Overview
In dieser Vorlesung wurden Summen- und Produktzeichen eingeführt, deren Schreibweise erklärt und Beispiele zur Anwendung gegeben, einschließlich Doppelsummen und der Umwandlung von Zahlenfolgen in Summendarstellung.
Einführung in Summen- und Produktzeichen
- Summen- und Produktzeichen dienen der kompakten Darstellung langer Additionen bzw. Multiplikationen.
- Die Pünktchenschreibweise ("...") ist unpräzise, Summen- und Produktzeichen schaffen Klarheit.
Summenzeichen (Σ)
- Das Summenzeichen Σ steht für die Summe (Addition) mehrerer Terme.
- Unter dem Σ steht der Laufindex (z.B. i) mit Startwert, oben der Endwert.
- Beispiel: Σ_{i=1}^{99} (2i + 1) bedeutet, 2i + 1 für i = 1 bis i = 99 auszuwerten und zu addieren.
- Allgemein: Σ_{i=s}^{n} a(i) = a(s) + a(s+1) + ... + a(n).
Beispiel zu Summen
- Beispiel: Σ_{i=3}^{5} (i² + i - 1).
- Für i=3: 3²+3-1=11
- Für i=4: 4²+4-1=19
- Für i=5: 5²+5-1=29
- Gesamtsumme: 11 + 19 + 29 = 59
Produktzeichen (Π)
- Das Produktzeichen Π steht für die Multiplikation mehrerer Terme.
- Beispiel: Π_{i=0}^{3} (2^i) = 2^0 * 2^1 * 2^2 * 2^3.
- Statt Pluszeichen wie bei Summen steht hier jeweils ein Mal-Zeichen.
Laufindex und Bezeichner
- Der Laufindex (z.B. i, k, t) kann beliebig gewählt werden.
- i ist jedoch üblich für Summenausdrücke.
Doppelsummen
- Doppelsummen bestehen aus zwei Summenzeichen, meist mit unterschiedlichen Indizes.
- Zum Auswerten zuerst die innere, dann die äußere Summe berechnen.
- Beispiel: Σ_{k=1}^{2} Σ_{i=9}^{11} (k^i) = (1^9+1^10+1^11) + (2^9+2^10+2^11)
Mustererkennung bei Summen
- Zahlenfolgen lassen sich als Summen mit festem Faktor darstellen, z.B. 7 + 14 + ... + 63 = Σ_{i=1}^{9} (7i).
Key Terms & Definitions
- Summenzeichen (Σ) — Symbol zur Darstellung von Additionen mit Laufindex.
- Produktzeichen (Π) — Symbol zur Darstellung von Multiplikationen über mehrere Faktoren.
- Laufindex — Variable, die festlegt, wie oft ein Ausdruck ausgewertet wird (z.B. i in Σ_{i=1}^{n}).
- Doppelsumme — Verschachtelte Summe mit zwei Indizes.
Action Items / Next Steps
- Versuchen Sie, weitere Zahlenfolgen als Summen- oder Produktzeichen darzustellen.
- Übungsaufgabe: Analysieren Sie Muster in Zahlenreihen und formulieren Sie die zugehörige Summenschreibweise.