वन डाइमेंशनल हीट इक्वेशन का सलूशन

प्रोफेसर: अनुज कुमार, असिस्टेंट प्रोफेसर इन मैथमेटिक्स

इंट्रोडक्शन:

• वन डाइमेंशनल हीट इक्वेशन का सलूशन
• सेपरेशन ऑफ वेरिएबल्स और फ़ोरीयर मेथड का उपयोग
• पिछली वीडियो में: हीट इक्वेशन का डेरिवेशन

हीट इक्वेशन:

• फॉर्मुला: $ \frac{\partial u}{\partial t} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
  • जहाँ $c$ मटेरियल का डिफ्यूसिविटी है
• बाउंड्री कंडीशन:
  • होमोजीनियस और इन-होमोजीनियस
  • बाउंड्री कंडीशन उदाहरण:
    • $x = 0$ और $x = L$ पर $u = 0$
  • इनिशियल कंडीशन: $u(x,0) = f(x)$

सलूशन प्रोसेस:

• मान लें: $ u(x,t) = X(x) \cdot T(t) $
  • $ X $ = स्पेस फंक्शन
  • $ T $ = टाइम फंक्शन
• हीट इक्वेशन में सब्स्टीट्यूट करें:
  • $ \frac{X(x)}{T(t)} \cdot \frac{dT}{dt} = c^2 \cdot \frac{d^2X}{dx^2} $
  • सेपरेशन ऑफ वेरिएबल्स: $ \frac{1}{T} \cdot \frac{dT}{dt} = c^2 \cdot \frac{1}{X} \cdot \frac{d^2X}{dx^2} = -\lambda $

केसेस फॉर λ

• Case 1: $λ = 0$

  • मिलेंगे: $u(x,t) = A + Bt$

• Case 2: $λ = -μ^2$ (μ पॉज़िटिव)

  • मिलेंगे: $u(x,t) = (A \cos \mu x + B \sin \mu x) \cdot e^{-c^2 \mu^2 t}$

• Case 3: $λ = μ^2$ (μ नेगेटिव)

  • मिलेंगे: $u(x,t) = (A \cosh \mu x + B \sinh \mu x) \cdot e^{c^2 \mu^2 t}$

सलूशन में बाउंड्री कंडीशन्स

• बाउंड्री कंडीशन्स का अप्लिकेशन:
  • एक्स = 0 और एल पर
  • केवल फ़िजिकली प्लॉज़िबल केस कंसीडर करें (टेम्परेचर डिक्रीज़ेज विद टाइम)
  • फाइनल सलूशन चुनें जो बाउंड्री कंडीशन को साटिस्फाय करे:
    • $ λ = -μ^2 $

    • $(A \cos(\mu x) + B \sin(\mu x)) e^{-c^2 \mu^2 t}$

फ़ाइनल सलूशन

• मोस्ट जनरल सलूशनः $ u(x,t) = Σ ( B_n \sin \frac{n \pi x}{L}) \cdot e^{-c^2 ( \frac{n \pi}{L})^2 t}$
  • रीप्रियसेंटिंग $T(x,t)$ इन टर्म्स ऑफ फ़ोरीयर सिरीज

कन्क्लूजन:

• हमने हीट इक्वेशन का सलूशन निकाला
• बाउंड्री और इनिशियल कंडीशन का महत्व
• नेक्स्ट वीडियो में इम्पोर्टेन्ट एक्जाम्पल्स

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