¿Qué tengo acá? Tengo una escuadra retro de las viejas, de esas que se usaban antes cuando Einstein iba a la escuela. ¿Qué quiero hacer ahora?
Quiero que nos metamos juntos en un mundo que creo que es un poco heavy, pero está buenísimo. Es el mundo de la geometría analítica. O sea, uno sabe geometría, uno puede plantear un triángulo, rectángulo, usar pitágoras y calcular longitudes, dado el área de una circunferencia, calcular el perímetro en función de qué se yo. Uno puede hacer un montón de cosas con figuras en el plano.
Pero cuando uno quiere ir más allá, cuando uno quiere hilar fino y estudiar, por ejemplo, qué ocurre cuando quiero calcular la intersección de una parábola con una circunferencia, cómo interpreto gráficamente un sistema de ecuaciones, por ejemplo. Cuando uno quiere ir más allá, es necesario un poco más de rigurosidad. Y es necesario meterse en el mundo de la geometría analítica. Donde no estamos en un mundo ciego, ahí vacío, sino... Empezamos a armar sistemas de referencia, sistemas de coordenadas, que puede ser el sistema de coordenadas rectangulares, que es el que todo el mundo conoce, pero también puede ser un sistema de coordenadas polares, por ejemplo, o un sistema de coordenadas oblicuas.
Y hay que definir qué es un sistema de coordenadas. No te puedo decir, dibujemos en el plano, papá, esto ya está. No, hay que decir algunas palabritas. Entonces, ¿qué les preparé hoy?
¿Qué tengo para ustedes hoy? Una clase. Si, una clase, que quiero que me acompañen, porque yo lo voy a disfrutar un montón, si, en serio lo voy a disfrutar, porque estas cosas me gustan, pero quiero que me acompañen, porque vamos a sentar bases, ¿si?
Pases, fundamentos, para poder entender un montón de cosas después. Vamos a introducirnos en el mundo de la geometría analítica. ¿Empezamos?
¿No? Yo sí quiero. Dale, vamos. ¿Por dónde empezamos? Uno podría decir, hablemos de geometría analítica, hablemos de...
ejemplo un sistema de coordenadas rectangulares y uno dice rápidamente también es fácil simplemente dibujar los dos ejes que mencionaron en la escuela pone este y hoy este que si ya tienes un punto mira el punto 23 ya está ubicado ya faz que fácil que está momento que es un punto si quiero calcular por ejemplo no sé la distancia entre este punto y este como lo hago me enseñaron que no para Ah, tenemos que definir cosas. Aparece el concepto de segmento rectilíneo dirigido, que después asocia al concepto de vector. Hay que definir cosas para darle sustento teórico o riguroso, si quieren, a esto.
Entonces, vamos a hacerlo, quiero que me sigan en cada detallecito para poder entender de dónde viene esto. Y para que las cuentas que hagamos después tengan sentido y no sean cuentas vacías, porque sí, porque hay que hacerlas. No, tienen una justificación.
El nombre geometría... analítica si uno lo analiza dice algo nos informa sobre algo habla de la geometría y habla del mundo del análisis matemático intenta hacer dos cosas básicamente por un lado tratar de resolver problemas geométricos utilizando herramientas propias del análisis matemático o sea todo eso que se aprende en análisis matemático acá lo metemos dentro de la geometría y lo usamos como herramienta para hacer las cosas mejor más rápido Eso. Y otra cosa que te permite hacer la geometría analítica es al revés.
Es tratar de encontrar representaciones gráficas, por ejemplo, de problemas analíticos. Por ejemplo, no sé, si uno plantea un sistema de ecuaciones. Y uno dice, quiero encontrar la solución de este sistema de ecuaciones.
Uno desde el punto de vista del análisis o del álgebra, uno puede resolver ese sistema de ecuaciones y encontrar la solución sin problema. Despejando y aplicando las cosas que uno conoce. Sin necesidad de graficar nada. Ahora... utilizando la geometría analítica, vos estás habilitado a hacer una representación geométrica y gráfica, obviamente, de ese problema analítico, de ese problema algebraico.
Encontrando, por ejemplo, la intersección entre rectas, o la intersección entre cónicas, parábolas, elipses, cosas así. Ah, entonces está buenísima la geometría analítica. Sí, está buenísima.
Como les decía, hoy se diferencia de la geometría analítica. geometría pura de esa geometría que se aprende en la escuela esa geometría en la que se dice tengo un triángulo este vale 1 este vale 2 calcular este cosas así donde no había ninguna referencia donde no había ninguna coordenada ni sistema de referencia se escapa de eso esto es mucho más completo porque se incorpora el concepto del sistema de coordenadas la palabra sistema la frase sistema de coordenadas Es fundamental. Si no tenemos un sistema de coordenadas definido en nuestro problema, no estamos haciendo geometría analítica.
Entonces, si quiero resolver este problema así nomás, y usando lo que sé de geometría pura o geometría elemental, no estás haciendo geometría analítica. Ahora, si a ese problema pones un sistema de coordenadas, definís que el punto este tiene... cosa. Eso ya sí es geometría analítica. Bueno, pero hay que definir que es un sistema de coordenada.
¿Cómo hacemos? Vamos paso por paso. Escuchen. Escuchen.
¿Qué es lo primero que aparece en un libro de geometría analítica pura? Geometría analítica eh... rigurosa se dice esto si se tiene una línea recta y se consideran dos puntos de ella se le puede llamar a este punto por ejemplo o a este punto otro por ejemplo a para diferenciarlos porque son distintos en este caso y a continuación uno puede definir la idea de segmento rectilíneo dirigido que va a estar muy asociado después al concepto de vector segmento rectilíneo dirigido que es el que va de oa y se lo puede indicar así veo por ejemplo así se lo puede indicar el rectilíneo porque está en una línea recta es un segmento porque va de acá hasta acá hasta acá y es dirigido porque tiene una dirección y se puede indicar esta No es lo mismo el segmento rectilíneo dirigido OA, este, que el segmento rectilíneo dirigido AO.
Este es otro. Este va en la otra dirección y tendrá que dibujar la flechita en el otro sentido. ¿Se entiende? Entonces uno dice eso. Uno puede decir, bueno, pongo otro punto B acá y el segmento AB, rectilíneo AB, es este.
O bien podría decir OB, de O a B. Y sería una flechita, indicada acá si quieren, desde O hasta B. ¿Qué es lo que se hace a continuación?
Se define una unidad. Una unidad. Se dice, por ejemplo, que mi unidad, a partir de ahora, va a ser el segmento rectilíneo. Desde O hasta A. Esto va a ser mi unidad.
O sea, a este punto que está acá ubicado, por estar asociado a mi unidad, a mi unidad, escuchen, a este punto le voy a asociar un número real. Y ese número real lo puedo indicar así, uno ahí abajo si querés. O acá arriba, uno.
Es lo mismo. De esta manera uno puede decir, por ejemplo, si tengo otro punto ubicado acá. De forma tal, escuchen, de forma tal, que la distancia de O a B es el doble que la distancia de O a A.
Entonces, a este B le voy a asociar un número que va a ser 2. O sea, este número es cuántas veces entra la unidad en el segmento rectilíneo dirigido que me corresponda, que me interese. ¿Qué quiere decir esto? Bueno, si ubicas otro acá, C por ejemplo, ¿qué número real le va a corresponder a C?
Y 3. ¿Por qué 3? Y porque 3 veces... veces entra mi unidad en el segmento rectilíneo dirigido asociado a C o C en este caso. Parece complicado lo que estoy diciendo, pero esa es la manera en la que se definen las cosas de cero y siendo bien riguroso.
Entonces uno le asocia, encuentra una correspondencia entre cada punto y un número real. Y así con todos los puntos que puedan estar acá. dentro todo lo que están entre estos puntos y más allá y más allá si quieren podemos dibujar otro acá puede ser este vamos con los enteros el punto de que va a ser menos 1 y también puedo poner un punto es si quieren acá que es 15 si quieren si este punto Le asocio el real 1,5. ¿Por qué le asocio el real 1,5 a este punto?
Y porque el segmento dirigido OE. Tiene 1,5 veces la longitud del segmento unidad. Que es OA. En nuestra definición. Por eso.
¿Ven que entra 1,5 veces? Al menos eso intenté mostrar. Bien. Voy a borrar este E.
Para que no moleste ahí. Porque voy a escribir otras cosas. ¿Hasta acá me siguieron? Esa asociación entre punto y real. Bien.
¿Cómo defino la longitud del segmento rectilíneo dirigido OA? Bueno, se puede indicar así o la podemos indicar así también. Yo no quiero confundir con la anotación.
Pero podemos indicar la longitud del segmento rectilíneo dirigido OA de esta manera, con las rayitas. Hay otros autores que usan otra anotación. hay otros autores que las mezclan nosotros vamos a usar la longitud OA como la longitud de acá hasta acá y a esa longitud le vamos a asociar un signo Que va a ser positivo si voy en esta dirección, en este sentido mejor dicho, y va a ser negativo si voy en sentido contrario. O sea, el segmento rectilíneo dirigido OA es positivo porque va para la derecha. El segmento rectilíneo dirigido AB va a ser negativo porque va a ir para allá.
¿Y por qué es negativo? ¿Por qué es positivo? ¿Porque lo decís vos?
No. Porque se define la longitud del segmento rectilíneo dirigido, o A. Como la coordenada asociada al elemento final menos la coordenada asociada al elemento inicial.
Al punto inicial, perdón. ¿Dije elemento? Quiere decir punto. La coordenada asociada a A, que es 1, menos la coordenada asociada a O, que es 0. Y de esta manera calculo la característica principal del segmento rectilíneo dirigido, que es una longitud con un signo correspondiente. Se van a dar cuenta que en este caso me da positivo, porque va en aquel sentido.
Calculemos ahora la longitud del segmento rectilíneo dirigido OC. ¿Cuál es? Y es el real asociado al punto C menos el real asociado al punto O. Ahí tiene, 3. ¿Sí?
¿Entienden esto? Y ahora se van a dar cuenta que si quiero calcular, por ejemplo, la longitud del segmento rectilíneo dirigido OD, El real del punto final es menos 1. Menos. El real del punto inicial. ¿Cuánto es?
Cero. ¿Cuánto da esto? Menos 1. ¿Ven que es negativo? Porque OD, OD va para allá. De esta manera uno asocia un número real a cada segmento rectilíneo.
No a cada punto, a cada segmento rectilíneo dirigido. Que puede ser positivo o negativo. Yo acá estoy jugando con enteros, pero puedo jugar con los reales tranquilamente.
¿Se entiende? Uno puede definir otra cosa. Que es la magnitud o módulo del segmento rectilíneo dirigido.
¿Qué es esto? Es el módulo. ¿Es el numerito que obtuvimos recién? Pero positivo siempre.
El valor absoluto. O mejor dicho, la distancia. El módulo o magnitud.
Estoy transpirando porque me estoy emocionando. Pero no importa. No importa. Vamos.
La magnitud o módulo del segmento rectilíneo dirigido OA. la distancia del punto o al punto a que se puede escribir así como el módulo valor absoluto de la cuenta que hicimos hoy el real asociado a que es uno menos el real asociado a o que cero o sea esto vale valor absoluto 1 para que no sepa el valor absoluto se come menos si lo tuviera calculemos acá El valor absoluto del segmento rectilíneo dirigido OC. Y es esto.
Es 3. Y acá es esto. Y es valor absoluto de menos 1 que es 1. Uno lo puede pensar como la distancia. La distancia entre los puntos en juego.
¿Sí? ¿Seguimos? ¿No? Sigamos. Y ahora?
Ya estamos en condiciones de definir que es un plano? O no? Agarra una tiza por acá.
Gracias Furi. Ella es mi asistente. Sacá la cola.
Bueno, emmm... Con todo lo que hicimos hasta el momento... lo que pudimos definir y tratar es el concepto de segmento rectilíneo dirigido. Habiendo definido eso, nosotros acabamos, aunque no te des cuenta, de definir un sistema de coordenadas unidimensionales.
donde yo puedo encontrar una relación totalmente bíblica ahora explico qué significa eso entre cada punto de esta línea recta cualquiera el que vos quieras cualquiera de todos estos puntos y un número real esto está bueno explicarlo así porque muchas veces se dice tengo una recta numérica y se parte de ahí bueno que hay cada uno lo hace como lo hace pero a priori o sea originalmente por así decirlo, el concepto de punto en la recta no tiene nada que ver con el concepto de número real. A priori, son cosas que van por separado. Uno las une cuando define estas cosas. Cuando asocia a cada punto un número real siguiendo esa explicación que vimos recién.
Entonces, después de haber dicho esta explicación, uno puede dibujar la recta real. Que es una recta con... puntos donde cada punto se le asocia un número real por comodidad y por prolijidad pongo solamente números enteros pero descartado que por acá va a estar pi que se yo todos los números reales bien y porque se llama sistema de coordenadas entonces y porque cada punto tiene una coordenada asociada Es como si te dijera, vos dame la coordenada y yo te digo dónde está el punto. Esa es la magia.
Esa es la magia del sistema de coordenadas. Vos dame la información, en este caso una sola coordenada, que es ese numerito real, y yo te digo dónde está el punto. Te digo, la coordenada del punto que me interesa es 1,5. Ya está.
Me diste la coordenada. Te puedo decir dónde está el punto. 1,5 está acá.
¿Ven? De esta manera estamos, escuchen porque esto es maravilloso, estamos uniendo el mundo de la geometría con el mundo del análisis. Estamos conectando los números con los puntos. Bueno, una vez que uno entiende esta correspondencia biunívoca entre reales y puntos, porque a cada punto le corresponde un único real. Y a cada real le corresponde un único punto.
Eso de único ocurre en los dos sentidos. Por eso es bi-único. Bueno, cuando uno entiende esto y uno dice, ok, ¿ahora qué hacemos?
Uno puede armarse un plano, tratar de copiar esta idea, pero con otro eje. Entonces se hace esto. Se dibuja dos sistemas de...
coordenadas unidimensionales en forma perpendicular. Entonces uno construye esto. Se le pone la flechita en el sentido positivo generalmente para indicar que el sentido positivo es para allá, de los segmentos rectilíneos con los que trabajemos. Y se dibuja esto. Y ahí aparece el plano, famoso plano real.
Donde a cada punto, ahora, del plano, por ejemplo este, le corresponde una dupla, un par de números reales. A este punto le corresponde este número real y este número real. En este caso 2, 2, pero podría haber sido este que está acá, 3, 1. Acá aparece el concepto de par ordenado de números reales. Y esa correspondencia, esa biunivocacidad, o sea que es biunívoco, no sé si lo estoy diciendo bien, algo que es biunívoco, ¿cómo sería la palabra? univocacidad que teníamos antes entre números reales y puntos ahora la tenemos entre puntos y pares ordenados de números reales y es par ordenado porque primero se pone el asociado al horizontal 3 y después se pone la sociedad vertical o sea 1 Y se le pone nombres, hay mosquitos, se le pone nombre, a este se le llama X y a este se le llama Y.
Estos ejes son reales, acá no hay complejos, ojo, estos números tienen que ser reales. Y una vez que uno entiende esto, una vez que uno entiende que cada punto... está asociado a un par ordenado de números reales. Uno dice, no mires nada, dame un par ordenado, el que quieras.
El que quieras, de números reales. Te doy el par ordenado pi 5. El par ordenado pi 5 va a estar asociado a un único punto del plano. ¿Ven?
Como que te puedo pedir el pardo de nada y te puedo decir el punto. Y al revés. Esa idea es maravillosa porque ya estoy conectando mundos. El mundo de los números con el mundo de los puntos.
Yo estas cosas me di cuenta no hace mucho. Me da un poco de pudor reconocerlo, pero bueno. En fin, pero no puedo hacer más. ¿Qué más podemos hacer? Si...
Está, no. Podemos definir el sistema coordenado rectangular. Y ya casi lo tenemos definido del todo.
El sistema coordenado... rectangular es lo que veníamos viendo recién a ese par ordenado vieron que a este par ordenado por ejemplo lo ponemos 32 bueno a este par ordenado se les llama se lo bautiza con el nombre de coordenadas del punto así como hoy teníamos la coordenada de cada punto del ejer Y es rectangular porque las figuras que aparecen son rectángulos. La manera de acceder al punto es a través de la construcción de un rectángulo.
De ahí viene un poco el nombre de rectangular. Y es fácil. Y uno lo entiende. Ahora, ¿hay otra manera? ¿Hay otra forma de acceder?
A ese punto que me interesa, uno puede decir, este es el plano. Este es el plano, es el mundo bidimensional. Ahora, ¿por qué bidimensional?
Porque tiene dos dimensiones. Bueno, pero el punto este, por ejemplo, ¿cómo hago para localizarlo? Y tenés que construir el sistema de coordenadas que vimos recién. Sí, pero ¿es el único?
No. Este punto A yo lo puedo localizar en el plano a partir de un sistema de coordenadas polares. Que es otro sistema de coordenadas.
¿Cómo funciona? Y bueno, se necesitan definir cosas. ¿Vieron que acá definimos el eje X?
El horizontal se llama eje. Y el vertical es el eje vertical. Bueno, definimos ejes, definimos el origen.
¿Vieron? Acá se hace lo mismo. Se define el concepto de eje polar y en vez de origen vamos a tener un polo.
Entonces se pone en nuestro sistema un punto que se va a llamar polo, que se puede indicar con O también. Se dibuja sobre el polo un eje polar. que comúnmente se dibuja horizontal, pero puede ser en cualquier dirección, no tiene por qué ser horizontal.
Se localiza sobre el eje polar otro punto, que lo voy a llamar, este que me interesa lo voy a llamar P, y este lo voy a llamar A, no importa. porque la primera letra primera letra del abecedario por ahí tiene más un poco más sentido que sea protagonista más protagonista que pp nada tengo el punto p que es el que me interesa localizar tengo un eje polar que es el que construyó entre dos puntos el polo y el a este a va a ser las veces de unidad que vimos hoy se acuerdan el o oa va a ser mi unidad a partir de ahora unidad de longitud a partir de esa unidad de longitud no puede medir cuál es la distancia o p yo digo ok no importa dónde esté el punto pero yo siempre puedo hacer el trazado con compás y dibujar eso ahora puedo medir este p'por ejemplo puedo decir cuántas veces entra o p'en oa y entra 0,6 veces a entonces o p mide 0,6 Ese 0,6 es un número que se llama rho, se indica con rho, que es la primera coordenada que necesito para localizar al punto. Dicho en palabras vulgares, si uno quiere localizar a este punto, tiene que calcular la distancia al origen, y eso va a ser la primera coordenada. Y después tiene que calcular qué, ¿qué otra cosa? ¿Qué otra cosa necesito para localizar al punto?
¿Esto alcanza? No, no alcanza. Porque si vos te dibujás... Este punto B está a la misma distancia del origen. Entonces no alcanza con esa distancia.
Necesito algo más. ¿Qué es ese más? El ángulo este.
Que se puede indicar con teta. Y que, por convención, no se usa cualquiera. Se usa solo aquel que esté entre menos pi y pi.
Incluyendo al pi. Es el ángulo principal. Es similar a lo que pasa con los complejos, pero bueno, es así igual. Y es teta, o teta mejor dicho.
En Argentina no decimos teta porque teta es otra cosa. Este teta es la segunda coordenada. Y logramos un sistema de dos coordenadas también. ¿Qué significa? Y que el punto P va a tener un ro asociado, o primera coordenada, y va a tener un teta asociado, o segunda coordenada.
¿Qué significa esto? Y significa que... definiste dónde está tu polo, definiste un eje polar, definiste tu unidad de medida para medir el módulo y yo te digo, nada, dame el rotita y yo te digo dónde está el punto.
Por ejemplo... El punto 1pi sobre 2 es el punto que está a una unidad de longitud del polo. O sea que si mi unidad de medida es esta, yo me muevo ¿cuánto?
¿Cuánto marco? Y una unidad de medida. Esa es mi unidad de medida. Porque así lo defino.
Bueno, está a una unidad del polo. Entonces tiene que estar en algún lugar de esta circunferencia. donde está en cualquiera de estas no en al que hay que formar este ángulo entonces se va a hacer este punto porque este ángulo es pi sobre 2 entonces localice el punto este llamémoslo p entonces es Este es P.
Que se escribe así, P entre paréntesis 1, P sobre 2. También, pero ¿por qué te la compilás? ¿Por qué no decís longitud directamente? No.
Porque para medir una longitud uno necesita una unidad. Uno tiene que decir, ¿cuál es la unidad? Ah, bueno, mi unidad va a ser la magnitud del segmento dirigido o a esta.
Ahí, a partir de ahí trabajo. Entonces, todo lo que está sobre esta circunferencia va a tener distancia a la origen igual a 1. ¿1 qué? ¿Perros, gatos?
No, una unidad de medida en mi sistema, porque así lo defino. Es muy importante eso, definir esas cosas. De esta manera, uno logra una correspondencia perfecta y bionívoca entre cada par de coordenadas y cada punto del plano. La primera coordenada puede ser un real positivo.
Recuerden esto, o sea, no negativo, puede ser cero, pero no negativo, estrictamente hablando. Y la segunda coordenada tiene que estar entre menos pi y pi, incluyendo al pi oportunamente. Es un sistema un poco más complicado, algunos le esquivan, pero esta es la manera de plantear una definición de qué es ese sistema de coordenadas.
si bien y ahora que podemos seguir diciendo algo más si vamos a introducir el concepto de ecuación el concepto de gráfica de una ecuación voy a hacer muy rápido pero muy rápido y se van a dar cuenta que tiene todo el sentido del mundo y con esto van a poder no solamente graficar ecuaciones sino entender entender que son y que es la gráfica de una ecuación no alcanza con graficar ideas de esto no para para A ver, voy a dibujar. Uno puede plantear un sistema de coordenadas rectangular. Dicho sea de paso, en general cuando uno se introduce en el mundo de la gráfica de ecuaciones, uno utiliza el sistema de coordenadas rectangular.
Pero uno también puede plantear ecuaciones con un sistema de coordenadas polares. O con un sistema de coordenadas oblicuas. O con un sistema de coordenadas distinto. Pero para empezar, uno dice, bueno poneme uno fácil.
Y bueno, te pongo este. Acá yo podría tranquilamente localizar a un punto cualquiera y decir, el punto es este, el punto es este. es este. Dame las coordenadas y te doy el punto.
Podemos jugar un montón con eso. Ahora, ¿qué pasa si yo te digo, no me interesan puntos sueltos? Quiero todos los puntos, escuchen, todos los puntos del plano que pasan por acá en forma vertical.
O sea, todos estos puntos. Quiero Que pasan por el 2, ahí lo atraviesan. No usé regla. ¿Cómo hago para indicar analíticamente a todos los puntos que pasan por acá?
Y sería fácil, sería decir... Y bueno, mirá. Yo te puedo decir que todos los puntos estos son pares ordenados. Que la primera componente es 2. Porque todos están acá.
Y la segunda componente, bueno, no sé. Depende el que elijas. Este tiene este i, este tiene este i. tiene este y este tiene este entonces le pongo así en forma general bueno eso sería una manera pero si uno quiere hacerlo en forma más elegante lo que uno tiene que escribir escuchen porque esto es clave es la condición que tienen que cumplir los puntos para que pertenezcan a este gráfico Te pregunto, ¿cuál es la condición que tienen que cumplir los puntos para que estén sobre esta recta vertical? ¿Qué qué?
¿Que las coordenadas les pase qué? Y la condición es que qué? ¿Que la coordenada qué? ¿La coordenada x cuánto tiene que valer? Dos, ¿verdad?
¿Y la coordenada y? Y la que quieras, depende del punto. Entonces no hay condición sobre y.
Si hay condición sobre equidad. Entonces, en conclusión, la condición que tengo que indicar para poder referirme a todos estos puntos es esta. Entonces saben que esta es la ecuación que representa analíticamente a este conjunto de puntos.
Y viceversa. Este conjunto de puntos es la representación gráfica de esta ecuación. Eh, Damián, pero esto no es una ecuación. ¿Dónde está la incógnita acá?
No, acá no se trata de buscar incógnitas. No, acá se trata de poner una condición. Esa es la idea de ecuación.
Acá participó X, pero puede participar X y Y en este caso. Las dos coordenadas. Por ejemplo, ¿qué pasa si invento? Guarda que cuando nos ponemos a inventar pueden salir problemas. Pero ¿qué pasa si la condición que impongo es y igual x?
¿Qué le estoy pidiendo a los puntos para que pertenezcan a la gráfica que me interesa encontrar? Y. que la coordenada y coincida con la coordenada x. Te pregunto, ¿cuáles son los puntos del plano que cumplen esto?
¿Este punto pertenece? Y este tiene coordenada x2 y coordenada y igual a 0. No. Porque 2 no es igual a 0. Y bueno, y así te das cuenta que este, por ejemplo, sí tiene coordenada x igual a coordenada y. Este sí tiene coordenada y así siguiendo.
Y vos te das cuenta que todos estos puntos, o sea, todos los que están sobre una recta de estas características. todos ellos, son los que cumplen esta condición. Por lo tanto, este conjunto de puntos es la representación gráfica de esta ecuación. ¿Y qué pasa si nos ponemos más exigentes?
¿Qué pasa si pedimos otra condición, distinta? Ah, bueno, ahí va a depender. Allá la cosa se complica. ¿Qué pasa si pido no sé, qué sé yo? Inventen, a ver, imagínense que están acá conmigo.
Ustedes están acá conmigo. ¿Qué condición puedo ponerle a todos los puntos del plano? Usando x y y, porque son las coordenadas que necesito para ubicar al punto. No sé, poner y elevado al cuadrado más x igual a 3. ¿Cómo hago? ¿Cómo hago?
Ah, ah, ah. No es tan fácil. No es tan fácil. ¿Cómo hago para ubicar los puntos?
Proba, probá, no sé. Metele el 1, 1. El 1, 1 sería meter 1 acá y 1 acá. Entonces queda 1 más 1 al cuadrado, que es 1. O sea, 1 más 1 me da 2. Pero 2 no es igual a 3. Ah, entonces el 1, 1 no pertenece.
Ah, bueno, ese no, no pertenece. Sigamos. No, no se puede.
Se necesita investigar. Se necesita hacer un análisis exhaustivo de los distintos formatos de ecuaciones. Por ejemplo, ¿qué pasa con todas las ecuaciones que tienen formatos?
por ejemplo x igual a una constante a por y cuadrado como son todas las gráficas si de las ecuaciones que cumplen este formato pero si hay algo que es cierto es que no importa qué tan compleja sea la ecuación no importa si pongo y cuadrado más x cuadrado menos x por y igual a 8 no importa No importa qué tan compleja sea la ecuación, siempre estoy habilitado a probar, a buscar un punto cualquiera con coordenadas que yo quiera y comprobar si cumple o no cumple la ecuación. Porque si cumple la ecuación, ese punto pertenece a la gráfica de la ecuación. Y si no cumple, no. Eso es un teorema también, que se puede demostrar, y que dice básicamente eso.
Si cumple la ecuación, entonces pertenece a la gráfica, y si no cumple, no pertenece. Les pongo otro ejemplo, para pensar. Porque van a ver que a veces se complica, pero a veces no tanto, porque hay que pensar.
¿Qué pasa si te presento esta? Y cuadrado igual a X cuadrado. Eh, Damián, es igual que la de hoy, porque el X es igual a Y.
No. Sí, Damián, el de X es igual a Y, porque si aplico la raíz cuadrada a ambos miembros me queda Y igual a X, profe, es lo mismo. No, esto no se puede hacer, y ahora te voy a justificar por qué.
Esto no se puede, no se puede cancelar acá y quedarte con... no podés. No podés, no podés. Y ahora te voy a explicar por qué.
Ahora te voy a explicar por qué. Y igual x cuadrado, no lo puedo atacar por ahí. No. Y ahora te voy a explicar por qué. Si lo atacara por ahí me quedo con y igual x.
Y la gráfica sería esta recta. ¿Sí o no? Bueno, no.
Falta, faltan cosas. ¿Qué pasa si resto x cuadrado ambos miembros? Acá. ¿Puedo?
Sí. Acá tengo una diferencia de cuadrados. Yo no sé si ustedes saben que esto lo puedo escribir como y más x por y menos x. Y es lo mismo.
El que no cree distribuye. Hace la distributiva y sale perfectamente. No me puedo poner a explicar eso. Si no, no avanzamos más.
Este por este me queda y al cuadrado. Este por este menos xy. Este por este más xy. Ahí se mueren. Y este por este me queda menos x al cuadrado.
Ahí lo tienen. Entonces, cuando yo planteo esta igualdad, uno puede decir, hey, para que pase eso, o bien y más x es igual a 0. O, o, acuérdense que este O en matemática, en general el O en matemática es no exclusivo. O sea, puede pasar esto, puede pasar esto, o pueden pasar los dos.
Bueno, o bien el otro factor, y menos x es igual a cero. O esto, o esto, o los dos. ¿Sí?
¿Y esto qué es? ¿Y esto qué es? Vamos acá, ¿qué es esto? Decir esto es decir esto. Ah, esta condición la conozco.
Esta condición son todos los puntos del... plano que tiene el x igual al y o sea es este conjunto de puntos y está y estás igual a menos x qué es esta y esta otra parte es todos los puntos que tienen las coordenadas cambiadas de signo como puedo dar cuenta de esto y fíjate el 1 en x menos 1 en y pertenece Si te podés analizar un poquito y probar un poquito, te vas a dar cuenta que el conjunto de puntos es este. Es una cruz, si querés.
Insisto, no lo digo yo. No lo digo yo. Piénsenlo, razonenlo. Acá estoy diciendo que la coordenada Y es igual a...
Para la coordenada X cambiar de signo. ¿Cuáles son todos los puntos que les pasa a eso? Y fíjate. Todos estos.
¿Ven que todos estos tienen la coordenada Y igual a la coordenada X? cambiada de signo le cambio el signo a la coordenada x y obtengo la coordenada y esto es lo que pasa acá le cambio de signo a la coordenada x y obtengo la coordenada y eso pasa con todos estos puntos entonces se encuentra que la gráfica de esta ecuación esta que está acá es ésta Ey, pero eso no es función, profe. No, no, no estamos con funciones, no se me confundan.
Acá no estamos trabajando con funciones. Acá estamos trabajando con ecuaciones. Y su representación gráfica.
Bueno, hasta acá este video. Yo quisiera seguir, pero creo que se pone medio pesado todo. Uno podría definir la distancia entre puntos. Eso lo voy a hacer en un video aparte.
Uno puede definir, y bueno, si depende del formato de la ecuación, podemos analizar distintas ecuaciones. Y decir, bueno, todas aquellas que tengan este formato van a ser esta gráfica. Van a ser una parábola.
Para arriba o para abajo, pero va a ser una parábola. O todas aquellas que... sigan, por ejemplo ya con esto me despido, pasa que me pongo a hablar todas aquellas que tengan el formato ax cuadrado siendo a una constante general más b y cuadrado siendo b otra constante más c por x más b por y más e por x y más f igual a cero todas aquellas ecuaciones que cumplan este formato van a ser especiales las vamos a llamar cónicas ¿por qué cónicas? y porque vienen de un cono yo acá tengo un cono pasa que preparé esto para los videos que vienen yo acá armé un cono para mostrarles cómo surgen las cónicas y cómo es posible encontrar ese concepto de cónica haciendo intersecciones de conos con planos de un cono con planos y aparece esto pero ¿por qué les mostramos? esto porque esto es una ecuación donde participa x y constantes es una condición es una condición que le pongo los puntos para que pertenezcan a que a una curva muy especial llamada cónica eso lo vamos a ver Si sale, fury, si sale todo bien, en los videos que siguen.
Como se estarán dando cuenta, en generar las condiciones cuando participan x y y, las puedo escribir de esta manera. Como una expresión que depende de x y de y igual a cero. Esto no es estrictamente una función.
Acá estoy hablando de una expresión que contiene a x y a y. Fíjense, cualquiera se puso a jugar con el cono. Con una parte del cono. Porque el cono completo sería...
O sea, en matemática, el cono no es solamente la parte de arriba, como el cono de papas fritas. Sino todo. Las dos partes. Esto tampoco es un cono. Esto es una representación terrenal.
De un concepto ideal que es un cono. Qué pesado que soy, yo no sé por qué miran este vídeo, la verdad no entiendo. ¿Vieron la ecuación que puse hoy?
x igual a y. Bueno, mirá, x tiene este formato. Una expresión con x y con y igual a cero. A todas las ecuaciones que vamos a trabajar, a todas ellas. las puedes expresar así como algo que tiene que ser igual a cero por esto lo digo porque en muchos libros de texto se dice toda la ecuación con este formato y a veces no se entiende por qué algunos alumnos se confunden y dicen pero porque está diciendo acá que es una función no no no está diciendo esta idea Bueno, hasta acá este video.
Espero que de algo les haya servido. No se olviden, como siempre, que las cosas vistas como difíciles pasan a ser vistas como fáciles cuando uno las entiende de verdad. Y uno entiende de verdad algo cuando puede preguntarse, responderse.
varios y sucesivos porque es nos vemos la próxima para la próxima muchas horas bien cerramos este vídeo antes que nada quiero agradecer a todos los patios Toda esa gente, esas 46 personas que están donando y haciendo un apoyo para que sigamos adelante. Estoy súper agradecido con eso. Gracias a ellos y gracias a ustedes también que suelen compartir.
Si comparten esto, esto puede crecer y se los recuerdo. recontra agradezco cuando me compré los anteojos dije van a decir que el presión le no van a decir que parezco harry potter no sabía que son le no enseñase matemática también en fin sólo resolvería para no confundirme así x cuadrado igual 9 x cuadrado perfecto sí bueno excelente si esa es la manera esa es la manera más clara pero no se confunda querer evitar un procedimiento por no entenderlo no sé si es tan saludable a lo mejor sea bueno pero y por qué no lo entiendo porque me prohíbo aplicar la raíz cuadrada y evitó eso sí a veces el evitar cosas que no entendemos no sé si cuando estamos aprendiendo es bueno claudio salinas dice mi psicólogo también le no existe es producto de tu imaginación también le no Sheldon, los ingenieros no saben matemáticas. Damien, mirá y aprendés. Estoy muy de acuerdo con tu manera de analizar, razonar y pensar. Buenísimo.
Eso es importante. A mí no me interesa tanto que entiendan, sino que piensen. Si ustedes piensan, misión cumplida. El objetivo de los videos no es que aprendan matemáticas. Ay, pero qué estás diciendo.
No, el objetivo de los videos es que ustedes piensen. Que ustedes desarrollen la capacidad de pensar. Conmigo. Yo también estoy aprendiendo a pensar.
Si eso se cumple, misión cumplida. Si no aprenden nada pero pensaron, misión cumplida. Ahora, si aprendieron un mecanismo y no pensaron, misión fallida.
Sánchez Gutiérrez Alexis Diztuque comentarios largos tus vídeos siempre se me han hecho uno de los mejores que pueden haber en internet tomarte la molestia de enseñar de esta manera hace que visualicemos tu pasión por la enseñanza por la buena enseñanza algo que la verdad hace mucha falta en muchos profesores de la escuela aparte tienes esa capacidad pasar tu pasión y hace que los alumnos nos impulsemos más estudiar se quebraba la verdad eres muy bueno gracias por todo saludos desde méxico bueno muchísimas gracias muchísimas gracias nada lo que les dije recién creo que es un poco una revelación para muchos yo acá no vengo a enseñar matemática acá vengo a ayudarlos a pensar y eso vale oro eso vale oro creo que eso eso me gusta hacer no sé por qué me da algo de miedo cuando el tipo queda mirándome porque miedo no porque vas a tener miedo muchos y con esto cierro algunos piensan que por mi manera de hablar estoy fomentando el miedo estoy fomentando la agresión o la violencia y cosas así no se confundan los que siguen este canal saben muy bien los códigos que tenemos yo acá no estoy para faltar del respeto diciéndote fórmulas de memoria para que vos memoriza eso sería falta de respeto yo quiero que pienses quiero Quiero que te muevas. Quiero que uses la cabeza. Quiero que seas mejor. Y lo digo en serio. Me agarra calor cuando lo digo.
Porque me agarra... Lo digo en serio. Quiero eso. Entonces, como lo digo en serio, me pongo serio. Pero eso no significa que las cosas estén mal, ni mucho menos.
Bueno, eso es todo, gente. Gracias por... Gracias por todo. Pasando a las noticias de la semana, tenemos un servidor en Discord.
Sí, un servidor en Discord, para que aquellos estudiantes que siguen esto y quieren estar juntos, pueden hacerlo. Esto lo dije. Ah, otra cosa, me olvidé de decirles. Si quieren graficar cosas, si quieren graficar ecuaciones...
Hay dos software libres y súper fáciles de entender y de utilizar que les recomiendo. Uno es Desmos y otro es GeoGebra. Busquen GeoGebra para graficar ecuaciones y Desmos para graficar ecuaciones. Los dos son libres, gratuitos. y están muy buenos permiten permiten ver las ecuaciones fácilmente ustedes se pueden animar a graficar ecuaciones sin importar qué complejas sean y ver qué sale si empiezan a pensar chao