Appunti sulla Circonferenza in Geometria Analitica

Definizione di Circonferenza

• Luogo geometrico: insieme di punti del piano equidistanti da un punto dato (centro).
• Importanza della specificazione del piano: senza essa si descrive una superficie sferica in uno spazio tridimensionale.

Differenza tra Circonferenza e Cerchio

• Circonferenza: perimetro, divide il piano in due regioni (interna e esterna).
• Cerchio: superficie interna limitata dalla circonferenza, comprende la circonferenza stessa.
• Formule utili:
  • Lunghezza della circonferenza: ( L = 2\pi R )
  • Area del cerchio: ( A = \pi R^2 )

Equazione della Circonferenza

1. Definizione di distanza: distanza tra un punto P (X, Y) e il centro (x_c, y_c) deve essere uguale al raggio R.
2. Formula della distanza: ( R^2 = (X - x_c)^2 + (Y - y_c)^2 )
3. Equazione generale:
   • ( (X - x_c)^2 + (Y - y_c)^2 = R^2 )

Passaggio alla Forma Canonica

• Sviluppare i quadrati e riordinare i termini:
  • ( (X^2 - 2Xx_c + x_c^2) + (Y^2 - 2Yy_c + y_c^2) = R^2 )
• Ridenominare i termini:
  • ( -2x_c = a )
  • ( -2y_c = b )
  • ( x_c^2 + y_c^2 - R^2 = c )
• Forma Canonica: ( X^2 + Y^2 + aX + bY + c = 0 )

Ricavare Centro e Raggio dalla Forma Canonica

• Coordinate del centro:
  • ( x_c = -\frac{a}{2} )
  • ( y_c = -\frac{b}{2} )
• Raggio:
  • ( R = \sqrt{x_c^2 + y_c^2 - c} )

Rappresentazione della Circonferenza nel Piano Cartesiano

• Due casi:
  1. Equazione diretta: si leggono facilmente centro e raggio.
  2. Equazione in forma canonica: calcolare centro e raggio usando le relazioni precedenti.

Esempio di Calcolo

• Equazione: ( X^2 + Y^2 - 4X - 2Y + 1 = 0 )
  • Centro: (2, 1)
  • Raggio: 2

Casi Particolari

• Se ( a = 0 ): centro sull'asse Y.
• Se ( b = 0 ): centro sull'asse X.
• Se ( c = 0 ): circonferenza passa per l'origine.

Conclusione

• Per ulteriori esercizi e chiarimenti, lasciare domande nei commenti. Se il video è piaciuto, mettere "mi piace" e visitare il canale per altri video.