Catatan Kuliah Matematika 2 - Barisan dan Deret

Pertemuan Terakhir Semester

• Materi terakhir di semester ini
• Fokus pada bab 6: Barisan dan Deret

Barisan Tak Hingga

• Dinotasikan dengan a_n, dengan indeks n dari 1 sampai tak hingga
• Contoh: Jika a_n = n / (3n - 1)
  • Suku pertama (n=1): a_1 = 1/2
  • Suku kedua (n=2): a_2 = 2/5

Konvergensi Barisan

• Untuk memeriksa konvergensi, hitung limit:
  • Limit (n -> tak hingga) a_n
  • Jika hasil limit = L (nilai tertentu), barisan konvergen
  • Jika hasil limit = ± tak hingga, barisan divergen

Sifat Limit

• Limit dari nilai konstan = nilai itu sendiri
• Limit (n -> tak hingga) dari (c*a_n) = c * L
• Jika a_n + b_n, selesaikan dulu baru hitung limit
• Hati-hati pada pembagian, penyebut tidak boleh nol

Uji Konvergensi Barisan

• Contoh: a_n = n/(n+1)
  • Limit (n -> tak hingga) = 1
  • Barisan konvergen ke 1

Barisan Monoton

• Jenis barisan:
  1. Monoton Naik: a_n+1 ≥ a_n
  2. Monoton Turun: a_n+1 ≤ a_n
  3. Tidak Naik: a_n+1 > a_n (tanda sama dengan)
  4. Tidak Turun: a_n+1 < a_n (tanda sama dengan)

Uji Kemonotonan

• Uji Selisih: a_n+1 - a_n > 0 (monoton naik)
• Uji Perbandingan: a_n/a_n+1

Deret Tak Hingga

Deret Geometri

• Rumus: S_n = a + ar + ar^2 + ...
• Konvergen jika |r| < 1, divergen jika |r| ≥ 1
• Rumus jumlah deret: S = a / (1 - r) untuk konvergen

Deret Harmonik

• Bentuk: Σ 1/k (divergen)

Uji Konvergensi Deret

Uji Integral

• Jika integral konvergen, deret konvergen

Deret p

• Σ 1/k^p
  • Konvergen jika p > 1
  • Divergen jika 0 < p ≤ 1

Uji Perbandingan dan Uji Rasio

• Uji Perbandingan: Bandingkan dua deret, ketahui konvergensi salah satu
• Uji Rasio: Limit a_n+1 / a_n

Deret Berganti Tanda

• Memeriksa konvergensi dengan dua syarat:
  1. Suku semakin kecil
  2. Limit a_n = 0

Deret Taylor dan Maclaurin

• Taylor di sekitar x = a, Maclaurin di sekitar x = 0
• Ekspansi berdasarkan turunan fungsi
• Contoh: F(x) = e^x

Perubahan Notasi Sigma

• Misalkan n = k + 1 untuk mengubah indeks
• Sering digunakan untuk menyederhanakan penjumlahan deret

Kesimpulan

• Banyak teknik untuk memeriksa konvergensi barisan dan deret
• Penting untuk memahami dan berlatih dengan contoh-contoh
• Siapkan diri untuk ujian akhir semester.