Lekcja pod tytułem Pierwiastki. Pamiętasz, jak uczyliśmy się o potęgach? Pokazywałem Ci, jak to matematycy upraszczają sobie życie.
Na przykład taki zapis, to mnożenie wielokrotne piątek, zamieniają na ten zapis. My już wiemy, to jest potęgowanie. Czyli wymyślili sobie ten zapis, zapis zwany potęgowaniem, żeby krócej zapisywać o chociażby takie strasznie długie mnożenie.
Więc często jest tak, W matematyce, że pojawiają się jakieś nowe zapisy, które są po prostu krótsze od tych, które już znamy. Potęgowanie już mamy opanowane, a dzisiaj pojawi się pojęcie pierwiastka. O cóż tu chodzi?
Pomyśl sobie, na przykład jest takie pytanie. Jaką to liczbę podniesiono do drugiej potęgi, aby otrzymać liczbę 25? Takie długie zdanie, takie długie pytanie można zapisać o w ten sposób.
Zobacz, o, taki dziwny znaczek. Tu dwójka, a tu dwadzieścia pięć. I to czytamy jako pierwiastek drugiego stopnia, bo tu jest dwójka, z dwudziestu pięciu.
Całe to ogromne zdanie może się zawrzeć i zawiera się w matematyce o właśnie w tym krótkim zapisie. Inny przykład. Jaką to liczbę podniesiono do trzeciej potęgi, aby otrzymać liczbę dwadzieścia siedem?
I możemy całe to wielkie pytanie zapisać w ten sposób. Znaczek pierwiastka, trójeczka, bo to było pytanie o trzecią potęgę, i to się tak ładnie mówi pod pierwiastkiem, wpisujemy tą liczbę. I cały ten zapis, o, ten tutaj, odpowiada temu całemu pytaniu. Następne pytanie.
Kolejny przykład. Jaką to liczbę podniesiono do czwartej potęgi, aby otrzymać liczbę 16? Już się domyśla, że znów narysujemy symbol pierwiastka.
Tu wpiszemy czwórkę, no bo tym razem pytają nas o czwartą potęgę. I tu wpiszemy tą liczbę 16. Tak to właśnie jest. Często w matematyce, że pojawiają się nowe zapisy, które po prostu upraszczają, skracają nam, że tak powiem, życie. Nie tyle skracają życie, co upraszczają je.
Życie matematyczne oczywiście. Skoro już wiemy po co to jest, to teraz zapoznamy się z pewnymi nazwami. Oto mamy tenże symbol pierwiastka.
Tutaj literka A reprezentuje dowolną liczbę. I teraz ta dowolna liczba, która tu się nazywa, która tu się pojawia, nazywa się liczbą podpierwiastkową. To jest liczba podpierwiastkowa.
Natomiast ten taki wichajsterek... nazywa się symbolem pierwiastka. To jest symbol pierwiastka. O, to coś.
I w tym wypadku, jeżeli temu symbolowi pierwiastka towarzyszy dwójka, albo nie towarzyszy nic, to to jest symbol pierwiastka drugiego stopnia. To jest symbol pierwiastka drugiego stopnia. Inaczej można powiedzieć, i czasami się tak mówi, pierwiastka kwadratowego.
Bo... On jest związany z podnoszeniem do drugiej potęgi. Na przykład a do drugiej potęgi, a mówimy wtedy też czasami a do kwadratu.
Dlatego mówi się to, że to jest pierwiastek kwadratowy. I pierwiastek kwadratowy, czyli inaczej drugiego stopnia, to jest ten jeden jedyny pierwiastek, gdzie można opuścić, czyli nie wpisywać tutaj symbolu tej cyferki. Jeżeli nie ma tej cyferki przy pierwiastku, to znaczy, że chodzi o pierwiastek kwadratowy. Czyli tutaj domyślnie...
Stoi dwójka. Więc czy napiszesz w ten sposób, czy napiszesz w ten sposób, to jest to samo. Po prostu znowu to jest kolejne uproszczenie, ponieważ najczęściej używa się właśnie pierwiastków kwadratowych, więc znowu sobie uprościli ludzie życie i po prostu symbol dwójeczki jest opuszczany. Więc czy piszesz tak, czy piszesz tak, to to jest to samo.
Lub czy widzisz taki napis, czy widzisz taki napis, to to jest to samo. A już od pani w szkole lub pana będzie zależało, czy na początkowych lekcjach o pierwiastkach on wymaga wpisywania tego tzw. stopnia pierwiastka, czy też nie w wypadku pierwiastka kwadratowego. W wypadku wszystkich pozostałych pierwiastków, a więc pierwiastek trzeciego stopnia, pierwiastek czwartego stopnia, a może być pierwiastek dowolnego stopnia, np. dwunastego stopnia z jakiejś tam liczby a.
Wszystkich pozostałych w tych przypadkach już ten stopień pierwiastka, czyli tą liczbę, koniecznie musimy wpisywać. Tylko w wypadku pierwiastka kwadratowego możemy to sobie darować. Choć razem Na początku też wpisywać, żeby mieć jasność, o który to stopień pierwiastka chodzi. W wypadku pierwiastka kwadratowego jest jeszcze bardzo ważna, istotna rzecz, o której musisz pamiętać. Ta liczba podpierwiastkowa musi być zawsze większa bądź równa 0, czyli musi być nieujemna.
Nie uje, nie ujemna. A więc coś takiego, pierwiastek... Z minus 4 po prostu nie istnieje. Nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby, która ma minus.
Po prostu to nie istnieje. Czegoś takiego nie obliczamy. Tak to jest z pierwiastkami drugiego stopnia.
Teraz pierwiastki trzeciego stopnia. Wyższych stopni w gimnazjum nie będziemy przerabiać, dlatego ja już na tym skończę. Będą nas interesowały tutaj pierwiastki drugiego stopnia, a więc kwadratowe i trzeciego stopnia. No i znowu, nazwy.
Ta liczba, która jest wpisana pod pierwiastek, czyli tutaj w środek, to się mówi podpierwiastek, no bo ona jest pod tym symbolem pierwiastka, nazywa się liczbą podpierwiastkową. Sam symbol, no to jest oczywiście symbol pierwiastka. Czego? No tym razem trzeciego stopnia, no bo tutaj jest trójeczka. Czasami nazywamy to pierwiastkiem sześciennym.
Dlaczego? No dlatego, że jak jakąś liczbę podnosimy do trzeciej potęgi, to czasami mówimy... a do sześcianu. I stąd to się nazywa pierwiastek sześcienny. Ten poprzedni to był kwadratowy, bo dwójeczka, a tutaj jest pierwiastek sześcienny.
No i o ile w pierwiastku kwadratowym ta liczba podpierwiastkowa musiała być nieujemna, czyli nie mogło być minusa, to już w pierwiastku sześciennym liczba podpierwiastkowa może być dowolna. Napisałem, że liczba podpierwiastkowa należy, to jest taki symbol, który czytamy, należy do liczb rzeczywistych. Mam nadzieję, że pamiętasz z pierwszej lekcji, pierwszej klasie gimnazjum, co to są liczby rzeczywiste. To są wszelkiej maści liczby.
I dodatnie, i ujemne, i wymierne, i niewymierne. A więc istnieje coś takiego, jak pierwiastek trzeciego stopnia z minus ośmiu. Jak najbardziej. Już tego rodzaju pierwiastek z liczb ujemnych w wypadku trzeciego stopnia jak najbardziej możemy obliczać.
O ile w wypadku pierwiastka kwadratowego nie istniało, to w wypadku... W przypadku pierwiastka trzeciego stopnia jak najbardziej. I co więcej, jest bardzo miła cecha, która później pomaga w obliczeniach.
A no, mianowicie taka, zobacz. Że jak jest minus pod pierwiastkiem, to można ten minus zabrać i napisać przed pierwiastkiem. Czyli o, coś takiego, to się równa minus pierwiastek trzeciego stopnia z ośmiu. Bardzo to przydatna rzecz jest później w obliczeniach, radzę to zapamiętać. Czyli w wypadku, ale tylko pierwiastka trzeciego stopnia, ten minus możemy wyprowadzić, to się tak mówi ładnie, przed pierwiastek.
Bardzo to się przydaje. Jak obliczać pierwiastki? Może zadać sobie pytanie.
No, taka podstawowa wiedza sprowadza się do tego, że trzeba przedtem dobrze nauczyć się potęgować. No bo zobacz, popatrz. Obliczanie pierwiastków. Pierwiastek kwadratowy, czyli drugiego stopnia z czterech, równa się dwa. Dlaczego?
ponieważ 2 do kwadratu równa się 4, czyli trzeba mieć w głowie potęgowanie. Pierwiastek znowu drugiego stopnia z 9 równa się 3, ponieważ 3 do kwadratu równa się 9. Z 25 pierwiastek drugiego stopnia równa się 5, ponieważ 5 do kwadratu równa się 25. Pierwiastek kwadratowy z 36 równa się 6, ponieważ... 6 do kwadratu równa się 36. 6 razy 6 to 36. Widzisz, tu tabliczka mnożenia, można powiedzieć, musi być opanowana perfekcyjnie. No a pierwiastek ze 144 równa się 12, ponieważ 12 do kwadratu równa się 144. Na etapie pierwiastków drugiego stopnia, zobacz, że czasami tu wpisywałem tą dwójkę, czasami nie, żebyś się już przyzwyczaił, bądź przyzwyczaiła, że w wypadku pierwiastków drugiego stopnia to możemy, bądź nie musimy wpisywać tego.
Natomiast z pierwiastkami trzeciego stopnia już jest trudniej. Pierwiastek trzeciego stopnia z ośmiu, ileż to będzie? No, ja wiem, że to jest dwa.
Dlaczego? No bo dwa razy dwa razy dwa, czyli dwa do trzeciej potęgi, to jest osiem. Z 64 pierwiastek, ileż to będzie?
Trzeciego stopnia. Cztery. Ponieważ cztery do trzeciej potęgi to jest właśnie 64. Pierwiastek trzeciego stopnia ze 125, ile to będzie?
Pięć. Bo 5 do trzeciej potęgi. 5 razy 5 to jest 25 i jeszcze razy 5 to jest 125. Czyli 5 do trzeciej potęgi to jest właśnie 125. No a z 216 trzeciego stopnia paskudztwo, prawda? Ja wiem, że to 6, ponieważ 6 do trzeciej potęgi to jest właśnie 216. Powiesz, ale mądrala nauczył się. Rzeczywiście.
Niestety to słowo nauczył się jest istotne. Bardzo wielu nauczycieli wymaga... A jeżeli nie wymaga, to razy samemu się tego nauczyć, żeby, co tu dużo mówić, wkuć na pamięć coś, co można nazwać tablicą potęgowania, czyli inaczej pierwiastkowania. Po kolei wszystkie liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i tak dalej, gdzie to się kończy, a to zależy od nauczyciela, niektórzy kończą na 10, inni na 20, a inni jeszcze dalej, każą nauczyć się na pamięć, ile to będzie ta liczba do drugiej potęgi, ile to będzie ta liczba do trzeciej potęgi.
I przepytują z takiej pamięciówki. Wtedy jak masz taką pamięciówkę podnoszenia do drugiej potęgi i do trzeciej potęgi, to natychmiast umiesz pierwiastkować. To dlatego ja od razu wiedziałem, że pierwiastek z trzeciego stopnia, z 216, to jest 6. Bo pamiętałem, że 6 do trzeciej potęgi to jest 216. Tu nie ma innej metody, mówiąc szczerze.
Nie ma. Po prostu się trzeba tego nauczyć. No są takie chwile w matematyce paskudne. Ludzie tego nie lubią. Nie bój się, nie tylko uczniowie, ale i dorośli.
Pewne rzeczy trzeba po prostu pamiętać. No i to jest właśnie taki brzydki przykład. No to narysujmy.
Takiego niezbyt zadowolonego Ancymona jeszcze nam ożur pokazuje. Nie lubi tego, prawda? Włosy mu stanęły dęba. No to salawi. Jak się tego nie nauczy, nie będzie pierwiastkował.
No jak się nauczy, czyli coś takiego jak chodzenie do dentysty, trzeba pójść. bo będą zęby bolały, a tu trzeba się nauczyć, bo dostanie się pałę na sprawdzianie. Nie ma lekko. Oprócz tego, że nauczymy się lub będziemy mieli gdzieś pod ręką taką tablicę potęgowania, pierwiastkowania, to są takie przypadki pierwiastków, gdzie nie da się ich policzyć, mówiąc szczerze. Na przykład pierwiastek z dwóch, pierwiastek z trzech, pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch.
Niektóre takie właśnie pierwiastki są niestety liczbami niewymiernymi. Mam nadzieję, że pamiętasz, co to są liczby niewymierne. Jak nie, cofnij się do odpowiedniej mojej lekcji. Co w tym wypadku oznacza, na przykład jak weźmiemy sobie taki pierwiastek z dwóch, że nie istnieje liczba wymierna, która jest jemu równa?
Ja Ci pokażę to na kalkulatorze. O, zobacz, co się dzieje. Jak sobie weźmiemy dwa i teraz naciskam przycisk pierwiastkuj. Popatrzcie, jakie paskustwo się tu pojawiło.
Czyli tu nam się pojawia liczba, która jest nieskończonym ciągiem cyfr. Co więcej, tutaj nie ma żadnego okresu, czyli jest nieskończony i nieokresowy. A więc wynik jest liczbą nieskończoną i nieokresową.
To wiemy, właśnie jest liczbą niewymierną. Przy chodzikach pierwiastków 3 poznałem, 3 ci tutaj podałem, w szkole ci jeszcze... Nauczyciel poda na pewno wiele innych takich pierwiastków, które znowu trzeba zapamiętać, że po prostu te pierwiastki są liczbami niewymiernymi. I teraz co z nimi zrobić, jak one się pojawią w obliczeniach jakichś tam?
No to co wtedy robić, kiedy widzisz, że w obliczeniu na przykład taki pierwiastek z 2 plus 5 i każą ci to obliczyć? Są dwie metody. Metoda pierwsza jest taka, że podajemy wartość przybliżoną. To znaczy, bierzemy sobie właśnie szanowny kalkulator No bo nikt się tego, tej niewymiernej liczby na pamięci nauczy. To jest po prostu rzeźnia i niemożliwe, żeby się tego nauczyć.
Liczymy sobie pierwiastek. O, widzimy ten nieskończony ciąg liczb. I teraz decydujemy się z jakim przybliżeniem, czyli do którego miejsca po przecinku.
No powiedzmy, weźmy sobie do drugiego miejsca po przecinku. Będziemy zaokrąglać, więc patrzymy na trzecią cyfrę. To jest czwórka, zaokrąglenie w dół, czyli mamy 1,41. No to okej, to piszemy sobie.
Zobacz, w przybliżeniu dla tego z falką piszemy 1,41 plus 2, czyli znowu w przybliżeniu 3,41. Czyli jak widzimy pierwiastek, który jest liczbą niewymierną, to pierwsza metoda ratowania się, podawać jego wartość w przybliżeniu. Tylko wtedy pamiętaj, nigdy nie piszesz równa się, bo to nie jest równość. Trzeba pisać falkę, bo to jest przybliżenie.
Metoda druga, bardzo często stosowana. To jest po prostu pozostawiamy pierwiastek i traktujemy go jak konkretną liczbę. Czy na przykład jest napisane pierwiastek z 2 plus 5?
To jest po prostu pierwiastek z dwóch, plus pięć i cześć. To jest po prostu liczba. Po prostu traktujemy pierwiastek z dwóch jako liczbę. I wtedy możemy wpisać znak równości.
Na przykład mielibyśmy coś takiego. Pierwiastek z dwóch, dodać pierwiastek z dwóch, dodać siedem. No to mamy pierwszy pierwiastek z dwóch, drugi pierwiastek z dwóch, czyli inaczej są dwa pierwiastki z dwóch, dodać siedem i koniec. Nie bawimy się w przybliżenia. Chyba, że...
zadanie, z którym będziesz miał do czynienia, wyraźnie ci powie oblicz albo podaj przybliżony wynik. No to wtedy się trzeba posiłkować kalkulatorem, a jakże? Albo tak zwanymi tablicami matematycznymi, jeżeli są pod ręką.
Tam są pierwiastki niektórych wartości podane i tam trzeba sięgnąć i wpisać tą przybliżoną wartość. Teraz zróbmy sobie na koniec kilka przykładów właśnie takich, gdzie się pojawią... Te pierwiastki, które są liczbami niewymiernymi. Co wtedy robić? No zobacz, takie trzy przykłady i takie polecenie będzie pewnie uprość wyrażenia.
No to mamy tutaj co? Dwa pierwiastki z trzech i jeden pierwiastek z trzech. Czyli ile ich razem?
Trzy pierwiastki z trzech. Koniec. Popatrzmy na następne.
Sześć pierwiastków trzeciego stopnia z dwóch. Odjąć dwa pierwiastki trzeciego stopnia z dwóch. 6 odjąć 2 to są 4 pierwiastki trzeciego stopnia z 2. No plus te 7, które jakby nie uczestniczy w tej wojnie.
Popatrzmy na ostatni przypadek.