Probability Mass Function (PMF)

Introduction

• PMF: Isang function na naglalarawan ng probabilidad ng mga discrete random variable.

PMF ng mga Discrete Probability Distribution

1. Unang Halimbawa

• Probability: 1/5
• Values ng x: 1, 2, 3, 4, 5
• PMF:
  • P(x) = 1/5 para sa x = 1, 2, 3, 4, 5
  • P(x) = 0 kung x ≠ 1, 2, 3, 4, 5

2. Ikalawang Halimbawa

• Probability: 1/9 para sa x = 1, 3, 5
• Probability: 3/9 para sa x = 2, 4
• PMF:
  • P(x) = 1/9 para x = 1, 3, 5
  • P(x) = 3/9 para x = 2, 4
  • P(x) = 0 kung x ≠ 1, 2, 3, 4, 5

3. Ikatlong Halimbawa

• Probability: 1/7 para sa x = 1, 3
• Probability: 2/7 para sa x = 2
• Probability: 3/7 para sa x = 0
• PMF:
  • P(x) = 1/7 para sa x = 1, 3
  • P(x) = 2/7 para sa x = 2
  • P(x) = 0 kung x ≠ 1, 2, 3

Pagpapatunay ng PMF

4. Halimbawa ng f(x)

• Substitusyon ng mga Halaga:
  • x = 1: f(1) = 1/8 * 1 = 1/8
  • x = 3: f(3) = 1/8 * 3 = 3/8
  • x = 4: f(4) = 1/8 * 4 = 4/8
• Summation:
  • P(x) = 1/8 + 3/8 + 4/8 = 8/8 = 1
  • Result: Ito ay isang PMF

5. Ikalawang Halimbawa ng f(x)

• Substitusyon ng mga Halaga:
  • x = 0: f(0) = 1/35 * 0^2 = 0
  • x = 1: f(1) = 1/35 * 1^2 = 1/35
  • x = 3: f(3) = 1/35 * 3^2 = 9/35
  • x = 5: f(5) = 1/35 * 5^2 = 25/35
• Summation:
  • P(x) = 0 + 1/35 + 9/35 + 25/35 = 35/35 = 1
  • Result: Ito ay isang PMF

6. Ikatlong Halimbawa ng f(x)

• Substitusyon ng mga Halaga:
  • x = 0: f(0) = 0/15 = 0
  • x = 2: f(2) = 2/15
  • x = 4: f(4) = 4/15
  • x = 6: f(6) = 6/15
• Summation:
  • P(x) = 0 + 2/15 + 4/15 + 6/15 = 12/15
  • Result: Ito ay hindi isang PMF

7. Huling Halimbawa ng f(x)

• Substitusyon ng mga Halaga:
  • x = 1: f(1) = 2/21 * 1 = 2/21
  • x = 2: f(2) = 2/21 * 2 = 4/21
  • x = 3: f(3) = 2/21 * 3 = 6/21
  • x = 4: f(4) = 2/21 * 4 = 8/21
• Summation:
  • P(x) = 2/21 + 4/21 + 6/21 + 8/21 = 20/21
  • Result: Ito ay hindi isang PMF

Konklusyon

• Mahalaga ang PMF upang maunawaan ang distribusyon ng probabilidad ng discrete random variables.
• Ang sinumang PMF ay dapat na ang kabuuan ng mga probabilities ay katumbas ng 1.