Lezioni sulle Equazioni Polinomiali di Grado Superiore al Secondo

Introduzione

• Obiettivo: Risolvere le principali tipologie di equazioni polinomiali di grado superiore al secondo.
• È essenziale comprendere prima le equazioni di primo e secondo grado.
• I video precedenti sono disponibili nella playlist linkata in descrizione.

Strategia Generale

• Non esiste un'unica strategia per tutte le equazioni di grado superiore al secondo; si devono adottare strategie diverse a seconda del tipo di equazione.

Equazioni Monomio

• Definizione: Forma generale di equazione monomio:
  a * x^n = 0 (a ≠ 0, n intero positivo)
• Soluzione: L'unica soluzione è x = 0.
• Esempi:
  • x^3 = 0 → unica soluzione x = 0
  • x^8 = 0 → unica soluzione x = 0
  • x^2000 = 0 → unica soluzione x = 0
• Alcuni testi scrivono che ci sono tre soluzioni coincidenti, ma è un approccio più informale.*

Equazioni Binomio

• Forma: a * x^n + b = 0 (a, b numeri reali non nulli, n intero positivo)
• Esempio: Risolvere 8x^3 - 1 = 0:
  1. Isolare x^3 → 8x^3 = 1 → x^3 = 1/8 → x = (1/8)^(1/3) = 1/2.
• Altri Esempi:
  • 2x^4 - 32 = 0 → x^4 = 16 → soluzioni: x = ±2 (due soluzioni).
  • 8x^8 + 1 = 0 → x^8 = -1 → nessuna soluzione reale (potenza pari non può essere negativa).*

Strategia per Equazioni Binomio

• Se l'esponente è dispari: isolare x^n e calcolare la radice.
• Se l'esponente è pari:
  • Se il risultato è positivo: due soluzioni reali.
  • Se il risultato è negativo: nessuna soluzione reale.

Equazioni Trinomio

• Definizione: Forma generale: a * x^n + b * x^m + c = 0 (a, b, c numeri reali non nulli, n,m interi positivi).
• Cambio di variabile: Se n=2, poniamo x^2 = t, così trasformiamo in un'equazione di secondo grado.
• Esempi:
  • x^4 - 5x^2 + 4 = 0 → cambio di variabile, risolvendo otteniamo 4 soluzioni reali.
  • Altri esempi possono avere solo 2 soluzioni reali o nessuna.

Equazione Cubica

• In caso di equazione cubica (n=3), si usa un cambio simile.
  Esempio: x^3 + 3x + 2 = 0 → poniamo x^3 = t.

Conclusione

• Ultimo tema: equazioni di grado superiore che si risolvono tramite scomposizioni.
• Maggiori dettagli e esercizi nel prossimo video.
• Invito a mettere "mi piace", seguire sui social e visitare il canale per altri video.