[Musica] Ciao ragazzi in questo video vedremo come fare a risolvere le equazioni di secondo grado che sono una categoria di equazioni piuttosto ricorrente in diversi contesti in Matematica la prima cosa che dobbiamo fare Quando cerchiamo di risolvere questo tipo di equazioni Ma che in generale va fatta Ogni qual volta ci troviamo un'equazione davanti è svolgere tutte quelle operazioni algebriche di base come le moltiplicazioni le potenze e così via In modo tale da poter scrivere le equazioni in una forma più maneggevole la seconda cosa da fare è spostare tutti i termini o a sinistra o a destra dell'uguale come è più comodo in modo da ricondursi ad una forma del tipo Ax qu + BX + C = 0 e infine non resta che cercare le eventuali soluzioni o utilizzando la cosiddetta formula risolutiva delle equazioni di secondo grado o in alcuni casi utilizzando anche altri metodi più semplici per fissare meglio le idee vediamo subito un esempio e proviamo a risolvere X - 1 che Moltiplica x + 2 = 2 - 1 - X il tutto al quadrato la prima cosa da fare come dicevamo e svolgere le operazioni di base come moltiplicazioni e potenze Nel nostro caso se svolgiamo la moltiplicazione a sinistra otteniamo X qu + 2x - x - 2 Mentre dall'altra parte dobbiamo fare il quadrato di questo binomio e poi ricordarci di cambiare di segno per via del meno che c'è davanti alla parentesi e si ottiene 2 - x 2 + 2x - - 1 già che ci siamo possiamo anche sbarazzarci di questo 2x visto che ce l'abbiamo sia a sinistra che a destra a questo punto dobbiamo spostare tutti i termini dalla stessa parte dell'uguale e se decidiamo ad esempio di portarli tutti a sinistra una volta sommati i termini simili tra loro si ottiene 2x qu - x - 3 = 0 e vedete che ci siamo ricondotti ad una forma del tipo Ax qu + BX + C = 0 in questo caso particolare abbiamo che il coefficiente del term di secondo grado che avevamo indicato con a è 2 il coefficiente del termine di primo grado che abbiamo indicato con b è - 1 mentre il termine noto che abbiamo indicato con c è - 3 a questo punto non ci resta che Determinare se ci sono delle soluzioni e per fare questo proviamo ad applicare la formula risolutiva dobbiamo Innanzitutto vedete calcolare - B e Nel nostro caso diventerà - men1 visto che il nostro B era - 1 e poi abbiamo vedete più o meno che cosa la radice B ^ 2 che per noi diventerà - 1 ^ 2 a cui dobbiamo togliere 4ac Quindi Nel nostro caso - 4 per il nostro a che era 2 per il nostro C che era - 3 e il tutto va diviso per il doppio di a Quindi Nel nostro caso per il doppio di 2 una volta semplificata l'espressione precedente è uguale a 1 + o - 5 FR 4 il che significa che la nostra equazione di secondo grado avrà due soluzioni che saranno rispettivamente 1 + 5 FR 4 ovvero 3/2 e 1 - 5/4 ovvero - 1 come vedete quindi una volta che uno ha memorizzato e ha capito come si applica la formula risolutiva questo tipo di equazioni sono abbastanza semplici e fondamentalmente molto meccaniche nella risoluzione è opportuno però che facciamo a questo punto alcune precisazioni importanti La prima cosa importante da ricordare è che non è detto che un'equazione di secondo grado abbia necessar ovviamente due soluzioni come è accaduto nell'esempio precedente a seconda infatti di quanto vale la quantità B ^ 2 - 4ac che si indica di solito con la lettera Delta e che si chiama discriminante E che sarebbe poi quello che compare sotto la radice nella formula risolutiva che abbiamo visto prima ci sono tre possibili scenari se il Delta è maggiore di 0 l'equazione ammette due soluzioni reali se invece il Delta è un numero negativo l'equazione Non ammette alcun una soluzione reale in questo caso l'equazione ammette in realtà due soluzioni complesse Ma noi per il momento non ce ne occupiamo e ne parleremo più diffusamente nella playlist dedicata ai numeri complessi Mentre se il Delta è uguale a 0 Allora l'equazione ammette ununica soluzione reale Alcuni testi in riferimento a Quest'ultimo caso parlano anche di due soluzioni coincidenti per sottolineare il fatto che in realtà la soluzione che si ottiene in un certo senso esce due volte dai calcoli questa terminologia anche se un po' informale è ormai accettata e quindi si può utilizzare anche se sarebbe più opportuno in questo caso parlare di un unica soluzione con molteplicità due in ogni caso quando vi trovate quindi a risolvere un'equazione di secondo grado conviene sempre dare un'occhiata a quanto vale il Delta prima di cominciare ad applicare a macchinetta la formula risolutiva perché se per caso il Delta vi viene minore di zero capite che potete fermarvi immediatamente e dite subito che non ci sono soluzioni reali altra cosa importante da ricordare è che a volte non vale la pena utilizzare la formula risolutiva per determinare le soluzioni ad esempio se avete un'equazione come questa in cui vedete manca il termine noto per determinare le soluzioni Si fa molto prima raccogliere a sinistra e poi applicare la legge dell'annullamento del prodotto in questo caso avremo quindi che le due soluzioni sono x = 0 ed x = - 3 che sono rispettivamente i valori che annullano il primo e il secondo termine del nostro prodotto un altro caso in cui non vale la pena applicare la formula risolutiva è quando ci troviamo davanti a un'equazione di secondo grado in cui manca il termine di primo grado come ad esempio 3x qu - 12 = 0 quando succede questo si fa prima ad isolare X qu e per fare questo basta portare in questo caso il - 122 a destra e poi dividere per 3 e a questo punto quando arrivate ad X qu = un numero se il numero è positivo per trovare le soluzioni è sufficiente calcol calcolare la radice di quel numero ricordandosi mi raccomando di mettere più o meno perché provate a pensare in questo caso specifico di numeri reali che elevati al quadrato fanno 4 ce ne sono 2 + 2 e - 2 Se invece vi dovesse capitare come in quest'altro esempio di arrivare ad un certo punto a X qu 2 uguale a un numero negativo potete concludere che non ci sono soluzioni reali ed il motivo per cui accade questo è che vedete a sinistra dell'uguale abbiamo un oggetto che essendo un quadrato è positivo o al limite Nullo Mentre dall'altra parte abbiamo un numero negativo ne segue quindi che nessun numero reale sostituito al posto della X renderebbe questa uguaglianza verificata il che significa che l'equazione Non ammette soluzioni reali Oh naturalmente se uno preferisce può applicare la formula dis solutiva anche in situazioni come queste Tuttavia essendo una formula molto contos se uno può fare a meno di utilizzarla meglio così secondo me e quindi il mio consiglio è utilizzatela solo quando vi trovate davanti ad un'equazione di secondo grado cosiddetta completa Cioè in cui compaiono sia il termine di secondo grado che quello di primo che il termine noto quando invece vi trovate davanti ad equazioni cosiddette spurie ovvero dove manca il termine noto oppure equazioni cosiddette pure cioè dove manca il termine di primo grado Fate prima a raccogliere oppure ad isolare X qu 2 per quanto riguarda la risoluzione delle equazioni di secondo grado fondamentalmente non c'è molto altro da dire come vedete si tratta di un procedimento molto semplice e piuttosto meccanico Per quanto riguarda invece la dimostrazione della formula risolutiva vi lascio il link in descrizione qui sotto dove trovate tutti i passaggi svolti con calma approfitto per dirvi che si tratta di una di quelle poche formoline che io consiglio di imparare a memoria perché capita di doverla utilizzare talmente di frequente che davvero vale la pena fare lo sforzo nel prossimo video ci occuperemo invece delle disequazioni di secondo grado e vedremo in particolare comee possano essere messe in relazione con le parabole nel piano cartesiano detto questo Ragazzi io vi saluto come sempre se vi è piaciuto questo video ricordatevi di mettere mi piace passate a trovarci sulla nostra pagina Facebook e Date un'occhiata all'interno del canale dove troverete moltissimi altri video [Musica]