखें दोनों बातें याद रखें दोनों बातें याद रखें स क्लियर ठीक है चलो चलो चलो चलो सर सीधा क्वेश्चन कराओ ना सर क्वेश्चन करा दो सर सीधा क्वेश्चन करा दो सर थोरी पढ़ के क्या करेंगे थोरी तो हम आवे क्वेश्चन करा दो सीधा बेटा कई लोग सोच रहे क्वेश्चन करा दे बस सीधा कुछ ना करें थ्योरी री ना पढ़े सीधा क्वेश्चन करा दे फिर जब क्वेश्चन में थरेट कल पॉइंट का यूज होगा फिर कर समझ में नहीं आया सर समझ में कुछ नहीं आ रहा सर समझ में नहीं आया सर बेटा पहले थोड़ा सा थरी से देख ले फिर उसके बाद हम क्वेश्चन पर भी आएंगे फटाफट हम रिवाइज करते चले जाएंगे क्वेश्चन करते चले जाएंगे ध क्वेश्चन क्वेश्चन करेंगे बस थोड़ा सा थियोरेटिकल कांसेप्ट डेवलप कर ले सम ऑफ फर्स्ट एंड नेचुरल नंबर्स सम ऑफ फर्स्ट एंड नेचुरल नंबर्स जरा सम ऑफ फर्स्ट एंड नेचुरल नंबर्स बता दो भाई हा सम ऑफ फर्स्ट एंड नेचुरल नंबर्स सम ऑफ फर्स्ट ए नेचुरल नंबर्स n इन ए प्व बाटू समझ गए होंगे क्योंकि य 1 प् 2 प् 3 लेकर n तक का सम ये हो जाएगा फर्स्ट प्लस लास्ट n बा 2 * फर्स्ट प्लस लास्ट n बा 2a + ए सम ऑफ फर्स्ट एन ऑड नेचुरल नंबर भाई ये बहुत इंपॉर्टेंट है यानी अगर कोई तुम्हें कहे 1 प् 3 + 5 + 7 प्लस ऑन अप टू n टर्म्स 2n - 1 इसका जो सम होता है वह होता है n स्क वह होता है n स्क याद रखें सीधा का सीधा याद रखें सीधा का सीधा ठीक है हां यह याद रखें ठीक है फिर इसी तरीके सम ऑ फर्स्ट एंड इवन नेचुरल नंबर्स अगर मैं कहू 2 प् 4 प् 6 से लेकर 2n तक का सम यह हो जाएगा n इन ए प्व ए इन ए प्व ट विल बी द सम ऑफ फर्स्ट इवन नेचुरल नंबर अच्छा चलो अब तुम्हारी जरा टेस्टिंग करते हैं 1 5 एंड सो ऑन इसकी टर्म एनेथ कैसे लिखोगे इसकी टर्म एथ क्या लिखोगे सीधा टर्म एथ ये सारे ऑड नंबर्स है सर इसमें हम लिखेंगे 2n माइव 2 ए माइव ऑड नंबर्स है 2n माइव लेकिन अगर ऐसा हो 3 5 7 ना एंड सो ऑन इसकी टर्म मेनत कैसे लिखोगे स वो लिखेंगे 2n प्व ध्यान रखना यह भी इसके लिए आता 2n प्व 2n प्व और यहां आता है 2n माइव जब स्टार्टिंग वन से हो और जब स्टार्टिंग थ्र से हो तो 2n प्व क्योंकि ए को वन रखोगे तब थ आएगा टू रखोगे फ आएगा यहां पर वन रखोगे तो वन आएगा टू रखोगे ी आएगा यह चीज याद रखना मिसलेनियस सीरीज में काम आएगी मिसलेनियस सीरीज में काम आएगी हा मिसलेनियस सीरीज में काम आएगी भाई ध्यान रखना यह बात वहां फिर आए आए करते रहेंगे चलिए एपी में अगर तीन नंबर में है अगर तीन नंबर्स ए में है तो आप मुझे बताओ इ ए बी सी आर इन ए इ ए बी सी आर इन ए आपको पता होना चाहिए देन दिस इंप्लाइज बी माइनस ए इ सी माइनस बी यानी के 2 बी इ सी प् ए या ए प् बी इ ए प् क्यों यानी मिडल टर्म का ट वाइस इ ट द सम ऑफ ए एंड द टू एक्सट्रीम टर्म्स य भी मालूम है यह भी मालूम है ठीक है बन य तो बहुत आसान है बहुत ज्यादा आसान बहुत आसान लग रहा है य तो बहुत ज्यादा सारा आ सारा का सारा य तो सारा आवे हा सारा आवे बेटा अच्छा एक चीज और बताओ सम ऑफ ए सम ऑफ एन ए इनक्रीस एज लॉन्ग एज एज लोंग एज इट्स टर्म्स आर कैसी हो सोच के बताओ मान लो एक डिक्रीजिंग एपी है मान लो एक डिक्रीजिंग एपी है ठीक है ना तो उसका सम कब तक बढ़ेगा सोच के बताओ कब तक बढ़ेगा यानी मैं 50 टर्म्स का सम कर रहा हूं फिर 51 टर्म्स का फिर 52 टर्म्स का या फिर पहले 10 का फिर 11 का फिर 12 का क्या हर बार सम बढ़ता चला जाएगा क्या हर बार सम बढ़ता चला जाएगा या एक हद वैसी भी आएगी जब सम डिक्रीज होना शुरू हो जाए सोच के बताओ जल्दी से सम ऑफ एन एपी इंक्रीजस एस लंग एस इट्स टर्म्स आर पॉजिटिव छोटी सी बात छोटी सी बात जैसे टर्म नेगेटिव हो जाएगी सम बढ़ने की बजाय घटना शुरू हो जाएगा घटना शुरू हो जाएगा जब तक टर्न्स पॉजिटिव रहेंगी तब तक सम बढ़ेगा तब तक सम बढ़ेगा कई लोग कह रहे हैं जीरो जीरो भी हो जाए बेटा जीरो पर तो सम कांस्टेंट हो जाएगा है ना बढ़ेगा नहीं उस वक्त तो फिर बढ़ के फिर जीरो पर कुछ अंतर नहीं आएगा चेंज नहीं होगा है ना बेटा हां चेंज नहीं होगा ठीक है ना एक कह रहा है जब तक डी पॉजिटिव रहेगा वेरी गुड बेटा एक बच्चा कह रहा सर जब तक पॉजिटिव रहेगा तब तक बड़ेगा बेटा बेटा तुम ध्यान रखो एक बात के किसी भी ए में डी कांस्टेंट होता है बेटा डी कांस्टेंट होता है ठीक है ना बिल्कुल सर डी कैसा होता है कांस्टेंट होता है डी इज कांस्टेंट अच्छा अब एक चीज और अगर ए1 ए2 ए3 ए4 से लेकर ए ये ए है या ये इज एन ए तो अगर मैं इसमें कुछ जोड़ दूं या घटा दूं a1 प्लस माइनस के a2 प्लस माइनस के a3 प्लस माइनस के एंड सो ऑन क्या यह ए रहेगी और अगर मैं एव इन के के इन ए2 के इन ए3 के इन ए4 क्या यह ए रहेगी क्या यह सब ए रहेगी या नहीं रहेगी यह क्या है ए और इसका कॉमन डिफरेंस जो है वह है मान लो डी कॉमन डिफरेंस है डी कॉमन डिफरेंस है तो इसका कॉमन डिफरेंस क्या होगा इसका कॉमन डिफरेंस क्या होगा और इसका कॉमन डिफरेंस क्या होगा अगर यह है कॉमन डिफरेंस तो ए को अगर मैं किसी भी नंबर से ऐड करू या मल्टीप्लाई करू तो व ए रहेगी और अगर मैं एव अपन के कर दूं एव अपन के एव अपन के ए2 अपन के ए3 अपन के एंड सो ऑन तो यह भी एक ए होगी कॉमन डिफरेंस बता दो भाई कॉमन डिफरेंस बता दो हां भाई पहले वाले का कॉमन डिफरेंस तो डी ही रहेगा बच्चे बता रहे हैं बिल्कुल सही बेटा इसमें कॉमन डिफरेंस में कोई अंतर नहीं होगा क्योंकि जब तुम इन दोनों टर्म्स को माइनस करोगे के से के कट जाएगा a2 - a1 ही बचेगा जो कि d के बराबर होगा अगले वाले में कॉमन डिफरेंस बताओ अगले वाले में कॉमन डिफरेंस इसका कॉमन डिफरेंस क्या हो जाएगा इसका कॉमन डिफरेंस इसका कॉमन डिफरेंस क्या होगा सेकंड वाले का जल्दी से बोलो कमेंट बॉक्स में लिखो व् विल बी द कॉमन डिफरेंस डी के बिल्कुल सही डी के डी टाइम्स के और ये हो जाएगा डी बाय के ये हो जाएगा d बा के तो ये चीज ध्यान रखें है ना यह सब के सब क्या होंगे यह सब के सब आर आल्सो एी आर आल्सो एी आर आल्सो इन ए यह भी ए में होंगे ठीक है ना और इनके कॉमन डिफरेंस का यह हाल हो जाएगा इनके कॉमन डिफरेंस का यह हाल हो जाएगा बिल्कुल भाई उनका कॉमन डिफरेंस तोडी रहेगा य कॉमन डिफरेंस के से मल्टीप्लाई हो जाएगा ठीक बिल्कुल सर यह समझ में आया अच्छा एक चीज एक बहुत और इंपॉर्टेंट बात एक और इंपोर्टेंट बात लास्ट या सेकंड लास्ट इंपोर्टेंट बात करने जा रहे हैं आपके साथ मान लो मेरे पास एक एी है ध्यान से सुनना बेटा अब यह प्रॉपर्टी तुमने पढ़ी होगी या नहीं पढ़ी होगी पता नहीं 11 13 15 17 19 और 21 मान लो ये है 21 मान लो 23 है ना फिर 25 ऐसे है कुछ मान लो मैंने उठाया दूसरा टर्म फिर उठाया अ नौ फिर उठाया 15 और फिर उठाया एक काम करता हूं पहले मैंने उठाया थ्री फिर मैंने उठाया मान लो सपोज आई पिक अप ये उठाया है ना फिर मैंने उठाया ये है फिर मैंने उठाया 27 फिर मैंने उठाया 27 ये आगे चलता जा रहा है तो मैं यहां पर टर्म्स उठा रहा हं रेगुलर इंटरवल्स पर रेगुलर इंटरवल्स पर रेगुलर इंटरवल्स पर यह कौन सी टर्म उठाई टर्म टू यह कौन सी टर्म उठाई 3 4 5 स टर्म सिक्स यह कौन सी टर्म उठाई टर्म 7 8 ना 10 ये उठाई टर्म 14 रेगुलर इंटरवल्स पर डम उठाई है क्या ये एपी में होंगी हां सर यह भी एपी में होंगी यह भी एपी में होंगी आर आल्सो इन एी मैं तुम्हें इसका जेई मेंस में इसका यूज़ दिखाऊंगा 2023 में कहां यूज़ होगा यह छोटा सा फैक्ट यह भी ए में होगी उसका कॉमन डिफरेंस कितना होगा इसका कॉमन डिफरेंस कितना होगा जल्दी से बताओ कॉमन डिफरेंस कितना होगा है ना हां तो 3 11 19 27 एंड सो ऑन आर आल्सो इन एी आर आल्सो इन ए इसका कॉमन डिफरेंस कितना है इसका कॉमन डिफरेंस है टू इसका कॉमन डिफरेंस कितना है टू है कॉमन डिफरेंस कितना है टू हमने कितने इंटरवल पर उठाई सर चार के इंटरवल पर उठाई इसका कॉमन डिफरेंस हो जाएगा इसका कॉमन डिफरेंस हो जाएगा d इन इंटरवल लेंथ इंटरवल लेंथ यानी के 2 * 4 दैट इज 8 2 * 4 दैट इज 8 दैट इज 8 ये हो जाएगा कॉमन डिफरेंस यानी के अगर आप यहां इंटरवल लेंथ कितना है इंटरवल लेंथ है इंटरवल लेंथ 30 उठाई थी फिर दूसरी चार 10 - 6 तब भी चार ठीक है ना 4 इन यह बात क्लियर हो गई यह बात क्लियर हो गई इज इट क्लियर हां यह बात क्लियर हो गई तो इस बात को हम यहां यह कह सकते हैं इस चीज को हम यहां ऐसे कह सकते हैं कि अगर हम इफ वी पिक अप द टर्म्स विथ कॉमन डिफरेंस तो यह भी ए में आएगा और उसका कॉमन डिफरेंस हो जाएगा वो जाएगा इंटरवल लेंथ इनटू ओरिजिनल कॉमन डिफरेंस नई वाली एपी का नई वाली एपी का अगर यह बात समझ में आ गई जल्दी से लिख के भेजे एडी सी ऑल डाउट क्लियर एडीसी लिख के भेजे एडीसी लिखकर भेजे एडीसी लिखकर भेजे जल्दी से इसका यूज करेंगे अब हम इसका यूज करेंगे फिर हम जल्दी से एडीसी लिखकर भेजे एडीसी लिखकर भेजे एडीसी लिखकर भेजे भाई एडीसी लिखकर भेजे एडीसी लिखकर भेजे फटाफट चलो सही सही सही सही सही अब हम यहां एक और चीज आपको बताते हैं एक और चीज के अगर आप इनन ए टी प्लस के प्लस टी आर माइनस के बायट यह बराबर होगा टी के यह बराबर होगा टी आर के यानी r से के कदम आगे और के कदम पीछे अगर आप टर्म ले ले और दोनों को ऐड करके बाय टू कर द तो के बराबर आ जाएगा टू टाइम्स आ जाएगा यह कैसे हो जाएगा यह तो ऐसे भी सिद्ध हो जाएगा देखो टी प् के प्लस माइन के दोनों को जोड़ के देखो कितना आ रहा है 2r आ रहा है इक्टी प्टी अभी अभी पढ़ा अगर m ् n m + n बराबर p प् q हो तो t ए + t ए बरा t+ होता है तो यह इसका कारण हो गया यानी कि अगर आप किसी भी टर्म से इक्विडिस्टेंट टर्म ले लो जैसे एग्जांपल के तौर पर 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 मान लो एक बच्चे ने क्या किया यह टर्म ले ली 14 ले लिया 14 से वो क्या गया तीन कदम पीछे गया यहां आ गया 14 से कितने कदम पीछे गया तीन कदम पीछे गया तीन टर्म पीछे और इससे तीन टर्म आगे गया तीन टर्म आगे गया यानी के वो पहुंच गया कहां पर वो पहुंच गया 20 पर तीन कदम आ गए है ना थर्ड टर्म पर तो यहां कितना हुआ 8 + 20 बा 2 बरा 14 बराबर 14 असल में क्या है ए में से यह क्लियर हुआ भाई यह क्लियर हुआ यह बात समझ में आई यस बिल्कुल और यहां पर एक चीज ध्यान रखिए यह ओबवियस सी बात है एक बच्चा कह रहा सर r लेसन के मतलब के जो है ना सर वो r से छोटा होना चाहिए ओबवियस सी बात है भाई माइनस में तो जाएंगे नहीं तो ये तो ओबवियस सी बात है हर बुद्धिमान प्राणी यह सोच के चलेगा कि k की वैल्यू r से छोटी होनी चाहिए है ना और k और r नेचुरल नंबर भी होने चाहिए यह भी लिखेगा मतलब य कहने की बात थोड़ी है भाई है ना हां ठीक है बिल्कुल यह बात क्लियर है चाहे कितनी भी दूरी पर ले जैसे यहां पर हमने तीन यहां पर हमने यहां अ यह अगर आपने 14 लिया इससे अ आपने पीछे चले गए और यहां से आप आगे चले गए कितने कदम तीन कदम पीछे और तीन कदम आगे तो व कैसी आई दोनों को जोड़ के बाय टू करेंगे तो 14 ही आ जाएगा जैसे देखो एक दोती चर यह तो हो गई टर्म फोर फिर 5 सि से यह हो गई टर्म सेन तो तीन कदम पीछे गए तुम और फिर 8 ना 10 यह हो गई टर्म 10 तो खुद देखो तुम तीन कदम आगे गए तीन कदम पीछे गए तो तुमने देखा t4 बराबर हो गया t7 प्टी 10 बाटू उल्टा लिखा क्या लिखे भाई टी से बराबर 4 प्स टी 10 बायट य ध्यान रखें यह छोटी सी बात ध्यान रखें इन एन ए एपी में यह बात होल्ड करती है यह प्रॉपर्टी यहां लिख रखी है अच्छे शब्दों में अगर आप चाहे तो यहां देख सकते हैं यह लिख रखी है यहां पर आपके लिए हमने लिख छोड़ी है अच्छी तरीके से ठीक है हां यह बात क्लियर हुई यह क्लियर हुआ अब जरा देखो अब जरा देखो ी नंबर्स इन एपी तीन नंबर अगर एपी में है तीन नंबर अगर एपी में है हा बोलो भाई बोलो क्लियर है बात क्लियर है बात इ इट क्लियर टू ल अगर तीन नंबर ए में लेने हैं तो ऐसे ले सकते हैं ए माइडी ए ए प्स डी कॉमन डिफरेंस कितना है डी का कॉमन डिफरेंस है यह कब लेना चाहिए कॉमन डिफरेंस कितना है डी कॉमन डिफरेंस कॉमन डिफरेंस डी जब पांच नंबर लेने हैं तब आपके पास कॉमन डिफरेंस फिर से डी कॉमन डिफरेंस फिर से डी और चार नंबर लेने हैं कॉमन डिफरेंस 2d कॉमन डिफरेंस रख देंगे 2d यानी इवन नंबर लिखने हो ए में चार इवन नंबर तो चार नंबर ए में तो आप डिफरेंस रखेंगे 2d का ताकि चारों को ऐड करके डी कट जाए ज्यादातर ऐसे ले लेते हैं लेकिन ये बहुत कम यूज होता है ये वहां यूज होता है जहां पर हमें सम ऑफ ए लिखना हो यानी के जहां पर हमें चार नंबर्स ए में दे रखे और उनका सम दे रखा हो तो कुछ तो उससे फायदा क्या होगा जब आप चार नंबर्स इस तरह से मानेंगे तो ये क्या बन जाएगी ए बन जाएगी अब ए बन गई इसका कॉमन डिफरेंस कितना है 2d और जब आप इन चारों नंबर को जोड़ेंगे तो 3d से 3d d से d कट जाएगा सीधा a की वैल्यू आ जाएगी तो ये कब यूज करना चाहिए जब हमें चार नंबर पांच नंबर तीन नंबर ए में दे रखे हो और कहा गया हो और कहा गया हो क्या और कहा गया हो कि आप उस ए को फाइंड करिए तो वहां हम कैलकुलेशन को थोड़ा बचाने के लिए यह नंबर्स इस तरह से मान सकते हैं लेकिन अगर आप a a + d a + 2d a + 3d भी मान ले तो भी चलेगा तो जब भी इवन नंबर ऑफ टर्म्स अजूम करने हैं तो दो दो का कॉमन डिफरेंस लेंगे ऑड नंबर एज्यूम करने हैं तो डी का कॉमन डिफरेंस लेंगे तो डी का कॉमन डिफरेंस लेंगे ठीक है हां डी का कॉमन डिफरेंस लेंगे अब क्वेश्चंस पर आते हैं भाई अब क्वेश्चंस पर आते हैं चलो एक चीज और मुझे बता दो अगर मैं यहां तुमसे कहूं सिक्स नंबर्स इन ए सिक्स नंबर्स इन ए जल्दी से बताओ क्या लो लोगे सिक्स नंबर्स इन ए सिक्स नंबर्स इन ए कैसे लोगे कॉमन डिफरेंस सर इवन नंबर और टर्म से कॉमन डिफरेंस रखेंगे दोडी का दोडी का कॉमन डिफरेंस रखेंगे सिक्स नंबर्स इन ए बताओ क्या लोगे सिक्स नंबर्स इन ए क्या लोगे सिक्स नंबर्स ए क्या लोगे जल्दी से बताओ ए माइनस 5 क बच्चे कह रहे बच्चे क रहे माइनस 5d फिर ए माइनस 3डी फिर ए माइनस डी फिर ए प्स डी फिर ए प्स डी और फिर ए प्लस ए प् 3डी फिर ए प्स 5 ए प्लस 5 यह हो गए कितने नंबर तीन और तीन छछ नंबर्स हो गए ए में बात समझ में आ गई बात क्लियर हो गई हां सर यह हो गया सिक्स नंबर्स इन ए तो इस तरह से अज्यू कर सकते हैं ठीक है अब एक बच्चा पूछ रहा है इंटरवल का लेंथ जो डिस्टेंस हुआ इंटरवल का जो भी हमने बताया था वह फोर कैसे हुआ वह फोर ऐसे हुआ 6 - 2 यहां से कितने कदम पीछे गए चार कदम पीछे गए और यहां से कितने कदम आ गए गए चार कदम आ गए है ना तो हमने यहां पर बेसिकली क्या है एक डेफिनेट इंटरवल पर टर्म्स को उठाई तो कई बच्चे पूछ रहे हैं यहां पर डिस्टेंस चार कैसे आया बेटा t2 t6 t10 t14 इस तरह से रेगुलर इंटरवल्स पर हमने टर्म्स उठाई हैं इनके बीच का जो डिफरेंस है छ और दो 4 10 और 6 4 14 और 10 चार का डिफरेंस है तो इंटरवल का लेंथ कितना हो गया फोर इंटरवल का लेंथ फोर हो गया तो 4 * कॉमन डिफरेंस कितना था पहले सर कॉमन डिफरेंस था टू तो इसका कॉमन डिफरेंस हो जाएगा ओरिजिनल कॉमन डिफरेंस इंटू इंटरवल लेंथ इंटू इंटरवल का लेंथ तो आठ हो जाएगा यहां पर ठीक है भाई ठीक है हां यह बात क्लियर हो गई यह बात क्लियर हो गई एक बच्चा कह रहा वाई नॉट a - 4d अगर तुम a - 4d मानोगे और फिर डी का कॉमन डिफरेंस रखोगे और जब सबको ऐड करोगे तो सारे डी कटेंगे नहीं कुछ डी बचे रह जाएंगे तो इसलिए हमने a -5d से चालू किया यहां पर ठीक है भाई हमारा मेन मकसद है कॉमन डिफरेंस इस तरह से लगाया जाए ताकि जब सबको ऐड करें सारे डी कट जाए और सिर्फ ए में टर्न्स बचे ठीक है सिर्फ ए में टर्न्स बचे चलो तो शुरुआत करते हैं पहले सवाल के साथ लो भाई यह रहा पहला सवाल जेई मेंस 202020 में आया है 10 टर्म्स इफ द 10थ टर्म ऑफ एन एी इ 1/2 20 टर्म इज 1 बा 10 सम ऑफ इट्स फर्स्ट 200 टर्म्स जल्दी से करते हैं जल्दी से करते हैं लेट अस बिगिन विद दिस हां जल्दी से बताओ चलो जल्दी से देखो यहां पर हमारे पास 10 टर्म ऑफ ए कितनी है 1 बा 20 10 टर्म है 1/20 और 20 टर्म है 1 बा 10 सिंपल सा सवाल है बिल्कुल बहुत ही बेसिक सा ए प्स 9 नडी = 1 बा 20 फिर ए प्स 10 नडी 19 नडी बराबर 1 बाय 10 दोनों को माइनस कर ले आपके पास आ जाएगा माइनस का 10d इ इक्वल टू माइनस काव बाय 20 तोडी की वैल्यू आ गई / 200 चेक करो यही आ रही है की वैल्यू की वैल्यू क्या आ गई / 200 आ गई डी की वैल्यू क्या आई जल्दी से चेक करके बताओ डी की वैल्यू क्या आ गई डी की वैल्यू 1 बा 200 यस और नो एमटी ज लिखकर भेजो अगर यह मैच हुआ तो 1 बा 200 तो ए प्लस 9 अप 200 इ 1 बा 20 ए की वैल्यू आ गई 1 बा 20 माइनस 9 बा 20000 ट इज 1 बाय 20000 भीव बाट आ गई अब हमें सम ऑफ 200 टर्म चाहिए तो ए 200 लिख लो यार कितना होगा 200 बाट यह सवाल तो सिर्फ मकसद हमारा यह है कि आपको प्रॉपर्टी याद हो जाए अच्छे से मतलब सारे फर्मूला याद हो जाए इस सवाल में और 200 मानव इन व बाय 200 इन 1/2 ठीक है ना हां तो बस अब देखो 200 200 200 गया और यह हो गया आपके पास में 1/2 इन 2 प्लस 1909 कितना आ गया 201 बायट तो 100 होल 1/2 दैट इज द आंसर द करेक्ट आंसर इ बमबे कोई ऐसा जिसका यह भी गलत हो गया हो कोई ऐसा जिसका य गलत हो गया जल्दी से कमेंट बॉक्स में लिखकर भेजो माय हाथ उठाओ जिसका यह भी गलत हो गया हो जिसका यह भी गलत हो गया हो जिसका यह भी गलत हो गया हो जिसका यह भी गलत हो गया हो जल्दी से बताओ जिसका यह भी गलत हो गया हो चलो ठीक है एक और सवाल पर आते हैं यह रहा अगला सवाल 2020 23 13 अप्रैल को आया था 2020 23 13 अप्रैल को आया था बेटा जिसका गलत हुआ है ध्यान से करो बहुत आसान से सवाल था पहले वाला बहुत ही बेसिक सवाल था बिल्कुल बेसिक था वोह तो आपसे बन जाना चाहिए था चलो आओ एक और करते हैं साथ में मिलकर s1 s2 s3 से लेकर s10 रिस्पेक्टिवली आर द सम ऑफ 12 टर्म्स ऑफ 10 एपी यानी 12 टर्म्स का समय कितनी ए का 10 अलग-अलग ए का जिनकी पहली टर्म हुज फर्स्ट टर्म्स आर टू 3 एंड 10 एंड कॉमन डिफरेंसेस आर 1 5 एंड 19 यानी कहने का मतलब है यह हमारे पास टर्म वन या टर्म वन और यहां कॉमन डिफरेंस तो पहली एी का एी नंबर वन का फर्स्ट टर्म वन और यहां वन इसका दूसरी ए का दूसरी ए का तो ये एव है इसी तरह से ए2 है ए2 का पहला टर्म क्या है टू और कॉमन डिफरेंस है थ ए3 का ये है थ और यह है फ फिर इसी तरीके से लास्ट में चलते चलते ए 10 तक है ए 10 तक है इसका 10 है और उसका 19 है और ए1 ए2 इनके सम है इसका सम क्या है सम है s10 है ना वो क्या लिख रखा है s1 इसका सम s2 इसका सम s3 और इसका सम है s और कितने टर्म्स का सम है सम ऑफ 12 टर्म्स सम ऑफ 12 टर्म्स जरा मुझे बताओ इसका सम कितना होगा सर इसका सम होगा 12/2 इन 2a प्स 12 माइव 11 नडी इसका सम कितना होगा 12/2 2 इन 2 प्लस 11 न 3 फिर 12 अपन 2 इन 2 इन 3 प् 11 न 5 एंड यूं ही चलते चलते लास्ट में 12 बाट 2 इन प् 11 इन 19 यही आएगा भाई सम जरा देखो यही आएगा इनका सम यही आएगा इनका सम हां सर यही आएगा इनका सम यही आएगा इनका सम दिस विल बी द सम ऑफ दिस टर्म्स और जब आप इन्ह ऐड करोगे और जब आप इन्ह ऐड करोगे अब जरा देखो हमें क्या बोला गया है हमें बोला गया है समेशन आवट 10s आ इसका मतलब क्या है समेशन आ 1 टू 10 एस आ का मतलब है वो हमसे पूछ रहा है s1 प्लस s2 से लेकर s10 तक का सम इनका सम पूछ र रहा है तो अगर मैं इन सबको ऐड करूंगा अगर मैं इन सबको क्या करूंगा ऐड करूंगा जल्दी से बताओ क्या आने वाला है जल्दी से बताओ क्या आने वाला है व्हाट विल बी हैव इन द डिनॉमिनेटर इसको ऐड करके क्या आएगा सर अगर मैं यहां सबको ऐड करूं तो s1 प् s2 प्लस s 10 बराबर होगा देखो जब ऐड करके लिखूंगा तो दिस प्लस दिस प्लस दिस प्लस दिस लिखूंगा सब में से 12/2 कॉमन आ जाएगा यानी कि सिक्स कॉमन आ जाएगा हां और फिर यह सारे ऐड हो जाएंगे टू के साथ कितना 1 प्लस 2 प्लस 3 से 10 तक का सब फिर प्लस इसको ऐड करूंगा तो 11 न 1 प् 3 प् 5 से लेकर 19 तक का सम ऐसे आएगा ड जरा देखो ऐसे आएगा ऐड होकर जब हम इसे ऐड करेंगे तो 12/2 तो सब में से कॉमन आ गया अब जब सब में से कॉमन आंग अंदर बच गया 2 * 1 11 * 1 2 * 2 प् 11 * 3 2 * 3 प् 11 * 5 फिर टू वाले सारे इकट्ठे कर लो इकट्ठे करके उसमें से टू कॉमन आ गया फिर 11 11 वाले सारे इकट्ठे कर लो उसमें से 11 कॉमन आ गया यह बच गया अंदर यह बच गया अंदर यह क्लियर हुआ यह क्लियर हुआ यह क्लियर हुआ ठीक है तो जैसे ये लिखा है तो s1 से s10 तक का सम कितना हो गया बेटा s1 प् s2 से लेकर s10 यह हो गया 6 इन 6 इनटू कितना ये सम ऑफ फर्स्ट 10 नेचुरल नंबर है सम ऑफ फर्स्ट ए नेचुरल नंबर बोलो सर 10 * 11 ब दो फिर प्लस फिर प्लस 11 इन कोई बता सकता है इसका सम कितना लिखू सीधा 1 5 से 19 तक का सम 1 5 19 तक का सम कितना लिखूं सर ये शुरू के कितने नंबर्स है सर ये 10 नंबर है शुरू के 10 ऑड नंबर्स है कितने नंबर शुरू के 10 ऑड इनका जो सम होगा सीधा-सीधा n स्क्वा तो 100 लिख सकता हूं 100 लिख सकता हूं हां यहां पर कौन सा थरेट कल पॉइंट फ यूज हुआ कि सम ऑफ फर्स्ट एंड ऑड नंबर्स होता है n स्क्वा तो यहां पर आपने देखा छोटा सा थियोरेटिकल पॉइंट जो दिखने में बहुत छोटा सा लग रहा था वो यूज हो गया 6 110 प्लस 1100 यह हो गया 6 इन 0 ये हो गया 67260 इज द करेक्ट आंसर आंसर आ गया कल कटा आंसर आ गया कल कटा आंसर इ कलका आंसर हो गया कल कटा चलो ठीक है ठीक है ठीक है अच्छा अब जरा यह देखो हाउ मेनी टर्म्स ऑफ द सीरीज मस्ट बी टेकन सोट सम इ 300 इसका सम 300 हो इसका सम 300 हो यह बिल्कुल बहुत ही बेसिक सा सवाल लेकर आया हूं क्योंकि यहां कुछ समझ में आएगा नया कितनी टर्म्स ले ली जाए 20 57 58/3 और 18 54 56/3 फिर सो ऑन चलता जा रहा है तो सम कितना चाहिए 300 चाहिए लेट नंबर ऑफ टर्म्स कितनी ले ले ए ले ले टेकन बी एन बी एन फॉर सम टू बी 300 अब इसको सर बहुत आसान है सरय तो एनसीआरटी में भी है सर बत आसान है हां बेटा मुझे पता है बहुत आसान है जरा न से कर लो कोई दिक्कत नहीं है है ना n बाटू 40 प्लस n माइव डी कितना आएगा डी है -2 बा 3 डी है माइ 2/3 -2 बा 3 है ना डी है -2 बा 3 है ना बिल्कुल तो आप जरा देखो इस केस में यह हो गया से काट दो इधर 300 बराबर ए इन 20 माइनस ए माइव बा 3 यह हो गया 300 इ n इन 60 माइन n प्व बाय 3 यह हो गया 6900 इक्वल 60n 61 य हो गया 6 61 माइनस ए य हो गया n स्क्वा माइन 61 ए प् 900 इक्वल ट 0 यही आया भाई यही आया 36 ए 25 36 और 25 आ गए यहां से n माइनस 26 दो फैक्टर आ जाएंगे n माइनस 35 इ 0 य आ दो फैक्टर ये दो फैक्टर आ रहे हैं तो आप मुझे बताओ n की वैल्यू कितनी आ गई सर n आ गया 26 और 305 ये प्रॉब्लम वैसे तो ओरिजनली आईआईटी जेई में एडवांस में आ चुका है पुराने समय में लेकिन अब ये हर हर बुक में है तो बच्चों को लगता है बहुत आसान सा सवाल है लेकिन इससे जो अंडरस्टैंडिंग है वो बहुत अच्छी डेवलप होती है यहां जरा ध्यान से देखो दो आंसर आए हैं यानी के s26 और s300 दोनों के दोनों s26 और s35 दोनों के दोनों कितने हैं दोनों के दोनों का सम यानी शुरू की 26 टर्म का सम लो या 35 टर्म का सम लो या 35 टर्म का सम लो 2536 आ रहा है भाई 2536 कह रहे बच्चे सही है भाई 2536 बता रहे बच्चे ठीक है ए माइन 25 और ए माइन 36 लिख लो भाई मैंने तुम्हारे कहने पर लिखा था ए बराबर 25 और 36 मैं कह सकता हूं s ऑफ 25 टर्म्स और s ऑफ 36 टर्म्स ये दोनों के दोनों 300 हैं तो दो आंसर आ गए वो लिख रहा है एक्सप्लेन द डबल आंसर डबल आंसर कैसे आया डबल आंसर कैसे आया ठीक है सर टू कहां गया प्लीज बता दो बेटा टू को बाहु ले गया टू से कट गया बेटा यहां से टू कॉमन ले लो पूरे से पूरे से टू कॉमन ले लो इस पूरे से टू कॉमन लोगे तो बाहर जो टू आएगा वो इस टू से कट जाएगा यहां बचेगा 20 यहां बचेगा - 1/3 तो वो टू कहां गया कट गया पूरे में ठीक है बेटा ये 25 और 36 डबल आंसर क्यों आया डबल आंसर इसलिए आया कि यहां से लेकर t1 t2 t3 से लेकर t25 फिर t26 फिर t27 और फिर t 30 6 इसका जो सम है इसका जो सम है वह कितना है 300 इसका जो सम है 300 फिर जब हमने इनको भी जोड़ दिया इसका भी सम कितना है 300 इसका भी सम 300 है इसका मतलब यह हुआ कि भाई यह जो टर्म है इनका सम कितना है जीरो है इनका सम जीरो है 25 से लेकर 36 तक का सम जीरो है हां ठीक है यानी के कहना चाहिए 26 और फिर 36 यहां तक सम इन टर्म्स का सम जीरो है यानी हुआ क्या है टर्म क्योंकि डी नेगेटिव है टर्म लगातार घटती जा रही है घटती जा रही है घटती जा रही है 25 के बाद हो सकता है सम बढ़े फिर बढ़े लेकिन फिर उसके बाद टर्म्स नेगेटिव हो जाए तो सम घटक वापस 300 पर आ जाए यानी कि 25 के बाद हो सकता है सम पहले बढ़े क्योंकि टर्म्स पॉजिटिव है लेकिन फिर टर्म्स कैसे हो जाएंगी नेगेटिव जिसके कारण से सम घटता चला जाएगा और वापस पर लट आएगा यानी के यहां डबल आंसर क्यों आ रहा है क्योंकि डी नेगेटिव होने के कारण जो टर्म्स है वो नेगेटिव हो जाती हैं और व सम को डिक्रीज करना शुरू कर देती है राद देन इंक्रीजिंग इट राद देन इंक्रीजिंग इट बात समझ में आ गई हां यह क्लियर हुआ अब इसका अगला पार्ट और मजेदार है इस सीरीज का और मैक्स सम द सीरीज सम ऑफ दिस सीरीज द नंबर ऑफ टर्म्स ट शुड बी टेकन बताओ कितनी टर्म्स हमें लेनी चाहिए कितनी टर्म्स हमें लेनी चाहिए इस सीरीज की ताकि सम मैक्सिमम हो तो क्या करें चलो देखते हैं हमें पता है सम मैक्सिमम के लिए हर बार जब पॉजिटिव टर्म्स आएंगी तो सम बढ़ेगा तो सम बढ़ेगा तो मैक्सिमम सम कब आएगा जब तक टर्म्स पॉजिटिव रहेंगी और जीरो आर सम कांस्टेंट हो जाएगा तो मैं क्या करता हूं टर्मन लिखता हूं इसकी टर्मन कितनी होगी 20 प्स n माइव इन माइ 2/3 ट टर्म हो गई मुझे मैक्सिमम सम चाहिए मुझे मैक्सिमम सम चाहिए मुझे मैक्सिमम सम चाहिए है ना तो मैं क्या करता हूं t को अभी ग्रेटर दन इक्वल टू जीरो रख लेता हूं कि कब तक इसकी टर्म पॉजिटिव या जीरो रहती है जीरो वही बन जाए अगर बनती है तो ताकि सम बढ़ते बढ़ते बढ़ते बढ़ते हो सकता है कांस्टेंट हो जाए और फिर उसके बाद डिक्रीज करना शुरू कर दे क्योंकि d नेगेटिव है d नेगेटिव है तो मैंने ग्रेटर दन इक्वल टू 0 रखा 60 - 2n - 1 बा 3 ग्र = 0 तो 60 - 2n - 1 ग्र = 0 तो 2n - 1 < = 60 n माइव लेसन इक्व 30 n लेसन इक्व 31 यानी n जब तक 31 से छोटा रहेगा तब तक टर्म्स नेगेटिव रहेगी व पॉजिटिव रहेगी या फिर अब जरा देखो 31 पर क्या आ रहा है स 31 पर इक्वल हो जा रहा है n 31 हो सकता है और 31 पर इक्वलिटी आ रही है यानी कहने का मतलब 31 टर्म जीरो है 31 टर्म जीरो है यानी कहने का मतलब है t1 t2 से लेकर t30 यह सब कैसी टर्म्स है पॉजिटिव यह टर्म्स पॉजिटिव है फिर t31 कितना है सर जीरो है क्यों जीरो है क्योंकि यहां अगर n को 31 लेता हूं तो य इक्वलिटी आ गई इक्वलिटी आने का मतलब है यहां इक्वलिटी आ गई या टर्म ए कितनी हो गई टर्म 31 कितनी हो गई जीरो अगर ए 31 ले लू तो यह जीरो के बराबर आ जाता तो टर्म 31 जीरो और फिर टर्म 32 फिर 33 ये जितनी भी टर्म्स आएंगी आगे यह सारी की सारी टर्म्स कैसी होंगी आगे की सारी टर्म्स नेगेटिव यह सारी टर्म्स नेगेटिव होंगी यह सारी टर्म्स नेगेटिव होंगी य सारी की सारी टर्म्स नेगेटिव जल्दी से आंसर बताओ क्या आया डी कैसे आया बेटा डी ऐसे आया यह था 20 अगली थी 58/3 फिर 56/3 यह है हा तोडी कैसे मिलेगा अगली टर्म माइनस पिछली टर्म 58/3 माइनस 20 बेटा जब माइनस करोगे तो 60 58 माइ 60 -2 बा 3 सोट इडी ट इज हाउ वी गट दिस डी ऐसे हमारे पास डी आया यह बात क्लियर हो गई तो आंसर क्या आ गया आंसर क्या आ गया जल्दी से बताओ कमेंट बॉक्स में लिख के बताओ आंसर क्या आएगा फॉर मैक्सिमम सम फॉर मैक्सिमम सम क्योंकि जब तक टर्म पॉजिटिव रहेगी तब तक सम बढ़ेगा पता कैसी स्थिति होगी जरा मैं तुम्हे अच्छे से बताऊ कैसी होगी जरा देखना ध्यान से देखना 30 तक बढ़ेगा फिर कांस्टेंट रहेगा और फिर घटता चला जाएगा और फिर क्या होगा फिर घटना शुरू कर देगा सम 31 तक और फिर उसके बाद घटना शुरू कर देगा सम यानी के पहले बढ़ेगा इंक्रीज करेगा फिर सेम रहेगा और फिर डिक्रीज करेगा सम तो आप मुझे बताओ मैक्सिमम सम के लिए n को कितने ले लेना चाहिए हां तो ए ले लेना चाहिए हमें 30 एंड 31 30 एंड 31 तो आंसर आ गया बॉम्बे एंड कोल्काटा बॉम्बे एंड कोल्काटा दोनों आंसर आ गए दोनों आंसर आ गए हम बी एंड सी बोथ आर द आंसर्स यह बात समझ में आ गई हां सर यह बात क्लियर हो गई यह बात क्लियर हो गई चलो आगे बढ़ते हैं आगे बढ़ते हैं आगे बढ़ते हैं यह चमक गया अच्छे से अ एक दो क्वेश्चन और करते हैं एक ये वाला सवाल देखो यह वाला सवाल आया 31 जनवरी को 20202 में चलिए यह कर यह करिए हां बोलो 31 को क्यों कंसीडर किया मैक्सिमम के लिए असल में 31 पर अगर 30 उसने कहा n को क्या ले ले ताकि सम मैक्सिमम आ जाए तो आपको पता है सम मैक्सिमम के लिए अगर तुम n को 30 ले लोगे तब भी सम मैक्सिमम आएगा और 31 ले लोगे यहां पर जो मैक्सिमम सम आ रहा होगा अब 30 31 टर्म जोड़ने पर उसमें कोई चेंज नहीं गा क्योंकि 31 टर्म कितनी है जीरो है मान लो यहां तक टर्म यहां तक का जो सम आ गया वो आ गया हमारे पास 500 तो जब मैं 31 टर्म जोडू तो क्या 500 से सम चेंज होगा नहीं होगा तो सम कैसा रहेगा सेम रहेगा तो इसलिए हम कह सकते हैं मैक्सिमम सम 30 तक भी आ जाएगा और 31 तक भी आ जाएगा इसलिए नंबर ऑफ टर्म्स दैट शुड बी टेकन विल बी 30 और 31 इज दिस क्लियर इज दिस क्लियर हां 58/3 कैसे भाई एक बच्चा पूछ रहा है 58/3 कैसे सर मतलब बहुत ही ज्यादा होशियार है सर बहुत होशियार बहुत ज्यादा होशियार बच्चे हैं सर 58/3 पूछ रहा है कैसे आया भाई 19 * 3 57 प् 1 58 58/3 बेटा बचपन में बिल्कुल ही गोल है क्या गणित 18 * 3 54 + 2 56/3 ऐसे लिख रहा बेटा है ना बचपन में क्या होगा के अगर कभी ऐसे लिखा हो ए बी और यहां सी तो उसका मतलब होता है ऊपर आएगा ए सी प्स बी बाय सी ये होता है इसका मतलब ठीक है ए होल बी बाय सी इसका मतलब यह होता है कहीं तो पूछ र 58/3 कैसा आया गजब हो भाई बहुत ज्यादा होशियार हो बचपन से इतने होशियार हो या अभी अभी इतने होशियार हुए हो भाई हा अब जरा यहां आ जाओ भाई यहां पर यह ए में दे रखा है a5 = 27 a1 = 18 तो आपको इसका सम फाइंड करना है इसको देखकर क्या सबसे पहला ख्याल तुम्हारे मन में आता है जल्दी से बता दो 1 अप र ए1 प्स र ए1 फिर प्लस 1 अपन र ए1 प्लस a12 क्या करूं क्या दिमाग में आता है क्या करना चाहिए इसको देखकर क्या करना चाहिए इसको देखकर क्या आ रहा है तुम्हारे दिमाग में कुछ आता है कुछ आता है दिमाग में क्या करना चाहिए जल्दी से कमेंट बॉक्स में लिखो क्या करना चाहिए a17 प्स रूट ए 18 क्या करूं उसको इसके लिए क्या भाई राशनलाइज बिल्कुल सही राशनलाइज कर दो भाई राशनलाइज कर दे हा सर रलाइज कर दो मैंने मल्टीप्लाई किया ऊपर नीचे रूट ए1 माइनस ए से कर दू यह बड़ा है यह छोटा ऐसा लग रहा है तो a1 माइन ए से कर दू a1 माइन ए1 डिवाइडेड बाय रूट ऑफ ए1 माइनस रट ए 10 इसको मल्टीप्लाई करने का फायदा क्या होगा a12 - र a11 अपॉन रट a12 माइ रट a11 और यह चलता जा रहा है सिलसिला लास्ट में भी हम ऐसा ही करेंगे रूट a18 माइ रट a17 डिवाइडेड बाय र a1 माइ रट a1 दिया भाई रलाइज ऊपर क्या आ गया सर ऊपर आ गया 12 टाइम्स रट a11 माइनस रट a10 नीचे बन गया a1 माइ a10 फिर प्लस a1 रूट माइ ए1 और नीचे आ गया a12 माइ ए1 यही आया भाई है ना यही आया अच्छा हिंदी में भी लिख देंगे भाई चिंता मत करो हिंदी में भी लिख देंगे भाई मोमेंट्स ऑफ लाइफ हिंदी में बोल देंगे हिंदी में भी बोल देंगे हिंदी में भी बोल देंगे समानांतर श्रेणी है भाई है ना समानांतर श्रेणी है तो हमने इसे क्या कर दिया रशन इज कर दिया और यहां आ जाएगा रूट ऑफ a12 माइनस रूट ए1 और नीचे a 12 माइ ए1 य आ गया भाई य तो हम लिख चुके भाई एंड सो ऑन लास्ट में रूट ऑफ ए 18 माइनस रट ए1 डिवाइडेड बाय ए1 माइनस ए1 ऐसे लिख बिल्कुल अब यह ए 11 माइनस ए 10 कोई बता सकता है किसके बराबर होगा यह बराबर होगा डी के यह बराबर होगा डी के कॉमन डिफरेंस के ए 12 माइनस ए1 अगली माइनस पिछली अगली माइनस पिछली इ इक्वल टू कॉमन डिफरेंस ध्यान रखो अगली माइनस पिछली बराबर कॉमन डिफरेंस अगली माइनस पिछली बराबर कॉमन डिफरेंस ठीक है एंड प्लस सो ऑन लास्ट में कितना आया ए 18 का रूट माइनस र ए1 अपॉन डी और फिर जैसे ही हमने ऐड किया आप देख सकते हो डी तो एलसीएम आ जाएगा पूरे के नीचे 12 बडी आ जाएगा और अंदर बच जाएगा रट ए 11 माइनस रट ए 10 फिर प्लस रट ए 12 माइनस रट ए 11 यह बच गया भा यह पहला य दूसरा ब्रैकेट तीसरा ब्रैकेट क्या बचेगा तीसरा ब्रैकेट बचेगा ए 13 रट ए 12 इस तरह से बचता चला जाएगा ब्रैकेट और लास्ट में ब्रैकेट बचेगा रट ए1 माइनस रट ए1 अब जरा मार काट मचा दो थोड़ी सी देखो इसका पहला इसका आखिरी इसका पहला इसका आखरी कटते कटते इसका इससे पहले वाले का पहला और इसका आखरी कट जाएगा कितने लोग जिंदा बचेंगे कितने लोग जिंदा बचेंगे जल्दी से बताओ कितने लोग जिंदा बचेंगे आंसर आ गया बच्चों का वेरी गुड वेरी गुड वेरी गुड कितने लोग जिंदा बचेंगे जल्दी से बताओ कितने लोग जिंदा बचेंगे सर जितने लोग जिंदा बचेंगे वो बचेंगे ए बराबर कितने लोग जिंदा बचेंगे ये था 12 बडी कितना था बाहर भाई 12 बडी 12 बडी इनटू कितना बचा a1 माइन ए1 र 18 माइनस रट ए 10 यह बच गया सर यह बच गया दो लोग जिंदा बचेंगे दो लोग जिंदा बचेंगे ए 18 और ए 10 अब ए1 और ए 10 की वैल्यू कैसे निकाले वहां दे रखा ए5 बराब 27 इसको यही छोड़ दे नाउ अब नाउ चलाओ बिना पानी के ए5 बराबर 27 और फिर ए1 बराबर 18 a 11 बराबर 18 ये हो जाएगा एव पहली टर्म प्लस 10d बराबर 18 यह हो गया ए1 प्स चडी और प्लस इ इक्वल टूटू टाइम्स एव प् 6d य आ गया भाई अपके पास आ गया एव प्स 8डी बराबर 0 और यहां से इन दोनों से सबकट करोगे तो बराबर आडी बराबर कितना आ गया डी बराबर च और ए कितना आया जरा चेक कर लो डी बराबर च डी बराबर कितना आया भाई डी चार आया हा या ना और ए कितना आ रहा है जरा चेक करो सर टू टाइम्स ए7 था यहां 12 बच गया यहां बच गया 8डी 2a प् ए1 a1 प् 8डी ए1 प् 10d दोनों को माइनस किया तो 8डी 2d बराबर 8डी बराबर 4 तोय हुआ 40 22 आ रहा है क्या डी कितना आया भाई ना आ रहा है बच्चे कह रहे ना आ रहा है ना 18 था भाई है ना 18 माइनस दि हा 18 माइनस 18 9 आ गया भाई है ना 9 आ गया 9 आया और ए कितना आया ए बताओ से कमेंट बॉक्स में लिखकर य आ गया -72 य आ गया -72 हा ये कितना आ गया माइन 72 बिल्कुल सही अब मुझे बताओ जल्दी से अब जल्दी से बताओ के एव आ गया एव आ गया अपने पास तो अब 18 तो तुम कर ही लोगे बस अच्छा एक चीज और जहां तुम्हें लगने लगे कि अब तुम कर लोगे वहां कमेंट बॉक्स में लिख दिया करो अब हम कर कर लेंगे कर लेंगे सर अब हम कर लेंगे उससे क्या होगा मैं तुम्हें ज्यादा से ज्यादा क्वेश्चन की प्रैक्टिस करवा पाऊंगा तो जितना तुम यहां पर अपने दम पर बोल दोगे कि हां सर अब हो जाएगा तो ठीक है ना ठीक भाई a + एडी बरा 0 कैसे भाई यहां पर 2 a1 है इस a1 को उधर ले जाओ a1 ये आया 12d 12d में से 4d गया 8d तो a1 प् 8d = 0 इस इक्वेशन से लिखा है हमने अब हम कर लेंगे यस कर लोगे भाई चलो ठीक है तो अब आप इसे खुद कर लेंगे आंसर क्या आ गया इसका इसका जो आंसर आ रहा है आंसर आ रहा है आ आंसर आ रहा है आ अब तो आप खुद कर लोगे चलो चलो बहुत बढ़िया बहुत बढ़िया आगे बढ़ते हैं आगे बढ़ते हैं एक प्रॉब्लम और देखते हैं एकय देखो जेई मेंस 20202 फर्स्ट फेब ए1 है आ ए2 से ए यह ए है सम ऑफ इट्स फर्स्ट फोर टर्म्स 50 सम ऑफ इट्स फर्स्ट फोर टम एव आ है ए2 ए3 ए4 तो ए जो हो गई वो है 8 क्या लिख लू 8 प् d फिर 8 प् 2d फिर 8 प् 3d एंड सो ऑन यह क्या है यह है मेरा a1 यह है मेरा a2 यह है मेरा a3 और यह है मेरा a4 ना और यह चलता जा रहा है लास्ट में ए इस तरह से है पहली टर्म एट दे रखी है सम ऑफ इट्स फर्स्ट फोर टर्म्स 50 जल्दी से करो जल्दी से चलो देखते हैं कौन पहले करेगा 8 प् 8 प् d 8 प् 2d प् 8 प् 3d बराबर कितना है 50 के 8 * 4 एक दोती च 32 प् 6d बराबर 50 d बराबर 3 आ गया d बराबर 3 आ गया और फिर उसके बाद दे रखा है सम ऑफ इट्स लास्ट फोर 170 कितना आया आ गया अब जल्दी से बताओ इसका लास्ट फोर टर्म्स का सम लास्ट फोर टर्म्स ए प्स ए माइव प्स ए माइन 2 प्लस ए माइनस 3 बराबर कितना है बराबर है 170 बराबर है 17 तो ए को कैसे लिखोगे लिखेंगे ए 8 प्स 8 प् n-1 न 3 इन 3 फिर प्लस 8 प्स n - 2 * 3 फिर 8 प् n - 3 * 3 फिर प्लस 8 * n - 4 * 3 8 प्स इन 3 बरा 170 देखो जरा यही आया तो कितना हुआ सर ये हो गया 8 4 32 लास्ट फोर टर्म्स 8 4 32 प्लस ्र कॉमन 1 दोती 4 4n तो ये हो गया 4n माइनस 4 और 3 7 दो 9 और एक 10 बराबर 170 तो 4n - 10 बराबर 1 2 ये 8 और 128 128 आर कितना रहा है भाई जरा देखो माइनस करके जरा देखो 754 है ना n कितना आया भाई जल्दी से बताओ n कितना आ रहा है व्हाट इज द वैल्यू ऑफ n दैट यू आर गेटिंग व्हाट इज द वैल्यू ऑफ n दैट यू आर गेटिंग 8 * 4 32 8 * 4 कितना आएगा 32 32 माइनस करेंगे तो कितना आ जाएगा हां n कितना आ रहा है हां हां हां जल्दी से बताओ n 14 आ रहा है n कितना आ रहा है 14 कॉल करके n 14 आ रहा है बिल्कुल सर n कितना आ रहा है 14 14 आ रहा है भाई सबका जरा देखो आपके पास पहली टर्म कितनी थी आठ तो आठ को आपने किया 8 प् n - 1d n - 2d n - 3d n - 4d एक दोती चार बार ऐड किया तो ये आ गया 32 और प्लस दिस तो आपके पास हो जाएगा 32 प्लस 12n माइनस 30 = 170 12 ए इ 168 तो n बराबर 14 आ गया ए बराबर कितना आ गया 14 अब बताओ मिडिल टर्म कौन सी होगी मिडल टर्म बताओ कौन सी होगी मिडल टर्म जल्दी से बताओ मिडिल टर्म कौन-कौन सी होंगी 14 टम्स में मिडिल टर्म मिडिल टर्म कौन सी बैठेगी मिडिल टर्म नंबर टर्म हो गई 14 हां सर नंबर ऑ टर्म्स हो गई 14 मिडिल टर्म कौन सी होंगी दो होंगी मिडिल टर्म कौन सी टी से और 8 मिडल टर्म्स होंगी मिडल टर्म्स मिडल टर्म यूं सोच लिया करो सात इधर सात इधर एक एक दो से लेकर सात इधर सात इधर छोड़ दो और सात इधर छोड़ दो आ न 10 से 14 तक सात सात हो गया पूरा हां सर ऐसे सोच लो मिडिल टर्म 14 आधी आधी में बाटो तो सात एक साथ आ जाएगी सात एक साथ आ जाएंगी अब मिडल निकाल लिया मतलब जितनी इधर बचनी चाहिए उतनी इधर तो अगर मैं एक यहां से निकाल ल एक यहां से t7 और t8 तो आप देखो इधर जितनी टर्म्स बेंगी छ इधर कितनी बचेगी छ तो ये मिडल टर्म्स हो गई दोनों दो इक्वल भागों में बांट लिया करो फिर दोनों के कोने कोने वाले पार्ट ले लिया करो या फिर सीधा 14 बाट और 14/2 प्व ठीक है ना हां बिल्कुल सही t7 प्लस t8 पूछ लिया उसने तो बच्चे बता रहे 74 इज द आंसर 754 इज द आंसर बच्चे बता रहे हैं तो 754 कर लोगे भाई अब तो ये है ना क्योंकि ए हमारे पास है डी हमारे पास है तो t5 और t7 तो आ ही जाएगा अब एक और ब्यूटीफुल प्रॉब्लम भाई बहुत ही प्यारा सवाल है बहुत ही प्यारा सवाल है आइए देखें यह सवाल हम आइए अब कर लेंगे ये सवाल जल्दी से करते हैं यह सवाल यहां लिखा है ए और बी टू नॉन जीरो रियल नंबर्स है प और आर उसके रूट्स है ए और बी दो नॉन जीरो नंबर रियल नंबर्स है प और आर इसके रूट्स है किसके रूट्स है x स् - 8a एक् प् 2a बराबर 0 इसके रूट्स है प और आ और जो दूसरी इक्वेशन है x स्क माइनस नहीं प्लस 12 बी एक प् 6 बी = 0 इसके रूट्स है q और s और हमें कह रखा है 1 अपन पमा 1 अपन क कमाव अपन आर कमाव अपन एस आर इन ए यह ए में है तो आपसे ए इवर्स प्लस बी इवर्स की वैल्यू पूछी है यह करा रखा है पहले से क्या करेंगे भाई बताओ जरा जरा बताओ क्या करेंगे जल्दी से बताओ क्या करेंगे जल्दी से बताओ क्या करेंगे चलो ये ल डन क्या करोगे जरा बताओ यह सर ने करा रखा है अच्छा चलो बहुत बढ़िया फिर तो फिर तो बहुत ही बढ़िया है चलो ठीक है यह तो हो गया ना वैसे क्या करोगे थोड़ा सा बता दो सर x को 1 बा x से रिप्लेस कर देंगे x को 1 बा x से रिप्लेस कर देंगे तो जैसे ही मैं x को 1 बा x से रिप्लेस करूंगा तो मेरे पास क्वाड्रेट बन जाएगी 2ax है ना यानी ये हो जाएगा 1 अप x स् - 8a अप x और फिर प्लस 2a बराबर 0 तो क्या बन गया 2a एक् स् -8 एक प् 1 यह तो आपने कर लिया होगा इसकी रूट्स हो जाएंगी 1 अप प और 1 अपन आ ये हो जाएंगी रूट्स ठीक है ना और फिर इसी तरीके से देखो मैं दूसरे मेथड से कर रहा हूं हो सकता है सर ने दूसरे मेथड से किया हो x को फिर से 1 अप x रख लो इसमें इस इक्वेशन में तो ये हो जाएगा 1 अप x स् फिर प्लस 12b अप x फिर प्लस 6b बराबर 0 तो आपके पास इक्वेशन बन गई 6bx स् + 12b एक + 1 = 0 इसके रूट्स हो गए 1 अप q एंड 1 अप s 1 अपन क एंड 1 अपन s यह बात समझ में आई दूसरा मेथड बता रहा हूं अब जरा देखो 1 अपन प प्व अप आ कितना है स 1 अपन प प्सव अप आ ये ए में दे रखे हैं ये ए में दे रखे हैं तो इसको क्या लिख सकता हूं सर इसको लिख लो a- 2d है ना a- 3d चार नंबर है ना ऐसे लिख लेते हैं a - 3d a - d a - d इसको लिख लेता हूं a + d और इसको लिख लेता हूं a + 3d a + 3d सही है बात ठीक है भाई / x क्यों किया जब हम x को / x से रिप्लेस करेंगे तो उसके रूट्स p और r है q है तो एक् को जब न बा एक् से रिप्लेस करेंगे तो रूट्स का रेसिप कल हो जाएगा यानी रूट्स 1 अपन पव अप आव अपन क और 1 अप s हो जाएगा रूट्स यह हो जाएंगे रूट्स यह हो जाएंगे यह रूट्स हो जाएंगे ठीक है यह रूट्स हो जाएंगे अब जैसे ये रूट्स आ गए आपके पास तो आप मुझे बताओ अब तो आप आराम से कर सकते हो 1 अपन प प्व अप आ कितना होगा सर 1 अपन प प्सव अपन आ बराबर होगा फोर के बराबर होगा फोर के और यहां से 1 अपन क प्सव अप ए किसके बराबर होगा सर वह बराबर हो जाएगा माइट के माइट के अब क्या करना है खत्म यार 1 अपन प प्व अप आ यहां से क्या हो जाएगा सर ये हो जाएगा ए प् 3d a- 3d प्स 1 अप आ ए प् d बराबर 4 यह हो गया 2a - 2d बरा 4 और यहां से यह कितना है q a - d लो हो गया a - d और s है a + 3d a + 3d बरा 2 गया 2a - 2d 2a + 2d बराबर 2 ये आ गया भाई अब ए और डी सॉल्व हो जाएंगे ए और डी सॉल्व होते ही प क आर एस सब मिल जाएंगे एक ही वैल्यू आ जाएगी एक ही वैल्यू आ जाएगी यह क्लियर हो गया यह क्लियर हुआ तो आपको एक दूसरा तरीका भी मिल गया आपको एक दूसरा तरीका भी मिल गया यहां से यह फर्स्ट और यह सेकंड फ्रॉम वन आपके पास क्या आ गया लो खट से हो गया ना हमने य ट्रांसफॉर्मेशन ऑफ रूट्स और ए का यूज कर लिया फ्रॉम 1 ए माइडी बराबर दो और फ्रॉम टू मेरे पास है ए प् d बराबर 1 ए की वैल्यू तो आ गई 3 बाटू है ना और डी की वैल्यू कितनी आ गई माइनस हाफ डी की वैल्यू आ गई माइनस हाफ अब आप खुद कर लोगे आगे तो ए आ गया डी आ गया आगे तो खुद कर लोगे ठीक है पिछले वाले में प्रोडक्ट यह बात समझ में आ गई हा सर यह बात क्लियर हो गई अब आप ए तो निकाल ही लोगे ना ए आ जाएगा डी आ जाएगा तो प आ जाएगा और आ आ जाएगा प और आर आते ही प्रोडक्ट ऑफ रूट्स निकालना एक की वैल्यू आ जाएगी एक ही वैल्यू आ जाएगी हां हां बोलो न अपन प प्व अपन कैसे किया सम ऑफ रूट्स ये हमने लगाया सम ऑफ रूट्स यहां क्या लगाया हमने एसओ सम ऑफ रूट्स क्या होता है माइन बी बा ए तो माइनस ऑफ माइ 8a बाय 2a कितना हो गया यह हो गया फर यह हो गया फोर सम ऑफ रूट्स लगाया यहां भी सम ऑफ रूट्स लगाया - बी बा 12b अप 6b अभी तो तुम बोल रहे तुमने पढ़ रखा है सारा यह तो कर रखा हमने यह तो हम ने कर रखा है तुम तो बोल रहे थे अभी हमने ये कर रखा है भाई माइट है ये ये माइट है है ना q प् -2 तो यहां से आ गया माइव अब आगे तुम खुद कर लेना यार ये यह है माइव तो ए कितना आया जरा कैलकुलेट कर लेना भाई तुम अब ए कितना आ गया सर ए आ गया 1/2 और डी कितना आ गया सडी आ गया आ गया -3 बाट -3 बाट ये हो गया भाई यह आ गए ए और डी ए और डी अब तो कर लोगे ठीक है हां चमक गया भाई चलो अच्छा न अप एक्स स् एक की जगह 1 अप एकस रख दिया हमने एक् की जगह जब 1 अप एक रखा तो 1 अप x स् 12b / x + 6b फिर एलसीएम लिया एलसीएम लिया तो 6bx स् 12b एक + 1 = 0 और x स् चला गया जीरो में जब भी किसी इक्वेशन में x की जगह 1 / x रखते हैं तो जो नई इक्वेशन मिलती है उसके रूट्स उस गिवन इक्वेशन के रूट्स के क्या होते हैं रेसिप प्रोकल होते हैं उसके रेसिप प्रोकल होते हैं बात समझ में आ गई यह बात क्लियर हो गई अब इससे शॉर्ट ट्रिक और क्या बता दें इतनी तो शॉर्ट बता दी भाई चलो यह हुआ एक मिनट रुको अब जरा यह देखो प्रॉब्लम बेस्ड ऑन कॉमन टर्म्स कॉमन टर्म्स के ऊपर भी सवाल आते जैसे य देखो यहां पूछा है इन दोनों एी में इन दोनों एपी में ठीक है इन दोनों एपी में चलो एथ कॉमन टर्म ऑफ सीरीज एथ कॉमन टर्म ऑफ सीरीज चाहिए हमें जब भी कॉमन टर्म्स का सवाल आए सबसे पहला स्टेप क्या करना चाहिए स्टेप वन सर्च फॉर फर्स्ट कॉमन टर्म सर्च फॉर फर्स्ट कॉमन टर्म पहली कॉमन टर्म ढूंढो फर्स्ट कॉमन टर्म सबसे पहली फर्स्ट कॉमन टर्म ढूंढो फ स्टेप टू स्टेप टू टेक d बराबर एलसीएम ऑफ पहली वाली का कॉमन डिफरेंस दूसरी वाली का कॉमन डिफरेंस ठीक है ना स्टेप थ्री नाउ फॉर्म नाउ फॉर्म सीक्वेंस ऑफ कॉमन टर्म्स सीक्वेंस ऑफ कॉमन टर्म्स विद किसके साथ विद सर्च फॉर फर्स्ट कॉमन टर्म मान लो से वो कॉमन टर्म आती है टी सेटी कॉमन टर्म क्या बोल रहा हूं मैं जो कॉमन टर्म आ रही है पहली कॉमन टर्म से अल्फा अल्फा मान लो कॉमन टर्म क्या रही है अल्फा आ रही है नाउ फॉम द सीक्वेंस ऑफ कॉमन टर्म्स विद अल्फा ए फर्स्ट टर्म एंड डी एस कॉमन डिफरेंस एंड डी एस कॉमन डिफरेंस कॉमन डिफरेंस वो हो जाएगी अल्फा फ अगली हो जाएगी अल्फा प्लस डी अल्फा प्लस ूडी एंड सो ऑन यह हो जाएगी यह हो जाएगी ठीक है ना देखो कितना आसान स रखा कितना आसान सवाल तो फर्स्ट कॉमन टर्म कौन सी होगी फर्स्ट कॉमन टर्म आपको दिखाई दे रही है 11 दिस इज द फर्स्ट कॉमन टर्म यह हो गई फर्स्ट कॉमन यह हो गई फर्स्ट कॉमन टर्म यह पहली कॉमन टर्म हो गई ठीक है पहली वाली का एलसीएम पहली वाली का कॉमन डिफरेंस कितना हैव है 4 डीट है ट कितना है सरट है 5 ट है 5 तोडी किसके बराबर होगा एलसीएम ऑफ 4 5 यानी कितना 20 एलसीएम हो गया 20 तो सीक्वेंस ऑफ कॉमन टर्म्स क्या हो गई सीक्वेंस ऑफ कॉमन टर्म वो भी ए आएगी कॉमन टर्म वह क्या हो जाएगी सर वो हो जाएगी 11 फिर 31 फिर 51 एंड सो ऑन वो पूछ रहा है कौन सी टर्म एथ कॉमन टर्म तो इसकी t8 t8 ऑफ अबब वो क्या हो जाएगा 11 प् 8 - 1 * 20 सो दैट मेक्स इट 151 बहुत ही सिंपल सा सवाल आया था आप देख रहे कितना आसान सवाल आया था तभी बच्चे कह रहे थे कि मैथ्स मैं अब तुम बताओ बच्चे कहते मैथ्स मुश्किल आया था भाई मैथ्स मुश्किल था क्या देखो जरा मैथ्स मुश्किल था क्या जल्दी से बताओ ये तो हो गया सबसे [संगीत] हां यह तो हो गया ये बात समझ में आई फोर और फाइव कहां से आया इसका कॉमन डिफरेंस कितना है चार इसका कॉमन डिफरेंस कितना है पांच इन दोनों का क्या किया एलसीएम लिया एलसीएम क्यों लेते हैं वो भी बताता हूं जैसे मान लो जैसे मान लो पहली कॉमन टर्म है 11 11 के बाद यहां टर्म चार चार के अंतराल पर आती है चार चार के डिफरेंस पर आती य टर्म पाच पाच के डिफरेंस पर आती है सोच के देखो एक बच्चा है जिसका नाम है लल्लू लल्लू के धर बैठा है और इधर बैठा है टिल्लू तो बीच में कौन है लल्लू इधर और इधर टिल्लू तो क्या करते हैं लल्लू हर पाच सेकंड के बाद चार मिनट के बाद यहां कौन है बीच में कलू इधर कौन है इधर कौन है टिल्लू अब क्या है हर पांच या चार मिनट के बाद इसके गाल पर एक थप्पड़ मारता है और यह इसके गाल पर हर पाच मिनट के बाद थप्पड़ मारता है तुमने घड़ी स्टार्ट कर दी स्टॉप वस स्टार्ट कर दी पहले चाटी के बाद चार पर आएगी दूसरे चाटे की आवाज पांच पर आएगी ठीक है ना ऐसा कभी होगा जब चाटे दोनों एक साथ लगेंगे आवाज एक आएगी बताओ कितने पर होगा ऐसा बताओ कितने पर ऐसा होगा बताओ कितनों पर ऐसा होगा कितने पर ऐसा होगा हां बताओ कितने पर ऐसा होगा जल्दी से बताओ कितने पर ऐसा होगा सर 20वें सेकंड पर 20वें मिनट पर 20 मिनट पर क्या होगा चाटे दो मारे जाएंगे लेकिन आवाज एक आएगी लेकिन आवाज एक आएगी यानी यह दोनों रिपीट करेंगे 20-2 सेकंड के बाद यानी पहली पहली बार 20 मिनट के बाद बाद 20 मिनट पर चाटे दो लगेंगे आवाज एक आएगी फिर 40 मिनट पर चाटे दो लगेंगे आवाज एक आएगी तो वही बात यहां है यह दोनों एपी में पहली टर्म रिपीट करती है चार-चार के अंतराल पर यहां रिपीट करती है पांच पांच के अंतराल पर पहली बार रिपीट करी 11वां 11 आ गया हमारे पास फिर उसके बाद जब रिपीट करेंगी वो होगा इन दोनों का एलसीएम क्योंकि आपने चार और पांच का एक तरीके से क्या ले लिया एलसीएम ले लिया तो 20 मिनट के बाद आपने बताया एलसीएम लेकर तो इसी तरीके से यहां पर भी जो टर्म रिपीट करेगी वो कितने अंतराल के बाद रिपीट करेंगी वो रिपीट करेंगी फोर और फ के एलसीएम के बाद यानी कि 20 के बाद मर जाएगा क र मर जाएगा वो तो मर जाएगा सर क्या होगा सर व तो मर ही जाएगा सर हा बेटा तुम मत मानना बस अब जरा यह देखो एक और ब्यूटीफुल प्रॉब्लम सम ऑफ कॉमन टर्म्स ऑफ सम ऑफ द कॉमन टम फॉलोइंग थ्री अर्थमेटिक प्रोग्रेशन अब तीन में कॉमन टर्म ढूंढना है भाई तीन में कॉमन टर्म कैसे ढूंढे पहले तो मुझे दिख रहा है इसका कॉमन डिफरेंस कितना है d1 कितना है भाई चार का इसका कॉमन डिफरेंस कितना है सर इसका कॉमन डिफरेंस है तीन का इसका कॉमन डिफरेंस कितना है सर पाच का पाच का अगर तीनों में एक साथ कॉमन टर्म ढूंढना आसान नहीं है तो एक काम करो पहले दो में कॉमन टर्म ढूंढ लो अगर तीनों में दिखाई दे रही है तो वेल एंड गुड तीनों का एलसीएम लेकर फिर कॉमन ए बना दो लेकिन होता क्या है तीनों में कॉमन टर्म इतनी आसानी से दिखता नहीं है तीनों में कॉमन टर्म इतनी आसानी से दिखता नहीं है ठीक है ना तो क्या किया जाए दिख रहा है कॉमन टर्म तीनों में नहीं सर इतनी आसानी से तो नहीं दिख रहा पहले इन दोनों में कॉमन टर्म ढूंढ लो सर इन दोनों में कॉमन टर्म आरा 11 यहां से कह सकता हूं सीक्वेंस ऑफ कॉमन टर्म्स सीक्वेंस ऑफ कॉमन टर्म्स कैसे मिलेगा सर वो हो जाएगा 11 इन दोनों का एलसीएम एलसीएम ले लो भाई किसका 4 और ्र का कितना आया सर 12 आ गया तो 11 फिर 23 फिर 35 एंड सो ऑन यही चलेगा भाई जरा देखो बिल्कुल अब क्या किया जाए अब इसका जो कॉमन डिफरेंस हो गया कैपिटल डी वो आ गया 12 और अब मैं इसका इसके साथ कॉमन 2 7 12 17 से लेकर 197 तक अब इनमें कॉमन डिफरेंस देखना अब इनका कॉमन टर्म ढूंढना है जरा ध्यान से सुनना बेटा अब अगर इनमें कॉमन टर्म ढूंढना है अब अगर इनमें कॉमन टर्म ढूंढना है इफ यू वांट टू टर्म फाइंड आउट द कॉमन टर्म हा कई लोग तो जादूगर है आंसर देख के लिख रहे हैं वहां से है ना यहां आंसर लिखा हुआ है तो कई लोग यहां से आंसर देख के लिख दे रहे हैं कि 321 आ जाएगा जितनी जल्दी तो बेटा कोई पंडित ही आंसर बता सकता है बिना कैलकुलेशन के ना तो जो पंडित लोग हैं वह खट से आंसर बता देते हैं बिना कैलकुलेशन के पंडित लोग ही बता सकते हैं बाकी नहीं तो यहां क्या किया जाए पहली कॉमन टर्म कैसे मिलेगी तो सर अगर मैं देखूं यहां 19 आएगा फिर तो 22 आएगा फिर 27 आएगा फिर 32 आएगा काफी मुश्किल हो जाए तो क्या करें हम पहले इसकी टर्म लिखते हैं इसकी जनरल टर्म इसकी टर्म क्या होगी इसकी टर्म होगी इसकी टर्म इसकी टर्म एन टर्म लिखते हैं 11 प्लस n माइव इन 12 और इसकी जनरल टर्म क्या लिखू 2 प्लस ए माइव इनटू ए माइव इन पा हमें कॉमन टर्म आसानी से नहीं मिल रही आईटी में ऐसा सवाल आ चुका जहां कॉमन कमन टर्म आसानी से नहीं मिल रही क्यों क्योंकि हो सकता है कॉमन टर्म 50 की पहली कॉमन टर्म हो मान लो दो सीक्वेंस है आपको ज्यादातर क्या होता है अभी तक तुमने जो क्वेश्चन कि उसमें पहली दूसरी टर्म ही मिल जाती है कॉमन टर्म लेकिन मान लो पहली कॉमन टर्म 50 वें नंबर पर आ रही हो तो क्या करोगे तो 50 तक टर्म लिख के देखोगे क्या नहीं नहीं लिख के देखोगे ओबवियस सी बात है तो क्या करते हैं हम पहली का एक जनरल टर्म लिख लेते हैं दूसरी का जनरल टर्म लिख लेते हैं दोनों को इक्वेट कर देते हैं क्यों क्योंकि अगर मैं कह रहा हूं दोनों में कॉमन टर्म है तो इसकी कोई ना कोई टर्म इसकी किसी ना किसी टर्म के बराबर होनी चाहिए तभी तो कॉमन टर्म आएगी तभी तो कॉमन टर्म आएगी हां तो यह आ गया 12n माइव = 5m माइ 3 तो 12n माइव जरा देख लो अच्छे से च और तीन का एलसीएम लिया था 12 आ गया हां सर इ इक्वल 5m माइ 3 5m - 2 ऐसे लिख दूं 5m - 2 यही आ रहा है 47 कई बच्चे बता रहे 47 कॉमन टर्म आ गई 47 कॉमन टर्म आ गई कैसे पता चलेगा 47 कॉमन टर्म आएगी मेरा मकसद यहां पर आपको यह बताना है सब बच्चों को कि अगर कॉमन टर्म साफसाफ दिख रही हो तो बात अलग है लेकिन अगर नहीं दिख रही अगर आपको नहीं दिख रहा आसानी से कॉमन टर्म कौन सी है तो इस तरह से आगे बढ़े जैसे मैं बढ़ रहा हूं यानी आपने पहले की टर्म मेहनत लिख ली जरा ध्यान से देखो मैं बोर्ड से बिल्कुल हट गया हूं पहले की एनट टर्म लिखी फिर दूसरे की एनट टर्म लिखी एक की एनए और एक की एम एथ और दोनों को क्या कर दिया इक्वेट कर दिया अब इक्वेट करके हम यहां m और n क्या हो सकते हैं उसकी बात करेंगे उसकी बात करेंगे कि क्या हो सकते हैं ए और n ठीक है बात हां सर तो आप मुझे बताइए यह बात समझ में आई तो यहां से m आया अगर ए की वैल्यू निकालू तो 12n प्स 2 बाय 5 प् 2/5 ऐसे ही आएगा भाई हां सर तो अगर मैं देखूं इसमें क्या रखू 12 व 12 नहीं होगा 24 3 फो फ फो रखूंगा तो हो जाएगा यानी के ए को अगर मैं सबसे छोटी वैल्यू फोर दे दूं तो उस वक्त ए आ जाएगा 50 10 यानी के इसकी चौथी टर्म और इसकी 10वीं टर्म कॉमन है उसकी चौथी और इसकी 10वी यानी तो अगर तुम्हें कॉमन टर्म सर्च करनी थी यानी अगर तुम्हें कॉमन टर्म सर्च करनी थी तो इसकी 10 टर्म लिखनी पड़ती तुमको फिर जाकर 47 आता इसलिए ध्यान से सुनो बच्चों इस बात को लाइटली मत लो पढ़ने वाले बच्चों ध्यान से सुनो कि कॉमन टर्म जब सर्च करनी होती है अगर सीधा दिख रही है तो वेल एंड गुड नहीं दिख रही तो पहले वाले की एथ लिख लो दूसरे वाले की एमथ लिख लो और दोनों को बराबर रखा m की वैल्यू निकाल ली n की टर्म में अब सोचो n को ऐसा क्या रखूं छोटे से छोटा ताकि m इंटी जर नेचुरल नंबर आ जाए तो वन नहीं रख सकते इंटी जर नहीं आएगा नेचुरल नंबर नहीं आएगा टू नहीं रख सकते 3 4 5 फोर रखेंगे तो आ जाएगा तो m4 और m n4 हुआ और ये 10 हो गया ये क्लियर हुआ हां यह क्लियर हो गया बिल्कुल सर यह क्लियर हुआ तो यहां से आपको समझ में आना चाहिए यहां से आपको यह समझ में आना चाहिए के दिस इंप्ला फर्स्ट कॉमन टर्म फर्स्ट कॉमन टर्म क्या हो जाएगी फर्स्ट कॉमन टर्म हो जाएगी फ फर्स्ट कॉमन टर्म विल बी ए को फो रख लो पुट ए इक्वल टू वो कितना आ गया 11 प्लस 4 मानव इन 12 ट इ 47 और इन दोनों का जो कॉमन एलसीएम होगा एलसीएम कितना होगा स एलसीएम होगा 12 और 5 का 60 एलसीएम हो जाएगा 60 तो मेरे पास जो कॉमन टर्म्स आ गई देरर सीक्वेंस ऑफ कॉमन टर्म्स ऑफ कॉमन टर्म्स वो क्या हो जाएगा 47 प्लस 47 के बाद 60 और रखोगे 107 और फिर 167 बस इतनी आएगी क्योंकि इसके ऊपर फिर इस सीक्वेंस से बाहर निकल जाएंगे ये 197 तक ही दे रखी है तीन ही कॉमन टर्म आएंगी तीन ही कॉमन टर्म आएंगी यह बात समझ में आ गई तीन ही कॉमन टर्म आएंगी अब इनका सम कर लोगे तो इनका सम आ जाएगा जो आप बता रहे हो 47 + 107 + 167 ऐड कर लेना भाई आंसर आ जाएगा 321 321 321 हमें कैसे याद आएगा मतलब ठीक है हां अब ये कह रहा लास्ट डिजिट विल बी सेवन अच्छा तुझे कैसे पता लास्ट डिजिट कॉमन में सेन ही होएगी तुझे कैसे पता लास्ट डिजिट कॉमन में सेन ही होएगी भाई कैसे पता तुझे लास्ट डिजिट सेवन होएगी कॉमन में एक बच्चा कह रहा है लास्ट डिजिट विल बी सेवन इन द कॉमन टर्म अच्छा तुझे कैसे पता सेवन ही होएगी कॉमन टर्म में 47 आ गया ना इसलिए बोल रहा है सेन आ गए क्योंकि अब सबके लास्ट में सेवन आ रहा है है ना उसके लिए और एनालिसिस करनी पड़ेगी अगर तुम सोच रहे हो ऐसा अब यह वाला सवाल टी एच का मतलब है ट्राई एट होम यह घर में खुद ट्राई करना ट्राई एट एट होम ये खुद से ट्राई करना बिल्कुल ऐसा ही सवाल है ए में ए है फर्स्ट टर्म डी है कॉमन डिफरेंस इंटरसेक्शन का मतलब कॉमन तीनों में कॉमन बताना है तीनों में जो कॉमन आएगा वो जो ए आएगी उसका फर्स्ट टर्म और कॉमन डिफरेंस बताना है तो पहले वाली तो है 1 4 7 10 एंड सो ऑन d1 है इसका थ दूसरे वाली है 2 7 12 17 इसका कॉमन डिफरेंस है पा और फिर है 3 10 17 इसका कॉमन डिफरेंस है सात आपको इन तीनों में कॉमन वाली जो एपी है वह बतानी है उसका ए और डी का सम बताना है यह कर लोगे यह कर लोगे हां यह तुम खुद करना यह तुम खुद करना यह देखो एक जेई एडवांस में आया 2018 में 2018 में लेट एक्स डिनोट्स द नंबर ऑफ टर्म्स फर्स्ट 218 ज्योमेटिक प्रोग्रेशन 218 टर्म्स ऑफ दिस ज्योमेटिक प्रोग्रेशन शरू की 2018 टर्म्स है वा इज द सेट ऑफ फर्स्ट 218 टर्म्स इन दिस एक्सप्रेशन एक्स यियन वा बताना है एक्स यूनियन वा बताना है एक्स यूनियन वा बताना है जल्दी से बताओ एकस यवा क्या है इसकी 2018 टर्म एक्स इसकी है शुरू की 2018 और y है इसकी 2018 टर्म्स एकस यूनियन वा में कितने एलिमेंट्स आएंगे वो बताना है एक यियन वा में नंबर ऑफ एलिमेंट्स इन एक्स फिर प्लस नंबर ऑफ एलिमेंट्स इन वा माइनस नंबर ऑफ एलिमेंट्स इन एक्स इंटरसेक्शन वा यही होता है ए यूनि बी में ए ऑफ ए प् एफ बी माइन ए ऑफ ए इंटरसेक्शन बी यही होता है है ना यही मिलेगा भाई बिल्कुल ठीक है भाई हां सर तो अब आप n ऑफ एक कितना है 2018 है सर यह कितना है सर यह भी 2018 है क्योंकि 20188 टर्म्स ले रखी है एक्स इज द सेट ऑफ फर्स्ट 218 टर्म्स यहां से पता चला n एक बराबर 20188 और इसी तरह सेवा में क्या है इसकी 2018 टर्म्स है तो एवा भी 2018 है माइन n ऑफ एक इंटरसेक्शन वा एक्स इंटरसेक्शन वा का मतलब क्या हुआ दोनों में कॉमन है ना ठीक है भाई दोनों में कॉमन दोनों में कॉमन टर्म सही है तो क्या करोगे भाई यह है न 6 11 17 कितना 16 एंड सो ऑन यहां है ना 16 23 एंड सो ऑन यह कितनी तक है अप टू 2018 डम्स 18 टर्म्स और यह भी अप टू 2018 टर्म्स तक है यह एक्स है और यह हमारा वा है दिस एक्स दिस इवा अब इसम कॉमन टर्म ढूंढनी है एक्स इंटरसेक्शन वा में सबसे पहली कॉमन टर्म तो दिखाई दे रही है साफसाफ कौन सी है भाई स 16 इसका कॉमन डिफरेंस कितना है सर इसका कॉमन डिफरेंस है d1 च्च इज फ इसका कॉमन डिफरेंस कितना है सर d2 च् इज से च इज सेवन तो सीक्वेंस ऑफ कॉमन टर्म्स क्या हो जाएगी सीक्वेंस ऑफ कॉमन टर्म बताओ जल्दी से सीक्वेंस ऑफ कॉमन टर्म्स क्या हो जाएंगी सर सीक्वेंस ऑफ कॉमन टर्म्स हो जाएगी 16 फिर इन दोनों का एलसीएम ले लेते हैं एलसीएम पाच और सात का कितना आया सर 35 35 आ गया तो 35 जोड़ेंगे मे ल से 51 आएगा जरा जोड़ के देखो एंड सो ऑन यही आएगा हां यही आएगा भाई यही आएगा ना यही आया अब जरा देखो यहां पर यह कहां तक लेनी पड़ेंगी सर हमें देखना पड़ेगा इसकी जो टर्म आएगी दोनों में कॉमन आनी चाहिए तो इसकी टर्म इसकी 2018 टर्म और इसकी 2018 टर्म से छोटी ही होनी चाहिए छोटी ही होनी चाहिए जैसे यहां पर हुआ था जैसे यहां पर इस वाले केस में आपने 167 तक ही लिया था क्या 167 के आगे जा सकते थे नहीं जा सकते थे क्यों नहीं जा सकते थे क्योंकि 167 के आगे जाते तो 60 हम इसमें और जोड़ते और जब हम इसमें 60 और जोड़ते तो हम इसकी इस सीक्वेंस से बाहर निकल आते जबकि यहां पर सिर्फ 197 तक ही कॉमन 197 तक ही टर्म है तो यानी कहने का मतलब है जो यहां सीक्वेंस ऑफ कॉमन टर्म्स आएंगी उसमें जो लास्ट टर्म होगी वो इन सब में सबसे छोटी टर्म से भी छोटी होनी चाहिए क्योंकि वो इसी के अंदर-अंदर तीनों में मिलनी चाहिए वो वो टर्म कहां मिलनी चाहिए पहली सीक्वेंस में मिलनी चाहिए दूसरी में मिलनी चाहिए तीसरी में भी मिलनी चाहिए उसको तीनों में मिलना चाहिए जब तीनों में मिलना चाहिए तो वो 197 से भी कम होनी चाहिए इसी तरीके से यहां पर हमें पता तो चल गया सीक्वेंस ऑफ कॉमन टर्म ये आएगी लेकिन कहां तक जाएगी ये उसके लिए जो इसकी टर्म आएगी वो दोनों में से जो सबसे छोटी टर्म होगी लास्ट टर्म उससे भी छोटी होनी चाहिए उससे भी छोटी होनी चाहिए ठीक है ना यह बात क्लियर है ठीक तो ये हो गया 16 और 51 तो क्या करोगे अब इसमें यहां पर इसकी टर्म एनत लिख लो इसकी टर्म एनत क्या आएगी सर इसकी टर्म नथ आएगी अ 16 प् 35 अ * n - 1 n - 1 ये हो गया इसका डी हुआ भाई ये तो है ना 35 यह छोटा होना चाहिए या बराबर होना चाहिए अब जरा मुझे बताओ 2018 व टर्म x की छोटी होगी कि y की जल्दी से कमेंट बॉक्स में लिख के बताओ 2018 टर्म किसकी छोटी होगी एक्स की के वा की एक्स की के वा की एक्स की के वा की सर वह छोटी होगी किसकी छोटी होगी स यहां पर कॉमन डिफरेंस सात का ी बात है यह पहला टर्म ही न है फिर 16 यह तेजी से बढ़ेगा तो पहले वाले की सब छोटी टर्म होगी एक्स की छोटी होगी एक्स की टर्म छोटी होगी तो एक्स की टर्म क्या होगी न प्लस 2018 माइनस एक इनटू 5 यानी 1 प्लस 2017 इन 5 यानी के 085 प्सव ना यही आएगा भाई यही आएगा 10086 य गया भाई जरा देखो कितना आया 100 86 जरा चेक करो यही आ रहा है जरा चेक करो 10086 हां 10086 यही आ रहा है भाई जरा चेक करो ठीक है अब क्या करोगे अब यहां से 16 माइनस कर दोगे और 35 से डिवाइड करोगे तो n - 1 इ < इक्व 16 माइनस किया 1070 डिवाइड बाय 35 डिवाइड बा 35 ठीक है ना हां यही आएगा भाई यही आएगा हां सर यही आएगा 10085 और डिवाइड बा 35 16 माइनस चाहो तो 19 करके कर सकते तो आसान हो जाता थोड़ा सा और आसान हो जाता थोड़ा सा और यह कर दो यहां से ए की वैल्यू आ जाती है लेसन इक्व 288 ए इ लेसन इक्व 288 प समथिंग समथिंग आ जाएगा यही आ रहा है भाई ए आ गया 288 यानी के इसमें 288 टर्म्स तक जाएंगे कहां तक जाएंगे 288 टर्म्स तक जाएंगे तो दिस इंप्लाइज n इज लेस देन इक्वल टू n इ इक्व टू 288 तो नंबर ऑफ एलिमेंट्स इन x इंटरसेक्शन y इ इक्वल टू 288 तो नंबर ऑफ एलिमेंट्स इन x यवा विल बी 2018 प् 2018 - 288 कैलकुलेट कर लो यार कितना आ जाएगा 3748 आ जाएगा 3748 आ जाएगा 3748 ट इ इट इ दिस क्लियर क्या यह समझ में आया क्या यह समझ में आया हां ठीक है हां सर यह समझ में आ गया अब जरा यह देखो कुछ सवाल कॉमन टर्म्स के ऊपर भी आते हैं कॉमन टर्म्स रेशो ऑफ कॉमन टर्म्स के रेशो ऑफ टर्म्स के ऊपर जैसे यहां पर रेशो द सम ऑफ फर्स्ट एन टर्म्स ऑफ टू एपी आर इन दिस रेशो फाइंड द रेशो ऑफ द 11थ टर्म उनके 11 टर्म्स का रेशो बताना है इन दोनों के 11थ टर्म का रेशियो बताना है तो कैसे बताओगे इन दोनों के 11 टर्म का रेशियो सर दो ए का सम है ये तो सर यह हो जाएगा 2a प् n-1 नडी इन n बाट ये पहली ए का सम दूसरी ए का सम n बाट यह तो बहुत सारे आपने सवाल किए होंगे इस साल डेफिनेटली यह प्रॉब्लम आपको जेई मेंस में देखने को मिलेंगे क्योंकि अबकी बार उन्होंने मिसलेनियस सीरीज पर कैची चला दी है तो यह कैंसिल आउट हुआ a प् n-1 बाट नडी और यहां पर a प्स n माइव बायट नडी 7n प्व डिवाइडेड बाय 4n प् 27 अब अगर मुझे इनके 11वी टर्म का रेशो चाहिए 11वी टर्म का रेशो 11वी टर्म क्या होगी पहले वाले की ए प् 10 और इसकी होगी ए प् 10 यह चाहिए मुझको ए माइव बाटू कितना हो जाना चाहिए स यहां से देखने पर समझ में आता है n-1 बाट बराबर हो जाना चाहिए 10 के को रख दो 21 पुट ए बराबर 21 ए को 21 रखा ऊपर आ गया ए प् 10 नीचे आ गया ए प् 10 आंसर बताओ जल्दी से 70 147 148 अपॉन िव अपन िव यही आ रहा है जल्दी से बताओ आंसर क्या आया आंसर बताओ हां 10थ का क्वेश्चन है आंसर बताओ जल्दी से अब आंसर बताओ क्या आया जल्दी से बताओ आंसर क्या आया आंसर आ गया है 148 बाय िव लेकिन लेकिन गौर से देखो ये 37 से भी कट जाता है 37 फो 37 ी 37 3 37 फो और 37 3 कट जाता है 37 से यानी इसका एक आंसर 4/3 भी होगा देरर द करेक्ट आंसर आर ए एंड सी ए एंड सी ए और सी इसका करेक्ट आंसर होगा ए एंड सी बो आ करेक्ट 148 अपन िव लिख लेना भाई वहां हमारे ऑपरेटर ने डबल व लिखा है ट्रिपल व है भाई ठीक है हां य भी आंसर होगा 37 से कट गया ऊपर नीचे सर यह तो बहुत आसान सवाल था बहुत ज्यादा आसान यह तो बहुत ही आसान लग रहा था सर बहुत आसान था बहुत आसान है इतना आसान नहीं था बेटा जितना आसान लग रहा था अब जल्दी से आप मुझे इसका आंसर बताओ जल्दी आप मुझे इसका आंसर बताओ यहां a1 a2 a3 ए की टर्म्स है एप a क p स् अप q स् p तक का सम और q तक का सम p स् / q स् है तो a6 / a21 की वैल्यू चाहिए a6 / a21 की वैल्यू चाहिए है ना हां जल्दी से बताओ सर यहां पर अगर हम इसे ऐड करें तो ये आ जाएगा p / 2 इन 2a 1 प् p-1 नडी नीचे आ जाएगा q बाट इन 2 ए1 प् q -1 नडी इइ p स्क बाय q स्क्वा दोनों एक ही ए है एक ही ए है जबक पिछले वाले सवाल में क्या था द सम ऑफ फर्स्ट एंड टर्म ऑफ टू ए तो इसलिए आपने देखा हमने ए भी अलग लिया और डी भी अलग लिया लेकिन यहां पर सेम ए है तो ए भी सेम और डी भी सेम है तो प बाटू बाटू एक प और एक q यहां कट गया यह गया भाई आपके पास क्या आ गया a1 ऊपर नीचे टू से डिवाइड कर दो p - 1/2 नडी और यहां पर भी a1 प्लस q माइव बायट नडी बराबर प बाय क ये आ गया भाई आंसर क्या आ गया भाई आंसर आ गया ठीक है यह क्लियर हुआ बिल्कुल अब जरा बताओ यह कितना आ गया सर यहां पर इस केस में अगर 86 चाहिए तो p-1 बाट बन जाना चाहिए a6 ये क्या बनेगा सर ये बनेगा a1 प् 5d और नीचे बने a1 प्लस कितना डी 20d तो p माइव बाट पा के बराबर हो जाना चाहिए और q माइव बाटू हो जाना चाहिए 20 के बराबर तो प को रख दो 11 और q को रख दो 41 q को रख दो 41 तो प को 11 और क को 41 पुट प इज इ 11 और q को 41 क्योंकि ये हर प और q के लिए ट्रू है जहां p और q बराबर नहीं है तो a1 प्लस 10d प्लस कितना प् 5d और a1 प् 25d ये हो गया 11 बा 41 देर फॉर द करेक्ट आंसर इज कलका कलका इज द करेक्ट आंसर यह वाला सवाल जेई एडवांस में आया था यह वाला सवाल जेई एडवांस में आया था हां यह वाला सवाल ज एडवांस में आया था यहां पर इसने लिखा है कि a1 ए2 ए 100 भी अर्थमेटिक प्रोग्रेशन a1 बराबर 3 है और ए बराबर वन से लेकर p तक का सम है p एक से 100 तक दे रखा है यानी ए डिनोट्स द सम ऑफ प टर्म्स ऑफ दिस ए फिर n अगर एक से 20 हो और ए बराबर 5n हो तो ए अप s डज नॉट डिपेंड ऑन n तो पूछ रहा है कि a2 कितना होगा एव ती दे रखा है ए ए अपन ए ए डज नॉट डिपेंड ऑन ए ये लिखा है डज नॉट डिपेंड ऑन ए डिपेंड ऑन ए और ए बराबर दे रखा है फ वो कह रहा है यह जो रेशियो है यह ए के ऊपर डिपेंड नहीं करता यानी के ए ए अपन ए ए ए 5n है तो 5n अपॉन s n ये कितना होगा ये होगा a1 5n / 2 2 a1 प्स 5n - 1 * d यही होगा सम ऑफ 5n टर्म्स और नीचे कितना आएगा भाई नीचे आएगा n / 2 2a 1 प् n - 1 * d यहां n / 2 n बा 2 कैंसिल आउट हो गया क्या बच गया अपने पास अपने पास बच गया 5 इनटू कितना 2 एव माइनस डी प्लस एडी नीचे बच गया 2 एव माइनस डी प्लस एडी और यह कह रखा डज नॉट डिपेंड ऑन ए डज नॉट डिपेंड ऑन ए यह ए के ऊपर डिपेंड नहीं करता यह ए के ऊपर डिपेंड नहीं करता ठीक है हां ये एन के ऊपर डिपेंड नहीं करता ठीक है ना न के ऊपर डिपेंड नहीं करता अगर यह ए के ऊपर डिपेंड नहीं करता हां ये ए के ऊपर डिपेंड नहीं करता तो जल्दी से बताओ इफ इट डज नॉट डिपेंड ऑन ए इ इट डज नॉट डिपेंड ऑन ए तो कैसे होगा सर ऊपर नीचे ए कट जाना चाहिए ऊपर नीचे ए कट जाना चाहिए ऊपर नीचे ए कट जाना चाहिए तो कैसे कट जाना चाहिए कब कटेगा सर अगर मैं अगर मैं यह ए के ऊपर डिपेंड नहीं करता तो ऊपर नीचे ए कट जाना चाहिए क्योंकि ए ऊपर भी आ रहा नीचे भी आ रहा है तो जब तक ए रहेगा तब तक यह रेश ए के ऊपर डिपेंड करेगा तो कटने के लिए क्या चाहिए 2 एव माइनस डी बराबर जीरो क्योंकि अगर यह जीरो हो गया क्योंकि इसी के कारण ऊपर नीचे ए नहीं कट रहा इसी के कारण ऊपर नीचे ए नहीं कट रहा अगर यह जीरो हो जाए तो आप देखो यह जीरो यह जीरो ए से ए कट जाएगा डी सेडी रेश फ आ जाएगा कांस्टेंट आ जाएगा ए के ऊपर डिपेंड नहीं करेगा तो अगर मुझे चाहिए रेशो इंडिपेंडेंट ऑफ ए ए ए अपन ए ए इज इंडिपेंडेंट ऑफ ए कब गर 2 ए1 - d बराबर 0 और दूसरा तरीका क्या हो सकता है और दूसरा ऑप्शन क्या हो सकता है दूसरा ऑप्शन क्या हो सकता है दूसरा ऑप्शन अच्छा चलो देख लेंगे अभी दूसरा ऑप्शन क्या हो सकता है फाइ एंडडी लिख ले यार फव एंडडी लिख ले भाई फाइव एंडडी यहां फाइव लिख ले भाई ठीक है ना हां चलो हां तो दूसरा ऑप्शन क्या हो सकता है दूसरा ऑप्शन हो सकता है सर d 0 हो जाए दूसरा ऑप्शन हो सकता है d 0 हो जाए दूसरा ऑप्शन क्या हो सकता है d 0 हो जाए दूसरा ऑप्शन क्या हो जाएगा d 0 ये 5 एंडडी दूसरा ऑप्शन d कितना हो जाए रो हो जाए अगर d 0 हो गया तब आप देख सकते हैं इफ d बिकम ज़ीरो तो क्या होगा n हट जाएगा और यहां पर आपके पास एक कांस्टेंट जो रेशो है वो n के ऊपर डिपेंड नहीं करेगा क्योंकि n हट ही जाएगा एक्सप्रेशन से तो d की वैल्यू हो गई 21 या फिर d बराबर 0 और a1 कितना दे रखा है 3 6स है क्योंकि a1 हमें कितना दे रखा है ्र दे रखा है तो ये कॉमन डिफरेंस सिक्स हो गया या फिर कॉमन डिफरेंस जीरो हो गया तो a2 पूछा था आईटी ने a2 क्या होगा तो a2 क्या हो जाएगा a2 विल बी a1 प्स d तो दिस इंप्लाइज a2 की जो वैल्यू आएगी वो आएगी 6 3 + 6 या फिर a2 आएगा 3 + 0 यानी a2 हो जाएगा 9 या फिर 3 या फिर थ्री तो आंसर आएंगे दो थ्र और नाइन जबकि आईआईटी ने सिर्फ नाइन आंसर दिया था जबकि आईटी ने सिर्फ नाइन आंसर दिया था ्र और नाइन दोनों आंसर आएंगे ी और नाइन दोनों आंसर आएंगे हां बात क्लियर हो गई यह बात क्लियर हुई बिल्कुल तो थ्री और नाइन दोनों आंसर आएंगे क्योंकि आप इसे ऐसे समझे हमें n से इंडिपेंडेंट चाहिए n से इंडिपेंडेंट का मतलब n का रोल खत्म हो जाना चाहिए n का रोल कब खत्म होगा जब n खत्म होगा अगर n ऊपर नीचे कट जाए तो n खत्म हो जाएगा रोल हां सर तो वो कब कटेगा सर अगर यह टर्म यहां से हट जाए ऊपर नीचे n कट जाएगा हमारे पास रेशो आ जाएगा तो 2a -1 बराबर माइडी बराबर 0 हो जाए या फिर अगर 0 हो जाए तो फिर यह n के ऊपर डिपेंडेंस यह वाली टर्म जीरो हो जाएगी या इनके ऊपर डिपेंडेंस खत्म हो जाएगी तब यह सम ए के ऊपर डिपेंड नहीं करेगा बात क्लियर हो गई यह क्लियर हुआ यह क्लियर है हां सर यह क्लियर है ठीक है अच्छा अब एक चीज ये बताओ जल्दी से अब एक यह देखो एक मस्त सवाल एक ब्यूटीफुल प्रॉब्लम करते हैं एक ब्यूटीफुल प्रॉब्लम करते हैं क्या करते हैं जरा य देखो एक सवाल यह देखो यह सवाल आया था 2019 में 2019 में और यहां पूछा था a1 प् a4 प् a7 प् a16 यह हमें दे रखा है ये ए दे रखी है और a1 प् a4 प्स a7 प्लस तीन तीन के अंतर पर दे रखा है a10 फिर प्लस a13 प् a16 यह हमें दे रखा है 114 और फिर हमसे पूछा गया है a1 प् a6 प् a1 प् a16 यह पूछा गया है यह पूछा गया है हां एसपी क्यों दिया बेटा एसपी इसलिए दे रखा है उसने ताकि वह बता सके कि एसपी का मतलब क्या है यानी आईआईटी हर चीज को स्पेसिफाई करता है एसपी का मतलब होता है सम ऑफ पी टर्म्स यानी उसने बता दिया कि एसपी का मतलब है सम ऑफ फर्स्ट पी टर्म्स ताकि आप समझ जाए एसएम का मतलब है सम ऑफ फर्स्ट एंड टर्म्स ठीक है हां तो जरा यहां आ जाइए जल्दी से बताइए यहां क्या होगा सर 1 प्स 16 17 4 और 13 17 7 और 10 17 तो हम कह सकते हैं यह बन गया a1 प् ए1 बराबर होगा किसके a4 प् ए1 के और यह बराबर होगा a7 प् a10 के क्योंकि आप देखो 17 ये भी 17 हां a4 + a13 a13 आएगा यहां a13 ये बराबर होगा इसका मतलब यह बन गया दिस बिकम तो फ्रॉम वन फ्रॉम वन मैं क्या कह सकता हूं देख रहे प्रॉपर्टी कैसे यूज हुई ी टाइम्स a1 + a16 = 11 4 तो a1 + a16 3 * 3 9 38 24 हां सर अब य आ जाओ यह 17 यह भी 17 यानी इनका सम भी हो जाएगा टू टाइम्स a1 प्स ए1 यानी कि हो जाएगा 2 * 38 यानी आंसर कितना आ गया 76 यहां वो प्रॉपर्टी यूज हो गई कि अगर m प् ए इ प प् क तो t ए बराबर t ए प्टी ए बराबर प् t क क्लियर हुआ यह क्लियर हुआ यह समझ में आया कि नहीं जल्दी से बताओ मस्त समझ में आया बढ़िया सवाल था हां सर बहुत बढ़िया सवाल था आओ एक क्वेश्चन और करते हैं एक और ब्यूटीफुल प्रॉब्लम यह रहा यह आया था जेई मेंस 2022 में ए इज एन इवन इंटी जर इन अर्थमेटिक प्रोग्रेशन विद कॉमन डिफरेंस वन कॉमन डिफरेंस कितना दे रखा है वन दे रखा है अमेट प्रोग्रेशन कॉमन डिफरेंस व ए1 है 192 और ए2 आ है ए क्या है इवन इंजर है ए क्या है इवन इंजर तो ए की वैल्यू पूछी है तो अगर मैं वन से लेकर यहां तक ड करूं तो ए1 प्स ए2 प्स ए3 से लेकर ए बराबर 19 और फिर यहां है ए आ को बन रखा ए2 प्लस ए4 प्लस ए6 प्लस सो ऑन अप टू ए बराबर 120 यही है भाई यही है यही है ना अब जरा मुझे बताओ अब जरा मुझे बताओ इसको क्या करा जाए इसको क्या किया जाए इसको कैसे करें सर अगर मैं इन दोनों को सबक्स करने का मस्त और शॉर्ट ट्रिक इन दोनों को अगर मैं सबै कर दूं सबक्स क्ट कर दूं तो क्या बचेगा जल्दी से बताओ सर ये बचेगा a1 इवन वाले सारे कट जाएंगे a3 प्स a5 प्लस सन अप टू ए -1 क्योंकि ए भी कटेगा ए -1 बच जाएगा क्योंकि n इवन है n मान लो 10 15 हो या 16 हो तो a 16 कट जाएगा तो उसके पहले वाला a 15 बच जाएगा और यहां बचेगा 72 यहां बचेगा 72 ठीक है हां यह बच गया भाई जरा देख लो सबकट कर दिया नाउ अब दोबारा से नाउ चलाओ नाउ एव प्लस या पहले लिख लो ए2 प्लस ए4 प्लस ए6 प्लस ए बराबर है 120 के और ए1 प्लस 3 प्लस ए5 प्लस ए माइव बराबर है 72 के सबसे पहली चीज अगर मैं तुमसे पूछ य कितनी टर्म लिखी है ए2 से ए ए2 से ए कितनी टर्म्स लिखी है सोच के बताओ एक बच्चा कह रहा ए बाटू होगा बेटा यहां ए बाटू रखोगे ना ए2 आ इन ए बाटू तो कितना हो जाएगा ए कितना हो जाएगा ए हां यह बात समझ में आ गई बेटा रंग नहीं है बेटा अपनी अपनी खोपड़ी ठीक कर लो अच्छा मुझे बताओ य कितनी टर्म्स लिख रखी है ट से लेकर n तक a2 ए4 ए3 यह कितनी टर्म्स है यह कितनी टर्म्स है यह n बाटू टर्म्स होंगी य कितनी टर्म्स होंगी n बाटू टर्म्स होंगी n बाटू टर्म्स यह होंगी और n बाटू टर्म्स ही यह होंगी क्यों अगर तुम गिनती लिखते हो एक दो तीन चार पाच छ तक इवन नंबर तक छ तक तो इसमें ऑड कितने होते हैं सर तीन इवन भी कितने होते हैं तीन इवन नंबर है ना तो अगर मेरे पास ए1 से ए तक एक सीक्वेंस है जिसमें इवन नंबर ऑफ टर्म्स है टोटल 15 16 टर्म है तो उसमें से आठ तो होंगी ए2 ए4 ए6 ए 8 ए1 से लेकर ए 16 तक और फिर ऑड भी होंगी a1 a3 a5 और दोनों कितनी कितनी होंगी वो भी आठ होंगी और यह भी आठ होंगी यानी बराबर बराबर बढ जाती हैं यानी बराबर बराबर बट जाती हैं ठीक है ना अब अगर मैं इन दोनों को माइनस कर लूं देखो बेटा जादू देखो इन दोनों को माइनस किया a2 - a1 जरा बताओ कितना आएगा सर a2 - a1 किया तो d आएगा ये भी कितना आएगा सर d आएगा ये भी कितना आएगा d आएगा और यहां तक चलते चलते सर सब डी आएगा बराबर यह हो गया आठ और यह हो गया 48 यह हो गया 48 यही आ रहा है भाई हां सर यही आ रहा है अब जरा देखो यह कितनी बार लिखा गया d सर n बाटू टाइम्स तो n बाट नडी बराबर 48 बट d बराव ये गिवन है क्वेश्चन में गिवन ये क्वेश्चन में गिवन है भाई ऊपर देख लो विथ कॉमन डिफरेंस वन तोडी बराबर ए बराबर कितना आ गया 96 हटा खत्म खत्म हो गया भाई खत्म हो गया बात समझ में आई कैसे किया यह बात समझ में आ गई 96 आ गया आंसर यहां पर आपने देखा का तरीका देखो दोनों को माइनस कर दिया बस यहां पर डी बन गया यहां डी बन गया यहां डी बन गया सब में डी बनता चला गया और जब डी बन गया तो n बा 2 नडी बरा 48 तो n की वैल्यू 96 आ गई n की वैल्यू 96 आ गई मस्त तरीके से किया है भाई ये मस्त तरीके से और अगर आप इसे आम तरीके से करना चाहते थे तो वह भी कर सकते थे आम तरीके से करना चाहते थे तो वो भी कर सकते थे आप ए और डी ए और ए निकालना आपको ए और ए निकालना पड़ता दूसरा तरीका क्या हो सकता था मेथड टू अगर आप इसे मेथड टू से करना चाहते थे यू कुड है डन इट अनदर वे अगर चाहते दूसरे तरीके से भी कर सकते थे वह क्या करते आप उस केस में उस केस में आप इसी को उस केस में क्या करते देखो अब दूसरा मेथड बता रहा हूं यह हटा दो भाई है ना य हटा दो अब क्या करते आप इसका सम कैसे लिखते इसका सम लिखते हम n बा 2 इन 2 ए1 प् n-1 नडी d कितना है 1 इ 192 ये लिख देते इसको क्या करते है ना इसको क्या करते इसमें कितनी टर्म्स है n बाटू टर्म्स है इसमें कितनी टर्म्स है n बाटू टर्म्स है तो ये हो जाता n बाट बायट ध्यान से देखना बेटा n बाट बाट क्योंकि आधी और इन है तो n बाटू बायट इन 2 ए2 पहली टर्म और प्लस n बायट माइनस व कॉमन डिफरेंस होता ट का इ इक्वल टू 120 जरा दूसरी इक्वेशन ढंग से देखो दूसरी इक्वेशन ढंग से देखो कैसे करेंगे हा जरा दूसरी तरम देखो कैसे करेंगे यह बात समझ में आई नंबर n बाटू नंबर ऑ टर्म्स कितनी है n बाटू नंबर ऑफ टर्म्स n बाय और कॉमन डिफरेंस कितने का होगा कॉमन डिफरेंस होगा डी का कॉमन डिफरेंस होगा डी का डी बोले तो टू का कॉमन डिफरेंस होगा टू का क्यों ए2 और ए4 में ए2 और ए3 मेंडी का डिफरेंस होता है तो ए4 और ए2 में डी का डिफरेंस होगा आ n बाट क्योंकि टोटल नंबर ऑफ टर्म्स है n टोटल नंबर ऑफ टर्म्स है n इवन नंबर टर्म्स होंगी उसकी आधी आधी कैसे भाई मैंने बताया ना अगर आपको मैं एक ए लिखकर दे दूं इवन नंबर टर्म्स की मान लो मैंने ए लिख ली 1 3 5 7 ना 11 तीन और छ टर्म्स की लिखी अब मुझे बताओ इसमें a2 ये रहा a2 यह रहा ए4 और यह रहा ए6 कितनी इवन वाली टर्म्स है सर तीन ए2 ए4 ए6 और ऑड वाली कौन सी ए1 ए3 और ए5 वो भी तीन है आधी इवन नंबर्ड है और आधी ऑड नंबर्ड है आधी इवन नंब है और आधी ऑड नंबर्ड है ठीक है तो यहां पर हमने यह लगाया और यह हो गया n बा फ 2 इन इसको लिख सकता हूं a1 प्व ए1 प्व लिख सकता हूं ए2 को क्योंकि a2 और ए1 में कितने कॉमन डिफरेंस हैडी का और ये n बाटू माइव इन 2 इ 120 और देखो यहां से हो जाएगा n बाटू ए1 प्व प्लस यट कट जाएगा ू कॉमन आके कट जाएगा येट येट और ये फो कट जाएगा a1 प्व n बाट -1 इ इक्वल टू 120 ए बाटू माइव इ 120 य आ गया फिर न से वन कट गया भाई वन से वन कट गया यह क्लियर हुआ जरा देख लो यह क्लियर हुआ अब यहां से आपके पास एक रिलेशन आ गया और वह दूसरा रिलेशन वहां है दूसरा रिलेशन यहां है ए बाटू 2 एव प्स ए माइव 192 यह हो गई सेकंड रिले फर्स्ट रिलेशन और यहां से n बाट इ इक्वल टू ए1 प् n बाट इ 120 यह हो गया सेकंड रिलेशन अब आप इन दोनों रिलेशन को सॉल्व करके ए1 और ए निकाल सकते हो ए1 और ए निकाल सकते हो हां यह बात क्लियर हो गई अब आप यहां से a1 और n निकाल सकते हो इफ यू वांट इफ यू वांट यू कैन फाइंड आउट a1 एंड n a1 और n यहां से सॉल्व करके आ जाएगा कर लोगे भाई अब खुद सॉल्व कर लोगे खुद से सॉल्व कर लोगे a2 को हमने कैसे लिखा a2 को हमने लिखा a1 + 1 क्योंकि यह कॉमन डिफरेंस कितना था वन का तो a2 जो होगा वह इसमें वन जोड़कर मिलेगा ये इसमें वन जोड़कर मिलेगा तो a2 की वैल्यू हो जाएगी a1 प्व हो जाएगी ए1 प्व हो जाएगी ठीक है खुद कर लोगे अब यह वाला खुद कर सकते हो जल्दी से लिखो हां सर अब हम खुद कर लेंगे यहां से इन दोनों से क्या करोगे फाइंड एव एंडडी एव एंड ए एवमा ए मेन चीज थी ये इक्वेशन कैसे बनानी थी वो इंपॉर्टेंट था कर लोगे हां सर हो जाएगा क्लियर है बात हां सर यह क्लियर है क्लियर है बात भाई क्लियर क्लियर क्लियर जल्दी से बोलो हां लेकिन पहला तरीका मस्त था बहुत शॉर्ट था इससे यह थोड़ा कैलकुलेटिव और मैनिपुलेटिव तरीका है थोड़ा लंबा जाएगा यह तरीका है ना यह तरीका थोड़ा सा लंबा जाएगा चलो अब एक प्रॉब्लम अब जरा मैं पहले आपको यहां अर्थमेटिक मीन और बता दूं अर्थमेटिक मीन अर्थमेटिक मीन और बता दूं अगर मेरे पास अर्थमेटिक मीन का मतलब क्या होता है अगर ए बी सी ए में हो मैं यहां अलग से खुद बता देता हूं लिखकर अगर ए बी सी ए में हो ए बी सी आर इन ए यह अगर ए में हैय जो बी है बी बी इज कॉल्ड सिंगल जीएम सिंगल अर्थमेटिक मीन सिंगल एम बिटवीन ए एंड बी सिंगल ए हम बोलते बिटवीन ए एंड बी और यहां 2 बी बराबर ए प्स बी बराबर ए प् सी होता है है ना तो इसको सिंगल अर्थमेटिक मीन अर्थमेटिक मीन का मतलब होता है वो नंबर जो दो नंबर्स के बीच में डाला जाए ताकि वह तीनों नंबर ए में हो जाए ताकि वह तीनों नंबर्स ए में हो जाएं ठीक है भाई ब्रेक ब्रेक मत करो भाई पढ़ लि ज्यादा अच्छा रहेगा सर पढ़ाते भाई अच्छे से पढ़ लि सर जब पढ़ाने लग रहे पूरा पूरा पढ़ाने लग रहे एक चीज बताने लग रहे सारे फर्मूला का तुम्हें प्रूफ भी दे दिया बता भी दिया कैसे आया क्वेश्चन भी करा रहे तुम ब्रेक ब्रेक कर रहे तुम तो बैठे देख रहे सिर्फ और सर य खड़े हो एक सवाल कर रहे फिर भी तुम ब्रेक मांग रहे सर तो नहीं मांग रहे ब्रेक ब पढ़ लो ज्यादा अच्छा रहेगा तुम्हारे लिए यही अच्छा होगा ना हां बेटा बात तो सही कह रहे हो बात तो सही कह रहे हो ठीक है ना अगर मुझे है ना यह बात क्लियर हो गई यह बात क्लियर हो गई अब अगर मुझे इंसर्ट एन ज्योमेटिक मीन एन अर्थमेटिक मीन इंसर्ट ए अर्थमेटिक मींस बिटवीन ए एंड बी इंसर्ट एन अर्थमेटिक मीस बिटवीन ए एंड बी का मतलब इसका मतलब क्या होता है का मतलब का मतलब ए और बी के बीच में ए और बी के के बीच के बीच में एन नंबर डालो में ऐसे ऐसे ऐसे एन नंबर्स डालो एन नंबर्स डालो ताकि ताकि क्या ताकि ताकि ताकी ताकि रे ताकि ताकि ए वह सब ताकि एक ए बन जाए ताकि एक ए बन जाए मतलब कहने का क्या है कोई बोले इंसर्ट एन अर्थमेटिक मीस का मतलब ए और बी के बीच में ऐसे एन नंबर्स डालो ताकि एक ए बन जाए तो कहने का मतलब ए एव ए2 से लेकर ए कॉमा बी आर इन ए ये ए बन जानी चाहिए और बीच में जो नंबर्स डले हैं यह सारे नंबर्स ये ये ये क्या कहलाएंगे ए अर्थमेटिक मींस बिटवीन ए एंड बी उन्हें एन अर्थमेटिक मींस बोलेंगे ए और बी के बीच में ठीक है ठीक भाई यह क्लियर हुआ हां सर यह क्लियर हुआ एन अर्थमेटिक मीस बिटवीन ए एंड बी बोलेंगे इसको इनको एन अर्थमेटिक मीस अब जरा देखो कोई बता सकता है बोर्ड पर य कितनी टर्म्स लिखी है ए से लेकर बी तक कितनी टर्म्स है जल्दी से कमेंट बॉक्स में लिख के बताओ जल्दी से कमेंट बॉक्स में लिखकर बताओ कितनी टर्म्स लिखी है कितनी टर्म्स लिखी है कितनी टर्म्स लिखी है सर n प् 2 टर्म्स लिखी हैं कितनी टर्म्स लिखी है n प् 2 टर्म्स लिखी है n प् टू टर्म्स लिखी है तो b जो हो जाएगा वह हो जाएगा tn2 और वह हो जाएगा a + b a + अ n + 1 * d है ना हां सर यह आ जाएगा b n + 2 टर्म्स लिखी हैं n + 2 टर्म्स लिखी हैं एक बहुत इंपॉर्टेंट रिजल्ट मैं यहां लिखने जा रहा हूं तो मैं पहले बस इतना लिख देता हूं नंबर ऑफ़ टर्म्स कितनी हो गई n + 2 ध्यान रखिएगा नंबर ऑफ टर्म्स हो गई n प् 2 नंबर ऑफ टर्म्स हो गई n प् 2 एंड बी बराबर t ए प् 2 और वह बराबर हो गया ए प् n प्व नडी यहां से हम डी की वैल्यू लिखें तोडी की वैल्यू आएगी बी माइ ए अपॉन n प्व ये आ जाएगी d की वैल्यू डी की वैल्यू आ जाएगी बी माइ ए अप n प्व तो जो a1 होगा a1 होगा वो होगा ए प् d a2 जो होगा वो होगा a प् 2d a3 जो होगा वो होगा a प् 3d क्योंकि यहां ध्यान रखो बच्चे क्या गलती करते हैं a1 को लिख लेते हैं a1 प् 1-1 0d a2 को लिखते हैं a प् 2-1 नडी जबक आएगा क्योंकि ए2 दिखने में ए2 है लेकिन यह टर्म थ्री है यह टर्म टू है यह टर्म फोर है तो गलती यहां क्या होती है बच्चे अक्सर य डी लिख देते हैं और जो इसका ए ए ए है वो एन प्लस वन टर्म है और वह होगा ए प्लस एनडी तो ध्यान रखना ये य ध्यान रखना यह ध्यान रखना यह ध्यान रखना अब जरा n प् 2 कैसे एक बच्चा कह रहा n प् 2 कैसे भाई यहां से लेकर यहां तक तो n थी a1 से लेकर ए तक कितनी है n एक यह हो गई n प् 1 एक यह हो गई कितनी हो गई टोटल n प् 2 टर्म्स हो गई है ना n में एक जोड़ा n प् 1 फिर एक जोड़ा n+ 2 तो n प् 2 टर्म्स हो गई अब अगर मैं इन सब का सम कर लू a1 प् ए2 प् ए सबको जोड़ लो तो यह बराबर हो जाएगा ए ए ए कितनी बार ए बार तो ए प्लस डी के साथ 1 प् 2 प् 3 से लेकर ए तक यही आएगा भाई ए वाला ये कॉलम जोड़कर तोय आ गया ए प्लस डी ए इन n प्व बाटू यानी के ए प्स n इन n प्व बाटू और डी की वैल्यू कितनी थी बी माइ ए अपन ए प्व थी सर बी माइ ए अप ए प्व की वैल्यू बी माइ ए अपन ए प्व रख दिया यह कट गया यह कट गया काम खत्म यह हो गया ए प्लस ए बी माइन ए बाटू ये हो गया n टाइम्स ए प्स बी अगर आप एलसीएम लोगे तो आपके क्या बचेगा सर यह बच जाएगा ए टाइम्स ए प्स बी बायट ए टाइम ए प् बी बाटू ठीक है भाई यही आ रहा है अभी देंगे ब्रेक बस पहले इसको यह पूरा कर ले आर्टिकल ए पूरा हो जाए फिर देंगे ब्रेक फिर ब्रेक देंगे यहां से आपको समझ में आया यहां से आपको समझ में आया के अब जरा देखो ए ए1 ए2 से लेकर एमा बी यह क्या थे एन अर्थमेटिक मींस थे ये ए एम् थे इनका जो सम आया ए1 प् ए2 से लेकर ए तक वो क्या आया सर वो आ गया ए प् बी बाय 2 * n n * a + b / 2 अगर मैं सिंगल ए की बात करूं सिंगल एम बिटवीन टू नंबर्स जरा यहां देखो यह जो था यह सिंगल ए था और सिंगल एम की बात करूं तो सिंगल एम कैसे मिलेगा स दोनों को जोड़ के बायट यह क्या हो गया सिंगल ए बिटवीन a एंड c सिंगल ए बिटवीन a एंड c यही हुआ सिंगल ए तो यहां पर जब मैं इसे ऐड करूंगा और लिखूंगा तो ये क्या बन गया सर n टाइम सिंगल ए n टाइम्स सिंगल ए एंड टाइम्स सिंगल एम बिटवीन a एंड b a एंड b यानी के सम ऑफ n अर्थमेटिक मींस बिटवीन टू नंबर्स इज इक्वल टू n टाइम्स सिंगल अर्थमेटिक मीन बिटवीन द टू नंबर्स बिटवीन द टू नंबर्स तो क्या कहना चाहिए यहां से हम कह सकते हैं समेशन ऑफ ए आ आईवट ए इ ए टाइम्स सिंगल ए बिटवीन ए एंड बी बिटवीन ए एंड बी ट इ सम ऑफ एन अर्थमेटिक मीन सम ऑफ ए ए एम बिटवीन ए एंड बी इ इक्वल टू टाइम्स सिंगल एम बिटवीन ए एंड बी सिंगल अर्थमेटिक मीन बिटवीन ए एंड बी ए और बी के बीच में सिंगल अर्थमेटिक मीन के बराबर होंगे ये ये एक इंपोर्टेंट थियोरेटिकल बात है इसको थोड़ा सा फील कर लेते हैं आओ थोड़ा सा फील कर लो जरा देखो जरा फील करो मान लो टू मेरे पास एक ए है मान लो ये टू फोर स 8 10 और यह 12 यह जो है यह कितने अर्थमेटिक मीन है सर फोर अर्थमेटिक मींस है 4 एम् है किसके बीच में बिटवीन 2 एंड 12 अब जरा इनका सम करो सम ऑफ 4 एम सम ऑफ 4 ए एम्स बिटवीन ू एंड 12 बिटवीन ू एंड 12 इनका सम करके देखो जरा कितना आएगा 4 प्लस 6 प् 8 प्लस 10 कितना हुआ 10 10 20 28 हो गया भाई 28 हो गया हां सर और 28 ही हुआ बिल्कुल क्या यह है बराबर है सिंगल एम सिंगल एम बिटवीन ू एंड 12 बिटवीन 2 एंड 12 होगा 2 प् 12 बायट 147 तो क्या 28 बराबर है n इन 28 बराबर है 4 इन 7 के यह क्या हुआ सम ऑफ 4 एम तो चर एम थे यह क्या हुआ नंबर ऑफ एम नंबर ऑफ एम और यह क्या हुआ सिंगल एम सिंगल एम तो कहने का मत मतलब क्या हुआ सम ऑफ ए एम इक्व ए टाइम सिंगल अर्थमेटिक मीन बिटवीन ए एंड बी सिंगल अर्थमेटिक मीन बिटवीन ए एंड बी 28 आ गया 28 आ गया क्या यह बात क्लियर हो गई अच्छे से क्या यह बात क्लियर हुई जल्दी से एडीसी लिखकर भेजो जल्दी से एडीसी लिखकर भेजो भाई जल्दी से एडीसी लिखकर भेजो अ जैसे लिखा है यहां पर लास्ट स्टेटमेंट वही तो बताया मैंने लास्ट स्टेटमेंट आप लोगों को समझ में आ गया होगा कि किन्हीं दो नंबर्स के बीच में जितने अर्थमेटिक मीन डाले जाए इन्हीं दो नंबर्स के बीच में जितने भी अर्थमेटिक मीन डाले जाए उन सब का सम बराबर होता है जितने एमस डाले गए गुणा सिंगल अर्थमेटिक मीन बिटवीन ू एंड 12 यानी लास्ट के दो टर्म्स के बीच में जिन नंबर्स के बीच में वो डाले थे उन दोनों का सिंगल अर्थमेटिक मीन का ए टाइम्स इसके बराबर होता यानी कहने का मतलब अगर मैंने यहां पांच अर्थमेटिक मीस डाले होते तो इन पांचों का सम बराबर होता सिंगल अर्थमेटिक मीन ऑफ टू एंड 12 इन 5 अगर मान लो मैंने इसके बीच में सात अर्थमेटिक मीस डाले होते तो उन सातों का सम होता इन दोनों का सिंगल अर्थमेटिक मीन इनटू सात ये है मतलब यह है मतलब क्लियर हुआ यह क्लियर हुआ अब जरा यह देखो इंसर्ट 20 अर्थमेटिक मींस बिटवीन 4 एंड 67 च और 67 के बीच में 20 अर्थमेटिक मीन डाल ले तो क्या करोगे 4 a1 a2 से लेकर a20 यह तो अर्थमेटिक मीस डालने हैं और यह 67 तो मुझे बताओ 67 कौन सी टर्म होगी जल्दी से कमेंट बॉक्स में के बताओ 67 कौन सी भी टर्म होगी 67 विल बी च टर्म 4 प्स ड -1 * d 67 कौन सी भी टर्म होगी 67 कौन सी भी टर्म होगी तो 67 होगी 22 टर्म 22 टर्म होगी क्यों 20 तो ये है ही 21 22 तो 22 - एक 63 = 21 * d तो d बराबर तीन आ गया उसका मतलब यह हो गया सा फिर 10 फिर 13 और लास्ट में 67 इसके पहले वाली टर्म कैसे लिखेगा तीन कम करके ए ए 20 कैसे लिखेगा 64 इससे तीन इससे पहले वाली 61 लिख देगा तो यह हो गए चार अर्थमेटिक मीस चार अर्थमेटिक मीन अब जरा य वाला सवाल देखो अब जरा यह वाला सवाल देखो अब जरा यह सवाल देखिए अब जरा यह देखो यहां पर लिखा है ए2 ए3 ए 51 आर अर्थमेटिक मीस इंसर्टेड बिटवीन ए एंड बी ए a1 से लेकर a51 a2 से लेकर a51 हमने ये इंसर्ट किया है बिटवीन ए एंड बी हमें इसकी वैल्यू निकालनी है बी प्लस ए 51 अपॉन बी माइ ए 51 और प् माइनस ए1 प् ए अपन ए1 माइ ए इसकी वैल्यू निकालनी है उसको मैं एक् कह दूं अभी के लिए लेट अब जरा देखो ये किसम होंगे आर इन ए क्योंकि यह अर्थमेटिक मींस डाले तो उसका मतलब यह इंसर्ट करने पर ए आएगी यह इंसर्ट करने पर ए आएगी जरा देखो यार अब जरा सोचो जरा ध्यान से सुनना बी माइ a51 कितना होगा सोच के बताओ बी - ए 51 ये ए है तो बी - ए 51 कितना होगा सर यह होगा डी यह होगा डी और एव माइनस ए कितना होगा सर एव माइनस अगली माइनस पिछली अगली माइनस पिछली सर यह भी डी होगा यह भी डी होगा और एव होगा एव एव होगा ए प्स डी ए प्लस डी और फिर प्लस ए ए प्स डी और फिर प्लस ए यही आएगा भाई हां सर और फिर दूसरा जो होगा वह होगा बी बी प्लस ए 51 को क्या लिख सकता हूं सर बी माइडी ध्यान से देखो बी माइनस डी बी माइनस डी बी माइनस लिख सकते हैं तो क्या बन गया सर यह बन गया टू टाइम्स बी बी माइनस डी अपॉन -2a प्स d अपॉन d हा सर यही बना भाई अब जरा देख लो ये हो गया 2 बी माइनस d माइन 2a माइडी अपडी येय देखो ये बना बिल्कुल सर ये बन गया यह बन गया टू टाइम्स बी माइन ए -2d अपडी बी माइन किसके बराबर होगा बी कौन सी भी टर्म होगी सर बी होगी t 53 और वह होगा ए प् 52d यानी के बी माइनस ए बराबर 52d 52d होगा व हां सर 52d होगा तो यहां से हम कह सकते हैं एक्स किसके बराबर आ जाएगा ये और इसको मिला लो एकस बराबर होगा 2 इन 52d माइनस डी अपॉन d कितना आ गया 102 102 इज द आंसर 102 आंसर आ गया भाई हां 102 आ गया 102 इ करट आंसर फॉर दिस अब जरा एक और देखो एक क्वेश्चन और देखो यह वाला सवाल देखो ए1 ए2 ए आर एन अर्थमेटिक मींस बिटवीन 7 एंड 215 हुज सम इ 5661 7 ए1 ए2 न अप टू ए ए और यहां इन सब का सम हमें दे रखा है इन सब का सम यानी कि a1 प्स ए2 से ए थरी स्मार्टली यूज करेंगे अब ये दे रखा 5661 के बराबर और हमसे कहा गया n कितना है तो बताओ क्या करना है क्या करना है सर यह है सम ऑफ ए एम् यह बराबर होता है n टाइम्स सिंगल एम सिंगल एम किसके बीच में बिटवीन 7 एंड 2015 2015 थ्योरी यूज करेंगे यहां पर ठीक है हां ठीक है भाई बिल्कुल सर यह हो गया अब जरा देखो यह हो गया 5661 इ n टाइम 7 + 1 205 बाट तो n इन 1011 इ 5666 ए बराबर हो गया 5666 अपन 1011 तो 56 आ जाएगा डिवाइड करके करके देख लो डिवाइड 56 आएगा दिस विल गिव अस 56 य आ ग 56 नंबर ड तो गई 56 हां नंबर डंस 56 हो गई अच्छा अब a1 बताना है a1 बताना है a1 कैसे बताओगे जरा बताना a1 कैसे लिखू a1 सर पहले तो हमें डी निकालना पड़ेगा तो 2015 कौन सी भी टर्म होगी 2015 होगी सर सर n आ गया 56 n 56 तो ये हो जाएगा 58 टम 2015 हो गई 58 टर्म यानी अब यह बन गया 7 ए1 ए2 से लेकर a56 और फिर 2015 तो हमारे पास 2015 जो है वह हो गई t58 और वह बराबर हो जाएगा 7 प्लस 57 नडी य जाएगा भाई ठीक है हां 58 यहां से आप कह सकते हो डी की वैल्यू कितनी आ गई तोडी आ गया है 2015 - 7 अपॉन 57 यानी डी हो गया 2008 अपन 57 यह हो गया डी दिस इज डी अब हमसे पूछा गया a1 a1 बताओ कमेंट बॉक्स में लिख के बताओ a1 क्या होगा सर a1 दिखने में a1 है लेकिन यह t20 होगा और यह बराबर होगा 7 प्लस पहली टर्म प्लस 19d य 18 मत लिख देना गलती से सब बच्चे यही ज्यादातर गलती यही करते हैं 2008 अपन 57 इनू इन 19 19 3 21 प्स 2008 / 3 यह आ गया 2029 / 3 दैट इज 20 29/3 एलक इज द करेक्ट आंसर यह क्लियर हुआ हां सर यह समझ में आया एक सवाल यह आया हुआ है जेई मेन 2021 में जून में यह सवाल में आपसे कहा गया है एन अर्थमेटिक मीज आर इंसर्टेड बिटवीन ए एंड 100 स द रेश फर्स्ट यह आप खुद घर में करना इसको है ना हां भाई अब कोई डाउट हो तो पूछो चलो अब कोई डाउट हो ब्रेक लेने से पहले अगर अब कोई डाउट हो तो पूछो अब कोई डाउट हो तो पूछो 58 कैसे बेटा 58 ऐसे टोटल बीच में 56 एक ए हो गया 57 और एक बी हो गया तो टोटल कितने हो गए 58 भाई छ लोग तो यह थे 56 टर्म्स तो ये थी फिर एक से हो गया और फिर एक 2015 हो गया तो कितनी गई 56 प् 2 2018 हो गया सॉरी 58 हो गया उस केस में दो ऐड हो गया कोई डाउट तो पूछो अच्छा अब एक चीज बताओ दो एपीस को जोड़ दे तो क्या एपी आएगा सम ऑफ टू एपी एी ट्रू और फाल्स ज जते यह बता के जाओ सम ऑफ टू एपी न एपी ट्रू और फाल्स सम ऑफ टू एी इ ए सम ऑफ टू ए इज एन ए इ एन ए ट्रू या फाल्स ट्रू या फॉल्स दो एपी को माइनस कर दे सम कर दे तो यह ए होगी या नहीं होगी डिफरेंस ऑफ टू एी डिफरेंस ऑफ टू ए इ एन ए ट्रू या फॉल्स दो ए को जोड़ा जाए तो क्या ए होगी हां सर ट्रू है यह ट्रू है और दो एपीस का डिफरेंस ले लिया जाए तो वह भी ए ही होगी वह भी ए ही होगी हा वह भी ए होगी यानी के एव प्लस माइनस बीव ए2 प्लस माइनस बीट a3 प्लस माइनस बी3 इज आल्सो एन ए यह भी ए होगी कब अगर ए1 ए2 ए3 और बीव बीट बी3 यह ए है यह भी ए है यह भी ए है तो दिस इंप्लाइज अगर आप इन दोनों को ऐड या सबै कर द यह भी ए होगी यह भी ए होगी यह ट्रू है इसका कॉमन डिफरेंस अगर d1 है पहले वाली का इसका कॉमन डिफरेंस है d1 इसका कॉमन डिफरेंस d1 इसका कॉमन डिफरेंस है d2 इसका कॉमन डिफरेंस क्या होगा इसका कॉमन डिफरेंस बता दो इसका कॉमन डिफरेंस होगा d1 प्लस और माइनस d2 d1 प्लस और माइनस d2 d1 प् d और लास्ट वाले में d1 माइन d2 ठीक है d1 प् d2 तो पहले वाले का होगा दूसरे वाले का d1 माइन d2 दूसरे वाले का d1 माइन d2 ठीक बात भाई हां या ना हां या ना ठीक है अब एक ब्रेक लेते हैं 15 मिनट्स का आप चाहे तो ब्रेक के दौरान यह लास्ट क्वेश्चन सॉल्व कर सकते हैं जो भी मैंने आपको दिखाया था यह वाला क्वेश्चन आप सॉल्व कर सकते हैं इफ यू वांट यू कैन सॉल्व दिस प्रॉब्लम 15 मिनट्स का ब्रेक है यू कैन सॉल्व दिस प्रॉब्लम तो वेलकम बैक वेलकम बैक यह क्वेश्चन करके देखा आप लोगों ने यह वाला क्वेश्चन करके देखा यहां पर कैलकुलेशन बहुत है यानी जेई मेंस इस तरह की कैलकुलेशन से डराता बहुत है डरना नहीं है डरना मना है डर के आगे जीत है कितने लोगों ने सही कर लिया इस क्वेश्चन को कितने लोगों ने यह क्वेश्चन सही कर लिया यहां पर दे रखा है एन अर्थमेटिक मींस आर इंसर्टेड बिटवीन a एंड 100 द फर्स्ट मीन टू द लास्ट मीन ए अर्थमेटिक मींस डाले गए a1 a2 ए एन अर्थमेटिक मींस आर इंसर्टेड ठीक है ए और 100 के बीच में द रेशो ऑफ फर्स्ट मीन एव ू द लास्ट मीन बराबर 1 अपन से यह गिवन है यह गिवन है हमें और साथ में गिवन है ए प्स ए बराबर 33 बराबर 33 यह गिवन है हमें यह दो चीज गिवन है हमें यह हमें दो चीजें गिवन है एव जो होगा वो होगा ए प्स डी और य से यह होगा 100 माइनस d देखो चालाकी देखो कैसे लिख रहे हैं चालाकी देखिए यहां पर यह 100 था हमने ए को क्या लिखा ए को लिखा 100 माइडी वी हैव रिटन ए ए 100 माइडी और ये 1/7 के इक्वल है तो यहां से हमारे पास आ गया 7a प् 7d = 100 माइडी यानी के 7a प् 8d = 100 यहां से अगर मैं d की वैल्यू देखूं तो तो आएगी 100 - 7a बा 8 ये a आ गया अब हम कह सकते हैं a + n फिर हमें कह रखा है a + n इज दिस अच्छा एक और चीज अब तीसरी इक्वेशन हम कहां से बना सकते हैं नाउ t + 2 = 100 है ना n + 2 टर्म 100 होगी क्योंकि ये n टर्म्स है + 1+ 1 n + 2 टर्म 100 होगी n + 2 1 है ना यही होगा भाई अब जरा देखो अब जरा देखो t ए प् 2 कितना हो जाएगा सर ए प् 2 हो जाएगा t ए प् 2 हो जाएगा ए प्स n प्व नडी बराबर 100 अब तुम्हें अपने सीने पर पत्थर रख के क्या करना पड़ेगा सर मिले सुर मेरा तुम्हारा यहां से क्या करो डी की वैल्यू रखो और यहां पर ए प्लस n की जगह कितना आएगा सर n आ जाएगा 33 - a क्योंकि हमें एक वेरिएबल तो निकालना ही पड़ेगा तो 33 - ए प्व नडी की जगह कितना रख दे 100 माइ 7a अपॉन 8 कमजोर दिल वालों के लिए सवाल नहीं है भाई वो तो छोड़ के आ जाएगा यहां से 8 से मल्टीप्लाई कर दो पूरे को तो ये हो जाएगा 8a प्स 34 माइन ए 100 माइ 7a इक्ट 800 यही आया भाई हा सर यह हुआ 8a प्लस 3400 माइनस 1 6 7 21 238 ए है ना 238a और माइनस 100 ए और प्लस 7a स्क्वा बराबर 800 यह आ गया डरना मना है डरना मना है यह हो गया 7a स्क्वा 238 में से 8 230 230 और माइनस 100 ए माइनस 330a 330 ए और प्लस 26 2600 2600 यही आया भाई हां सर यही आ रहा है 2600 और 330 जरा देखो चेक करो यही आ रही थी इक्वेशन यही आ रही थी इक्वेशन है ना हां तो अब ये कितना आया 7a स्क 7a स् माइनस 330a 330a -26 प् 2600 प्लस है माइनस है भाई वो भी देख लेना प् 2600 26 और सा 26 और सा 33 33 क्या बन सकता है हां सर बन जाएगा 26 इसको लिख देते 70a माइन 260a प् 2600 26 और 7 33 होते हैं उससे हिंट लेकर हमने 70 प् लिख दिया 260 और यहां से 7a कॉमन लिया - 260 कॉमन लिया और अंदर बच गया a- 10 इ इक्वल ट 0 ए माइ 10 बराबर 0 तो ए की वैल्यू आ गई 260 ब 7 या फिर 10 अब 260 ए प् ए बराबर 33 नाउ यह तो रिजेक्ट हो गया भाई यह रिजेक्ट हो गया क्यों क्योंकि यहां यहां से ए आ रहा है यहां से ए आ रहा है 30 3 से 21 21 50 37 प समथिंग दिस इंप्लाइज ए इज नेगेटिव नॉट पॉसिबल इसका मतलब ए इज 10 ए कितना फिक्स हो गया 10 फिक्स हो गया तो इसका मतलब 10 प् ए बराबर 33 n बराबर आ गया 23 करेक्ट आंसर इज 23 इन दिस केस तो कैलकुलेशन से डरना नहीं है हां कैलकुलेशन से डरना नहीं है सर सवाल नहीं बन रहे सवाल नहीं बन रहे कोई बात नहीं अभी बनाने की जरूरत नहीं है चैप्टर खत्म हो जाने दो आज पूरा का पूरा हमारे साथ जितने भी हमने क्लास इलस्ट्रेशन कराए हैं वह सारे क्लास इलस्ट्रेशन एक बार घर में दोबारा करना और फिर दोबारा से क्वेश्चंस को रिट्राईंग सवाल बनेंगे भाई अब ये वाला सवाल देख लो ये वाला सवाल तुम खुद कर लोगे ये वाला सवाल तुम खुद कर लोगे ये वाला सवाल घर में करने को दे दूं टी ए एच ये तुम खुद कर लोगे हां सर ये हो जाएगा बहुत सारे सवाल है जो बीच में हमने तुम्हारे लिए रखे हैं एक सवाल ये रहा यह एक टीच है भाई है ना यह एक टीच है दो फिर एक दो ऊपर भी दिए थे हमने एक दो ऊपर भी दिए थे हमने अच्छा एक चीज ये बता दो एक सवाल ये बता दो फाइंड द नेचर फाइंड द नेचर एंड सम ऑफ ए टर्म्स ऑफ दिस ए फाइंड द नेचर एंड सम ऑफ ए टर्म्स ऑफ दिस ए हां हां फाइंड द सम एंड नेचर नेचर बताओ इसकी इसकी नेचर बताओ जल्दी से कमेंट बॉक्स में लिखो इसकी नेचर क्या होगी एक सीक्वेंस के एंड टर्म्स का सम यह है 5n स् ् 2n तो इसका मतलब पक्का ये एी होगी इट इज एन एपी इट इज ए ए और जो उसका टर्म वन होगा वो s1 के बराबर होगा और s1 होगा 7 और जो s2 होगा वह होगा 5 * 2 का स्क्वायर प्स 4 यानी कि वो होगा टर्म वन प्लस टर्म टू अब देख रहे हो वो छोटा सा थोरेट्स टर्म टू टर्म वन कितना है 7 प्लस टर्म टू हो गया 24 वैसे तो मुझे ऐसा करने की जरूरत ही नहीं है इतना कुछ करने की जरूरत नहीं है म वन आ गया होगा सीधा सधा 2a बराबर 2a का मतलब 10 बराबर 10 मैं सीधा ऐसे ही कर लू मैं टर्म टू क्यों फाइंड करूं मैं टर्म टू क्यों फाइंड करूं ऐसे ही कर लू सीधा सधा हां सर इसको 10 लिख लिया बिल्कुल सर क्यों याद करो अगर ए बराबर हो ए स्क्वा प्स ब ए तो ए होता है और जिसका डी बराबर होता है 2a ए विद डी 2a 2a बोले तो ए स्क्वा का कफिट तो 10 तो क्या बन गई य 7 17 27 एंड सो ऑन यह बन जाएगी समक गया भाई एक सवाल यह वाला यह होमवर्क में दे दू एक बहुत ब्यूटीफुल सवाल है भाई एव a2 ए 21 बी एंड ए सच द दिस इ 4 बा 9 इफ द सम इज 189 देन ए6 इन ए1 चाहिए गौर से देखो इन दोनों के बीच का डिफरेंस कितना है यह तुम कर लोगे या हिंट दू हिंट दू हिंट दे दू इसमें हिंट यहां पर जो लिखा है न अपन ए1 ए2 प्व अपन ए2 ए3 प्सन अप टूव अपन ए 20 ए2 बराबर 4 बाना हिंट दे दू हां तो क्या करें इस केस में इस केस में क्या करेंगे इस केस में ऊपर नीचे डी से डिवाइड कर देना बस आप डी से मल्टीप्लाई डिवाइड कर देना डी से मल्टीप्लाई डिवाइड कर देना a1 ए2 प्लस d अप ए2 ए3 प्लस सो ऑन d अपॉन a 20 ए 21 बराबर 4 बा 9 और फिर आप इसे लिखना 1 बाडी इसको लिख देना a2 माइ ए1 a1 ए2 फिर इसको लिखना को a3 माइ ए2 अपॉन ए2 ए3 फिर अगले वाले को लिखना a21 ए0 अपन a20 ए 21 बराबर 4 बाय ना अब इसे सेपरेट करना तो यह आप खुद करना और इसका आंसर भी हमने यहां दे रखा है इसका आंसर आएगा बम्बे इसका आंसर आएगा बम्बे टेलीस्कोपिंग सीरीज बन जाएगी फिर कैंसिल हो जाएंगी टर्म्स ठीक है हा फिर टर्म्स कैंसिल आउट हो जाएंगी जैसे आप इसे अलग अलग करोगे टर्म्स कैंसिल आउट हो जाएंगी अब आप इसे खुद कर सकते हैं अब आप इसे खुद कर सकते हैं तो चलिए अब आगे बढ़ते हैं सीरीज की तरफ ज्योमेटिक प्रोग्रेशन की तरफ ज्योमेट्री प्रोग्रेशन क्या होता है ज्योमेट्री प्रोग्रेशन होता है इट इज अ कलेक्शन ऑफ नॉन जीरो टर्म्स इन च ई टर्म बेयर्स अ कांस्टेंट रेशो विद द नेक्स्ट टर्म इटली प्रीसी टर्म यानी कहने का मतलब है अगली अपॉन पिछली अगली अपॉन पिछली बराबर कांस्टेंट यह क्या होता है टी प कांस्टेंट जिसे हम कहते कॉमन रेशियो कॉमन रेशियो और ए की पहचान यह तो किसकी पहचान हो गई जीपी की अगली अपॉन पिछली और अगली माइनस पिछली बराबर कांस्टेंट हो तो यह किसकी पहचान होती है यह पहचान होती है ए की यह पहचान है ए की ये किसकी पहचान है भाई मेरे यह है ए की पहचान ट इज द पहचान ऑफ ए यह ए की पहचान है और वह जीपी की पहचान है अगली अपॉन पिछली इ इक्वल टू कांस्टेंट यहां पर यहां पर यहां पर एक चीज ध्यान रखना चाहिए स्टैंडर्ड अपीयरेंस ऐसी होती है एर एर स्क्वा ए आर क्यूब एंड सो ऑन यह है जी प इसकी जो टर्म एन होगी टर्म एन पहली में पावर जीरो आई दूसरी में पावर एक आई तीसरी में तीन तीसरी में पावर दो आई एक कम आ रही है चौथी में तीन आई तो दवी में न आएगी ए में n माइव आएगी यहां पॉइंट नोट करने वाला है नो टर्म ऑफ ए कैन बी नो टर्म नो टर्म ऑफ जीप इज जीरो ध्यान रखिए इट इज अ सीक्वेंस ऑफ नॉन जीरो टर्म्स इट इज अ सीक्वेंस ऑफ नॉन जीरो ट ये ध्यान रखिएगा इट इज अ सीक्वेंस ऑफ नॉन जीरो टर्म्स ठीक है यह नॉन जीरो टर्म्स का सीक्वेंस है यह टर्म एनेथ है इसकी यह टर्म एनेथ है और अगर फिर से आपको इसका एनट टर्म फ्रॉम द एंड लिखना है तो फिर से वही एनट टर्म फ्रॉम द के टर्म फ्रॉम द एंड इज n - के प्व टर्म फ्रॉम द बिगिनिंग वो तो ए में भी वैलिड है जीपी में भी वैलिड है या फिर उल्टा कर दो जीप को लास्ट टर्म फर्स्ट टर्म बन जाएगी और r की जगह क्या आ जाएगा जल्दी से सोच के बताओ r की जगह क्या आ जाएगा आर की जगह क्या आ जाएगा आर की जगह यहां पर है ना के टर्म फ्रॉम एंड के टर्म फ्रॉम एंड इन अ जीपी इन जीपी ऑफ ए टर्म्स इन जीपी ऑफ ए टर्म्स इ इक्वल टू ए माइनस के प्लस व टर्म फ्रॉम बिगिनिंग र्म फ्रॉम स् फम स्टार्टिंग ठीक है यह बात हो जाएगी और फिर इसी तरीके से दूसरा केथ टर्म फ्रॉम लास्ट फ्रॉम एंड यह बराबर हो जाएगा एल नव बाय आ की पावर के माइव यानी यहां आर की जगह व बाय आ हो जाएगा क्यों क्योंकि अगर यह है देखो ए में क्या था यहां जोड़ने पर अगल आगे मिलती थी टर्म और d माइनस करके पीछे मिलती थी उल्टा करने पर d नेगेटिव d हो जाएगा यहां उल्टा करने पर r की जगह क्या हो जाएगा 1 अप r हो जाएगा 1 अप r हो जाएगा तो के टर्म फ्रॉम द एंड ऐसे मिलता है ठीक है फिर अगर तीन नंबर्स ए में हो जीप में हो इफ ए बी सी आर इन जीप क्या होता है b स् बराबर ए होगा कैसे b अप ए अगली अपॉन पिछली इ इक्वल टू अगली अपॉन पिछली यानी b स्क्वा इ इक्वल टू हो जाएगा ए बी इज कॉल्ड सिंगल ज्योमेट्री मीन सिंगल ज्योमेट्री मीन बिटवीन ए एंड सी बिटवीन ए एंड सी आप पाओगे बहुत सारी प्रॉपर्टी इसमें और एी में लगभग एक जैसी सी होती हैं एक जैसी होती हैं है ना यहां पर भी एक चीज और बता दूं फिर से यहां पर भी एक और चीज बता दूं भाई यहां पर भी एक और चीज बता दूं यहां पर भी एक और चीज बता दूं वो क्या जरा देखो कुछ इंपॉर्टेंट प्रॉपर्टीज पर चर्चा कर लेते हैं कुछ इंपॉर्टेंट प्रॉपर्टीज पर चर्चा कर लेते हैं मान लो अब मेरे पास एक जीपी है अब मेरे पास एक जीपी है 2 4 8 16 32 64 128 इन दोनों का प्रोडक्ट देखो सर 256 इन दोनों का प्रोडक्ट देखो सर 256 इन दोनों का प्रोडक्ट देखो 256 16 * 6 सर वो भी 256 तो कहने का मतलब है प्रोडक्ट ऑफ जैसा वहां था वहां क्या था सम था यहां क्या है प्रोडक्ट ऑफ इक्विडिस्टेंट टर्म्स इक्विडिस्टेंट टर्म्स फ्रॉम बिगिनिंग एंड एंड फ्रॉम बिगिनिंग फ्रॉम बिगिनिंग फ्रॉम बिगिनिंग एंड एंड आर इक्वल एंड एंड आर इक्वल या इज कांस्टेंट इज कांस्टेंट एंड इज इक्वल टू एंड इज इक्वल टू प्रोडक्ट ऑफ फर्स्ट एंड लास्ट टर्म प्रोडक्ट ऑफ फर्स्ट एंड लास्ट टर्म उसके बराबर हो जाएगा जैसा ए में था वैसा ही यहां पर भी होगा वैसा ही यहां पर भी होगा प्रोडक्ट ऑफ फर्स्ट एंड लास्ट टर्म और मेरे ख्याल से आपको ये समझ में आ ही जाएगा ठीक है ना हां बोर्ड भी हो जाएगा चिंता मत करो इक्विडिस्टेंट प्रॉपर्टी इक्विडिस्टेंट प्रॉपर्टी यहां से समझ में आती है क्योंकि के इनटू टी के फ्रॉम लास्ट फ्रॉम एंड आप समझ सकते हैं यह तो क्या थी ए इन आ की पावर के माइव और वो होगी एल नव बाय आ की पावर के माइव तो क्या आ गया a इन ए आ गया a इन ए आ गया इसलिए ऐसा हो गया फिर यहां पर भी वही बात होल्ड करती है इफ m प् n बराबर p प् क यहां क्या होगा t ए इन t ए बराबर t प इन t क यहां ध्यान रखें यह एक और इंपॉर्टेंट बात आपको बता दी यहां पर भी यह प्रॉपर्टी होल्ड करेगी वहां क्या था tm-m यहां है tmp3 हां t p * t क ये होगा tp1 t ए * dnp3 ऐसा क्यों खुद देख सकते हो ऐसा क्यों t ए * इन ए इन आ की पावर ए प्स ए माइट ऐसे लिख सकते हैं और यह हो जाएगा ए इन ए आ की पावर प प्स क माइन 2 क्यों ए प् ए प प् क के बराबर है और यह हो गया ए आर की पावर प माइव इनू आर की पावर क माइव इन ए ऐसे लिख सकता हूं अब इसको ठीक ठाक करके लिख दो ए आर की पावर प माइन इन ए आर की पावर क माइनस व गौर से देखो य क्या बन गया टी प इन टी क यह बन गया टी प नटी क यह चीज याद रखेंगे यह चीज याद रखेंगे यस और नो यह क्लियर हुआ हां सर यह क्लियर हुआ फिर इसके बाद फिर के बाद फिर इसके बाद जरा यह देखें अगर जीपी के हर टर्म को किसी नंबर से डिवाइड या मल्टीप्लाई कर दिया जाए है ना ए1 ए2 ए3 सन इज अजी प देन दिस इंप्लाइज देन दिस इंप्लाइज ए1 इन के ए2 के इन ए2 टू के इन a3 ये भी क्या हो जाएगी इ आल्सो अजीप इ आल्सो अजप और अगर मैं एव अपन के ए2 अपन के ए3 अपन के यह भी क्या हो जाएगी इ आल्सो जी प यह भी जीप हो जाएगी अगर पहले वाली का कॉमन रेशो आ है इसका कॉमन श आर है तो आप मुझे बताओ इसका कॉमन रेशो क्या होगा इसका कॉमन रेशो भी आर होगा चेंज नहीं होगा और इसमें भी कॉमन रेश आर होगा कॉमन रेशो विल बी चेंज नहीं होगा चेंज नहीं होगा ठीक है कॉमन रेशो सेम रहेगा कॉमन रेशो विल रिमन द सेम कॉमन रेशो विल रिमन द सेम फिर इसी तरीके से लेकिन अगर कुछ ऐड और सबै कर दिया जाए तो यह जीपी होना जरूरी नहीं है ए में क्या था कुछ ऐड करो सबै करो मल्टीप्लाई करो डिवाइड करो ए मिलेगी लेकिन जीपी में क्या है कुछ मल्टीप्लाई या डिवाइड करोगे तो ही जीपी मिलेगी तो यहां मैं कह देता हूं ए1 प्लस माइनस के a2 प्लस माइनस के a3 प्लस माइनस के यह जो हमने लिखा है मे और मे नॉट बी अ जीपी मे और मे नॉट मे और मे नॉट या इज नॉट मे और मे नॉट लिख देते हैं मे और मे नॉट बी अ जीपी यह जरूरी नहीं है जीपी में हो ड सबकट करके जरूरी नहीं है कि जीपी में आ जाए मल्टीप्लाई डिवाइड करेंगे तो जीपी में आएंगे भाई लेकिन अगर आप सोच रहे हैं कि सबकट करके आएगी जीपी यह जरूरी नहीं है दूसरी चीज एक और अगर मैं एव की पावर मान लो मैं ए लगा दू या कुछ और लगा दू प लगा दू ए2 की पावर प लगा दू ए3 की पावर प लगा दू यह भी क्या होगी इ आल्सो जीपी यह भी एक जीपी हो जाए कॉमन रेशो बताओ इसका विद कॉमन रेश यानी हर टर्म को अगर किसी पावर से रेस कर दे कॉमन रेशो हो जाएगा आर की पावर प आर की पावर प यह भी जीपी बन जाएगी अगर हर टर्म को एक पावर से रेस कर दिया एग्जांपल के तौर पर मान लो मेरे पास ू 4 8 मैं स्क्वायर कर दूं तो चा 2 का स्क्वायर फर का स्क्वायर 8 का स्क्वायर एंड सो ऑन ये क्या बन गई 4 16 और 64 एंड सो ऑन ये क्या बन गई ये भी जीपी बन गई इज आल्सो जीप इसका आर कितना था सर इसका आर है टू इसका आर है 2 का स्क्वायर यानी के यानी के फो ठीक है हा सर फिर इसी तरीके से एक और इंपॉर्टेंट बात अगर इफ एव ए2 ए3 सन इ जीपी ऑफ पॉजिटिव टर्म्स इ जीपी ऑफ पॉजिटिव टर्म कैसी हो पॉजिटिव टर्म्स की जीपी हो जीपी ऑफ पॉ देन देन लग एव लग ए2 किसी भी वैलिड बेस पर लग ए3 यह क्या बन जाएगी इ एन ए यह एक ए बन जाएगी अगर कोई जीपी पॉजिटिव टर्म्स की है और उसका लग ले लिया जाए ठीक है तो वो ए बन जाएगी तोव क्या बन जाएगी वो एक ए बन जाएगी ए क्यों बन जाएगी वो भी समझ लो यह हो जाएगा लग एव आर एव आर बेस बी यह हो जाएगा लॉग ए2 आर स्क्वा बेस बी और यह लॉग एव यह बन गया लग एव अगले वाला बन गया लग ए टू बेस बी प्लस लग आर बेस बी फिर लग एव बेस बी प्लस लग आ बेस बीय क्या बन गई जी प बन गई नहीं बन गई ए बन गई नहीं बन गई हां सर यह क्या बन गई ए कॉमन रेशो कितना कॉमन डिफरेंस कितना हुआ ए कॉमन डिफरेंस ए विद कॉमन डिफरेंस कॉमन डिफरेंस कितना हुआ स लग आर कॉमन डिफरेंस इक्वल टू लग आर बेस बीट इ द कॉमन डिफरेंस ठीक है ना यह क्लियर हुआ यह क्लियर हुआ हां सर यह क्लियर हो गया तो ए की हर टर्म को किसी पावर किसी पॉजिटिव टर्म्स की ए का लॉग ले लिया जाए तो वो जीप बन जाती है ठीक है फिर इसके बाद फिर इसके बाद अगर आपको तीन नंबर लेने हैं जीपी में तीन नंबर फिर से वही बात ी नंबर्स इन जीपी अगर आपको लेने हैं तो फिर से वही बात क्या करोगे ए बाय आर ए ए आ तो कॉमन रेशो कितना रखोगे आ कॉमन रेशो आर फिर यहां पर कॉमन रेशो अगर फाइव नंबर्स लेने हैं तो फिर से कॉमन रेशो आ यह तब यूज किया जाता है वैसे तो जतर यूज नहीं करते जैसे एपी में यूज नहीं करते लेकिन फिर भी तब यूज करते हैं जब हमें प्रोडक्ट ऑफ नंबर्स दे रखा हो जो जीपी में है तब हम यह यूज कर सकते हैं तब हम यह यूज कर सकते हैं ठीक है इसमें कॉमन रेशो आर स्क्वा कॉमन रेशो कितना होगा इसमें आ स्क्वायर यहां पर फोर में इसमें भी कॉमन रेशो r स्क्वा जो इवन वाले हैं उसमें कॉमन रेशो r स्क्वा जो ऑड वाले हैं उनमें कॉमन रेशो r इसी तरह से जो ऑड वाले तीन पाच सात नंबर मानने हैं ए में उनमें कॉमन डिफरेंस d था और जो इवन वाले थे उनमें कॉमन डिफरेंस था 2d यहां पर r और r स्क हो जाता है सिर्फ इतनी सी बात सिर्फ इतनी सी बात सिर्फ इतनी सी बात है भाई ठीक है यह हुआ फिर चलो हां अब एक और चीज एक और चीज बता दे आपको यहां पर एक और चीज बता द वह क्या एक और चीज बता देते हैं मान लो मेरे पास एक एी है जीपी है ए1 ए2 ए3 या फिर ऐसा कह दूं फिर से इन अजीप इन अजीप अ टी का स्क्वायर इ इक्व टी - के नटी प् के टी - के नटी प् के यानी के अगर आप यहां पर कहीं भी जीपी में खड़े हैं तो आप टी से के कदम आगे के कदम पीछे चले तो यह टी स्क्वा के बराबर आ जाता है इट कम्स आउट टू बी इक्वल टूटी स्क्वा ठीक है ना हां स् = t - k * t + k - के * t + के ऐसा क्यों वो आपको समझ में ही आ रहा होगा क्योंकि - के * t प् के बराबर होगा t * t क्यों सिंस सिंस r - के ् r+ के बराबर r प् आ दिस इंप्लाइज टी - के + के इटी प्टी * t ये कौन सी प्रॉपर्टी का यूज हुआ यह वाली प्रॉपर्टी का देखो अभी अभी जो प्रूफ की हमने अगर m+ n बरा p प् q है तो t ए * के आर से छोटा होना चाहिए के आर से छोटा होना चाहिए के आर से छोटा होना चाहिए ठीक है ना के आ से छोटा होना चाहिए अच्छा जरा मुझे सोच के बताओ अब जरा मुझे सोच के बताओ अगर मैं ऐसे लिख दूं ए जीव g2 g3 और मान लो बी ऐसे लिख दूं तो जीव को क्या लिख सकता हूं सर जीव का स्क्वायर बराबर बताओ जी व का स्क्वायर किसके बराबर होगा और g3 का स्क्वायर किसके बराबर होगा सोच के बताओ g1 का स्क्वायर बराबर होगा सर ये तीनों जीप में है हां तो g1 होगा ag2 ये तीनों जीब में है तो g3 का स्क्वायर बराबर होगा bg3 bg2 दिस इनटू दिस और g2 का स्क्वायर बताओ जरा जल्दी से g2 का स्क्वायर किसके बराबर होगा अगर येज प है अगर ये g प है g2 का स्क्वायर किसके बराबर होगा और इसी तरीके से अगर यह ए हो ए ए1 ए2 ए3 ए4 और बी हो तो अगर मैं तुमसे पूछूं ए1 प् ए3 किसके बराबर होगा ए1 प् ए3 सर यह बराबर होगा 2 ए2 के ए1 प् ए3 अच्छा ए प्स ए2 किसके बराबर होगा स होगा 2 एव के 2 एव के जीट का स्क्वायर किसके बराबर हो हो भाई जीव g3 के बराबर होगा बहुत काम आएगी ये बातें जीव g3 के बराबर होगा क्यों इससे एक कदम आगे और एक कदम पीछे अच्छा g2 का स्क्वायर और किसके बराबर हो सकता है सर इससे दो कदम पीछे दो कदम आगे ये ए के बराबर भी हो सकता है ए ब के बराबर भी हो सकता है क्यों समझ में आया इससे दो कदम पीछे एक दो ये दूसरा कदम पर और इससे दो कदम आगे इसके बराबर भी हो सकता है ना भाई सो सो के देख लो सोच के देख लो ए के बराबर भी हो सकता है ये ए के बराबर भी हो सकता है यहां कौन सा रूल लगाया हमने यह वाला t - केटी + k वाला k कदम पीछे k कदम आगे तो यहां हम कह सकते हैं यह बराबर ए भी होगा दिस विल आल्सो बी इक्वल टू ए हां अच्छा अब यह बता दो के a2 ् a3 किसके बराबर a2 + a4 किसके बराबर होगा फर a2 प् ए4 बराबर होगा ू टाइम्स a3 के टू टाइम्स ए3 के ये ए में ये किसके लिए ए के लिए दिस इज फॉर ए ये किसके लिए लिखा हमने जीपी के लिए आई होप यह एनालिसिस थोड़ी समझ में आई होगी मस्त तरीके से क्योंकि इनका यूज हम करेंगे क्वेश्चंस में इनका यूज हम क्वेश्चन में करने वाले हैं है ना इनका यूज हम क्वेश्चन में करने वाले हैं ठीक फिर इसके बाद सम ऑफ जीपी सम ऑफ जीपी सम ऑफ जी प अगर मैं एन टर्म्स का सम देखू ए ए ए प्स एर प्लस ए आ स्क्वा प्लस ए क्यूब प्लस सो ऑन अप टू ए की पावर n माइव इसका जो सम होता है वो होता है a इन 1 माइ आ की पावर ए अपन 1 माइ आ अगर आप चाहो तो ऊपर से माइनस कॉमन ले लो नीचे से माइनस कॉमन ले लो तो r की पावर n -1 अप r -1 भी लिख सकते हो कैसे भी लिख लो कई लोग कहते r1 से बड़ा होगा तो ये लेना r1 से छोटा होगा तो ये लेना भा ऐसा कुछ ना है दोनों में से कोई भी ले सकते हो दोनों में से कोई भी ले सकते हो दोनों में से कोई भी ले सकते हो दोनों में से कोई भी ले सकते हो ठीक है हां फिर दूसरी बात फिर दूसरी बात जरा ध्यान से सुनना बेटा ध्यान से सुनना बेटा ध्यान से सुनना इफ इन जीपी अ जीपी ऑफ पॉजिटिव टर्म्स जीपी ऑफ पॉजिटिव टम्स इज इंक्रीजिंग इज इंक्रीजिंग इफ कब इंक्रीजिंग होगी सोच के बताओ जीपी ऑफ पॉजिटिव टर्म्स इंक्रीजिंग कब होगी रियल जीपी की बात कर रहा हूं जीपी ऑफ पॉजिटिव टर्म्स इंक्रीजिंग कब होगी हां जल्दी से बताओ जल्दी से बताओ बेटा जीपी ऑफ पॉजिटिव टर्म्स इंक्रीजिंग कब होगी इफ r इज ग्रेटर दन व अगर r1 से बड़ा होगा क्योंकि अगर r1 से बड़ा है तो यह नंबर मान लो आ हो जाए टू तो ये टू टाइम्स है डबल हो गया फिर उसका चार गुना फिर आठ गुना तो आव से बड़ा होना चाहिए आर शुड बी ग्रेटर देन वन अ जीप ऑफ पॉजिटिव टर्म्स इज डिक्रीजिंग ऑफ पॉजिटिव टर्म्स इज डिक्रीजिंग कब होगा सोच के बताओ इज डिक्रीजिंग कब अगर आ हो जाए जीरो से वन के बीच में अगर आर हो जाए जीरो से वन के बीच में आ हो जाए जीरो से वन के बीच में तब यह डिक्री इंक्रीजिंग की बजाय क्या हो जाएगा डिक्रीजिंग हो जाएगा डिक्रीजिंग हो जाएगा क्योंकि आर मान लो हाफ है तो ए इन ए बाटू आधा हो गया फिर 14 हो गया फिर 8 हो गया तो छोटा होता चला जाएगा आ अगर जीरो से वन है तो ऐसा हो जाएगा है ना हा अच्छा यहां पर यह भी लिख लेना एक इंपॉर्टेंट बात r1 नहीं होना चाहिए r1 नहीं होना चाहिए इस सम को फाइंड करने के लिए r शुड नॉट बी वन आ शुड नॉट बी वन ए ए हो गया a इनटू दिस आ शुड नॉट बी वन और इसी तरीके से इफ अब इसमें बट इफ r बराबर 1 तो s ए हो जाएगा ए s ए हो जाएगा ए है ना सोच के देखना अगर r1 हो जाए तो ए ए हो जाएगा कितना ए ए हो जाएगा ए क्यों ए हो जाएगा सब ए ए ए ए ए बनता चला जाएगा तो कितना हो जाएगा n टाइम्स ए हो जाएगा इट विल बिकम n टाइम्स ए इट विल बिकम n टाइम्स ए यह बात क्लियर हुई यह बात क्लियर हुई बहुत इंपोर्टेंट बातें है बेटा अच्छा खोपड़ी सोच के बता दो अगर कोई सीक्वेंस हो नेगेटिव टर्म्स की जीपी हो नेगेटिव टर्म्स की इंक्रीजिंग कब होगी अ जीपी ऑफ नेगेटिव टर्म्स नेगेटिव टर्म्स इज इंक्रीजिंग देखते कितने लोग बताते हैं सही इ जीपी ऑफ नेगेटिव टर्म्स इ इंक्रीजिंग इ डिक्रीजिंग बताओ भाई r यहां r हां बोलो भाई ठीक है सर जीप ऑफ नेगेटिव टर्म्स इज इंक्रीजिंग अगर r जीरो से वन है और यह डिक्रीजिंग होगी अगर r वन से बड़ा है इफ r इज बिगर देन वन अगर r एक से बड़ा है तो जी प कैसी हो जाएगी डिक्रीजिंग हो जाएगी है ना हां अगर आ जीरो से छोटा हुआ तो जीपी ना तो इंक्रीजिंग होगी यानी नेगेटिव हुआ अगर आर तो जीपी ना तो इंक्रीजिंग होगी ना डिक्रीजिंग होगी उस केस में क्या होगा उस केस में कभी बढ़ेगी कभी घटेगी पड़ी कभी बढ़ेगी कभी घटेगी ठीक है हां ये चीज ध्यान रखिएगा अच्छा सम ऑफ इनफा जीप सम ऑफ इनफाइनों टिल इनफिनिटी मैं इसकी बात कर रहा हूं तो जो s इनफिनिटी होता है वह होता है लिमिट एन टेंडिंग टू इनफिनिटी ऑफ इफट टर्म्स का सम कोई नहीं निकाल सकता वैसे देखा जाए तो क्यों क्योंकि इनफा टर्म्स है अनंत टर्म्स है अनंत टर्म्स को जोड़ने के लिए अनंत समय चाहिए सो यू कैन नॉट ऐड तो करते क्या है हम n टर्म्स तक का सम निकाल लेते हैं और फिर n को क्या करते हैं बढ़ाते चले जाते हैं n को हम बढ़ाते चले जाते हैं है ना हम n को बढ़ाते चले जाते हैं और जब हम n को बढ़ाते चले जाएंगे और जब हम n को बढ़ाते चले जाएंगे बढ़ाते चले जाएंगे इनफिनिटी तक तो मेरे पास लिमिट n टेंडिंग टू इनफिनिटी तो मेरे पास कितने टर्म्स का सम आ जाएगा इनफिट टर्म्स का सम आ जाएगा a नव माइ आ की पावर ए अपॉन 1 माइ आ तो अगर r कहां से कहां तक हो -1 से वन के बीच में हो तो यह टर्म कहां जाएगी सर जीरो जाएगी तो सम क्या आ जाएगा सर सम आ जाएगा a अपव माइ आ ये टर्म जीरो क्यों जाएगी क्योंकि -1 से वन के बीच में कोई भी नंबर ले लो उसकी पावर बढ़ाते चले जाओ तो वैल्यू जीरो की तरफ टेंड करेगी वैल्यू जीरो की तरफ टेंड करेगी ध्यान रखिएगा यहां r0 नहीं है यहां r0 नहीं है r -1 से वन के बीच में है लेकिन r 0 नहीं है जब जीपी शब्द का उपयोग किया गया हो ठीक है ना जब जीपी शब्द का उपयोग किया गया हो तब आप r को जीरो नहीं लेंगे तब आप आर को जीरो नहीं लेंगे अगर जीपी शब्द का उपयोग नहीं किया गया है तो खुद देखो अगर आर जीरो भी हो जाए तो यह जीरो यह जीरो तो सम ऑफ टर्म्स क्या आ जाएगा सर ए ही आ जाएगा तो कहने का मतलब है अगर जीपी शब्द का ध्यान से सुनना मैं क्या बोल रहा हूं बहुत बारीक बात बोल रहा हूं अक्सर एडवांस में ऐसी बारीक बातों पर काफी पूछा जाता है यह लिखा मैंने इसका जो सम होगा वो होगा अपव माइनस आ जहां आर माइनस व से वन है यहां जीपी शब्द का उपयोग नहीं किया गया तो जीरो भी चल जाएगा लेकिन अगर जीपी शब्द का उपयोग किया गया तो फिर आर जीरो नहीं हो सकता क्योंकि आर उस केस में कॉमन रेशो कहलाएगा आर उस केस में कॉमन रेशो कहलाएगा ठीक है आ उसम कॉमन रेशो कहलाएगा आ उसमें कॉमन रेशो कहलाएगा ध्यान रखिएगा यह कब यूज करेंगे वर्ड जीपी इ नॉट यूज्ड इ वर्ड जीपी इज नॉट यूज्ड अगर यूज ना किया जाए तो हम आर को जीरो भी ले सकते हैं आर को जीरो भी ले सकते हैं ठीक है अगर वर्ड जीपी यूज नहीं किया गया यह बात क्लियर हुई यह बात क्लियर हो गई समेशन हो गया अब ज्योमेटिक मीन भी बता दूं मैं एन ज्योमेटिक मींस जमेट्री मींस बिटवीन टू पॉजिटिव नंबर्स एमा बी ए जमेट्री मीस बिटवीन टू पॉजिटिव नंबर्स एमा बी मतलब ए कमा बी के बीच ऐसे ए नंबर्स डालो देख कितना सिमिलर है ऐसे ए नंबर्स डालो ए नंबर्स डालो ताकि एक जीपी बन जाए वहां क्या बन जानी चाहिए थी ए य क्या बन जानी चाहिए जी प एक जीपी ब जाए वहां क्या था वहां ए था यहां क्या है यहां जीपी बन जानी चाहिए यानी कहने का मतलब है ए जीव जीट जीथ जी एमा बी यह किसम होंगे आर एनजीपी यह जीपी में होंगे और यह जो लिखे हुए हैं बीच में यह नंबर्स यह एन ज्योमेटिक मीस कहलाते हैं ए जी एम्स बिटवीन ए एंड बी इनकी प्रॉपर्टी क्या होती है वहां क्या था सम था वहां क्या था सम था है ना सम ऑफ एजी ए एम्स यहां क्या है प्रोडक्ट है प्रोडक्ट ऑफ एनज एम्स प्रोडक्ट ऑफ एज एम्स बिटवीन ए एंड बी दैट इज g1 g2 न अप टू g ए यह बराबर होता है ए सिंगल जीएम सिंगल जी एम बिटवीन a एंड बी की पावर की पावर n यहां याद रखना प्रोडक्ट ऑफ n जीएस बिटवीन a एंड बी इज इक्वल टू सिंगल ज्योमेट्री मीन की पावर n की पावर एसके बराबर होता है की पावर ए के बराबर होता है वो किसके बराबर था ए टाइम्स सिंगल अर्थमेटिक मीन ये क्लियर हुआ ये क्लियर हुआ हां सर यह क्लियर हुआ यह क्लियर हुआ सबको प्रोडक्ट ऑफ एजीएम इ इक्वल टू दिस इज दिस क्लियर टू एवरीवन ठीक है यहां पर भी याद रखने वाली बात यह है यहां पर भी याद रखने वाली बात यह है ए जीव g2 सेज ए कॉमा बी यह कितनी टर्म्स है n प् 2 तो बी हो जाएगी t ए प् 2 और वह बराबर हो जाएगा ए आ की पावर ए प्व यहां से आ की पावर ए प्व बराबर होगा बी बा ए और अगर मैं जीव देखूं तो ध्यान रखना जीव ए होगा क्योंकि ये टर्म ट है यह बात मैंने वहां भी बताई थी यह टर्म थ्री है तो ये ए स्क्वायर होगा t4 g3 होगा ए आ की पावर 3 तो इसी तरीके से जी ए होगा जी ए होगा t ए प्व और वह हो जाएगा ए की पावर n और अगर आप इन सबको मल्टीप्लाई कर दें तो यहां जी जीट सेजी ए बराबर हो जाएगा ए की पावर ए ए की पावर ए हो जाएगा क्यों आप इसको इसको इसको इसको मल्टीप्लाई करोगे तो ए कितनी बार आएगा सर ए बार एक दोती और यहां तक ए बार ए की पावर ए आ जाएगा और आर की पावर न प्लसटू 3 से लेकर ए तक ऐसा आ जाएगा और यह हो जाएगा ए की पावर इनटू आर की पावर ए ए प्सव बायट यह हो जाएगा ठीक है हा यह ध्यान रखो यह ध्यान रखिए यह क्लियर हुआ अब जरा देखो इसको लिख सकते हैं ए की पावर ए इन आर की पावर ए प्सव और इसकी पावर n बाट और यहां पर n है ही ए के ऊपर और r की पावर n प्व कितना था बी बाय ए यह हो गया ए की पावर ए बी बाय ए की पावर ए बायट यह आ गया ए की पावर ए बाटू ए की पावर ए बाटू जरा देख लो तो जीव g2 सेजी ए यह हो गया ए की पावर ए बाटू यानी के रूट ए की पावर ए यानी के सिंगल जीएम की पावर सिंगल जीएम बिटवीन ए एंड बी की पावर ए की पावर ए ये क्लियर हुआ यह क्लियर हुआ यस सर यह समझ में आया ये क्लियर हुआ भाई देखो चैप्टर तो लंबा है चैप्टर तो लंबा है और कितना बचा और कितना बचा भाई बचा तो है क्या करें छोड़ दे क्या बचा तो है देखो है ना यह जीपी के प्रॉपर्टीज हो गई आइए अब सवालों पर आते हैं कुछ आइए सवालों पर आते हैं जरा यह देखिए जरा यह देखिए ये कुछ हम स्लाइड डिलीट कर देते हैं इसमें से जो हम ऑलरेडी बता चुके ठीक है चलो भाई यहां आते स्मार्ट वर्क लेट एव ए2 ए3 बी इन जीपी ऑफ इंक्रीजिंग बी जीपी ऑफ इंक्रीजिंग पॉजिटिव नंबर्स इफ द प्रोडक्ट ऑफ द फोर्थ एंड सिक्सथ नंबर इ ना तो फोर्थ एंड सिक्सथ नंबर इज नाइन एंड फथ एंड सेवंथ नंबर इ 24 तो हमें यह तामझाम बताना है हमें यह तामझाम बताना है ये कितना हो गया सर ये हो गया ए आ क्यूब ए1 आर क्यूब लिख लो या ए आ क्यूब लिख लो एव आर की पावर 5 बराबर ना और यह हो गया एव आर की पावर फो एव आर की पावर 6 बराबर 24 कितना आया भाई सर एव का स्क्वायर आ की स आर की 8 आर की पावर 8 इ इक्वल टू ना तो एव आर की पावर फोर बराबर 3 दोनों साइड स्क्वायर रूट लगा दिया दोनों साइड पर क्या लगा दिया स्क्वायर रूट लगा दिया ठीक है और फिर और फिर एव आर की पावर फोथ है हा सर और प्लस एव आर की पावर बराबर 24 एव आर की पावर स बराबर 21 जरा देखना यार सही है जरा कैलकुलेशन चेक करो यही आ रहा है ए आव की पावर फो यह फर्स्ट रिलेशन और फिर हमने क्या किया इस फर्स्ट रिलेशन को इस रिलेशन के साथ मिलाया यही आ रहा है जो पढ़ने वाले बच्चे हैं बताएंगे यही आ रहा है भाई यही आ रहा है हां + -3 नहीं होगा क्योंकि उसने बोला है इंक्रीजिंग पॉजिटिव नंबर्स हैं यानी हर टर्म पॉजिटिव है a r1 की पावर 4 पांचवी टर्म है पांचवी टर्म नेगेटिव नहीं हो सकती इसलिए + -3 नहीं आएगा सिर्फ थ्री आएगा + -3 नहीं आएगा सिर्फ + 3 आएगा ठीक है अब जरा इन दोनों को डिवाइड कर दो तो यहां से अब फिर से मिले सुर मेरा तुम्हारा तो r स् बराबर 21 बाय 3 यानी के 7 तो आव स्क्वा बराबर 7 आ गया और ए की वैल्यू कितनी आ जाएगी सर एव की वैल्यू आ जाएगी 3 अपॉन 3 अपन आरव की पावर 4 यानी के 3 अपन 49 आ जाएगी ए1 की वैल्यू एव की वैल्यू तो यानी हमारे पास क्या आ गया यानी हमारे पास आ गया a1 है 3/4 और r है r स् है 7 क्या मैं इसे √7 लिख लूं नहीं थोड़ा धैर्य धरो थोड़ा देख लो हमें क्या चाहिए पहले थोड़ा देख लो हमें क्या चाहिए है इसी को हम स्मार्ट वर्क कहते हैं कि हम एकदम ना इसपे √7 लिखकर यहां थोड़ा सोच लो a1 a9 a1 a9 क्या हो जाएगा सर ये हो जाएगा a1 * a1 r की पावर 8 यानी के a1 स्क्वा आर की पावर 8 है ना हां सर फिर a2 ए4 a9 क्या हो जाएगा सर a2 ए4 a9 हो जाएगा a1 आ a1 आ क्यूब ए1 आ की पावर 8 ये हो जाएगा ए1 का क्यूब आ की पावर 12 और लास्ट वाला a5 a5 तो ए1 आर की पावर 4 है उसकी वैल्यू ्र है और ए7 वह है ए आर एव आर की पावर 6 अब इन सबको जोड़ो भाई एव स्क्वा कोई मुझे बता सकता है इसकी वैल्यू कितनी हो जाएगी सरब तो कर लोगे भाई सर एव स्क्वा हो जाएगा 9 बाय 7 की पावर 4 अब जरा देखो जरा देखने केलिए थोड़ा सा कैलकुलेशन बहुत ज्यादा लगती है कई बार तो आपको थोड़ा स्मार्ट वर्क करना पड़ेगा a1 a9 प्स a2 a4 a9 प्लस a5 प् ए7 यह बराबर होगा a1 का स्क्वायर 9 अपन 7 का स्क्वायर इनटू नहीं पहले मैं लिख लेता हूं यह 7 स्क्वा लिख रहा हूं मैं नीचे यहां मैं 7 स्क्वा लिख देता हूं देख रहे हो आराम से इससे थोड़ी आसानी हो जाएगी थोड़ा सा स्मार्ट वर्क आपको यहां करना पड़ेगा य 7 स्क्वायर लिख दो इसको r1 की पावर फो को तो a1 का स्क्वायर वो कितना हो जाएगा ना अपॉन 7 की फो इनटू आ की पावर 8 आ की पावर 8 बोले तो 7 की पावर 4 देख रहे हो विनोद देख रहे हो विनोद 7 की पावर फो कट जाएगा फिर a2 a2 कितना होगा a2 ये है a1 का क्यूब 3 का पावर 3 27 और आर क्यूब 7 की पावर 6 एव का क्यूब ये आ गया इनटू आर की पावर 12 में सिक्स पावर लगाओगे तो 7 की पावर स देख रहे क्या जुगाड़ किया भाई ने देख रहे हो क्या जुगाड़ किया है फिर ए5 ए5 है 3 और ए7 कितना है व है 3 बा से का स्क्वायर बा से का स्क्वायर इन ए7 इ स आर की पावर सि मतलब से का क्यूब का क्यूब तो जरा देखो कितना आया सर यह आ गया है ना प्लस 27 प्स 3 प् 21 जरा कैलकुलेट करो 60 आ गया सर 60 आ गया आंसर 60 आ गया आंसर 60 आ गया आंसर यहां पर आपको दे रखा था प्रोडक्ट ऑफ फोर्थ एंड सिक्स मम इज ना ए4 और ए6 दे रखा था ए4 और ए6 दे रखा था ना है है ना ए4 और ए6 लेकिन य ए4 और ए6 कहां है ए6 तो है नहीं कहीं पर भी 6 इ द करेक्ट आंसर हा यह क्लियर हो गया 60 आ गया हा यह भी कर सकते थे के a1 a9 कुछ बच्चे क्या कह रहे हैं भाई जरा देख ले हां कुछ बच्चे क्या कह रहे हैं चलो ठीक है चलो ठीक नेक्स्ट एक सवाल और देखो यह भी जेई मेंस 20202 में आया है देखने में काफी भयानक है देख रहे हो सीक्वेंस सीरीज में जो पहला सबसे पहले चीज बताई थी कर्ली ब्रैकेट ये दो सीक्वेंसेस है यह तो जीपी दे रखी है विथ कॉमन रेशो r1 ए r2 ए1 बीव बराबर 4 r1 आ2 से कम है सी के बराबर ए के प्स बी के स2 5 है स3 13/4 है तो हमें इसकी वैल्यू बतानी है तो जरा देखो सीव बराबर है ए1 प्स बीव और स2 सी2 बराबर है c2 बराबर है a2 प् b2 और यह पा दे रखा है ट क्या होगा सर ये होगा ए1 आर एव आर एव कितना है चार य हो गया 4 आर प्लस 4 आ2 बराबर 5 यानी आरव प्स आ2 बराबर 5/4 फिर आपको दे रखा स3 स3 क्या है भाई ए3 प् बी3 वो कितना है वो है 13 4 यहां से आ गया 4 आव का स्क्वायर प्लस 4 आ2 का स्क्वायर इ 13/4 य समझ ना दोनों की फर्स्ट टर्म फोर है तो 4 इन आव का स्क्वायर 4 इन आ2 का स्क्वायर यानी के r1 का स्क्वायर प्लस आ2 का स्क्वायर 13 बा 16 13 बा 16 13 बा 16 देखने में भयानक है बस सिर्फ देखने में ऐसा लग रहा भाई पता नहीं क्याक लिख रखा है इसके अंदर तो बहुत सर बहुत मुश्किल लग रहा सर बहुत ज्यादा मुश्किल लग रहा सी के बी के ए के डी के पता नहीं क्या क्या है इसके अंदर तो भाई डरो मत डरना मना है डरना नहीं है बस हां भाइयों डरना मत बिल्कुल भी बिल्कुल ना डरियो भाई डरने की जरूरत ना है तो स्क्वायरिंग करा r1 का स्क्वायर प्लस आ2 का स्क्वायर प्लस 2 आव आ2 बराबर 25 बा 16 अब इसको और इसको मिला लो तो 13/1 प्स 2 r1 आ2 बराबर 25/1 तो r1 आ2 बराबर 6/1 3/8 जरा देख लो भाई 3/8 ही है ना 3/8 है ना 12/1 हां सर 3/8 अब क्या करोगे इसको उठकर यहां से r2 की वैल्यू कितनी आ गई तो 3/8 r1 3/8 r1 ठीक है ना हां अब इसको उठा के कहां रख दोगे फर्स्ट में फर्स्ट में पुट इन पुट इन वन इसको वन कह देते हैं लेट मी कॉल दिस इक्वेशन एज वन पुट इन वन पुट इन वन वन में पुट इन करें भाई हां सर तो r1 प्लस आरव प्लस 3/8 आरव बराबर बराबर किसके है भाई बराबर है 5 बाय फ के 5 बाय फय हो गया 8 आरव का स्क्वायर प्लस 3 बराबर 10 आरव 8 आरव का स्क्वायर माइनस 10 आरव प् 3 बराबर 0 8 आरव माइनस 4 24 है ना 8 24 12 और ू 12 आरव माइनस 10 आव 8थ 24 जरा देखना भाई सही लिखा है 8 आरव का स्क्वायर माइनस 10 आव प् 3 तो यही आ रहा है जरा देखना इ 5 बा फ हां सर सही है 5/4 मल्टीप्लाई कर दिया 8 आव से 10 आव यह आ गया यहां तक यही आ रहा है यहां तक यही आ रहा है कुछ और आ रहा है भाई जरा बताओ यही आ रहा है कुछ और आ रहा है बोलो भाई 5 बाय फ है तो 5 बाय फ है तो मैंने 8 से मल्टीप्लाई कर दिया जब मैंने इसे 8 आव से मल्टीप्लाई किया तो कितना आ रहा है जरा देखो एक बार जरा चेक करके बताओ भाई एक बार जरा चेक करके बताओ फटाफट यही आ रहा कुछ और आ रहा इसके बाद एक मस्त सवाल करने वाले हैं हम जल्दी से बताओ यही आ रहा है या कुछ और आ रहा है यही आ रहा है यह कुछ और आ रहा है सर यही आ रहा है बच्चे कह रहे हैं लिखेंगे 8 आरव का स्क्वायर माइनस 6 आरव माइन 4 आरव प् 3 बराबर श्य और यहां से हम कॉमन लेते 2 आव माइनस और 2 आरव 4 आरव माइनस 3 आरव की वैल्यू कितनी आ गई आरव आ गया हाफ और आरट आ गया आरव आ गया 3 बा फ आरव हो गया आरट हो जाएगा 3 बाय फ या फिर हाफ यह वाली जोड़ी तो यह वाली जोड़ी तो गई सस कन क्यों बिकॉज r1 इज लेसन r2 उसका मतलब ये हाफ हो गया ये 3/4 हो गया ये हाफ और ये 3/4 अब आप आगे कर लोगे ठीक है हां ये बच्चा कह रहा है r1 स् + r2 स् निकाल सकते हैं और फिर डायरेक्ट दोनों को माइनस करके r1 r2 निकल भैया हमने वही तो काम किया यहां वैल्यू रख दी तू माइनस करके कहेगा हमने वही बात हो गई बहुत बढ़िया इसमें तो बहुत बड़ा जादू हो जाएगा बेटा गौरव रॉय कह रहे r1 का स्क्वायर प्स आ2 का स्क्वायर करके r1 माइनस आ2 भी निकाल सकते हैं हां वो भी कर सकते हैं अगर माइनस r1 आ2 निकालना वो भी कर सकते हो ठीक है वो भी कर सकते हो ये आप ठीक कह रहे हो तो r1 ले r2 तो ये आ गया हाफ और 3/4 बस बात खत्म हाफ और 3/4 आ गया अब आप आगे खुद कर लोगे कर लोगे भाई हां सर अब खद कर लेंगे आगे आगे हो जाएगा आगे हो जाएगा हां आंसर नाइन आ रहा है आंसर क्या आ रहा है नाइन आ रहा है आंसर नाइन आ रहा है बच्चों का यस केव टू इनफिनिटी सी केव टू इनफिनिटी अब जरा देख लो लाओ हम ही कर द समेशन केव टू इनफिनिटी प के माइनस कितना लिखा है माइनस 12 ए6 ए बी फ माइनस 12 ए6 8 बी फ यह है भाई तो यह हो गया समेशन एक के केवन टू इनफिनिटी प्लस बी के फिर माइनस 12 ए6 प्स 8 बी फ बोलो भाई कर लोगे आगे या हम करें या हम करें यह कर लोगे हो जाएगा अब यह क्या हो गया सर यह हो गया एव अपव माइनस आरव न माइनस आरव फिर प्लस बीव अपव माइनस आ2 है ना और यह हो जाएगा माइन 12 इनटू एव आरव की पावर 5 आरव की पावर 5 और फिर प्लस 8 बीव आरव की पावर 3 आट की पावर 3 ऐसा हो जाएगा दिस वट इट बिकम यह बन जाएगा भाई ठीक है ना अब एव की जगह क्या रख दोगे फ इसको ए कह देता हूं तो ए बराबर कितना हो गया ए बराबर हो गया 4 अपॉन 1 माइनस हाफ प्लस 4 अपव माइनस 3/4 माइनस 12 इन देख रहे हो मैं इस पूरा क्यों कर रहा हूं मैं पूरा इसलिए कर रहा हूं ताकि तुम्हें फील आए कि एग्जाम में तुम्हें वहां तक जाना है 4 इन हाफ की पावर फ हाफ की पावर फ और 8 इन 4 8 इन 4 इन 3/4 का क्यूब यह हो गया आसर 2 माइव सर ये 8 हो गया फिर प्लस 4 16 आ रहा मेरे ख्याल से 16 माइनस ू की पावर 5 32 य चार और चर 3 बाटू बच गया मेरे ख्याल से 16 हां 3 बाटू और फिर प्लस 4 की पावर 3 तो 4 ये बच गया 27/2 15 हो गया 8 प् 16 माइ 15 दैट इज ना तो एग्जाम में कैलकुलेशन से डरना नहीं है यह चैप्टर काफी सारा कैलकुलेटिव चैप्टर है कैलकुलेटिव चैप्टर है भाई ठीक है ना चलो ये चैप्टर काफी मैनिपुलेटिव है ध्यान रखना यह बात अब जरा यहां आ जाओ कुछ और मस्त प्रॉब्लम करते हैं आओ देखो एक सवाल देखो बहुत मस्त सवाल यह देखो a1 ए2 आर टू अर्थमेटिक मींस g1 g2 g3 आर थ ज्योमेटिक मींस बिटवीन टू डिस्टिंक्ट पॉजिटिव नंबर्स अब देखना कैसे जादू से करते हैं इसको यह सवाल देखना बहुत मस्त सवाल है बहुत ही ज्यादा मस्त है ना बहुत ही ज्यादा मस्त है यहां पर कह रखा g1 g2 g3 तीन ज्योमेट्री मीस और a12 दो अर्थमेटिक मीस है बिटवीन टू डिस्टिंक्ट पॉजिटिव नंबर्स मान लेते हैं ए1 ए2 और बी आर इन ए आर इन ए और ए जीव जीट जीथ कमा बी आर इन जीप यह जीपी में है ठीक है अब जरा जल्दी से मुझे रिलेशन बताओ यहां पर जीव का स् किसके बराबर होगा जीव का स्क्वायर जीव का स्क्वायर होगा ए2 के और जीथ का स्क्वायर तो जीथ का स्क्वायर होगा बीजी 2 के बीजी 2 के है ना और जीट का स्क्वायर बराबर होगा जीट g3 जीव जीी 3 के जीव g3 के ये देख रहे हो हमने कैसे लिखा अभी अभी हमने लिखा था थोड़ी देर पहले जीवन दिस ऑब्जर्व यह ऑब्जर्व करो अगर तुम यहां पर वो तरीके से करने बैठ गए थोड़ा लंबा जाएगा यहां देखो कैसे जाएगा हा यह देखो यह आ गया अब हमें क्या चाहिए नाउ क्या चाहिए हमें जी वन की पावर फोर प्लस जीट की पावर फोर प्लस जीथ की पावर फोर प्लस जीव स्क्वा g3 स्क्वा इस g2 स्क्वायर की जगह लिख देता हूं मैं इस g2 स्क्वायर की जगह लिख देता हूं जीव की पावर फो प्लस जीव g3 का स्क्वायर समझ गए यहां मैंने क्या यूज किया g2 का स्क्वायर क्या यूज कर रहा हूं बिकॉज g2 का स्क्वायर बराबर g1 g3 तो मैंने यहां लिख दिया g13 का स्क्वायर प्स g3 का पावर फो प्स g1 स्क g3 स्क्वा यह क्या बन गया सर ये बन गया जीव की पावर 4 प्लस 2 जीव स्क्वा g3 स्क्वा प्स g3 की पावर 4 जो भी बुद्धिमान बच्चा होगा स तुरंत समझ में आएगा यह लिखा है जीव का स्क्वायर प्लस g2 स्क्वायर का होल स्क्वायर g3 स्क्वायर का होल स्क्वायर यह लिखा है अब जीव स्क्वा कितना है ag2 ए2 ए2 इसे लिख सकता हूं ए2 मुझे इसकी वैल्यू निकालनी अपने आप आ जाएगी व वैल्यू और प्लस बीजी का होल स्क्वायर बिल्कुल सर और यहां से यह बन जाएगा ए प्लस बी का होल स्क्वायर जीटू स्क्वायर देखो यह देखो जरा देखो बिल्कुल यह आ गया अच्छा एक चीज और बताओ यहां पर भी ऑब्जर्व कर सकते हो कुछ यहां पर भी ऑब्जर्व कर सकते हो कुछ यहां ऑब्जर्व करो जरा a + b = a1 + a2 यह ऑब्जर्व कर सकते हो हां सर तो ये क्या बन गया a1 + a2 a1 + a2 का होल स्क्वायर और यह है g1 g3 खत्म होई गवा देख रहे हो कैसे लेशन का यूज किया है जीव g3 जीव g3 ए1 ए2 का स्क्वायर जीव g3 आंसर आ गया आगरा आंसर आ गया आगरा हां भाई ये क्लियर हो गया यह क्लियर हो गया जो पढ़ने वाले बच्चे हैं उन्हें यह सवाल करके सच में बहुत आत्मिक शांति मिली होगी वाह क्या तरीके से किया है मजा आ गया मजा आ गया ठीक है एक यह देख लो भाई थ्री नंबर्स आर इन इंक्रीजिंग ज्योमेटिक प्रोग्रेशन ी नंबर्स आर इन इंक्रीजिंग ज्योमेट्री प्रोग्रेशन ी नंबर्स आर इंक्रीजिंग ज्योमेटिक प्रोग्रेशन कॉमन रेशो आर इंक्रीजिंग ज्योमेटिक प्रोग्रेशन है कॉमन रेशो आर इफ द मिडल टर्म इ डबल्ड देन द थ्री नंबर्स तो ए ए आर ए आर स्क्वा और ए 2 ए आ और ए आर स्क्वा यह बन जाती है ए लिखा है इ द मिडल नंबर इ डबल देन द न्यू नंबर्स आर इन अर्थमेटिक प्रोग्रेशन विथ कॉमन डिफरेंस डी इफ द फोर्थ टर्म ऑफ जीप इफ द फोर्थ टर्म ऑफ g प इस जीप की टर्म फोर हमें दे रखी है 3r स् देन r स् - d चाहिए इसका जो कॉमन डिफरेंस है व है d इसका कॉमन डिफरेंस है d ये इंफॉर्मेशन हमें गिवन है t4 अगर 3r स् है तो यह बराबर होना चाहिए a r क्यूब के यानी के 3 बरा ए ये हो गई पहली कंडीशन अब यहां से टू टाइम्स द मिडल ू टाइम्स ू ए आरट बी बराबर ए प्लस सी होगा अगर तीन नंबर ए में है तो दूसरे का डबल फर्स्ट प्लस लास्ट होगा फर्स्ट प्लस लास्ट होगा यह आ गया हां सर यह कितना हुआ सय हो गया फोर 4 आ इव प्लस आ क्यूब 4r = 1 प् 2r स् आएगा r स् यहां r स्क r स् तो r स् - 4r + 1 = 0 तो r = 4 प् माइन अंडर रूट ऑफ 16 - 4/2 तो r हो गया 2 प् माइ √3 अब जरा गौर से सोच कर बताओ मुझको कि r2 प् √3 या 2 माइनस रथ ले 2 प् √3 या 2 माइनस √3 जरा सोच के बताओ भाई हा 2 प् रथ या 2 माइनस रथ ले आ कई बच्चे कहेंगे यह क्या दे रखा इंक्रीजिंग ज्योमेटिक प्रोग्रेशन दे रखा है इंक्रीजिंग ज्योमेट्री प्रोग्रेशन दे रखा है आ हम वन से बड़ा लेंगे या वन से छोटा लेंगे सर आ हमें 2 प् √3 लेना चाहिए 2 माइन √3 क्यों नहीं सर क्योंकि वो वन से छोटा है वन से छोटे पर डिक्रीजिंग जीपी हो जाती है लेकिन वो तो तब होती है जब टर्म्स पॉजिटिव हो यहां कहीं लिखा है कि टर्म्स पॉजिटिव है नहीं सर ये तो नहीं लिखा कि टर्म्स पॉजिटिव है यह तो नहीं लिखा टर्म्स पॉजिटिव है तो r1 से छोटा भी हो सकता है वन से बड़ा भी हो सकता है यहां कहीं नहीं लिख रखा टर्म्स पॉजिटिव है देख लो लेकिन टर्म फोर्थ कैसी है पॉजिटिव है इसका मतलब पक्का जो ये जीपी है ये पॉजिटिव टर्म्स की ही जीपी है क्योंकि फोर्थ टर्म उसने दे रखी है 3r स्क च इज द पॉजिटिव नंबर इसका मतलब यह जीप है पॉजिटिव टर्म्स की इसका मतलब यह हुआ के यह इंक्रीजिंग जीपी है पॉजिटिव टर्म्स की इसलिए r1 से बड़ा होना चाहिए सिंस t4 बराबर 3 आ स्क्वा इज ग्रेटर दन जीरो दिस इंप्लाइज फॉर इंक्रीजिंग जीप फॉर इंक्रीजिंग जीप आ शुड बी ग्रेटर दन वन इसका मतलब r को आपको लेना पड़ेगा 2 प् √3 अगर ये डिक्रीजिंग जीपी होती अगर यह इंक्रीजिंग जीपी हो टर्म्स नेगेटिव होती तो आ को लेना पड़ता 2 माइ √3 तो आ को लेना पड़ता 2 माइ √3 हां 2 माइन √3 त आ को हमें 2 माइन √3 लिखना पड़ता बात समझ में आ गई अगर यहां पर टर्म्स नेगेटिव होती तो इंक्रीजिंग के लिए फिर हमें 2 माइ √3 लेना प बता लेकिन क्योंकि टर्म फोर पॉजिटिव है इसका मतलब ये जीप है इंक्रीजिंग जीप है पॉजिटिव टर्म्स की इसलिए r1 से बड़ा होना चाहिए आ की वैल्यू आ गई 2 प् √3 2 प् √3 आ गई तो ए कितना आ गया सर ए आ गया ए बराबर 3 तो ए बराबर 3 अपन 2 प् √3 राशनलाइज कर दिया 2 माइ √3 नीचे वन आ गया तो ये हो गया 6 माइन 3 √3 ठीक है अब d किसके बराबर है d बराबर होगा d बराबर होगा 2ar - d बराबर 2ar - a तो 2ar ए तो है 2 * 3 2 * 3 -6 - 3 √3 कितना हुआ 6 से 6 कट गया 3 √3 आ गया क्या पूछ लिया उसने आ स्क्वा माइनस d आ स् माइनस d 2 प्स रथ का स्क्वायर माइनस 3 रथ यह हो गया 7 प् 4 √3 माइनस 3 √3 यानी के 7 प्स √3 द करेक्ट आंसर इन दिस केस कम्स आउट टू बी बमबे बमबे इज द करेक्ट आंसर क्लियर हुआ हां सर यह क्लियर हो गया यह क्लियर हो गया बहुत ही प्यारा सवाल था बहुत कुछ सिखा के भी गया यह सवाल ठीक है अच्छा अब जरा यह देखो एक सवाल यह देखो बिल्कुल ऐसा ही है बिल्कुल ऐसे एक सवाल है यह है यह वाला तुम खुद कर लोगे यह वाला सवाल तुम खुद कर लोगे जरा देखो यह प्रॉब्लम यह वाला प्रॉब्लम बिल्कुल सिमिलर सा ही है यानी यहां लिख रखा है a1 ए2 ए3 इंक्रीजिंग जीपी है इंक्रीजिंग पॉजिटिव नंबर्स है इंक्रीजिंग पॉजिटिव नंबर्स द सम ऑफ इट सिस मेरे ख्याल से तुम खुद कर लोगे टी एच यह आप कर खुद कर सकते हो है ना यह कर सकते हो आंसर भी लिख रखा है आंसर आएगा डी यह कर लेना एक एक क्वेश्चन और देते हैं एक क्वेश्चन और देते हैं आपको एक क्वेश्चन और देख लो भाई एक क्वेश्चन और कौन सा ले ले यह वाला ले लेते हैं एक क्वेश्चन यह ले लो आओ देखें यह वाला सवाल देखें लेट ए बी द एन टर्म ऑफ जी प ऑफ पॉजिटिव टर्म ए ए प्व व से 100 200 है एव से 100 यह दे रखा ए 100 और हमें न से 200 ए निकालना है य क्याय कर लोगे खुद से देखो य क्या आएगा ए3 प्लस ए5 प्लस ए7 से लेकर a201 इसका जो सम है वह है 200 और ए2 प्स ए4 प्लस ए6 ए 200 तक का सम है 100 और हमें न से 200 तक का सम निकालना है न से 200 सम का का सम हमें निकालना है जल्दी से बताओ क्या करा जाए बेटा इसमें इसमें जल्दी से बताओ क्या किया जाए सर यहां पर जो पहली टर्म आएगी वो आएगी a3 और जो कॉमन रेशियो होगा व होगा आर स्क्वा और पावर होगी 100 माइव अपन आ स्क माइव बराबर 200 देखो बेटा ऐसे लिख दिया हमने इसको यहां पर कॉमन रेशो आ नहीं आर स्क्वा होगा ध्यान से देखो कॉमन रेशो आ नहीं r स्क होगा क्योंकि a3 के बाद a4 और फिर a4 के बाद a5 यानी a3 से a4 आ का मल्टीप्लाई फिर a4 से a5 फिर r का मल्टीप्लाई यानी कुल मिलाकर r स्क्वा रेशो आएगा अगर मैं a5 अप a3 करूंगा तो रेशो r स्क्वा आएगा a7 अप a5 करूंगा तो भी रेश r स्क्वा आएगा और यहां पर यहां पर अगर मैं इसकी बात करूं तो ये आता है a2 आ स्क की पावर 100 आ स्क्र की पावर कितना 100 माइव अपन आ स्क माइव इइ 200 ये आ गया इ इक्वल ट 100 यह आ गया भाई अगर मैं इन दोनों को डिवाइड कर दूं इफ आई डिवाइड देम डिवाइड कर दो भाई दोनों को डिवाइड कर दो दोनों को डिवाइड किया तो आप देखो यह पूरी टर्म और यह पूरी टर्म कट गई और यहां बच गया एव आ स्क अपॉन a1 आ बराबर 2 यहां से r बराबर 2 आ गया जरा टैली करो यही आ रहा है r बराबर 2 आ रहा है या कुछ और आ रहा है r बराबर 2 आ रहा है या कुछ और आ रहा है हां r बराबर 2 आ रहा है यहां देखने वाली बात अब फिर से यहां फिर से देखने वाली बात यहां पर अब मैं अगर ए निकालना चाहता हूं इ आई वाट टू फाइंड आउट ए अगर मैं ए निकालना चाहता हूं तो यह फर्स्ट कह लू ये फर्स्ट कह देता हूं तो फ्रॉम वन फ्रॉम वन मैं क्या कह सकता हूं फ्रॉम वन ए1 आर स्क्वा आ की पावर 200 माइनस एक अपन आ स्क्वा माइन एक बराबर 200 दिया था ये दिया है भाई हां सर य दिया है r1 आया 2 तो 4a 1 2 की पावर 100 200 2 की पावर 200 -1 बा 3 = 200 तो a1 हो गया 150 यह फर से कटा ये कितना आया 50 * 3 150 अप 2 की पावर 100 200 -1 यह a आ गया तो डरना नहीं है अब डरना नहीं कई लोग इसको देख के बकला जाएंगे ओ भाई यह कैसा आ गया यह कैसे निकालेंगे थोड़ा सब्र रखना है थोड़ा सब्र रखना है जो चाहिए पहले उस पर चले जाओ क्या चाहिए हमें एव से लेकर 200 ए तक का सम चाहिए सर तोय कितना होगा सर ये होगा एव आर की पावर 200 माइव अपॉन आर माइव यानी के ए1 एव कितना 150 अपॉन दो की पावर 200 माइनस एक इनटू दो की पावर 200 माइन एक अपॉन दो माइनस एक देखो हम खाली पीली डर रहे थे इतना बड़ा कैसे आएगा अब इसका कैसे इवेलुएट करेंगे तो थोड़ा सब रखना चाहिए जो चाहिए उसको एक बार मैनिपुलेट कर लो थोड़ा सा तो आपको तुरंत हो सकता है वहां काटा पीटी होकर आंसर टाक से आपको मिल जाए देरर द करेक्ट आंसर इज 150 करेक्ट आंसर 150 यह क्लियर हुआ इ दिस क्लियर हां यह क्लियर हो गया भाई बिल्कुल सर यह क्लियर हो गया स्पैमर्स कोने तो कोई फर्क नहीं पड़ता उससे घंटा फर्क नहीं पड़ता इनका कुछ नहीं होने जाने वाला सिर्फ ऐसे ही करते रहेंगे चलिए आगे बढ़ते हैं आगे बढ़ते हैं एक मस्त स्मार्ट वर्क दिखाता हूं एक और मस्त स्मार्ट वर्क भाई यह देख लो बहुत ही उम सवाल है बहुत ही उम्दा जो पढ़ने वाले बच्चे हैं आंखें फाड़ फाड़ के देखें यह जो सवाल दे रखा है यहां पर लिखा है ए बराबर 0 बी अ सीक्वेंस सच दैट a नॉ a1 बरा 0 a न और a1 दोनों रो है ए + 2 ए + 1 ए + 1 फॉर ऑल n ग्रेटर इ 0 n2 से इनफिनिटी ए बा 7 की पावर n लिख रखा है अधिकतर बच्चे इसमें क्या करते हैं पहले a1a न दे रखा है a2 निकालते हैं फिर a3 निकालते फिर ए4 निकालते फिर आगे बढ़ते हैं वोह करना सही है वोह भी कर सकते हैं बट ट सम टाइम्स बिकम वेरी लेंथी अगर उसके अलावा तुम्हारे पास कोई और प्रोसीजर हो तो बहुत ही बढ़िया हमें क्या चाहिए ए बराबर समेशन ए वेरीज फ्रॉम टू टू इनफिनिटी ए अपन से की पावर अगर देखा जाए तो यह है a2 अपन 7 स्क्वा a3 अपन 7 क्यूब a4 अपन 7 की पावर 4 प्लस सन टिल इनफिनिटी और गौर से देखो इसको मैं ऐसे भी लिख सकता हूं इ इक्वल टू ए नॉ अपन 7 की पावर 0 ए1 अपन 7 की पावर 1 ए2 अपन 7 की पावर 2 a3 अप 7 की पावर 3 प्लस सो ऑन टिल इनफिनिटी ऐसे भी लिख सकता हूं क्यों क्योंकि a नॉ 0 एव भी जी तो दोनों साइड बराबर ही तो आएंगी यानी के यानी के मैं कह सकता हूं समेशन एट टू इनफिनिटी ए अपन 7 की पावर ए या फिर समेशन n 0 से इनफिनिटी ए की पा ए अपन 7 की पावर ए दोनों ही ऐसे हैं हां सर दोनों ही ऐसे हैं देख लो एक बार बहुत प्यारा सवाल है बहुत ही प्यारा इट इ ब्यूटीफुल प्रॉब्लम एंड द मेथड ऑफ डूइंग इट इ स्टिल बेटर स्टिल द बेस्ट जरा देखो क्या होगा नाउ यानी यह हमें चाहिए वी वांट वी वांट हमें एस चाहिए अब यहां लिखा ए प् 2 बराबर किसके है बराबर है 2 ए ए प्व माइ ए प्व इसके बराबर है इस पूरे को 7 की पावर ए से डिवाइड कर दो 7 की पावर n से डिवाइड कर दो कर दिया भाई 2a की पावर ए प्व 7 की पावर ए माइनस ए 7 की पावर n प्सव अपन 7 की पावर ए डिवाइड कर दिया अब इसको कंप्लीट कर लो कंप्लीट करने का मतलब यहां लिख दो 49 और यहां ए प् 2 अपॉन 7 की पावर ए प् 2 एक ही बात है 49 यहां लगा य 7 की पावर ू 49 कट जाएगा और यहां हो जाएगा 14 ए प्व अपॉन 7 की पावर ए प्व बिल्कुल सर कंप्लीट कर दिया इसको बिल्कुल वैसा ही हां कमप यह क्लियर है यह क्लियर है भाई जरा देख लो अच्छे से देख लो बेटा यह जो नहीं देख रहा गलती कर रहा है अच्छे से देखो बेटा सर य तो बस यही लगे रहेंगे सर य बस आपस में चैट में लगे रहेंगे सर देखने के नहीं सर य इनको लग रहा सभाव है अभी पता चल जाएगा भाई एग्जाम में अगर आगे 2022 में आ चुका है दोबारा से य ना सोच ले 2024 में ना आ सक हो अगर ऐसा आ गया तो वहां फिर याद करोगे सर को हाय काश हमने देख लिया होता हां बेटा यह लिखा है अब जैसे ये दोनों बराबर हुए दोनों साइड समेशन लगा दो एव टू इनफिनिटी तो क्या बन जाएगा 14 ना समेशन ए वेरीज फ्रॉम जीरो टू इनफिनिटी ए प् 2 अपन 7n प् 2 इक्वल ट 14 इन समेशन ए वेरीज फ्रॉम जीरो टू इनफिनिटी ए प्व अपन 7n प्व फिर माइनस ए अपॉन समेशन ए0 से इनफिनिटी ए अपन 7 की पावर ए प्लस समेशन एवन से इनफिनिटी जीरो से इनफिनिटी 1 अपन से की पावर ए ऐसे लिख सकते हैं 1 अपन से की पावर ए ठीक है अब जरा देखिए यह क्या बन गया 49 गौर से देखना अगर तुम यहां पर ए को जीरो ख आएगा a2 अप 7 स् ए को रखो a3 / 7 क तो a2 / 7 स् a3 / 7 क यही तो s है तो यानी के यह तो s लिखा हुआ है यह s लिखा हुआ है ये 14 टाइम्स यहां देखोगे यह लिखा है a1 / 7 फिर + a2 / 7 स् प्लस सो ऑन टिल इनफिनिटी गौर से देखो यह भी s है क्यों a1 / 7 तो 0 है तो a2 अप 7 स् a3 अप 7 क ये पूरा वापस ऐसे बन जाएगा क्योंकि a1 अप 7 0 है a1 अप 7 भी जीरो है और यह भी जीरो है दोनों जीरो है यह भी जीरो है और यह भी जीरो है तो देखा जाए अगर दोनों लगे हैं तब भी s है अगर एक लगा है तब भी s ही है तो यहां पर a1 अप 7 यह लगा है बाकी सब वैसे का वैसा ही तो यह भी s हो गया और वो तो s है और प्लस वो कितना हुआ 1 अपव माइव बा से इनफा जीपी बनेगी वो इनफाइनों नहीं बेटा बहुत ट्रिकी है मजा आ जाएगा करके मजा आ जाएगा ऐसे करके ये आया यह हो गया 49s बराबर 13s प्लस 7 बा 6 7/6 ये कितना हुआ सर यहां पर हमसे क्या पूछा था यहां हमसे पूछा था ए का वैल्यू ए का वैल्यू पूछा है 7/6 आ गया हां सर ये हुआ 36 ए बराबर 7/6 बराबर 7 बा 216 तो ये आ गया s 7 अप 216 खत्म दैट इज द आंसर दैट इज द आंसर ये क्लियर हुआ तो एक बार दोबारा से देख लो हमारे पास ये लिखा था ये s था हमने इसमें a1 और a न भी जोड़ दिया तब भी s ही रहेगा यानी n 2 टू इनफिनिटी लिखें या जीरो से इनफिनिटी लिखें तो भी ये एस रहता है और अगर कोई लिखना हो तो ऐसे भी लिख सकता है समेशन एव से इनफिनिटी ए अपन 7 की पावर n वो भी ऐसा आएगा क्यों तब a1 अप 7 की पावर 1 वो तो जीरो है वहां से चालू होगा तब भी ए ही आएगा है ना और हमें ए ही चाहिए तो हमने ऊपर नीचे 7 की पावर n से पूरे के पूरे रिलेशन को डिवाइड कर दिया और फिर कंप्लीट करते चले गए इंडेक्स को यानी य पावर n+ 2 यहां भी n प् 2 n+ 1 यहां भी n प्व यहां n और वहां n बना लिया फिर हमने समेशन लगा दिया ए जीरो से इनफिनिटी में जब समेशन लगाया तो यहां पर जीरो रखेंगे a2 अप 7 स्क a3 अप 7 कू a4 अप 7 की पावर 4 यह बन जाएगा आपके पास में s फिर अगले वाला यह बनेगा a1 अप 7 a2 अप 7 स् यह भी s बन जाएगा वो ऐसे ऐसा आ गया आराम से मुश्किल नहीं है यह मत सोचना कि ये नहीं आ सकते हैं यह देखो एक बार नहीं दो बार आया है यह वाला सवाल अब आप खुद करना ट्राई एट होम यह आप खुद करना बिल्कुल ऐसा ही सवाल है यह आप खुद करना ठीक है ट्राई दिस योरसेल्फ अब जरा यह देखो इस तरह के प्रॉब्लम्स भी आते हैं 999 यहां करना क्या होता है 999 99 इस तरह के सवाल जेई मेंस के सिलेबस में है भाइयों ध्यान रखना इसको हल्के मत लेना तुम्हें लग रहा होगा ये जेई के सिलेबस में तो है नहीं तो क्या करें करके ये सब जे इमेज के सिलेबस में है s बरा 10 - 1 10 स् - 1 10 क्य - 1 ना ती ना है 10 क्य - 1 n9 10 की पावर n - 1 कितनी टर्म्स हो गई सर n टर्म्स हो गई क्यों यहां 1n यहां 2n यहां 3n और यहां n ए है n ना है यहां एक ना यहां दो ना यहां 3 ना यहां n 9 है तो नंबर ऑफ टर्म्स n हो गई तो 10 + 10 स् + 10 क से 10 की पावर n - n इसका सम क्या हो जाएगा 10 * 10 की पावर n - 1 / 10 - 1 - n यानी यहां पर मेन मकसद होता है ये नाइन बनाना 10 की पावर n - 1 / 9 - n इज द सम सिंपल सा सवाल है सिंपल सा बिल्कुल सिंपल सा ठीक है यह क्लियर हुआ हां सर यह क्लियर हुआ अब जरा यह वाला सवाल देखो अब जरा यह वाला सवाल देखो जेई मेस 2013 में आया था 7 प् 77 प्लस पॉट 777 तो क्या किया जाए इसका सम कैसे निकाले स इसका सम निकालने के लिए हम लिखते हैं 7 अप 10 77 अप 10 स्क्वा 77 77 अप 10 क्यूब प्लस सो ऑन अप टू 20 टर्म्स 20 टर्म्स तक ऐड करना है भाई तो क्या किया जाए सर सेन कॉमन ले ले से कॉमन लिया 1 अप 10 प् 11 अप 10 स् प्लस 111 अप 10 क प्लस सो ऑन अप टू 20 टर्म्स 20 टर्म्स अब इसको नाइन से मल्टीप्लाई डिवाइड कर देते हैं 7/9 हो जाएगा 9/1 प् 99/1 स् प् 99 99 बा 10 क्यू प्लस सो ऑन अप टू 20 टर्म्स अब क्या करो फिर वही ट्रिक अपनाओ ना को क्या लिखो स 10 - 1 यानी हर बार आपको कोशिश करना है कि 999 जैसी चीज बन जाए अपन 10 स्क्वा 10 क्यूब माइव अपन 10 क्यूब फिर प्लस अप टू 20 20 टर्म्स तक ऐड कर लो इसको इसको 20 टर्म तक ऐड करोगे हां सर तो यह आ जाएगा 7/9 10 अपन 10 माइनस व बाय 10 फिर प्सव माइनस 1 बाय 10 स्क्वायर फिर न माइनस 1 बा 10 क्यूब इस तरह से आता चला जाएगा ट हाउ इट विल बी य आता चला जाएगा और अप टू 20 टर्म्स और जब हम इस वन को ऐड करेंगे जब हम इस वन को ऐड करेंगे नवव 20 बार ऐड होगा ये हो जाएगा 7 अप 9 20 माइनस 1 बाय 10 प्सव बाय 10 का स्क्वायर न बाय 10 का क्यूब अप टू 20 टर्म 20 टम तक भाई बहुत इंपॉर्टेंट यह बात है अब देखो एक प्रॉब्लम और करने वाले मस्त सवाल एक और न बाय 10 1 माइनस 10 की पावर 20 अपॉन व बासे लिख दे यह हो गया 7 बाना 20 माइनस 1 बा 10 और 1 माइनस 10 की पावर 20 यहां मेरे ख्याल से आ जाएगा 1 बाना हा सर 1 बाना य आ जाएगा यह हो गया 7 अप ना 180 माइव माइनस 10 की पावर माइनस 20 माइनस ऐसा आ जाएगा ये हो गया 7 बाना 179 प्स 10 की पावर माइनस 20 ट इज द आंसर आंसर आ गया कलकाता बहुत सारे बच्चे आंसर बम्बे लिख रहे थे उनको लगा था सवाल चिंदी है लेकिन जहां समझा चिंदी वहीं लगेगी बिंदी जहां समझा चिंदी वही लगेगी बिंदी हां तो कई लोगों को ब चिंदी सवाल लग रहा था उन्हें लग रहा बहुत आसान है ये तो बहन बहुत आसान है बहन बहुत आसान है ये वाले सवाल तो बहुत ज्यादा आसान होया करें आंसर आ जा बहुत मुश्किल ना बहुत आसान होया करें अब क्या मतलब बस मतलब गलत हो गया मतलब ये हां बेटा अब जरा एक सवाल और देखो ये देखो एक सवाल और देखो भाई यहां पर यह जो प्रॉब्लम है अ 999 16 डिजिट तक 555 8 डिजिट तक नीचे लिख रखा है 9 * 9 से लेकर 4 तक ना डिजिट तक इसका सम ऑफ n डिजिट्स ऑफ n बताना है बहुत ही प्यारा सवाल यहां इसको क्या लिखें सर दोनों होते हैं दो बार न लिखा हो तो उसे 10 की पावर दो - एक लिखते हैं तीन बार न लिखा हो तो उसे 10 की पावर 3 - एक लिखते हैं यहां पर 16 बार न लिखा है तो 10 की पावर 16 - एक फिर माइनस इसको 5 इन 11 1 लिख ले और अगर मैं यहां इनटू 9 कर दूं तो यह 9 नाना ना हो जाएगा और यह कितनी बार लिखा होगा आ बार ए डिजिट्स ठीक है और नीचे जो लिखा है नीचे जो लिखा है वो लिखा है ना इन 10 की पावर प्लस 4 जरा देखना भाई न डिजिट है तो ऐसे लिख सकता हूं 9 10 की पावर 8 प् 4 ये हो गया 10 की पावर 16 माइनस एक माइनस पा बन 10 की पावर 8 माइनस एक अपॉन 9 इन 10 की पावर 8 प् 4 ऐसे लिख सकते हैं लिख सकते हैं ऐसे लिख सकते हैं ठीक है ये बच्चा कह रहा सवाल में पीछे में नाइन कैसे आया था नाइन कैसे आया था य नाइन कैसे आया ये नाइन कैसे आ गया बेटा थोड़ा दिमाग लगाओ 10 में से एक गया 9 9 ब 10 वो 10 गया ऊपर यह कट गया यह वाला नौ यहां लिखा है है ना हां नाइन कैसे आ ग कैसे आ ग अब समझ में आ गया हां सर यह समझ में आ गया ठीक है हां समझ गया भाई बिल्कुल यहां पर यह 5/9 कैसे आया भाई ये देखो इंजीनियर साहब परम आदरणीय हमारे इंजीनियर साहब सुनेंगे 5 अप 9 * 9 * 1 1 1 1 1 लिखेंगे तो 5 अप 9 9 9 9 9 9 आ जाएगा क्योंकि ना को अगर मल्टीप्लाई किया जाए वव से तो 9999 आता है हां आईटी बना दो सर हमारा प्लीज सर आईटी बना दो सर सर कितना करले जो बस आईटी में हो जा सिलेक्शन बस इतना बता दो सर कितना कर ले आईटी में सिलेक्शन हो जा बस सर हमारा आईटी में सिलेक्शन हो जाना चाहिए सर बेटा मेहनत करोगे तो ही होगा मेहनत करिए अच्छे से सब कुछ हो जाएगा लेकिन अगर आप मेहनत नहीं करेंगे तो फिर गड़बड़ है भाई मेहनत तो करनी पड़ेगी हमने क्या किया लेट कर लिया क्यों अब इसको सॉल्व करना मुश्किल है अब इसको सॉल्व करना मुश्किल है यही देखो जरा गौर से यहां नीचे बन गया 90 प्स 4 हमने 10 की पावर 8 को t मान लिया क्योंकि हमें तो n की सम ऑफ डिजिट्स बतानी है तो पहले हमें n तो पता चलना चाहिए ना कितना होगा n तो पता चलना चाहिए ना कितना होगा कैसे निकाले हमने 10 की पावर 8 को मान लिया य आ गया 9t स्क माइन 9 माइन 5t प् 5 डिवाइडेड बाय 9 इन 90 प् 4 यह लिख दिया बेटा एलसीएम ले लिया हमने तो एलसीएम ले लिया यह ना ऊपर वाला नीचे आ गया यह हो गया नाटी स्क्वा माइनस 5t प्स 4 डिवाइडेड बाय नहीं माइनस 4 माइनस 4 डिवाइडेड बाय 9 इन 90 प् 4 देखो बेटा ऐसे लिख दिया हमने इसको ऐसे लिख दिया अब 9 फो 36 फैक्टर बोलो भाई 9 फो 36 सर य हो जाएंगे माइनस का 90 प्लस का 4 माइनस का 4 डिवाइडेड बाय 9 इन 90 प् 4 देख रहे हो विनोद हां सर देख रहे हैं गजब सवाल सर है ना हां तो n बराबर हो गया 90 प् 4 इन t माइव यह फैक्टर आ गया भाई ऊपर जरा देखो 90 हा t माइव बिल्कुल सही यही आ रहे डिवाइडेड बाय 9 इन t 90 प् 4 यह नीचे है 90 प् 4 क्या हुआ सुर मेरा तुम्हारा ए बन गया माइनस व बन तो ए बन गया 10 की पावर 8 माइनस एक बन यह हो गया 999 9 अपन ना यह कितनी बार आया होगा सर 8 टाइम्स आठ बार तो यह आ गया नव व वन आठ बार तो सम ऑफ डिजिट्स ऑफ ए बताओ सम ऑफ डिजिट्स ऑफ ए कितना हो जाएगा सम ऑफ डिजिट्स ऑफ एन हो जाएगा आ ट हो जाएगा एट हो जाएगा हा यह चमक गया भाई बिल्कुल यह हुआ एक बहुत ही बेहतरीन बहुत ही अच्छा सा सवाल अब जरा यहां देख लो अर्थमेटिक और ज्योमेट्री प्रोग्रेशन यह है जेई मेंस के सिलेबस में नहीं है सिर्फ देख लेना भर काफी रहेगा यह जेई मेंस के सिलेबस में नहीं है ठीक है ना इट इज नॉट इन द सिलेबस ऑफ जेई मेंस है ना व्हाट इज़ द सिलेबस ऑफ़ यह जेई मेंस के सिलेबस में नहीं है भाई ठीक है हां सर यह जेई मेंस के सिलेबस में नहीं है चलो अब जरा यहां आ जाओ अर्थमेटिक ज्योमेट्री प्रोग्रेशन यहां क्या होता है एक ए और a + 2d a + 3d यह चल रहा है और यहां है 1 r r स् r क यह फिर ए प् 2d आ क्यूब एंड सो ऑन यह हो जाती है एप इसका सम फाइंड करने के लिए बहुत सिंपल सा तरीका है आप ए प्स ए प् d इन आ फिर ए प्लस 2d इन आ स्क्वा और फिर प्लस ऑन ए प् n मावडी इन r की पावर n माइव यह लिखा इसको आ से मल्टीप्लाई करके एक एक टर्म शिफ्ट कर देते हैं यानी यह ए य लिख देंगे ए प् d इन आ स्क्वा एक एक टर्म शिफ्ट करते चले जाओ तो इसके नीचे आएगा ए प् ए माइन 2 नडी आ की पावर n माइव और यह वाली टर्म चली जाएगी यहां पर ए प् ए माइव नडी आ की पावर n एक एक टर्म शिफ्ट करते चले जाओ तो ए के साथ ये ए a प् d आ स् a प् 2d आ क वो इसके नीचे आ जाएगा इसके पहले आया होगा a प् n - 2d इन आ की पावर n - 2 तो जब r से मल्टीप्लाई किया वो बने ग r की पावर n-1 वो इसके नीचे चला गया और यह आगे चला गया यहां पर एक एक टर्म शिफ्ट कर दिया एक एक टर्म शिफ्ट कर दिया बोलो भाई बोलो एक एक टर्म हमने शिफ्ट कर दिया यहां पर इ क्लियर इ दिस क्लियर ठीक ए प्स डी ए प्लस दिस यह आ गया भाई हां सर अब हम इन दोनों को माइनस करते हैं इन दोनों को माइनस करते हैं जब हम माइनस करेंगे तो आ जाएगा 1 माइन आ इन s फ ये बचेगा ए प्लस र ए कट जाएगा फिर प्लस र स्क्वा फिर प्लस डी आ क्यूब और लास्ट में बचेगा d आ की पावर ए माइव और फिर - ए प् d n - 1d इनटू आ की पावर n ऐसा बच जाएगा अब आप देख सकते हैं यहां से यहां तक ये जीप बन गई ये जीप बन गई ये कितनी टर्म्स है यहां चाहो तो जीरो लिख लो यहां चाहो तो जीरो लिख लो यहां चाहो तो जीरो लिख लो ये पहले एंड टर्म्स थी कोई बता सकता है यहां से लेकर वहां तक कितनी टर्म्स लिखी है यहां से लेकर लास्ट तक कितनी टर्म्स लिखी हैं हाउ मेनी टर्म्स आर दिस अच्छा चेक कर लेंगे भाई अभी चेक कर लेंगे उसका आंसर बी ही है अच्छा हम लास्ट क्वेश्चन में मैंने आंसर गलत एक बच्चा कह रहा लास्ट क्वेश्चन में आपने ऑप्शन गलत चूज कर लिया उसका आंसर बी ही है जरा देख लो भाई एक बार ये आया था हां सर फिर जब हमने ये लिखा यह माइनस में था ये 179 माइनस माइनस क्या हुआ प्लस 10 की पावर माइ 20 प्लस ही तो आएगा माइनस के साथ यह वाला ब्रैकेट तुम भूल गए क्या एक बार जरा चेक करो 10 की पावर माइन 20 था बेटा एक बार जरा तुम चेक कर लो एक बार अच्छे से ठीक है एक बार चेक कर लो अगर सही अगर कुछ गड़बड़ है तो ठीक कर लेंगे भाई लग तो नहीं रहा बाकी देख लो हां कितनी टर्म्स है n प्लस ये हो गया 1 माइ आ इन s इक्व ए प्स कॉमन आ प्लस आर स्क्वा से लेकर आर की पावर ए माइव फिर प्लस नहीं माइनस ए प्स ए माइव डी आर की पावर ए यह हो गया भाई और यह टर्म्स है टोटल n प्व टर्म्स है n प्व टर्म्स है ज आर इन ऑल ए प्सव टर्म्स यह टोटल कितनी टर्म्स है ए प्व ए प्सव में से यह दो गई तो ए माइनस व टर्म बची इसका सम हो जाएगा ए प्लस डी आरव माइनस आर की पावर ए माइनस आर अपॉन व माइनस आर माइनस ए प्स ए माइव डी आर की पावर और यह ए व माइनस आर से डिवाइड कर दो आप तो यहां वन माइनस आर यहां व माइनस आर का होल स्क्वायर और यहां वन माइनस आर ये आ जाए यह फार्मूला रट्टा मारना है नहीं यह फार्मूला रट्टा नहीं मारना है यह फार्मूला रट्टा नहीं मारना है ठीक है ठीक ठीक है यह हो गया भाई अच्छा उस ऑप्शन में 81 है क्या य बच्चा क सर उस ऑप्शन में 81 दे रखा है 7 अप 9 7 अप 9 लिखा होना चाहिए य 7 अप 81 लिखा हुआ है भाई एक बच्चा कह रहा सर बी में य 81 लिखा है जबकि यहां पर हमारे पास 7 अप 9 है 7 अप 9 81 ही आएगा बेटा यहां पर ये 81 ही आएगा ठीक है असल में क्या है वो यहां पर नीचे नाइन था तो वो नाइन और 81 ये सही है देखो बेटा सही आ रहा है आंसर आंसर यही आएगा कोलक क्योंकि वहां पर हम यहां नाइन लिखना भूल गए लेकिन दिमाग में था 81 ही आएगा इसलिए हमने इस पर टिक कर दिया लेकिन वहां नाइन लिखना भूल गए थे हम इसलिए 81 आ गया ठीक है बेटा चलो ठीक हो गया बेटा अब आपकी समस्या दूर हो गई तो एक बच्चा कह रहा था कि यहां पर सर जो ऑप्शन है वो सी नहीं लग रहा रहा तो बेटा ऑप्शन तो सी ही आएगा यहां पर असल में 81 जो था वो यहां पर एक नाइन मिस हो गया तो वो 99 81 तो य 81 लिखना था य गलती से ना लिखा था तो बस इतना ही है अब तो क्लियर हो गया भाई अब तो कंफ्यूजन नहीं है हा तो चलो वापस आते हैं अब वापस आते हैं अब वापस आते हैं ठीक है हां अब वापस आते हैं यहां पर क्या हमें इस एजीपी का य फर्मूला रट्टा मारना है नहीं हमें सिर्फ मेथड याद रखना है कि आ से मल्टीप्लाई करके एक एक टर्म शिफ्ट करते हैं अब जैसे यह वाला सवाल है के नव बायट की पावर के यहां पर यह लिखा के नव बाटू की पावर के इसका सम चाहिए न से 20 तो लिखा 1 अपन 2 की पावर 1 2 इन 2 की पावर ू 3 * 2 की पावर 3 नीचे और 20 इन 2 की पावर 20 नीचे ठीक है भाई यही आएगा ठीक है यह क्लियर है अब जरा देखें यह लिखा हुआ है यह क्या है एजीपी क्यों एजीपी इसमें यह न टूथ यह सब किस में है ए में और ये टू स्क्वाट क्यूब ये सब किसमें है यह सब है जीप में तो यह एप है अब एप को सॉल्व करने का तरीका आप इसे कॉमन रेशो कॉमन रेशो कितना है हाफ g प आ है हाफ तो उे हाफ से मल्टीप्लाई कर लो s / 2 यहां हो जाएगा 1/2 स् 2/2 क्यूब एंड प्लस सो ऑन लास्ट में 19/2 का 2 का पावर 20 फिर प् 20 / 2 की पावर 20 और दोनों को माइनस कर दो तो जब माइनस करेंगे तो यह बचेगा s बा 2 यह बचेगा 1/2 यह बचेगा 1/2 स्क्वा प्स 1/2 क्यूब प्लस सो ऑन लास्ट में 1 बायट की पावर 20 - 20 अपन 2 की पावर 20 ऐसा बच जाएगा और यह टोटल टर्म्स होंगी 21 कितनी टर्म्स होंगी 21 टर्म्स होंगी n प्व टर्म्स होती है ये कितनी टर्म्स होंगी 20 टर्म होंगी टोटल 21 टर्म्स होंगी तो अगर मैं इसको अलग कर लू ये कितनी बची 20 टर्म बची तो 1 बाटू इन 1 माइव बाटू की पावर 20 अपन 1 माइनस हाफ और यह है माइनस 20 अपन टू की पावर 20 यह हो गया ए बाट आप देख सकते हैं हाफ से हाफ कैंसिल आउट हो गया एस कितना आ गया सर ए आ गया 2 इन 1 माइनस व बाटू की पावर 20 और माइनस 20 अपन 40 अपन ू की पावर 20 ऐ आ गया हा मल्टीप्लाई करोगे तो जाएगा ू माइनस माइनस 242 अप 20 2 माइनस जरा देखो एक बार चेक करो यार 2 माइनस 2 अप 20 और 40 2 20 19 जरा देखो कितना आ रहा है जरा चेक करो जरा चेक करो हाफ से मल्टीप्लाई करके 21 आएगा यार यहां मैंने 20 लिखा ना 21 आएगा भाई ये दिस विल बी 21 बिल्कुल ये आ जाएगा 21 यहां भी आ जाएगा 21 21 40 अपट की पावर 21 आएगा ठीक है ना यार इक्वल टट माइनस 2 अपॉन ू की पावर 20 माइनस 10 अपॉन ू की पावर 20 की पावर 20 देखना यार की पावर 21 लिखा हमने 20 अपट की पावर 21 से मल्टीप्लाई किया तो 40 अपॉन दिस तो 40 अपन दिस ऊपर नीचे 20 20 अपन टू की पावर 20 आएगा 20 हैय 20 आएगा यार 20 अपॉन टू की पावर 20 जरा देखो दोबारा लिखते यार इसको य थोड़ा पिच हो गया यहां तक तो ठीक हो गया यहां तक तो ठीक हो गया ना यार चेक कर लो हा सर यहां तक ठीक हो गया अब इसे मल्टीप्लाई करके आगे लिख लेते हैं भाई बराबर बराबर 2 माइनस 2 माइनस 2 अपन टू की पावर 20 माइनस 40 अपॉन ू की पावर 21 ए बराबर ू माइनस की पावर 21 4 प् 40 ऊपर आ गया 44 44 अपॉन ू की पावर 21 चर से ऊपर नीचे कट जाएगा तो 2 11 अपन ू की पावर दो पावर कट गई 19 2 माइन 11 अपट की पावर 19 देखो भाई कहीं है क्या कलक आ रहा है जरा चेक करो कलक आ रहा है आंसर या कुछ और आ रहा है आपका आंसर कलक आ रहा है या कुछ और आएगा हा यह क्लियर हुआ हां सर यह क्लियर हो गया ये क्लियर हो गया यह तो था एक स्टेप में ए बन जाए कई बार दो स्टेप में ए बनती है जरा यह वाला सवाल देखो बेटा यह वाला सवाल देखो बहुत ज्यादा मैनिपुलेशन है फिर से कैलकुलेशन से डरना मना है यह 20202 में 11 अप्रैल को आया था इसका सम हमें 10 दे रखा है 10 बराबर एक प्लस 4 बाय के प्लस 8 बाय के स्क्वा प्लस 13 बाय के क्यूब और प्लस ना बा के की पावर 4 प्लस न टिल इनफिनिटी तो क्या किया जाए सर ये हो गया ना इ इक्वल टू 4 बाय के प्स 8 बाय के स्क्वा और 13 बाय के क्यूब और फिर प्लस 19 बाय के की पावर 4 प्लस सन टिल इनफिनिटी ये हमें दे रखा है तो क्या किया जाए जरा देखो यहां पर जो हमें डिफरेंस दे रखा है यह चार का है च और आ में यहां लिख के देखो च आ 13 19 यहां डिफरेंस है चार का यहां डिफरेंस है पाच का यहां डिफरेंस है किसका य डिफरेंस है सिस का यानी डिफरेंसेस ए में है डिफरेंसेस आर इन एय एजीपी नहीं है लेकिन डिफरेंसेस ए में है तो क्या किया जाए तरीका वही है डिवाइड बाय के ना बाय के इ 4 बा के स् यहां लिख दो फिर प्लस 8 बा के क्यू अब इसमें अच्छी बात य होती है लास्ट टर्म की आपको चिंता करने की जरूरत नहीं है टिल इनफिनिटी ये कितना हुआ माइनस करो 9 - 9 बा के = 4 बा के ् 4 बा के स् प् 9 बाय प्लस 4 बा के क्यूब प्लस नहीं 5 बा के क्यू सॉरी 5 बाय के क्यूब और प्लस 6 बाय के की पावर 4 प्लस ऑन टिल इनफिनिटी अब इस 4 बा के को इधर भेज दो तो 9 माइ 13 बा के बराबर 4 बाय के स्क्वा प् 5 बा के क्यूब प्लस 6 बा के की पावर 4 न टिल इनफिनिटी अब बन गई है एप अब बनी एपी क्यों 456 ए में है k स्क के क्यूब ये सब ये सब किसमें है है ना ये क्लियर है भाई ये क्लियर है हां सर सर यह क्लियर है यह क्लियर हुआ देखो जरा हमने माइनस करके लिख लिया यह आ गया अपने पास ये क्या बन गई एपी बन गई दिस बिकम एन एप दिस बिकम एन एी प दिस बिकम एन एपी ठीक है यह आ गया बिल्कुल अब जरा देखो 9 माइ 13 बाय के फिर से के स् के से डिवाइड करो यहां से यहां क्या किया डिवाइड बाय के डिवाइड बाय के डिवाइड बाय के से क्यों डिवाइड किया क्योंकि के कॉमन रेशो है य क्या है बेसिकली टू स्टेप जीप है टू स्टेप एी प यह दो स्टेप में बनेगी है ना पहला स्टेप और फिर यह दूसरे स्टेप में जीपी बनी सॉल्व होग प अब इसे फिर से के से डिवाइड करो तो ना बा के माइन 1 बाय के स्क्वा य आएगा 4 बाय के क्यूब प् 5 बा के की पावर 4 न टिल इनफिनिटी अब इन दोनों को माइनस करो फिर से अब जब मैं इन दोनों को माइनस करूंगा इन दोनों को माइनस करो फिर से सबकट अब जब सबकट करोगे जरा देखो कितना बचेगा स बचेगा 9 माइन 22 बा के यही बच रहा है जरा चेक करो भाई 9-2 बाय के माइ प् 13 बा के स्क्वा इ इक्वल टू 4 बाय के स्क्वा कैलकुलेशन चेक करते रहना भाई और प्सव बाय के क्यूब प्सव बाय के की पावर 4 टिल इनफिनिटी ऐसा आ गया यह आ गया ठीक है अब जरा देखो यह हो गया 9 माइ 22 बा के और प्लस 9 बाय के स्क्वा इक्वल टव अपन के क्यूब अपॉन 1 माइव बाय के यह आ गया आपके पास में 9 माइ 22 बाय के प्स 9 बाय के स्क इ इक्वल टू 1 अपन के स् * के - 1 ये आ गया भाई पूरे को के स्क्र से मल्टीप्लाई कर दो तो 9k स्क - 22k प्लस का 9 बराबर 1 अप के -1 के -1 से क्रॉस मल्टीप्लाई करो 9k क्यूब - 22k स्क प् 9k - 9 के स् प्लस का 22k माइनस का ना बराबर व ये कितना हुआ ना के क्यूब माइनस 31 के स्क्वा और प्लस 31 के माइनस 10 बराबर 0 यह आ गया भाई यह आ गया भाई यह आ गया ये आ गया ठीक है यह क्लियर हुआ अब जैसे ही आया अब जैसे ही यह लिखा हुआ आया जैसे यह लिखा हुआ आया तो आप देखो इसमें वन रखने पर जीरो नहीं बन रहा टू रख के देखो अगर मैं टू रखता हूं तो 9 न 8 72 माइनस 4 124 फिर 2 62 और फिर माइनस 10 जरा देखो ये कितना हुआ सर ये हुआ 134 4 और 134 जीरो आ गया इसका मतलब k -2 सेय डिवाइड हो जाएगा तो k -2 से आप इसे डिवाइड कर लो लॉन्ग डिवीजन कर लो के -2 से तो 9k स्क माइनस 18 18 के बाद ये हो जाएगा माइनस 1 के के -2 के -2 26 प् 5 के -2 मैंने डिवाइड कर दिया आप डिवाइड कर लो पूरा तो ये आ जाएगा के इ 2 इन 9 के स्क्वा माइनस 1 के प् 5 बराबर 0 य आ गया तो के की वैल्यू क्या आ गई भाई के बराबर 2 या फिर ना के स्क्वा माइनस 1 के प्लस 5 प्लस 5 इसका डी लेसन जीरो है इसका डी कैसा है लेसन जीरो तो नो रियल रूट्स इसका मतलब क्या हुआ नो रियल रूट्स के बराबर 2 हो गया आंसर द करेक्ट आंसर इन दिस केस इज यानी वैल्यू ऑफ के विल बी ट दो हो जाएगी वैल्यू क्लियर हुआ हां ये आ जाएगा भाई ठीक है यह क्लियर हुआ चलो अब आगे बढ़ते हैं अब आगे बढ़ते हैं आगे बढ़ते हैं हार्मोनिक प्रोग्रेशन भी हमारे सिलेबस में देखो एक सवाल मैं यहां होमवर्क के लिए दे रहा हूं तुमको बिल्कुल ऐसे ही सवाल है यह आप करना यह एजीपी है आप देखो वन व लगा 1 2 3 ये किस में है ए में और ये वाले जो पार्ट्स है वो जीप में है तो ये आप घर में ट्राई करना हो जाएगा आराम से यहां पर जो r है वो r कितना है 21 अपन 20 है तो r 21/2 है तो 21/2 से मल्टीप्लाई करके एक टर्म शिफ्ट करके माइनस कर देना हो जाएगा ठीक है हां भाई चैप्टर लंबा है यार चैप्टर लंबा है अगर पूरा का पूरा कवर करना है देन इट विल टेक टाइम इट विल डेफिनेटली टेक टाइम हार्मोनिक प्रोग्रेशन क्या होता है हार्मोनिक प्रोग्रेशन पहली बात तो ये ना तो जेई एडवांस के सेलेबस में ना जेई मेंस के सिलेबस में है ठीक है आपको इसको करने के लिए सिर्फ इतना है कि अगर ए बी स a1 ए2 a3 एंड सो ऑन आर इन एचप तो आप उसका हमेशा रेसिप प्रोकल कर लो बस 1 अप a1 1 अप a2 1 अप a3 डैश डैश डैश आर इन ए एप की परिभाषा क्या है अगर a1 ए2 ए3 नॉन जीरो टर्म्स की सीक्वेंस है उनके रेसिप कल्स अगर ए में हो तो वो एचप कहलाती है तो वो एचप कहलाती है तो एचप के जितने भी फार्मूला है जो भी फार्मूला है वह सब के सब ए से बोरो किए गए हैं वह सब के सब एपी से बोरो किए गए हैं यहां पर स्टैंडर्ड एचपी ऐसी दिखाई देग 1 अप एव अप ए प् d 1 अप ए प् 2d इस तरह की स्टैंडर्ड एचप दिखाई देगी आपको दैट इज हाउ द स्टैंडर्ड एचप विल लुक लाइक दैट इज हाउ इट लुक्स लाइक क्यों नीचे तो ए है ना नीचे क्या है a1 ए2 a3 ये सब किसम है ए में है तो जब हम इसका रेसिप प्रोकल कर देंगे तो क्या आ जाएगा a ए प् d ए प् 2d a प् n - 1d तो ऐसी दिखाई देती है स्टैंडर्ड एप क्योंकि इसका रेसिप प्रोकल करने पर आपको ए मिल जाएगी तो ज्यादा अच्छा तो ये रहेगा आप ये याद रखें कि h का रेसिप प्रोकल करने पर ए मिल जाती है बस इतना याद रखें h के टर्म्स के सम का कोई फार्मूला नहीं होता यू डू नॉट हैव एनी फार्मूला फॉर सम ऑफ एन टर्म्स ऑफ h एप के एन टर्म्स का फार्मूला नहीं है सम का कोई फार्मूला नहीं है यानी तुम सोचो कि एचप के 10 टर्म्स का सम का फार्मूला आ जाए नहीं है या फिर हम कहीं बच्चे ऐसा भी सोचते हैं ए के सम कर लो और उसका रेसिप प्रोकल कर दो आ जाएगा नहीं आएगा भाई ऐसा नहीं होता है है ना जैसे कि अगर मैं कहूं जैसे मैं कहूं कि 1 अपन 4 1 अप 6 1 अप 8 1 अप 10 यह क्या है h है इसका मतलब इसका रेसिप प्रोकल 4 6 8 10 ये क्या हो जाएगी ए अब कोई सोचे इनका सम क्या आएगा तो कई लोग सोचते हैं इसका सम कर लो और उसका रेसिप कल कर दो तो इसका सम आ जाएगा नहीं आएगा भाई इसका नहीं आएगा यानी मत सोचना कि इसका सम करके उसका रेसिप कल करके इसका सम आ जाएगा ऐसा नहीं होता यह ध्यान रखना ए ऑफ एच प इज नॉट इक्वल टूव अपन ए ऑफ ए कई लोग ऐसा भी सोचते हैं बहुत सारे बच्चे मैंने देखा ऐसे सोचते हुए ऐसा नहीं सता भाई ऐसा नहीं होता है ठीक है ऐसा नहीं होता है ऐसा नहीं होता है मेरे भाई यहां पर हार्मोनिक मीन भी बता देता हूं हार्मोनिक मीन भी बता देता हूं मान लो ए बी और सी आर इन एच प तो न अपन ए न अपन बीव अपन सी आर इन ए और य अगर ए में है तो टवा वाइस ऑफ मिडल इ इक्वल टू फर्स्ट प्लस लास्ट यहां से मैं कह सकता हूं 2 अपन बी इक्व ए प् सी अपन ए तो बी बराबर हो गया 2ac अपन ए प् सी यह कहलाता है सिंगल एच एम बिटवीन सिंगल एच एम बिटवीन ए एंड सी ए एंड सी के बीच में सिंगल एच एम ठीक है ना अगर ए बी सी एच प में है इफ ए बी सी आर इन एच प देन बी इ इक्वल टू देन बी इज इक्वल टू ए अप ए प् सी तो इफ ए बी सी आर इन एच प तो मैं कह सकता हूं 2 बी बराबर बी बराबर 2ac अपॉन ए प् सी होता है ये याद रखें यह चीज याद रखें यह होता है ठीक है इसी तरह से हम ए एच एम्स की बात भी कर सकते हैं इसी तरीके से हम एन एचएम की बात कर सकते हैं एन एचएम की बात कर सकते हैं हा एन एचएम की बात भी करी जा सकती है बेटा एन एचएम की बात भी कर सकते हैं एनम की बात कैसे कर सकते हैं जरा देखो वी कैन टॉक ऑफ एन एम आल्सो ए एच एम तो अगर ए एव ए2 एच एमा बी आर इन एच प तो ये जो बीच में सारे नंबर्स हैं यह वाले सारे नंबर्स यह क्या कहलाएंगे ए एच एम बिटवीन ए एंड बी बिटवीन ए एंड बी अब देखो यहां से मस्त थ्योरी निकल कर आती है न अपन ए न अपन एचव न अपन ए2 न अपन एच ए और यह न अपन बी कोई बता सकता है यह क्या बन गई आर एन यह क्या बने 1 अपन एव 1 अप h2 1 अप h ए ये क्या हो गए व्ट डू दे बिकम 1 अप h1 1 अप h2 1 अप h व्ट डू दे बिकम यह क्या बन जाते हैं यह क्या बन जाते हैं जल्दी से बताओ यह क्या बन जाते हैं सर यह हो जाएंगे एम् किसके बीच में बिटवीन न बाय एव बाय बी और हमें पता है ए एम्स का सम ए एम्स का सम देख रहे हो ये एम्स का सम कर रहा हूं मैं ए एम् का सम बराबर होता है n इन सिंगल एम बिटवीन न बाय ए एंड वन बाय बी सिंगल ए बोले तो न बाय ए प्लस 1 बा बी बाटू क्योंकि सिंगल ए कैसे निकलता है दोनों को जोड़ के बाटू 2 बी बराबर ए प् सी तो बी बराबर ए प् सी बाटू तो दोनों को जोड़ के बाटू यहां से आपके पास आ गया सम व अपन एच आ आईवट ए यह बराबर हो जाता है ए टाइम्स 2 ए प्स बी अपॉन 2 ए बी ठीक है ना उसको कैसे बोल सकते हो देखो यह क्या लिखा है यह सिंगल एचएम का रेसिप कल है सिंगल एचएम कैसे ए और बी का ए और बी का एचएम कैसे मिलेगा सर ए और बी का एचएम ए और बी इनका जो एच मिलेगा दो नंबर्स का ए मिलता 2ac अपन ए प् सी बराबर होगा 2 ए अपॉन ए प्स बी य सिंगल एचएम होगा यह सिंगल एचएम होगा तो यहां पर क्या लिखा है यह उसका उल्टा लिखा है तो सिंगल एचएम का रेसिप कल तो हम कह सकते हैं क्या सम ऑफ रेसिप कल्स ऑफ सम ऑफ रेसिप प्रोकल ऑफ सिंगल एच एम रेसिप कलस ऑफ एच एम बिटवीन टू नंबर्स इ इक्वल टू ए टाइम्स रेसिप प्रोकल ऑफ सिंगल एच एम रेसिप कल ऑफ सिंगल एच एम कहीं पर यह प्रॉपर्टी यूज हो सकती है सिंगल एच एम बिटवीन द नंबर्स बिटवीन द नंबर्स कुल मिलाकर निचोड़ यह है के हार्मोनिक प्रोग्रेशन में आपको कुछ नया नहीं करना उसे ए में कन्वर्ट करके ए के फार्मूला लगा लो बस यह करना है यह करना है ठीक है हा यह करना है बस ठीक है अब जरा देखो यह हो गया ना समझ में आया हा सर यह तो क्लियर हुआ एक मिनट हटाते हैं अब जरा यह देखो एक सवाल है टम ऑफ ए ए ए टर्म ऑफ एप इ ए प्रूव प टर्म इ ए अपन प यह करना है ए टर्म ऑफ एचप कितना है और एन टर्म है ए तो प्रूव करना है पीए टर्म यह होगी तो आप एचप अगर मान लो पहले वाले सवाल में अगर एचप मान लो क्या ए प है ए1 ए2 ए ऐसे मान लो 1 अपन एव 1 अपन ए2 1 अपन ए3 एंड सो ऑन नीचे वाली टर्म्स किसम होंगी ए में तो कैसे लिख ले ए को जरा मुझे बता दो स ए को ऐसे लिख लेते हैं 1 अप ए 1 अप ए प् d 1 अप ए प् 2d एंड सो ऑन बी द एप एचप की स्टैंडर्ड नोटेशन थी अब वो कह रहा टर्म एमथ टर्म एमथ क्या होगी ए की एम टर्म का रिसिप्रोकल ए प् ए - 1d यह बराबर है न अपॉन ये बराबर है n के और एन टर्म जो है वह बराबर है ए प्लस ए माइनस वडी यह बराबर है ए के बस यार यहां से ए और आ जाएंगे खत्म ए प्लस ए माइनस ए माइनस डी बराबर न बाय ए और ए प्लस ए माइनस वडी बराबर न बाय आप इन दोनों को माइनस कर लो हो जाएगा ठीक है हां अब इन दोनों को माइनस कर लो जैसे ही माइनस करोगे ये आ जाएगा m-n नडी बराबर य कितना हो जाएगा 1 अप ए m माइ n अपॉन m ए तोडी की वैल्यू आ गई 1 अपन m ए d की वैल्यू 1 अप m ए और a की वैल्यू क्या आ जाएगी एक की वैल्यू ए प्स ए माइव नडी बराबर 1 अपन एव अपन ए रख लो अपन ए ए बराबर न अपॉन यहां से आ गया ए बराबर न अपन ए आ गया य भीव अपन ए ए आ गया अब जैसे अप ए आया हमसे क्या पूछ लिया हमसे पूछ लिया शोट प टर्म इ दिस प टर्म कैसे लिखेगा t प 1 अप ए + p - 1 नडी ये लिख लेगा भाई 1 अपन 1 बा m ए प्लस p -1 अप m ए ये ऊपर हो गया mn1 mn1 p आ गया य शो करना था हमको तो यह वाला एक सवाल आप खुद कर लेना यह वाला एक सवाल बिल्कुल ऐसा ही है ये कर लेंगे तो थोड़ा सा फील आ जाएगा हालांकि टॉपिक है नहीं लेकिन फिर भी हमने थोड़ा टच तो कर लिया थोड़ा टच तो कर लिया ठीक है अब आते हैं मिसलेनियस सीक्वेंसेस पर सबसे पहले आता है टेलीस्कोपिंग सीरीज नाउ लेट अस सी व्हाट इज टेलीस्कोपिंग सीरीज टेलीस्कोपिंग सीरीज दिख रहा है ये टेलिस्कोप बना हुआ हां सर ये टेलिस्कोप तुमने देखा होगा दूरबीन होती है बड़ी सी ऐसे करके देखते हैं इसमें और फिर इसको बंद करके ऐसे जेब में रख सकते हैं यानी टेलीस्कोपिंग सीरीज टेलीस्कोपिंग सीरीज क्यों कहते हैं क्योंकि ये सीरीज दिखने बड़ी लंबी होती है लेकिन इसे फोल्ड करके बहुत छोटा सा बनाया जा सकता है तो टेलीस्कोपिंग सीरीज एक ऐसी सीरीज होती है जिसकी टर्म्स म्यूचुअल आपस में कैंसिल आउट हो जाए और एक फाइना इट नंबर ऑफ टर्म्स लास्ट में बचे ऐसी सीरीज को टेलीस्कोपिंग सीरीज कहते हैं और इसकी इंस्पिरेशन टेलिस्कोप से ली गई है जिस तरह से टेलिस्कोप को फोल्ड करके एक छोटा सा टेलिस्कोप में बदला जा सकता है छोटी सी ट्यूब में बदला जा सकता है इसी तरीके से इन सीरीज को काट पीटकर करेस्पॉन्डिंग्ली पीटती जाती है और आखिरी में क्या बन जाता है कुछ फाइना इट नंबर ऑफ टर्म्स बन जाते हैं कुछ फाइना नंबर ऑफ टर्म्स बच जाते हैं ठीक है उसको हम कहते हैं उसको हम कहते हैं टेलीस्कोपिंग सीरीज तो टेलीस्कोपिंग सीरीज में सबसे पहला स्प्लिटिंग एनट टर्म जज अ डिफरेंस ऑफ टू टर्म्स भाई यह जेई मेंस के सिलेबस में है यह सब जेई मेंस के सिलेबस में है इसलिए इस दर की किनार मत करिएगा यहां पर क्या है कि अगर तुम्हारे पास एक ऐसी सीरीज हो जिसमें रेसिप प्रोकल हो ए के टर्म्स के प्रोडक्ट ऑफ आर फैक्टर्स ऑफ आर फैक्टर्स इन ए द फर्स्ट फैक्टर ऑफ सेवरल टर्म्स बीइंग इन द सेम ए यह देखने में समझ में आएगा देखकर समझ में आएगा सवाल जैसे कि यहां पर यहां जरा गौर से देखो यहां जरा गौर से देखो यहां जरा गौर से देखिए हां ये जेई मेंस के सिलेबस में है भाई 1 अपन 1 * 2 * 3 * 4 ये सब लिखा हुआ है आप देख रहे हैं चार फैक्टर्स यहां भी चार फैक्टर्स यहां ये सब किसम है ए में ये सब ए में है ट 3 4 2 3 4 5 अब देखो जो ये ए है वो कौन सी है ट 3 4 5 ऐसे करके ए लिख रखी है और ये पहले टर्म जो है वह भी सेम एी में है टूथ ये भी सेम एपी में क्यों जो नीचे एपी आपको दिखी हुई लिखी हुई नजर आ रही है वो है टूथ 4 4 5 6 पहले में लिखी है टूथ 4 फिर लिखी थ 4 5 फिर लिखी है 3 4 5 6 और पहला टर्म वन फिर टू फिर थ्री फिर फोर तो फर्स्ट टर्म बींग इन द सेम एी इस तरह के प्रोडक्ट को हम कहते हैं कंटिन्यूड प्रोडक्ट क्या बोलते हैं कंटिन्यूड प्रोडक्ट तो अगर मेरे पास अगर मेरे पास क्या होना क्या है ए के टर्म्स का कुछ प्रोडक्ट है अलग अलग लिख रखा है ठीक है ठीक है यह प्रोडक्ट ऑफ एन टर्म्स है एपी में दिस आर एन टर्म्स इन एपी चार चार टर्म्स है एपी में और सबका प्रोडक्ट लिख रखा है यहां पर सेम एी है उसके शुरू के चार फिर अगले चार फिर अगले चार ऐसे करके प्रोडक्ट लिख रखा है तो इस तरह के प्रोडक्ट को हम क्या बोलते हैं इस तरह के प्रोडक्ट को हम बोलते हैं कंटिन्यूड प्रोडक्ट सबसे पहले आप इसकी टर्म आर लिखिए टर्म आर क्या होगी सर टर्म आर होगी थोड़ा ऑब्जर्व करना पड़ेगा पहली में वन दूसरी में टू तीसरी में थ्री तो आर में आर उसके बाद अगले वाला एक ज्यादा उससे अगला एक ज्यादा उससे अगला एक और ज्यादा यह हो गया देख लो जरा इसकी टर्मर ऐसे लिखी गई है हां सर इसकी टर्मर ऐसे ही लिखी हुई है इसकी ऐसे ही लिखी हुई है यहां पर मंत्र यह है कि कंटिन्यूड प्रोडक्ट इस प्रोडक्ट को कहते हैं कंटिन्यूड प्रोडक्ट फैक्टर्स ए में है यह कंटिन्यूड प्रोडक्ट खराब नहीं होना चाहिए खराब कब नहीं होगा देखो अगर मैं यह मिटा दूं तो क्या यह कंटिन्यूड प्रोडक्ट रहेगा हां सर यानी शुरू वाला मिटा दूं तो कंटिन्यूड प्रोडक्ट रहेगा बिल्कुल तब भी ए में रहेंगे फैक्टर्स यह हटा दूं तब भी क्या कंटिन्यूड प्रोडक्ट रहेगा हां सर अभी भी एी में है अभी भी एी में है अगर मैं बीच वाला कोई फैक्टर हटा दूं तो क्या कंटिन्यू प्रोडक्ट रहेगा नहीं सर अब ये कंटिन्यूड प्रोडक्ट नहीं रहेगा यानी कंटिन्यूड प्रोडक्ट रहने के लिए यह लास्ट और फर्स्ट फैक्टर हटा सकते हैं अगर चाहे तो वी कैन रिमूव सस फैक्टर्स इन्हीं के बेसिस पर इसका सम करते हैं कैसे करते हैं आप इसका लास्ट फैक्टर माइनस फर्स्ट फैक्टर ऊपर क्रिएट कर लो आ प् 3 माइनस आ लिख लो दिस माइनस दिस ये दोनों का डिफरेंस ऊपर लिख लो क्यों रहे हैं अभी देखना आपको समझ में आ जाएगा क्यों लिख रहे हैं कई लोगों ने ट्रिक रट्टा मार रखी होगी लेकिन वो ट्रिक बहुत जगह फेल हो जाती है बेटा ध्यान रखना तो टी बराबर सेपरेट करोगे तो 1 अपन आ इन आ प्व आ प् 2 फिर माइव अपॉन अब आ कट जाएगा r प्व आ प् 2 आ प् 3 टे स्कोपिंग सीरीज की पहचान है इसमें आ की जगह r प्व रखोगे तो ये बन जाएगा देखो r की जगह r प्व रखो यह बन जाएगा ये टेलीस्कोपिंग सीरीज की पहचान है कि अब टेलीस्कोपिंग सीरीज बन गई यह टेलीस्कोपिंग सीरीज बन गई ठीक है अब जरा देखो यह आ गया अब टर्म वन बोलो क्या आएगी सर टर्म वन आएगी 1 अप 1 * 2 * 3 - 1/2 * 3 * 4 फिर टर्म टू क्या आएगी सर वो आ जाएगी 2 न 3 इन 4 माइ 3 इन 4 इन 5 एंड टर्म थ विल बी 1 अपन 345 फिर माइव अप 45 6 एंड सो ऑन ए कितना आएगा टी ए आएगा 1 अपन ए ए प् 1 ए प् 2 फिर माइव अपन n प्व ए प्सव ए प्लसटू ए प्स 3 लिख देंगे यह आ गया भाई अब जरा मार काट मचाओ य इससे गया यह इससे गया हमें सबको ऐड करना है भाई यह भी जाएगा और यह भी कट जाएगा तो अंत में कितने लोग जिंदा बचेंगे दो तो यहां से हम कह सकते हैं जो सम ऑफ ए टर्म्स आ गया वो आ गया न माइनस / सि माइन 1 अपन ए प्सव ए प्लसटू ए प् 3 बस कंटीन्यू प्रोडक्ट खराब नहीं होना चाहिए कंटीन्यू प्रोडक्ट खराब नहीं होना चाहिए देखो आ प् 3 कट गया यह कंटिन्यूड प्रोडक्ट बचा आ कट गया यह भी कंटीन्यू प्रोडक्ट बचा जब तक कंटीन्यू प्रोडक्ट इंटैक्ट है यह टेलीस्कोपिंग सीरीज की तरह बिहेव करता रहेगा शड बी स्टडी दिस फॉर जेई मे यस यू शुड स्टडी दिस फॉर जेई मेन ये आ गया अगर कोई तुमसे पूछे ए इनफिनिटी कितना होगा ए इनफिनिटी होगा लिमिट ए टेंडिंग टू इनफिनिटी ए ए व हो जाएगा / स माइन 0 यानी के / स ट इज द सम ऑफ इनफा टर्म्स क्योंकि जब इनफिनिटी जाएगा तो यह टर्म इनफिनिटी जाएंगी एंड अपन इनफिनिटी विल बिकम जीरो / स विल बी द आंसर ठीक है ना हां सर यही आएगा अब आगे बढ़ते हैं जैसे ये वाला सवाल है जल्दी से ये तुम करके देखो जल्दी से तुम यह खुद करके देखो और आंसर बताओ जल्दी से यह तुम करके देखो और आंसर बताओ हम जल्दी से तुम करके देखो अच्छा 1 बाथ बच गया यार एक न 3 बच गया भाई पीछे हम एक चीज लिखना भूल गए वो है यहां दोनों का डिफरेंस थ था तो यहां पूरे के बाहर 1/3 भी आएगा क्योंकि हमने यहां थ लगाया ना ऊपर न बाथ बच गया यार यहां पूरे के बाहर न बाथ आएगा यहां 1 बाथ तो यहां भी न बायथ यहां भी न बायथ और यहां भी न बायथ ठीक और यहां पर भी 1/3 कुल मिलाकर आंसर आया दिस इन 1 बाथ तो आंसर आ गया / 18 / 18 आ गया भाई ट वड बी द करेक्ट आंसर इनस के बिल्कुल थैंक यू फर बीइंग देयर चलो अब यहां आ जाओ यानी बच्चे टेंट देख रहे भाई अभी भी भाई बच्चे अटेंट देख र इतने घंटे के बाद भी है ना यह सबसे अच्छी बात है यह सबसे अच्छी बात है बेटा मेहनत करते हैं तभी जिंदगी में कुछ मिलता है बिना मेहनत के जिंदगी में कुछ नहीं मिलता मैं यहां पर 11 बजे से 11 बजे तक खड़ा हूं 5 बजे से लेकर 6 घंटे हो गए तुम 6 घंटे से लगे पड़े हो है ना तुम भी पढ़ाई कर रहे हो साथ में ऐसे ही तो मंजिलें मिलती हैं इसीलिए तो नाम मंजिल सीरीज है भाई चलो यहां पर आ जाओ भाई इसकी टर्म आर बोलो सर एक तीन पा आपने बताया था शुरुआत में लेक्चर में 1 5 तो 2n -1 अगले वाली उससे दो ज्यादा 2n प्सव उससे अगले वाली 2n प्स 3 2 प् 3 यह हो गई जरा ज टम जरा देखो 2n माइव 2n प् 3 ठीक है और फिर और फिर कंटिन्यूड प्रोडक्ट के लिए फिर से य क्या करें 2n प् 3 माइन 2n माइव अपन 4 * 2n - 1 2n + 1 2n + 3 और फिर जैसे ही आप सेपरेट करोगे तो टर्म एनेथ आ जाएगी 1/4 क्यों किया तीन और एक चार बचेगा जबक ऊपर वन था तो उस चार को कंपन सेट करने के लिए नीचे चार लगाया 1/4 न 1 अपन 2n - 1 2n + 1 और फिर -1 अप 2n + 1 2n + 3 अब आप आगे तो खुद कर ही लोगे यार देख लो पहचान n की जगह n + 1 रखोगे यही आएगा तो ये टेलीस्कोपिंग सीरीज बन गई यह टेलीस्कोपिंग सीरीज बन गई ठीक है ठीक है हां ये टेलीस्कोपिंग सीरीज बन गई अब तो हो ही जाएगा फिर कई बार क्या होता है कई बार क्या होता है एक फैक्टर मिसिंग होता है कंटिन्यूड प्रोडक्ट में तो क्या किया जाए कंटिन्यूड प्रोडक्ट में एक फैक्टर मिसिंग होता है जैसे यहां देखो यहां पर ऊपर क्या है सर ऊपर लिखा है 3 4 5 6 नीचे लिखा है 1 2 3 4 तो टी बताओ सर आर में यहां आर आएगा नटू 3 आर में आर आएगा पहली में वन दूसरी में दो तीसरी में तीन तो आर में आर अगले वाली उससे एक ज्यादा है r प् 1 और उससे अगले वाली उससे दो ज्यादा है तो r प् 3 और ऊपर तीन च पा तीन च पा ये लिखा पहली में तीन दूसरी में चार तीसरी में पांच दो ज्यादा है r + 2 r+ 2 अब क्या नीचे कंटिन्यूड प्रोडक्ट है नहीं है नीचे कंटिन्यूड प्रोडक्ट नहीं है नीचे कंटिन्यूड प्रोडक्ट नहीं है भाई मैं आपको एक चीज और बता दूं वहां जो कैंसिल आउट है वहां कैंसिल आउट है सीरीज बेस्ड ऑन sn1 sn2 sn3 यानी के सम ऑफ नेचुरल नंबर्स पर जितने भी प्रॉब्लम्स थे वो कैंसल्ड आउट है मिस इस टेलीस्कोपिंग सीरीज के बारे में जेई मेंज ने कुछ नहीं बोल रखा इसलिए इस चक्कर में मत रहो कि यह सिलेबस में है या नहीं है ठीक है ना यहां ये कंटिन्यूड प्रोडक्ट नहीं है क्योंकि r आ प्व फिर r+ 3 यहां r प् 2 होना चाहिए तो अगर एक मिसिंग फैक्टर है यहां आपको दिख रहा होगा एक मिसिंग फैक्टर है कंटिन्यूड प्रोडक्ट में मिसिंग फैक्टर मिसिंग फैक्टर वो कौन सा है r+ 2 तो आप इसे ऊपर नीचे r प् 2 से मल्टीप्लाई कर दो ये हो जाएगा r प् 2 का होल स्क्वायर डिवाइडेड बाय नीचे आ आ प्व आ प् 2 आ प् 3 ऐसा हो जाएगा ठीक है अब इसे ओपन करो ऊपर तोय कितना हो गया सर ये हो गया आ स्क्वा प्स 4 आ प्सव डिवाइडेड बाय आ इन आ प्व आ प् 2 आ प् 3 अब कुछ ऐसा जुगाड़ लगाओ के कंटीन्यू प्रोडक्ट इंटैक्ट रहे कंटिन्यूड प्रोडक्ट इंटैक्ट रहे ठीक है हां यहां क्या किया जाए सर यहां पर हम इसे लिख सकते हैं आर स्क्वा आ इन आर प्सव है आर स्क्वा प्लस आर आ स्क्वा प् 3 आ प्लस आ प्सव ऐसे लिख दू जरा देखो मैंने क्या किया यह लिख दिया और आ इन आ प्व इन आ प् 2 इन आ प् 3 अब जैसे मैं सेपरेट करूंगा देखो यह जो लिखा हुआ है यह हो जाएगा आ इन आ प् 3 अपॉन आ इन आ प्व इन आ प् 2 इन आ प् 3 और फिर प्लस आ और प्लस व ऐसे लिखा हुआ है अब अगर आप सेपरेट करेंगे तो यह बन जाएगा 1 अपॉन आ प् 2 आ प्स आ प्व आ प् 2 बचेगा यह कंटिन्यूड प्रोडक्ट है हां सर यह कंटिन्यू प्रोडक्ट है तो इसमें देखा जाए तो तीन टेलीस्कोपिंग सीरीज बनेगी अभी देखो कैसे 1 अपन आ प्व आ प् 2 आ प् 3 ये हो गया और लास्ट वाला न अपन आ आ प् r प् 2 आ प् 3 सेपरेट कर दिया हमने सबको अगर कोई मिसिंग फैक्टर तो फैक्टर को पहले पूरा कर लो और फिर उसे सेपरेट कर लो अब इसको क्या करेंगे सर इसमें ऊपर लगा देंगे r प् 2 माइन आ प्व आ प्व आ प् 2 यह बन गई टेलीस्कोपिंग सीरीज क्या बन गई 1 अप आ प्व माइव अप आ प् ये बन गई टेलीस्कोपिंग सीरीज दूसरे वाला सर ऊपर लिख देंगे r + 3 - आ + 1 नीचे लगाना पड़ेगा 2 टाइम्स r प्व r प् 2 आ प् 3 सेपरेट करोगे तो यह बन जाएगा 1/2 1 अपॉन r प्व आ प् 2 ये बन गया और माइनस 1 अपन r+ 2 r+ 3 एक और स्कोपिंग सीरीज बन गई यह बन गई और लास्ट वाली जो टेलीस्कोपिंग सीरीज बनेगी उसमें लिख देंगे 1 बाय 3 1 आ प् 3 माइनस आ अच्छे से देखो डिवाइडेड बाय आ आर प्व आर प् 2 आर प् 3 और फिर 1/3 ये हो गया 1 अपन आ आ प्व आ प् 2 और माइनस 1 अपॉन आ प्व आ प् 2 और आ प् 3 य एक और टेलीस्कोपिंग सीरीज बन गई अब आप इन इसका सम अलग कर लो इसका सम अलग कर लो उसका सम अलग कर लो हो जाएगा फोर आएगा शायद देख लो जरा फोर कहां आएगा यार 1 बाटू 1 आ माइन 3 यही आएगा भाई जरा देखो एक बार जरा देख लो एक बार चेक कर लो यही आ रहा है जरा चेक करो और टेली करो यही आ रहा है या नहीं कहां पर गड़बड़ हुई ऊपर फोर आएगा शायद ऊपर 4 आर प्लस फोर आएगा हां यार फोर आएगा यहां यहां फोर आएगा ठीक है यहां फोर आएगा यहां फोर आएगा और यहां 4/3 और यहां 4/3 अब सही हो गया अब सही हो गया यहां भी फोर कर लो यहां भी फोर कर लो अब सही हो गया भाई हां अब ठीक हो गया सर अब क्या देखो यह बहुत अच्छी बात है के बच्चे देखो अभी भी कितनी ध्यान से देख रहे हैं जो बच्चे सिर्फ चैटिंग करने में लगे यह है वो है फलाना है डिकाना है यह सिर्फ ऐसे ही लगे रह जाएंगे यह सिर्फ ऐसे ही लगे रह जाएंगे बेटा अच्छे से पढ़ाई करिए अच्छे से प पढ़ाई करिए अच्छे से पढ़ाई करिए ठीक है हां अब क्लियर हो गया चलो यह हो गई टेलीस्कोपिंग सीरीज अब एक टेलीस्कोपिंग सीरीज जहां तो य डिनॉमिनेटर में थे अब अगर यह न्यूमरेशन में आ जाए अब जैसे यह देखो दो सवाल यह है जेई मेंस 202021 में आया है इसको कर लोगे तुमको कर लोगे क्या करें सर ये लिखा है न अपॉन 2n प् 3 से 2n + 1 का स्क्वायर क्यों 3 5 7 तीन पा साथ इसकी जो टर्म एथ बैठेगी वो बैठेगी 3 प् n - 1 * 2 तो 2n + 1 का होल स्क्वायर ये हो गई टर्म एथ या टर्म आर एथ कह लो तो 2r + 1 कह लो कोई खास फर्क नहीं पड़ता बस फील आनी चाहिए 2r + 1 का होल स्क्वायर तो ये हो गया 1 अपन 2 आ इन 2r प् 2 य आया भाई आप आगे कर लोगे ऊपर इन दोनों का डिफरेंस क्रिएट करना सेपरेट करना हो जाएगा तो यह हो जाएगा आराम से फिर इसी तरीके से एक यह सवाल देखो यहां पर क्या है यहां पर है 3 अपन 1 स्क्वाट स्क्वा तो 3 ऊपर कितना है 2n प्व नीचे है n स्क्वा इन n प्व का होल स्क्वायर यह टर्म एनेथ है क्या ऊपर इन दोनों का डिफरेंस लिखा हुआ है बिल्कुल लिखा हुआ है n प्व का स्क्वायर माइनस n स्क्वा अपॉन n स्क्वा इन n प्व का होल स्क्वायर यह टर्म एथ आ गया टर्म एन यह हो गया 1 अपन ए स्क्वा माइव अप ए प्व का होल स्क्वायर ये क्या बन गई टेलीस्कोपिंग सीरीज बन गई काम खत्म देख रहे हो कितने आसान आसान सवाल आ रखे हैं ठीक है अब जरा यह देखो भाई अगर यहां पर टर्म्स आ जाए ऊपर ईच टर्म इज कंपोज्ड ऑफ़ r फैक्टर्स इन ए यानी के वहां तो क्या था r फैक्टर्स डिनॉमिनेटर में थे यहां कहां है न्यूमरेशन में है यहां नीचे कुछ नहीं है तो ध्यान रखें जितने भी ये सीरीज हैं इस तरह के जहां फैक्टर्स ए में होते हैं उनमें सिर्फ एक ही मंत्र है कंटिन्यूड प्रोडक्ट खराब नहीं होना चाहिए कंटिन्यूड प्रोडक्ट मेंटेन होना चाहिए यानी जब कटाई पिटाई हो तो शुरू वाला या लास्ट वाला कटे बीच में से कोई कुछ ना कटे या तो शुरू के एक कट जाए लास्ट का एक कट जाए या शुरू के दो कट जाए लास्ट के दो फैक्टर कट जाए तो चल जाएगा लेकिन बीच में से कोई फैक्टर नहीं कटना चाहिए क्योंकि उससे कंटिन्यू प्रोडक्ट खराब हो जाता है तो यहां पर अगर देखा जाए मैं टर्म लिख लू तो यह है वन यह है थ तो 2n माइव इन 2n प्व ये है अब यहां पर कुछ काटने का स्कोप तो है नहीं यहां कुछ काटने का स्कोप तो है नहीं है ना यहां कुछ काटने का कोप तो है नहीं यहां कुछ काटने का स्कोप तो है नहीं कुछ जोड़ने का स्कोप है तो यहां पर इससे अगला टर्म क्या आता सर ये दो का डिफरेंस 2n + 3 इससे पहला टर्म क्या आता 2n - 3 हम क्या करते हैं 2n + 1 यहां लिख लेते हैं 2n + 3 - 2n - 3 इससे अगला टर्म आता 2n + 3 हम आगे जोड़ देते हैं और यहां पीछे जोड़ लेते हैं असल में अगर कंटिन्यूड प्रोडक्ट इंटैक्ट रखना है तो यहां काट तो सकते नहीं कुछ क्योंकि नीचे कुछ ऊपर नीचे कुछ है नहीं जहां कट जाए तो हम यहां जोड़ते हैं कैसे जोड़ेंगे इससे अगला टर्म क्या आता 2n प् 3 इससे पिछला क्या आता 2n - 3 दो दो का डिफरेंस है अब इसे सेपरेट करो देखो यह आ गया 2n -1 2n + 1 और 2n + 3 फिर - 2n -3 2n - 1 और 2n + 1 देखो कंटिन्यूड प्रोडक्ट इंटैक्ट है बिल्कुल और देखो n की जगह पर अगर तुम इसमें n + 1 रख दो इसमें n प् तो यह बन जाएगी इसमें अगर ए की जगह n प्व रख के देखो यही बन रही है कि नहीं बन रही हां सर यही बन रही है देखो n प्व रख के देख लो वही बन जाएगी तो टेलीस्कोपिंग सीरीज बन गई ठीक है हां तो अब जरा यह देखो यह हुआ अब आप क्या करोगे टर्म वन लिख लो तो हो जाएगा टर्म वन क्या होगी 1 इन 3 इन माइनस माइव इनटू माइव इन 3 इन 5 3 इन 1 इन 3 ऐसे बनेगी हा सर फर टर्म टू क्या बनेगी टर्म टू बनेगी टर्म टू बनेगी 3 5 से माइनस थ 5 फिर टर्म थ्री बन जाएगी 5 से 9 - 357 और टर्म एथ बन जाएगी 2n - 1 2n प् 1 2n + 3 और - 2n - 3 और फिर 2n - 1 और फिर 2n प् 1 ये बन गई अब आप इन दोनों को इन सबको ऐड करो बेटा जब आप इन्हें ऐड करोगे जरा देखो यह कैंसिल आउट हुआ फिर य कैंसिल आउट होने के बाद फिर यह कैंसिल आउट हुआ फ यह जाएगा और फिर इसी तरह से यह जाएगा यानी सम क्या आ गया ए आ गया 2 ए माइव 2 ए प्व 2 ए प् 3 और माइनस की बजाय प्लस यह हो गया सम ट इज द सम द सम और यहां पर डिवाइड बाय सिक्स भी होगा जो हम करना भूल गए हैं डिवाइड बाय सिक्स भी होगा है ना क्योंकि सिक्स आएगा ना भाई यह हर बार भल जा रहे भाई तुम लगा लेना भाई तुम मत भूलना तुम मत भूलना तो न बाय सि और यहां भी बाय सि यहां भी बा सि तो आंसर आ गया दिस अपॉन सि प्लस हाफ अब जरा टैली करो सही हो गया क्या यही होगा ना जरा टैली करो भाई जरा टैली करो हां डिवाइड बाय 6 चमक गया बिल्कुल सर यह चमक गया है अब जैसे अगला सवाल है भाई अब जरा अगला सवाल देखो यह वाला सवाल 1 2 3 4 यह कर लोगे यह हो जाएगा आराम से यह हो जाएगा हां सर यह कर लेंगे बिल्कुल ऐसे ही करना है यहां पर टर्म मेन लिख लेना र मेनत लिख लोगे ए ए प्व ए प् 2 ए प् 3 इसमें अगली टर्म क्या आएगी सर अगली टर्म आएगी ए प्लस 4 n प् 4 ए प् 4 और पिछली आएगी n माइव और यहां लिखना पड़ेगा न बाय फ जो अक्सर भूल जाते हैं मैं भूल जाता हूं आप नहीं भूले ठीक है ना हां सर कर लोगे भाई अब इसको सेपरेट करके सबकट करोगे आ जाएगा यार ऐड करोगे तो हो जाएगा चलो अब थोड़ा आगे बढ़ते हैं कुछ प्रॉब्लम्स इवॉल्विंग न्यू आइडियाज यानी जो प्रॉब्लम्स कुछ नए आइडिया से सॉल्व होंगी जैसे कि यह वाली सवाल देखो ई मेंस 2021 अगस्त में आया था इसको कैसे सॉल्व करेंगे जरा देखो भैया बहुत प्यारा सवाल है ए बराबर है न अपॉन एकस माइनस एक्स प्व प् 2 अपन एक्स स् प्व प्लस 2 स्क्वा अपॉन एक्स की पावर 4 प्व प्लस एक् की पावर 2 स्क्वा लिख दू एक्स की पावर 2 स्क्वा प्सव प्लस सो ऑन ू की पावर 100 अपन एक्स की पावर टू की पावर 100 प्सव यह लिखा हुआ है ठीक है अच्छा अगर मैं तुमसे पूछू एक्स की पावर ू स्क्वायर का स्क्वायर कोई बता सकता है आंसर क्या होगा जरा बताना भाई एक्स की पावर टू स्क्वायर का स्क्वायर आंसर बताना जरा क्या होगा जल्दी से बताओ यह क्या होगा यह बताओ जल्दी से क्या होगा हाउ मच दिस विल बी एक्स की पावर ू स्क्वायर का स्क्वायर सोच के बताओ स ये हो जाएगा एक्स की पावर 2 क्यूब 2 क्यूब एक्स की पावर टू क्यूब हो जाएगा हा देखा कई लोग कह रहे थे एक्स की पावर 16 हो जाएगा 16 हो जाएगा आईटी बना दो सर हमारा आईटी बना दो सर ब आईटी बना दो सर आईटी बना दो सर 16 हो जाएगा सर 16 ना होने का बेटा एक्स की पावर आ हो जाएगा य हां एक्स की पावर 16 ना होने का य क्योंकि यह हो जाएगा x की पावर टू की पावर ू इन 2 x की पावर 2 क्यूब हो जाएगा बेटा है ना पावर मल्टीप्लाई हो जाती है हां मल्टीप्लाई हो जाती है तो यह हो जाएगा अब दोनों साइड पर इसमें क्या करें 1 अपन एक्स माइव जोड़ दो 1 अपन एकस माइव जोड़ दे या सबकट करें वो देखते हैं अभी 1 अपन एक्स माइव सबट कर दो सबक्स किया -1 अपन एकस प्व और एक माइव सबकट किया तो माइव अपन एक्स माइव प्सव अपन एक्स प्सव प्लसटू अपॉन स् प्सव देखो बेटा नया आईडिया बिल्कुल है क्या नया आईडिया जरा देखो एक्स की पावर ू स्क्वा प्सव और फिर प्लस सो ऑन ू की पावर 100 एकस की पावर 100 प्सव ऐसा लिखा है यार जैसे आप इन दोनों को इकट्ठा करोगे तो यह आ जाएगा -2 अपॉन एक्स स्क्वा माइव अब जैसे हीय आया आप इन दोनों को इकट्ठा करोगे तो यह आ जाएगा माइनस 4 अपॉन एक्स स्क्वा का स्क्वायर यानी एक्स की पावर फो एक्स की पावर 4 माइनस व ये आ जाएगा जरा देखो आपने इन दोनों को सबकट किया यहां माइन एकस माइव य x माइव एक् से एक्स कट गया -2 अप एक्स स् माइव फिर आए गया -4 अपन एक्स की पावर 4 माइव फिर आप इसको इससे ऐड करोगे यह हो जाएगा -8 अपॉन एकस की पावर ू की पावर 3 माइव माइव यानी होता क्या जा रहा है इसका भी स्क्वायर हो गया यहां पर इसको टू से मल्टीप्लाई हो गया चार था यह आठ हो गया यह दो था यह चार हो गया तो लास्ट में मल्टीप्लाई होते होते लास्ट में मल्टीप्लाई होते होते कोई बताएगा आंसर क्या आ जाएगा सर ये दो से मल्टीप्लाई हो जाएगा 2 की पावर 101 2 की पावर 10 विद अ नेगेटिव साइन आएगा सर विद अ नेगेटिव साइन और साथ में नीचे हो जाएगा नीचे x स् का स्क्वायर x स् का स्क्वायर और फिर x स् का क्यूब मतलब ये हुआ पहले देखो x स् का स्क्वायर x की पावर 4 -1 हो गया फिर x की पावर 4 अगर मैं इसको लिखूं तो ये x की पावर 2 क्य क्या हैय x की पावर 2 क्यूब जो लिखा है ये x की पावर 4 का स्क्वायर तो लिखा है देख लो जरा हां सर x की पावर 4 का स्क्वायर य तो लिखा है यानी नीचे वालों का क्या होता जा रहा है स्क्वायर देख रहे हो x का x स् - 1 x स् का x की पावर 4 - 1 x की पावर 4 का x की पावर 2 क -1 यानी x की पावर 4 का स्क्वायर इव यहां हो जाएगा एक्स की पावर ू की पावर 100 का स्क्वायर माइनस व यह लास्ट वाली बात समझ में आनी चाहिए यह लास्ट वाली बात समझ में आनी चाहिए यह कैसे लिखा लास्ट वाली बात समझ में आनी चाहिए हम क्या देख रहे हैं जब हम इन्ह ऐड करते हैं इसका तो डबल हो रहा है न्यूमरेशन इसका डबल 4 माइनस के साथ इसका स्क्वायर x ^ 4 - 1 इसका डबल चार का बन गया आठ माइनस के साथ और इसका स्क्वायर x ^ 2 क हो गया -1 तो लास्ट में इसका डबल यानी 2 * दिस 2 * दिस करोगे तो 2 ^ 101 आ जाएगा 2 * 2 ^ 100 करोगे तो 2 ^ 101 आ जाएगा और नीचे इसका स्क्वायर -1 यानी अपने पास हो गया s - x - 1 इ इक्वल टू माइट की पावर 101 अपॉन एक्स की पावर टू की पावर 101 माइव अब व कह रहा एक्स को अगर ट रख दे इफ एक्स बराबर दो तो यह हो गया ए माइव माइनस टू की पावर 10 एक्स की पावर टू की पावर 10 माइव ए की वैल्यू कितनी आ गई सर ए आ गया माइनस 1 माइनस टू की पावर ओव अपॉन टू की पावर टू की पावर ओव माइव ू की पावर ओव माइव व माइनस ू की पावर ओव की पावर ओव माइव यही आ रहा है भाई आंसर तो है ना एक ब जरा चेक कर लो भाई यही आ रहा है आंसर 1 माइनस टू की पावर ओव माइनस व चेक करो यही आ रहा है यही आ रहा है या नहीं आ रहा भाई जरा देखना जरा यही आ रहा है या कुछ और आ रहा है हां सर आ तो यही रहा है आ तो यही रहा है देखो यार एक बार चेक कर लो भाई हां सर यही आ रहा है न माइनस ू पावर और की पावर ओव माइनस व एक्स स्क्वा मानव वि नेगेटिव साइन माइन एकस मानव माइट माइट तो आंसर क्या आ गया भाई स आंसर आ गया है आगरा बीच में माइनस होना चाहिए बीच में क्या होना चाहिए माइनस होना चाहिए बीच में माइनस होना चाहिए मे ल से य आ रहा जरा चेक करो हां ठीक है चलो यह हो गया यह वाला सवाल देखो यह आया था जेई मेंस में यह आया था जेई मेंस में यह आया था जेई मेंस में डरना मना है 1 अपन 2 1 अपन 2 स्क्वा 1 अपन 2 क्यू 1 अपन 2 की पावर 4 यह सब दे रखा है तो अगर मैं यहां सीरीज अलग-अलग करू टिल इनफिनिटी है तो 1 अपट फिर प्लस अगर मैं य सीरीज लिखू तो पहली टर्म वाली लिख लेता हूं 1 अपट प्व अपट स्क्वा प्सव अपट क्यूब टिल इनफिनिटी फिर दूसरे वाली माइव अप 3 यानी यह टर्म यह टर्म य ये टर्म ये टर्म माइव अपन 3 अंदर बचेगा 1 अपन 2 प्सव अपन 1 प्लस वन से बचेगा 1 प्व अपट प्व अपट स्क्वा प्व अपट क्यूब टिल इनफिनिटी फिर मैं यह वाली सीरीज देखता हूं 3 स्क्वा वाली तो प्व अप 3 स्क्वा 1 अपट 1 प्लस ये भी बचेगा 1 प् 1/2 + 1/2 स् न टिल इनफिनिटी यह बच गया और फिर 3 क्यूब वाली देखूंगा इसी तरीके से तो अगले बचेगी - 1/3 क्यूब 1 अप 1+ 1/2 प् 1/2 स् प्लस स अनटिल इनफिनिटी प्लस सो ऑन टिल इनफिनिटी ऐसे बन जाएगा भाई हमने क्या किया देख रहे हो विनोद क्या किया है जेई मेज का सवाल है बेटा ये सर बहुत आसान आया करे सर जेई मेज तो बहुत आसान हुए बहन बहुत ज्यादा आसान है बहुत आसान आया करे जेई मेंस तो मतलब बहुत आसान हुए बहुत ज्यादा आसान है नहीं बेटा थोड़ा तो मुश्किल होता ही है आपको तैयारी तो अच्छे से करनी पड़ेगी आपको तैयारी तो अच्छे से करनी पड़ेगी ठीक है ना और ये हो गया - 1/3 वन माइव अपॉन 1 - 1/2 फिर + 1 / 3 स् 1 / 1 - 1/2 फिर -1 / 3 क 1 / 1 - 1/2 न टिल इनफिनिटी तो यह हो गया 1 - 2/3 फिर + 2/3 स् फिर - 2/3 क्य न टिल इनफिनिटी तो अगर मैं इसमें से 1 - 2 यहां 1/3 प्लस नहीं -1 बा 3 स् फिर + 1/3 क्यूब न टिल इनफिनिटी ये हो जाएगा 1 -2 1/3 अप 1+ 1/3 य आ गया ये हो गया न माइनस 1 बायट यानी के हाफ सम आ गया हाफ अल्फा कितना हुआ सर यह है अल्फा अपॉन बीटा अल्फावन हुआ बीटा ू हुआ अल्फा प्स 3 बीटा पूछा है सेन आ रहा है भाई आंसर जरा चेक करो आंसर क्या आ गया सेन आ गया गया ठीक है ना यही आ रहा है आंसर जरा सेवन आ रहा है हां सेवन इज द करेक्ट आंसर सेवन इज द करेक्ट आंसर अब जरा ये देख लो 4r + 5 मैं सिर्फ हिंट दूंगा तुम सोचो यह कैसे हम इसको कुछ कर सकते हैं क्या तुम बताओ जल्दी से कमेंट बॉक्स में लिखकर इसके लिए क्या करेंगे इसके लिए क्या करेंगे इस प्रॉब्लम के लिए व्हाट विल वी डू फॉर दिस प्रॉब्लम इस प्रॉब्लम के लिए हम क्या करेंगे बस यह वाला देख लो प्रॉब्लम एक फिर देंगे ब्रेक इस प्रॉब्लम के लिए क्या करेंगे सर यहां लिखा है 5 आ 4 आर तो य लिख लो पहले तो क्या है 4 आ प्स 5 5 की पावर माइनस आर अपॉन आ इन 5 आ प् 5 क्या करें सर इसमें लिख सकते हैं ऊ परर 5 आर प्स 5 माइनस आर 5 की पावर माइनस आर अपॉन आ इन 5 आ प् 5 ऐसे लिख सकते हैं सेपरेट कर दो तो 1 अप r माइनस 1 अपन 5 आ + 5 5 की पावर माइ आ यह हो गया 5 की पावर माइ आ अप आ फिर -1 अप 5 r प् 1 5 की पावर माइ आ यानी कि 5 की पावर माइ आ अपन r -5 की पावर - आ -1 अपॉन आ प्व अब यह बन गई टेलीस्कोपिंग सीरीज क्यों इसमें आ की जगह r प्व रख के देखो आ की जगह r प्व रखोगे यही बन जाएगी टर्म देखो r प्व और यहां माइनस आ माइव तो टेलीस्कोपिंग सीरीज बन गई यह बन गई टेलीस्कोपिंग सीरीज ठीक है ना हां सर यह क्लियर हुआ हां सर यह क्लियर हो गया चलो अब आगे बढ़ते हैं अब आगे बढ़ते हैं आगे बढ़ते हैं यह वाला सवाल बहुत ही प्यारा सवाल है यह वाला सवाल मतलब गजब सवाल है भाई अगर तुम यह सोच लो तो अगर तुम यह सोच लो तो तो एक काम करते हैं एक छोटा सा ब्रेक लेते हैं ब्रेक 15 मिनट्स फिर मिलते हैं 15 मिनट के बाद ठीक है तो वी विल मीट आफ्टर 15 मिनट्स 15 मिनट के बाद मिलेंगे भाई ठीक यह वाला सवाल आप तब तक करिएगा पूरा 15 मिनट में मिलते हैं फिर से मीट यू इन 15 मिनट्स [संगीत] ब मुझे लगता है कि यह वाला प्रॉब्लम आप लोगों ने ट्राई कर लिया होगा अभी तक काफी अच्छा सवाल है जो हमने आपको ट्राई करने को दिया है अगर मैं यहां टी लिखूं यह है r प् 2 डिवाइडेड बाय r इन आ प्व 2 की पावर माइनस आ माइव इन सवालों का नाम है कुछ नई सोच वाले सवाल नया सोचना है ट्रेडिशनल सोचने से काम नहीं चलेगा अगर मैं इसको लिख दूं ऊपर 2r प् 2 माइ आ डिवाइडेड बाय r इन r + 1 इन 2 की पावर - आ -1 सेपरेट करूं तो ये आ जाएगा 2 अप r -1 अप r+ 1 इन 2 की पावर - आ -1 ये हो गया 2 की पावर - आ अपॉन r -2 की पावर - आ + 1 अप r+ 1 अब आप गौर से देखें ये टेलीस्कोपिंग सीरीज बन गई य यह एक टेलीस्कोपिंग सीरीज बन गई है ना दिस बिकम अ टेलीस्कोपिंग सीरीज अब आप इसमें टूथ से लेकर ए तक रखते चले जाओ आंसर आ जाएगा ना मेरे ख्याल से जब आप इसमें टर्म वन लिखोगे तो टर्म वन क्या आ जाएगी स टर्म वन आ जाएगी 2 की पावर -1 अपव -2 की पावर -2 अपन 2 फिर टर्म टू हो जाएगी ू की पावर -2 अपॉन 2 और -2 की पावर -3 अपन 3 फ टर्म थी हो जाएगी ू की पावर माइनस 3 अपन 3 माइट की पावर माइनस 4 अपन 4 और लास्ट में टी ए जो आ जाएगा ट की पावर माइनस ए अपन ए माइट की पावर माइनस ए अपन ए प्सव माइ ए प्व ऐसा आ जाएगा ट इज व्ट विल बी देयर और जब आप इसे ऐड करोगे तो यह टर्म गई यह टर्म गई और फिर यह टर्म जाएगी इसी तरीके से और यह टर्म कट जाएगी तो टर्म ए आ जाएगा तो सम ऑफ ए टर्म्स आ जाएगा सम ऑफ ए टर्म्स विल कम आउट टू बी 1/2 माइनस 1 अप n प्व इनटू की पावर n प्व तो ए इनफिनिटी जो होगा वो होगा लिमिट एन टेंडिंग टू इनफिनिटी ऑफ ए और वो हो जाएगा 1 बाट तो के की वैल्यू टू आ जाएगी तो के की वैल्यू टू आ जाएगी यही आ रहा है भाई हां सर के की वैल्यू टू आ गई कितने लोगों ने सही कर लिया कितने लोगों ने ऐसे सोचा कितने लोगों ने सोचा भाई एक सवाल ये घर में करना टी एच यह आप घर में करना खुद से अब आते हैं स्पेशल सीरीज पर यह अब जेई मेंस के सिलेबस में नहीं है यह जेई इमज के सिलेबस में नहीं है अब ठीक है ये जो इमेज के सिलेबस में नहीं है यहां पर यहां पर ए प् - ब समेशन लिखा है तो समेशन डिस्ट्रीब्यूटर r1 2n समेशन ऑफ ब r1 2n के अगर कांस्टेंट मल्टीप्ला है तो वो बाहर आ जाता है इट कम्स आउट ऑफ द समेशन k का समेशन वन से n तक n के होता है यानी के अगर कभी लिखा हो समेशन ऑफ 2 k वेरीज फ्रॉम वन टू n तो आंसर आ जाएगा 2n n अगर लिखा हो समेशन ऑफव के वेरीज फ्रॉम 1 टू n तो आंसर आ जाएगा सिर्फ n ये आ जाएगा आंसर ये ध्यान रखें और अगर के मल्टीप्ला है कांस्टेंट है उसके वो r का फंक्शन नहीं है तो के बाहर आ जाएगा समेशन डिस्ट्रीब्यूटर आता है सम ऑफ फर्स्ट एंड नेचुरल नंबर्स ये हम कर चुके सम ऑफ स्क्वायर्स ऑफ फर्स्ट एंड नेचुरल नंबर अब सिर्फ याद रखें यह होता है n * n + 1 * 2n + 1 बाय यानी के 1 स्क्वा प्स 2 स्क्वा से लेकर 3 स्क्वा से लेकर n स्क्वा तक का सम होता है n * n प् 1 * 2n प् 1 बाय 6 और यहां पर ये क्यूब्स का सम है 1 क्यूब प् 2 क्यूब प् 3 क्यूब प्लस सोन अप टू n क्यूब दिस इज द सम ऑफ द क्यूब्स यहां पर स्क्वेयर लिखा है हमारे ऑपरेटर ने यहां होगा क्यूब्स ठीक है दिस विल बी क्यूबस सम ऑफ द क्यूब्स ऑफ दिस यहां पर क्यूबस आ जाएगा सम ऑफ द क्यूबस ऑफ द फर्स्ट नेचुरल नंबर एक चीज और ध्यान रखिए n इन ए प्व का होल स्क्वायर ए इन ए प्सव बायट का होल स्क्वायर यहां पर यह है होल स्क्वायर है भाई मेरे य ऐसे है और यह एक तरीके से सम ऑफ स्क्वेयर जरा एकज देखो जरा लास्ट देखो लास्ट से यहां पर ये देखो ये n स्क्वा n प्व का स्क्वा बा 4 तो ये जो लिखा है एक तरीके से n * n प्व बाट का होल स्क्वायर लिखा है यहां मैं बता दूं आपको यहां बता दूं 1 क्यूब प्स 2 क्यूब से लेकर n क्यूब का सम होता है n इन n प्व बायट का होल स्क्वायर और यह देखा जाए तो यह होता है 1 प् 2 प् 3 प्लस n है ना इसका होल स्क्वायर तो ध्यान रखें 1 क्यू प्स 2 क्यूब प् 3 क्यूब इसका जो सम होता है वह सम ऑफ फर्स्ट एंड नेचुरल नंबर्स का होल स्क्वायर होता है सम ऑफ ए नेचुरल नंबर्स का ह होल स्क्वायर होता है ठीक है बिल्कुल सर अब जरा यह देखो क्वेश्चन देखो क्वेश्चन में सबसे पहले क्वेश्चन में सम ऑफ ए टर्म्स निकालना है हम इस पर ज्यादा चर्चा नहीं करेंगे ठीक है ना ज एडवांस में जो आते हैं वो भी देखेंगे खैर तो यहां पर लिखा है सम ऑफ सीरीज ऑफ दिस अप टू 11 टर्म्स 11 टर्म्स का सम बताना तो टर्म आर बताओ टर्म आर क्या होगी टर्म आर होगी यह लिखा है 1 नव ये लिखा है 1 नव इसको लिख द 1 नव 1 2 3 तो आ अगले वाला सर एक एकती पा सा 2n 2 आ माइव 2 आ माइव तो टर्म आर आ गई टर्म आर आ गई 2 आ स्क माइ आ जैसे ही आपको किसी सीरीज की टर्म आ पता चलती है जैसे ही आपको किसी सीरीज की टर्म आ पता चलती है तो एक बात याद रखेंगे क्या याद रखेंगे भाई एक बात याद रखेंगे जैसे आपको टर्म आर पता चली जैसे आपको टर्म आर पता चली इफ वी नो टर्म आर ऑफ सीरीज देन एस ए क्या होगा सर एस ए होगा व प् t2 प्स t3 प्लसटू t ए यही होगा यानी के यह हो जाएगा समेशन ऑफ र आर वेरीज फ्रॉम वन टू ए ए हो जाता है समेशन ऑफ टी आर वेरीज फ्रॉम वन टू ए यानी अगर आपको किसी सीरीज का क्या पता चल जाए किसी सीरीज का एन टर्म पता चल जाए आर टर्म पता चल जाए तो उसके एन टर्म्स का जो सम होगा वह हो जाएगा उन सब का समेशन आ का समेशन टी का समेशन आवट ए यह हो जाएगा तो यहां पर अब हमें टी पता चल गया जैसे ही हमें टी पता चल गया अब मुझे सम निकालना है कितने टर्म्स का 11 टर्म्स का s1 निकालना है मुझको s1 निकालना तो कैसे निकालू s1 विल बी इक्वल टू विल बी इक्वल टू व्ट विल बी इक्वल टू समेशन ऑफ आ वेरीज फ्रॉम वन टू 11 और वो हो जाएगा समेशन ऑफ 2r स्क माइ आ आ वेरी फ्रॉम 1 टू 11 अभी-अभी बताया था समेशन डिस्ट्रीब्यूटर है तो ये हो जाएगा समेशन ऑफ 2r स् माइनस समेशन ऑफ r r वेरीज फ्रॉम 1 टू 11 यहां r वेरीज फ्रॉम 1 टू 11 कांस्टेंट मल्टीप्लाई तो कांस्टेंट बाहर आ जाता है यह भी पढ़ा हमने तो 2 सम r स् r1 से 11 माइ सम r r1 से 11 तो कितना हो गया सर ये हो गया 2 * 1 स् + 2 स्क्वा से लेकर 11 स्क्वा यानी सम ऑफ फर्स्ट 11 सम ऑफ स्क्वायर ऑफ फर्स्ट 11 नेचुरल नंबर्स और य 1 प् 2 से लेकर 11 तक य तो बिल्कुल वार्म अप टाइप का सवाल है य 11 n न n प्व 12 इन 2n प्व 23 बाय 6 याद करो n इन n प् 1 न 2n प्व बा सि होता है सम फिर माइनस n इन n प्व बाट ए इन ए प्व बाटू यह हो जाएगा आंसर आ गया तो यह कितना हो गया सर यह हो गया है 2 इन यह कट गया 6 टू 44 इन 23 माइनस यह हुआ 66 11 कॉमन तो 4 92 माइनस स माइनस स 86 86 ही आएगा जरा देखना यार 23 6 12 22 44 11 कॉमन लिया और यहां 11 इनटू दिस माइनस ठीक है तो यह हो गया 11 इन 806 सि और 6 946 आ रहा भाई 946 आंसर आ गया डी फॉर डेल्ली डी फॉर डेल्ली इज द करेक्ट आंसर यस और नो ली हुआ क्या अब जरा यह देख लो भाई एक सवाल यह देखो एक सवाल यह देखो यह वाला सवाल अगर देखा जाए तो इसकी टर्म एथ क्या आएगी टर्म आर टर्म आर आएगी नीचे कितना है न स्क्वायर पहली में दूसरी में 1 स्क्वा प् 2 स्क्वा तीसरी में 1 स् प् 2 स्क्र प् 3 स्क्वा चौथी में 1 स् + 2 स् + 3 स् + 4 स्क तो आर एथ में नीचे r स्क्वा तक ऊपर 3 5 सा मैंने बताया था ये होता है 2n + 1 3 5 सा इसका एनट टर्म 2n + 1 और ऊपर आएगा 1 क्यूब + 2 क्यू + 3 क + r कब जरा देखो कैसे लिखा एक एक चीज ये देखो 3 5 सा 3 5 सा जल्दी से देखो ऊपर लिखा 2n + 1 1 क प् 2 क प् r क और नीचे स्क्वायर्स का सम नीचे कितना हो गया सर ये हो गया r r प्व 2 आ प्व बाय 6 ऊपर है 2r प्व इन आ इन आ प्व का स्क्वायर बाय 4 अब आप देख सकते हैं यह पूरा का पूरा तामझाम ये 2r प्व गया यहां स्क्वायर गया यहां स्क्वायर गया आपके पास क्या बच गया 3/2 r * r + 1 यह t हो गया यह t हो गया 10 टर्म्स तक का सम चाहिए तो s 10 बराबर हो जाएगा समेशन ऑफ r आ वेरीज फ्रॉम 1 टू 10 हो जाएगा भाई अब तो 3/2 समेशन r वेरीज फ्रॉम 1 टू 10 मैंने 3/2 कांस्टेंट तो बाहर लिख लिया आर स्क्वा प्लस आ यह हो जाएगा 3 बाटू समेशन ऑफ आर स्क्वा प्लस समेशन ऑफ आर आव टू 10 और यहां भी टू 10 आप आराम से इसे कर सकते हैं हो गया ब सब तो यह क्लियर हुआ यह क्लियर हो गया हा 11 वाले भी देख सकते हैं क्यों नहीं देख सकते 11 वाले भी 11थ वाले भी देख सकते हैं ये कितना हो जाएगा सरय हो जाएगा 10 इन 11 इन 21 बटे 6 और यह हो जाएगा प्लस 10 इन 11 ब दो यह हो जाएगा अब आप इसे खुद सॉल्व कर लो भाई आगे ना हो जाएगा सॉल्व यह कट गया ये कट गया कितना आया 3 से टू 2 फ य आ गया 3/2 इन 385 385 प् 55 ट मेक्स ट 3 बाटू इनटू कितना 10 13 और एक 14 और 440 660 आ गया भाई आंसर 660 इज द करेक्ट आंसर बम्बे बम्बे आ गया आंसर देख र टाट कटा कट अब जरा यह देखो यह जेई एडवांस में आया था जई एडवांस में आया था यह सवाल जेई एडवांस में आया था यह सवाल हां अब जरा देखो यह सवाल सी ए स्क्वा फर्स्ट एंड टर्म्स ऑफ ए सम ऑफ फर्स्ट एंड टर्म्स ऑफ ए सी ए स्क्वा हां देखो तो एव क्या होगा सर t11 कितना हो गया सर c और जो d होगा वो होगा 2c याद करो कि अगर sn2 + b तो यह होता है ए कॉमन डिफरेंस होता है कॉमन डिफरेंस होता है 2a कॉमन डिफरेंस 2a इट इज एन ए विद कॉमन डिफरेंस 2a तो 2c यानी कि हमारी जो ए रही होगी वो ऐसी रही होगी कॉमा 3 सी कॉमा 5 सी कॉमा 7 सी एंड सो ऑन बेटा इसको बुक्स में ऐसे नहीं कर रखा बहुत मुश्किल तरीके से कर रखा है देख लो अच्छी तरीके से बता रहे हैं एक बार अच्छी तरीके से देख लो यह आ गया हां सर अब वो कह रहा है इसके स्क्वायर्स का सम बताइए तो सम ऑफ स्क्वायर्स सम ऑफ स्क्वायर्स सम ऑफ स्क्वायर्स क्या होगा ए ए तक का स्क्वायर बताना है तो सी स्क्वा प्स 3 स्क सी स्क्वा प् 5 स्क सी स्क्वा प् 7 स् सी स्क्वा प्लस अप टू ए टर्म्स अप टू ए टर्म्स यह बताना है यहां क्या होगा सी स्क्वा कॉमन 1 स्क प् 3 स्क प् 5 स्क प् 7 स्क्वा अप टू ए टर्म्स अप टू ए यह हो गया 2 आ माइनस व का स्क्वायर इसका अगर मैं सम करूं यह तो मैं इसे लिख सकता हूं सी स्क्वायर जनरल टर्म है 2 आर माइनस व का होल स्क्वायर और समेशन आर वेरीज फ्रॉम नटू ए जरा देखो ऐसे लिख सकता हूं इसको आ माइनस व का होल स्क्वायर हा यह क्लियर हो गया बिल्कुल सर यह हुआ सी स्क्वा समेशन 4 आ स्क्वा माइनस 4 आर प्व आर वेरीज फ्रॉम वन टू ए और यह आ गया आपके पास सी स्क्वा 4 इन n इन n प्व 2n प्व बाय 6 फिर माइनस 4 इन n ए प्व बाटू और प्लस का एवन का समेशन किया समेशन दिया हमने समेशन ऑफ 4r स् ये हो गया 4 बाहर n * n+ 1 * 2n + 1/6 n * 2n + 1 बा 6 ठीक है यह समझ में आया कि नहीं आया और लास्ट में जो 4r है ये हो जाएगा 4 * समेशन ऑफ r समेशन ऑफ r होगा n * n + 1/2 क्योंकि सम ऑफ फर्स्ट एंड नेचुरल नंबर वन का समेशन वन का समेशन होगा r1 2n विल बी n ये यहां पर ये ए आ गया अब पूरे में से कुछ कॉमन आता है ए कॉमन आ जाता है पूरे में से पूरे में से ए कॉमन आ जाता है तो ए बराबर ए सी स्क्वा यहां बच गया 2 बा 3 2 बाथ कैसे जरा देखो 2 बा 3 और ये n इन ए प्व य बच गया n प्व इन 2n प्व फिर माइनस 2 इन n प्व और प्सव यह बच गया भाई एक बार जरा टेली करो यह बच रहा है क्या कुछ और बच रहा है ू कट गया यह हा सर ू कट गया 2 इन ए प्व प्व यही बच रहा है यही बच रहा है य हो गया n स स्क्वा बाय 2 ए स्क्वा प्लस का 3n प्लस काव माइनस का 6n प्लस का स 6n माइन एलसीएम ले लिया हमने 6 ए माइनस का 6 और फिर प्लस काथ दिस होल डिवाइडेड बाय 3 यह हो गया यह हो गया ए सी स्क्वा 4n स्क्वायर प्स 12 ए और 6n 6n कट गया भाई 6 ए और 6n कट गया और 4 ए स्क दो 5 माइनस एक बाय 3 यह आ गया आंसर एसी स्क्वा 4 ए स्क्वा माइनस 1 बाय 3 ए स्क्र 4 ए स्क्र माइनस 1/3 कोलक इज द करेक्ट आंसर कोलका इज द करेक्ट आंसर यस लक्ष वाले बढ़िया तरीके से कर रहे हैं काम हो रही है रिवीजन मस्त तरीके से बेटा यह 11थ क्लास का रिवीजन एक एक चीज कवर हो जाएगी यहां पर एक एक चीज कवर हो जाएगी पूरी की पूरी अच्छे से देखते रहो पियर्स भी हमारे लगे हुए हैं है ना हां प्रयास वाले भी हमारे लगे पड़े हैं भैया शुरू से लास्ट तक ग्रेट अब जरा यह देख लो भाई एक और सवाल यहां पर केटू 4n य एडवांस में आया था तो वन से 4n इसका सम करना है हमें तो अगर मैं इसको लिखूं तो यह हो जाएगा वन रखा तो माइनस कावन स्क्वा ट रखा माइनस काटू स्क्वा प्लस 3 स् + 4 स् रख के देखो वन रखोगे तो ये -1 ही बनेगा 1 स् 2 रखोगे तब भी ये माइनस ही रहेगा ऑड पावर आएगी 3 स् 4 स् फिर आएगा -5 स् - 6 स् + 7 स् + 8 स् फिर आएगा माइनस 9 स् - 10 स् फिर + 11 स् + 12 स् और ये कार्यक्रम चलता चला जाएगा 4n तक अगर देखा जाए माइनस माइनस वाले अगर प्लस प्लस वाले देखे जाएं तो चार चार के एक ग्रुप बन रहा है पूरा यह चार का यह चार का यह चार का ग्रुप बन रहा है पूरा तो अगर मैं इनको अलग-अलग लिखूं सबसे पहले मैं थ्री वाले को लिखता हूं 3 स् + 7 स् + 11 स् प्लस सो ऑन एक तो ये बन गया ग्रुप फिर एक 4 स् वाले को लिखता हूं 4 स्क्वा 8 स्क्वायर 12 स्क्वा प्लस सो ऑन गौर से देखो सबका डिफरेंस चार है और फिर माइनस काट स्क्वायर माइनस का 6 स्क्वायर माइनस का 10 स्क्वायर यानी यह माइनस लगा के ऐसे लिख दू प्लस सो ऑन और यहां पर माइनस का न स्क्वायर प्लस का 5 स्क्वायर प्लस का ना स्क्वायर एंड सो ऑन यह बन रहा है भाई यह बन गया चार ग्रुप बन गए अलग-अलग तो यू हैव फोर ग्रुप्स नाउ क्लियर है बात हां सर यह क्लियर है जरा देखो अगर तुम इसकी जनरल टर्म देखोगे तीन सा 11 इसकी जनरल टर्म आएगी 3 प्स n माइव इन 4 यानी 4n माइनस व 4n माइव आ रही है 4n माइव का होल स्क्वायर और ये कितनी टर्म्स होंगी जरा ध्यान से सुनना चार चार चर ऐसे कितने ब्रैकेट होंगे सर ए ब्रैकेट होंगे कितने ब्रैकेट होंगे n यह चार फिर यह चार फिर यह चार फिर यह चार और टोटल टर्म्स कितनी है 4n तो यह टोटल कितने हो जाएंगे n हो जाएंगे उसमें से ये पहले पहले में से 3 स्क्वा उठाया दूसरे में से 7 स्क्वा उठाया तीसरे में से 11 स्क उठाया उठाते चले जाएंगे तो इस ब्रैकेट में कितने टर्म्स होंगे ए टर्म्स होंगे यानी अगर मैं इसे लिखना चाहूं तो इससे लिख सकता हूं समेशन आवट ए 4 आ माइनस व का होल स्क्वायर इसको लिख सकता हूं समेशन 4 आ का होल स्क्वायर आवट ए फिर माइनस समेशन आ येट है 26 2 6 10 एंड सो ऑन इसकी जनरल टर्म बढ़ेगी 2 प् 4 इन n-1 तो ये आ जाएगा 4n -2 तो ये आ गया 4r -2 का होल स्क्वायर आ वेरीज फ्रॉम व टू n और यह वाली होगी समेशन 4 आ यह 159 है 159 है उसका जनल टम होगा 1 प् 4 * n-1 प् n - 1d 4n - 3 तो 4r - 3 का होल स्क्वायर r वेरीज फ्रॉम वन टू n क्या ये बात समझ में आई n ए क्य होगा क्या ये बात समझ में आई n ए क्यों होगा हां भाई बोलो ये n ए क होगा समझ में आया हां सर समझ में आया क्योंकि ये n ब्रैकेट्स होंगे ये n ये n मतलब सॉरी ये फोर यह फोर ये फोर यानी ऐसे चार चार के कितने स्लॉट बनेंगे ए स्लॉट्स बनेंगे चार चार के एन स्लॉट बन जाएंगे और हर स्लॉट में से हमने एक टर्म लिख लिया य ब्रैकेट लिखने के लिए यह तीन लिया यहां सात लिया यहां इसका 11 लिया तो हर स्लॉट में से हमने एक एक टर्म ले लिए तो इसमें ए टर्म्स होंगी इसलिए टू ए यह भी टू ए और वह भी टू ए लिखा है आई होप यह बात समझ में आ गई जनरल टर्म कैसे लिखी मैंने स्क्वायर हटा दिया 3 7 11 ये क्या है ए है कॉमन डिफरेंस कितना है 4 a + n - 1 नडी तो 4n - 1 आएगा तो 4r -1 ऊपर स्क्वायर लगा दिया यहां पर 4 आ ये तो चार का मल्टीपल है साफसाफ दिख रहा है 26 10 इसका ये भी ए है a + n - 1 * d 4n - 2 तो 4r - 2 का होल स्क्वायर और 4r - 3 का होल स्क्वायर ऐसे लिख लिया हमने ठीक है अब जरा देखिए इसको लिख सकते हैं समेशन आर वेरीज फ्रॉम न टू ए 4 आ माइव का स्क्वायर प्लस 4 आर का स्क्वायर माइनस 4 आर का 4 आर माइनस 2 का होल स्क्वायर और फिर माइनस 4 आ माइनस 3 का होल स्क्वायर यह माइनस करना है हम जब माइनस करेंगे तो समेशन आर वेरी फ्रॉम व टू ए 16 आ स् 16 आ स्क्र कट जाएगा यहां बचेगा 1 माइनस 8 आर और प्लस ये तो कट जाएगा 4 आ स्क्र कट जाएगा यहां बचेगा 4 टू 8 16 आ माइनस 4 य बचेगा 3 12 24 आ माइनस 9 यह बचेगा भाई इसको सिंपलीफाई करेंगे तो ये कितना हुआ 32 आर 32 आर 13 माइन 12 माइनस 12 समेशन आर वेरीज फ्रॉम वन टू ये बच गया भाई यह आ गया ए ए तो अब अगर मैं ए ए लिखता हूं तो ए ए हो जाएगा 32 समेशन आर वेरीज फ्रॉम न टू ए माइनस 12 का समेशन आ वेरीज फ्रॉम व टू ए 12 का समेशन आर वेरीज फ्रॉम न टू ये कितना हो गया सर 32 n इन ए प्व बायट माइनस 12 ए यह हो गया 16n इन n प्व माइ 12n 4n कॉमन 4 ए प्व माइन 3 4n इन 4 ए प्सव इज द सम यह आ गया सम 4n न 4n प्व ठीक है यह क्लियर हुआ हां सर यह क्लियर हुआ यानी सम जो आएगा वह 4n इनटू उससे अगला एक नंबर ऑड होगा अब वो कह रहा इसमें से सम कौन सा हो सकता है 1056 इसका सम हो सकता है क्या तो ए ऑप्शन अगर मैं चेक करूं देखो कैसे ऑप्शन चेक करेंगे वही ब सिखा रहा हूं मैं तुमको इसको चार से डिवाइड करो तो क्या आएगा चा इनटू कितना आएगा 4 व 4 ये बचेगा 24 4 सि 24 और 4 फो 16 फिर चार से डिवाइड कर दो तो 4 * 4 इनू 41 41 ही आ रहा है जरा देखना यार मैंने सही डिवाइड किया यहां कितना था 1056 था 1056 था तो 4 * 2 8 4 * 2 8 आएगा सर 4 2 8 दोबारा करना पड़ेगा 4 * 2 8 8 के बाद 4 * 6 24 264 फिर 4 * 4 * 6 अ 66 यह हो गया 4 * 4 * 6 * 11 यानी के 4 * 4 * 2 * 3 * 11 तो 4 4 16 और 2 32 * 33 बिल्कुल हो जाएगा क्यों यह 4n और 4n + 1 टाइप का है 4n यानी के ए इज करेक्ट कैसे जांच होगे ध्यान रखना नहीं तो बार-बार क्वाड्रेटिक सॉल्व करते करते परेशान हो जाओगे इसको 1056 के बराबर रख के फिर क्वाड्रेटिक सॉल्व स करोगे असल में क्या है तुम्हें यह देखना पड़ेगा कि इनमें से किन नंबर्स को हम 4n * 4n + 1 यह नंबर कैसा है इवन और यह नंबर कैसा है ऑड यानी आपके पास जो नंबर है उसे दो नंबर्स में तोड़ो जहां पर पहला नंबर क्या हो इवन हो और दूसरा नंबर क्या हो ऑड हो और जो ऑड नंबर है वो पहले वाले इवन से एक ज्यादा हो अगर आप नंबर इस फॉर्म में लिख पा रहे हैं और साथ-साथ जो इवन नंबर है वो चार का मल्टीपल है तो फिर यह सम इसके बराबर हो सकता है जैसे कि यहां पर n बराबर 8 पर ऐसा हो जाएगा n बराबर 8 पर ऐसा हो जाएगा आठ रखने पर तो एक तो आंसर ए आएगा और एक आंसर मैं आपके लिए छोड़े जा रहा हूं एक डी आएगा यह आप खुद चेक करना डी जैसा मैंने आपको बताया इसको ब्रेक करना दो नंबर्स में एक ऑड नंबर इंटू इवन नंबर जो ऑड नंबर होना चाहिए वो इवन नंबर से एक ज्यादा होना चाहिए और जो इवन नंबर है वो चार का मल्टीपल होना चाहिए अगर ऐसा है तो ये सम पॉसिबल है नहीं तो सम पॉसिबल नहीं होगा अब भाई य खुद कर लेना एक घर में ठीक है एक यह कर लेना घर में अच्छी प्रैक्टिस हो जाएगी अब आते हैं मेथड ऑफ डिफरेंस पर मेथड ऑफ डिफरेंस कहां यूज करते हैं मेथड डिफरेंस कहां यूज करते हैं है होमवर्क क्वेश्चन तो दे रहे हैं भाई क्यों नहीं दे रहे देखो मेथड डिफरेंस वहां यूज करते हैं सक्सेसिव टर्म्स के बीच का जो डिफरेंस हो वह एपी में हो या जीपी में हो तब वहां मेथड ऑफ डिफरेंस यूज करते हैं न स वेन डिफरेंस बिटवीन यूज्ड वेन डिफरेंस बिटवीन बिटवीन टू सक्सेसिव टर्म्स टू बिटवीन सक्सेसिव टर्म्स बिटवीन सक्सेसिव टर्म्स इज इन ए अगर एी में हो या जीपी में हो या तो एपी में हो या जीपी में हो तब हम मेथड ऑफ डिफरेंस यूज करते हैं इसको यूज करने के का तरीका है जरा देखो दो तरीके से हम इसे पढ़ सकते हैं पहला जरा ये देखो यहां पर लिखा है सम ऑफ फर्स्ट 20 टर्म्स बताना है यह लिखा है 5 11 इसमें डिफरेंस कितना है सर सिक्स का इनमें डिफरेंस कितना है सर 8 का इसमें डिफरेंस कितना है 10 का इसमें डिफरेंस कितना है सर इसमें डिफरेंस है अ 29 अ 20 12 का 12 का है कितने का 14 का कितने का डिफरेंस आ रहा है छ 12 का आ रहा है सर 12 का डिफरेंस है तो ये डिफरेंसेस किस में है ए में ए में डिफरेंसेस आर इन ए व जब डिफरेंसेस ए में हो तो क्या करें आप ए लिखे हमें इसका टर्म ए चाहिए हम इसका टर्म ए मिल जाए तो हम इसका सम कर लेंगे हमें इसका ए टर्म एथ मिल जाए तो अगर हमें इसका टर्म एथ मिल जाए तो हम इसका सम कर लेंगे तो 5 प् 11 प् 19 प् 29 प् 41 प्लस सो ऑन अप टूटी ए और यहां मैं फिर से ए लिखता हूं एक एक टर्म शिफ्ट कर दो 5 19 5 11 फिर यहां 19 यहां 29 यहां आ जाएगा t ए माइव और यहां आ जाएगा टी ए जब जब दो सक्सेसिव टर्म सबक्की टर्म जनरेट होगी कहने का मतलब मतलब यह जीरो यह पांच का पाच यह है छ यह है आठ देख रहे हो ए की टर्म जनरेट हो रही है और फिर यह है 10 यह है 12 प्लस सो ऑन कहां तक आएंगी टर्म यहां तक आएंगी यहां तक यह हो गई ए की टर्म जनरेट और यहां आ गया माइनस माइनस ए माइनस आ गया अब ये देखो यहां से यहां तक कितनी टर्म होंगी फिर से कोई बताएगा सर ये टोटल टर्म्स होंगी n प् 1 ये कितनी टर्म्स होंगी n प् 1 टर्म्स होंगी ये n प्व टर्म्स होंगी तो ब्रैकेट में कितनी टर्म्स बेंगी सर दो निकाल दो तो ब्रैकेट में दो दो कौन सी निकाल दो एक ये और एक ये तो अप टू n - 1 टर्म्स ये कितनी टर्म्स बची n - 1 टर्म्स बची अंदर ब्रैकेट के तो t ए को उठा के इधर ले आओ यह बराबर हो गया पाच यह क्या बन गई ए n माइव बाट इन 2a 12 प्लस n माइव माइव नडी ये हो गया तो 5 प्स ए माइव 6 प् ए माइन 2 तो 5 प्स ए माइव ए माइनस n प् 4 तो 5 प्स ए स्क प् 4 माइनस का ए प्लस का 3 ए माइनस का 4 यानी के ए स्क्वा प्स 3n प्सव यह आ गई टर्म मेनत अब जरा देखो न रख के देखो पा आ रहा है ट रख के देखो 6 और 4 10 और प्व आ रहा है यह आ गया यह आ गया ये आ गया अब हमें सम ऑफ फर्स्ट 20 टर्म्स लिखना है s 20 क्या होगा ए 20 होगा समेशन ऑफ ए लिख लो चलो ए वेरीज फ्रॉम न टू 20 यानी समेशन ऑफ समेशन ऑफ व्ट समेशन ऑफ ए स्क प् 3n प्व और ए वेरीज फ्रॉम व टू 20 यह होगा यह हो गया शुरू के 20 नंबर्स का स्क्वायर तो 20 21 2 इन 20 41 बाय 6 फिर प्लस 3 20 इन 21/2 शरू के ए नंबर्स का सम नेचुरल नंबर्स का न का प्लस 20 य आ गया भाई थ 10 3 से 70 इन 7 4 28 280 2870 फिर प्लस 630 प्स 20 650 हो गया 2870 प् 650 रो 12 14 15 352 352 320 यह आ गया आंसर डेल्ली डेल्ली कम्स आउट टू बी द करेक्ट आंसर डेली करम आ टू बी द करेक्ट आंसर यह हो गया भाई इसको करने का एक दूसरा तरीका भी हैको करने का एक दूसरा तरीका भी है दूसरा तरीका क्या है देखो जरा व भी बता देते हैं शॉर्टकट है थोड़ा सा थोड़ा सा आसान है इससे यानी एक तरीका तो यह हो गया जो हमने आपको बताया अभी तो दिस इज मेथड वन यह तो हो गया मेथड वन एक एक टर्म शिफ्ट करो और सबकट कर दो मेथड वन तो यह हो गया मेथड टू है मेथड टू ना लेटस डू मेथड टू मेथड टू करने का इसको यह है डिफरेंसेस अगर ए में है डिफरेंसेस ए में है ठीक है ना और फिर इन डिफरेंसेस का डिफरेंस यह क्या कहलाता है फर्स्ट ऑर्डर डिफरेंस पहला डिफरेंस फर्स्ट ऑर्डर डिफरेंस फिर सेकंड ऑर्डर डिफरेंस क्या होगा सेकंड ऑर्डर डिफरेंस होगा डिफरेंसेस का फिर से डिफरेंस ले लो स ये आ गया टू यह आ गया टू ये आ गया टू जैसे ही ये कांस्टेंट आया कितने डर का डिफरेंस कांस्टेंट आया टू ऑर्डर का डिफरेंस कांस्टेंट आया तो आप इसकी टर्म एथ को अपनी तरफ से क्वाड्रेटिक मान लो ए स्क प् बी ए प् सी यानी के अगर तो इफ केथ ऑर्डर डिफरेंस इज कांस्टेंट ऑर्डर डिफरेंस इज कांस्टेंट इज कांस्टेंट एज्यूम क्या कर ले एज्यूम एथ टर्म एज्यूम ए टू बी अ पॉलिनो मियल अ पॉलिनो मियल ऑफ डिग्री के ऑफ डिग्री के यानी कहने का मतलब है तब आप इसे पॉलिनो मियल मान ले कितने डिग्री का के डिग्री का यह दूसरा शॉर्टकट तरीका के डिग्री का पॉलिनो मियल मान ले के डिग्री का पॉलिनो मियल मान ले जैसे आपने देखा य सेक ऑर्डर डिफरेंस कांस्टेंट है तो हमने सेकंड डिग्री का पॉलिनो मियल मान लिया अगर मान लो इनके डिफरेंसेस के फिर डिफरेंस लेने पर कांस्टेंट आता तो थर्ड ऑर्डर डिफरेंस कांस्टेंट होता थर्ड ऑर्डर डिफरेंस कांस्टेंट होता तो उसे क्या मानते क्यूबिक मानते क्या मानते क्यूबिक मानते तो अगर डिफरेंसेस जब डिफरेंस लिया तो ये कहलाता फर्स्ट ऑर्डर डिफरेंस फिर इन डिफरेंसेस का फिर डिफरेंस लिया ये सेकंड ऑर्डर डिफरेंस है और ये कांस्टेंट आ गया इसलिए क्वाड्रेटिक मान लिया मान लो ये कांस्टेंट नहीं आता फिर हम थर्ड ऑर्डर डिफरेंस लिखते फिर हम इन दोनों का डिफरेंस लिखते चलते इन दोनों का डिफरेंस लेकर चलते और अगर वो डिफरेंस कांस्टेंट आ जाता तब हम यहां पर थर्ड डिग्री पॉलिनो मियल मान लेते हैं कितने डिग्री का पॉलिनो मान लेते थर्ड डिग्री का यानी ए क + bn2 + cn1 मान लेते अब क्या करें अब यहां पर t1 क्या होगा सर a + b + c होगा t2 क्या होगा सर 4a + 2b प् सी होगा t3 क्या होगा 9a प् 3 बी प् सी होगा और यह बराबर है टर्म वन टर्म वन कितनी है पा टर्म टू कितनी है 11 और यह है 19 इन दोनों को माइनस कर दो तो 3a प्लस बी बराबर 6 इन दोनों से आ जाएगा 5a प् बी बराबर 8 फिर इन दोनों से आ जाएगा इन दोनों से आ जाएगा 2a बराबर 2 ए बराबर 1 ए बराबर व रखते बी बराबर 3 और ्र और 1 फ सी बराबर 1 तो जो आपके पास टर्म एनेथ आ गया वो आ गया कितना n स् प् 3n प् 1 ये आ गया और गौर से देखो वहां पर भी जो आपके पास जनरल टर्म आया था वो क्या आया था यह रहा t n स् प् 3n प् 1 n स् प् 3n प् 1 यहां भी वही आ गया अब नाउ बस अब आप खुद कर लेंगे अब क्या करेंगे अगर आपको सम ऑफ ए टर्म्स निकालना है नाउ ए क्या निकालना द सम ऑफ 20 टर्म्स s2 इ इक्वल टू समेशन t ए ए वेरीज फ्रॉम 1 टू 20 आप कर सकते हो उसको आराम से हो जाएगा ठीक है क्लियर हो गया इतने क्वेश्चन करा दिए इतने क्वेश्चन करा दिए तुमने सोची ना होगी कि इतने क्वेश्चन भी करा सकते हैं तुमने सोची ना होगी कि इतने क्वेश्चन भी करा सकते हैं इतने सारे क्वेश्चन करा दिए इतने क्वेश्चन कराए ध क्वेश्चन पर ध क्वेश्चन प ध क्वेश्चन ठीक है भाई हां सर यह हो गया अब जरा देखिए कई बार डिफरेंसेस अब जैसे यह वाला सवाल है भाई यह वाला सवाल तुम खुद कर लोगे जरा देखो यहां पर डिफरेंस कितना है सर सात का 4 11 ये लिखा है 4 11 21 34 50 एंड सो ऑन अगर मैं इसका फर्स्ट ऑर्डर डिफरेंस देखूं फर्स्ट ऑर्डर डिफरेंस यह कितना होगा सर यह होगा सा यह होगा 10 यह होगा 13 यह होगा 16 एंड सो ऑन सेकंड ऑर्डर डिफरेंस क्या आएगा सेकंड ऑर्डर डिफरेंस आएगा यानी आप मेथड वन से भी कर सकते हैं मेथड टू में सेकंड ऑर्डर डिफरेंस आएगा थ फिर इन दोनों का डिफरेंस देखें तो वो भी थ इन दोनों का डिफ देख तो वो भी थ ट ल्स कम आ टू बी थ यह ्र आ गया यानी आप टर्मन को क्या मान सकते हो ए स्क्वा प्लस बी ए प्लस सी यह मान सकते हो और फिर से ए बी सी निकालो तो ए आ जाएगा क्लियर हुआ हां सर यह है क्लियर हो गया तो यह आप खुद करिएगा आपको क्या करना है 29 निकालना है फिर s9 निकालना तो पहले tn1 कैसे निकालो t1 t2 t3 लिखो ए बी स निकालो tn29 और s9 तो आ ही जाएगा ठीक है भाई अब आता है कई बार एक ये है घर में कर लेना एक ये कर लेना घर में इसमें भी डिफरेंसेस ए में है पाच सात और न हां यहां भी सेकंड ऑर्डर डिफरेंस कांस्टेंट आ जाएगा अब जरा यह देखो जब डिफरेंसेस जीपी में हो यहां देखो अब अब अगर डिफरेंसेस जीपी में हो डिफरेंसेस अगर जीपी में हो भाई उसका आंसर दे रखा है वहां पर बच्चा क सर इसके आंसर कहां है इसका आंसर यहां दे रखा है इसका आंसर आएगा दिल्ली इसका आंसर आएगा डेल्ली लिख रखा है जब पीडीएफ दिखेगी तो वहां दिख जाएगा तुम्हें आंसर इसका पीडीएफ जब मिलेगी अब जरा यह देखो यहां पर यह ए यहां डिफरेंसेस देखो कितना है सर यह डिफरेंस है टू का ये डिफरेंस सिक्स का ये डिफरेंस 18 का ये डिफरेंस 54 का ये किसमें है जीपी में है ये किस में है जीपी में है जब ये डिफरेंसेस जीपी में हो तब भी मेथड ऑफ डिफरेंस लगाया जा सकता है मैं लिखूंगा फिर से sn5 + 7 + 13 प् 31 ् 85 प्लस 100 ऑन अप टू t ए और फिर दोबारा से ए एक एक टर्म शिफ्ट कर दो 5 प् 7 प् 13 प् 31 प्लस t ए माइव और प्लस t ए और यहां प्लस 0 और यहां भी जीरो और दोनों को सबै करो अब जब सबै करोगे य आएगा जीरो यह आ गया पाच यह आ गया दो यह आ गया छ यह आ गया 18 ये आ गया 54 प्लस सो ऑन और फिर बाहर माइनस t ए फिर से यहां से यहां तक नंबर ऑफ टर्म्स होंगी n प् 1 और दो टर्म्स हमने अलग कर दी पाच अलग कर दिया t ए अलग कर दिया तो अंदर बचा अप टू n - 1 टर्म्स n माइव टर्म्स यह बच गया जीपी में फिर जैसे ये लिखा है t को उठा के इधर ले आओ तो t ए इधर आ गया ये आ गया 5 प्लस ये क्या बन गई g प तो 2 * 3 की पावर n-1 -1 अपॉन 3-1 ये आ गया है ना तो t ए क्या आ गया सर t ए आ गया 5 प्लस 5 प्लस 3 की पावर n - 1 -1 तो 3n - 1 प् 4 माइव प् 4 आ गयाना यह बन गई टर्म मेनत तो पुट करके देख लो न रखोगे तो 5 2 रखोगे तो 7 रखोगे तो 13 अब आपको निकालना है ए टर्म्स तक का सम ए ए बराबर समेशन ऑफ ए ए वेरीज फ्रॉम न टू ए या आर वेरी फम व टू ए कुछ ही लिख लो तो यह प्लस तो ये हो जाएगा समेशन की पावर आ माइव प् फो आर वेरीज फ्रॉम या ए वेरीज फ्रॉम वन टू ये लिख दिया हमने और ये हो जाएगा समेशन 3 की पावर आ माइव ए माइव ए वेरीज फ्रॉम वन टू ए ए वेरीज फ्रॉम वन टू n प्स 4n एंड फोर का तो 4n हो जाएगा और ये हो जाएगा 3 की पावर जीरो 1 प् 3 प् 3 स्क्वा से लेकर 3n माइव प्लस 4 यह बन गई जी प इसका सम आ गया 1 इन 3 की पावर ए माइव बायट प्लस 4 य आ गया ट इ हाउ यू कैन डू इट इसको करने का भी दूसरा तरीका है वह भी मैं आपको बता देता हूं देर इ अनदर मेथड ऑफ डूइंग दिस एक मेथड और है इसको करने का वो देख लो दूसरा मेथड क्या है इसे करने का आओ देखें व्हाट इज द सेकंड मेथड ऑफ डूइंग दिस फर्स्ट ऑर्डर डिफरेंसेस अगर जीपी में आ जाए फर्स्ट ऑर्डर डिफरेंसेस जीप में आ जाएं ए के लिए तो मैंने आपको बता दिया है ना डिफरेंसेस ए में हो और डिफरेंस कांस्टेंट आ जाए एक समय के बाद तो आप ये कर सकते हैं ये क्या हुआ फर्स्ट ऑर्डर डिफरेंस फर्स्ट ऑर्डर डिफरेंस तो आप इसकी टर्म ए फर्स्ट र डिफरेंस जी प कॉमन रेशो कितना है सर कॉमन रेशो है आर कॉमन रेशो आर वह बराबर है तीन के तो आप इसकी टर्म एथ को अपनी तरफ से लिख सकते हो ए इन 3 की पावर ए कॉमन रेशो की पावर ए प्लस कौन से ऑर्डर का डिफरेंस कांस्टेंट है फर्स्ट सॉरी जीपी में है फर्स्ट ऑर्डर का तो यहां उससे कम यानी जीरो ऑर्डर का पॉलिनो मियल जीरो डर कानमल क्या होगा कांस्टेंट होगा जीरो डिग्री का पॉलिनो मियल जीरो डिग्री का पॉलिनो क्या होगा कांस्टेंट होगा है ना जीरो डिग्री का पॉलिनो मियल लिखिए तो होगा प्लस बी प्स 4 ए लिख लेना भाई मैंने य ए लिख दिया एक बच्चा बता रहा आएगा क तो जीरो डिग्री का पॉलिनो लिख लिया हमने यानी होता क्या है इ के ऑर्डर डिफरेंस आर एनजीपी आर इन जी प विद कॉमन रेशो विद कॉमन रेशियो विद कॉमन रेशो आर देन राइट टी राइट ए को क्या लिखेंगे ए इन आ की पावर ए प्लस एक पॉलिनो मियल लिखेंगे ऑफ डिग्री प्लस पॉलिनो मियल ऑफ डिग्री ए माइनस के माइनस व ऑफ डिग्री के माइनस यानी अगर केथ ऑर्डर का डिफरेंस जी पी में है त आप उसे कैसे लिखेंगे ऐसे लिखेंगे प्लस पॉलिनो मियल ऑफ डिग्री के माइव ठीक है हां तो यहां पर यहां पर यह कितने फर्स्ट ऑर्डर का डिफरेंस जीप में है कॉमन रेशो कितना है 3 तो a इन 3 की पावर n और कितने फर्स्ट ऑर्डर फर्स्ट ऑर्डर से एक कम के - 1 डिग्री का लिखना है तो एक कम का मतलब 0 डिग्री का पॉलिनो 0 डिग्री का पॉलिनो होता है कांस्टेंट 1 डिग्री का पॉलिनॉमियल होता b ए प् सी और दो डिग्री का b स् प् c प् या ए स् प् बी प् सी कुछ ही लिख लो यह आ गया हां सर अब क्या करें सर t1 बराबर 3a प्स बी बराबर 5 t2 बराबर 9a प्स बी बराबर 7 तो 6a बराबर 2 ए बराबर 1/3 और बी बराबर 4 तो इसका मतलब हुआ ए जो आ गई वो आ गई न बायथ 3 की पावर ए प्लस 4 तो t ए आ गई 3 की पावर n माइव प् 4 सेम टू सेम जैसा पहले आया था सेम टू सेम वही आया 3 की पावर ए माइव प् 4 यही आया बिल्कुल तो इस तरीके से आप इसे कर सकते हैं ठीक है हां 4n कर दिया बेटा मैंने पिछले वाले में कर दिया बेटा 4n यह टी ए अब आप करेंगे घर पर बिल्कुल ऐसे सवाल है सेम टू सेम सेम टू सेम इसके ऊपर बेस्ड प्रॉब्लम है फिर यह देखो कुछ रिकर्स रिलेशन बेस्ड सीरीज आजकल यह बहुत ट्रेंड में है जेई मेंस में रिकर्स रिलेशन बेस्ड सीरीज यानी रिकर्स रिलेशन बेस्ड सीरीज क्या यहां पर रिएक करेंस रिलेशन दिया जाता है इन व्हिच व्हिच रिकर्स वली डिफाइंस अ सीक्वेंस हुज नेक्स्ट टर्म इज अ फंक्शन ऑफ प्रीवियस टर्म्स नेक्स्ट टर्म होती है फंक्शन किसका प्रीवियस टर्म्स का जैसे कि an-12 अगली अपन पिछली बराबर r तो ये भी एक रिकर्स रिलेशन की टर्म्स में लिखा हुआ है तो ये gb8 - 1 + d यह ए की पहचान है है ना यह ए की पहचान है तो रिकर्स सेव रिलेशन में क्या होता है रिकर्स रिलेशन में अगली टर्म पिछली टर्म्स के एक फंक्शन के फॉर्म में होती है यानी n टर्म इज अ फंक्शन ऑफ n - 1h n - 2h और द प्रीवियस टर्म्स उसके फंक्शन की फॉर्म में लिखी होती है जैसे के यह देखो an2 = an1 यह हायर ऑर्डर टर्म है यह n + 2x टर्म है यह लिखी है an1 के फंक्शन में उसका मतलब यह भी एक रिकर्स रिलेशन है और यह कहलाता है फिना सी या फिना सीक्वेंस यहां पर एव व है और ए2 भी वन है तो यहां क्या कर सकते हैं अगर एव व है ए2 व है तो ए3 अगर देखें तो आएगा एव प्स ए2 वो हो गया ए4 आएगा ए3 प्लस ए2 a3 प् ए2 है a2 प् ए3 हा वही आएगा वो हो गया 2 प्व 3 फिर ए5 आएगा a4 ए3 और प्लस ए4 मैंने इनको रखा ्र हा तो यह हो गया a3 प् ए4 5 इस तरह से यानी के वो सीक्वेंस हो गया नव 2 3 5 एंड सो ऑन यानी हर अगला टर्म पिछली दो टर्म का सम इन दोनों का सम क्या है टू व ये रहा इन दोनों का सम क्या है ्र वो यह रहा तो हर अगली टर्म पिछली दो टर्म्स का सम है पांच क्या है पिछली दो टर्म्स का सम यह क्या हो गया फिना सीक्वेंस हो गया ठीक है भाई यह भी एक रिकसिव रिलेशन पर बेस्ड प्रॉब्लम है ठीक है हां ठीक तो अब जरा यह वाला सवाल देखो यह वाला सवाल अक्सर इसको कैसे करते हैं अगर आपको रिकसिव रिलेशन में कुछ भी समझ में नहीं आ रहा तो टर्म्स फाइंड कर लो फिर तो और अगर कुछ कर सकते हो तो फिर करके देखो यानी अगर कुछ भी समझना है तो टर्म्स फाइंड कर लो यह तो सबसे आसान है जैसे यहां पर हमें कह रखा है ए प् 2 ए प् 2 बराबर 2 अपॉन ए प्व प् ए तो अगर मैं एलसीएम लू तो ए प् 2 इन ए बराबर इन ए प्व ए प्व से मल्टीप्लाई कर दिया 2 प्स ए इन ए प्व यह आया हमारे पास है ना हां सर यही आ रहा है a1 हमारे पास कितना है सर a1 हमारे पास है न a2 हमारे पास है 2 a2 हमारे पास है 2 ठीक है बिल्कुल तो अगर मैं यहां पर ए को वन रखूं तो मेरे पास आएगा a3 इन a2 बराबर 2 प्लस a1 * ए2 फिर ए कोटू रखता हूं a4 इन 3 इ 2 प्स ए2 ए3 फिर फोर रखता हूं फ रखता हूं ए को थ रखता हूं तो ए4 ए5 इन ए4 2 प्लस ए3 ए4 और यूं ही चलते चलते अगर मैं लास्ट में ए ए की जगह ए माइव रख लू ए की जगह ए माइव मेरे पास आएगा ए माइव ए प्सव इन ए ए प्व इन ए इन ए बराबर 2 प्लस य ध्यान रखना मैंने ए को कितना रखा था ए को रखा था न फिर एन को रखा टू फिर एन को रखा ी और फिर मैं रखता चला गया ए को ए ए को ए ही रख लो यार चलो यार n को n ही रख लो तो मैंने n को n ही रख लिया ठीक है तो मेरे पास क्या आ गया सर मेरे पास आ गया a n + 2 * ए + 1 = 2 प् ए * ए + 1 अब इनको जोड़ लो जरा जब आप इन्हें जोड़ो ग तो आप देखो क्या होगा सर ये टर्म और ये टर्म गई है ना फिर इधर इधर कटेंगे ना यह यह इधर गई फिर यह इसके पहले जाएगी और यह वाली टर्म इसके पहले कट चुकी होगी तो मेरे पास ए प् 2 ए की वैल्यू आएगी यहां से ए प् 2 इन ए प्व बराबर आ जाएगा टूटू कितनी बार ए बार 2n और बचेगा ए1 ए2 प्स ए1 ए2 यानी के मेरे पास आ गया ए प् 2 इन ए प्व दैट इज व्हाट आई गेट फ्रॉम दिस रिकसिव रिलेशन 2n प् 2 क्योंकि a1 कितना है व और a2 कितना है यह मेरे पास आ गया रिकसिव रिलेशन से रिलेशन मैंने ऐसा रिलेशन क्यों निकाला भाई क्या कर सकता था हर आदमी यही करेगा जब उसे कुछ भी समझना आए तो उसमें 1 2 3 4 5 6 रखता चला जाएगा तो मैंने भी वही किया टूथ 4 5 6 रखता चला गया फिर जोड़ जाड़ दिया तो यह आ गया मेरे पास अब जो लिखा हुआ है एव प्लस एव प्सव अप ए2 एव प्व अपन ए2 अपन ए3 ऐसा लिखा हुआ है भाई फिर लिखा है एव प् ए2 अपॉन एव लिखा शायद ए3 लिखा है ए3 फिर ए2 अगले वाले में फिर अगला लिखा है ए2 इन a2 प्व अप ए3 बाय ए4 फिर a3 प्सव अप ए4 बाय ए5 इसको मैं एक्स कह देता हूं मुझे यह चाहिए एक्स इ इक्वल टू और लास्ट में लिखा हुआ है a30 और a31 और नीचे a32 ए3 ए a30 प्सव अपन a31 अपॉन ए3 यह है ठीक है यह क्लियर है बिल्कुल सर अब जैसे ही यह लिखा है यह आ गया a1 ए2 प्सव डिवा बा ए2 ए3 फिर इनटू दूसरे वाला क्या हो गया ए2 ए3 प्सव डिवाइडेड बाय ए4 ए3 ए3 ए4 और फिर ए3 ए4 प्सव डिवाइडेड बाय ए3 ए4 एंड सो ऑन ए3 ए 31 a5 आएगा यहां नीचे a3 a2 a3 a3 a4 ए5 य गलती से यहां a4 ए5 आएगा यहां आएगा a4 a5 और यहां a30 a31 प्व डिवाइड बाय a30 1 a32 य आ गया ये आ गया भाई अब जरा देखिए हमारे पास जो रिकसिव रिलेशन से लिखा हुआ आया था वो क्या है ए + 2 ए + 1 = 2n + 2 ए + 2 ए + 1 इ इक्व 2n + 2 2n प् 2 अगर मैं तुम्हें कहूं कि a2 * a3 निकालो तो n को वन रख दोगे n को वन रख दोगे तो a2 a3 की वैल्यू वह आ जाएगी 4 n कोट रख दोगे ए4 ए ए3 ए4 की वैल्यू आ जाएगी 6 अब ए को थ रख दोगे तो ए5 और ए4 की वैल्यू आ जाएगी 8 य आ जाएगी इस तरह से आती चली जाएगी तो कहने का मतलब है यह बन गया दिस बिकम नीचे तो बन गया कितना यह बन गया फोर यह बन गया सिस यह बन जाएगा 8 और लास्ट में 30 31 अगर तुम 30 31 32 चाहते हो तो n को कितना रख दो 28 31 29 रखो 29 टू 58 6 आ जाएगा नीचे 60 60 आ जाएगा और ऊपर का क्या बात है a1 ए2 2 था तो यहां आ गया 3 और यह है a2 a3 प्व यानी कि ये हो गया 5 चार ् 1 5 यह है 6 ् 1 7 3 5 7 और यहां पर इसके पहले आगा 50 8 तो ऊपर आ गया 59 कितना आएगा ऊपर जरा बताओ ऊपर कितना लिखूं सोच के बताओ ऊपर कितना लिखूं 6 प् 7 यहां आया होगा 58 59 लिखूं क्या ऊपर जरा देखना यार 59 लिखूं क्या a 30 प् a31 तो n को अगर मैं रखता हूं n को अगर मैं रखता हूं 30 30 का मतलब मुझे चाहिए 28 28 नहीं 30 29 तो ए 31 a30 इइ 58 प् 2 60 आएगा 60 आएगा और a31 a32 ए को रखू 30 नीचे गलत दिखा या नहीं a31 a32 ए 31 बराबर 62 तो नीचे 62 और ऊपर 60 आएगा नीचे 62 और ऊपर 60 आएगा नीचे 62 61 आएगा ऊपर 61 / 62 ये आ गया भाई जरा चेक करो जरा चेक करो यही आ रहा है भाई हां सर यही कह रहे थे सर हम ये आ गया आंसर बिल्कुल सर तो ये हो गया तीन पाच सात के बाद न और फिर से लेकर 61 डिवाइडेड बाय 4 6 आ से लेकर 62 तक अब सिर्फ यही नहीं थम रहा वो वह क्या कह रहा है इसकी जो वैल्यू है वह ू की पावर अल्फा 61 सी 31 के बराबर है अल्फा की वैल्यू बताइए भाई साहब भाई साहब गजब कर रहा है यह कितनी टर्म लिखी है कोई बता सकता है फर ये टर्म लिखी है कितनी टर्म्स लिखी है कोई बता सकता है ये कितनी टर्म्स है हाउ मेनी टर्म्स आर दीज ये कितनी टर्म्स है कोई बता सकता है आप में से यह कितनी टर्म्स लिखी है कोई बता सकता है क्या सर ये लिखी है 30 टर्म्स कितनी टर्म्स लिखी है 30 30 क्यों देख लो a2 a3 से चालू हुए थे वन पर फिर a3 a4 2 फिर थ्र और लास्ट में 30 30 टर्म्स है ये तो नीचे से अगर हर किस में से 2 टूटू निकालू तो 2 की पावर 30 और अंदर बच गया 2 3 4 से लेकर 31 ऐसे लिख सकता हूं हर किसी में टू कॉमन नहीं लिया यह मत सोचना कॉमन लिया इसे लिखा 2 * 2 2 * 3 2 * 4 2 * 31 तो 2 * 2 * 2 कितनी बार 30 बार और बाकी य बच गया सामान और ऊपर है 3 5 7 ना से लेकर 61 तो यह बन गया 35 7 से लेकर 61 डिवाइडेड बाय 2 की पावर 30 इन 31 का फैक्टोरियल 31 का फैक्टोरियल जरा देखो 31 का फैक्टोरियल ठीक है हां सर अब क्या किया जाए इसकी फिलिंग करी जाए थोड़ी सी फिलिंग कैसे मतलब यहां अगर मैं मल्टीप्लाई कर दू 2 4 स से लेकर 60 तक और यहां मल्टीप्लाई कर दूं 2 4 6 से लेकर 60 तक ये मल्टीप्लाई कर दिया मैंने ऊपर नीचे तो जरा ऊपर देखो क्या बन जाएगा ये बन जाएगा 2 * 3 * 4 * 5 60 * 61 2 की पावर 30 * 31 का फैक्टोरियल और यहां पर फिर से 2 की पावर 30 इन 1 इन 2 इन 3 से लेकर 30 तक ऐसे लिख सकता हूं देख लो नीचे कैसे लिख दिया मैंने यह ट की पावर 30 इसमें से ट इसमें से ट इसमें से इसमें से टूट लिख लिया और न से लेकर 30 तक यानी यह बन गया कैपिटल एक्स बराबर 61 का फैक्टोरियल अपॉन 2 की पावर टोटल हो गया 6 31 का फैक्टोरियल इन 30 का फैक्टोरियल गौर से देखो बच्चों गौर से देखो बच्चों यह क्या बन गया सर यह बन गया 6131 और सी 31 या स3 कह लो और डिवाइडेड बायट की पावर 60 तो 2 की पावर माइनस 60 इ इक्वल टू और साथ में कितना है भाई साथ में है 31 लिख रखा है इनटू 61 सी 31 30 और 31 बराबर होंगे ध्यान रखना है ना हा कभी सोच लो 30 लिख दिया गलत हो गया सरय तो एसी इ एसी ए माइन आ अल्फा बराबर हो गया 60 के यह हुआ छोटा सा सवाल अल्फ बराबर हुआ माइन 60 के माइन 60 माइनस 60 इज द करेक्ट आंसर वहां भी सही कर देंगे माइन 60 इज द करेक्ट आंसर तो अल्फा आ गया माइनस 60 माइनस 60 आ गया मेरे भाई माइन 60 ये आ गया हां मेंस तो बहुत आसान हुया करे बहुत ज्यादा आसान मेंस में इतने मुश्किल सवाल थोड़ी आया करें भाई बहुत आसान हुआ करें मेंस तो हां मतलब आज से तैयारी शुरू करेंगे तो कल तक हो जाएगा सिलेक्शन हां बेटा कल तक हो जाएगा सिलेक्शन अगर आज तैयारी करोगे अब जरा यह देखो अब जरा यह देखो यह वाला जो प्रॉब्लम है एन ए1 0 है a2n प् 2 3 ए प्व और -2 ए प्व दे रखा है यह फिर से एक रिकसिव रिलेशन दे रखा है और इसकी वैल्यू बतानी है हमें इसकी वैल्यू बतानी है हमें हमें इसकी वैल्यू बतानी है इन दोनों में कुछ कॉमन आ रहा है क्या सर ए अगर मैं इसको देखूं तो सर a कॉमन a 25 कॉमन आ रहा है a23 माइनस 2a 22 और इन दोनों में कॉमन क्या आ रहा है 2a 24 ए 23 माइन 2a 22 तो ए 25 माइनस 2a 24 इन ए 23 माइनस 2a यह चाहिए हमें यह चाहिए हमका हमका ई चाहि हमका ई चाही हां सर यह चाहिए हमें यह चाहिए हमें अब जरा देखो यह कैसे फाइंड आउट कर सकते हैं अगर ए + 2 लिखे यहां लिखा है 3an + 1 -2 ए + 1 इसको लिख सकता हूं ए + 2 इ इक्वल 2 ए प्व प् ए प्व -2 ए प् 1 ऐसे लिख सकता हूं इसको उठा के इधर ले आओ तो ए प् 2 -2 टाइम ए प्व बराबर ए प्व माइनस 2 टाइम्स ए और प्लव यह आ गया भाई हां सर यही आया और कुछ कुछ ऐसा ही चाहिए a 24 हां सर बिल्कुल ऐसा ही कुछ चाहिए हमें अगर मैं इस पूरे टर्म को bn2 कह दूं b ए + 2 तो ये क्या बनेगा सर ये बनेगा bn1 और प्सव ऐसा बन जाएगा जरा देखो हमने क्या किया लेट bn2 बराबर ए + 2 इन -2a n प् 1 इसका मतलब हो गया जो एकस चाहिए दिस इंप्लाइज एक् जो हमें चाहिए वो हो गया a25 लिखा है a25 माइनस दिस तो ये हो गया b25 इन बी 24 b23 यह चाहिए हमें यह चाहिए जरा देखो यह बन गया हां जरा अच्छे से देख लो भाई यह कैसे लिखा है इसको हमने बी ए प् 2 मान लिया तो इसको देखकर समझ में आ रहा है जोय एक है यह बन गया b25 b23 यह जो लिखा हुआ है दिस इंप्लाइज बी ए प् 2 माइनस बी ए प्व बराबर 1 इसका मतलब बी एन आर इन ए बी ए आर इन ए यह ए में होंगे क्योंकि दो कन टिव का टर्म्स का डिफरेंस हां किसम है कांस्टेंट है इसका मतलब यह है ए में होंगे यह किसम होंगे ए में यह क्लियर हुआ हां सर यह क्लियर हो गया तो बी ए आर इन ए विद कॉमन डिफरेंस वन विद कॉमन डिफरेंस वन कॉमन डिफरेंस कितना होगा वन हो जाएगा कॉमन डिफरेंस अब जब कॉमन डिफरेंस वन हो गया क्या मैं बीव निकाल सकता हूं किसी तरीके से बीव क्या होगा सर बीव होगा बीव बीव बी0 निकालो बल्के ए जीरो से चल रहा है ना हा सर ए0 तो बी0 क्या होगा सर बी जीरो जो होगा बी0 बी जीरो क्या होगा भाई सर बी जीरो होगा बी नॉ बराबर बी नॉट बराबर ए नॉट और ए नॉट ए को माइनस ू रखा हमने एन को माइनस ू ए को माइनस व रखना पड़ेगा एन को माइनस व बीव से चलो करेंगे बीव से बीव तो बीव कितना होगा सर बीव होगा बीव होगा कितना बी ए प् 2 ए प् 2 माइन 2 प्व तो जरा देखो बी ए प् 2 है an2 - 2an + 1 तो n को -1 रखा तो आ गया a1 - 2a न ये हो गया रो खत्म पहली टर्म ही जीरो है तो b2 क्या होगा b2 ओबवियसली वन हो जाएगा क्योंकि 0 + 1 कॉमन डिफरेंस वन है कॉमन डिफरेंस कितना है वन है तो इसका मतलब b25 क्या होगा बी 25 होगा 0 प्स 24 इन 1 यानी कि 24 बी 203 क्या होगा 0 प्स 23 इन 1 यानी कि 23 इसका मतलब एकस जो था बी 25 इन बी 23 इ 24 न 23 य कितना हो जाएगा 24 इन 23 4 92 9 एंड b4 इन बी 23 कितना था भाई जरा एक बार देख लो b24 इन बी 23 बी 25 इन बी 23 तो बी 23 22 आएगा य 22 आएगा भाई य n माइव नडी होता है 24 इन 22 होगा 22 फो 224 88 44 528 आ गया भाई आंसर यही आ रहा है जरा टेली करो क्या यही आ रहा है टैली करो हां सर यही आ रहा है आंसर यही आ रहा है आंसर बी 528 आ गया सर आंसर ठीक है तो यह हो गया कुछ रिकर्स रिलेशन के ऊपर सवाल जहां मैंने आपको बताया कि अगर कुछ भी समझ ना आए तो फिर टर्म्स निकाल लो लेकिन कभी-कभी कुछ मैनिपुलेशन से अगर सवाल हो सकता है तो आप मैनिपुलेट भी करो अब जैसे यह वाला सवाल है यह आप खुद करके देखेंगे यह वाला सवाल आप खुद करके देखेंगे ठीक है ट्राई दिस योरसेल्फ अब बढ़ते हैं एम जीएम इनिक्वालिटी की तरफ एम जीएम इक्वलिटी ऑफ टू पॉजिटिव नंबर्स एम जीएम और एच एम तो जरा देखो ए ए और बी ए जी और बी ए एच और बी यहां से आपको पता है के ए तो होता है ए प्स बी 2a जी स्क्वा होता है ए और एच बराबर होता है 2ab बी अपन ए प् बी यह हमने एज एम और एचएम में पढ़ा था यहां पर ए क्या है अर्थमेटिक मीन जी क्या है ज्योमेट्री मीन ये तो क्या है ए ये क्या है जी प यह क्या है h प और हमने पढ़ा था यह रिलेशन है ठीक है ना हा तो यहां पर ए यह हो गया ए बराबर 2जी स्क्वा अपॉन 2a तो जी स्क्वा बराबर ए यानी दो पॉजिटिव नंबर्स के बीच में जो ट्रिक मीन होता है वो a * ए के बराबर होता है जी स्क = ए फॉर टू पॉजिटिव नंबर्स टू पॉजिटिव नंबर्स स्क्वेयर ऑफ ज्योमेट्री मीन स्क्वेयर ऑफ देयर जीएम इज इक्वल टू प्रोडक्ट ऑफ प्रोडक्ट ऑफ देयर एच एम जीएम एंड देर एम एंड जीएम एम एंड एच एम उनके ए और एच एम के प्रोडक्ट के बराबर होता है किसके लिए सिर्फ दो पॉजिटिव नंबर्स के लिए य वैलिड है सिर्फ दो पॉजिटिव नंबर्स के लिए सिर्फ दो पॉजिटिव नंबर्स के लिए यह वैलिड है फॉर टू पॉजिटिव नंबर स्क्वेयर ऑफ दज ए इ इक्वल टू प्रोडक्ट ऑफ देर ए इन एच एज स्क्वा इ ए ठीक है हां सर अब आपको यह भी मालूम होना चाहिए कि ए आल्सो ए इज ग्रेटर दन इक्वल टू ए हमेशा जी से बड़ा होता है और जी हमेशा एच से बड़ा होता है a इ ग्र इक्ज इ ग्रेटर इ h यानी सबसे बड़ा कौन अर्थमेटिक मीन से छोटा कौन ज्योमेटिक मीन और सबसे छोटा कौन हार्मोनिक मीन इक्वलिटी होल्ड्स इक्वलिटी होल्ड्स इफ ए बराबर बी अगर ए और बी बराबर हो तब इक्वलिटी होल्ड करेगी यानी के अर्थमेटिक मीन ऑफ टू नंबर्स इज ग्रेटर दन देर ज्योमेटिक मीन इज ग्रेटर दन इक्वल टू देर हार्मोनिक मीन उनके हार्मोनिक मीन के बराबर से बड़ा होता है और इक्वलिटी कब होल्ड करती है जब ए बराबर बी हो जाता है यानी के ए बराबर जी ए बराबर एच एम कब होगा जब ए और बी बराबर हो जाए तो तीनों बराबर हो जाएंगे ए जीी और एच विल बी ऑल इक्वल जरा ध्यान से सुनना अर्थमेटिक मीन कैसे मिला दो नंबर का ए प्लस बी बायट ज्योमेट्री मीन कैसे मिला जितने नंबर थे उनका प्रोडक्ट दो नंबर थे पावर हा और हार्मोनिक मीन कैसे मिला हार्मोनिक मीन हार्मोनिक मीन अगर लिखेंगे लिख सकता हूं 2 अपॉन ए प् बी अपन ए ऐसे लिख सकता हूं 2 अपव अपन ए प्सव अपन बी इन् इसी आईडिया को जनरलाइज किया गया ज्यादा नंबर्स पर इसी आईडिया को जनरलाइज किया गया और ज्यादा नंबर्स पर ए नंबर्स पर स तो अगर मेरे पास ए पॉजिटिव नंबर्स है इफ a1 ए2 ए3 सोन अप टू ए आर एन पॉजिटिव नंबर्स आर एन पॉजिटिव नंबर्स देन देयर अर्थमेटिक मीन अर्थमेटिक मीन ए वह होगा वहां क्या किया था दो में तो जितने थे a + b ऐड किया और डिवाइड बाय दो दो थे तो दो से डिवाइड कर दिया तो यहां उनका अर्थमेटिक मीन डिफाइंड होगा a1 प् a2 प्लस सोन अप टू ए अप n ये अर्थमेटिक मीन देयर ज्योमेट्री मीन ज्योमेट्री मीन जी वहां क्या किया था सबको मल्टीप्लाई किया था हां सर a1 * a2 * ए वहां दोनों को को मल्टीप्लाई करके पावर हाफ लगाई थी दो नंबर थे यहां पावर न बा ए लगा देंगे यह ज्योमेट्री मीन है यह ज्योमेट्री मीन है फिर हार्मोनिक मीन क्या होगा हार्मोनिक मीन क्या होगा भाई सर हार्मोनिक मीन होगा एच एम क्या होगा सर हार्मोनिक मीन होगा n अपॉन वहां था 2 अपॉन देख लो जरा वहां क्या था 2 अपन 1 अपन ए प्व अपन बी तो यहां हो जाएगा n अपन 1 अपन ए1 प्सव अप ए2 प्लस सोन अप टूव अपन ए यह हो जाएगा हार्मोनिक मीन तो देन देयर ज्योमेट्री मीन देयर हार्मोनिक मीन एंड देयर अर्थमेटिक मीन यह होगा यहां पर हियर आल्सो हियर आल्सो तो क्या होता है अर्थमेटिक मीन इज ग्रेटर दन इक्वल टू ज्योमेटिक मीन इ ग्रेटर दन इक्वल टू हार्मोनिक मीन वेयर इक्वलिटी होल्ड्स कब होल्ड करती है वेयर इक्वलिटी होल्ड्स इक्वलिटी होल्ड्स ट इज ए बराबर जीी ए बराबर एच ए कब होता है इफ नंबर्स इक्वल हो एव बरा a2 बराबर ए यह ऐसा हो जाए तब यहां भी इक्वलिटी होल्ड करेगी लेकिन यहां पर वो रिलेशन होल्ड नहीं करेगा जी स्क इ ए वाला यहां जी स्क इक्व ए वाला रिलेशन होल्ड नहीं करेगा वो सिर्फ दो नंबर्स के लिए ही वैलिड है वह सिर्फ दो नंबर्स के लिए ही वैलिड है ठीक है भाई हा इट इज ओनली वैलिड फॉर टू गिवन नंबर्स इट इज ओनली वैलिड फॉर टू गिवन नंबर्स वो सिर्फ दो गिवन नंबर्स के लिए ही वैलिड है भाई तो ये याद रखेंगे दिल में बसा लो भाई इसको य दिल में बसा लो ठीक है यह क्लियर हुआ हां सर यह क्लियर हुआ तो किन्हीं भी एन पॉजिटिव नंबर्स का अर्थमेटिक मीन उनके ज्योमेटिक मीन और हार्मोनिक मीन से बड़ा होता है अर्थमेटिक मीन इज ग्रेटर दन ज्योमेटिक मीन इज ग्रेटर दन हार्मोनिक मीन एक और मीन हम कहते हैं रूट मीन स्क्वायर रूट मीन स्क्वायर इफ a1 ए2 a3 एंड सो ऑन अप टू ए आर ए पॉजिटिव नंबर्स एंड पॉजिटिव नंबर्स रूट मीन स्क्वायर होता है मींस का स्क्वेयर ऑफ स्वेर का मींस तो यह अप टू ए इसका मीन एवरेज और उसका रूट और उसका रूट इसको हम कह देते हैं ए आर एम एस रूट मीन स्क्वायर तो फॉर एन पॉजिटिव नंबर्स ध्यान रखिए ए आर एम एस रूट मीन स्क्वायर इज ग्रेटर दन इक्वल टू अर्थमेटिक मीन इज ग्रेटर दन इक्वल टू ज्योमेटिक मीन इज ग्रेटर दन इक्वल टू हार्मोनिक मीन और इक्वलिटी कब होल्ड करेगी इक्वलिटी होल्ड करेगी जब सारे नंबर्स इक्वल होंगे जब सारे नंबर्स इक्वल होंगे इक्वलिटी विल होल्ड वन ऑल द नंबर्स आर इक्वल यहां पर भी इक्वलिटी तभी होल्ड करेगी क्लियर है भाई हां रूट मीन स्क्वायर इक्वलिटी होल्ड्स इफ ऑल द थ्री ऑल द नंबर्स आर इक्वल इक्वलिटी होल्ड्स इफ a1 बराबर a2 बराबर a3 बराबर ए तब सारे नंबर्स इक्वल हो जाएंगे तब सारे एजए एच एम और आरएमएस बराबर हो जाएंगे ठीक हां सर यह क्लियर हो गया भाई अब जैसे यह वाला सवाल है ए प्स बी 50 दे रखा है ए प्स बी 50 दे रखा है ए प्स बी 50 दे रखा है ठीक है हां ए ए प् बी 50 दे रखा है एजी आ रिस्पेक्टिवली द ए जी एंड ए बिटवीन द नंबर्स एंड जी ए एक्सीड एच ए बाय फो तो ए जी ए एक्सीड एच ए बाय फो तोज बराबर एच प् च जी बराबर एच प् च है और एमजी एम तो एजी एम जो है व फिलहाल यह है हमसे कहा गया ए प्लस जीी बराबर दिस ये सब पूछा है कौन सा सही है क्या करें भाई जी स्क्वा इ ए ए बराबर होगा ए प्लस बी बाटू ना हा और ए प्स बी कितना है 50 तो यह हो गया 25 तो मैं कह सकता हूं जी स्क्वा बराबर 25 ए ये कह सकता हूं हां सर दो नंबर्स के लिए तो कही सकते हैं पॉजिटिव नंबर्स के लिए अब जी बराबर h प् 4 h प् 4 का होल स्क्वायर बराबर 25 ए यह हो गया ए स्क्वा 8 एच माइ 17 ए प् 16 बराबर 0 एच की वैल्यू आ गई 16 या फिर एक बट एच वन से बड़ा है उसका मतलब एच हो गया 16 जी स्क्वायर हो गया जी हो गया जी हो गया 20 जी हो गया 20 और ए हो गया 2 ये आ गया भाई अब इसमें से वेरीफाई कर लो यार अब तो कर लोगे भाई हां सर अब तो कर लेंगे ठीक है ना हां सर यह क्लियर हुआ अब जरा यहां आ जाओ भाई यह सवाल आया था जेई मेंस 2022 में जई मेंस 2022 में यहां लिखा है एक् क प्वा स्क बराबर 2 की पावर 15 और 3x + 2y की लीस्ट वैल्यू चाहिए तो जहां भी x y पॉजिटिव हो देखो कैसे पता चलेगा सवाल एमजीएम से होगा अगर नंबर्स पॉजिटिव दे रखे हैं तो समझ जाओ 99 पर ये एमजीएम से ही होने वाला है तो यहां पर 3x + 2y का लीस्ट वैल्यू चाहिए और हमें x क + y स् x क * y स् 2 की पावर 15 दे रखा है तो 3x + 2y को मैं लिख सकता हूं x + x + x + y प्वा ऐसे लिख सकता हूं कितने नंबर्स हो गए पाच तो x प् एक् प् एकस प्वा प्वा ये पांच पॉजिटिव नंबर्स है डिवाइडेड बाय 5 इनका अर्थमेटिक मीन बड़ा होगा इनके ज्योमेट्री मीन से इनवा इनवा की पावर 1 बाय फ ये क्लियर हुआ भाई यह कितना हो गया 3 एकस प्वा बाय 5 इ ग्रेटर दन इक्व टू एक्स क्यूब वा स्क्वा की पावर व बाय फ ये आया भाई हां सर ये हो गया 3 एक्स प्लस 2 वा ग्रेटर इक्वल टू ये कितना है दो की पावर 15 और बाहर है 1 ब पा ये हो गया दो की पावर तीन यानी के आ और बटे पा यहां पाच है नीचे तो 3 एक प्वा इ ग्रेटर इक्वल टू उसकी मिनिमम वैल्यू कितनी आ गई सर 40 आ गई मिनिमम वैल्यू कम्स आउट टू बी 40 40 40 आसान था हां चलो आओ एक और करते हैं एक और करते हैं यह वाला सवाल देखो यह जेई मेंस में आया था 2023 11 अप्रैल को आओ देखो ये देखो यहां पर हमें a + b + c + d ये पॉजिटिव रियल नंबर है देखते पता चला भैया मिनिमम वैल्यू पूछी है तो एजीएम लगेगा ए प् बी प् सी प् d बराबर 11 दे रखा है हमें ए5 बी क्यूब सी स्क्वा डी यानी य देखा जाए तो मल्टीप्लाई ज्योमेटिक मीन होना चाहिए यह ज्योमेट्री की मीन होना चाहिए लेकिन ए की पावर फ क्रिएट करने के लिए मुझे ए वाली टर्म पांच बार चाहिए तो क्या करते हैं देखो चालाकी देखो हम क्या करते हैं हम इसका यूज भी करेंगे और हम इसको भी बनाएंगे कैसे हम इसको पांच टुकड़ों में डिवाइड कर लेते हैं ए के पांच टुकड़े कर लेते हैं पांच टुकड़े मतलब बराबर टुकड़े ए बार 5 ए बा फ ए बा फ और ए बाय फ पांच बराबर टुकड़े कर लिए इन पांचों को जोड़कर एही आएगा अब मुझे बी क्यूब चाहिए तो बी के तीन टुकड़े कर लो बी बा 3 बी बा 3 बी बा 3 स कितना चाहिए दो चाहिए तो सी के दो टुकड़े कर लो c बाट स बाट और डी डिवाइडेड बाय डिवाइडेड बाय ये कितने नंबर हो गए पा और तीन आ और दो 10 और एक 11 11 इज ग्रेटर दन इक्वल टू इज ग्रेटर दन और इक्वल टू इन सबका ज्योमेटिक मीन ज मेट्रिक मीन क्या आगा सब के सब मल्टीप्लाई होंगे जब मल्टीप्लाई होंगे तो ए की पाच बी की तीन सी स्क्वा नडी डिवाइडेड बाय नीचे होगा पाच की पाच तीन की दो की दो की पावर एक ब 11 यह जनरेट होगा भाई जरा देखो आराम से हां सर यह जनरेट होगा यही जनरेट होगा आराम से देख लो ए इ ग्रेटर दनज ए तो हमने पांच टुकड़े किए यानी हमें ए की पावर फ चाहिए थ तो हमने के पाच टुकड़े कर लिए ठीक है तो यह देखा जाए तो क्या बन गया सर ये बन गया ए प्स बी प्स सी प् डी बाय 11 इज ग्रेटर दन इक्वल टू ए5 बी क्यूब सी स्क्वा नडी की पावर / 11 नीचे कितना है 5 की पावर 5 3 की पावर ट की पावर ू 1 बा 11 य ऐसे है भाई यह कितना है 11 ये हो गया न इ ग्रेटर इक्व a5 बी क्यू स्क्वा डी डिवाइडेड बाय 5 की पावर 5 3 की पावर 3 2 की पावर टू की पावर 1 बा 11 दोनों साइड पावर 11 लगा दो लगा सकते हैं हा अगर दोनों साइड पॉजिटिव है ओबवियसली पॉजिटिव है ए5 बी क्यूब स स्क्वा डी दोनों साइड कोई भी पावर लगा सकते ना अगर साइड्स पॉजिटिव है तो और यहां टू की टू लेसन इक्वल टूव तो ए5 बी क्यूब स्क्वा डी इ लेसन इक्वल टू 5 की पावर 5 3 की पावर टू की पावर ू तो इसकी जो मैक्सिमम वैल्यू है ए की पावर 5 बी क्यूब सी स्क्वा डी की मैक्सिमम वैल्यू व कितनी आ गई स मैक्सिमम वैल्यू आ गई 5 की पावर फ की पावर टू की पावर ू और वह बराबर हमें दे रखी है किसके 3750 बीटा के 3750 बीटा 3750 बीटा बीटा कितना हुआ बीटा सर 5 की पावर 5 3 की पावर 3 2 की पावर 2 डिवाइडेड बाय 3750 25 * 25 625 25 की पावर 4 है भाई ये 625 इन 625 इनटू 6 कर दूं तो इन 6 देखना जरा 30 और 6 12 13 37 ना नहीं आ रहा इससे तो कोई बात नहीं भाई काट पीटो 25 से काट पीट दो तो 2 से काट भैया बीटा खुद निकाल लेना यार बीटा तो निकाल लोगे यार बीटा तो निकाल लोगे ना भाई 90 आ रहा ब बता रहे 90 आ रहा चलो ठीक है भाई बीटा कम्स आउट टू बी 90 बीटा कितना आ गया है 90 आ गया बच्चे बता रहे हैं 90 आ गया है आओ एक और करते हैं अब जरा यह देखो भाई एक और सवाल एक और सवाल देखो एक और सवाल देखो यहां पर लिखा है a क्य बा 4 बी प्रूफ करना है ए बी सी पॉजिटिव नंबर्स है a क बा 4b प् ब बा 8c स् + 1 बा 2a + c बा 2a यह ग्रेटर दन इक्वल टू है 5/4 के से बड़ा है देखा जाए ए बी सी पॉजिटिव नंबर्स है यहां कांस्टेंट आ रहा है यानी सब ए बी सी आपस में एमजीएम में कट चुके होंगे तो मेरे पास जरा ध्यान से देखना a क्य बा 4 बी है और बी बा 8 सी स्क्वा है और 1 प् सी बाय 2a है अगर मैं इनका जीएम लिखूं तो इन सबको मल्टीप्लाई करूंगा मार्क काट करके नहीं कटने वाले सब नहीं कटने वाले सारे के सारे यह सब के सब नहीं कटने पिटने वाले तो क्या किया जाए तो क्या किया जाए सर इसे लिख देते हैं ए क्यूब बाय फो बी फिर कितने ए है ऊपर तीन और यहां पर न बाटू ए न बाटू ए और 8 सी स्क्वा बा फ ए स कितने हैं दो तो मैं क्या करता हूं देखो बी बा 8 सी स्क्वा है भाई बी बा 8 सी स्क बी तो बैलेंस है मल्टीप्लाई करने पर कट जाएगा 8c स्क बैलेंस नहीं है तो नीचे c स्क्वा है तो c को c बा 2a है c बा 2a प् 1 बा 2a मल्टीप्लाई करने पर क्या नहीं कटेगा अगर मैं मल्टीप्लाई कर दूं ए ए लिखूं ये ए है जी ए लिखूंगा सबको मल्टीप्लाई करूंगा तो ए एक बचेगा और बी कट जाएगा और सी भी एक बचेगा तो हम क्या करते हैं a क्य अपन 4b मुझे a कहां चाहिए नीचे 8 सी स्क्वा मैं इसको लिख देता हूं सी का आधा c बा 2a का आधा c बा 4a प् 1/2 ऐसे लिख सकता हूं जरा देखो यार ऐसा क्यों लिखा सोच के देखो ऐसा इसलिए लिखा ताकि नीचे ती ए बन जाए मल्टीप्लाई में कट जाए दो सी दो सी कट गए बी से बी कट गया हो जाएगा काम इस तरह से स्प्लिट किया हमने इसको सोच के देखो स्प्लिट कैसे किया मेन चीज स्प्लिट कैसे किया वो सोचो ऊपर तीन ए थे तो नीचे भी तीन ए होने चाहिए यहां पर नीचे दो सी थे तो ऊपर भी दो सी होने चाहिए उसको देखकर हमने इसे स्प्लिट किया अब ए क्यूब बाय 4 बी प्स बी बा 8 सी स्क प्स सी बा 4 प् सी बाय 4a प्सव बायट ए बाय 5 इज ग्रेटर दन इक्वल टू मल्टीप्लाई कर लो भाई ए क्यूब बाय फ बी बी बा 8 सी स्क्वा स स्क्वा सी बा 4a इन सी बाय 4a इन 1 बाय 2a ये आएगा भाई क्या कैंसिल हो रहा है भाई ये तो गए सारे के सारे य तो जुगाड़ हमने पहले ही किया है यह गए सारे बी गया बी से बी गया p और एक और सी और यह वाला जो सी स्क्वा है यह भी गया क्या बच गया और यहां पावर कितनी आएगी 1 बाय फ यह बराबर होगा दो ू की पावर टू 3 3 और 2 5 5 और टू 7 7 और 2 ना एंड 1 10 1 अपन 2 की पावर 10 की पावर 1 बाय फ 1 अपन ू की पावर ू 1/4 यह आ गया फ को क्रॉस मल्टीप्लाई कर दो तो ये हो गया ए क्यूब अपॉन 4 बी प्स बी बाय 8 सी स्क प्स सी प्व बाय 2a इ ग्रेटर दन इक्वल टू 5/4 हेंस प्रूड ट इज व्ट वी हैव टू प्रूव क्लियर हो गया भाई यह बात यह बात क्लियर हुई एक और सवाल देखते हैं लो एक और देख लो भाई यह वाला सवाल आया था जेई एडवांस में यह वाला सवाल जेई एडवांस में आया था 2004 में बहुत अच्छा सवाल है ए बी सी आर पॉजिटिव रियल नंबर्स ए बी सी आर पॉजिटिव रियल नंबर्स यह वाला सवाल जी एडवांस में आया था दिस वास आस्ड इन जेई एडवांस यह सवाल जेई एडवांस में आया था यह वाला सवाल देख ले यहां पर यह जेई एडवांस में आया न प्स एव प्स बीव प्स सी की पावर से इ ग्रेटर दन 7 की पावर से ए की पावर फो बी की पावर फोर सी की पावर फो जरा देखो 1 प्स ए 1 प्स बी प् सी अगर इसमें एजीएम लगाऊंगा तो ऐसा कुछ नहीं आता तो क्या करें इसे ओपन ही करके देख लो भाई 1 प् ए प् ए प् बी इन 1 प् सी ऐसे लिख दिया मैंने इसे और ओपन करो 1 प् ए प् ए प् बी प् सी प् ए सी प्स सी प् बी स तो मेरे पास हो गया 1 प्स ए + b + स ् ए स ् ए + b स + सी यह हो गया यह आया इसको मल्टीप्लाई करके यह आया इसको मल्टीप्लाई करके ये कितनी टर्म्स है तीन और तीन 6 और एक सा ये सेवन टर्म्स है अगर मैं इनका ए लिखूं इनका ए कैसे लिखूंगा a + b + c प्लस ए बी सी प्स ए प् बी प् ए प् बी स प् ए प्स ए डिवाइडेड बाय 7 ये सात है और वहां देखो क्या चार बार आ रहा है ए हां आ रहा है भाई इ ग्रेटर दन इक्वल टू a * बी * सी * ए बी सी इन ए इन बी स इन सी की पावर बा 7 ऐसे लिख दे हां सर ऐसे लिख सकते हैं यह जो लिखा हुआ है यह है 1 प् ए 1 प् बी 1 प्स सी माइव गौर से देखना इसकी वैल्यू क्या होगी दिस माइव यह माइव इधर करना पड़ेगा डिवाइड बाय 7 इ ग्रेटर दन इक्वल टू ए की फोर बी की फो सी की फो की पावर 1/7 ये आ गया क्रॉस मल्टीप्लाई कर दो आपके पास आ गया 1 प्स ए इन 1 प्स बी इन 1 प्स सी माइव इ इक्वल इ ग्रेटर इक्वल ट 7 इन ए की फोर बी की फोर सी की फोर बी की फोर सी की फोर की पावर 1 ब सा ऐसा आ गया भाई ये आ गया जरा देखो ठीक है और यह हो गया 1 प्स ए 1 प् बी 1 प् सी बस ये लास्ट क्वेश्चन है ना यह हो गया 7 ए की पावर 4 बी की पावर 4 सी की पावर 4 की पावर 1/7 प्व और यह डेफिनेटली बड़ा होगा स्ट्रिक्टली बड़ा होगा 7 a की पावर 4 बी की पावर 4 सी की पावर 4 की पावर 1/7 से स्ट्रिक्टली बड़ा होगा क्योंकि वहां वन जुड़ा है वहां वन नहीं जोड़ा हमने तो यहां से हम कह सकते हैं 1 प् ए 1 प् बी 1 प् सी स्ट्रिक्टली ग्रेटर दन 7 a टू द पावर 4 बी टू द पावर 4 c टू द पावर 4 की पावर 1/7 दोनों साइड पर पावर से लगा दो 1 बाय 1 प् ए 1 प् बी 1 प् सी इस पूरे की पावर कितना 1/7 इ ग्रेटर दन 7 की पावर 7 a4 b4 d4 ये आ जाएगा यही शो करना था शायद यही शो करना था इज दिस क्लियर हां सर यह क्लियर हो गया यह क्लियर हो गया यह क्लियर हो गया अब अब एक ये सवाल भाई घर में कर लेना आप टी ए एच यह आप घर में कर लेना एक सवाल ठीक है चलते चलते हम आपको एक्सपो शियल और लोगरिथमिक सीरीज के बारे में बता द क्योंकि यह भी जान लो थोड़ा अच्छा रहेगा यह भी जान लो यह भी जान लो e की पावर एकस होता है 1 प् एकस अ फैक्टोरियल 1 x स् अप फैक्टोरियल 2 x क अप फ्टो 3 ये e की पावर x का एक्सपेंशन है e की पावर - x का मतलब x की जगह - x रख दो तो x की पावर n अप n फ्टो होता है e की पावर x ये ध्यान रखें x की पावर n अप n फ्टो n वेरीज फ्रॉम 0 टू इनफिनिटी तो जब रो रखोगे तो ये वन x की पावर 0 1 और नीचे 0 फैक्टोरियल वो भी वन तो 1 प् x प् दिस दिस इज द एक्सपेंशन इसी तरीके से e की पावर - x का एक्सपेंशन 1 माइ प् एक्स स् बाटू फ्ट एक्स क बा 3 फ्ट सोन टिल इनफिनिटी अगर इन दोनों को ड किया जाए तो क्या आ जाएगा सर इवन वाले सारे आ जाएंगे 1 प् एक्स स्क्वा बाटू फैक्टोरियल प्स एक्स की पावर 4 बाय फ फैक्टोरियल सोन टिल इनफिनिटी और यहां टू टाइम्स सबकट किया जाए न एक्स माइनस अगर सबकट करें तो एक माइनस एक् एक् प् x क अप 3 फ्टो प् x की पावर 5 अप 5 फैक्टोरियल न टिल इनफिनिटी सोन टिल इनफिनिटी अगर मैं यहां वन रख दूं तो e प्व e की पावर माइव बायट इसकी वैल्यू कितनी हो जाएगी सर ये हो जाएगी 1 प्लस 1 अप 2 फैक्टोरियल 1 अप 4 फैक्टोरियल 1 अप 6 फैक्टोरियल सोन टिल इनफिनिटी याद रखें काम आएगा और अगर मैं यहां वन रख दूं तो e की पावर व माइनस e की पावर माइव बाटू य हो जाता नव प्सव बाय 3 फैक्टोरियल प्सव बाय फ फैक्टोरियल प्सव बाय से फैक्टोरियल प्लस सन टिल इनफिनिटी यह हो जाता है य इसका एक्सपेंशन हो जाता है दोनों एक्सपेंशन याद रखें है ना यह काम आ सकते हैं क्वेश्चंस में दोनों के दोनों हमने पहले दोनों के एक्सपेंशस याद किए एक बार दोनों को जोड़ा और एक बार दोनों को घटा दिया ठीक है यह क्लियर हो गया हां सर अब जरा यह देख लो अगर मैं n x को वन रख दूं तो अगर मैं य एक्स को वन रख दूं तो ये कितना हो जाएगा कोवन यह हो जाएगा 1 प्सव अपन 1 फैक्टोरियल प्सव अपन 2 फैक्टोरियल प्सव अपन 3 फैक्टोरियल प्लस ऑन टिल इनफिनिटी इ इक्वल टू e यानी e एक तरीके से होता है समेशन ऑफ 1 अपन ए फैक्टोरियल n वेरीज फ्रॉम जीरो टू इनफिनिटी यह हो जाता है e अगर मैं एकस को यहां वन रख दू य हो जाएगा 1 माइव अपव फैक्टोरियल देखो फिर प्सव अपन 2 फैक्टोरियल प्सव अपन 3 फैक्टोरियल यह तो कहां से आया य यहां से आया कैसे आया एक्स को वन रख के यह कहां से आया यह यहां से आया एक्स को वन रख के और 1 अपट फिर माइव अप 3 फैक्टोरियल फिर प्व अप 4 फैक्टोरियल टिल इनफिनिटी इ इक्वल टू e की पावर माइनस व इ इक्वल टू यह हो जाएगा व अपन ए फैक्टोरियल है ना समेशन ऑफ समेशन ऑफ एक्स को वन रखा मैंने ये आ गया माइव की पावर ए अपॉन ए फैक्टोरियल वेरी फ्रॉम जीरो टू इनफिनिटी ये e की पावर माइव हो गया ये की पावर माइव हो गया ठीक है चलो यह हो गया भाई इसी तरीके से यह सीरीज बस याद होनी चाहिए ठीक है ना यह सीरीज बत याद होनी चाहिए अच्छा अगर मेरे पास सिर्फ न से ए फैक्टोरियल त हो तो य e माइव वन की कमी है इसमें क्योंकि यह जो लिखा है e यह क्या होता है न प्सव अपव फैक्टोरियल 1 अपट फैक्टोरियल 1 अपन 3 फैक्टोरियल प्स 1 अपन 4 फैक्टोरियल सोन टिल इनफिनिटी और जो यह लिखा हुआ है यह है यह टर्म है 1 प्लस 1 अपट फैक्टोरियल प्सव अपन 3 फैक्टोरियल प्लस 1 अपन 4 फैक्टोरियल सन टिल इनफिनिटी किसकी कमी है सर वन की कमी है 1 अपव फैक्टोरियल यहां वन की कमी है ये e माइव हो जाता है यह वाला पार्ट कितना हो जाता e माइव दिस बिकम e माइव य -1 हो जाता है अब जरा से कोई तुम्हें कहे n स् / n फैक्टोरियल को सिंपलीफाई कर दो तो कैसे करोगे जरा देखो फर हम इसे लिखेंगे समेशन ऑफ 0 टू इनफिनिटी n अप n फैक्टोरियल तो ये बच जाएगा n / n - 1 फ्टो n / n - 1 फैक्टोरियल ऊपर नीचे n कट गया ऊपर नीचे n कट गया जब ऊपर नीचे n कट गया तो आप देखो कि n जीरो नहीं हो सकता ए कहां से चालू होगा वन से मैं यहां से अगले पेज पर करता हूं समेशन ऑफ n स्क अपन n फैक्टोरियल जरा देख लो इसको कैसे सिंपलीफाई करेंगे यह देख लो भाई n स्क अपन n फैक्टोरियल ए वेरीज फ्रॉम जीरो टू इनफिनिटी आपने ऊपर नीचे एक n काट दिया तो ये हो गया n अपन n माइव फैक्टोरियल तो n वेरी करेगा वन से इनफिनिटी क्यों क्योंकि जीरो पर तो वैल्यू वैसे भी जीरो ही आ रही थी तो कायद में देखा जाए तो वन से इनफिनिटी वेरी कर रहा है n ठीक है ना n अप n माइव फैक्टोरियल एव नहीं हो सकता तो n वन से आगे चलेगा ठीक है अब फिर से समेशन इसको लिख देता हूं n-1 प्व अपॉन n माइव का फैक्टोरियल ये क्या बन जाएगा ये बन जाएगा समेशन 1 अप n माइन 2 का फैक्टोरियल फिर प्लव अपॉन n माइव का फैक्टोरियल इसका समेशन इसका समेशन बन जाएगा प्लस समेशन ऑफ दिस ए कहां से कहां तक था वन से इनफिनिटी ए वेरीज फ्रॉम वन टू इनफिनिटी लेकिन अब आप खुद देखो जब आपने इसको अलग करके लिखा n माइव ऊपर नीचे काट दिया तोन वन नहीं हो सकता तो कहां से चालू होगा टू से टू से इनफिनिटी ध्यान से देखना काटा ऊपर नीचे n -1 तो n1 नहीं हो सकता अब n कहां से चालू होगा टू से चालू होगा n टू से चालू होगा यहां पर क्या काटा था ऊपर नीचे n काटा था तो n जीरो नहीं हो सकता क्योंकि जब आप ऊपर नीचे कोई टर्म काट रहे हो तो वो टर्म जीरो नहीं हो सकती वो टर्म जीरो नहीं हो सकती इसलिए उसके आगे से चालू होगी यानी कि n1 से इनफिनिटी फिर आपने n -1 लिखा फिर आपने n-1 काट दिया ऊपर नीचे इस वाले में तो ये n माइन हो गया तो कहां से चालू हो जाएगा ट से इनफिनिटी चालू हो जाएगा से इनफिनिटी चालू हो जाएगा ठीक है और जैसे ही टू रखा तो य हो गया न अपन 0 फैक्टोरियल न अपव फैक्टोरियल प्सव अपन ू फैक्टोरियल प्लस न टिल इनफिनिटी यह तो पहला वाला टर्म आ गया दूसरा हो गया प्लस न अपन 0 फैक्टोरियल प्लस 1 अपव फैक्टोरियल प्लस सन टिल इनफिनिटी ये कितना आ गया सर ये भी e बन गया और वह भी e बन गया कितना हो गया 2e हो गया ई हो गया दिस बिकम 2e ठीक है हां सर यह 2e बन गया अब जरा यह देख लो समेशन ऑफ n क्यू माइन n फ्टो मान लो इसको सिंपलीफाई करना है तो क्या तुम इसे सिंपलीफाई कर सकते हो क्या तुम इसे सिंपलीफाई कर सकते हो समेशन ऑफ n क्यूब अपन n फैक्टोरियल n वेरीज फ्रॉम जीरो टू इनफिनिटी सर ऊपर नीचे n काटेंगे ये हो जाएगा समेशन ऑफ n स्क्वा अपॉन n माइव फैक्टोरियल n वेरीज फ्रॉम वन टू इनफिनिटी ए वेरीज फ्रॉम वन टू इनफिनिटी ये हो जाएगा हां फिर क्या किया जाए इसको लिख देते हैं समेशन वन से इनफिनिटी n स्क माइव प्सव अपन n-1 फैक्टोरियल फिर सेपरेट करेंगे समेशन यहां बचेगा n प्व अपन n-2 का फैक्टोरियल ऊपर नीचे क्या कटा सर n माइव कटा तो n अब चालू होगा इसमें टू से इनफिनिटी और दूसरे वाला प्लस समेशन ए इस तो वही रहेगा वन से इनफिनिटी 1 अपन ए माइव का फैक्टोरियल ये आ गया भाई अब क्या करोगे अब इसे और सिंपलीफाई किया जा सकता है अब और सिंपलीफाई किया जा सकता है कैसे इसको लिखा जा सकता है समेशन n माइट प्स 3 अपन n माइट फैक्टोरियल फिर प्लस सम 1 अपन ए माइनस न फैक्टोरियल ए वेरीज फ्रॉम न टू इनफिनिटी ऐसे लिख दिया और यहां ए वेरी फ्रॉम न टू ट टू इनफिनिटी टू टू इनफिनिटी अब जैसे सेपरेट करोगे फिर से वही होगा ए माइनस ू कट जाएगा तो अब पहला जो समेशन आएगा वह आएगा तीन से इनफिनिटी 1 अपन ए माइन 3 फैक्टोरियल और दूसरा द हो जाएगा 3 प्लस 3 नव अपॉन 3 इनू समेशन ऑफ न अपन ए माइट फैक्टोरियल ए वेरीज फ्रॉम टू टू इनफिनिटी और लास्ट वाला है प्लस व अपॉन ए माइव फैक्टोरियल वन से इनफिनिटी ये आ गया वन से इनफिनिटी यह आ गया भाई अब जरा देखो एक चीज और बता दूं मस्त चीज देखो ध्यान रखना समेशन ऑफव अपन ए माइनस आ फैक्टोरियल आर वेरीज फ्रॉम ए वेरी फ्रॉम आर टू इनफिनिटी यह आर यह होता है ई खुद देख लो यह होता है e देखो n माइन टू से इनफिनिटी ये बन गया e n माइन से इफिनिटी य भी तो यह क्या बनेगा जरा बताओ यह क्या बनेगा सर यह बनेगा e प्स 3e और प्लस यानी के 5e फ बन जाएगा यह बन जाएगा 5 इसी तरीके से लोगरिथमिक सीरीज यह देख लो भाई लोगरिथमिक सीरीज दिस इ द लोगरिथमिक सीरीज प् एक्स यह होता है एकस माइ एक स् बा 2 प् x क बा 3 x की पावर 4 अप 4 अल्टरनेटली प्लस माइनस आते हैं और x -1 सेव के बीच में होना चाहिए ln1 - x का एक्सपेंशन ये सारे टर्म्स नेगेटिव हो जाते हैं ये सारे टर्म्स नेगेटिव हो जाते हैं अगर मैं इन दोनों को जोड़ दूं तो l ए डिवाइड माइनस कर दूं तो 1 प् x अपन 1 - x माइनस किया तो लॉग a - लॉग बलग a अप ब ये हो जाएगा 2 टाइम्स एक्स यह कट जाएगा प्लस एक्स क्यूब बाय 3 प्लस एक्स की पावर 5 बाय फ प्लस न टिल इनफिनिटी ट इ इट और अगर मैं इन दोनों को ड कर दू तो ए लग ए प्स लग बी लग ए माइनस बीव माइनस एक्स स्क्वा एक तरीके से देखा जाए तो दोनों को हमने क्या किया ड कर दिया तो ऐड कर दिया तो ये आ गया कितना लगव माइन एक्स स्क्वा ये आ गया माइनस एक्स स्क्वा वैसे ये इतना काम का नहीं है क्यों क्योंकि ये तो फिर x की ज x स्क रख दो इस वाले में ये इतना काम का नहीं है डिवीजन यह काम का है अने यह काम का है ठीक है यह काम का है अपने क्योंकि अगर ऐड करता हूं तो एव माइ एक्स स् आएगा वो तो सेकंड वाले में x की जगह x स्कर रख के मिल ही जाएगा हमको उसके लिए इतनी मेहनत मशक्कत करने की जरूरत नहीं है मेरे भाई भाई अब जरा यह वाला सवाल देख लो जेई मेंस 2023 में आया था फर्स्ट फरवरी को यहां लिखा हुआ है ऐसे ऐसे करके एक बार जरा देखो आप यह सवाल एक बार जरा आप यह सवाल देखो एक बार आप जरा यह सवाल देख लीजिए एक बार आप जरा यह वाला सवाल देख लीजिए लुक एट दिस प्रॉब्लम लुक एट दिस प्रॉब्लम यहां इस प्रॉब्लम को आप कैसे करना चाहेंगे इस प्रॉब्लम को स यहां पर ऊपर लिखा है 2n स्क्वा प्स 3n प् 4 डिवाइडेड बाय ऐसा लिखा हुआ है तो सर अगर मैं इसको काटना चाहूं तो 2n इन 2n माइव बनाना चाहता हूं 2 स्क्वा है ना तो 2n इन 2n माइव बनाना चाहूंगा तो फोर चाहिए तो मैं पहले टर्मन लिख लेता हूं टर्मन क्या है स् प्स 3n प्स 4 डिवाइडेड बाय 2 ए फैक्टोरियल डिवाइडेड बाय 2n का फैक्टोरियल ऐसे यह लिख लिया हमने ठीक है हा सर अब क्या किया जाए अब क्या किया जाए यहां पर अगर आप इसे लिखें टू से मल्टीप्लाई डिवाइड कर दो तोय आ जाएगा 4n स्क्वा प् 6n प्स 8 डिवाइडेड बाय 2n का फैक्टोरियल इसको लिख सकता हूं 4 ए स्क्वा माइनस का 2 ए प्लस 8 ए प्स 8 डिवाइड बाय 2 का फैक्टोरियल जरा देखो इसको क्या लिखू इसमें से 2 कॉमन ले लू तो ये बच गया 2n माइव अपॉन 2n का फैक्टोरियल फिर प्लस 2 इन 4 इन 2n इसको लिख सकता हूं 4 इन 2n अपन 2n का फैक्टोरियल और प्लस 8 अपन 2n का फैक्टोरियल ऐसे लिख सकता हूं इसको य लिख दिया यह कितना हो गया 1 अप 2n माइन 2 2n माइ 2 फैक्टोरियल और ये हो गया प् 4 अपन 2n माइव फैक्टोरियल और यह हो गया 8 अपन 2n का होल फैक्टोरियल ऐसा बन गया बिल्कुल हमें ये आईडिया कैसे आया यहां से 4n स् माइ 2n तो 4n स् - 2n बनाने की हमने कोशिश की यहां से आ गया और अपॉन टू भी था भाई है ना ऊपर नीचे मैंने टू से मल्टीप्लाई किया था तो अपॉन टू भी है दिस होल इनटू हाफ यहां पर पूरे के आगे हाफ लगा है न बायट गया य आ गया अब एव से इनफिनिटी जा रहा है अब जरा देख लो जने इसमें काटा ऊपर नीचे 2n एव तो रख सकते हैं हा रख सकते हैं कोई दिक्कत नहीं है इसमें भी और उसमें भी कोई दिक्कत नहीं है तो यह हुआ समेशन बराबर समेशन ए वेरीज फ्रॉम वन टू इनफिनिटी फ बाहर और अंदर कितना बचा अंदर बच गया है 1 अपन 2n माइनस 2 1 अपन 2n माइनस 2 फिर प्लस 8 अपॉन 2 ए फैक्टोरियल 8 अपन 2 ए रिल नहीं 4 अप 2n माइव फैक्टोरियल प्लस 4 अप 2n माइव फैक्टोरियल यहां लिख देता हूं यह बच गया भाई अब इसमें रखो टूथ ये हो गया हाफ इनटू हाफ इनटू पहला क्या बनेगा पहला ब्रैकेट बन जाएगा 1 अपन 0 फैक्टोरियल फिर प्सव अपव रखा ू रखा तो 2 फैक्टोरियल प्लस 1 अप 4 फैक्टोरियल प्लस ऑन टिल इनफिनिटी यानी के बेसिकली न प्लस ये यह क्या बन गया सर 8 1 अपव फैक्टोरियल 1 अपन 2 फैक्टोरियल प्लस 1 अपन 4 फैक्टोरियल प्लस सन टिल इनफिनिटी और लास्ट वाला बन गया 4 इन 1 अपव फैक्टोरियल 1 अप 3 फैक्टोरियल 1 अप 5 फैक्टोरियल सोन टिल इनफिनिटी ये बन गया लास्ट वाला बस हो गया भाई ये कितना हुआ यह कितना हुआ सर ये हो गया 1/2 इन e प्स e की पावर -1 बाट इवन टर्म्स है ना ये देखो यहां पर लिखा था अभी हमने ये इसका सम था यहां पर देखो यहां यहां यहां यहां यहां देखो यहां नजर आएगा यह था e प् 1 अपन दिस बाय 2 फैक्टोरियल फिर यह वाला जो सवाल यह वाला जो लिखा है अगला वो लिखा है 8 * e प्स e की पावर -1 बाय 2 और ये है 4 * e - e की पावर -1 बा 2 ये हो गया भाई फिलहाल तो ये आ गया बाटू e बाटू प्लस e इवर्स बाटू और फिर 4e प्स 4e इवर्स प्स 2e माइनस 2e इवर्स य आ गया यार आप देख लो यार च और दो 6 12 13 1 बाटू 13e बाटू और फिर e बाटू फटू 8 ना माइनस 4 5 5 इवर्स बाय ू और साथ में बचा कुछ भी बचा नहीं सर और तो कुछ नहीं बच रहा भाई और कुछ बच रहा है क्या न रखा था तो न अपन 0 फैक्टोरियल न अपन 0 फैक्टोरियल और साथ में कुछ और भी बच रहा था क्या कुछ और तो नहीं बचा भाई 1 अपन 3 इसमें देख लो जरा एक बार वो जो हमने क्यूबिक वाला लि 1 अप 3 प् 1 अप 5 n को रखा 1 1 अपव फैक्टोरियल फिर रखा ू 1 अप 3 फैक्टोरियल 1 अप 5 जरा देखो सही लिखा है सही लिखा है हां लास्ट वाला देखो जरा लास्ट वाला देखो एक बार लास्ट वाला देखो उसमें कुछ कुछ घिच पिच लग रही है क्या 4 अपन 8 अपॉन मैंने कुछ गड़बड़ कर दिया जरा देखना यार 4 अपव 8 अप 8 अप 2n हा सही है 8 अप वाले में ए को वन रखा तो यह वन नहीं आएगा यार जब मैंने वन रखा तो अपट फटो से चालू होगा तो यहां पर थोड़ा सा हमें काम करना पड़ेगा क्या करना पड़ेगा सर यहां पर वन की कमी है यहां पर वन की कमी है तो क्या करें तो यह करना पगा क्या करना पड़ेगा यहां करना पड़ेगा दिस माइनस व दिस माइनस व ऐसा करना पड़ेगा माइनस व वन की कमी है भाई यह न अपन टू से स्टार्ट हो रहा है भाई ठीक है इसमें वन की कमी है तो यह हो गया 4e 8 माइनस 8 एक माइनस 8 भी आ रहा है माइनस 8 प्स 2e माइनस 2 इवर्स तो e वाला समान तुमने जोड़ लिया था -8 और बच गया -8 और बच गया तो आपके पास आ गया 13e बा 4 प्लस 5e इवर्स बाय 4 माइ 4 अब देख लो भाई यह कहीं दे भी रखा है कि नहीं हां सर यह दिया हुआ है यहां यह हो गया ये हो गया चलो भैया यह खत्म एक सवाल आप घर में कर लेना भाई यह वाला सवाल आप घर में कर लेना चाहो तो यहां पर दे रखा है 3/2 एकस कब प् 5/3 प् 7/4 अगर तुम इसकी टर्म मेनत लिखोगे क्या आएगी 2n प्व अपॉन n प्लस 1 इनटू एक्स की पावर n प्सव ऐसी आएगी इसको चाहो तो ब्रेक कर देना कैसे 2n प् 2 माइव अपॉन n प्व एक्स की पावर ए प्सव सेपरेट करोगे तो 2 माइव अपन ए प्व एक्स की पावर ए प्व यानी के बराबर 2 इन एक् की पावर n प्व माइनस एक्स की पावर n प्व अपन n प्व ऐसा आ जाएगा बेटा ये आ जाएगा अब जैसे ही तुम इसमें टूथ रखोगे तो बन जाएगी जी प और यह आपके लिए लोगरिथमिक एक्सपेंशन बन जाएगा यह खुद करना अब आप यब आप खुद करना आराम से आंसर आ जाएगा आंसर भी दे रखा है आंसर आएगा ए ठीक है तो ट्राई एट होम कुछ सवाल हम आपको घर से करने के लिए दे रहे हैं वह सवाल आप घर में कर सकते हैं यू कैन ट्राई दिस प्रॉब्लम्स एट होम च विल बी गिवन एट द एंड ऑफ दिस स्लाइड यहां पर यह सारे सवाल आप घर में कर सकते हैं यह सारे सवाल आप घर में कर सकते हैं जो भी दिए होंगे ठीक है यू कैन ट्राई दिस प्रॉब्लम्स एट होम लास्ट में दे रखे हैं भाई कुछ सवाल दे रखे ज्यादा नहीं और आपको इसकी डीपीपी भी मिल जाएगी प पर टीच व टीच टी एच फिर एक टी एच य खुद से ट्राई करिएगा घर पर ट्राई दिस एट होम एंड ट इज ऑल फ्रॉम माय साइड एस ऑफ टुडे धन्यवाद इट वाज अ नाइस लेक्चर और आज जिन भी बच्चों ने लास्ट तक लगे रहे हैं उम्मीद है सीक्वेंस सीरीज पूरा का पूरा एक एक चीज हमने यहां कवर करने की कोशिश की है इतना समय में जितना हो सकता था डेफिनेटली हमने पूरा किया है अ यह लेक्चर डेफिनेटली मंजिल के जो लेक्चर हैं काफी सारे काफी अ हद तक एक रेगुलर क्लास को कंपनसेटर हैं है ना लेकिन रेगुलर क्लास की बात रेगुलर क्लास की होती है वन शॉट की बात वन शॉट की होती है लेकिन यहां से भी आपकी बहुत अच्छी तैयारी हो सकती है अगर आप इस पूरे लेक्चर को फॉलो करें और जितने भी क्लास इलस्ट्रेशन हमने कराए हैं वेह सारे के सारे क्लास इलस्ट्रेशन एक बार घर में जरूर करके देखें ठीक है ना तो यह चीज ध्यान रखिएगा बस थैंक यू जय श्री कृष्ण राधे राधे फिर मिलेंगे थैंक यू एवरीवन थैंक यू थैंक यू एवरीवन थैंक यू थैंक यू थैंक यू बाय बाय