📊

Test af hypoteser i matematisk statistik

Jun 5, 2024

Test af hypoteser i matematisk statistik

Introduktion til stikprøver

  • Matematisk statistik bruges til at sige noget fornuftigt om en fordeling ud fra stikprøver.
  • Vigtigheden af korrekt udtagning af stikprøver:
    • Forkert udtagning kan lede til forkastelse af en korrekt hypotese eller accept af en forkert hypotese.

Test af hypoteser

  • Fokus på hypotesetestning.
  • Antagelser: normalt fordelt fordeling og uafhængige stikprøver.

Eksempel: Lastbilskontrol

  • Hvis en lastbil overstiger en vis vægt, kan ejeren få en bøde.
  • Bøde gives kun hvis overvægt er signifikant, ikke tilfældig.
  • Hypoteser:
    • H0 (nulhypotese): Det vi anser for sandt, indtil modbevist.
    • H1: Benægtelse af H0.

Eksempler fra en kødfabrik

  • Kontrol af pakkevægt: 100 gram pålæg

    • Stikprøve på 8 tilfældigt udvalgte pakker.
    • H0: Vægt pr. pakke er 100 gram.
    • Hvis middelvægt ikke er under kontrol, skal maskinen efterses.
    • Signifikansniveau påvirker sandsynlighed for forkastelse af H0.

  • Kontrol af fedtprocent i pålæg

    • Max 10 gram fedt per 100 gram kød.
    • H0: Højst 10 gram fedt pr. 100 gram pålæg.
    • Signifikans i højre hale af fordelingen.

  • Kontrol af proteinindhold i pålæg

    • Min 20 gram protein per 100 gram pålæg.
    • H0: Mindst 20 gram protein pr. pakke.
    • Signifikansniveau kan justeres afhængig af tolerance.

Beregningseksempel

  • Kontrollere om pålægspakker vejer 100 gram.

  • Beregningsformel:

    ![Formel](https://latex.codecogs.com/svg.latex?Z extsubscript{observator}%20=%20 rac{X extsubscript{bar}%20-%20U0}{ rac{\sigma}{ extsubscript{sqrt(n)}}})

    • Z-observator: Værdi på vandrette akse af normalfordelingskurve.
    • X-bar: Gennemsnit af værdierne af uafhængige elementer i stikprøven.
    • U0: Parameterværdi (100 gram).
    • Sigma: Standardafvigelse (usikkerhed).
    • n: Stikprøvens størrelse (her 8).

  • Standardafvigelse: 0,095 gram.

  • Testes på 5% signifikansniveau.

  • Gennemsnittet af 8 pakker udregnes (lægges sammen og divideres med 8).

  • Anvender formel - z-værdi = -3,57.

Fortolkning af z-værdi

  • Y-aksen: Tæthed.

  • Z-værdier på vandret akse: Angiver sig tidliere fordele i standardnormalfordelingen.

  • Excel-funktion for konfidensniveau.

    Excel formel

    • 95% konfidensniveau.
    • Område uden for dette = afvisning af H0.

  • Konklusion: Maskinen skal efterses, da stikprøvens z-værdi ligger i det røde område (afvist at vægten er under kontrol).

Full transcript