हेलो डियर स्टूडेंट वेलकम तो थे गेटवे क्लासेस मी नाम इसे गुलशन कुमार और मैं आपको पढ़ा रहा हूं इंजीनियरिंग मैथमेटिक्स तू इंजीनियरिंग मैथमेटिक्स तू में मैं आपको कर रहा हूं यूनिट वाइस वन शॉट रिवीजन जिसमें मैं आपको तीन यूनिट का वन शॉट रिवीजन कर चुका हूं यूनिट नंबर फोर यूनिट नंबर फाइव और यूनिट नंबर वन और आज मैं आपको कराऊंगा 1/60 यूनिट नंबर तू का जिसमें हम रिवाइज करेंगे लाप्लास ट्रांसफॉर्म तो चलिए स्टार्ट करते हैं और सबसे पहले बात करते हैं यूनिट नंबर तू जिसका नाम है लाप्लास ट्रांसफॉर्म इसका सिलेबस क्या है मतलब कौन-कौन से टॉपिक को हमें इसमें रिवाइज करना है तो देखिए ये हमारे यूनिट नंबर तू के टॉपिक है जो की एक्टू सिलेबस में है ठीक है इन सभी टॉपिक को मैं डिटेल में आपको ऑलरेडी कंप्लीट कर चुका हूं लेकिन आज मुझे इनका कारा रिवीजन तो सबसे पहले बात करेंगे की इस यूनिट में मोस्ट इंपॉर्टेंट टॉपिक कौन से हैं है ना तो सबसे पहले मैं आपको बता देता हूं की इंपॉर्टेंट टॉपिक कौन से हैं रिवाइज तो मैं ऑलमोस्ट आपको सभी टॉपिक कराऊंगा लेकिन इंपॉर्टेंट टॉपिक को मैं ज्यादा फॉक्स करूंगा तो जो इंपॉर्टेंट टॉपिक है उनको मैं थोड़ा सा आराम से रिवाइज कराऊंगा और बाकी जो इंपॉर्टेंट नहीं है उनको थोड़ा जल्दी रिवाइज करेंगे तो यहां पर देखिए इंपॉर्टेंट टॉपिक के बड़े में बात करते हैं लेकिन इस यूनिट की अगर हम बात करें तो इस यूनिट में भी जैसे यूनिट नंबर वन में मैंने आपको बताया था यूनिट नंबर वन में भी जो हमारे लास्ट वाले टॉपिक हैं यूनिट नंबर वन में भी जो लास्ट वाले टॉपिक थे जैसा साइमन टेनिस डिफरेंशियल इक्वेशन है ना उसके बाद हमने रिवाइज किया था सिम्टम्स के बाद हमारे पास वहां पर मेथड ऑफ वेरिएशन ऑफ पैरामीटर था मेथड बाय चेंजिंग डी इंडिपेंडेंस वेरिएबल था तो लास्ट वाले टॉपिक इंपॉर्टेंट डी यूनिट नंबर वन में सिमिलरली यूनिट नंबर तू में भी लास्ट के ही टॉपिक ज्यादा इंपॉर्टेंट है लेकिन एक चीज आम है यूनिट नंबर वन में भी और यूनिट नंबर तू में भी लास्ट वाले टॉपिक आपको समझ में तभी आएंगे जब आप स्टार्टिंग वाले टॉपिक को रिवाइज करेंगे क्योंकि अगर आपको स्टार्टिंग के टॉपिक नहीं आते होंगे तो आप लास्ट के टॉपिक नहीं पढ़ सकते क्योंकि लास्ट वाले जो ये टॉपिक है सब प्रीवियस टॉपिक के ऊपर डिपेंड करते हैं तो यूनिट नंबर वन और यूनिट नंबर तू में जो 77 मार्क्स के क्वेश्चन आते हैं वो लास्ट वाले टॉपिक से ही आते हैं लेकिन याद रखिए लास्ट के टॉपिक को पढ़ने के लिए आपको स्टार्टिंग से करना होगा तो यहां पर हम स्टार्टिंग से रिवाइज करेंगे तो स्टार्टिंग में थोड़ा मैं तेज रिवाइज कराऊंगा क्योंकि स्टार्टिंग वाले जो टॉपिक है उनको हमें केवल समझना है उनके ऊपर आपको ज्यादा क्वेश्चंस मैं आपको नहीं बताऊंगा लास्ट वाले टॉपिक में फॉक्स करेंगे अब यहां पर सबसे पहले बात करते हैं सबसे इंपॉर्टेंट टॉपिक की देखो सबसे इंपॉर्टेंट टॉपिक यहां पर है एप्लीकेशन ऑफ लाप्लास ट्रांसफॉर्म तू सॉल्व ऑर्डिनरी डिफरेंशियल इक्वेशन और साइमन टेनिस डिफरेंशियल इक्वेशन अब ऑर्डिनरी डिफरेंशियल इक्वेशन ऑफ सिमुल्टेनियस ऑर्डिनेंस डिफरेंशियल इक्वेशन ये दोनों टॉपिक आप यूनिट नंबर वन में पढ़ चुके हैं लेकिन वहां पर सॉल्व करने का मेथड अलग था यहां पर सॉल्व करने का मेथड अलग है एग्जाम में मेथड मेंशन हो करके आता है यहां से अगर क्वेश्चन आएगा और 100% आएगा यहां से एक क्वेश्चन सेवन मार्क्स का यहां से 7 मार्च का एक क्वेश्चन हमेशा आता है तो यहां पर मेंशन हो क्या आएगा की बाई यूजिंग लाप्लास ट्रांसफॉर्म तो आपको लाप्लास ट्रांसफॉर्म का ही मेथड अप्लाई करना है इसके बाद नेक्स्ट यहां पर इंपॉर्टेंट टॉपिक आता है हमारे पास कन्वॉल्यूशन थ्योरम और यहां से भी 7 मार्क्स का क्वेश्चन आता है देखिए यहां पर जो एप्लीकेशन है आप लास्ट ट्रांसफॉर्म की यहां पर जो क्वेश्चंस होंगे वो काफी लेंडी होंगे ठीक है ना तो इनको आप तभी अच्छे से कर पाओगे जब आपको बेसिक आता होगा सिमिलरली अब यहां पर आता है कन्वॉल्यूशन थ्योरम कन्वॉल्यूशन थ्योरम के क्वेश्चन भी लेगी होते हैं है ना तो यहां से भी सेवन मार्क्स का क्वेश्चन आता है उसके और पीछे जैन तो फिर हमारे पास है इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म बाय पार्शियल फ्रैक्शन और लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ पीरियोडिक फंक्शन तो अगेन ये दोनों टॉपिक इंपॉर्टेंट है ये भी इंपॉर्टेंट है यहां से भी 7 मार्क्स का क्वेश्चन और यहां से भी जनरली सेवन मार्क्स का क्वेश्चन है मतलब यह टॉपिक है जहां से लॉन्ग क्वेश्चंस पूछे जाते हैं ठीक है एग्जाम में लॉन्ग क्वेश्चन एक यूनिट से मैंने आपको यहां पर कर टॉपिक बताएं तो कर में से देखिए कर में से आप ये मां के चलेगी इन्हीं कर में से तीन लॉन्ग क्वेश्चंस आपके पास आएंगे किसी एक टॉपिक से नहीं आएगा है ना जनरली क्या होता है फंक्शन का जो क्वेश्चन है हमेशा नहीं आता कभी-कभी आता है मतलब कभी इसका ए जाता है कभी पार्शियल फ्रैक्शन कहा जाता है तो इन दोनों में से मां के चलिए एक आएगा और पूरे चेस रहते हैं की इन दोनों में से तो एक-एक आएगा ही आएगा ठीक है अब स्टार्टिंग वाले जो टॉपिक है बाकी जो हमारे टॉपिक बच्चे क्या उनसे सेवन मार्क्स का क्वेश्चन नहीं आएगा देखिए ऐसा नहीं है वहां से भी ए सकता है लेकिन चांसेस कम होते हैं बाकी की जो हमारे टॉपिक बच्चे हुए उनसे 2 मार्क्स का क्वेश्चन आता है ठीक है ना लेकिन बाकी जो टॉपिक बच्चे हुए हैं इनके अलावा अगर आप उनको नहीं पढ़ोगे तो ये वाले टॉपिक आपको समझ में नहीं आएंगे इसीलिए उनकी इंपॉर्टेंट भी बराबर है क्लियर हो गया चलिए अब हम स्टार्ट करते हैं अपना रिवीजन यहां से मैं आपको सभी टॉपिक का रिवीजन कराऊंगा केवल मैंने यहां पर क्योंकि यह जो यूनिट है एक चीज का ध्यान रखना यह जो हमारी यूनिट है ये मैथमेटिक्स तू की सबसे लांगती यूनिट है ना लाप्लास ट्रांसफॉर्म सबसे बड़ी यूनिट है पांचो यूनिट में सबसे बड़ी यूनिट यही है क्योंकि यहां पर नंबर ऑफ टॉपिक क्या है बहुत ज्यादा है इसमें से मैंने केवल एक ही एक्जिस्टेंस वाला जो टॉपिक है इसको मैं रिवाइज नहीं कर रहा हूं इसको अगर आपको रिवाइज करना है तो प्रॉपर जो लेक्चर बने हुए हैं उसमें आप जाकर के देख सकते हैं ठीक है ना ज्यादा इंपॉर्टेंट नहीं है इसलिए मैंने इसको यहां से हटा दिया ठीक कुछ नंबर ऑफ क्वेश्चंस भी मैंने कम किया क्योंकि लैंग्वेज यूनिट ज्यादा है लेकिन टॉपिक मैं आपको लगभग सभी रिवाइज कर रहा हूं केवल एक्जिस्टेंस थ्योरम को छोड़ के तो चलिए स्टार्ट करते हैं हम अपना टॉपिक है तो सबसे पहले लाप्लास ट्रांसफॉर्म में बेसिक से स्टार्ट करेंगे की बिल लाप्लास ट्रांसफॉर्म होता क्या है हालांकि सब जानते हैं की लाप्लास ट्रांसफॉर्म क्या है है ना तो देखिए अकॉर्डिंग तू डेफिनेशन ट्रांसफर मतलब एक तरह का ट्रांसपोर्टेशन है ना ये कैसा ट्रांसफार्मर [संगीत] जो की एक टी डोमेन के फंक्शन को कन्वर्ट कर देता है एस डोमेन के फंक्शन में अब यहां पर देखिए दो तरीके का रिप्रेजेंटेशन उसे होते हैं मैं आपको दोनों बता देता हूं यहां पर दो तरीके के रिप्रेजेंटेशन उसे होते हैं लाप्लास ट्रांसफॉर्म में दोनों आपको मालूम होंगे देखिए एक रिप्रेजेंटेशन तो ये है की हमारा जो जिवन फंक्शन है वो फटी ये तो से ही रहेगा इसको बस कैपिटल एफटीवी लिख सकते हैं या कैपिटल फटी लिखेंगे अभी अगर इसका ट्रांसफॉर्म हो जाएगा तो आपको इधर तो इधर जो फंक्शन मिलेगा वो एफपी पैरामीटर है ठीक है मैं दोनों ही पैरामीटर का आपको उसे कराऊंगा क्योंकि एग्जाम में कभी पी ए जाता है कभी एस ए जाता है तो दोनों में आप कंफर्टेबल होने चाहिए अंतर कुछ नहीं है बस पी को रिप्लेस कर देना है ऐसे या एस को रिप्लेस कर देना है पी से तो जब हम पी का उसे करते हैं तो यहां पर जो हम फंक्शन लेते हैं वह कैपिटल एफ और टी लेते हैं जनरली इसका जब लाप्लास ट्रांसफॉर्म करेंगे तो उसको स्मॉल एफ पी लिखेंगे और अगर आप स्मॉल फटी ले रहे हैं तो इसका जब लाप्लास ट्रांसफॉर्म हो जाएगा तो उसको कैपिटल एफ और ब्रैकेट में एस लिखेंगे यहां पर एस पैरामीटर कहां उसे कर रहे हैं तो पहले चीज तो ये आपको बहुत अच्छे समझ में ए जाना चाहिए की जो लाप्लास ट्रांसफॉर्म है वो इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म है जो की टी डोमेन टी डोमेन के फंक्शन को एस डोमेन के फंक्शन में कन्वर्ट कर देता है ये हमारे पास है ना अब देखो जब यहां पर शब्द लिखा हुआ है इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म इसका मतलब ये जो ट्रांसपोर्टेशन करने के बाद मिलेगा तो देखिए जो लाप्लास ट्रांसफॉर्म की जो बेसिक डेफिनेशन है वो क्या कहती है अगर हमारे पास एक फटी फंक्शन है इसका अगर हम लाप्लास लेते हैं तो ये इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म है तो इंटरनल ट्रांसफॉर्म है इसलिए हमें इसको इंटीग्रेशन करना है जीरो से इंफिनिटी ए की पावर माइंस सटट ये होती है बेस ब्लू रिलेशन लाप्लास ट्रांसफॉर्म की इसीलिए वहां पर लिखा था इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म तो एक्चुअल में इसको इंटीग्रेटेड करने के बाद जो हमें मिलेगा इस को हम एफसी कहते हैं या एफ कहते हैं या तो एफसी कहेंगे या फिर एफ कहेंगे याद रखें ठीक है ना तो इसीलिए इसको इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म कहा जा रहा है क्योंकि यहां पर फटी का क्या हो रहा है इंटीग्रेशन हो रहा है तो फटी का जब इंटीग्रेशन करेंगे तब जाके हमें क्या मिलेगा फटी का लाप्लास मिलेगा जिसको हम रिप्रेजेंट करते हैं या तो एफपीएफ ऐसे या फिर स्मॉल एफबी से इस चीज का आप ध्यान रखेंगे क्लियर हो गया चलिए वेयर ऐसे जब पैरामीटर विच में बी रियल और परिसर और मैं आगे चल के पी का उसे करूंगा स्टार्टिंग में एस का उसे करूंगा उसके बाद फिर पी का उसे करेंगे ना अब देखो लाप्लास ट्रांसफॉर्म लाप्लास्ट ट्रांसफॉर्म का हमारा अगर डेफिनेशन के अकॉर्डिंग देखें तो फॉर्मूला ये होता है है ना लेकिन इस फार्मूले का उसे हम बहुत कम करेंगे हालांकि कुछ न्यूमेरिकल कुछ क्वेश्चंस है जो डायरेक्ट इसी फार्मूले से होते हैं जो डायरेक्ट इसी फार्मूले से होते हैं जो एक्जिस्टेंस थ्योरम के अंदर क्वेश्चंस आते हैं वो डायरेक्ट इसी फार्मूले से होते हैं ठीक है ना उनको आप प्रैक्टिस कर सकते हैं बहुत सिंपल क्वेश्चन होते हैं क्लियर लेकिन मैक्सिमम जगह पर हम इस फार्मूले का उसे नहीं करेंगे है ना क्योंकि इस फॉर्मूला को अगर उसे सभी जगह पर करेंगे तो क्वेश्चंस बहुत कॉम्प्लिकेटेड हो जाएंगे इसलिए हमारे पास ट्रांसफॉर्म के 7 बेसिक फार्मूले होते हैं और ये 7 बेसिक फार्मूले आपको बहुत ही अच्छे से याद होने चाहिए क्योंकि इनके बिना आप लाप्लास ट्रांसफॉर्म को आगे बिल्कुल नहीं समझ सकते हैं ना तो ये फार्मूले जो आपके सामने लिखे 7 फार्मूले हैं बहुत अच्छे से आपको आने चाहिए अभी मैंने ये स्किप चलिए ध्यान से ध्यान दीजिए क्या-क्या है फार्मूले पहले फॉर्मूला लपला ट्रांसफार्मर वन वन का जो लाप्लास ट्रांसफॉर्म होता है वो 1 / एस होता है ध्यान से इसको समझेंगे 1 / एस याद हो जाना चाहिए सबको उसके बाद देखो मैंने जो प्रॉपर लेक्चर इसमें जो हमारा प्रॉपर लेक्चर था उसमें मैंने इन सभी फॉर्मूलों का डेरिवेशन भी आपको कर रखा है हालांकि डेरिवेशन बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट नहीं है इसलिए मैं यहां पर डेरिवेशन नहीं बता रहा हूं सिर्फ यहां पर आप फार्मूले याद करिए डेरिवेशन बहुत आसन है इनका इसी फार्मूले से सबका डेरिवेशन हो जाता है फटी की जगह फटी की वैल्यू रख दो देखो यहां फटी की वैल्यू वन है अगर आप यहां पर वन रखें इंटीग्रेटेड कर देंगे तो 1 / एस ए जाएगा हालांकि मैं डेरिवेशन अभी करने नहीं जा रहा हूं आपको तो ध्यान दीजिए वन का लाभ प्लस वन अपन एस अब यहां पर फॉर्मूला नंबर तू टी की पावर एन का लग प्लस ट्रांसफॉर्म क्या होगा देखो क्या लिखा है ये गम का सिंबल है आप लोगों ने मैथमेटिक्स वन में मैंने आपको पटाया था है ना मैथमेटिक्स वन में गम गम n+1 लिखा इसके फार्मूले में भी बताऊंगा मैं आगे छलके तो गम n+1/एक्स की पावर n+1 ये होता है टी की पावर एन का प्लस ट्रांसफॉर्म अब यहां पर एक चीज ध्यान रखना अगर यहां पर एन की जगह इंतजार हो मतलब जीरो वन तू थ्री होल नंबर है एन क्या है अगर होल नंबर है अगर एन होल नंबर है तो ये फॉर्मूला ये फॉर्मूला जो हमने ऊपर लिखा है लाप्लास ट्रांसफार्मर को टी की पावर एन ये फॉर्मूला कन्वर्ट हो जाएगा आंसर अपन एस की पावर एन + 1 में ये कैसे कन्वर्ट हुआ तो देखो आपने मैथमेटिक्स वन में पढ़ा था जब हमने बीता गम फंक्शन पढ़ा था तो वहां पर हमने पढ़ रखा है की गम एन + 1 की जो वैल्यू होती है ना वो एन फैक्टोरियल होती है लेकिन याद रखना ये एन फैक्टोरियल तब होती है जब एन हमारा क्या हो हो नंबर हो जब हमारा एन की वैल्यू वन तू थ्री हो तो गम एन + 1 = एन फैक्टोरियल होता है तो यहां पर देखो लिखा है की अगर एन जीरो वन तू थ्री है तो हम क्या कर सकते हैं गम n+1 की जगह एन फैक्टोरियल लिख सकते हैं ये आपको बहुत अच्छे से याद होना चाहिए अब इसके आगे बढ़ते हैं ना लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ ए की पावर 80 बहुत इंपॉर्टेंट है सभी फार्मूले बहुत इंपॉर्टेंट है वन अपन एस-ए होता है एस की जगह पी का उसे भी कर सकते हैं देखो अगर थोड़ा सा ध्यान से इनको समझ के याद करेंगे ना तो बहुत आसन हो जाएगा आपके लिए देखिए सन ए दी ये चारों एक ही जैसे लगभग सन 80 का होगा ए/s² + a² कस ए टी का देखो सन में ऊपर ए जाता है कस में ऊपर एस आता है बाकी दिनों मी से है तो साइन में पॉजिटिव है देखो सन हाय पर बोले का वैसा ही है जैसा साइन का है बस अंतर है की नीचे माइंस ए रहा है उसमें ए/s² + a² है इसमें ए/s² - a² है ऐसे ही कस हाइपरबोला गाड़ी का हो जाएगा एस / s² - a² तो ये जो 7 फार्मूले आपके सामने लिखे हैं ये 7 फॉर्मूलों के बिना आप लाप्लास को आगे नहीं पढ़ सकते इसलिए आप इनको बहुत अच्छे से याद कर लीजिए अब देखो यहां पर ये पहले क्वेश्चन यहां पर ए गया फाइंड डी प्लस ट्रांसफार्मर बहुत सिंपल सा बहुत बेसिक बेसिक क्वेश्चन यहां पर लिखे हुए लेकिन आपको जब ये आएंगे तभी आप आगे बड़े-बड़े क्वेश्चन भी करेंगे इस टाइप के क्वेश्चन एग्जाम में दो नंबर में पूछे जा सकते हैं दो नंबर के लिए इंपॉर्टेंट है और ये मत समझना की दो नंबर का आएगा तो इसको छोड़ देते हैं क्योंकि ये बेसिक क्वेश्चन है अगर आपको ये समझ में आएंगे तभी आप आगे जाके बड़े-बड़े क्वेश्चन को सॉल्व कर पाएंगे तो बहुत सिंपल सिंपल क्वेश्चन है देखो यहां क्या पूछा है सेवन का लाप्लास पूछा है बहुत सिंपल है देखिए लाप्लास ट्रांसफॉर्म जो यूनिट है ना लंगडी जरूर है लेकिन बहुत आसन है सबसे बड़ी यूनिट है क्योंकि इसमें नंबर ऑफ टॉपिक सबसे ज्यादा है लेकिन यूनिट सबसे आसन तो ठीक है सबसे आसन मतलब अगर स्टार्टिंग वाला इसका पार्ट देखो तो बहुत आसन है बस लास्ट का जो हमारा एप्लीकेशन वाला पार्ट है कन्वॉल्यूशन वाला पार्ट है उसके क्वेश्चन थोड़े से लांगती हो जाते हैं कंपेरटिवली तो यूनिट मैथमेटिक्स तू में सबसे आसन जो यूनिट है हमारी वो यूनिट नंबर फोर और यूनिट नंबर फाइव है अगर आप कंपेयर करेंगे लेकिन ये यूनिट भी आसन है बस लांगती ज्यादा है इसलिए हम इसको आसन नहीं कहते सेवन का लाप्लास देखो सेवन का लाप्लास क्या होगा भाई सेवंथ तो कांस्टेंट है मतलब सेवन को आप 7 * 1 लिख सकते हैं और वन का लाप्लास 1 / एस होता है देखिए वन का लाप्लास 1 / एस है 7 का 7 / एस हो जाएगा 8 का 8 / एस हो जाएगा तन का तन अपन एस हो जाएगा ठीक है ना चलिए तो यहां पर फॉर्मूला ग गया लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ वन का वन अपन एस सेकंड पार्ट देखो टी की पावर फाइव का अब टी की पावर फाइव में ये फॉर्मूला ग जाएगा टी की पावर एन वाला अब देखो यहां पर पावर जो है वो इंतजार है मतलब होल नंबर है तो फॉर्मूला फैक्टोरियल वाला लगेगा एन फैक्टोरियल अपन एस की पावर एन + 1 तो यहां पर ए जाएगा हमारा 5 फैक्टोरियल अपन एस की पावर 6 और 5 फैक्टोरियल 120 होती है सिमिलरली अब यहां देखो इसको देखो ध्यान से यहां टी की पावर वन बाय तू ए गई टी की पावर वन बाय तो यहां पर गम वाला फॉर्मूला लगेगा कौन सा लगेगा गम वाला गम एन + 1 / एक्स की पावर एन + 1 और एन यहां पर 1 / 2 है तो 1 / 2 + 1 3/2 गम थ्री बाय तू अब गम थ्री बाय तू अब यहां पर देखो गम हम क्या लिख सकते हैं वन बाय तू यह कैसे लिखा अभी थोड़ी डर के बाद बताऊंगा ये कैसे लिखा है आगे आएंगे सारे फार्मूले मैंने आगे लिखे हुए तो वहीं पर आपको समझाऊंगा कैसे आएगा तो गम थ्री बाय तू इक्वल तू वन बाय तू और गम वन बाय तू और गम वन बाय तू की जो वैल्यू होती है वो होती है अंदर रूट में पी ये साड़ी ये वैल्यू आपको याद हनी चाहिए आगे मैंने लिखी हुई है गम वन बाय तू की वैल्यू होती है और √5 कितने होती है रूट बाय तो यहां पर रूट बाय ए गया और देखिए आपके पास आंसर आगे इसी तरीके से देखो इसमें देखो इसमें फॉर्मूला ग जाएगा ए की पावर एट वाला कौन सा फॉर्मूला लगेगा ए की पावर 80 का फॉर्मूला होता है 1 / एक्स - ए तो यहां पर ए की वैल्यू सिक्स है तो एक्स - 6 ए गया नेक्स्ट देखो ए की पावर माइंस एट हो गया ये देखो अब ध्यान रखना ए की वैल्यू -6 है अगर आप यहां पर फॉर्मूला तो वही है एस - ए 1 / एस - ए लेकिन ए की वैल्यू 6 रखेंगे तो ये तो माइंस माइंस प्लस बन जाएगा तो इसीलिए 1 / एक्स + 6 है तो इस चीज का आप ध्यान रखें इस फार्मूले में यहां पर जो ये फॉर्मूला लिखा हुआ है ये इसमें ध्यान रखना अगर यहां पर माइंस ए जाएगा तो प्लस ये हो जाएगा क्लियर है आगे बढ़ते हैं सन 3d सन एड का फॉर्मूला बन जाएगा देखो साइन 3d में क्या लगेगा सिनेडी क्या होता है ए / h² + a² तो ए यहां पर थ्री है तो 3 / x² + 9 ऐसे आपका साइन अल्फा दी यहां पर ए क्या है अल्फा तो अल्फा / s² प्लस अल्फा स्क्वायर कस 2d यहां पर कस वाला फॉर्मूला ग जाएगा तो कस में क्या आता है ऊपर स स्क्वायर प्लस 4 कितना आसन है सभी बहुत आसन है और ये सब बेसिक है ये सब आपको आना चाहिए यहां पर देखो हाइपरबॉलिक वाला ए गया तो सन में हाइपरबॉलिक में नीचे माइंस ए जाता है देखो ये ए / स्क्वायर - a² ए कितना तू ये ए गया होगा सिमिलरली कस आई पर बोली में ऊपर ऐसे ए जाएगा s² - 9 क्योंकि ए की वैल्यू कितनी है थ्री है तो कितना आसन है तो यहां पर ये हमारे बेसिक फार्मूले थे उनके ऊपर बेस और कुछ यहां पर ये क्वेश्चन लिखे हुए हैं आप इनको प्रैक्टिस कर सकते हैं है ना ये आगे जाके आपको बहुत हेल्प करेंगे तो ये थे हमारे कुछ छोटे-छोटे जो क्वेश्चन है ना सब दो नंबर के क्वेश्चन है अब आगे चलते हैं और कुछ क्वेश्चन करते हैं अब थोड़े इन्हीं को देखो अभी तक क्या था एक-एक टर्म थी अब ये टर्म एक साथ बहुत साड़ी एड भी हो शक्ति है देखिए क्या है यहां पर नेक्स्ट हमारे पास टॉपिक ए जाता है लाइनर प्रॉपर्टी ऑफ लास्ट ट्रांसफॉर्म इसका मतलब क्या है देखो इसका सिंपल सा मतलब ये है जैसे आप कभी किसी फंक्शन का जवाब डर करते हैं तो देखो कैसे करते हैं जैसे ए = मां लीजिए लिखा है 2x + 2x + 3 एक्स स्क्वायर आपको इसका डर करना है तो आप इसका डर अलग करोगे इसका डर अलग करोगे अगर मैं आपको कभी इसका इंटीग्रेशन करना है तो इसका अलग करोगे इसका अलग करोगे ऐसा ही तो करते हैं तो सिमिलरली लाप्लास में भी ऐसा ही करते हैं अगर लाप्लास में दो या तीन या कर टायर हैं तो सबका अलग-अलग ले लीजिए जैसे अलग-अलग डर करते हैं वैसे ही अलग अलग लाप्लास भी ले सकते हैं इस को कहते हैं लाइनर प्रॉपर्टीज देखो यहां पर देखो जरा जैसे ये जैसे यहां पर लिखा है ना की आपके पास एक फंक्शन फटी और एक जीटी है अगर आप इन दोनों का लाप्लास लेना चाहते हैं तो आप इन दोनों का लाभ प्लस अलग-अलग ले लो जैसे अलग-अलग डर करते हैं क्लियर हो गया जैसे ये क्वेश्चन देखो यही से समझ में ए जाएगा आपको आपको इसका लाप्लास निकालना है तो कैसे निकलेंगे कोई प्रॉब्लम नहीं है टी की पावर फोर का अलग ले लो और इसका अलग कर लो जैसे डर इंटीग्रेशन करते हैं अलग-अलग टर्म का तो इसका लाभ इसमें फॉर्मूला लगा दो इसमें देखो टी की पावर एन का फॉर्मूला ग जाएगा एम क्या है होल नंबर है तो क्या हो जाएगा एन फैक्टोरियल अपन एस की पावर एन + 1 तो यहां पर एन की वैल्यू फोर है आसानी से ए जाएगा यहां सन 80 वाला फॉर्मूला ग जाएगा उसके बाद जो आएगा उसको मैं अगर वो एड हो रहा है तो एड कर दो अगर एड नहीं हो रहा है तो वही आपका डायरेक्ट आंसर हो जाएगा तो कितना आसन है यहां देखो जरा इसमें कुछ नहीं है बहुत सिंपल है अगर आपको अभी जो मैंने सिंपल क्वेश्चन आपको बताए अगर वो क्वेश्चन आपको समझ में ए गया तो इसमें कुछ भी नहीं है बस क्या है इसमें देखो इसका लाप्लास अलग ले लो इसका लाभ अलग भाई जो कांस्टेंट है जब आप डर करते हैं मां लीजिए आपने डर किया 2x का तो आप सिर्फ एक्स का डर करते हैं तू तो कांस्टेंट है बाहर चला जाता है डर से या इंटीग्रेशन से भी बाहर चला जाता है तो सिमिलरली कांस्टेंट टर्म का लाप्लास आपको नहीं लेना है कांस्टेंट टर्म जैसे यहां पर सेवन है इसको आप छोड़ देंगे ए की पावर 2 टी का नाप लास्ट ले लो नाइन को छोड़ देंगे इसका लाप्लास ले लो फाइव को छोड़ देंगे इसका लाभ लास्ट ले लो 7 को छोड़ देंगे टी की पावर थ्री का लाप्लास ले लीजिए इसमें फाइव को छोड़ के इसका लाप्लास ले लीजिए और यहां पर तू है तो भाई तू कल आप लास्ट और 2 / एस हो जाएगा समझ में ए गया तो अलग-अलग टाइम का सबका लाभ लास्ट ले लेंगे तो देखो यह सब तो मैंने इतना लिख रखा है लेकिन आप देखो डायरेक्ट देखो ए की पावर टूटी ए की पावर 80 का 1 / एस - ए तो एस-2 ए गया सेवन वैसे ही रहेगा तो ये तो बहुत ही आसन क्वेश्चन है बहुत आसन है मतलब स्टार्टिंग में जो लाप्लास है ना उसको समझना जरूरी है और बहुत ही सिंपल है लपलाज स्टार्टिंग में ठीक है और यहां से दो-दो नंबर के क्वेश्चन तो आते ही हैं और आगे चल के बड़े-बड़े क्वेश्चन जब आप करेंगे तो अगर ये सब आपको आता होगा तो वो बड़े क्वेश्चन बड़े जरूर होंगे लेकिन आसन होंगे अगर आपको ये आता है तो आगे बढ़ते हैं लाप्लास लेना है यहां पर देखो अगेन इसके अलावा आप लास्ट लेना है तो तीनों टर्म का अलग-अलग ले लो वन का तो 1 / एक्स हो जाएगा और देखो ये √t लिखा फिर रूट टी सब जानता है रूट टी को हम टी की पावर 1 / 2 लिख सकते हैं और टी की पावर वन बाय लाप्लास ले लो है ना यहां पर क्या लिखा 4 / √t तो इसको 4 / टी की पावर वन बाय तू लिख सकते हैं और इसको ऊपर ले जो तो ऊपर ले जा के क्या हो जाएगा टी के पावर -1/2 इसका लाभ लास्ट ले लो तो कितना आसन है देखो सभी का अलग-अलग टर्म का लाप्लास ले लिया यह देखिए सब का अलग-अलग ले लिया मैंने लाप्लास लेने के बाद देखो यहां पर पावर फ्रैक्शन की वैल्यू होती है रूट पी और गम 3/2 को पहले आप लिखोगे 1/2 देखो गम 3 / 2 = 1 / 2 और गम वन बाय तू कैसे लिखा अब बता देता हूं याद होना चाहिए आपको क्या लिखेंगे जरा ध्यान से समझिए यहां पर लिखा होता है यहां पर जो न्यूमैरेटर लिखा होता है इसको आप क्या करेंगे कितना बच्चा वन बाय तू ऊपर वन बच्चा तो वन बाय तू को बाहर कर दो अंदर भी 1 / 2 ए गया तो ये वन बाय तू बाहर वाला ऐसे ही रहेगा इसकी वैल्यू √2 है तो आपको इसमें सिंपल याद रखो की फाइव में से तू कम करना है आपको तो 3/2 ए जाएगा फिर से तू कम करो 1 / 2 ए जाएगा अब फिर से तू कम नहीं कर सकते क्योंकि अगर वन में से तू कम करोगे तो माइंस वन ए जाएगा और माइंस नहीं आना चाहिए क्लियर है तो आपको जब तक आगे बढ़ाना जब तक माइंस में ए जाए जैसे 7 / 2 है पहले तू कम कर 5/2 ए गया कितना ए गया 5/2 फिर तू कम कर थ्री ए तू फिर तू कम कर वन बाय तू और नहीं कर सकते और गम वन बाय तू की वैल्यू √5 अब यहां पर एक वैल्यू और आपको याद रखती है मैंने आगे कहानी लिखी होगी यहां नहीं लिखिए बता देता हूं क्या है गम देखो गम माइंस का 1 / 2 - 1 / 2 ये वैल्यू भी आपको याद हनी चाहिए ठीक है ना गम माइंस वन बाय तू आगे मैंने लिखी हुई है तो इसको भी याद रखना - 2√5 ठीक है ना ये भी आपको याद होना चाहिए चलिए तो समझ में ए गया होगा यहां से आगे बढ़ते हैं फाइंड डी लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ तू की पावर टी अब ये थोड़ा सा मतलब डायरेक्ट क्वेश्चन नहीं पूछा एक्चुअल में इनडायरेक्ट पूछ लिया थोड़ा सा है तो छोटा सा ही देखो तू की पावर टी इसका कोई फॉर्मूला तो हमने नहीं पढ़ा तो कैसे करेंगे इसको देखो तू की पावर दी के लिए हम क्या करेंगे इसको क्या लिख सकते हैं ए की पावर लोग देखिए ये फॉर्मूला आपको याद रहना चाहिए क्या फॉर्मूला होता है अगर ए ^ लॉज है ए की पावर लॉज है तो इसकी वैल्यू होती है ए की पावर लोग एक्स की वैल्यू होती है ए की पावर लोग एक्स की वैल्यू होती है एक्स ठीक है ना ए की पावर लोग एक्स की वैल्यू कितनी आई है एक्स आई है यानी की ए की पावर में अगर लोग है तो लोग के आगे जो लिखी गई क्वांटिटी है आप इस पुरी वैल्यू को इस एक्स के बराबर लिख सकते हैं तो यही फॉर्मूला मैंने यहां पर लगाया देखो 2 की पावर टी था हमने क्या लिख दिया इसको ए की पावर में लोग 2 की पावर टी कर दिया देखो इसको एक्स मां लिया हमने तो एक्स मां लिया तो एक्स को क्या लिख सकते हैं ए की पावर लोग एक्स और वही लिख दिया हमने यहां पर इसको ठीक है ना इस को हमने यहां पर लिख दिया तो इस चीज का आप ध्यान रखेंगे तो ये क्वेश्चन आपके लिए इजी हो जाएगा है ना चलिए बस यहां पर आई की पावर लोग 2 की पावर मल्टीप्लाई में ए जाएगा क्यों क्योंकि लोग एम की पावर एन का फॉर्मूला हो जाएगा एन लोग एम देखो मैंने यहां पर लिखा हुआ अभी पहले से ही फॉर्मूला ए की पावर लोग एक्स के बराबर होता है है ना तो यही यहां पर उसे कर फिर हमने ये वाला फॉर्मूला लगा दिया लोग एम की पावर एन लोग एम तो ये टी मल्टीप्लाई में ए गया अब यहां पर देखो टी लोग तू क्या टी का कॉएफिशिएंट है ये ए का कम कर रहा है तो अब यहां पर ए की पावर एट का फॉर्मूला लगा सकते हो आप ए की पावर 80 का 1 / एस - ए तो यहां पर 1 / एस - ए की जगह ए गया लोग 2 आगे बढ़ते हैं अब ये देखो फाइनल लग लॉस ट्रांसफर इसका लाप्लास निकालना है क्या करोगे यहां पर सीधे सीधे ये ए है और ये बी है और ये ए + बी का होल कब है पहले इसको सिंपलीफाई करो ए + बी का होल कब का फॉर्मूला मैंने यहां लिखा हुआ है इस फार्मूले के बेसिस पर इसको ओपन कर दो ओपन करने के बाद इसको थोड़ा सिंपलीफाई कर दो रूट को हटा दो पावर लिख दो रूट की जगह 1 / 2 है ना सिंपलीफाई किया तो आपने ये ए गया फिर इनका सबका अलग-अलग ले लो सबका अलग-अलग लेंगे देखो सब में टी की पावर फ्रैक्शन ए रही है कहानी पर नेगेटिव कहानी पर पॉजिटिव तो यहां पर गम वाला फॉर्मूला लगेगा सभी जगह देखो सभी जगह पर गम वाला फॉर्मूला ग गया यहां पर गम माइंस वन बाय तू ए रहा है तो इसकी वैल्यू हो जाएगी -2 √5 यह रूट पी हो जाएगा यह 1/2 √5 हो जाएगा तो सब की वैल्यू आपको पता है यहां पर पट कर दीजिए आपका डायरेक्ट आंसर ए जाएगा देखो साड़ी वैल्यू पट करेंगे डायरेक्ट आंसर ए जाएगा कितना आसन है लाप्लास आगे बढ़ते हैं नो लाप्लास ट्रांसफॉर्म कैलकुलेट करना साइन स्क्वायर तीता का और साइन कब तू टी का कैसे करेंगे इसका लाप्लास ट्रांसफॉर्म कैलकुलेट तो सुनो ध्यान से देखो सबसे पहले इनके लिए हमने कोई फॉर्मूला नहीं पढ़ा हमने तो सन एड का और कस ए टी का फॉर्मूला पढ़ा qr² का नहीं पढ़ा अगर साइन कब में दे रखा है या स्क्वायर में दे रखा है तो इसके लिए आपको ट्रिगोनोमेट्री के फार्मूले उसे करने होंगे और बहुत ज्यादा आप उसे कर चुके हैं ऑलरेडी साइन स्क्वायर को या साइन कब को हम सन कस में कन्वर्ट कर सकते हैं देखो कैसे साइन स्क्वायर तू दी का साइन स्क्वायर थ्री दी है तो साइन स्क्वायर का फॉर्मूला लगाएंगे कौन सा फॉर्मूला लगाएंगे इधर ध्यान दीजिए साइन स्क्वायर तीता होता है 1 - cos2θ/2 बस इसी फार्मूले को लगा दीजिए मैं यहां पर तीता की जगह 3d है तो यहां पर देखो ये साइन स्क्वायर तीता 1 - cos2θ है तो यहां पर अगर ये 3d है तो यहां पर 60 ए जाएगा देखो ये ए गया 1 - कस 60 / 2 और ये तो मोस्ट इंपॉर्टेंट फॉर्मूला होता है ट्रिगोनोमेट्री के जो डिफरेंस है इंटीग्रेशन में इनका उसे इतना ज्यादा होता है की आप लोग मुझे नहीं लगता कोई ऐसा बच्चा होगा जिसको ये याद ना हो चलिए फॉर्मूला ग गया यहां पर अब यहां पर वन माइंस ए स्क्वायर देखो अगर sin² ए रहा है तो साइन स्क्वायर में ये फॉर्मूला लगता है और अगर sin³ ए रहा है तो sin3θ का फॉर्मूला लगेगा ये वाला साइन तीता इसमें से साइन तीता निकाल लो तो आप साइन कब तीता की जगह ये लिख सकते हैं तो देखो वहां पर तीता 2t है तो यहां पर ए जाएगा 3 सन 2t और यहां पर उसका तीन गुना है माइंस साइन 60 और उसके बाद इसका लाप्लास ले लो आसानी से लाप्लास निकाल देंगे आप ये देखो फॉर्मूला लगाया फिर उसके बाद आसानी से लाप्लास ए गया यहां पर आपने फॉर्मूला देखो 3sin टूटी हो गया और sin60 हो गया फोर को बाहर कर दो इसका लाभ लास्ट ले लो और इसका लाप्लास ले लो तो ये सन एट का फॉर्मूला ग जाएगा यहां भी सन 80 का फॉर्मूला ग जाएगा आसानी से आंसर ए जाएगा उसके बाद थोड़ा सिंपलीफाई कर दो आगे बढ़ते हैं यहां देखो हाइपरबॉलिक फंक्शन ए गया अब हाइपरबॉलिक का लाप्लास कैसे लेंगे हाइपरबॉलिक का लाप्लास हमें पता है कैसे लेना है लेकिन प्रॉब्लम ये है की यहां पर स्क्वायर ए रहा है और के ए रहा है अब हाइट पर बोलिंग में तो हमने के और स्क्वायर के फार्मूले नहीं पड़े मैंने भी कहानी नहीं लिखवाया आपको क्योंकि हमें उनकी रिटायरमेंट नहीं है तो क्या कर सकते हैं लेकिन हमें सन हाइपरबॉलिक का कस हाइपरबॉलिक का फार्मूले याद है ये दोनों और इनको आप जानते हैं कितना ज्यादा उसे मतलब लगभग सभी यूनिट में फॉर्मूला का उसे हो रहा है देखिए मैथमेटिक्स तू के अंदर ट्रिग्नोमेट्री हाइपरबॉलिक फंक्शन बहुत इंपॉर्टेंट है क्योंकि लगभग हर यूनिट में फंक्शन का उसे हुआ है अगर आप लोगों ने पूरा मैथमेटिक्स पढ़ लिया है तो आप लोगों को भी ये बात समझ में ए गई होगी है ना देखिए तो यहां पर सन हाइपरबोले के एक्स कस हाइपर बोले एक एक्स दोनों के फार्मूले लगा दीजिए पावर -2t/2 का होल स्क्वायर बस ये ए - देखो 2² ओपन कर दो a² + b² - 2ab सिंपलीफाई कर लो इसको सिंपलीफाई करके ये ए गया अब बताओ इसका लाप्लास लेना कितना आसन है यहां ए की पावर एट का फॉर्मूला लगेगा यहां अभी वही लगेगा और यहां पर तू है तू का तू अपन एस हो जाएगा तो देखो ये हो गया 1 / एक्स - ए और 1 / एक्स + ए क्योंकि यहां पर ए क्या है माइंस में है तो बहुत ही सिंपल है लाप्लास ट्रांसफॉर्म को क्वेश्चंस को सॉल्व करना नेक्स्ट देखो आगे अच्छा कब वाला ए गया के वाला थोड़ा सा बड़ा हो जाएगा क्यों क्योंकि यहां पर ए प्लस बी का होल कब का फॉर्मूला आपको लगाना पड़ेगा अब जिनको देखिए ए + बी का होल कब याद नहीं है तो ये बड़ी प्रॉब्लम है याद होना चाहिए क्योंकि ए + बी का होल कब यही पर अप्लाई नहीं हो रहा है आपने देखा और भी बहुत जगह हमने अप्लाई किया है ए + बी का होल कब तो यहां पर ये ए + बी का होल कब अप्लाई हो जाएगा a³ + b³ + 3a स्क्वायर बी प्लस और ब्रैकेट में 3ab और ए + बी तो यहां पर ये सिंपलीफाई कर लो इसको तो सिंपलीफाई करने के बाद ये ए गया देखो ए की पावर 18 की फॉर्म में बन रहा है सब तो यहां तो कुछ करना नहीं ए की पावर एट वाले फार्मूले ग रहा है फॉर्मूला लगाने के बाद आपके पास ये ए गया एक्चुअल में यह क्या थोड़ा सा बड़ा स्पेशल इसको आप सिंपलीफाई कर सकते हैं देखो इन दोनों का साथ में एलसीएम ले लो क्योंकि a² - b² बन जाएगा और इन दोनों का साथ में ले लो यहां भी a² - b² बन जाएगा और उसके बाद जब ये सिंपलीफाई हो जाए तो बाकी बचेगा भी एलसीएम ले लो मतलब उसके बाद तो सिंपलीफिकेशन है केवल आगे बढ़ते हैं अब देखो यहां देखो यहां क्या करें इसका लाप्लास लेना है अब इसके लिए हमने कोई फॉर्मूला नहीं पढ़ा साइन कॉस्मेटिक लेकिन जब भी साइन कस मल्टीप्लाई में आते हैं सन कस मल्टीप्लाई में ए जाए साइन साइन मल्टीप्लाई में ए जाए या कस कस मल्टीप्लाई में ए जाए आप जानते हैं आपको क्या करना है इसके लिए आपने कर ट्रिगोनोमेट्री के फार्मूले पढ़ रखें हैं वो फार्मूले आपको उसे करने और बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट है इस फॉर्म के देखो इस टाइप के कर फार्मूले मैंने आपको बहुत बार पढ़ाएंगे ये फार्मूले लगभग पांच और यूनिट में उसे होते हैं और बहुत जगह उसे होते हैं इसलिए ये फार्मूले आपको आने ही चाहिए ठीक है ना ट्रिगोनोमेट्री तो बस आपको क्या करना है देखो इनको क्या करना है इस फार्मूले से प्लस वाली फॉर्म में कन्वर्ट कर दो और अगर एक चीज मैं आपको बता डन जैसे आप जब डिफरेंशियेशन और इंटीग्रेशन करते हैं तो जैसे आप डर इंटीग्रेशन का सिंपलीफिकेशन होता है ना वैसा ही सिंपलीफिकेशन लाप्लास में भी होता है अगर मैं आपसे कहूं की इन दोनों का इंटीग्रेशन करो है ना तो आप इन दोनों का इंटीग्रेशन तभी कर पाएंगे जब आप पहले यह फॉर्मूला लगा देंगे और लाप्लास भी तभी कर पाएंगे जब इनका फॉर्मूला लगा देंगे यानी की आपको इनका इंटीग्रेशन करना हो डर करना हो लाप्लास निकालना हो करने का तरीका एक ही जैसा है सिंपलीफिकेशन का मेथड एक ही जैसा है तो आप इसको सिंपलीफाई करेंगे इस फार्मूले से ठीक है ना तो देखो मैंने यहां पर ये फॉर्मूला लगा दिया अब हो सकता यहां पर देखो तू नहीं है तो पहले तू से मल्टीप्लाई डिवाइड करना पड़ेगा तू से मल्टीप्लाई किया तू से डिवाइड किया अब यहां पर फॉर्मूला लगा दिया है ना फॉर्मूला लगा के ये ए गया अब देखो कितना आसन हो गया ये इसका लाप्लास लो आंसर ए गया उसके बाद तो सिंपलीफिकेशन है मतलब बहुत ही सिंपल है कोई दिक्कत आपको नहीं आएगी इसमें ठीक और यहां पर देखो प्रैक्टिस के लिए कुछ और यहां पर सिंपल सिंपल से क्वेश्चन लेकर इनको आप करके देख सकते हैं अब बढ़ते आगे है तो यह था हमारा लेप्लेस ट्रांसफॉर्म का बेसिक पार्ट है ना यानी की अभी तक जितने भी क्वेश्चन मैंने आपको कराए वो क्वेश्चन है उन सेवन बेसिक फार्मूले के ऊपर एकदम डायरेक्ट क्वेश्चन थे अब ये मत समझना की वो सेवन बेसिक फार्मूले जो हमारे हैं उनका कम खत्म हो गया नहीं इस चैप्टर के और तक वो 7 बेसिक फार्मूले उसे होंगे इस चीज का ध्यान रखना ठीक है ना चलिए अब आगे बढ़ते हैं और लाप्लास ट्रांसफॉर्म का पहले टॉपिक हमारा कंप्लीट हुआ कौन सा बेसिक फार्मूले ऑफ लास्ट ट्रांसफॉर्म अब आगे बढ़ते हैं और पढ़ने प्रॉपर्टीज ऑफ डॉ क्लास ट्रांसफॉर्म और प्रॉपर्टीज और लाप्लास ट्रांसफॉर्म में सबसे पहले हम प्रॉपर्टी पढ़ेंगे फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी जिसका दूसरा नाम होता है फर्स्ट ट्रांसलेशन प्रॉपर्टी या फर्स्ट शिफ्टिंग थ्योरम भी इसको कहा जाता है देखो लाप्लास ट्रांसफॉर्म की तीन प्रॉपर्टी है पहले पार्ट दूसरा पार्ट इन्वर्स डॉ प्लस फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी का तीनों प्रॉपर्टी में सबसे इंपॉर्टेंट प्रॉपर्टी यही है फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी देखो कितनी आसन है क्या कहा गया है इसमें अगर फटी का लाप्लास एफसी है फटी का लाप्लास क्या है एफसी है ना तो अगर इस फटी फंक्शन को हम ए के पावर एट से मल्टीप्लाई कर दें मतलब फटी का फटी का लाप्लास आपको मालूम है फटी का लाभ प्लस क्या एफसी है लेकिन अगर इस एक्टिव फंक्शन के साथ ए की पावर 18 मल्टीप्लाई हो जाए तो फिर उसका लाप्लास क्या आएगा तो देखिए उसका लग लॉस क्या आएगा सिर्फ आपको एस को रिप्लेस कर देना है एस - ए से ए कहां पर मिलेगा ए मिलेगा ए की पावर 18 ये आपको इसमें एड कर देना अगर मां लो ए की पावर -80 हो जाएगा क्लियर है तो ये होती है हमारी फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी और अगेन बहुत इंपॉर्टेंट है चलिए इसके ऊपर बेस क्वेश्चन देखिए समझ में ए जाएगा कैसे करना है ये जो बेसिक फार्मूले होते हैं बेसिक फार्मूले इनमें अगर मैं फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी लगाऊं तो देखो फॉर्मूला होता है एन फैक्टोरियल अपन एस की पावर एन + 1 तो अगर इस टी की पावर एन के साथ में ए की पावर 18 मल्टीप्लाई हो जाए तो ये फॉर्मूला बादल जाएगा एस की जगह एस - ए जाएगा एस - ए की होल पावर एन + 1 क्लियर हो गया है तो मेरे ख्याल से बात आपको समझ में ए गई होगी ठीक है उसके बाद सिमिलरली इस वाली प्रॉपर्टी को देखो आप जैसे साइन बी टी हो या ब हो या बी लिख रखा है उससे कोई फर्क नहीं पद रहा तो सन ब स्क्वायर प्लस ए स्क्वायर होगा अगर इसमें ए की पावर एट मल्टीप्लाई हो जाए तो क्या होगा एस के प्लेस पर एस - ए जाएगा और कोई चेंज नहीं आएगा मतलब केवल चेंज कितना ए रहा है अगर ए की पावर 18 के साथ मल्टीप्लाई हो रहा है तो चेंज इतना ए रहा है की जहां जहां एस - ए हो गया अब दूसरी इंपॉर्टेंट बात सुनो ये फार्मूले याद नहीं करने आपको केवल 7 बेसिक फॉर्मूला + ट्रांसफॉर्म ही याद करना है अभी तक है ना बाकी जो ट्रिगोनोमेट्री के फार्मूले हैं वो सब तो याद होना ही चाहिए और गम वाली जो वैल्यू बताई वो याद हनी चाहिए इनको याद करने की जरूर नहीं है जब भी आपको प्रॉपर्टी लगाने आई है तो इनको क्यों याद कर रहे हो प्रॉपर्टी लगाएंगे डायरेक्ट ठीक है तो इनको याद नहीं करना मैंने पहले से ही देखो क्रॉस लगा रखा है ये केवल समझने के लिए था की अगर टी की पावर एन के साथ अगर फटी के साथ ए की पावर 80 मल्टीप्लाई हो जाए तो आपको सिर्फ एस की जगह पर एस - ए पट कर देना है और एस की जगह दूसरा पैरामीटर पी का भी उसे करेंगे हम एस की जगह देखो जहां जहां एस ए रहा है वहां वहां पी भी लिख सकते हैं आगे बढ़ते हैं इसके ऊपर देखो क्वेश्चन देखो ये लिखा है 1 + टी ए की पावर माइंस टी की होल कब लिखा है तो सबसे पहले तो यहां पर क्या करना पड़ेगा तो सिंपलीफाई करना पड़ेगा ए + बी लगा दो फॉर्मूला यहां लिखा है तो देखो ए + b³ लगा के हमारे पास ए गया ये यह ए गया फटी और ये इसके साथ मल्टीप्लाई टी की पावर थ्री का लाप्लास क्या होता है पहले आप क्या करो टी की पावर थ्री का जो लाप्लास आएगा उसमें आप एस की जगह पर एस + 3 पट कर दो ये आपको करना पड़ेगा मतलब ध्यान रखना करने का तरीका पहले आप टी की पावर थ्री जो की बहुत आसानी से आप ले सकते हैं है ना टी की पावर थ्री का कितना हो जाएगा 3 / एक्स की पावर 4 मतलब कितना हो गया 3 फैक्टोरियल अपन एस की पावर फोर हो गया किसका टी की पावर थ्री है अब क्योंकि इसके साथ में मल्टीप्लाई हो रहा है ए की पावर माइंस थ्री दी तो एक यहां पर क्या ए जाएगा एस के प्लेस पर एस प्लस थ्री ए जाएगा अगर ये अगर ये 3d होता तो एस-3 आता है तो वह यहां पर ए गया सिमिलरली यहां पर देखो क्या ए जाएगा एस की जगह ए जाएगा एस प्लस वन बस यही आपको करना है देखो यहां पर ले लो किसका लेना है t² का अब t² का जो लाप्लास होगा वो होगा आपका तू फैक्टोरियल अपन एस की पावर थ्री तो यानी की 2 / एस की पावर थ्री तो वहां पर एस प्लस तू हो जाएगा देखो ये हो गया तो कितना आसन है कुछ नहीं करना है आपको बहुत आसानी से आप लाप्लास कैलकुलेट कर सकते हैं तो ये थी हमारी फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी तो इस फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी को आप बहुत आसानी से अप्लाई कर सकते हैं जैसे ये क्वेश्चन है ये तो यहां पर मल्टीप्लाई हो रहा है माइंस में तो पहले एक कम करो है इसको एक्टिव मानो और इसका लाप्लास ले लो पहले फटी ए गया तो लाप्लास ऑफ फटी आपका ये ए गया ना अब इसमें फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी लगा दो फर्स्ट शिफ्ट इन प्रॉपर्टी क्या अकॉर्डिंग जो एस है एस के प्लेस पर एस प्लस थ्री ए जाएगा देखो एस के प्लेस पर एस + 3 लिख दो यहां भी एस प्लस थ्री लिख दो उसके बाद इसको सिंपलीफाई करके लिख दो आंसर तो ये हो गया हमारा फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी तो मेरे ख्याल से आप फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी अब आसानी से उसे कर लेंगे कोई प्रॉब्लम आपको नहीं आएगी यहां पर देखो ये कस हाइपरबोला 80 लिखा है ये कस ब लिखा है तो एक कम करो पहले कस हाइपरबॉलिक एट का फॉर्मूला लिखो ए की पावर में तो कस हाइपरबोला 80 का फॉर्मूला ये हो जाएगा लिख दो यहां पर उसके बाद सिंपलीफाई कर दो ये कस ब जो है इसके साथ भी आएगा और इसके साथ भी आएगा मल्टीप्लाई करने के बाद दोनों के साथ मल्टीप्लाई कर दो तो मल्टीप्लाई करने के बाद ये ए गया अब लाप्लास ले लो देखो भाई कस ब का तो आपको मालूम है ना क्या होता है ऐसा कौन कस बीती का होता है एस/ओ एक्स स्क्वायर प्लस b² और जहां पर एस ए रहा है वहां पर एस की जगह एस - ए रख दो देखो अगर यह ए की पावर 18 नहीं होता इसके साथ में अगर ये नहीं होता तो इसका लाप्लास क्या आता है कॉस्बेटा का ऐसा कौन एस स्क्वायर प्लस बी स्क्वायर लेकिन क्योंकि ए की पावर तो एस की जगह एस - ए हो गया देखो क्लियर है तो आसानी से आप इनको उसे कर सकते हैं फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी का अप्लाई आसानी से आप कर सकते हैं आगे बढ़ते हैं इसमें देखो यहां पर भी से है इसको फटी मां लो और इसको फटी मां के पहले इसका लाप्लास ले लो इसका लाप्लास लेने के लिए आपको ये फॉर्मूला लगाने पढ़ेंगे फिर से है ना तो इसको फटी मां के इसका लाप्लास ले लेंगे और उसके बाद इसका जो लाप्लास आएगा उसमें बस आपको क्या करना है एस के प्लेस पर एस प्लस वन रखना है क्योंकि यहां पर ए की वैल्यू -1 है तो देखो ए फर्स्ट 15 प्रॉपर्टी लगाएंगे आप और जहां-जहां एस ए रहा है देखो यहां पर ये ए गया जहां जहां एस ए रहा है वहां वहां एस प्लस वन रख देंगे तो आपका आंसर ये ए जाएगा क्लियर है तो ये हुआ फर्स्ट शिफ्ट इन प्रॉपर्टी का उसे सिमिलरली यहां पर भी को एक्टिंग मां लो और इसका लाप्लास ले लो अभी 7 / 2 यहां पर देखो फॉर्मूला आपका लगेगा गम वाला तो गम 9/2/एस की पावर 9/2 अब देखो इसमें 9 है तो इसको 22 कम करते चले जो नाइन में से तू कम करोगे 7 / 2 फिर 2 कम करो 5/2 कम करो 3/2 फिर तू कम करो वन बाय तू अब बच्चा वन नाइट और गम वन बाय तू होता है √5 आंसर ए जाएगा क्लियर है तो ये था फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी जो की बहुत इंपॉर्टेंट है जिसका उसे आपको आना चाहिए अब हम चलते हैं ये दो क्वेश्चन और इनको भी आप सॉल्व करके देख सकते हैं अब हम चलते हैं आगे नेक्स्ट अब हमारे पास देखो तीन प्रॉपर्टी हमारे पास थे जैसा मैंने आपको बताया फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी मैंने आपको बता दी है अब मैं आपको बताने जा रहा हूं चेंज ऑफ स्केल प्रॉपर्टी और सेकंड शिफ्टिंग प्रॉपर्टी तो सबसे पहले बात करेंगे चेंज ऑफ स्केल प्रॉपर्टी की चेंज ऑफ स्केल प्रॉपर्टी इस प्रॉपर्टी की बात करते हैं ये भी इंपॉर्टेंट है देखो यहां पर चेंज ऑफ स्केल प्रॉपर्टी और सेकंड शिफ्ट में प्रॉपर्टी बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट तो नहीं है लेकिन आनी चाहिए कई बार बड़े क्वेश्चन में बीच में ए जाति है सिंपल एक बार समझ लीजिए चेंज ऑफ स्केल प्रॉपर्टी तो बहुत ही आसन है देखो क्या है जैसे फटी का लाप्लास होता है लेकिन अगर इस टी के साथ में ध्यान रखना टी के साथ में ए मल्टीप्लाई होना चाहिए अगर इस टी के साथ में कोई कांस्टेंट मल्टीप्लाय हो जाता है तो फिर इसका जो लाप्लास होगा वो देखिए क्या होगा 1 / ए देखिए एस की जगह ए जाएगा ऐसा कौन है और उससे पहले 1 / अब आएगा तो 1 / एफ / ए बस इसका एक क्वेश्चन मैं आपको बता देता हूं इसको उसे कैसे करना है देखो ये हमारे पास क्वेश्चन ये फटी का लाप्लास ट्रांसफॉर्म है और हमें f2t का लाप्लास ट्रांसफॉर्म इसके इक्वल प्रूफ करना है कैसे करें बहुत सिंपल है मैं इसका लाप्लास आपको दिया है इसका लाप्लास आपके पास एफसी है ये लिखा है इसका लाभ प्राप्त अब आपको इसमें बाइक चेंज ऑफ स्केल प्रॉपर्टी लगाना कैसे पता चला क्योंकि ये 80 है ए की वैल्यू तू है फॉर्मूला क्या कहता है अगर आप इसका चेंज ऑफ स्केल प्रॉपर्टी इसमें लगाते हैं तो एक तो वन अपन ए आएगा क्या आएगा 1 / ए कितना है तू है तो 1 / 2 ए गया 1 / ए और जहां जहां पर एस ए रहा है वहां पर एस / ए आएगा देखो जहां जहां ऐसे वहां ए जाएगा यानी की जहां जहां पर एस लिखा हुआ एस/ओ लिख दो देखो सब जगह जहां पर एस था और उसके बाद इसको सिंपलीफाई कर दो जब आप सिंपलीफाई करेंगे तो वही ए जाएगा जो आपको प्रूफ करना है तो ये इसका एप्लीकेशन हो गई एक और क्वेश्चन में देखिए चलिए इस क्वेश्चन में देखिए क्या है इसमें इसमें कहा गया की लाप्लास ट्रांसफार्मर टी का लाप्लास निकालिए तो यहां देखते ही आपको समझ में ए रहा होगा की यहां तो साइन तीता ए गया ये देखिए इसके साथ कुछ मल्टीप्लाई हो रहा है तो इसमें चेंज ऑफ स्केल प्रॉपर्टी लगेगी कैसे लगेगी जरा ध्यान दीजिए ये तो आपको जिवन था भाई चेंज ऑफ स्केल प्रॉपर्टी अब हम इसमें चेंज ऑफ स्केल प्रॉपर्टी लगाते हैं इधर तो देखो टी की जगह क्या आएगा 80 तो यहां पर टी की जगह एट आया और नीचे टी है देखो आप जरा यहां पर एक चीज का ध्यान रखना टी के प्लेस पर ए टी लिखना है तो यहां भी लिखोगे और यहां भी लिखोगे जहां-जहां टी ए रहा है वहां सभी जगह पर टी के प्लेस पर एट ए जाएगा क्लियर है क्योंकि आप चेंज ऑफ स्केल प्रॉपर्टी लगाने जा रहे हैं तो सन 80 / 80 इस इक्वल तू अब चेंज ऑफ स्केल प्रॉपर्टी का फॉर्मूला लगाएंगे आप इसमें क्या करोगे 1 / ए जाएगा और यहां एस का हमारा एस की जगह एस/ओ ये ए जाएगा बस इसको सिंपलीफाई करेंगे यह यहां से मल्टीप्लाई हो के ऊपर चला जाएगा है ना और इधर देखो जरा ये ये सन एड ये सन एट के नीचे लिखा ए और टी तो ए से ए कट जाएगा तो यहां सिनाट / टी की वैल्यू ए जाएगी तन इन्वर्स ए/एस और यही हमें फाइंड करना है तो ये हो गया चेंज ऑफ स्केल प्रॉपर्टी का उसे नो सेकंड शिफ्टिंग प्रॉपर्टी अब सेकंड शिफ्टिंग प्रॉपर्टी का उसे जो है एक्चुअल में ये इंपॉर्टेंट इसलिए हो जाति है क्योंकि सेकंड शिफ्टिंग प्रॉपर्टी का उसे हम आगे चल करके पढ़ेंगे यूनिट स्टेप फंक्शन वहां पर भी इस प्रॉपर्टी का उसे है और यूनिट स्टेप फंक्शन थोड़ा इंपॉर्टेंट है कभी-कभी वहां से क्वेश्चंस 7 मार्क्स में भी ए जाता है कभी है ना दूसरा इसका उसे जब हम पढ़ेंगे एप्लीकेशन ऑफ लाप्लास ट्रांसफॉर्म तो एप्लीकेशन है जहां पर इसका उसे है और आपको मालूम है एप्लीकेशन मार्क्स का क्वेश्चन मां के चलिए की 100% आता है है ना चलिए अब यहां पर देखते हैं क्या है क्या है फस और यहां पर एक जीटी फंक्शन है और ये जो जीटी फंक्शन है यह दो पार्ट में ब्रेक है एक तो है फटी - ए देखो फटी ये यहां पर टी की जगह टी - ए की अगर एक्ट का लाप्लास है तो जीटी का जो देखो यहां पर दो फंक्शन आप एक तो आपको दिया है की फटी का लाप्लास एफसी है और आपको एक जीटी फंक्शन दिया और ये जीटी फंक्शन को ध्यान से देखो कैसे बनाया गया है जीटी फंक्शन इक्वल तू फटी - ए ये जो फटी का टी को हटा दिया टी - ए से है ना तो इस गड़ की जो वैल्यू होगी वो फटी - ए होगी अगर टी ग्रेटर दें ए है और अगर टी < ए तो स की वैल्यू कितनी होगी जीरो होगी क्लियर है कितनी हो गई जीरो हो गई तो अब अगर इस जीटी का ट्रांसफॉर्म लिया जाए तो क्या आएगा तो इसको जरा ध्यान से देखना ए की पावर स इन एफसी ए की पावर माइंस में और एप्लीकेशन उसे है इसलिए इंपॉर्टेंट है ये क्वेश्चन देखो हमारे पास है यहां पर इस क्वेश्चन से आपको इसका उसे समझ में ए जाएगा देखिए क्या है क्वेश्चन इसमें क्या कहा गया है और हमें फटी फंक्शन दे रखा है अब यहां पर थोड़ा ध्यान से देखना यहां पर जो जीटी था यहां पर जीटी का नाम फटी दे दिया है क्लियर है यहां पर यह जीटी होना चाहिए था लेकिन जीटी की जगह फटी लिखा तो नाम तो बादल सकते हैं ना तो यह आपको समझ में ए गया होगा की यहां पर सेकंड शिफ्टिंग प्रॉपर्टी लगेगी अब एक बात बताओ मुझे अगर ये फटी है अगर ये फटी है और मुझे इसका लाप्लास निकालना है तो यहां पर अगर हम ध्यान दें अगर हम यहां पर ध्यान दें तो एक्चुअल में ये क्या है ये टी - ए देखो यहां लिखा ना टी - ए टी - ए π/3 ए का कम कर रहा है अब इस प्रॉपर्टी को समझो जरा ध्यान से यहां पर ये जो फटी का लाप्लास एफसी होता था और यहां पर फटी - ए जाता था यानी की यहां पर जो लिखा गया है ये फटी - ए है लेकिन हम इसको फटी - ए नहीं बोल सकते क्योंकि यहां पर ये फटी दे रखा है है ना तो अगर यहां पर ये जीटी दिया होता तो मैं इसको फटी - ए मां लेट लेकिन क्योंकि यहां पर ये फटी दिया है तो इसको हम फटी नहीं मां सकते फटी - ए नहीं मां सकते एक कम करते इसको फाइट टी - ए मां लेते हैं क्या मां लेते हैं π टी - ए ये फाइव टी - ए है ये तो अगर ये 5 टी - ए है तो 5 टी - ए आपके पास साइन फाइव टी - ए और टी - अब क्यों मैन हम ए की वैल्यू यहां π/3 है कितनी है π/3 ए की वैल्यू है π/3 तो हां 5t - 3 की वैल्यू है सन सन टी - π/3 तो अगर मुझे पूछा जाए की मैं यहां पर 5d की वैल्यू क्या है तो 5t की वैल्यू हो जाएगी सन 90 तो देखो वही लिखा है की फाइंड टी वेयर 5d डी सन टी अब देखो हमें क्या करना है यहां पर ये हमारा एक्चुअल में हो क्या गया है ये फटी दे दिया तो हमने इसको 5t मां लिया अब 5t का जो लाप्लास है वो एफसी है तो हम इसका 5s मां लेते हैं ये रहस्य क्या हो गया 5 अब सन टी का आपका छोटा क्या है 1 / x² + 1 तो हमें यहां पर 5s की वैल्यू मिल गई है इसकी वैल्यू मिल गई 5s की अब जरा ध्यान दीजिए नो लाप्लास ट्रांसफार्मर 50 फॉर्मूला क्या लगेगा ए की पावर एक्स इन एफसी एफसी की जगह 5s ए जाएगा तो यहां पर देखो ए की पावर माइंस की वैल्यू क्या है ये आप जानते है 5s की वैल्यू 1 / x² + 1 है तो इसका प्लस ये ए गया क्लियर है तो इस चीज को थोड़ा सा ध्यान से समझेंगे तो एक बार ध्यान से देखना आपको समझ में ए जाएगा क्लियर है आगे बढ़ते हैं तो यह तीनों प्रॉपर्टी की बात हमने कर ली लाप्लास की तीनों प्रॉपर्टी मैंने आपको बता दी अब थोड़ा सा आगे बढ़ते हैं ना और आगे की चीज देखते हैं क्या है तो लाप्लास ट्रांसफॉर्म में दो चीज मैंने आपको बता दिए एक तो बेसिक फार्मूले ऑफ लाप्लास ट्रांसफॉर्म साथ फार्मूले हैं सातों को याद होने चाहिए उनका उसे करना आना चाहिए प्रॉपर्टीज और लाप्लास ट्रांसफॉर्म ये मैंने आपको तीनों प्रॉपर्टी बता दिए अब इसके बाद लाप्लास ट्रांसफॉर्म में नेक्स्ट टॉपिक आता है हमारा मल्टीप्लिकेशन में टी की पावर एन और डिवीजन बाय टी है ना मल्टीप्लिकेशन में टी की पावर एन और डिवीजन बाय टी आपको ये भी आना चाहिए क्यों आना चाहिए क्योंकि यहां से तो तू मार्क्स का क्वेश्चन आने के चांसेस बहुत ज्यादा होते हैं दूसरा इनका उसे आगे चल के सभी जगह पर जितने भी इंपॉर्टेंट टॉपिक है सभी इंपॉर्टेंट टॉपिक में इनका भी उसे आएगा इनके बिना आप आगे के टॉपिक नहीं पढ़ सकते ठीक है ना तो इन सब का उसे आता है इसलिए आना चाहिए और बहुत सिंपल है ये मल्टीप्लिकेशन में टी की पावर एन और डिवीजन बाय दी इसका मतलब क्या आपके पास जो जिवन फंक्शन होगा उसको टी की पावर एन टी की पावर एन का मतलब यहां कुछ भी हो जाता है 1234 कुछ भी हो सकता है है ना यानी की अगर आपका जिवन फंक्शन टी से मल्टीप्लाई हो जाएगा t² से मल्टीप्लाई हो जाएगा t³ से मल्टीप्लाई हो रहा है तब लाप्लास कैसे लेंगे और डिवीजन बाय टी अगर आपका फंक्शन टी से डिवाइड हो रहा है तब उसका कैसे लिया जाएगा ये यहां पर हम पढ़ने वाले हैं ठीक है चलिए स्टार्ट करते हैं तो सबसे पहले यहां पर अच्छा ये तो बेसिक फॉर्मूला आपको फिर से यहां पर लिखे हैं सबको मालूम है ठीक है आगे बढ़ते हैं अच्छा यहां पर एक चीज ध्यान दीजिए अभी तक मैं आपको लाप्लास ट्रांसफॉर्म के जितने भी फार्मूले थे वो एस के टर्म में बता रहा था अब मैंने सारे फार्मूले को पी के टर्म्स में लिख दिया अब इससे आगे हम जितने भी क्वेश्चंस सॉल्व करेंगे वहां पर हम एस पैरामीटर की जगह पी पैरामीटर का उसे करेंगे क्लियर है एक्चुअल में मैंने दोनों पैरामीटर का उसे कर लिया था जिससे बच्चों को कोई कन्फ्यूजन ना हो क्योंकि एग्जाम में पी भी ए जाता है और एग्जाम में एस भी ए जाता है इसलिए आपको दोनों फॉर्म में कंफर्टेबल रहना है ऐसा ए जाए तो कोई दिक्कत नहीं पी ए जाए तो कोई दिक्कत नहीं तो देखो कुछ नहीं है सेवन बेसिक फार्मूले वही है जहां जहां ऐसा वहां पी कर दिया मैंने यह तीनों प्रॉपर्टी है फिर से देखो प्रॉपर्टी में भी जहां-जहां ऐसा वहां पी कर दिया यहां पर कैपिटल फटी हो गया और यहां पर एसपी हो गया और कोई चेंज नहीं आया बस एस की जगह पी ए गया और कोई अंतर नहीं है देखो तो यहां पर सारे फार्मूले मैंने दोबारा से इन टर्म्स ऑफ पी लिख दिए जिससे आपको कोई कन्फ्यूजन ना हो तो एक बार ध्यान से देख लीजिए सारे फार्मूले इन टर्म्स ऑफ पी लिखे गए हैं इन टर्म्स ऑफ पी ए आगे देखो प्रॉपर्टी इन टर्म्स ऑफ पी है प्रॉपर्टी इन टर्म्स ऑफ पी है अब यहां पर हमें जो टॉपिक पढ़ना है मल्टीप्लिकेशन बाय टी की पावर एन और डिवीजन बाय टी उससे पहले मैं आपको कुछ इंपॉर्टेंट ट्रिगोनोमेट्री के फार्मूले बता देता हूं जो यहां पर भी उसे होंगे आगे भी उसे होंगे और इनका उसे पीछे भी हो चुका है अभी हमने उसे कर चुके इन फॉर्मूलों का काफी सारे फार्मूले इनमें से उसे हो चुके हैं इंपॉर्टेंट ट्रिगोनोमेट्री फॉर्मूला है ये जैसे साइन तू तीता का फॉर्मूला इसका उसे हम करेंगे है ना अभी तक नहीं किया लेकिन आगे आएगा कुछ क्वेश्चंस में कर चुके हैं देखो इनमें से ये सब cos2θ की अलग-अलग फॉर्म होती है और आपने देखा अभी-अभी इस फार्मूले का उसे हमने किया था इसका उसे कर चुके हैं देखो यह यह चारों फार्मूले तो बहुत ही ज्यादा उसे होते हैं अभी भी हम इनमें से दो-तीन फार्मूले उसे कर चुके हैं तो यह सब याद होने चाहिए आपको ठीक है ना बहुत बार मैं इनको रिपीट कर चुका हूं आगे बढ़ते हैं आपको मेरे ख्याल से चार-पांच क्वेश्चन में तुम कर भी चुके हैं है ना और आगे भी क्वेश्चन में बहुत ज्यादा इनका उसे आएगा आगे बढ़ते हैं ना टॉपिक है हमारा लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ डी फंक्शन मल्टीप्लाई टी की पावर एन अगर किसी फंक्शन में टी की पावर एन से मल्टीप्लाई हो जाए तब उसका लाप्लास कैसे लिया जाता है ये इस टॉपिक के अंदर हमें सीखने को मिलता है देखो सबसे पहले देखो क्या कहता है फॉर्मूला की अगर फटी का जो लाप्लास है वो एफ है अब पी है यहां पर एस नहीं है है ना से चीज है तो अगर इस फटी के साथ में टी की पावर एन मल्टीप्लाई हो जाए देखो फटी के साथ में टी की पावर एन मल्टीप्लाई हो गया तो इसका जो लाप्लास होगा देखो फॉर्मूला क्या है -1 की पावर एन दी की पावर एनएफपी इसका मतलब क्या है आपको जो आपका एफसी तो सबसे पहले आप क्या करो ये जो फटी वाला फंक्शन है इसका लाप्लास ले लो इसका लाप्लास आएगा पी और जो इसका लाप्लास आया है उसको आपको उतनी ही बार डिफरेंशिएट करना है जितनी पावर तीखी है अब यहां पर तो टी की पावर एन है लेकिन जो क्वेश्चन आपके पास आएंगे उसमें टी की पावर या तो वन होगी या तू होगी या थ्री होगी थ्री से ज्यादा नहीं होगी तो यानी की आपको एसपी को या तो एक बार डिफरेंशिएट करना होगा या दो बार या तीन बार ठीक तो ये आपको मेरे ख्याल से बात समझ में ए गई होगी दूसरा यहां पर जो साइन है वो माइंस वन की पावर एन है यानी की अगर एन की वैल्यू वन होगी तो माइंस वन की पावर वन माइंस वन आएगा अगर एन की वैल्यू तू हो गई तो एन - 1 की पावर तू प्लस वन आएगा और अगर एन की वैल्यू थ्री हो गई तो माइंस आएगा यानी की प्लस साइन जो है अल्टरनेट चलेगा वन पे माइंस तू पे प्लस थ्री पे माइंस फोर पे प्लस एवं नंबर पे प्लस आएगा और ओड नंबर पे माइंस आएगा यह तो हो गई जनरल बात लेकिन जो आपको क्वेश्चन में उसे करना है वहां पर अगर एन की वैल्यू वन हुई अगर एन की वैल्यू वन हुई तो मतलब एन की वैल्यू वन होने का मतलब है की फटी के साथ केवल टी मल्टीप्लाई होगा तो उसे कैसे में आपको क्या करना है फटी का लाप्लास ले लेना है जो की एफबीआई आएगा और उसे एफ का एक बार डर कर देना है और माइंस साइन लगा देना क्योंकि एक ही बार डिफरेंशिएट कर रहा है अगर एक बार डिफरेंशीएट कर रहा है तो माइंस लगेगा दो बार कर रहा है प्लस लगेगा तीन बार कर रहा है माइंस लगेगा इस ये चीज का आप ध्यान रखेंगे अब अगर ये टी स्क्वायर से मल्टीप्लाई हो गया तो आप एक कम करो इस फटी का लग लास्ट ले लो जो की एफ आएगा और उसको दो बार डिफरेंशिएट कर दो साइन प्लस आएगा क्योंकि दो बार कर रहे हो आप अगर मां लो टी की पावर थ्री मल्टीप्लाई हो रहा है तो आप एक कम करो फटी का लास्ट ले लो जो की एफबी आएगा और उसको तीन बार डिफरेंटशिएट कर दो और याद रखना माइंस साइन लगा देना है इससे ज्यादा नहीं आएगा क्योंकि तीन बार डर भी काफी बड़ा हो जाता है कर बार या पांच बार अगर डर करना पड़ेगा तो क्वेश्चन हो जाएगा इसलिए 3 से ज्यादा नहीं आता है ठीक है आगे बढ़ते हैं और क्वेश्चन देखते हैं देखो इसका पहले क्वेश्चन आपके पास ए गया अब यहां पर जरा ध्यान से देखना अगर मैं इसको फटी मां लूं यह मेरा फटी है तो यहां पर देखो अगर हम इसको फटी मां लेते हैं ये अगर मेरा फटी है तो आप ध्यान से देखो की यहां पर t² मल्टीप्लाई हो रहा है तो लगा देते हैं फॉर्मूला टी की पावर एन वाला तो क्या करना है आपको पहले इस फटी को फटी मां लिया आपने अच्छा यहां पर अब हम कैपिटल फटी मां रहे हैं क्योंकि हम पी का उसे कर रहे हैं तो ये मेरा हो गया फटी अब इस एक्टिंग का लग लॉस ले लो देखो फटी मां लिया मैंने ए की पावर माइंस थ्री टी इसका लग लॉस लिया तो ए की पावर माइंस थ्री दी गला प्लस क्या होगा बेसिक फार्मूले देखिए बेसिक फॉर्मूला रखेंगे यहां पर भी तो 1 / पी + 3 यहां पर ए की पावर एड का फॉर्मूला ग गया अब क्या करना है अब यहां 30 का मल्टीप्लाई हो रहा है इसका मतलब आपको इस एफ का दो बार डर करना है और प्लस साइन लगाना है तो एक बार डिफरेंटशिएट करोगे ये आएगा दूसरी वाली डिफरेंशिएट करोगे ये आएगा तो अब आपका इसका ओवरऑल देखो ओवरऑल पूरे का जो लाप्लास हो गया वो कितना हो गया एफ डबल दास पी के बराबर हो गया है ना तो यहां पर देखो ये इसका आंसर कितना आसन अच्छा अब इसमें इस क्वेश्चन को हम दूसरे तरीके से भी कर सकते थे कैसे बाय शिफ्टिंग प्रॉपर्टी कैसे अगर आप अगर आप इसमें t² को फटी मां ले मैंने तो इसको माना फटी अगर आप इसको t² को फटी मां ले तो अगर आपने इसको माना तो इसके साथ एक ही पावर एट मल्टीप्लाई प्रॉपर्टी भी लगा सकते हैं देखो मैंने इधर लगे है क्लियर है तो ऐसे भी आप इसको कर सकते हैं कोई प्रॉब्लम नहीं है ठीक है ना चलिए नेक्स्ट क्वेश्चन अब देखो यहां पर ये ए गया इसका लाप्लास लेना है देखो इसके साथ है देखो देखते ही समझ जाना की टीम मल्टीप्लाई में ए रहा है तो आप एक कम करो इसका लाप्लास निकाल दिया इसका लाप्लास निकालना बहुत आसन है साइन स्क्वायर 3d का फॉर्मूला ग जाएगा यहां पर है ना देखो इंपॉर्टेंट फॉर्मूला फिर से ग गया अब क्या करना है जब इसका लाप्लास ये ए गया इसको सिंपलीफाई किया तो सिंपलीफाई करने के बाद फाइनली आपको ये मिल रहा है आफ्टर सिंपलीफिकेशन है ना ये सिंपलीफाई करने के बाद मिल रहा है क्या करो इसको अब इसको एक बार देखो कितनी एक ही बार टी से मल्टीप्लाई हो रहा है ना तो एक बार इसका डर कर दो एक बार डर करने पर जो आपको मिलेगा वही आपका इसका आंसर होगा आगे बढ़ते हैं दूसरा कस हाइपरबॉलिक फंक्शन लिखा है इसको एक-एक फॉर्म में कन्वर्ट कर दीजिए दो तरीके तो देखो मैंने यहां पर इसको फटी मां लिया फिर इसको एक ही फॉर्म में कन्वर्ट कर दिया फार्मूले से कस हाइपरबोले का फॉर्मूला लगा दिया फिर इसको मल्टीप्लाई करके सिंपलीफाई किया सिंपलीफाई करने के बाद हमारे पास ये ए गया अब इसका लाप्लास लेना हमारे लिए बहुत आसन है है ना मैं इसका लाप्लास देना बहुत आसन है इसका लाप्लास हमारे पास ये ए गया देखो और उसके बाद इसको क्या कर एक बार पीछे मल्टीप्लाई हो रहा है तो एक बार इसको डिफरेंशिएट कर दिया और हमारे पास आंसर ए गया और आगे बढ़ते हैं तो ये था मल्टीप्लिकेशन बाय डी तो याद रखना जब टी से मल्टीप्लाई होता है तो आपको करना पड़ता है डर एक बार इसे मल्टीप्लाई तो एक बार डर एसपी का दो बार तो दो बार डर है पी का और अगर तीन बार तीन से मल्टीप्लाई तीन बार का मतलब टी की पावर थ्री और दो बार का मतलब टी की पावर 2 तो 3 बार डर नो अब बात करते हैं हमारे पास नहीं आएंगे तब क्या करेंगे देखो मल्टीप्लिकेशन में डर होता है डिवीजन में इंटीग्रेशन होता है उल्टा हो जाएगा तो अगर फटी का लाप्लास एफ का लाप्लास क्या है एफबी है तो अगर इस फटी को टी से डिवाइड कर दें तो क्या होगा तो देखो आपको करना क्या है क्वेश्चन कैसे करना है अगर कभी भी आपका फटी शर्ट डिवाइड हो जाए तो आप पहले फटी का लाप्लास निकालो फटी का जो लाप्लास होगा वो एफपी होगा और उसके बाद क्या करो जो एफ आया है उसको इंटीग्रेटेड कर दो पी से लेक इंफिनिटी तक और इंटीग्रेटेड करके जो आंसर आएगा वही आपका फाइनल आंसर होगा तो बहुत सिंपल क्वेश्चन इसके भी होंगे देखो क्वेश्चन देखिए यहां पर इसका लाप्लास निकालना है टी से डिवाइड हो रहा है तो याद रखना टी से अगर ये डिवाइड हो रहा है तो ये ऊपर वाला पार्ट है यही आपका फटी है सबसे पहले सेफ्टी का लाप्लास ले लो फटी ए गया इसका लाप्लास ले लीजिए आप तो इसका लाप्लास एफबी आएगा ये रखा है इसका लाप्लास अब क्या करना है अब इसको इंटीग्रेटेड कर दो पी से लेक इंफिनिटी तक तो आपके पास पूरा लाप्लास ए जाएगा है ना तो पी से लेकर इंफिनिटी तक आप इंटीग्रेटेड करेंगे तो पूरे का लाप्लास ए जाएगा बस यहां पर पी से लेकर इंफिनिटी तक इसको इंटीग्रेटेड करना है 1 / पी / p² + 1 तो इसका इंटीग्रेशन ऑफ कर देंगे बहुत सिंपल इंटीग्रेशन है तो इसका लोग भी हो जाएगा और ये पी / p² + 1 का 1 / 2 लोग स्क्वायर प्लस वन होगा जिसको नहीं समझ में ए रहा है कैसे हो रहा है तो इसको टी मां लो ये सब्सीट्यूशन का क्वेश्चन बन जाएगा है ना है तो यहां पर इसका इंटीग्रेशन हालांकि यह सब को आता होगा कैसे करना है तो इसका इंटीग्रेशन क्या उसके बाद यहां पर लिमिट लगा दी पी से लेकर के इंफिनिटी तक तो इसमें जैसे ही लिमिट अप्लाई करेंगे है ना पहले सिंपलीफाई कर लीजिए सिंपलीफाई करने के बाद इसमें लिमिट लगा दीजिए और लिमिट लगा के आपके पास डायरेक्ट आंसर ए गया तो इस तरह से आप करेंगे सिमिलर क्वेश्चन यहां पर भी है ऊपर वाले पार्ट को क्या मां लेंगे फटी और इसको फटी मां के पहले फटी को क्या करिए फटी ए गया इसका लाप्लास ले लो इसका जो लाप्लास आएगा उसको इंटीग्रेटेड कर दो कैसे इंटीग्रेटेड अगर मां लो कहानी नहीं समझ में ए रहा है की इंटीग्रेशन कैसे हो रहा है तो आप यहां से क्रॉस चेक कर सकते हैं की कहां पर आपकी गलती हुई है मैंने पूरे स्टेप किया हुए तो सिंपल इंटीग्रेशन है आप आसानी से इसको कर लेंगे अब बढ़ते हैं हम आगे कुछ और क्वेश्चन इंपॉर्टेंट यहां पर लिखे हुए अब हम बात करेंगे ये दो टॉपिक हम देखते हैं दोनों सिमिलर है देखें जरा तो सबसे पहले लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ डेरिवेटिव अगेन ये इंपॉर्टेंट है मैं आपको बताता हूं क्योंकि इसके बाद जब हम पढ़ेंगे एप्लीकेशन ऑफ लेप्लेस ट्रांसफॉर्म तो एप्लीकेशन स्टार्ट होगा लपला स्टार्ट फॉर्म ऑफ डेरिवेटिव डेरिवेटिव के कॉन्सेप्ट से ही हमारी स्टार्टिंग होगी क्योंकि डिफरेंस इक्वेशन में डेरिवेटिव आता है तो वहां पर हमें डेरिवेटिव का लाप्लास ट्रांसफॉर्म लेना पड़ेगा तो जो यहां पर आपका फार्मूले दिखाई दे रहे हैं यही फार्मूले हम एप्लीकेशन में भी अप्लाई करेंगे अंतर सिर्फ इतना होगा की वहां पर जो रिप्रेजेंटेशन है वो थोड़ी सी बादल जाएगी तो क्या रिप्रेजेंटेशन बदलेगी उसकी बात तो हम बाद में ही करेंगे लेकिन फार्मूले सिमिलर रहेंगे तो यहां पर जरा ध्यान दीजिए अगर फटी का लाप्लास एफ है ये तो हमें मालूम है देखिए फटी का लाप्लास हम क्या लेते हैं एफबी इसे ऑलवेज ट्रांसफॉर्म ऑफ फटी अब यहां पर क्या है की अगर आपके पास जो फटी फंक्शन है अगर हम उसको पहले एक बार डिफरेंशिएट कर दें एफबी है लेकिन अगर हमें फटी के डिफरेंस लेना हो तो उसका लाप्लास क्या आएगा तो देखो पी टाइम ऑफ एफबी - एफ जीरो अब ये कहां से मिलेगा एफबी आपको देखो एफबी तो एफ का लाभ प्लस है तो आप फटी का क्लास ले लो मतलब फटी का लग प्लस जो ओरिजिनल फटी है उसका लाभ प्लस निकालना है तो उसके डेरिवेटिव के लग लॉस का फॉर्मूला हो जाएगा पीएफ पी - एफ जीरो एफ जीरो कहां से आएगा जो फटी है उसमें टी को जीरो पट कर दो एफ जीरो ए जाएगा क्लियर है तो यह पहले फॉर्मूला अब अगर आपका जो फंक्शन है वह दो बार डिफरेंटशिएट हो जाए तो फॉर्मूला क्या बनेगा ये तो एक बार डर के लिए था अगर फटी को दो बार डिफरेंशीएट कर दें और उसके बाद लाप्लास ने तो क्या फॉर्मूला बनेगा p² * पीएफ जीरो माइंस एफ दास जीरो ये साड़ी वैल्यू ये फार्मूले बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट है आपको याद करने पढ़ेंगे क्योंकि एप्लीकेशन ऑफ डेरिवेटिव एप्लीकेशन ऑफ लाप्लास ट्रांसफॉर्म में हम इनका उसे करेंगे वहां पर रिप्रेजेंटेशन बादल जाएगी वहां पर इसको रिप्रेजेंट कर देंगे ए बाहर से और इसको रिप्रेजेंट करेंगे ए जीरो से और ये हो जाएगा ए - मतलब एफ की जगह ए ए जाएगा वहां पर इतना अंतर आएगा तीन बार डिफरेंशिएट कर दे तो पी की पावर थ्री एफ पी की पावर टफ जीरो पीएफ दास जीरो और एफ ब्लू देखिए याद करना इतना मुश्किल नहीं है इनको आसन है देखो पहले टर्म में आप देखो पहले टर्म में एफबी fb² इसमें पीके दूसरी टर्म यहां पर देखो लास्ट टाइम यहां पर एफ जीरो माइंस एफ जीरो यहां पर क्या है पीएफ जीरो यहां क्या है पीएफ जीरो नहीं है इसमें जीरो के साथ साथ तीन से ज्यादा का क्वेश्चन नहीं आता है मैक्सिमम तीन डेरिवेटिव तक हम उसे करेंगे इससे ज्यादा का उसे नहीं करेंगे ज्यादातर क्वेश्चन पहले दो से ही हो जाते हैं क्लियर है चलिए आगे बढ़ते हैं अब इनके ऊपर बेस क्वेश्चन सॉल्व करते हैं ये मैंने देखो दोबारा से यहां पर गम जो फंक्शन होता है उसकी वैल्यू यहां पर लिखी है तो ये सब आपको मालूम है आगे बढ़ते हैं अब इसके ऊपर बेस क्वेश्चन देखो अगर फटी आपके पास ये दे रखा है ये फटी है ना तो आपको क्या करना है इस फटी का लाप्लास लेना है और इसके डेरिवेटिव का भी लाप्लास लेना है फटी का भी लेना और इसके डेरिवेटिव का भी लेना तो देखो फटी का लाप्लास लेते हैं पहले फटी का लाप्लास इसका लाप्लास लेना है तो देखो इसमें सबसे पहले तो आपको जो हमने अभी थोड़ी डर पहले पढ़ा था डिवीजन बाय टी वो वाला फॉर्मूला लगाना पड़ेगा देखो पहले क्या करो आप पहले ले लो आप सन टी का लाप्लास सन टी का लाप्लास हो जाएगा 1 / p² + 1 उसके बाद आप लास्ट लेना है तो उसके लिए क्या करना पड़ेगा आपको इसको इंटीग्रेटेड करना पड़ेगा फिर से लेक इंफिनिटी तक तो आपने इसको इंटीग्रेटेड कर दिया पी से लेकर के इंफिनिटी तक है ना तो इंटीग्रेशन करने के बाद आपके पास जो वैल्यू आई हुई है तो ये ए गया आपका ट्रांसफार्मर [संगीत] चलिए यहां पर हमारे पास कोट इन्वर्स पी अब आगे क्या करें है ना आप जरा ध्यान से सुनो अब फॉर्मूला लगाते हैं फॉर्मूला क्या होता है हमें एफ-टी का क्लास लेना है तो फॉर्मूला होता है पी * एफ पी और माइंस एफ जीरो अब हमारे पास एफ तो ये ए गया ये कोट इन्वर्स पी जो है पी है अब एफ जीरो कहां से ले एफ जीरो चाहिए हमें तो एफ जीरो कैसे मिलेगा अब यहां पर अगर मैं टी की जगह जीरो रख डन तो एफ जीरो हो जाएगा लेकिन ये सन 0 / 0 हो जाएगा जो की इंडियन टर्मिनल फॉर्म है और जब इंटरटेनमेंट फॉर्म ए जाति है तो हमें लेनी पड़ती है लिमिट तो हम क्या करेंगे इसकी लिमिट ले लेंगे सन टी / टी की तो जब आप सन टी / टी की लिमिट लेंगे और टी टेंड्स तू जीरो करेंगे तो ये फॉर्मूला आप बहुत अच्छे से जानते हैं इसकी वैल्यू होती है वन है इसकी वैल्यू कितनी होती है इसकी वैल्यू होती है वन तो इसके प्लेस पर वन लिख देंगे तो यानी की यहां पर मेरी एफ जीरो की जो वैल्यू होगी वो वन होगी उठा के यहां पर पट कर दीजिए आपके पास आंसर ए गया तो मेरे ख्याल से इसका उसे करना है आपको एक ही क्वेश्चन से आगे होगा और देखो फाइंड डी लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ साइन रूट टी आपको सन रूट टी का लाप्लास फाइंड डी लाप्लास ट्रांसफार्मर ऑफ साइन रूट टी साइन रूट टी का लाप्लास निकालो और उसके बाद इसका लाप्लास निकालो देखो अब अगर आप ध्यान से देखोगे साइन रूट टी का अगर आप डर करो तो कस रूट टी / टी आता है आता है की नहीं है ना यानी की ये उसका डर लिखा है तो पहले तो आपको सीन प्लस निकालो फिर इसके डर का बिल आप लास्ट निकालो तो पहले तो आप साइन रूट टी का आप लास्ट निकलेंगे तो यहां पर अब साइन रूट टी का लाप्लास निकालना के लिए आपको साइंस सीरीज का उसे करना पड़ेगा ये साइंस सीरीज में आपको फोर्थ यूनिट में भी बता चुका हूं है ना सन रूट टी की सीरीज को यहां ओपन कर देंगे क्योंकि बिना सीरीज ओपन करें आप इसका लपला नहीं ले सकते इस चीज को ओपन कर देंगे सीरीज को ओपन करने के बाद अब यह आपके पास मिलेगा है ना तो लाप्लास लेंगे क्योंकि यहां पर फ्रैक्शन ए रहे हैं सभी तो गम की फॉर्म में फॉर्मूला लगाना पड़ेगा गम की फॉर्म में फॉर्मूला लगाया साड़ी वैल्यू पट करिए तो ये सन रूट टी का लाप्लास ए गया आपके पास जिसको आप एफबी मां लेंगे और उसके बाद आपको इसके डर का लाभ लास्ट लेना है देखो इसका डर करेंगे तो वापस वही ए रहा फास्ट ड्यूटी है अपन तू रूट टी बस वहां पर तू नहीं है तो तू कोई बात नहीं तू यहां पर र जाएगा तो ये तू ए गया अब इसका जवाब लाप्लास लेंगे तो ये फॉर्मूला लगा दिया एफबी आप ऑलरेडी कैलकुलेट कर चुके यहां पर पट कर दीजिए और एफ जीरो को भी पट कर दीजिए एफ जीरो क्या होगा एफ जीरो आपके पास जीरो ए जाएगा क्योंकि यहां पर टी की जगह जीरो रखेंगे तो सन 0 आएगा बस यहां पर वैल्यू पट कर देंगे आंसर ए जाएगा तो इस तरीके से आप आसानी से वालुज को कैलकुलेट कर सकते हो कोई दिक्कत आपको नहीं अगर आपको बेसिक फार्मूले आप क्लास के आते हैं प्रॉपर्टी आपको अगर आप लास्ट की आई है साड़ी चीजों को पढ़ने जाइए सब चीजों को याद करते जाइए जो फार्मूले हैं वो आपको याद करने पढ़ेंगे बिना फॉर्मूला के लपला ट्रांसफार्मर के क्वेश्चन बिल्कुल नहीं होते है है ना फार्मूले यहां पर याद करने पढ़ेंगे देखिए इस यूनिट को इसीलिए थोड़ा सा टू माना जाता है क्योंकि इसमें लाप्लास के फार्मूले काफी सारे हो जाते हैं है ना भाई सेवन बेसिक फार्मूले हैं आप लास्ट के फिर अभी हम सेवन बेसिक फार्मूले इन्वर्स के भी पढ़ेंगे फिर प्रॉपर्टी या लाप्लास ट्रांसफॉर्म की इन्वर्स डॉ ऑफ लास्ट ट्रांसफॉर्म की भी प्रॉपर्टी है तो ये जो फार्मूले हैं अगर आपको ये याद रहेंगे तो कोई दिक्कत आपको नहीं होगी आगे बढ़ते हैं ना लेप्लेस ट्रांसफॉर्म ऑफ इंटीग्रल यह तो था डेरिवेटिव का आपको समझ में ए गया होगा और क्योंकि हम एप्लीकेशन जब पढ़ेंगे तब इनका हम बहुत ज्यादा उसे करेंगे और वहां पर सिंपल है इतना डिफिकल्ट नहीं है जितना देखो ये जो क्वेश्चन है सीरीज वाला अगर आपको सीरीज याद है तो ये भी आसन है ना सीरीज याद है तो आपको आसन लगेगा और जब हम इनका उसे करेंगे कॉन्सेप्ट का डेरिवेटिव का एप्लीकेशन में तो वहां पर आपको आसन लगेगा आगे बढ़ते हैं नो लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ इंटीग्रल अब इंटीग्रेशन का लाप्लास ट्रांसफॉर्म भी आपको आना चाहिए क्योंकि इसका उसे भी कुछ क्वेश्चन में एप्लीकेशन और लाप्लास ट्रांसफॉर्म के अंदर भी होगा है ना तो सारे कॉन्सेप्ट आपको आना चाहिए मतलब यहां पर जितने भी टॉपिक आप लाप्लास में पढ़ रहे हैं सबका कॉन्सेप्ट आपको आना चाहिए सबका फॉर्मूला आपको आना चाहिए सबके ऊपर बेस कुछ क्वेश्चंस सॉल्व कर लेंगे तो कॉन्सेप्ट और क्लियर हो जाता है तो यहां पर जो क्वेश्चन मैं आपको बता रहा हूं और जो यहां पर मैंने डीपी में दिए हैं डीपी के क्वेश्चन का सभी का सॉल्यूशन अप में अवेलेबल है तो आप इन सब क्वेश्चंस को सॉल्व करें और इसके अलावा कुछ और क्वेश्चंस भी आप सॉल्व कर लेने क्योंकि यहां पर जो नंबर ऑफ क्वेश्चंस हैं वो जो मैंने प्रॉपर लेक्चर में कराए मैंने यहां पर नंबर ऑफ क्वेश्चंस को कुछ कम कर दिया है क्योंकि एक्चुअल में यूनिट बहुत लैंग्वेज थी अगर मैं सभी क्वेश्चन को कर करता तो लेक्चर बहुत ज्यादा लेंडी हो जाता ठीक है ना चलिए लेकिन जितना मैं आपको बता रहा हूं अगर आप इतना भी कर लेंगे ना तब भी आप ये पुरी यूनिट रिवाइज हो जाएगी कोई प्रॉब्लम आपको नहीं आएगी सारे क्वेश्चन आप कर सकते हैं ठीक है आगे बढ़ते हैं देखो ये इंटीग्रल वाला आसन है अगर आपको फटी का लाप्लास लेना है प्रैक्टिकल लाप्लास एफबी होता है ये आप जानते ही हैं है ना एफबी क्या होता है एफबी का लाप्लास अब अगर इस फटी का इंटीग्रेशन का लाप्लास लेना हो अगर हमें इस फटी के इंटीग्रेशन का लाभ लास्ट लेना हो तो क्या करेंगे ये तो बहुत आसन है कैसे अगर आपको फटी कल आप देखिए आप क्या करिए पहले आप फटी का लाप्लास ले लीजिए वो आएगा एफबी का लाप्लास आएगा एफबी उसको पी से डिवाइड कर दो बस किस डिवाइड कर दो पी से जैसे ही आप पी से डिवाइड करेंगे आपका आंसर ए जाएगा तो कितना आसन है देखो क्वेश्चन में उसे करते हैं फाइंड डी लास्ट ट्रांसफॉर्म इसका लाप्लास ट्रांसफॉर्म निकालना है क्या करें कुछ नहीं करना पहले इसको यह आपका फटी है इसको फटी मां लो पहले आप निकाल सकते हैं शिफ्टिंग प्रॉपर्टी से देखो कास्टिक का होता है पी / p² + 1 अब इसमें शिफ्टिंग प्रॉपर्टी लगा दो तो ए की पावर -3 कस तीता ए जाएगा ए गया तो ये ए गया आपके पास फी एफ पी ए चुका है आपके पास अब आपको इसके इंटीग्रेशन देखिए ये फटी का लाप्लास है आपको इसके इंटीग्रेशन का लाभ लास्ट लेना है तो इसको पी से डिवाइड कर दो तो सीधे आंसर ए गया कितना आसन है ये तो बहुत ही आसन कॉन्सेप्ट है आगे बढ़ते हैं देखो यहां पर देखो यहां पर भी लाप्लास लेना है आपको और देखिए ये इंटीग्रेशन वाला जो है ये बहुत इंपॉर्टेंट है देखो 2022 में बीच का क्वेश्चन आया और दो नंबर में जनरली इसका क्वेश्चन बहुत ज्यादा आते हैं तो क्या करना इसको एक्टिव मां लो और पहले इसका निकालना आता है भाई पहले आप सन टी का लाफला से लोग 1 / p² + 1 फिर इसमें डिवीजन वाला कॉन्सेप्ट लगा डॉग डिवीजन बाय टी वाला है ना तो डिवीजन बाय दी वाले में इंटीग्रेशन करना पड़ता है इंटीग्रेशन करने के बाद आपके पास जो लाप्लास ए गया फटी का लाप्लास ये ए गया है ना π/2 - tan⁻¹p और यहां पर देखो इन्वर्स ट्रिगोनोमेट्री का एक फॉर्मूला ग गया क्या ग गया पी / 2 - tan⁻¹ पी को आप कोट इन्वर्स पी लिख सकते हैं तो ये एफबी हो गया और इस एफ को पी से डिवाइड कर दो तो आपका आंसर ए जाएगा तो कितना सिंपल क्वेश्चन है है ना सिमिलर क्वेश्चन देखो यहां पर एक लिखा है फाइंड डी लाप्लास ट्रांसफॉर्म देखो तीन बार इंटीग्रेशन हो रहा है कोई प्रॉब्लम नहीं है आप अंदर वाले इंटीग्रेशन से शुरू करो पहले आप इसका लाभ लास्ट लेने के लिए आपको क्या करना पड़ेगा उसको पी से डिवाइड करना पड़ेगा तो ये ए गया अब क्या करना है अब आपको यहां तक कल आप लास्ट लेना पड़ेगा तो यहां तक कल आप लास्ट लेने के लिए आपके पास जो ये आया है इसको फिर से पी से डिवाइड कर दो क्या कर दो इसको पी से डिवाइड कर दो तो आपके पास ये ए जाएगा और अगर आपको यहां तक का लाप्लास लेना है तो एक बार और पी से डिवाइड कर दो तो आपके पास फाइनल आंसर ए जाएगा देखो कितना आसन है देखने में ग रहा था पता नहीं कितना डिफिकल्ट है लेकिन बहुत सिंपल है इसको पहले एक्टिव मां लो इसका लाप्लास निकालो फिर इंटीग्रेटेड इस पहले इंटीग्रेशन तक लाप्लास निकाल लो तो जो इलेक्ट्रिकल लाप्लास आया था उसको पी से डिवाइड कर दो यहां तक निकलोगे एक बार और पीछे डिवाइड कर दो और यहां तक निकलोगे एक बार और पीछे डिवाइड कर दो आसन आगे बढ़ते हैं ठीक है ना चलो तो ये हमारे दो टॉपिक भी पूरे हो गए मल्टीप्लाई टी की पावर बीबी हमारा हो गया है ना और मल्टीप्लिकेशन मैं टी की पावर एन हो गया और मल्टीप्लाई डिवीजन बाय टीवी हो गया और उसके बाद लाप्लास ऑफ डेरिवेटिव भी हमने कर लिया हमने कर लिया अब यहां पर पहले इंपॉर्टेंट टॉपिक हमारे पास आता है जहां से 7 मार्क्स के क्वेश्चन पूछे जाते हैं और वो है पीरियोडिक फंक्शन यहां से 7 मार्च का क्वेश्चन ए सकता है पीरियोडिक फंक्शन बहुत आसन टॉपिक है और इस टॉपिक के अंदर छह से साथ क्वेश्चन टोटली होते हैं है ना अगर आप उन क्वेश्चंस को कर लेंगे तो अगर इस टॉपिक सेवन मार्क्स का क्वेश्चन आता है तो आपको बहुत ही आसानी से 7 मार्क्स मिल जाएंगे देखिए जरा क्या है स्टार्ट करते हैं देखो सबसे पहले तो यहां पर पीरियोडिक फंक्शन है तो आपको पीरियोडिक फंक्शन पता होना चाहिए पीरियोडिक फंक्शन क्या होता है पीरियोडिक फंक्शन हम यूनिट नंबर 3 में भी पढ़ेंगे क्योंकि जो हमारी फोरिअर सीरीज होती है फोरिअर सीरीज अलसो डिफाइन फोर थ्री फंक्शन वह फंक्शन होते हैं जो कुछ फिक्स इंटरवल के बाद अपने आप को रिपीट करने हैं इनका सबसे अच्छा एग्जांपल होते हैं ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन हमारे जो छह के छह ट्रिगोनोमेट्री फंक्शन होते हैं सन कस तन एसईसी कॉसीक्यूशन सब के सब क्या होते हैं प्रिडिक होते हैं वो सभी फंक्शन आफ्टर इफैक्ट्स इंटरवल ऑफ टाइम कुछ फिक्स इंटरवल ऑफ टाइम के बाद रिपीट कर दें जैसे साइन है 2π के बाद रिपीट करता है कस बी तू पी के बाद रिपीट करता है एसईसी भी 2π के बाद रिपीट करता है सीओएसईसी भी 2 पी के बाद रिपीट करता है टेन और कोट पी के बाद रिपीट करते हैं तो यहां पर मैंने एग्जांपल के तोर पे देखो साइन का कार्य बनाया गया है यहां पर ये क्या है सिंगर है साइन भी ये सन का ग्राफ है तो अगर आप इसमें देखो तो ये 2π के बाद रिपीट करेगा देखो यहां से देखो आप जीरो से लेक 25 अगर आप देखोगे 2π के बाद फिर से इसकी शॉप ऐसी है जैसे जीरो से स्टार्ट हुई थी देखो जीरो से ऊपर जा रहा था नीचे ए रहा था ऐसे जा रहा था यहां से भी ऊपर जाएगा नीचे जाएगा फिर ऊपर जाएगा यानी की 25 के बाद ये अपने आप को रिपीट कर रहा है तो इसका पीरियड कितना हो गया 2π हो गया तो सन टी का पीरियड क्या हो गया 25 हो गया क्लियर है तो ये पीरियोडिक फंक्शन है तो देखो पीरियोडिक फंक्शन क्या होता है फंक्शन कोड पीरियोडिक आईएफ फटी प्लस टी अब यहां पर जो कैपिटल टी है पीरियड है मतलब जितने टाइम के बाद वो रिपीट कर रहा है जितने इंटरवल के बाद वो रिपीट कर रहा है फंक्शन तो ये पीरियड हो गया है फंक्शन का तो अगर फटी प्लस कैपिटल टी है तो इसकी वैल्यू फटी ही आएगी क्यों क्योंकि टी पीरियड के बाद इसकी वैल्यू वापस फटी ए जाए फटी = सन टी तो यहां पर अगर मैं टी की जगह तू टी + 2π कर दो तो ये फटी ही रहेगा क्योंकि साइन आप सब जानते हैं साइन का फॉर्मूला साइन 25 साइन 25 प्लस तीता साइन तीता होता है ये सब को पता है ठीक है क्यों क्योंकि ये 2π के बाद अपने आप को क्या करता है रिपीट करता है तो ये कैसा फंक्शन है 3d फंक्शन है तो ध्यान रखना पीरियोडिक फंक्शन का जो पीरियड होगा उसको हम कैपिटल टी से रिप्रेजेंट करेंगे ये क्वेश्चंस के अंदर जिवन होगा क्लियर है अब जैसे मां लो अगर यह सन 90 लिखा है 2π होता है अगर यहां पर एन लिखा है तो एन से डिवाइड कर दो जैसे पर एग्जांपल अगर हमसे पूछा जाए की सन 2t का फिर रेड क्या है तो सन 2t का 2π / 2 यानी की π हो जाएगा क्लियर है हालांकि हमें यहां पर इतना ज्यादा इंपॉर्टेंट इतना ज्यादा इसका उसे नहीं करना है आपको सिर्फ मालूम होना चाहिए की किसी भी फंक्शन कोई भी फंक्शन जो है फिर से इंटरवल के बाद अपने आप को रिपीट कर रहा है उसको पीरियोडिक फंक्शन कहा जाता है क्लियर है आगे बढ़ते हैं देखिए तो लपला ट्रांसफार्मर पीरियोडिक फंक्शन अगर मां लेते हैं की एफटीवी पीरियोडिक फंक्शन अगर हमारे पास एफडीआई एक पीरियोडिक फंक्शन है तो इसके लाप्लास ट्रांसफॉर्म का फॉर्मूला देखिए क्या होगा अब यहां पर थोड़ा सा अलग फॉर्मूला आया है देखिए क्या है लपला ट्रांसफार्मर फटी = 1 / 1 - ए की पावर माइंस पी टी ये जो कैपिटल दी है ये पीरियड है ये जीरो से टी ये भी कैपिटल टी है ए की पावर माइंस पता होना चाहिए निकालना का फॉर्मूला है ये फॉर्मूला आपको याद होगा तभी आप क्वेश्चन कर पाएंगे क्योंकि सारे क्वेश्चन हमारे इसी फार्मूले से स्टार्ट होंगे है ना तो यह फॉर्मूला सबको याद होना चाहिए पीरियोडिक फंक्शन का अगर आपके पास क्वेश्चन ए जाता है तो सबसे पहले स्टेप आपको क्या करना है ये फॉर्मूला लिखना है उसके बाद इसमें वैल्यू पट करनी है इंटीग्रेटेड करना है तो बहुत ही आसन क्वेश्चन होते हैं इसके क्यों क्योंकि आपको मालूम है की अगर पीरियोडिक फंक्शन का क्वेश्चन ए गया तो पहले आप फॉर्मूला लिखोगे फिर उसमें उसकी वैल्यू पट करोगे और उसके बाद इंटीग्रेशन कर डॉग इंटीग्रेशन में इंटीग्रेशन में यहां पर उसे होता है मैक्सिमम सभी क्वेश्चन में इंटीग्रेशन बाईपास यहां पर जो इंटीग्रेशन बनेगा उसमें आपको इंटीग्रेशन में पार्ट्स लगाना पड़ेगा मैक्सिमम क्वेश्चन में तो इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स लगाना आपको आना चाहिए इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स एक तो प्रॉपर तरीका होता है और मैंने आपको एक शॉर्टकट मेथड भी बताया था इंटीग्रेशन का एक्चुअल में शॉर्टकट नहीं ऐसा नहीं है की आप इसको अप्लाई करेंगे तो आपको मार्क्स नहीं मिलेंगे ये प्रॉपर मेथड ही है है ना और बहुत साड़ी बुक में इसी मेथड से इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स को किया जाता है आप देखोगे काफी बुक में इसी से करते हैं क्योंकि एक्चुअल में अगर हम प्रॉपर तरीके से करते हैं तो इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स करने में समय ज्यादा ग जाता है तो आप चाहते हैं की आपका समय बच्चे और आपकी गलती भी ना हो तो आप इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स के लिए इस फार्मूले का उसे करें क्या है ये फॉर्मूला देखो जरा ध्यान से जैसे हमारे पास दो फंक्शन है यू और भी आपको इनका इंटीग्रेशन बाय बात करना है ये हमारा पहले फंक्शन और ये हमारा दूसरा फंक्शन तो पहले आप फर्स्ट और सेकंड फंक्शन डिसाइड कर लेने अकोर्डिंग तू डी आई लेट रूल है ना अब देखो एक चीज और बता डन की इसकी रिस्ट्रिक्शन भी है यह फॉर्मूला कहां लगेगा यह फॉर्मूला वहां लगेगा जहां पर दो में से एक फंक्शन टर्मिनेटिंग होगा टर्मिनेटिंग मतलब अलजेब्राइक फंक्शन होगा मतलब एक का फंक्शन जैसे मां लो एक्स कब है तो x³ को अगर आप कर बार डिफरेंटशिएट कर देंगे तो एक्स कब खत्म हो जाएगा तो वो टर्मिनेटिंग फंक्शन हो गया तो वहीं पर ये फॉर्मूला लगेगा अब जरा इस फार्मूले को ध्यान से समझो क्या का रहा है फॉर्मूला ये फर्स्ट फंक्शन या सेकंड फंक्शन फर्स्ट को ऐसे ही लिखना है सेकंड वाले का इंटीग्रेशन करना या v1 का मतलब है की v1 वी जो है एक बार इंटीग्रेटेड हो चुका है v1 का मतलब है एक बार इंटीग्रेशन तो यू को ऐसे ही लिखा और वे का एक बार इंटीग्रेशन कर ठीक है ये हमारा ए गया पहले टर्म और ये पहले फर्स्ट हम उसके बाद माइंस साइन लगाएंगे और ये जो टर्म में आप ये ब्रैकेट में लिखेंगे जैसे मैंने v1 को ब्रैकेट में लिखा था आप इसको ब्रैकेट में ही लिखना फिर माइंस साइन लगाएंगे माइंस लगाने के बाद ये जो यू आया इसका एक बार और इंटीग्रेशन करेंगे देखिए v1 का इंटीग्रेशन करना वी का नहीं वे का तो आप कर चुके v1 का एक बार और करेंगे तो v2 मिलेगा आपको ठीक यह ब्रैकेट में लिखना है आपको ध्यान रखना एक बार और तो दो बार डर हो जाएगा फिर ये जो वी है इसका एक बार और इंटीग्रेशन करेंगे तो आपको v3 मिलेगा फिर आगे बढ़ यू डबल एस का एक बार और डिफरेंशियेशन कर और इसका एक बार और इंटीग्रेशन कर तब तक चलते जाना है जब तक आपका यू डिफरेंस जो यू था आपका यहां पर तीन बार हो गया जो यू था आपका ये खतरनाक हो जाए देखिए यू जो है मैक्सिमम जो पावर होती है योगी वो थ्री तक जाति है यानी की तीन बार में वो खत्म हो जाता 3 से 4 बार में क्या हो जाता है खत्म हो जाता है ऐसा नहीं की चला ही जाएगा चलिए अब इसका उसे करेंगे और एक और ये फॉर्मूला है जो यहां पर बहुत ज्यादा उसे होगा ए की पावर इसका उसे यूनिट नंबर 3 में भी बहुत ज्यादा है ना एक ये सन वाला है और एक कस वाला है कस का भी ऐसे ही होता है तो एक ही पावर एक्स सन एक्स डीएस इसका इंटीग्रेशन होता है ए की पावर एक्स / a² + b² ए सन बीसी - बी कस बीसी इस फार्मूले का उसे करेंगे हम यहां पर तो अगर आपको ये आता है ये फॉर्मूला आता है और ये फॉर्मूला आपको याद है तो जो हमारा ये टॉपिक है पीरियोडिक फंक्शन ये आपके लिए बहुत आसन हो जाएगा देखिए पहले क्वेश्चन फाइंड डी लाप्लास्ट ट्रांसफार्मर कैसे बंटी है वो भी मैं आपको बताऊंगा फटी विच इसे पीरियोडिक देखो बोल दिया की पीरियोडिक फंक्शन है इसका मतलब कैपिटल टी की वैल्यू वन दे दिया मैंने और डिफाइन है देखो ये फटी है टी की वैल्यू वन है और इंटर वाले जीरो से लेकर वन तक इंटरवल है जीरो से देखो इसका पीरियड वन है तो ध्यान रखना ये जो इंटरवल यहां दिया राहत है ना ये जो इंटरवल दिया राहत है तो ये अपर लिमिट ये लोग वाली लिमिट अगर आप अपर लिमिट में लोगों लिमिट को माइंस करेंगे तो यहां से भी आपको पीरियड मिलेगा 1 - 0 1 तो अगर कहानी पर पीरियड ना दिया हो और इंटरवल दिया हो तो आप पीरियड इंटरवल से भी निकाल सकते हैं अब आगे बढ़ते हैं टी की वैल्यू वन दे राखी है फटी की वैल्यू कट दे राखी आपको क्या करना है फॉर्मूला लगा देना देखो मैंने यहां पर फॉर्मूला अप्लाई कर दिया अब इस फार्मूले में वैल्यू पट करिए 1 / 1 - ए की पावर माइंस पी टी ए टी कैपिटल टी की जगह क्या रखेंगे वन रखेंगे वन रख दिया अब यहां तो फॉर्मूला लगाया यहां बन रखा है देखो यहां वन रख दिया यहां जीरो से वन लिमिट हो गई ए की पावर माइंस ट फटी की जगह केडी डीटी रख दिया अब जरा ध्यान से समझो के तो कांस्टेंट है बाहर ए जाएगा अब ये बैक गया मेरे पास तो क्या यहां पर इंटीग्रेशन में पार्ट्स बन गया देखो इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स का फॉर्मूला ग रहा है और ये सेकंड फंक्शन है इंटीग्रेशन में पार्ट्स लगा दीजिए जो फॉर्मूला मैंने बताया वही फॉर्मूला लगाएंगे डायरेक्ट करेंगे तो देखो बाहर लिखा के अपन 1 - ए की पावर माइंस पी ये लिख दिया अब देखो फर्स्ट फंक्शन करेंगे -पी आएगा भाई आपको मालूम है इंटीग्रेशन करते समय टी का कॉएफिशिएंट नीचे ए जाता है ठीक नो बीच में आया माइंस साइन फिर पहले फंक्शन अब देखो टी का डर किया तो टी का डर वन आएगा फिर इसका इंटीग्रेशन कर आप ध्यान रखना या बच्चे गलती करते इस पूरे का इंटीग्रेशन करना है तो अब ध्यान दीजिए तो यहां पर जब आप इंटीग्रेशन करेंगे तो ए की पावर माइंस पी टी का इंटीग्रेशन ए की पावर माइंस पी दी ये होगा और एक बार माइंस बी फिर से नीचे आएगा देखो पहले से ही एक बार माइंस पी इसके नीचे है और एक बार और माइंस पी ए जाएगा तो दो माइंस पी मिल के p² बना देंगे अब अगर आप इसके आगे जाएंगे तो वन का डर जीरो होगा तो आगे कोई टर्म मिलेगी नहीं खत्म हो गया लिमिट जीरो से वन है अब अपर लिमिट माइंस लोअर लिमिट करना आपको आता ही है अपर लिमिट मैंने लोअर लिमिट करेंगे तो आपको आंसर मिल जाएगा तो यहां अपार लिमिट मैन लोअर लिमिट उसके बाद यहां पर एलसीएम ले लिया जो सिंपलीफिकेशन हो सकता था वो सिंपलीफाई कर दिया और आपको आंसर मिल गया अब बात करते हैं शॉर्ट टूथ वे कई बार क्या होता है ना देखो यहां पर कई बार ग्राफ बनाने के लिए भी ए गया था कहते जो यहां पर लिख देंगे की अलसो ड्रॉ डी ग्राफ ऑफ सॉफ्टवेयर का जो ग्राफ बंता है वो ऐसे बंता है इसको आप बस ध्यान रखिए पहले मैंने आपको समझाया था तो ये देखो इसका पीरियड कितना है जीरो से वन तक तो ये हो गया क्लियर है तो अगर ग्राफ बनाने के लिए ए जाए तो ऐसे बनाएंगे ना नेक्स्ट क्वेश्चन ये क्वेश्चन बहुत इंपॉर्टेंट है फटी इस तरीके से डिफाइन है जीरो अब देखो इसमें कहानी नहीं लिखा है लेकिन ये जो लिखा है भले कहानी नहीं लिखा पीरियोडिक लेकिन क्योंकि यह पीरियोडिक फंक्शन की डेफिनेशन लगा दो कैपिटल टी की जगह 2π रख दो ये ए जाएगा और फटी अब जरा ध्यान देना ये जीरो से 25 हो गया लेकिन हमारा जो फंक्शन है वो दो पार्ट में ब्रेक है जीरो से पामर पी से 2π है तो हमें इंटीग्रेशन भी दो पार्ट में ब्रेक करना पड़ेगा ये जीरो से तू पाएगा ना तो इसको पहले जीरो से पी करो और फिर पी से 2 पी करो फंक्शन से नहीं रहेगा अब यहां पर फटी की वैल्यू देखो जब जीरो से पी है तो फटी है तो यहां पर फटी की जगह सन टी रखो और जब पाइजे 2 पी है तो फटी जीरो है तो यहां जीरो रखो यानी की ये इंटीग्रेशन तो खत्म हो जाएगा ये इंटीग्रेशन खत्म हो जाएगा ये बचेगा क्लियर है चलिए आगे बढ़ो तो यहां पर देखिए ये हमारे पास ए गया ये इंटीग्रेशन ए गया अगेन आपको क्या करना है यहां पर फॉर्मूला लगा देना सीधे सीधे ए की पावर माइंस ए एक्स सन टी देखो ये फॉर्मूला ग जाएगा यहां पे ये रहा इस फार्मूले को लगा लिमिट लगा दो आंसर ए जाएगा तो फॉर्मूला लगाते ही जैसी आप लिमिट लगाएंगे आपका आंसर ए जाएगा अब यहां पर देखो इसका मैंने ग्राफ भी बना दिया देखो जीरो से पी तक सन टी का ग्राफ बनेगा और आपको मालूम है जीरो से पी के बीच में जीरो से पी के बीच में साइन कर वैसे बंता है साइन कर बनाना आपको आना चाहिए और पी से 2 बाई के बीच में फटी की वैल्यू जीरो है तो पी से तू पी के बीच में फटी की वैल्यू जीरो है तो ये ग्राफ इस तरह से बन जाएगा तो इस ग्राफ में मुझे नहीं लगता किसी को कोई प्रॉब्लम है चलिए तो ये यहां पर स्पेस बच्चा था मैंने ग्राफ बना दिया बाकी इसको आगे करते हैं तो यहां पर फॉर्मूला लगाओगे लिमिट लगा डॉग आंसर मिल जाएगा देखो ये फॉर्मूला लगा दिया फिर इसके बाद अपन लिमिट मैंने लोअर लिमिट करके उसको सिंपलीफाई कर दिया और सिंपलीफाई करने के बाद आपके पास यहां पर ये आंसर ए गया तो यह हमारा इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है है ना चलिए अगला क्वेश्चन देखते हैं ड्रॉ डी ग्राफ देखो यहां पर बोला ग्राफ ड्रॉ करना है ये क्वेश्चन ए चुका है और इसमें ग्राफ पूछा था ड्रॉ ग्राफ और फाइंड डी लेप्लेस ट्रांसफॉर्म ऑफ ट्रायंगुलर वाव अब यहां पर ट्रायंगुलर वाव है उसका ग्राफ बनाना है है ना ट्रायंगुलर वाव फंक्शन ऑफ डी पीरियड इसका तू सी है अगर नहीं देते तो हम यहां से निकाल लेते अपर लिमिट तू सी लोअर लिमिट जीरो तो तू सी माइंस जीरो तू सी ए जाता है अब जरा यहां पर ध्यान से समझिए पहले हम इसका ट्रायंगुलर वेव्स का ग्राफ कैसे बनेगा देखो ट्रायंगल वाव का मतलब ट्रायंगल बनेगा ये तो कंफर्म है है ना अब इसका ग्राफ बनाना है देखो इसमें क्या है फटी जो है फटी 0 से लेक सी तक देखो जीरो से यहां से स्टार्ट कर हमने ये सी है जीरो से लेक सी तक एफटीपी के बराबर है यानी की जीरो से लेक सी तक जो फटी है वो टी के बराबर है अब जरा मेरी बात ध्यान से सुनो एफ के टी के बराबर है इसका मतलब फटी क्या है ए का कम कर रहा है टी किस का कम कर रहा है एक्स का तो ए = एक्स का ग्राफ बनेगा तो फटी = टी का मतलब वो ए का ए = एक्स वाला ग्राफ बनेगा यानी की एक स्ट्रेट लाइन आएगी इस तरह से उसके बाद सी के बाद एफबी = 2c - टी हो गया मतलब फटी = 2c - टी हो गया इस तरह से यानी की ए = 2c - एक्स हो गया तो ये ग्राफ ए जाएगा ऐसे आप बना के देख सकते हो वैल्यू पट करके देख सकते हैं ऐसे ही बनेगा है तो हमारा यह ग्रह बन गया है ना दोनों को मिलने ये जो हमारे पास वाव बनी ये ट्रायंगुलर वाव बनी कैसी वाव है ये ट्रायंगुलर वाव है जीरो से सी तक ऊपर गया फिर से इसे तू सी नीचे ए गया क्लियर है पीरियड इसका 2c है तो सीधी सी बात है इसके बाद ये फिर से रिपीट करेगा फिर ऐसे जाएगा फिर ऐसे जाएगा तो रिपीटिंग है क्लियर है चलिए ये तो ग्राफ के बाद होगी अब हम चलते हैं फार्मूले पे पीरियोडिक फंक्शन का फॉर्मूला आप लिख दें लाप्लास ट्रांसफार्मर में पीरियोडिक फंक्शन तो इसका लाप्लास फॉर्म का हमने फॉर्मूला लिख दिया यहां पर फार्मूले के बाद यहां पर देखो टी की वैल्यू तू सी थी तो यहां पे 2c पट कर दिया यहां भी 2c पट कर दिया और ये फटी है अब इसको दो पार्ट में ब्रेक करो जीरो से सी और सी से तू सी जीरो से सी के बीच में फटी की वैल्यू टी थी और सी से 2c के बीच में तू सी माइंस टी थी अब देखो अब आपको जिसको इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स करना आता है उसके लिए क्वेश्चन बहुत आसन है और अगर इंटीग्रेशन बाईपास में किसी को प्रॉब्लम है तो यहां भी प्रॉब्लम होगी यह फर्स्ट फंक्शन सेकंड फंक्शन यहां पर यह फर्स्ट फंक्शन एचडी इसका इंटीग्रेशन 1 हो गया और इसका दोबारा से इंटीग्रेशन उसके अगले टर्म आएगी नहीं क्योंकि जीरो हो जाएगा लिमिट जीरो से जीरो कम यहां भी करना है उसके बाद आप लिमिट लगा देंगे क्या करेंगे लिमिट लगा देंगे और इसको सिंपलीफाई कर लेंगे सिंपलीफाई करते-करते आप यहां तक पहुंच जाएंगे है ना यहां तक ठीक है इसमें से और देखो यहां भी a² - b² का फॉर्मूला ग रहा है और इस फार्मूले को अगर लगा के आप सिंपलीफाई करते हैं तो इसमें यहां तक तो स्टूडेंट पहुंच जाता आराम से लेकिन प्रॉब्लम क्या है जहां पर आपको फंक्शन सन कस तीता में दिया हो या मतलब यहां पर जो देखो 25 पीरियड है इसका कितना है तू सी पीरियड है तो ये इस तरह के जो फंक्शन होते हैं जहां पर पीरियड तू सी या 2π या 2a होता है वहां पर इसको आगे और ले जा सकते हैं आप देखो कैसे देखिए यहां तक जान के लिए आपको क्या करना है जरा ध्यान रखना देखो यहां सब ए में ए रहा है और आपको मालूम है ट्रिगोनोमेट्री के फंक्शन होते हैं तो इसमें क्या करें तो इसमें मैं फॉर्मूला बनाना पड़ेगा ट्रिगोनोमेट्री हाइपरबॉलिक फंक्शन का देखो यह लिखे हैं तीन फार्मूले मालूम है आपको साइन का कस का सन कस को डिवाइड कर दो तो 10 का 10 के फार्मूले में ऊपर भी आता है ए की पावर एक्स - ए की पावर माइंस एक्स अपन ए की पावर एक्स + ए की पावर एक्स तो हमें क्या करना है यहां पर ऊपर भी ये दिखाई दे रहा है नीचे भी ये दिखाई दे रहा है तो इसमें कुछ ऐसा करो की ये फॉर्मूला बन जाए ये फॉर्मूला कैसे बनेगा अगर आप ऊपर भी और नीचे भी ए की पावर क / 2 से मल्टीप्लाई भी करते हो डिवाइड भी कर दे तो बन जाएगा तो इससे मल्टीप्लाई किया अंदर मल्टीप्लाई कर दिया और उसके बाद ये फॉर्मूला बन गया सीधे आंसर ए गया तो कई बार ये प्रूफ करने के लिए ए जाता है तो आपको यहां तक जाना पड़ेगा और अगर प्रूफ करने के लिए नहीं आता है तो आप यहां तक भी अपने आंसर को छोड़ सकते हैं ठीक है तो इस चीज का ध्यान रखें क्लियर है आगे तो यह तो हो गया हमारे पास अब यहां पर देखो मैंने आपको ट्रायंगुलर वाव बता दिया साइन वाव बता दिया है ना अब यहां पर स्क्वायर वाव कई बार कुछ क्वेश्चन में स्क्वायर में पूछ लेते हैं तो स्क्वायर वाव का डायग्राम ऐसे बंता है ध्यान रखना है स्क्वायर भी देखो यहां जीरो से टी इसका पीरियड है तो आधे में ये यहां पर आया फिर ऊपर गया फिर नीचे आया तो इस तरह से स्क्वायर वाव बंटी है ये स्क्वायर वाव का डायग्राम है तो अगर किसी क्वेश्चन में स्क्वायर में पूछ लिया जाए तो उसमें आप डायग्राम ऐसे क्वेश्चन तो वैसे ही होगा डायग्राम ऐसे बनेगा यहां पर और देखो दो इंपॉर्टेंट क्वेश्चन दिए इनको आप एक बार सॉल्व करके देखें तो ये बहुत इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है तो यहां से एक सेवन मार्क्स का क्वेश्चन आने के चेस रहते हैं इसलिए आप इसको प्रैक्टिस कर लेने अब बढ़ते हैं हम आगे और नेक्स्ट टॉपिक हमारा आता है यूनिट स्टेप फंक्शन अब यूनिट स्टेप फंक्शन देखिए यहां से जनरली वैसे तो दो ही नंबर का क्वेश्चन यहां से आता है लेकिन कभी कभी यहां से भी आपका एक क्वेश्चन 7 मार्क्स का बन सकता है चांसेस कम होते हैं लेकिन फिर भी ए सकता है और यूनिट स्टेप फंक्शन का जो उसे है वो एप्लीकेशन एक बार ध्यान से समझेंगे तो कोई दिक्कत आपको इसको समझना में नहीं आएगी चलिए स्टार्ट करते हैं देखिए यूनिट स्टेप फंक्शन इसका दूसरा नाम होता है हैवी साइड यूनिट स्टेप फंक्शन जरा ध्यान से समझिए रिप्रेजेंट किया जाता है यू * ब्रैकेट में ट-स फंक्शन को डिफाइन कैसे करते हैं कब अगर टी की वैल्यू ए से कम है और अगर टी की वैल्यू ए से ज्यादा है या इक्वल है तो इसकी फंक्शन की वैल्यू वन होती है देखो यूनिट स्टेप फंक्शन मतलब जिसकी वैल्यू वन तो यूनिट स्टेप फंक्शन की वैल्यू या तो वन होगी या जीरो होगी वन कब होगी अगर टी ग्रेटर दें इक्वल तू ए है और जीरो कब होगी अगर टी की वैल्यू ली डा नहीं है ग्राफिकल इसको रिप्रेजेंट करें तो इसको ऐसे रिप्रेजेंट किया जा सकता है और याद रखना ए पॉजिटिव है तो ग्राफिकल ऐसे रिप्रेजेंट करेंगे अगर मां लो ये ए है क्योंकि पॉजिटिव है ए तो इधर ही आएगा ये ए है तो ए से पहले जो होगी इसकी वैल्यू जीरो होगी और ए के बाद इसकी वैल्यू वन होगी तो ये ग्राफिकल रिप्रेजेंटेशन हो गया कभी-कभी क्या होता है यहां पर ए को जीरो कर देते हैं तो अगर पर्टिकुलर कैसे अगर ए जीरो है अगर ए जीरो है तो यूनिट स्टेप फंक्शन हो जाएगा और ब्रैकेट मिट्टी अब इसकी वैल्यू जीरो है मतलब ग्राफ इस बार यही से स्टार्ट हो जाएगा तो ये होता है अब हमें क्या आना चाहिए अब हमें यहां देखना है की यूनिट स्टेप फंक्शन का लाप्लास क्या होगा क्योंकि हमें पढ़ना क्या है यूनिट स्टेप फंक्शन का लाप्लास ट्रांसफॉर्म निकालना है तो देखो यूनिट स्टेप फंक्शन का लाप्लास ट्रांसफॉर्म लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ यूनिट स्टेप फंक्शन बहुत सिंपल है इसका डेरिवेशन मैंने कर रखा है यहां पर ये आप देख सकते हैं एक बार आसन है तो यूनिट स्टेप फंक्शन ये हो गया हमारा अब इसका हमें लाप्लास लेना है तो देखो इसमें क्या करना पड़ेगा जो हमारा लाप्लास ट्रांसफॉर्म के बेसिक डेफिनेशन वाला फॉर्मूला था ये लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ फटी 0 से इंफिनिटी की पावर माइंस पी दी टी देखो फॉर्मूला के जितने भी डेरिवेशन है ना फॉर्मूला का डेरिवेशन अगर आपको करना है तो फॉर्मूला के डेरिवेशन इस बेसिक फॉर्मूला से ही होते हैं जितने भी फार्मूले हम पढ़ रहे हैं अगर आपको किसी भी फार्मूले का डेरिवेशन करना है तो आप लाप्लास ट्रांसफॉर्म का जो बेसिक फॉर्मूला है उसको अप्लाई कर दीजिए सभी फॉर्मूलों का डेरिवेशन आप बहुत आसानी से कर लेंगे बस आपको क्या करना है वहां पर इस फटी की जगह वो फंक्शन पट कर दीजिए जिसका लाप्लास आपको निकालना है जैसे हमें यहां पर यूनिट स्टेप फंक्शन का निकालना है तो यहां पर पट कर दिया यू टी - ए बस उसके बाद इसका इंटीग्रेशन करेंगे और इसका लाप्लास ए जाएगा तो एक बार यहां से चेक कर लेना कैसे किया मैंने अब यहां देखो में है हमारे पास फॉर्मूला ये हमारा लाप्लास ट्रांसफॉर्म का फॉर्मूला है ये आपको याद होना चाहिए इसका ही हम उसे करेंगे आगे चलकर क्या है फॉर्मूला जरा ध्यान से देखो लेप्लेस ट्रांसफॉर्म ऑफ यूनिट स्टेप फंक्शन इक्वल तू वन अपन पी आई की पावर -80 अभी देखो ध्यान से देखो टी - ए ये जो ए है यही ए की पावर में जाएगा एक ही पावर में यहां माइंस है ए की पावर माइंस ए पी ए की पावर माइंस वन अपन पी ए की पावर माइंस ए पी ये इंपॉर्टेंट फॉर्मूला है अच्छा अब इसमें अगर इसमें ए जीरो हो जाए देखो अगर ये जीरो हो गया तो लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ यू टी इक्वल तू ए जीरो हुआ तो ये खत्म हो जाएगा वन बन जाएगा वन अपन पी ए जाएगा तो लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ यू टी इक्वल तू वन अपन पी अब आगे बढ़ो अब यहां पर एक और इंपॉर्टेंट फॉर्मूला आने वाला है लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ यूनिट स्टेप फंक्शन विद डी हेल्प ऑफ टेकन शिफ्टिंग प्रॉपर्टी अब यूनिट स्टेप फंक्शन में हम सेकंड सेटिंग प्रॉपर्टी को एड करने जा रहे हैं तो अगर हम सेकंड शिफ्टिंग प्रॉपर्टी को भी एड कर दें यूनिट स्टेप फंक्शन के साथ में तो फॉर्मूला क्या बनेगा और यहां से जो फॉर्मूला आएगा ये बहुत इंपॉर्टेंट है इसका उसे करेंगे आगे देखो जरा ये हमारा यूनिट स्टेप फंक्शन है इसमें हमने क्या किया फटी - ए से दोनों तरफ मल्टीप्लाई कर दिया तो जब आप एफडीए - फटी - ए से दोनों तरफ मल्टीप्लाई करेंगे तो देखो जीरो मल्टीप्लाई करेंगे जीरो जाएगा लेकिन वन में मल्टीप्लाई करेंगे तो फटी - ए जाएगा ये सब ऐसे ही रहा है क्लियर है आगे बढ़ते हैं तो अब क्या हो गया देखो ये लेफ्ट वाला पार्ट ये हो गया अब मुझे क्या करना इसका एक इंपॉर्टेंट बात ध्यान रखना अगर यहां पर टी - ए है तो यहां भी टी - ए ही होना चाहिए तभी ये फॉर्मूला एप्लीकेबल होगा नहीं तो ये फॉर्मूला एप्लीकेबल नहीं होगा और इसका फॉर्मूला होगा ए की पावर माइंस आप आई देखो ये सेकंड शिफ्ट इन प्रॉपर्टी - ए ए की पावर माइंस ए पी ऍफ़ इंपॉर्टेंट फॉर्मूला अब इसमें बात यह आई है की जब हम इसका लाप्लास निकलेंगे तो हमारे पास फॉर्मूला ए गया ए की पावर माइंस ए पी एफ पी और एफ आप जानते हैं एफबी क्या होता है फटी का लाप्लास होता है अब फटी कहां से लेकर के आएंगे यहां पर है ना तो देखो ये जो फटी - ए है इस फटी - ए में ए की वैल्यू को जीरो रख दो तो जवाब एक ही वाले जीरो रखोगे तो फटी बचेगा तो यानी की यहां से आपको फटी मिल जाएगा और इस फटी का जो लाप्लास होगा वो एफबी होगा उठा के यहां रख देंगे आंसर ए जाएगा जब कुछ देखिए आपको देखने में ग रहा होगा पता नहीं क्या करना है लेकिन जब आप क्वेश्चन में उसे करेंगे ना इसको बहुत आसन आपको लगेगा ये ठीक चलिए अब आगे बढ़ते हैं और इसका क्वेश्चन देखिए इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है सन इन फिगर इन टर्म्स ऑफ यूनिट स्टेप फंक्शन पहले तो आपको एक्सप्रेस डा फंक्शन है सन इन फिगर देखो ये फंक्शन आपको फिगर में दे रखा है इस फंक्शन को आपको यूनिट स्टेप फंक्शन की फॉर्म में क्या करना है एक्सप्रेस करना है मतलब रिप्रेजेंट करना है और उसके बाद इसका लाप्लास निकालना है तो चलिए रिप्रेजेंट कर मतलब यहां पर आपको इस ग्राफ को देख के फंक्शन अपने आप लिखना है तो कई बार ग्राफ दे देते और उसको देख के फंक्शन आपको अपने आप लिखना होता है कई बार फंक्शन लिख के दे देते हैं क्लियर है चलिए सीधा-सीधा नहीं पता चल रहा है ट्रायंगुलर वाव है इसका ग्राफ निकालना बहुत आसन है देखिए फटी यहां पर फटी क्या है देखो वन से लेक तू तक तो ये ग्राफ अलग है और तू से थ्री तक का ग्राफ अलग है तो यानी की यहां पर हमारा फटी दो पार्ट में ब्रेक हो जाएगा एक अगर टी की वैल्यू वन से थ्री के बीच में तो फंक्शन अलग आएगा तू से थ्री के बीच में फंक्शन अलग आएगा अब वन से तू के बीच में फंक्शन क्या आएगा तो देखो उसके लिए आपको वन से तू के पेज है वन के कोऑर्डिनेटर आपको पता है वन कोमा जीरो इसके कोऑर्डिनेटर पे आपको पता है तू काम वन तो एक कम करिए इक्वेशन ऑफ ए लाइन पासिंग थ्रू 2 पॉइंट का फॉर्मूला हम पहले भी कई बार उसे कर चुके हैं ये ए - y1 y2 - y1 अपन x2 - x1 एक्स - x1 ये फॉर्मूला लगा के आप इस लाइन की इक्वेशन निकाल सकते हैं तो ये इक्वेशन आपके ए जाएगी टी - 1 इसका मतलब जब टी की वैल्यू वन से तू के बीच में है तो आपका फंक्शन टी - 1 के बराबर है उसके बाद ये पॉइंट ले लीजिए और इन दोनों पॉइंट से पास होने वाले लाइन की इक्वेशन लिखिए तो इन दोनों पॉइंट से पास होने वाली लाइन की इक्वेशन पता चल गया फटी क्या पता चल गया फटी लेकिन आपको फटी पता लगा ध्यान रखना अब हमें क्या करना है एक्सप्रेस डी फंक्शन ऑफ यूनिट स्टेप फंक्शन अब हमें इसको यूनिट स्टेप फंक्शन की फॉर्म में क्या करना है रिप्रेजेंट करना है क्लियर है तो चलिए रिप्रेजेंट करते हैं यूनिट स्टेप फंक्शन की फॉर्म में कैसे रिप्रेजेंट होता है ये इंपॉर्टेंट स्टेप है समझ लीजिए यहां पर क्या करेंगे देखो आपको करना क्या होगा ये टी - 1 को लिखो बाहर लिख दिया उसके बाद यू यू में से देखो टी में से माइंस करो वन को उट - 1 लोअर लिमिट को माइंस करो उट माइंस वन ए जाएगा यहां लिख दिया आपने फिर अपर लिमिट को माइंस करो तो उट - 2 ए जाएगा तो आप उट माइंस वन माइंस उट माइंस तो यानी की पहले आप लिखेंगे टी में से वन को माइंस करेंगे तो आपको उट माइंस वन बन जाएगा उसमें से आपको माइंस करना है उट माइंस तू क्लियर है सिमिलरली अब आप 3-3 लिखो प्लस करके थ्री माइंस थ्री लिखा ये और 3 - 3 लिखने के बाद अब फिर से आपको वही करना है ब्रैकेट लगाया आपने यू टी - 2 - यू टी -3 क्लियर है अब क्या करें अब इस टी - 1 को इसमें भी मल्टीप्लाई कर दो इसमें भी मल्टीप्लाई कर दो फिर 3 - 3 को इसमें भी करो और इसमें भी करो देखो यूनिट स्टेप फंक्शन ए जाएगा तो इसमें मल्टीप्लाई किया इसमें मल्टीप्लाई सब मल्टीप्लाई कर दिया मल्टीप्लाई करने के बाद ये ए गया लेकिन अगर आप इसमें देखोगे तो इसमें आपको यू टी - 1 और इसमें भी दो टर्म में उट माइंस वन नहीं मिल रहा है तो इन दोनों टर्म में से यू टी - 2 को और उट - 2 को आम ले लो तो इन दोनों में से जब आपने यू टी - 2 को आम लिया तो बच्चा हुआ पार्ट ब्रैकेट में ए गया इसको सिंपलीफाई कर लिया सिंपलीफाई करने के बाद आपके पास जो एक्सप्रेशन आया वो एक्सप्रेशन ये है ये लिखा सिंपलीफाई करने के बाद तीन ये ये और ये अब क्या करना है अब इसका ले लो नापना ना लाप्लास ट्रांसफार्मर 50 अब देखो ये लाप्लास ले लिया आपने अब यहां पर लगा दो फार्मूले देखो फार्मूले कौन से लगेंगे ये रहा ट्रांसफार्मर फटी - ए यू टी - ए अब देखो बिल्कुल आगे आईटी इसे वही बन रहा है वहां पर देखो यहां देखो जरा ध्यान से कहां पर थे हम यहां देखो यह हो गया आपका फटी - ए और ये हो गया उट - ए देखो मैंने आपको क्या कहा था की यहां का टी - ए है तो यहां भी टी - ए होना चाहिए तो देखो ये भी टी - 1 है और ये भी टी - 1 है तो अब इसका जवाब लाप्लास लेंगे तो फॉर्मूला क्या बनेगा ए की पावर माइंस ए पी ए की पावर माइंस ए पी और एस पी एफ पी क्या होता है लाप्लास्ट ट्रांसफार्मर ऑफ फटी तो ए यहां पर कितना ये ए है ए यहां पर वन है तो देखो यहां पर ए गया ए की पावर माइंस आप मतलब माइंस वन पी और लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ फटी सिमिलरली यहां पर ए जाएगा ए के देखो यहां पर ए की वैल्यू तू है तो एक ही पावर -2p ए गया और यहां पर तू भी तो है तो और लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ फटी क्योंकि फटी तो यही होगा ना प्लस ए की पावर -3b और लाप्लास ट्रांसफॉर्म है फटी अब क्या करना है आपको फटी देखो कितना है अब मैंने फटी कैसे निकलेंगे देखो फटी की वैल्यू टी - 1 है मैंने आपको कहा था ए को जीरो पट कर दो फटी ए जाएगा यानी की यहां पर वन की जगह जीरो कर दो तो फटी कितना आएगा यहां से टी आएगा फटी कितना मिलेगा यहां से टी यहां से भी टी मिलेगा और यहां से फटी सब जगह होता है 1 / p² तो देखो आप प्लस ले लिया 1 / p² समझे के ए गया इसको सिंपलीफाई कर दिया यहां पर याद रखना यहां पर तू भी है ये तू था ना है तो इसको सिंपलीफाई करेंगे तो यह ए जाएगा तो इस तरह से आप यूनिट स्टेप फंक्शन का ट्रांसफॉर्म ले सकते हैं कन्वर्टर करना आपको आना चाहिए क्लियर है यहां पर चलते हैं फाइंड डी लाप्लास्ट ट्रांसफार्मर अब इसका लाप्लास ट्रांसफॉर्म आपको लेना है कैसे लेंगे इसका लाभ लास्ट ट्रांसफॉर्म जरा ध्यान से देखो देखो ये फटी है ये क्या है फटी है आपके पास और ये उट - 1 है तो यहां पर सीधे लाप्लास ट्रांसफॉर्म का फॉर्मूला ग जाएगा कोई प्रॉब्लम नहीं है तो ए की वैल्यू यहां पर वन है तो देखो लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ इसका डायरेक्ट लाप्लास ट्रांसफॉर्म ए की पावर माइंस ए पी ए कितना है वन है तो ए की पावर माइंस पी ए गया प्लस ट्रांसफार्मर फटी अब ध्यान रखना फटी कितना होगा मैंने आपको कहा था टी - ए में ए को हटा दो ए को जीरो कर दो ए को हटा के जो बचेगा तो टी - 1 में से वन को हटा दो बच्चा कितना 30² तो t² आपका फटी तो देखो ए की वैल्यू वन है फटी की वैल्यू t² है t² का आपने लाप्लास लिया 2 / पीके ए गया यहां पर पट कर दिया आंसर ए गया तो बहुत सिंपल क्वेश्चन है यूनिट स्टेप वन के तो इस टाइप के क्वेश्चन दो नंबर में बहुत पूछे जाते हैं देखिए अगर 7 मार्क्स का क्वेश्चन यहां से बंता है तो ये बन सकता है इस टाइप का इस टाइप का क्वेश्चन वरना तो दो नंबर का ही क्वेश्चन ऐसे बनेगा तो दो नंबर का बनेगा ठीक है यहां पर अगेन देखो तू मार्क्स का क्वेश्चन टी - 3 - 3 और टी स्क्वायर टी - ए होना चाहिए तो यहां टी - 3 तो यहां भी टी - 3 होना चाहिए था लेकिन नहीं है क्या करें अपने आप एड हो सकता है तो इसमें क्या कर सकते हैं t² में टी के साथ थ्री एड कर दिया 3 - कर दिया और उसका होल स्क्वायर कर दिया कोई फर्क तो पढ़ा नहीं अब क्या करें एक कम कर दो टी प्लस थ्री को तो एक साथ ले लो और माइंस थ्री अब देखो ये टी + 3 ए गया और यहां पर यू टी - 3 हो गया क्लियर है तो अब यहां पर देख सकते हैं यहां पर भी माइंस ए और यहां भी माइंस है से बन गया अब फॉर्मूला लगा सकते हो तो अब आप इसको फॉर्मूला लगा सकते हैं तो यहां पर ए की वैल्यू -3 है तो एक ही पावर -3 और लाप्लास ट्रांसफॉर्म फटी अब ध्यान रखना फटी यहां पर टी + 3 है तो यहां पर क्योंकि इसको आप हटा देंगे 3 को हटा देंगे तो टी + 3 का होल स्क्वायर बनेगा तो फटी हो गया टी + 3 का होल स्क्वायर अब इसका आपको लेना है तो इसका आसन है पहले ए प्लस बी का होल स्क्वायर ओपन कर दो और उसके बाद सबका अलग-अलग ले लो आपके पास आंसर ए जाएगा तो इस तरह के तू तू मार्क्स में क्वेश्चन आते हैं यूनिट स्टेप फंक्शन तो यहां पर ये हमारा यूनिट स्टेप फंक्शन भी क्या हो गया कंप्लीट हो गया और यूनिट से आप फंक्शन के साथ-साथ यहां पर हमारा लाप्लास ट्रांसफॉर्म जो पहले पार्ट था वो कंप्लीट हो गया अब इसके बाद स्टार्ट इस यूनिट का तीन पार्ट है लाप्लास ट्रांसफॉर्म इन्वर्स डॉ प्लस ट्रांसफॉर्म और एप्लीकेशन ऑफ लाप्लास ट्रांसफॉर्म तो तीन में से एक पार्ट हमारा कंप्लीट हुआ अभी लाप्लास ट्रांसफॉर्म और अब हम स्टार्ट करेंगे इन्वर्स लाप्लास्ट ट्रांसफॉर्म तो चलिए स्टार्ट करते हैं तो चलिए स्टार्ट करते हैं इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफर तो देखो जैसे लाप्लास्ट फॉर्म में हमने 7 बेसिक फार्मूले पड़े वैसे ही सेवन बेसिक फार्मूले हमारे यहां पर इन्वर्स लाप्लास्ट फॉर्म में भी आएंगे ध्यान दीजिए तो देखो जैसे यहां पर ट्रांसफार्मर वन का लाप्लास ट्रांसफॉर्म 1 / पी था सिमिलरली इसका इन्वर्स हो जाएगा तो अगर आप वन अपन पी का इन्वर्स लाप्लास लेंगे तो वो वन आएगा वन का वन अपन पी है तो यहां पर 1 / बी का इन्वर्स क्या हो जाएगा वन हो जाएगा ठीक है इसी तरह से टी की पावर एन का लेप्लेस ट्रांसफॉर्म क्या था गम एन + 1 / पी की पावर एन + 1 अगर आप इस पूरे का इन्वर्स ले लेंगे तो वह टी की पावर एन ए जाएगा लेकिन हम इस फॉर्म में उसे नहीं करते इसको थोड़ा सा डिफरेंट फॉर्म में हम इसको उसे करेंगे कैसे इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉमर्स 1 / पी की पावर एन = टी की पावर एन - 1 / गम एन तो ये जो इन्वर्स के सेवन बेसिक फार्मूले हैं कस फॉर्म ये आपको याद होने चाहिए है ना तो यहां पर 1 / पी की पावर एन का हो जाएगा टी की पावर एन - 1 / गम एन और अगर एन इंतजार है मतलब एन की वैल्यू जीरो वन तू थ्री है तो यहां पर गम एन की जगह ए जाएगा एन - 1 तो आप ये फार्मूले जी फॉर्म में मैंने यहां लिखे हैं आप इन फॉर्मूला को इसी फॉर्म में याद करेंगे तो इनको अप्लाई करना आसन रहेगा ठीक है ना चलिए आगे बढ़ते हैं इसी तरह से 1 / पी - ए का इन्वर्स होता है ए की पावर 80 इसका जस्ट अपोजिट है सिमिलरली 1 / p² + a² का इन्वर्स डॉ प्लस ए स्क्वायर होता है अगर आप इसका इन्वर्स लेंगे तो सन 80 आएगा लेकिन हम यहां पर इसको इस फॉर्म में याद करेंगे की अगर ऊपर वन है तो ये 1 / ए हो जाएगा क्लियर है ना भाई यहां से ए यहां चला गया क्लियर तो इस तरह से आप याद रखेंगे इसी तरह से पी / p² + a² का इन्वर्स लाप्लास सीओएसईसी हो जाएगा इसका जस्ट उल्टा इन्वर्स लाप्लास्ट ट्रांसफार्मर 1 / p² - a² का 1 / ए सन हा ए टी हो जाएगा हाइपरबॉलिक वाला और यहां पर भी ऐसे ए जाएगा तो ये 7 बेसिक फार्मूले हैं इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म के जैसे आपने लाप्लास में याद किया थे से है देखो इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म में पहले हम क्वेश्चन देखेंगे इन 7 फार्मूले के ऊपर बेस फिर हमने लाप्लास साथ में पड़ी थी प्रॉपर्टीज ऑफ लाप्लास ट्रांसफॉर्म और यहां पर भी आएंगे प्रॉपर्टीज ऑफ इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म तो पहले इन 7 बेसिक फॉर्मूला के ऊपर क्वेश्चन देखिए फाइंड डी इन्वर्स आपको इन्वर्स लाप्लास निकालना है इसका तो क्या करेंगे जैसे हम लाप्लास निकलते हैं ना अलग-अलग टर्म का वैसे ही अलग-अलग टर्म का इन्वर्स लाप्लास निकलेंगे तो इसका इन्वर्स करेंगे इसका इन्वर्स ले लेंगे अलग-अलग तो सबका अलग-अलग इन्वर्स ले लेंगे तो देखो ये यहां पर सबका अलग-अलग इन्वर्स हो गया ठीक है अब यहां पर फॉर्मूला लगा दीजिए भाई थ्री तो कांस्टेंट है बाहर चला जाएगा फोर कांस्टेंट है बाहर चला जाएगा 5 कांस्टेंट है बाहर चला जाएगा ये बैक गया तो यहां पर आप डायरेक्ट फॉर्मूला उसे करते हो कर सकते हो आप 1 / पी - 5 तो ए की पावर 5t हो जाएगा 1 / पी का वन होता है और 1 / पी + 2 का इसका क्या हो जाएगा ए ^ -2t ए के पावर -2t तो ये इन्वर्स ए गया मतलब आपको कुछ नहीं करना सिर्फ अगर आपको इन्वर्स लाप्लास के ट्रांसफॉर्म के सेवन बेसिक फार्मूले आते हैं तो बस आप उनको अप्लाई करना है क्वेश्चन में तो अगर आप क्वेश्चन सॉल्व करेंगे तो आपको ये फार्मूले उसे करने ए जाएंगे देखिए कई बार स्टूडेंट क्या करते हैं इन सबको याद तो कर लेते हैं लेकिन इनके ऊपर बेस क्वेश्चन सॉल्व नहीं करते तो फिर उनको आप जो क्वेश्चन सॉल्व नहीं करते हैं ना उनको फार्मूले याद रहते हैं फिर भी वो क्वेश्चन नहीं कर पाते क्यों क्योंकि उन्होंने उनको अप्लाई करना शिखा नहीं है तो क्वेश्चन सॉल्व करना बहुत जरूरी है यहां पर देखिए आप इन सभी क्वेश्चन में इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म के फार्मूले अप्लाई कर सकते हैं ये 1 / पी की पावर 1/2 हो गया तो यहां पर फॉर्मूला लगेगा गम वाला है ना तो यहां पर देखिए टी की पावर एन - 1 / गम एम तो यहां पर गम एन गम वन बाय तू ए गया उसकी वैल्यू रूट पी ए गया आंसर ए जाएगा ऐसी आप यहां पर भी कर सकते हैं यहां भी गम वाला फॉर्मूला लगेगा और यहां तो डायरेक्ट हो जाएगा दोनों को अलग-अलग ले लेंगे तो बहुत सिंपल क्वेश्चन है जिनको आप बहुत ही आसानी के साथ कर सकते हैं यहां पर देखिए इसको ये भी डायरेक्ट फॉर्मूला है भाई 1 / p² + 25 को 5 स्क्वायर लिख दो p² + a² हो गया देखो साइन का फॉर्मूला बन गया 1 / ए सन ए टी आराम से मैं कर सकते हैं आप यहां पर देखो इसमें जो तू को आम ले लो बाहर तो जब तू को आम लेंगे तो p² + 4 बचेगा तो p² + 2 इसका कस का फॉर्मूला बन गया तो सीधे फॉर्मूला अप्लाई करने है ज्यादा कुछ यहां पर आपको नहीं करना है यहां पर देखो यहां भी फॉर्मूला ग रहा है डायरेक्ट बी स्क्वायर माइंस ए स्क्वायर पर बोली का फॉर्मूला बन जाएगा कितना आसन है आगे बढ़ते हैं यहां पर बहुत आसन है पहले तो देखो ऊपर दो टर्म है तो एक कम करो 4p को अलग कर दो 15 को अलग कर दो डिनॉमिनेटर दोनों के नीचे आएगा ठीक है ये ए गया अब आपको क्या करना है फॉर्मूला बना दीजिए नीचे फॉर्मूला कैसे बनेगा देखो यहां से आप 16 को आम ले लो ऊपर से फोर को बाहर निकाल दो नीचे से 16 को बाहर निकाल दो तो ऊपर पी बचेगा यहां पर p² - 25 / 16 बचेगा जिसको आप 5 / 4 का होल स्क्वायर लिख सकते हैं तो यहां पर देखो आप कस हाइपरबॉलिक का फॉर्मूला बन गया कस हाइपरबोले का फॉर्मूला बन गया पी / p² - a² सिमिलरली यहां पर भी आम ले लेंगे और यहां पर भी आपका फॉर्मूला बन गया सन हाइपरबोले का आसानी से आप आंसर लिख सकते हैं और यह बहुत इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है इनका उसे हम आगे भी करेंगे ध्यान रखना इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है सब तो इसी तरह से आप इसको भी कर सकते हैं ए जाइए फिर अब देखो ध्यान रखना यहां पर कितने सारे टर्म यहां पर आपके पास ए जाएंगे एक टर्म ये हो जाएगी यहां से दो टर्म बनेंगे यहां से दो टर्म तो टोटल फाइव टर्म्स हो जाएंगे सबका अलग-अलग ले लेंगे तो पहले देखो मैंने सब अलग-अलग कर दिया फिर यहां पर इनको फार्मूले की फॉर्म में कन्वर्ट कर दो जैसे ये है सिक्स को सिक्स अपन तू भी है तो एक कम करो इसमें से सिक्स को भी बाहर कर दो तू को आम ले के बाहर कर दो तो 1 / पी - 3 / 2 बचेगा यहां ऊपर से 3 और नीचे 9 p² है तो इसमें से 9 को ऊपर से ऊपर से थ्री को बाहर निकाल दो नीचे से नाइन को बाहर निकाल दो तो फॉर्मूला बन जाएगा सिमिलरली यहां से है ना यहां पर भी जो आम ए रहा है सबको बाहर कर दिया मैंने देखो आम आने के बाद देखो सब फार्मूले बन जाएंगे ये बन गया 1 / पी - ए की पावर ए टी का फॉर्मूला ये आपका बन गया फॉर्मूला यहां पर आपका बन गया का फॉर्मूला यहां आपका बन जाएगा सन 80 का फॉर्मूला है ना और यहां पर आपका बन जाएगा cos80 का फॉर्मूला सब फार्मूले डायरेक्ट सारे फार्मूले लगाओगे आपका आंसर ए जाएगा ठीक है ना तो बहुत सिंपल ये टॉपिक है तो इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म के सेवन बेसिक फार्मूले होते हैं उनको अप्लाई करना आपको आना चाहिए कुछ और यहां पर क्वेश्चन है इनमें अप्लाई करके आप प्रैक्टिस कर सकते हैं अब बात करते हैं प्रॉपर्टीज ऑफ इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म तो जैसे लाप्लास ट्रांसफॉर्म में तीन प्रॉपर्टी होती थी वो तीनों प्रॉपर्टी यहां पर भी है तो चलिए वन बाय वन बात करते हैं तीनों की सबसे पहले फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी जिसको हम फर्स्ट ट्रांसलेशन प्रॉपर्टी भी कहते हैं तो आपने इसको लाप्लास में पढ़ा लाप्लास में क्या था की अगर फटी का लाप्लास एफपी होता है तो ए की पावर 80 को अगर फटी में मल्टीप्लाई कर दें तो पी को रिप्लेस कर देते हैं पी - पी ए से सिमिलरली यहां पर इसका रिवर्स हो जाएगा अगर एफ का इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म फटी है देखो एफ का इन्वर्स क्या होगा फटी होगा तो यहां पर अगर हम देखो जरा ध्यान से सुनो प्लस फटी - ए और यहां पर एफबी - ए का इन्वर्स लाप्लास है और याद रखना यहां पर होगा तो एकदम जस्ट रिवर्स है कोई ज्यादा इसमें कुछ कॉम्प्लिकेटेड है नहीं इसको देखो इसके ऊपर बेस क्वेश्चन देखो यहां ये क्वेश्चन ए गया फाइंड डी यूनिवर्स लैब लास्ट ट्रांसफॉर्म इसका इन्वर्स निकालना है तो जब आप इसका इन्वर्स निकलेंगे तो सबसे पहले यहां पर फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी लगा दीजिए फर्स्ट शिफ्ट इन प्रॉपर्टीज से क्या होगा देखो फर्स्ट शिफ्टिंग अगर आप प्रॉपर्टी लगाएंगे तो पी + 3 यहां से 3 है जाएगा और ये क्या ए जाएगा ए की बाई फर्स्ट शिफ्ट इन प्रॉपर्टी ए की पावर -3t ए जाएगा ये देखो जब आप इसका पी - ए का प्लस लेंगे इन्वर्स लाप्लास साथ में मैं एफ पी माइंस ए तो ए की पावर एट और इन्वर्स लाप्लास ऑफ एफबीआई आएगा तो यहां पर ध्यान देना वहां पर अगर ये पी + ए होगा तो ये ए की पावर -80 हो जाएगा इसका ध्यान रखना तो यहां पर पी + ए लिखा है देखो यहां पर पी + 3 लिखा है तो ए की पावर -3d बाहर ए गया और जो बच्चा उसका हम इन्वर्स ले लेंगे क्या बच्चा अब देखो अब अगर आपने यहां पर शिफ्टिंग प्रॉपर्टी लगा दी है तो ये थ्री यहां से है जाएगा तो बचेगा क्या पी की पावर सिक्स अब इस पी की पावर सिक्स का आप इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म का फॉर्मूला लगा दीजिए 7 बेसिक फॉर्मूला में इसका फॉर्मूला हमने लिखा था 1 / पी की पावर एन का इन्वर्स लाप्लास होता है टी की पावर एन - 1 / एन - 1 फैक्टोरियल क्योंकि यह इंटीरियर है तो यहां पर एन - 1 फैक्टोरियल ए जाएगा क्लियर है तो यहां से हमारा आंसर आसानी से ए जाएगा तो ये था हमारा फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी का उसे तो अगर कहानी पर भी आपको पी + 3 या पी माइंस थ्री मतलब पी + ए या पी - ए दिखाई दे तो वहां पर आप फर्स्ट शिफ्ट इन प्रॉपर्टी लगा के पहले उसे प्लस वाली टर्म को क्या कर देंगे हटा देंगे आगे देखो नेक्स्ट क्वेश्चन यहां देखो यहां फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी ग जाएगी पहले तो ये जो प्लस ए है ये ए की पावर माइंस एट बन जाएगा और जो बचेगा वो बचेगा 1 / √p और इसको तो हम लाप्लास हमारे पास के लिए तो बेसिक फॉर्मूला है ये 1 / पी की पावर 1 / 2 हो गई तो यहां पर गम वाला फॉर्मूला ग जाएगा आसानी से आंसर ए जाएगा क्लियर है नेक्स्ट क्वेश्चन देखो अब यहां पर इसका इन्वर्स लाप्लास निकालना है तो पहले क्या करो पहले नीचे परफेक्ट स्क्वायर बना देखो नीचे आपको जब भी क्वांटिटी की इक्वेशन देखने को मिले और आपको उसका इन्वर्स लाप्लास लेना है तो पहले नीचे परफेक्ट स्क्वायर बना लो देखो यहां पर p² + 4p प्लस 13 है तो इसमें एक कम करो 13 को 4 + 9 लिख दो क्यों क्योंकि जब आप ऐसा करेंगे तो ये तीन टर्म मिल के क्या बना देंगे होल स्क्वायर तो यहां पर ये बन गया पी + 2 का होल स्क्वायर प्लस 9 अब यहां पर फर्स्ट शिफ्ट इन प्रॉपर्टी आप लगाएंगे तो ये तू यहां से है जाएगा और ए की पावर -2t बाहर ए जाएगा ये देखो बाहर ए गया उसके बाद बच्चा आपके पास 1 / p² + 9 और ये तो डायरेक्ट फॉर्मूला आपके पास साइन का कितना आसन हो गया इसमें भी से है ना तो सबसे पहले नीचे क्वांटिटी इक्वेशन ए रही है इसको पहले अलग-अलग कर लीजिए जैसे पी प्लस ए है अब यहां देखो p² + 4p + 5 है तो यहां पर होल स्क्वायर बन गया पी + 2 का होल स्क्वायर प्लस वन उसके बाद इनको अलग-अलग कर दिया अलग-अलग करने से आपने ऊपर अगर इसको पी + स को पी + 2 और 6 लिख दिया तो अलग-अलग कर सकते हैं थोड़ा सा आसन ए जाएगा तो यहां पर हमारे पास जैसे ही हमने फर्स्ट शिफ्ट इन प्रॉपर्टी लगे तो देखो फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी लगाते ही अब एक चीज का ध्यान रखना आप फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी यहां पर नहीं लगा सकते क्यों क्योंकि नीचे तो पी + 2 का होल स्क्वायर है और ऊपर पी + 8 है तो जब आप फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी लगाते हैं तो अगर आप पी प्लस तू का पी बनाना चाहते हैं तो याद रखना पी जहां पर भी ए रहा है हर जगह पी + 2 ही होना चाहिए तो इसीलिए ऊपर पी + 8 था पहले इसको भी पी प्लस तू और सिक्स लिखा तो जब हम इसमें प्रॉपर्टी लगाएंगे और पी + 2 की जगह पी लिखा जाएगा तो देखो वहां भी पी और यहां भी पी और यहां भी पी अब इसको अलग अलग करके इसका इन्वर्स ले लीजिए तो यहां पर 7 बेसिक फार्मूले में से कोई ना कोई फॉर्मूला ग जाएगा यानी की इन्वर्स अपना सेवन बेसिक फार्मूले आपको बहुत अच्छे से आने चाहिए तभी आप प्रॉपर्टी का भी उसे कर पाएंगे आगे बढ़ते हैं अब बात करते हैं सेकंड शिफ्टिंग प्रॉपर्टी या सेकंड ट्रांसलेशन प्रॉपर्टी का इसका भी उसे हम करेंगे एप्लीकेशन हमें यहां पर जो ज्यादातर ये सेकंड शिफ्टिंग प्रॉपर्टी उसे होती है ना ये उसे होती है इन टर्म्स ऑफ यूनिट स्टेप फंक्शन तो यहां पर जरा ध्यान देना सेकंड शिफ्टिंग प्रॉपर्टी क्या आई है अगर आपका फटी का लाप्लास एफ है है ना तो जीटी का जो लाप्लास होगा वो ए की पावर माइंस ए पी एफ पी होगा और यहां पर जीटी फंक्शन ये इस तरह डिफाइन होता है अब अगर इन टर्म्स ऑफ यूनिट स्टेप लिखना हो तो देखो यूनिट स्टेप फंक्शन के टर्म्स में लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ फटी - ए यू टी - ए इक्वल तू होता है ए की पावर माइंस एपीएसपी ये इन टर्म्स ऑफ यूनिट स्टेप फंक्शन है और यही यहां पर ज्यादा इंपॉर्टेंट है है ना इसका उसे ज्यादा करेंगे हम तो ये इंपॉर्टेंट है यहां पर ठीक है ना सॉरी देखो जब हमने लाप्लास पढ़ा था तो इसका उसे हमने ज्यादा किया था आपको याद होगा वहां पर हमने यूनिट स्टेप फंक्शन के क्वेश्चन किया थे तो वहां पर हमने इसका उसे किया अब जब हम इन्वर्स पढ़ रहे हैं तो हम इसका जस्ट अपोजिट वाला उसे करेंगे यानी की इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ ए की पावर माइंस आप = फटी - ए उट - ए बिल्कुल इसका उल्टा हो गया मतलब अगर आप इसका इन्वर्स लेंगे तो ये ए जाए क्लियर है वही वहां पर लिखा है अब इनके ऊपर बेस एक क्वेश्चन आपको बताता हूं तो ये क्लियर हो जाएगा जैसे यहां पर देखिए इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ आई की पावर -2p/p² लिखा है यह हमारे पास लिखा हुआ है तो कैसे करेंगे इसको सबसे पहले तो हमें यहां पर देखो ए की पावर -2p/1/p² अलग-अलग कर दिया यहां पर है ना चलिए देखिए हमारे पास ए गया टी लेकिन प्रॉब्लम क्या है हमें हमें क्या चाहिए जरा ध्यान दीजिए देखिए हमें कैलकुलेट करना है इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ आई की पावर -2p/1/p² का ये हमें कैलकुलेट करना है यहां से जरा ध्यान से समझिए हमें ये पूछा गया है ए की पावर माइंस एपीएफपी देखो यहां पर अगर आप ध्यान से देखो तो ए की पावर माइंस ए पी ये रहा और 1 / p² को हम एफ मां लेंगे तो यहां पर क्वेश्चन को देख के आपको समझ में ए गया होगा देखिए अगर आपसे इन्वर्स लाप्लास पूछा है और उसमें ए की पावर -आप या ए की पावर प्लस आप इस तरह का फंक्शन ए रहा है आपके पास तो याद रखना उसमें आपको ये फॉर्मूला लगाना पड़ेगा सेकंड शिफ्टिंग प्रॉपर्टी सेकंड शिफ्टिंग प्रॉपर्टी तो यहां पर ए की पावर माइंस ऐप ए रहा है और 1 / p² भी ए रहा है इसका मतलब यहां पर ये टर्म भी ए रही है और एसपी भी ए रहा है तो आपको यही फॉर्मूला लगाना पड़ेगा अब इस फार्मूले के अकॉर्डिंग इसका आंसर क्या होगा फटी - ए और उट - ए अब प्रॉब्लम ये आई है की ये फटी - ये कहां से आएगा और उट - ए कहां से आएगा तो ये बहुत आसन है देखो आप पहले फटी निकालो फटी कहां से आएगा फटी आएगा फटी के इन्वर्स से देखो जो फटी है वो फटी का इन्वर्स होगा तो पहले आप एसपी का इन्वर्स निकालो जब एफ का इन्वर्स ए जाएगा तो उसे एफ के इन्वर्स आएगा आपके पास फटी उसमें आप टी की जगह टी - ए रख देना तो आपका टी - फटी - ए ए जाएगा देखो कैसे सबसे पहले तो यहां पर आपको ये डिसाइड करना पड़ेगा की एफ पी क्या है तो ए की पावर आप को छोड़ के जो बच्चा वो एफ बी है तो यहां पर पहले मैंने इसको लिखा है ए की पावर माइंस ए पी * 1 / p² तो इसमें ये वाला जो पार्ट है ये एफबी है ठीक है इसका इन्वर्स ले लो तो मेरे पास फटी ए गया और जब मेरे पास फटी ए गया तो मैं यहां से फटी - ए निकाल सकता हूं जो की टी - ए होगा ए कितना है यहां पर ये रहा तू तो ये फटी - 2 यानी की टी - 2 मेरे पास आएगा फटी - 2 टी - 2 तो यहां पर देखो अब मैंने सेकंड प्रॉपर्टी का उसे किया तो अकॉर्डिंग तू सेकंड शिफ्ट इन प्रॉपर्टी इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ इसका यूनिवर्स होगा वह जीटी के बराबर होगा वो जीटी के बराबर होगा जीटी का फटी - 2 जब टी ग्रेटर दें तू है और जीरो अब जरा यहां पर ध्यान से समझो फटी - 2 कितना आएगा टी - 2 आएगा यहां पर टी की जगह टी - 2 रखोगे तो टी - 2 आएगा और ये जीरो आएगा क्लियर है अब हमें आंसर लिखना है देखिए ये वाला जो पार्ट है ये आपकी चॉइस है आप लिखना चाहें तो लिख सकते हैं अगर आप चाहते हैं की आपको इसको नहीं लिखना है तो मत लिखे आप डायरेक्ट ऊपर लिखे बाय शिफ्टिंग प्रॉपर्टी बाय सेकंड शिफ्टिंग प्रॉपर्टी और उसके बाद मैं आपको बताता हूं आंसर कैसे लिखना है देखो ये आपका इन्वर्स लेना है इसका आंसर है फटी - ए और उट माइंस है आप एक कम करो फटी निकालो फटी में टी की जगह टी - ए कितना है यहां पर इस पर्टिकुलर क्वेश्चन में ए की वैल्यू तू है तू फटी - 2 हो जाएगा और यहां पर उट - 2 हो जाएगा कितना आसन है मतलब आपको करना क्या है ये आपको एफबी दिया था इसका फटी निकालो यहां से फटी - 2 निकाल दो एफ टी - 2 निकाल दो तो यह टी - 2 आता है अब सीधे फॉर्मूला लगाओ और जब ये फॉर्मूला आप लगाएंगे तो अकॉर्डिंग तू दिस फॉर्मूला आपका जो आंसर होगा वो फटी - 2 और उट - 2 होगा मतलब आप यहां पर लिखेंगे फटी - 2 और उट - 2 और फटी - 2 की वैल्यू कितनी है टी - 2 तो यहां पर टी - 2 पट कर दो आंसर ए गया आप चाहे तो इस वाले पार्ट को इसकी भी कर सकते हैं लिखना चाहें तो लिख दे वरना आप सीधे यहां लिख दें आंसर ए जाएगा क्लियर है तो यहां तक मेरे ख्याल से सबको समझ में ए गया होगा इसी तरह से सिमिलर क्वेश्चन यहां पर है देखो इसमें 1 / p² + 1 आपका एफ हो गया और ये ए की पावर माइंस 5p हो गया तो यहां पर जो आपका एफ है इसका आप इन्वर्स ले लो और उसके बाद जैसे मैंने बोला वैसे आप कर देंगे आंसर आपका ए जाएगा सिमिलर क्वेश्चन है तो मेरे ख्याल से इनको अब अपने आप ट्राई कर लेने आप कोई ज्यादा अंतर नहीं है चेंज ऑफ स्केल प्रॉपर्टी थर्ड प्रॉपर्टी जो इन्वर्स लग लास्ट ट्रांसफॉर्म की वो क्या है चेंज ऑफ स्केल प्रॉपर्टी तो देखो ये हम लाप्लास में पढ़ चुके हैं वहां पर क्या था अगर फटी का लाप्लास एफ है तो फड़ का 1 / ए ऍफ़ पी अपन ए होगा इसी तरह से कुछ यहां पर इसका रिसिप्रोकल है भाई अगर एस पी का इन्वर्स फटी है तो एफ आप का जो इन्वर्स होगा वो 1 / ए और फटी/ए होगा उल्टा हो गया जस्ट एकदम चलिए इसके ऊपर भेज दो यह आपको दिया है देखिए इसमें क्या पूछा आप क्या कहा आपको की इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ आई की पावर -1/पी अंदर रूट पी इसका जो इन्वर्स है वो इतना दे रखा है कस 2 √5t और आपको इन्वर्स निकालना है एक-एक पावर -ए/पी और अंदर रूट पी का तो आप अगर इसमें ध्यान से देखो तो यहां पर [संगीत] पी के साथ में ए मल्टीप्लाई हो रहा है देखो पी के साथ में ए मल्टीप्लाई हो रहा है देखो यहां पर ए की पावर माइंस आप था - 1 / पी था माइंस वन अपन पी था और यहां पर माइंस ए अपन पी हो गया यानी की यहां पर ए मल्टीप्लाई हुआ तो यहां पर ये प्रॉपर्टी ग जाएगी तो देखो इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म - 1 / 3 √p का था हमारा आंसर ये लिखा था अब यहां पर इसमें जरा ध्यान से समझो जो हमारा एफ है वो कितना है ए की पावर -1/पी और √p ये एफ है इसका मुझे क्या लेना है इन्वर्स लेना है अब यहां पर जरा ध्यान से समझिए अगर हम पी की जगह 1 / ए कर दें मतलब पी को किस मल्टीप्लाई करना है 1 / ए एक्चुअल में हो क्या रहा है यहां पर देखो ये ए की पावर माइंस वन अपन पी है यहां पर जो आपके पास देखो इसको मैं यहां लिख कर दिखा देता हूं एक ही पावर -ए/पी लिखा गया ए की पावर में माइंस वन अपन प्यार सॉरी 1 / पी है यह लिखा गया उसमें हमसे पूछा की ए की पावर माइंस ए अपन पी ये हमें बताना है की एक्चुअल में इसकी वैल्यू क्या होगी वही तो मैं यहां पर तो एक्चुअल में यहां पर हो क्या रहा है जरा ध्यान से समझिए अगर मैं इस ए को क्या मैं इसको ऐसे लिख सकता हूं एक ही पावर -1 / पी / ए ऐसे लिख सकते हैं इसका मतलब पी के साथ मल्टीप्लाई ए नहीं हो रहा पी के साथ मल्टीप्लाई हो रहा है 1 / ए तो पी के साथ क्या मल्टीप्लाई हो रहा है 1 / ए तो देखो अगर ये एफ है तो एफ के साथ अगर 1 / ए * कर दें तो पी के साथ वन अपन ए मल्टीप्लाई करने पे क्या आएगा यहां पर देखो जरा पी के साथ वन अपन ए तो पी के साथ 1 / किया तो ऊपर करेंगे तो नीचे भी पी के साथ 1 / करना पड़ेगा तो यहां पर एक ही पावर -1 / पी * 1 / ए ए गया ये ऊपर चला जाएगा तो ये ए की पावर माइंस आप/√p/√a आएगा और ये रूट कहां चला जाएगा ऊपर तो आपके पास f1 अपन ए पी इक्वल तू इतना ए गया अब जरा ध्यान से समझिए आपसे पूछा गया था इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ आपसे इसका इन्वर्स पूछा है लेकिन यहां पर रूट ए जो है वो एक्स्ट्रा है कोई बात नहीं तो आप एक कम करिए इसका इन्वर्स ले लीजिए किसका इतने इतने पार्ट का ए की पावर माइंस वन अपन पी अंदर रूट पी इसका इन्वर्स हमें पहले से दे रखा है कस 2√3 / √5t अब क्या करेंगे अब रूट ए को अब जरा ध्यान देना देखो यहां पर क्या किया थोड़ा सा यहां पर ध्यान से समझेंगे देखिए हमारे पास इसका हमें जिवन है ए की पावर माइंस वन अपन पी रूट पी इसका हमें जिवन है और अब हम निकालना जा रहे हैं किसका किसका रूट ए ए की पावर माइंस ए अपन पी रूट पी तो इसका देखो कितना होगा जरा ध्यान से समझिए सबसे पहले तो आपको क्या करना है कस देखो प्रॉपर्टी में चलते हैं प्रॉपर्टी क्या का रही है अकॉर्डिंग तू प्रॉपर्टी वन अपन ए एफ टी - ए जहां जहां पर टी ए और टी / ए लिखो और 1 / ए कर दो आते हैं वापस देखिए अब यहां पर हमने मल्टीप्लाई किस किया था 1 / ए से याद रखना यहां पर ए की जगह 1 / ए तो देखो हमने यहां पर प्रॉपर्टी लगे 1 / ए किया 1 / ए मतलब ए है हमारा 1 / ए उसके बाद जहां तीता वहां टी को हमने डिवाइड कर दिया वन अपन ए से तो देखो यहां भी दी को डिवाइड किया 1/ए से यहां भी टी को डिवाइड किया है 1 / ए से तो ये हमारी ग गई प्रॉपर्टी ध्यान रखना यहां पर मल्टीप्लिकेशन ए से नहीं 1 / ए से हुआ है तो इसीलिए यहां पर 1 / 1 / ए हो गया और जहां टी है टी को हमने डिवाइड ए से नहीं करेंगे वन अपन ए से करेंगे तो यहां भी 1 / एक्स यहां भी तो ये यहां पर ऊपर चला जाएगा क्लियर है ना और यहां भी ये ऊपर चला जाएगा तो हमारे पास सिंपलीफाई होने के बाद ये ए जाएगा और जो सिंपलीफाई होने के बाद आएगा वही हमारा इस क्वेश्चन का क्या होगा फाइनल आंसर होगा तो एक बार आप इसको आराम से ध्यान से करेंगे तो आपको समझ में ए जाएगा इसमें ध्यान रखना मल्टीप्लिकेशन पी का जो मल्टीप्लिकेशन हो रहा है वो 1 / ए से हो रहा है इस चीज को ध्यान रखना है यहां पर आगे बढ़ते हैं अब यहां पर हमारे पास आता है इन्वर्स लेप्लेस ट्रांसफॉर्म यूजिंग पार्शियल फ्रैक्शन अब हम इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म फाइंड करेंगे पार्सल क्षेत्र का उसे करके यह बहुत इंपॉर्टेंट टॉपिक है है ना यहां से 7 मार्क्स का क्वेश्चन आने के चांसेस रहते हैं मतलब ऐसा नहीं की हमेशा आता है लेकिन यहां से कभी-कभी 7 मार्क्स का क्वेश्चन आता है क्लियर है बढ़ते हैं देखो यहां पर जैसे नाम से पता चल रहा है की इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म यूजिंग पार्शियल फ्रैक्शन देखो पार्शियल फ्रैक्शन को मैं आपको ऑलरेडी बहुत बार बता चुका हूं की पार्शियल फ्रैक्शन का उसे मैथमेटिक्स तू में काफी जगह पर है जैसे पार्सल क्षेत्र का उसे हमने कुछ जगह पर यूनिट वन में भी किया है ना पार्सल क्षेत्र का सबसे ज्यादा उसे यहां पर है यूनिवर्सल डॉ ऑफ लास्ट ट्रांसफॉर्म में पार्सल क्षेत्र का उसे हमने यूनिट नंबर फोर में भी किया हमने यूनिट नंबर फाइव में भी किया तो पार्सल क्षेत्र आपको आना चाहिए एक बार मैं आपको फिर से यहां पर रिवाइज कर देता हूं तो इस टॉपिक में कुछ भी नया नहीं है अगर आपको पार्सल करना आता है प्रॉपर्टी अगर आपको आई है तो इसमें कुछ भी नया नहीं है देखिए यहां पर देखो पहले बात थोड़ा सा पार्सल क्षेत्र के बड़े में एक बार आपको दोबारा बता देता हूं हालांकि सब आपको मालूम है पार्शियल फ्रैक्शन करते समय सबसे इंपॉर्टेंट बात जो आपको याद रखती होती है वो ये जब पार्सल क्षेत्र आप करते हैं तो न्यूमैरेटर में जो पॉलिनोमीयल लिखी है यार डिनॉमिनेटर में जो फंक्शन लिखा है तो याद रखना न्यूमेरेटर में जो फंक्शन लिखा है उसकी डिग्री न्यूमैरेटर वाले फंक्शन की जो डिग्री है वो डिनॉमिनेटर वाले फंक्शन से हमेशा छोटी हनी चाहिए तभी आप पार्शियल फ्रैक्शन कर पाएंगे अगर ऊपर और नीचे की डिग्री बराबर है या ऊपर की डिग्री ज्यादा है दोनों ही कैसे में पहले आपको डिवाइड करना पड़ेगा और डिवाइड करने के बाद आप पार्शियल फ्रैक्शन कर पाएंगे तो ये इंपॉर्टेंट बात है वही यहां पर लिखिए अगर एफ की डिग्री कम है जीपी से अगर इसकी डिग्री कम है इससे तब तो आप पार्सल क्षेत्र कर सकते हैं लेकिन अगर डिग्री एफबी की ज्यादा है या बराबर है जीपी के तो पहले आपको डिवाइड करना पड़ेगा तो ये इंपॉर्टेंट पॉइंट है यहां पर पार्सल क्षेत्र करने के लिए अब पार्सल क्षेत्र के हमारे पास टोटल पांच कैसे बनते हैं और ये पांचो कैसे अगर आपको आते हैं तो फिर पार्सल क्षेत्र में कोई भी क्वेश्चन ए जाए आपको प्रॉब्लम नहीं आएगी देखिए क्या है पहले फॉर्म ऑफ राशनल फंक्शन मैंने यहां पर कहानी पर भी न्यूमैरेटर नहीं लिखा है ठीक है न्यूमैरेटर में ऐसा नहीं की वन होगा सब जगह न्यूमैरेटर में कोई भी फंक्शन हो सकता है बस उसकी डिग्री नीचे वाले फंक्शन की डिग्री से कम हनी चाहिए जैसे देखो यहां पर नीचे डिग्री तीन है पी तीन बार तो इसकी डिग्री थ्री है यहां पर भी डिग्री है यहां पर आप देखोगे यहां पर भी डिग्री थ्री है यहां पर देखो इसकी डिग्री तू है तू है यहां पर डिग्री फोर है और यहां पर भी डिग्री फोर है यानी की इनके ऊपर जो फंक्शन आएगा अगर यहां डिग्री थ्री है तो यहां पर जो फंक्शन होगा या तो वो डिग्री तू का होगा या वन का होगा या जीरो डिग्री का होगा सिमिलरली यहां पर डिग्री कितनी है थ्री तो यहां पर 21 और 0 हो सकता है यहां पर डिग्री कितनी है थ्री तो यहां पर भी 210 डिग्री का हो सकता है यहां पर डिग्री फोर है तो यहां तो या तो 1° का होगा या 2 डिग्री का होगा या 3 डिग्री का होगा क्लियर है तो इस चीज का आप ध्यान रखें चलिए देखो यहां पर डिनॉमिनेटर में तीनों के तीनों लाइनर फैक्टर ए रहा है तो अगर तीनों लाइनर अगर डिनॉमिनेटर में जो फैक्टर आपको दिए गए हैं अगर वो सारे फैक्टर लाइनर है तो पर क्षेत्र करने का तरीका क्या होता है ए अपन पी माइंस वन बी अपन पी माइंस तू सी अपन p1 पी + 4 अगर यहां पर एक फैक्टर और होता तो डी / में लिख देते अगर दो आई फैक्टर होंगे तो केवल इतना आएगा क्लियर है चलिए पहले कैसे दूसरा कैसे क्या कहता है दूसरे कैसे में एक लाइनर फैक्टर है और एक दूसरा भी लाइनर है लेकिन रिपीटिंग फैक्टर है तो देखो अगर ये जो पहले फैक्टर लाइनर है तो ए / पी + 1 जो रिपीटिंग है उसके लिए दो कांस्टेंट आएंगे पहले बी / पी - 2 आएगा फिर सी / पी - 2 का होल स्क्वायर आएगा ये सब आपको पहले से मालूम होगा अब यहां पर देखो एक लाइनर एक क्वांटिटी है तो कैसे करेंगे लाइनर के लिए तो ए आएगा ए / पी - 1 और जो क्वांटिटी है उसके लिए बीपी + सी / p² + 2p + 5 देखो ये सारे वही मेथड है जो आपने क्लास 12th में पढ़े हैं बस क्लास 12th में ये फॉर्मूला आपने पढ़े थे एक्स और ए के फॉर्म में यहां पढ़ रहे हैं पी के फॉर्म में अगर नीचे देखो यहां एक क्वाड्रेटिक है दो रिपीटिंग फैक्टर है तो कोई दिक्कत नहीं है जो रिपीटिंग है उसके लिए दो कांस्टेंट आएंगे ए / पी + 2 + बी / पी + 2 का होल स्क्वायर प्लस बी अपन p² + 3p प्लस वन और अगर डिनॉमिनेटर में दोनों के दोनों फैक्टर क्वाड्रेटिक ए जाए तो इसके लिए देखो एक तो प्रॉपर तरीके से आप कर सकते हैं लेकिन बहुत बड़ा हो जाता है इसके लिए हम शॉर्टकट मेथड उसे करेंगे डायरेक्ट कैसे करना है वो क्वेश्चन में बताऊंगा तो ये टोटल पांच कैसे बनते हैं तो अगर आपको इन पांचो में से कोई भी कैसे दिखाई दे तो वहां पर आप पार्सल क्षेत्र करेंगे पहले और उसके बाद उसका इन्वर्स लाप्लास निकलेंगे तो यहां पर मैं ज्यादा कुछ आपको नहीं बताऊंगा देखो पहले क्वेश्चन ए गया आपको इसका इन्वर्स निकालना है आपको क्वेश्चन को देखते ही पता चल गया ऊपर की डिग्री वन है नीचे की डिग्री तू है ठीक है और यहां पर दो फैक्टर मल्टीप्लाई में ए रहा है दोनों लाइनर है देखो पी भी लाइनर है पी प्लस वन भी लाइनर है तो यहां पर पहले पार्सल करो कैसे देखो इसका पहले पार्सल से कनेक्शन करोगे तो ए / पी पहले फैक्टर ए गया और बी / पी + 1 दूसरा फैक्टर ए गया अब क्या करना है आपको देखो सिंपल है इसमें करना क्या है 2p + 1 = देखो ये पी प्लस वन इसके साथ मल्टीप्लाई हो जाएगा ये पीस के साथ मल्टीप्लाई हो जाएगा कैसे हुआ आप इसका एलसीएम ले लो इधर तो जब आप एलसीएम लोग तो एलसीएम से एलसीएम कट जाता है तो ये इधर मल्टीप्लाई हो जाता है ये इधर मल्टीप्लाई हो जाता अब देखो इसके बाद आपको देखो पार्सल क्षेत्र करना बहुत आसन है बस आपको प्रॉपर स्टेप बाय स्टेप आगे बढ़ाना है तो इसको करने में आपको ज्यादा समय नहीं लगेगा अब करने का तरीका आपको अच्छे से आना चाहिए यहां पर आपको पी की ऐसी वैल्यू पट करनी है की कोई फैक्टर जीरो हो जाए देखो यहां पर अगर आप पी की वैल्यू -1 पट करेंगे ये जीरो हो जाएगा और इसकी वैल्यू ए जाएगी तो एक बार आप पी इक्वल तू माइंस वन पट कर दो एक बार आप पी की वैल्यू जीरो पट कर दो तो जब पी की वैल्यू -1 पट करोगे तो बी की वैल्यू ए जाएगी और पी की को जीरो पट करोगे तो ए की वैल्यू ए जाएगी बहुत सिंपल कैलकुलेशन होती है देखिए पार्शियल फ्रैक्शन करने का शॉर्टकट मेथड भी होता है लेकिन एक्चुअल में शॉर्टकट मेथड में भी इतनी ही कैलकुलेशन करनी पड़ती है जितनी यहां पर इसमें करनी पड़ती है तो शॉर्टकट मेथड में वैसे कोई फायदा नहीं है कैलकुलेशन शॉर्टकट मेथड में भी शॉर्टकट मेथड में भी इतनी ही कैलकुलेशन होती है जितनी इसमें होती है ज्यादा अंतर नहीं आता और शॉर्टकट मेथड केवल वहीं पर अप्लाई हो पता है जहां पर नीचे लाइनर फैक्टर हो अगर क्वांटिटी फैक्टर होंगे तो शॉर्टकट मेथड अप्लाई भी नहीं होता इसलिए मैंने शॉर्टकट मेथड आपको नहीं बताया आप ये प्रॉपर तरीके से करिए यह प्रॉपर मेथड शॉर्टकट मेथड के बराबर ही है आप चाहे तो करके देख लेना ज्यादा अंतर नहीं आता शॉर्टकट मेथड मेरी इसमें अंतर में दोनों एक ही जैसे हैं और ये तरीका हर जगह एप्लीकेबल है शॉर्टकट मेथड सब जगह एप्लीकेशन नहीं है तो इसलिए आप प्रॉपर तरीके से जाएंगे तो आपको फायदा रहेगा तो यहां पर हमने वैल्यू निकाल ले इन वैल्यू को वापस आप यहां पर इक्वेशन वन में देखो आपको क्या करना है ए निकालना भी निकालना यहां पर पट कर देना है तो अब यहां पर जब आप पट करेंगे तो अब आप इस फंक्शन की जगह पर इस फंक्शन को उसे कर सकते हैं तो अगर आप इसका लाप्लास निकालना चाहते हैं तो आप इसका लाप्लास निकालना के लिए इसका मत निकालो इसका निकाल दो तो जितना लफ़्लास इन दोनों को आएगा उतना ही लाप्लास इसका भी होगा तो सीधी सी बात है हमने पार्शियल फ्रैक्शन इसलिए किया की हम इसका लाप्लास कैलकुलेट कर सकें तो अब मुझे अगर इसका लाप्लास चाहिए तो मैं क्या करूंगा इनका दोनों का लाप्लास ले लूंगा और इनका दोनों का तो बहुत आसन है डायरेक्ट फॉर्मूला ग जाएगा तो ये है पार्शियल फ्रैक्शन तो आपको क्या करना सभी क्वेश्चन में पार्सल से कशन करते जाना है देखो यहां पर ए जो इन्वर्स निकालना है तीन लाइनर फैक्टर नीचे दिखाई दे रहा है तो पार्शियल फ्रैक्शन करेंगे एबीसी की वैल्यू निकाल लेंगे तो देखो अगर आपको पार्शियल फ्रैक्शन नहीं आता है तो एक बार पार्सल क्षेत्र को सिख लो बहुत जगह उसे होगा मैथमेटिक्स में और पार्सल क्षेत्र जैसे ही आपको ए जाएगा बहुत आसन हो जाएगा तो देखो इसका पार्सल क्षेत्र करने के बाद ये ए रहा है और इनका तो आप डायरेक्ट फॉर्मूला लगा के आंसर निकाल सकते हैं है ना यहां पर जो सेवन बेसिक फार्मूले हैं वो फार्मूले ग जाएगा डायरेक्ट आंसर ए जाएगा देखो यहां पर डायरेक्ट फॉर्मूला ग जाएगा आंसर ए गया कितना आसन है मतलब केवल पार्शियल फ्रैक्शन आपको आना चाहिए उसके बाद तो डायरेक्ट आंसर आएगा कोई प्रॉब्लम नहीं है देखो इसका इन्वर्स निकालना है यहां पर देखो नीचे दोनों फैक्टर क्वाड्रेटिक दिखाई दे रहे हैं अब यहां पर एक इंपॉर्टेंट बात सुनो अगर कभी भी आपको न्यूमैरेटर में और डिनॉमिनेटर में एक ही जैसे टर्म दिखाई दे देखो सब जगह पीस कर पीस कर p² ए रहा है कहानी भी पी नहीं ए रहा पी की पावर सब जगह से है है तो इस वाले कैसे को देखो एक तरीका तो यह किया दोनों क्वाड्रेटिक फैक्टर बन रहे हैं तो आप क्वाड्रेटिक के तरीके से करो लेकिन वो तरीका डिफिकल्ट होता है आप इसको आसन बना सकते हो कैसे एक कम करो p² की जगह पर कुछ और पट कर दो तो जैसे मैंने यहां पर क्या पट कर दिया एम तो मेरा p² के प्लेस पे जैसी मैंने एम पट कर तो देखो मेरे पास सिंपल इक्वेशन बन गई और ये कैसे इक्वेशन है देखो नीचे लाइनर फैक्टर ए गए तो अब मैं इसका पार्सल क्षेत्र करूंगा ये मिल गया जब आपके पार्शियल फ्रैक्शन हो जाए तो एम की जगह वापस p² पट कर दो पट कर दिया तो आपके पास ये देखिए ये ए गया और इनका डायरेक्ट फॉर्मूला आपको आता है इन्वर्स आप प्लस ले लीजिए आगे बढ़ते हैं यहां पर देखो तो ये जो अभी तीन क्वेश्चन मैंने बताइए तीनों के तीनों क्वेश्चन कैसे बन के थे कौन से कैसे के जहां पर डिनॉमिनेटर में लाइनर फैक्टर होता है यह कैसे वन कहते तीनों क्वेश्चन अब मैं बता रहा हूं कैसे तू का क्वेश्चन जहां एक लाइनर और एक रिपीटिंग है देखो कुछ नहीं करना केवल पार्सल क्षेत्र आना चाहिए बस यहां पर अगर आप देखेंगे यह देखिए यह रिपीटिंग है और ये लाइनर है तो रिपीटिंग के लिए दो कांस्टेंट आते ए अपन देखो पी + 2 को पहले ले लिया ए + ए / पी + 2 बी / पी - 1 और सी / पी - 1 का होल स्क्वायर उसके बाद पार्सल क्षेत्र आपको कैसे करना है ये मैं अगर आपको अभी भी पार्सल क्षेत्र करना नहीं आता तो जो डिटेल वाला लेक्चर है उसको देख लो वहां से समझ में ए जाएगा है ना तो पार्सल क्षेत्र करेंगे यहां पर ए बी सी की वैल्यू निकलेंगे वापस पट कर देंगे तो पार्शियल फ्रैक्शन करने के बाद आपको बहुत ही सिंपल सा एक्सप्रेशन मिलेगा और ये 7 मार्क्स में क्वेश्चन आता है ध्यान रखना इंपॉर्टेंट है यहां पर देखो यहां पर भी क्या है देखो यहां पर आपके पास तीनों के तीनों ये p² और पी - 7 है तो यहां पर आप इसके भी पार्षद फक्शन कर सकते हैं ए / पी बी / p² पी / पी - 1 तो ये देखो रिपीट ठीक है और ये लाइनर है तो से रिपीटिंग वाला फॉर्मूला ग गया तो इसको भी पर से क्षेत्र करेंगे पांच क्षेत्र करने के बाद देखो आपको कितना सिंपल एक्सीलरेशन मिलेगा जब आप साड़ी वालुज को पट कर देंगे ए बी और सब ए चुका है आपके पास है ना ए बी सी सब ए चुका है एबीसी को आने के बाद सीधे आपको आंसर मिल जाएगा आगे बढ़ते हैं यहां पर देखो एक लाइनर फैक्टर है एक क्वांटिटी है क्वाड्रेटिक के लिए दो कांस्टेंट एबीसी की वैल्यू निकाल देंगे जब आप एबीसी की वैल्यू निकाल देंगे देखो एबीसी की वैल्यू निकालना के बाद जब आप यहां पर सब्सीट्यूट करेंगे तो आपके पास ये ए जाए अब इसका तो ठीक है अब यहां पर देखो इसका तो डायरेक्ट फॉर्मूला बन रहा है लेकिन इसका क्या करें तो ऐसे क्वेश्चन तो हम पहले भी कर चुके हैं इसका नीचे पहले परफेक्ट स्क्वायर बना ठीक है ना परफेक्ट स्क्वायर परफेक्ट स्क्वायर बनाने के बाद यहां पर शिफ्टिंग प्रॉपर्टी ग जाएगी ठीक है ना तो यहां पर इसके बाद से इस टाइप के क्वेश्चन हम ऑलरेडी कर चुके हैं इस टाइप के क्वेश्चन ऑलरेडी मैं आपको बता चुका हूं नीचे परफेक्ट स्क्वायर बना तो देखो नीचे पी प्लस वन का होल स्क्वायर प्लस 4 बन गया तो एक कम करना पड़ेगा आपको ऊपर भी पी प्लस वन बनाना पड़ेगा तो ऊपर प्लस वन और माइंस वन कर दो तो पी प्लस वन माइंस थ्री ऊपर हो गया तो यहां से फर्स्ट 15 प्रॉपर्टी आप लगा सकते हैं तो फर्स्ट शिफ्ट इन डी प्रॉपर्टी और जो बचेगा बचेगा क्या यहां पर पी बचेगा और यहां भी पी बचेगा तो पी - 3 और पी स्क्वायर प्लस 2 स्क्वायर यहां पर अब यहां पर देखो फॉर्मूला बन जाएगा इनको अलग-अलग करके यहां भी फॉर्मूला ग जाएगा यहां भी तो खाने का मतलब ये है की इसमें पार्सल क्षेत्र भी ग गया पार्सल क्षेत्र के बाद परफेक्ट स्क्वायर वाला कॉन्सेप्ट भी ए गया उसके बाद यहां पर फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी भी ग गई और उसके बाद यहां पर 7 बेसिक फार्मूले जो बताए थे उनमें से दो फार्मूले भी ग गए यानी की एक ही क्वेश्चन के अंदर बहुत साड़ी चीज आपको अप्लाई करनी पड़ेगी और ये तभी पॉसिबल है जब आपको सब कुछ आता हो इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म केविन बेसिक फार्मूले आते हो तीनों प्रॉपर्टी आई हो तीनों प्रॉपर्टी में फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी सबसे ज्यादा इंपॉर्टेंट है ठीक है ना तभी आप क्वेश्चन कर पाएंगे तो इसीलिए देखिए सब जानते हैं की 7 मार्क्स का क्वेश्चन कहां से आता है ज्यादातर लेकिन अब अगर जैसे बहुत सारे स्टूडेंट पूछते हैं की सर हम केवल एप्लीकेशन समझ में आएगा तो इस तरीके से आप पार्शियल फ्रैक्शन वाले क्वेश्चन कर सकते हैं यहां पर देखो यह क्वालिटी सबसे बड़ा कैसे होता है जहां पर एक क्वाड्रेटिक और एक रिपिटेटिव फैक्टर ए जाए अच्छा एक चीज और ये जो क्वेश्चन है ये क्वेश्चन थ्योरम से भी कर सकते हैं इसके आगे मैं आपको पढ़ाऊंगा कन्वॉल्यूशन थ्योरम और कॉन्बिनेशन थ्योरम का क्वेश्चन मां के चलिए की हमेशा एक्टू से में एग्जाम में आता है तो कन्वॉल्यूशन थ्योरम से जो क्वेश्चन होते हैं वो कुछ नए क्वेश्चन नहीं होंगे जो क्वेश्चन हम यहां पर पार्शियल फ्रैक्शन से कर रहे हैं वैसे ही क्वेश्चन वहां पर भी आएंगे है ना अब देखो यहां पर मैंने पार्सल क्षेत्र के केवल आपको पांच कैसे बताएं इन पांच के अलावा और भी तो कैसे बन सकते हैं तो याद रखना अगर ये पांच कैसे बनते हैं तो आप पार्शियल फ्रैक्शन से करें अगर इनके अलावा कुछ और कैसे बन जाता है तो उसको आप कन्वॉल्यूशन थ्योरम से करेंगे और वैसे भी एग्जाम में मेंशन हो के आता है की फाइंड डी इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म बाइक कन्वॉल्यूशन थ्योरम क्लियर है तो जैसे ये क्वेश्चन है इसको आप कॉन्बिनेशन थ्योरम से भी कर सकते हैं तो आपको पार्सल से करना पड़ेगा कन्वॉल्यूशन से करना है तो कन्वॉल्यूशन से करना पड़ेगा लेकिन अगर मेंशन नहीं है तो आप पार्सल से भी कर सकते हो कन्वॉल्यूशन से भी कर सकते हैं आगे बढ़ते हैं ठीक है तो यहां पर देखो पर क्षेत्र करेंगे पहले आप यहां पर यह फैक्टर रिपीटिंग है तो रिपीटिंग के लिए दो कांस्टेंट ए गए ये क्वांटिटी है इसके लिए दो कांस्टेंट ए गए अब यहां पर कर कांस्टेंट हो गए इन चारों कांस्टेंट की वैल्यू आपको निकालनी पड़ेगी यही यहां पर बड़ा कम है देखो चारों कांस्टेंट की वैल्यू निकालना के लिए मुझे यहां तक आना पड़ा क्लियर है कैसे निकलेगी वैल्यू वो सब मैं आपको बता चुका हूं नहीं अगर चेस आपको कहानी कन्फ्यूजन होता है तो एक बार देखेंगे समझ में ए जाएगा तो इस तरीके से एबीसीडी साड़ी वैल्यू ए गई और ये हमारे पास ए जाएगा इसका आंसर आगे अब यहां पर देखो इसका इन्वर्स लाप्लास निकालना है यहां पर अगर आप ध्यान दें नीचे दो क्वांटिटी फैक्टर है ये हमारा पांचवा कैसे है तो इस कैसे में आपको शॉर्टकट मेथड लगाना होगा है ना इसमें शॉर्टकट मेथड लगाएंगे क्यों लगाएंगे क्योंकि यहां पर शॉर्टकट मेथड बहुत छोटा हो जाता है प्रॉपर मेथड बहुत बड़ा हो जाता है इस पर्टिकुलर कैसे में शॉर्टकट मेथड बहुत ज्यादा छोटा है और पर्टिकुलर मटर जो हमारा पर्टिकुलर मेथड है जो में मेथड है वो बहुत बड़ा है तो चलिए देखिए कैसे लगाना है ये हमारे पास है सबसे पहले क्या करना होता है इसमें देखो नीचे दो क्वाड्रेटिक फैक्टर है तो आप क्या करेंगे इसमें किस तरह से इसमें आगे बढ़ेंगे सुनिए ध्यान से देखो आप क्या करना है सबसे पहले जो हमारे पास यह नीचे दो फैक्टर दिए गए पहले आप इस वाले फैक्टर को ऊपर लिख लो यहां लिख दिया इस बाद वाले फैक्टर को यहां लिख दिया है इसके बीच में प्लस साइन आएगा या माइंस आएगा ये बाद में डिसाइड होगा पहले आप दोनों फैक्टर लिख दीजिए इसको भी लिख दीजिए और इसको भी लिख दीजिए अब जरा ध्यान से सुनिए हमारे पास न्यूमैरेटर में क्या है हमारे पास न्यूमैरेटर में है p² 2p और 3 ये हमारा आना चाहिए ये हमारा आना चाहिए तो क्या करें तो इसका मतलब ये है की हमारे p² के टर्म में आनी चाहिए 2p भी आना चाहिए और थ्री भी आना चाहिए इसका मतलब हमें बीच में ऐसा साइन लगाना पड़ेगा की इनमें से कोई भी टर्म खत्म ना हो तो देखो अगर आप माइंस लगा देंगे टर्म्स खत्म हो शक्ति है है ना है तो हमें क्या करना यहां पर हमारे पास दोनों ऑप्शन है प्लस भी लगा सकते हैं माइंस भी लगा सकते हैं लेकिन अगर मैं यहां पर माइंस लगता हूं तो माइंस लगाने पे ये टर्म खत्म हो जाएंगे चलिए प्लस लगा के देखा तो प्लस लगा के देखा तो यहां पर ये प्लस लगाएंगे तो p² + p² 2p² हो जाएगा ये 4p हो जाएगा इस सेवन हो जाएगा लेकिन हमें तो थ्री लाना है थ्री नहीं ए रहा है तो क्या करें अब इसमें मल्टीप्लाई करके देखो यहां थोड़ा सा सोचना पड़ेगा आपको हिट और ट्रायल है ये फिर आप इसमें क्या करो कुछ मल्टीप्लाई करके देखो जैसे यहां पर तू मल्टीप्लाई कर तो ये 2p² हो गया है पीस कर 3p² ये आपका 4p और 2p6p और ये 4 और 5 9 तो देखो सारे टर्म जो है थ्री की मल्टीप्लाई ए गई अब जब आपने यहां पर तू से मल्टीप्लाई कर दिया तो अब आप क्या करेंगे अब जरा ध्यान से सुनिए तो यहां पर जब आप इसको एड करेंगे तो ये थ्री का थ्री स्क्वायर 6p और नाइन ए जाएगा उसमें से आप थ्री को आम ले लेने तो यही बचेगा क्या बचेगा यही बचेगा तो अब जरा ध्यान से सोचिए की यहां पर इनको एड करके इनको एड करके इसका तीन गुना ए रहा है थ्री टाइम्स ए रहा है तो एक कम करो इसको पहले थ्री से डिवाइड कर दो अब ये एक्सप्रेशन बिल्कुल करेक्ट हो गया अगर आप इसको सिंपलीफाई करते हैं तो वापस यही ए जाएगा तो देखो शॉर्टकट मेथड है लेकिन थोड़ा सा दिमाग लगाना पड़ेगा थोड़ा सा सोचना पड़ेगा मैंने आपको थोड़ा सा करना पड़ेगा क्योंकि यहां पर ऊपर भी एक्सप्रेशन लिखा अगर ये ऊपर वन लिखा होता या कोई कांस्टेंट नंबर लिखा होता तो आसन हो जाता है शॉर्टकट मेथड ठीक अब इसके बाद देखो यह प्लस में ए गया अब क्या करना इनको अलग-अलग कर दो इसको अलग कर इसको अलग जैसे आप अलग-अलग करेंगे तो आपके लिए एक फैक्टर कैंसिल हो जाएगा यहां से भी और यहां से भी देखो ये ए जाएगा और अब इसका यूनिवर्स लेना है तो इसका इन्वर्स तो बहुत आसन है क्या करेंगे यहां पर इसमें परफेक्ट स्क्वायर बनाएंगे फिर शिफ्टिंग प्रॉपर्टी लगाएंगे यहां पर भी परफेक्ट स्क्वायर बनाएंगे फर्स्ट 15 प्रॉपर्टी लगाएंगे उसके बाद सेवन बेसिक फार्मूले में से कोई ना कोई फॉर्मूला ग जाएगा और आपके पास ये आंसर ए जाएगा ठीक है चलिए आगे बढ़ते हैं तो ये तो हमारा पार्षद फक्शन मतलब इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म बाय पार्शियल फ्रैक्शन अब यहां पर देखिए तीन छोटे-छोटे टॉपिक है क्या क्या है इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ डेरिवेटिव ये हम पहले भी पढ़ चुके हैं लाप्लास ट्रांसफॉर्म में भी हमने पढ़ा था की लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ डेरिवेटिव लाप्लास ट्रांसफार्मर में मल्टीप्लिकेशन बाय टी की पावर एन और लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ डिवीजन बाय पी यहां पर बस इंटीग्रल वाला नहीं है बाकी सब तीनों है वहां पर कर पड़े तो यहां पर तीन है क्लियर है तो पहले हम पढ़ेंगे फिर हम पढ़ेंगे अगर कोई फंक्शन पी से मल्टीप्लाई हो जाए तो उसका इन्वर्स कैसे लिखना है और उसके बाद हम पढ़ेंगे अगर कोई फंक्शन पी से डिवाइड हो जाए तो उसका इन्वर्स लाप्लास कैसे कैलकुलेट करना है ये तीन छोटे-छोटे टॉपिक है जिनको अभी हम कर करेंगे देखो जरा सबसे पहले इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ डेरिवेटिव फॉर्मूला देखिए देखो एस पी का इन्वर्स होता है फटी फटी का इन्वर्स होता है फटी तो यहां पर जरा ध्यान दीजिए अगर ये एफबी डेरिवेटिव की बात करें तो अगर इस एफ को हम डिफरेंशिएट कर दें इस एफ को हम क्या कर दें डिफरेंशिएट कर दे तो फॉर्मूला क्या बनेगा तो देखिए इसको अगर आप डिफरेंशिएट करेंगे कितनी बार डिफरेंस ये किया एन टाइम तो फॉर्मूला बनेगा माइंस वन की पावर एन टी की पावर एनएफटी लेकिन अब प्रॉब्लम यहां पर तो डर एन टाइम्स हो रहा है क्यों कितने टाइम्स हो रहा है एन टाइम्स ध्यान रखना यहां पर डर कितने टाइम हो रहा है एन टाइप लेकिन हमारे पास जो क्वेश्चन आएगा वहां पर डर ज्यादा से ज्यादा दो बार होगा तो अगर एक बार डर हो रहा है तो देखो फॉर्मूला क्या बनेगा जल्दी आंसर समझिए अगर एक बार डर करना है अगर आपको एफ के डेरिवेटिव का इन्वर्स लाप्लास निकालना है तो फॉर्मूला क्या आएगा माइंस टी इन फटी आप इसको याद करिए ज्यादा आसन है अगर एचपी का डेरिवेटिव दो बार हो रहा है तो यहां पर ए जाएगा तो अगर एक बार डेरिवेटिव होगा तो माइंस आएगा दो बार डेरिवेटिव होगा तो प्लस आएगा तो आप सीधे सीधे ये फार्मूले याद रखिए की अगर एक बार डेरिवेटिव हो रहा है आपका एफ का तो फॉर्मूला आएगा - टीएफटी और अगर दो बार हो रहा है तो फॉर्मूला आएगा t² फटी अब ये फटी कहां से मिलेगा फटी तो आप जानते हैं एफ जो एफबी आपको दिया होगा पहले उसका इन्वर्स निकाल लो वो फटी होगा और उसके बाद यहां फार्मूले में पट कर दो आंसर ए जाएगा बहुत सिंपल है देखो क्वेश्चन देखो इसका इसमें तीन टाइप के क्वेश्चन आएंगे एक्चुअल में ध्यान से दीजिए कौन-कौन से तीन टाइप होंगे देखो ये 2020 में ही क्वेश्चन आया था हमें इसका इन्वर्स निकालना है इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ दिस इसका इन्वर्स लाप्लास निकालना लॉक के फॉर्म में दिया तो जब भी क्वेश्चन लॉक के फॉर्म में दिया और उसका इन्वर्स लाप्लास निकालना हो तो आप देखते ही समझ जाना की आपको डेरिवेटिव वाला फॉर्मूला लगाना पड़ेगा देखिए कैसे ये हमें एफबी दिया है तो अगर मैं एफबी का इन्वर्स निकालूं तो फटी आएगा क्या आएगा फटी आएगा अब जरा ध्यान से समझिए है तो एफबी की वैल्यू यहां पर लोग वनप्लस वन जो की फटी के बराबर आएगा देखो प्रोसीजर समझिए ध्यान से यह एफबी है जो आपको दे रखा है इसका इन्वर्स निकालना है आपको तो एफ का इन्वर्स होता है फटी अब यहां पर देखो यहां पर मैंने एसपी की वैल्यू पट कर दी ये ए गई अब प्रॉब्लम क्या है प्रॉब्लम ये है की इसका मुझे इन्वर्स फटी दे रखा है लेकिन मैं एक कम करता हूं पहले तो यहां पर देखो प्रॉपर्टी लगा दिए क्या प्रॉपर्टी यहां पर एलसीएम ले लिया तो लोग p² + 1 / p² है तो ये लोग एम/एन का फॉर्मूला ग जाएगा यहां पर तो लोग एम - लोग एन ए जाएगा तो यहां तक तो हम यहां पर ए गए यहां तक ए गए अब जरा ध्यान दीजिए ये मेरा एफबी है मैं क्या करता हूं इसका डर कर देता हूं तो एक बात बताओ अगर एफ का इन्वर्स फटी है तो अगर हम इसका डर का इन्वर्स निकले तो यहां पर क्या ए जाएगा -डीएफ टी ए जाएगा है तो हमें करना क्या है हमें इसका डेरिवेटिव करना है तो देखो इसका मैंने कर दिया लेफ्ट में डेरिवेटिव तो राइट में क्या हो जाएगा राइट में माइंस टीएफटी ए जाएगा क्यों क्योंकि जब एसपी का इन्वर्स फटी है तो एफबी के डेरिवेटिव का इन्वर्स - टीएफटी हो जाएगा अकॉर्डिंग तू डी फॉर्मूला क्लियर है तो यहां पर हमने किया है एक बार डेरिवेटिव क्यों करना पद रहा है यहां पर क्योंकि लोग का आप इन्वर्स निकाल नहीं सकते बिना डेरिवेटिव के अगर आप इसका डेरिवेटिव कर देंगे लॉक खत्म हो जाएगा क्लियर है अब यहां पर देखो इसका डेरिवेटिव किया तो ये ए गया 1 / p² + 1 और p² का 2p ये हो गया इसका डर और माइंस टीएफटी इसको थोड़ा सिंपलीफाई कर लेंगे ये ए जाएगा इसका भी इन्वर्स ले लो देखो इसका इन्वर्स तो आप ले सकते हैं इसका फॉर्मूला आपको मालूम है तू बाहर ए जाएगा और ये कस का फॉर्मूला बन जाएगा और ये फॉर्मूला तो सिंपल है वन का फॉर्मूला बन जाएगा तो यहां पर लेफ्ट साइड में हमने इन्वर्स ले लिया तो ये हमारा इन्वर्स आया है तू कस टी - 2 - 3 फटी और हमें निकालना क्या था हमें निकालना था फटी हमें तो देखो एस पी का प्लस कितना होता है फटी तो एक्चुअल में हमें फटी निकालना है क्या निकालना है फटी तो यहां से एक कम करो फटी निकाल देंगे यहां से इसको नीचे ले जो मल्टीप्लाई कर दो और यहां से फटी ए गया ये तो इस तरह से आपको भरना है तो जब भी डेरिवेटिव का कोई लाभ इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ डेरिवेटिव आपको निकालना है तो पहले टाइप उसमें होता है डॉ और अगर लॉक की फॉर्म में क्वेश्चन आएगा तो आपको ऐसे ही आगे प्रोसीड करना पड़ेगा सेकंड टाइप देखो अब यहां पर कोट इन्वर्स कोई भी इन्वर्स ट्रिगोनोमेट्री फंक्शन आपके पास ए सकता है क्लियर है अब इन्वर्स ट्रिगोनोमेट्री फंक्शन का बटेगा जब उसका डेरिवेटिव करेंगे तो अगर इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म निकालना है और फंक्शन इन्वर्स ट्रिगोनोमेट्री में दे रखा है तो क्या करेंगे जिवन फंक्शन को एफबी मां लो एसपी का इन्वर्स होता है फटी तो यहां पर एसपी की वैल्यू रख दो तो जब आप एफ की वैल्यू रखेंगे कोट इन्वर्स पी + 3 / 2 और इसका क्या करेंगे इन्वर्स निकालना है तो अब एक कम करो इसका डेरिवेटिव करो तो जब इसका डेरिवेटिव करोगे तो फार्मूले के अकॉर्डिंग यहां पर -3 फटी हो जाएगा हमने यहां पर - 3ft कर दिया इसका डेरिवेटिव अब इसका डर आपको आता है कोट इन्वर्स का डर क्या होता है -1 अप देखिए कोट इन्वर्स एक्स का होता है - 1 / 1 + एक्स स्क्वायर तो यहां पर एक्स का कम कौन कर रहा है पी + 3 / 2 तो ये फॉर्मूला यहां पर लगा देंगे फॉर्मूला लगाने के बाद इसको सिंपलीफाई करेंगे तो सिंपलीफाई करने के बाद ये हमारे पास ए रहा है ये अब इसमें ये पी + 3 है तो पहले तो फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी लगेगी ए की पावर माइंस थ्री दी बाहर ए जाएगा जो बचेगा उसका इन्वर्स ले लेंगे यहां पर सन 2t का फॉर्मूला बन गया और यहां से फटी निकाल देंगे तो ये आंसर ए जाएगा तो याद रखना कोट इन्वर्स में फंक्शन दे रखा है और आपको इन्वर्स निकालना है या लॉक में फंक्शन दे रखा है आपको इन्वर्स निकालना है तो डेरिवेटिव वाला फॉर्मूला लगाना पड़ेगा और इसका तीसरा टाइप तीसरा टाइप देखो देखते ही समझ में आएगा डिनॉमिनेटर में p² + a² का होल स्क्वायर दे रखा है तो ये तो तब आता है ना जब डर रूल लगता है अब ये थोड़ा सा यहां पर दिमाग लगाना पड़ेगा डर में जब क्वेश्चन रूल लगता है तब ये आता है तो हमें पहले ये सोचना पड़ेगा की ये किस फंक्शन का डर है इतना तो कंफर्म है की जी फंक्शन का भी है उसके डिनॉमिनेटर में पीस कर प्लस a² ए जाएगा तो आप अगर थोड़ा सा सोचेंगे तो आपको पता चल जाएगा की ये डर पी / p² + a² का है तो आपको क्या करना होगा ये सोचना पड़ेगा की ये किसका डर है और जिसका ये डर है उसको आप एफबी मां लो क्या मां लो एफबी और अब यहां पर एसपी की जगह इसकी वैल्यू पट कर दो और इसका कर दो डर तो जब आप इसका डर करेंगे तो लेफ्ट साइड में वही ए जाएगा जिसका आपको कैलकुलेट करना था इन्वर्स और राइट साइड में आपका टी कस टी और यही आपका आंसर क्लियर है तो यहां पर डेरिवेटिव तो हमारा हो गया अब दूसरा इसमें आता है मल्टीप्लिकेशन बाय पी अगर किसी फंक्शन को पी से क्या कर दें मल्टीप्लाई कर दें तब क्या करेंगे तो देखो अप का इन्वर्स होता है फटी इन्वर्स लेप्लेस ट्रांसफॉर्म ऑफ एसपी कितना होगा फटी होगा पी मल्टीप्लाई ऐसे ही आगे बढ़ता जाएगा लेकिन जनरली ये पहले दो से ही हमारा कम चल जाता है तो चलिए इनके ऊपर बेस क्वेश्चन सॉल्व करते हैं देखो ध्यान से समझना यहां पर क्या है अगर आपके एसपी के साथ पी मल्टीप्लाई हो जाए क्या हो जाए पी मल्टीप्लाई हो जाए या p² मल्टीप्लाई हो जाए या पी के मल्टीप्लाई हो जाए तब आप ये फॉर्मूला लगाएंगे और बहुत सिंपल है फ-म डबल डी एचडी आगे चलते हैं देखो यह क्वेश्चन है इसको अगर आप देखें तो करने के लिए करने की अगर सोचेंगे तो बहुत बड़ा हो जाएगा क्यों क्योंकि यहां पर रिपीटिंग फैक्टर हो कर बार रिपीट हो रहा है कर कांस्टेंट आएंगे तो बहुत समय लगेगा तो क्या करें एक कम कर सकते हैं की यह पी है और यह पी - 5 की पावर 4 है इनको अलग-अलग कर लो जैसे मैंने यहां पर किया पिंटू वन अपन पी माइंस फाइव का होल स्क्वायर मां लो तो यहां पर देखो अगर इसको आप एफबी मां लेते हो तो एफ पी के साथ पी मल्टीपल हो रहा है तो अब आप ये फॉर्मूला लगा सकते हो अगर एसपी के साथ पी मल्टीप्लाई हो रहा है तो इसका इन्वर्स एफ-टी हो जाएगा क्या हो जाएगा एफ-टी चलते हैं आगे तो यहां पर यह एसपी हो गया तो इसका जो इन्वर्स होगा एफ का वो हम निकाल लेते हैं एसपी का इन्वर्स यहां से निकलेंगे तो शिफ्टिंग प्रॉपर्टी का उसे करेंगे तो ए की पावर 51 / पी की पावर फोर ए जाएगा और यहां पर इसका जो इन्वर्स हमारे पास ए चुका है वो ये रहा क्लियर है ये क्या ए गया इन्वर्स लेकिन जो इन्वर्स होता है पीएफपी का ये तो एफ का इन्वर्स आया लेकिन पीएफपी का जो इन्वर्स होगा वो एफ-सी होगा इसका मतलब अगर मैं इस फटी का एक बार डर कर दो तो मुझे पीएफपी का इन्वर्स मिल जाएगा तो देखो कितना आसन है सबसे पहले इसमें से एफबी अलग कर लो एसपी का इन्वर्स निकालो फटी होगा फटी का डर कर दो तो इस पूरे का इन्वर्स ए जाएगा तो ये तो बहुत आसन है अब बात करते हैं तब क्या करेंगे अब यहां पीछे डिवाइड हो रहा है तो जब पी से डिवाइड होगा तो आपको इंटीग्रेशन करना पड़ेगा जीरो से टीएफटी डीटी तो याद रखना जब पी से डिवाइड होगा तो इंटीग्रेशन करना पड़ेगा मल्टीप्लाई होगा तो डर करना पड़ेगा और यही हम लाप्लास में भी करते थे अगर देखो यहां पी से डिवाइड हो रहा है तो एक बार इंटीग्रेशन p² से डिवाइड होगा दो बार इंटीग्रेशन पीके से डिवाइड हो रहा है तीन बार इंटीग्रेशन पर लिमिट होगी 0 से 20 से 30 तो देखो इसका क्वेश्चन बहुत सिंपल होते हैं अब यहां पर ये देखिए इस क्वेश्चन को अगर आप ध्यान से देखें तो इस क्वेश्चन को देखते हैं आपके दिमाग में आएगा की यहां पर मैं पार्सल क्षेत्र लगा देता हूं बिल्कुल पार्षद फक्शन से कर सकते हैं पार्शियल फ्रैक्शन से भी ये आसन है लेकिन हम यहां पर फ्रैक्शन से नहीं करेंगे इसको है ना देखो इसमें से इतने पार्ट को एफबी मां लो तो अगर आप इतने पार्ट को एफबी मां लेते हैं तो आपका एफ जो है वो पी से डिवाइड हो रहा है पी से क्या हो रहा है डिवाइड तो यहां पर आप डिवाइड वाला मेथड भी लगा सकते हैं देखो पार्शियल फ्रैक्शन से करना चाहे कर सकते हैं पार्सल क्षेत्र से भी बहुत आसन है लेकिन आप इसको डिवाइड वाले मेथड से भी कर सकते हैं तो पहले क्या करोगे इस एचपी का इन्वर्स निकाल लो तो ये ए गया आपके पास फटी अब जब आपके पास एचडी ए जाएगा तो अब आपको क्या करना है इस फटी का इंटीग्रेशन कर देना है देखो एक ही बार एक ही बार तो डिवाइड हो रहा है तो एक बार इंटीग्रेशन कर देंगे जीरो से डीएफ की डीटी तो यहां पर फटी की वैल्यू ए की पावर 2t ए गई 0 से टी करके इसका इंटीग्रेशन कर दीजिए और लिमिट आपके पास जीरो रहती है इंटीग्रेशन के बाद लिमिट लगा दीजिए आपका आंसर ए जाएगा अगर आप इसको पार्शियल फ्रैक्शन से करते हैं तब भी आंसर यही आएगा अब देखो इसका मतलब ये नहीं की पार्सल का सारे क्वेश्चन इस मेथड से हो जाएंगे ऐसा बिल्कुल नहीं है अगला क्वेश्चन देखो ये इस क्वेश्चन को देखो जरा ध्यान से इसको भी आप पार्सल पार्सल कर सकते हैं तो तीन कांस्टेंट तो पी के लिए ए जाएंगे और दो कांस्टेंट ये क्वांटिटी है इसलिए ए जाएंगे पांच कांस्टेंट आएंगे अब अगर आप इस क्वेश्चन को अगर आप इस क्वेश्चन को करने जाएंगे तो 5% निकालना पढ़ेंगे बहुत लंगडी ये क्वेश्चन हो जाएगा लेकिन अगर आप इसमें डिवाइड वाला मेथड लगाते हैं तो ये क्वेश्चन बहुत छोटा हो जाएगा और इस क्वेश्चन मतलब इस क्वेश्चन को तीन तरीके से कर सकते हैं डिवाइड बाय पी से कर सकते हैं और कन्वॉल्यूशन थ्योरम से कर सकते हैं लेकिन सबसे आसन होगा ये डिवाइड बाय पी वाले मेथड से है तो यहां पर इसका क्या निकाल दो इन्वर्स निकाल दो और उठा के सन टी को तीन बार इंटीग्रेटेड करना है विद रिस्पेक्ट तू टी तो जीरो से 30 डीटी तीन बार आएगा तो सन टी का तीन बार डर करेंगे तो तीन बार हम कोई दिक्कत नहीं है सन तीता डर बहुत आसानी से कर सकते हैं और जब डर करने के बाद लिमिट लगा देंगे तो आपके पास ये आंसर ए जाएगा ठीक है ना तो कितना आसन हो गया ये डिवाइड बाय इसलिए सारे मेथड आपको सीखने हैं ठीक है अगर ये क्वेश्चन एग्जाम में आता है तो इसको करने के बाद तीन मेथड है कन्वॉल्यूशन थ्योरम पार्शियल फ्रैक्शन और डिवाइड बाय पी लेकिन आसन किस है डिवाइड बाय पी से चलिए तो यहां पर हमारी ये तीनों टॉपिक भी हो गया अगर डिवाइड बाय पी हो रहा है तो क्या करेंगे मल्टीप्लिकेशन बाय पी हो रहा है तब क्या करेंगे है ना तो साड़ी चीज मैंने आपको यहां पर ये बता दिए देखो तो डेरिवेटिव का लाभ प्लस इन्वर्स कैसे लेना इन्वर्स लाप्लास कैसे लेना मल्टीप्लिकेशन बाय पी हो रहा है तब कैसे इन्वर्स लेना है और डिवीजन बाय पी हो रहा है तब कैसी लेना तीनों छोटे-छोटे टॉपिक है लेकिन तीनों को सीखना चाहिए आपको अब हम आगे बढ़ते हैं तो यहां पर जो था है वह कंप्लीट हो गया इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म का जो बेसिक पार्ट ऑफ कंप्लीट हो गया कन्वॉल्यूशन थ्योरम को देखते हेना कन्वॉल्यूशन थ्योरम इस अलसो ए पार्ट ऑफ इन्वर्स लाप्लास्ट ट्रांसफार्मर चलो तो यहां पर कन्वॉल्यूशन थ्योरम यह इंपॉर्टेंट टॉपिक है देखिए कन्वॉल्यूशन थ्योरम और इसके बाद हम पढ़ेंगे एप्लीकेशन ऑफ लाप्लास ट्रांसफॉर्म तो सेवन मार्च का क्वेश्चन कन्वॉल्यूशन थ्योरम से बहुत बार एक्टू में आता है और एप्लीकेशन और लाप्लास ट्रांसफॉर्म से भी लगभग हर बार एक क्वेश्चन सेवन मार्क्स में आता है यानी की हमारे पास दो टॉपिक बच्चे हैं अभी इसमें लास्ट में और दोनों के दोनों टॉपिक बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट है क्लियर है और दोनों टॉपिक आपको अगर लेप्लेस ट्रांसफॉर्म का बेसिक अगर आपको आता है तो इन दोनों टॉपिक को आप बहुत आसानी से कर सकते हैं कन्वॉल्यूशन में वही सब क्वेश्चन यहां पर भी होंगे थोड़े से ऐसे क्वेश्चन में यहां पर आएंगे जिनको पार्सल नहीं कर सकते लेकिन कन्वॉल्यूशन से वो क्वेश्चन आसन हो जाते हैं देखो कैसे तो सबसे पहले देखते हैं कन्वॉल्यूशन थ्योरम कब हमारी लगती है तो उसको जरा ध्यान दीजिए अगर एक्ट जीटी फटी और जीटी कोई भी दो फंक्शन हमें दे रखें हैं मां लो एक फंक्शन फटी है एक जीटी है और हमें क्या करना है इन दोनों का इन्वर्स निकालना है फटी का भी और जीटी का भी तो यहां पर अगर सॉरी हमारे पास फटी और जीटी दो फंक्शन हैं और ये जो दोनों फंक्शन है ये कब आते हैं अगर मैं एफ का इन्वर्स लेट हूं तो मुझे फटी मिलता है और अगर मैं जीपी का इन्वर्स लेट हूं तो मुझे जीटी मिलता है यानी की फटी जो है वो एसपी का इन्वर्स है और जो जीटी है वो जीटी का इन्वर्स है और यहां पर एपी और जीपी मुझे क्वेश्चंस के अंदर जिवन होंगे याद रखना एफबी और जीपी क्वेश्चन के अंदर जिवन होंगे एफबी का इन्वर्स होगा फटी और जीपी का इन्वर्स होगा जीटी अब यहां पर जरा ध्यान से समझिए अब ये एफपी और जीपी मुझे क्वेश्चन में जिवन होंगे अगर मैं एफबी और जीपी को मल्टीप्लाई कर डन और मल्टीप्लाई करने के बाद इनका इन्वर्स निकालो तो अकॉर्डिंग तू कन्वॉल्यूशन थ्योरम जो फॉर्मूला हमारा बनेगा जो फॉर्मूला यहां से हमारा बनेगा वो फॉर्मूला है एफसी जीटी - एक्स डीएस और इन दोनों का इंटीग्रेशन 0 से टी करना है अब यहां पर क्वेश्चन ये आता है की ये एफसी कहां से ए गया और जीटी - एक्स कहां से ए गया तो सुनो ध्यान से देखो जब आप एसपी का इन्वर्स निकलोगे तो आपको फटी मिलेगा तो इसमें क्या करना है आपको आपको सिर्फ इतना करना है की फटी में टी की जगह एक्स रख देना है तो वो एफसी हो जाएगा एक्चुअल में जो एफसी है ये फटी है बस आप टी की जगह क्या कर देंगे एक्सपोर्ट कर देंगे उसके बाद अब यह जीटी - एक्स कहां से मिलेगा तो देखो आपको अब ध्यान दो आप जब जीपी का इन्वर्स निकलोगे तो आपको जीटी मिलेगा पर इस गड़ में टी के प्लेस पर टी - एक्स रख देना टी के प्लेस पर अगर आप टी - एक्स रख देंगे तो यहां से आपको जीटी - एक्स मिल जाएगा तो इसका मतलब देखो करने का प्रोसीजर क्या होगा वो मैं आपको बताता हूं आपको क्वेश्चन के अंदर एफ जिवन होगा उसका पहले इन्वर्स निकाल लेना और उसको नाम दे देना फटी फिर टी की जगह एक्स रख देना तो आपको एफसी मिल जाएगा मिल गया एफसी फिर उसके बाद दूसरा फंक्शन आपको जीपी दे रखा होगा इसका इन्वर्स निकाल लेना इसका इन्वर्स होगा जीटी अब इस गड़ में टी की जगह टी - एक्स रख देना तो आपको जीटी - एक्स मिल जाएगा और उठा के दोनों के दोनों फंक्शन को यहां रख देना तो आपको इन दोनों के प्रोडक्ट का इन्वर्स मिल जाएगा जो आपको क्वेश्चन में पूछा गया होगा ये सिंपल सा प्रोसीजर है कन्वॉल्यूशन थ्योरम का क्लियर है चलिए अब इसको आपको मैं एकदम डायरेक्ट क्वेश्चन से समझता हूं क्वेश्चन बहुत सिंपल है बस थोड़ा सा ध्यान देंगे तो यहां से आपको बहुत आसानी से सेवन मार्क्स आपको मिल जाएंगे अगर यहां किसी क्वेश्चन आता है बस आपको इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म के बेसिक फार्मूले आने चाहिए इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म के बेसिक प्रॉपर्टी आपको आनी चाहिए जो मैंने पटाया वो आपको नॉलेज हनी चाहिए आसानी से क्वेश्चन हो जाएगा देखो उसे कन्वॉल्यूशन थ्योरम आपको इसका इन्वर्स निकालना है अब देखो इसका इन्वर्स निकालना के लिए तो आप पार्शियल फ्रैक्शन से भी निकाल सकते हैं है ना पार्शियल फ्रैक्शन से लेकिन पार्सल क्षेत्र से जब आपका इन्वर्स निकलेंगे ना तो काफी बड़ा हो जाएगा देखो क्यों यहां पर पी भी रिपीटिंग फैक्टर है और ये भी रिपीटिंग फैक्टर है तो दो कांस्टेंट इसके लिए आएंगे दो इसके लिए आएंगे कर कांस्टेंट हो जाएंगे चारों कांस्टेंट की वैल्यू को निकालना में आपको समय काफी लगेगा क्लियर है लेकिन कन्वॉल्यूशन थ्योरम के हेल्प से ये क्वेश्चन आसन हो जाएगा और वैसे भी इस क्वेश्चन में जब लिख दिया की कन्वॉल्यूशन थ्योरम उसे करनी है तो अब आप लाप्लास इसमें पार्सल क्षेत्र का उसे नहीं कर सकते दूसरी बात मैंने आपको पार्सल के पांच कैसे बताएं पांच में से मैंने ये कैसे नहीं बताया आपको यहां पर दोनों फैक्टर रिपीटिंग है मैंने दोनों फैक्टर रिप्रेजेंट वाला एक भी कैसे आपको नहीं बताया है ना बन सकता है वहां पर ये कैसे लेकिन वहां पर हम इसलिए नहीं बनाते क्योंकि अगर हम इसको करेंगे ज्यादा हो जाएगा क्या करना है इसमें से देखो अब इसको जरा ध्यान से समझिए इसमें से हमें एसपी को अलग करना और जीपी को अलग करना है कैसे अलग करेंगे तो दो फंक्शन का मल्टीप्लिकेशन है कैसे 1 / पी स्क्वायर इन तू वन अपन पी प्लस तू का होल स्क्वायर अगर आप इन दोनों का मल्टीप्लाई कर दें तो यही तो आएगा 1 * 1 तो 1 ही होता है इसका मतलब ये जो लिखा गया है ये दो दो फंक्शन का मल्टीप्लिकेशन है 2 का मल्टीप्लिकेशन है तो सबसे पहले क्या करो इन दोनों को अलग-अलग कर दो एक को एफबी मां लो और एक को जीपी मां लो क्यों मैंने आपसे क्या कहा की आपको एफ क्वेश्चन में दिया होगा जीपी आपको क्वेश्चन में दिया होगा लेकिन ये एफपी आपको डायरेक्ट अलग-अलग नहीं दिए होंगे आपको क्वेश्चन को देखकर उसमें से एफबी को अलग करना है जीपी को अलग करना है अब किसको एफबी मानेंगे किसको जीपी मानेंगे इसके लिए भी मैं आपको बता देता हूं देखिए जिसका इन्वर्स आसन है उसको जीपी मानेंगे और जिसका इन्वर्स थोड़ा सा डिफिकल्ट है कंपेरटिवली उसको एफबी मानेंगे यानी की जो आसन फंक्शन है उसको जीपी मानेंगे और जो थोड़ा सा डिफिकल्ट फंक्शन है उसको हम एफबी मानेंगे अब यहां पर ए जो यहां पर एक फंक्शन है 1 / p² और एक है 1 / पी + 2 का होल स्क्वायर तो देखो इसका इन्वर्स ज्यादा आसन है इसका इन्वर्स निकालना थोड़ा कॉम्प्लिकेटेड है तो इसको एफबी मां लो इसको जीपी मां लो तो यहां पर एफबी हो गया 1 / पी + 1 का होल स्क्वायर तू नहीं है यहां वन है वन है तो एफबी हो गया 1 / पी + 1 का होल स्क्वायर और उसके बाद क्या करना है जब आपको एफबी मिल गया तो इसका इन्वर्स निकालो और इसका जो इन्वर्स आएगा उसको फटी मां लेंगे तो एफ का इन्वर्स निकलेंगे तो यहां पर क्या किया मैंने इन्वर्स ले लेट हूं दोनों तरफ तो इन्वर्स जब आप एफबी का निकलेंगे तो एफ के इन इसको रिप्रेजेंट करेंगे हम फटी से और इधर आप देखो इसका इन्वर्स पहले इसमें शिफ्टिंग प्रॉपर्टी लगेगी तो शिफ्टिंग प्रॉपर्टी स्क्वायर फिर इसमें बेसिक फॉर्मूला ग जाएगा 1 / पी की पावर एन का तो वहां से टी ए गया तो मेरे पास ये फटी ए गया क्या फटी लेकिन मुझे चाहिए एफसी तो एक कम करो इसमें टी की जगह एक्स रख दो तो ये हो जाएगा एफसी = ए की पावर माइंस एक्स इन एक्स ये ए गया तो एफसी मिल गया चलिए अब चलते हैं हम किस पे जीपी पे तो देखो आपने 1 / 1 + p1 पी + 1 के होल स्क्वायर होता है एफबी मां लिया था तो बच्चा हुआ पार्ट क्या हो गया जीपी हो गया अब इसका भी इन्वर्स निकालो इसके इन्वर्स को हम जीटी कहेंगे इसका इन्वर्स ए गया टी लेकिन हमें क्या चाहिए हमें चाहिए टी - एक्स तो एक कम करो टी की जगह टी - एक्स रख दो तो जब आप टी की जगह टी - एक्स रखोगे तो इधर भी तो टी - एक्स रखना पड़ेगा तो ये जीटी - एक्स की वैल्यू ए गई अब क्या करेंगे बाय कन्वॉल्यूशन थ्योरम कन्वॉल्यूशन थ्योरम लगाते हैं कन्वॉल्यूशन थ्योरम के अकॉर्डिंग क्या होता है उसका फॉर्मूला लिख दिया हमने एफ * जीपी 030 एफसी जीटी - एक्स तो यहां पर एफसी की वैल्यू पट कर दो और जीटी - एक्स की वैल्यू भी पट कर दीजिए लेफ्ट में एफ पी और जीपी पट करेंगे तो वापस वही चीज ए जाएगी जो आपका क्वेश्चन था देखो जब आप एसपी और जीपी को मल्टीप्लाई करेंगे तो वापस क्वेश्चन ए जाएगा जिसका आपको इन्वर्स निकालना था तो इसके इन्वर्स का ये फॉर्मूला ए गया ठीक है अब यहां पर जरा ध्यान से देखो इसको एक्स को अंदर मल्टीप्लाई कर दो अब यहां पर फिर से आपको इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स लगाना है और इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स लगाने के लिए मैंने आपको शॉर्टकट मेथड बता रखा है बस आप इंटीग्रेशन लगाएंगे ये फर्स्ट फंक्शन और ये सेकंड फंक्शन और यहां पर आपको इंटीग्रेशन में पार्ट्स लगा देना है देखिए मैंने यहां पर लगा रखा है देखो फर्स्ट फंक्शन एक आईटी इस दूसरे का इंटीग्रेशन - अब फर्स्ट का डर देखो इसका डर करेंगे तो इसका टी आएगा इसका -2x आएगा ये ए गया और दूसरे वाले का इंटीग्रेशन ये ए गया फिर इसका डर तो इसका डर -2 आएगा और इसका इंटीग्रेशन ही आएगा इसके आगे बढ़ेगा नहीं है क्योंकि तू का हो जाएगा जीरो बस यहां पर अपर लिमिट माइंस लोअर लिमिट और सिंपलीफाई करके आपका आंसर ए गया तो देखिए कन्वॉल्यूशन थ्योरम से ये क्वेश्चन आसन हो गया अगर आप इसको फ्रैक्शन से करते हैं तो ये क्वेश्चन डिफिकल्ट हो जाता तो ये हमारा कन्वॉल्यूशन थ्योरम तो ये देखो मैंने आपको पूरा प्रोसीजर समझा दिया की आपको करना क्या है आपको सिर्फ एफ का इन्वर्स लेना है आपको जो क्वेश्चन आपको दिया गया है ध्यान से सुन लीजिए जो क्वेश्चन आपको दिया गया है उसमें से एफ को अलग करो और उसका इन्वर्स ले लो और उसको मानो फटी और टी की जगह रख दो एक्स तो आपको एफसी मिल जाएगा फिर जीपी का इन्वर्स निकालो उसको वो आएगा जीटी और गड़ में टी की जगह टी - एक्स रख दो तो आपके पास जीटी - एक्स ए जाएगा उसके बाद इसका इंटीग्रेशन कर दो इंटीग्रेशन करने के बाद आपको आंसर मिल जाएगा तो आपको खुद समझ में ए गया होगा की कॉन्बिनेशन थ्योरम का क्वेश्चन आसन है थोड़ा लांगती तो जरूर होंगे क्योंकि आपको दो बार इन्वर्स लेना है फिर आपको इंटीग्रेशन भी करना है लेकिन पार्सल क्षेत्र से तो कम ही होंगे नेक्स्ट क्वेश्चन देखो जरा यहां देखो नीचे एक क्वाड्रेटिक फैक्टर है और एक लाइनर फैक्टर है यह कैसे मैंने आपको बताया की अगर एक लाइनर हो एक क्वांटिटी को तो आप इसको पार्शियल फ्रैक्शन से कर सकते हैं तो आप करना चाहे तो इसको पारसी जंक्शन से कर सकते हैं कोई प्रॉब्लम नहीं है लेकिन अगर लिखा है तो नहीं कर सकते हो कन्वॉल्यूशन से भी हो जाएगा जिससे आप करना चाहे कर सकते हैं लेकिन ध्यान रखना क्वेश्चन में देख लेना की मेंशन क्या है अगर इस क्वेश्चन में मेंशन नहीं होता कन्वॉल्यूशन थ्योरम तो आपके पास दोनों चॉइस लिए आप किसी से भी करिए तो चलिए फिलहाल तो हमें कन्वॉल्यूशन से करना है तो यहां पर देखो अगेन यहां पर एसपी और जीपी को अलग करना है तो यहां पर एक फंक्शन हो जाएगा 1 / p² + 4 और एक हो जाएगा 1 / पी + 2 किसको एफबी मैन किसको जीपी मैन सीधी सी बात है 1 / पी + 2 का इन्वर्स निकालना आसन है इसको जीपी मां लो और स्क्वायर पी मां लो उसके बाद इसका इन्वर्स निकालना तो इसका इन्वर्स फटी 1 / 2 सन 2t ए गया टी की जगह एक्स रख दिया तो ये ए जाएगा यहां पर इसका इन्वर्स निकालना है तो एक ही पावर -2t ए गया अब टी की जगह टी - एक्स रख दो तो आपके पास ये वैल्यू ए जाएगी उठा के दोनों को फार्मूले में रख दीजिए है ना एफबी इन जीपी दोनों को मल्टीप्लाई करेंगे वापस क्वेश्चन ए जाएगा फॉर्मूला ये ए गया अब यहां पर देखो जरा फार्मूले को ये ए की पावर -2t + 2x है इसको अलग-अलग कर दो ए की पावर -2 ए की पावर 2x अब टी [संगीत] अब जरा यहां से ध्यान से सुनो ए की पावर -2t ये तो कांस्टेंट हो गया क्योंकि डिफरेंस इंटीग्रेशन किसके रिस्पेक्ट में हो रहा है एक्स के तो इसको इंटीग्रेशन से बाहर कर दीजिए और यहां पर अगेन आपके पास फॉर्मूला ग जाएगा ए की पावर एक्स और सन बीसी का जो की अभी इससे पहले भी हमने उसे किया था कहां पर कहां पर उसे किया था पीरियोडिक फंक्शन के लाप्लास में क्लियर है तो यहां पर भी उसे होगा तो ये फॉर्मूला डायरेक्ट आपको याद होना चाहिए देखो इधर भी मैंने लिखा है इस फार्मूले को डायरेक्ट यहां पर लगाएंगे लिमिट अप्लाई करेंगे और आपको आंसर मिल जाएगा आगे देखो नेक्स्ट क्वेश्चन अगेन लिखा है मेंशन है कन्वॉल्यूशन से करना है तो यहां पर देखो ये फैक्टर भी क्वांटिटी है ये भी क्वांटिटी है दो क्वाड्रेटिक वाला कैसे भी मैंने आपको पार्सल क्षेत्र में बताया है पांचवा कैसे जिसको हम शॉर्टकट मेथड से कर सकते हैं लेकिन क्योंकि यहां कन्वॉल्यूशन लिखा हुआ है तो कन्वॉल्यूशन से ही आप करेंगे क्लियर है तो देखिए जो क्वेश्चन मैंने आपको पहले फ्रैक्शन से बताया था दो क्वांटिटी फैक्टर वाला फ्रैक्शन से करना है तो आप उन क्वेश्चंस को कन्वॉल्यूशन थ्योरम से भी कर सकते हैं अगर वो कन्वॉल्यूशन थ्योरम से आसन होते हैं तो अगर पार्सल से आसन होते तो पार्सल से करो पता चल जाएगा देखते हैं किस आसन होंगे जब आप प्रैक्टिस करेंगे तो आपको समझ में ए जाएगा सर देखो तो इसमें क्या है हमारे पास दो फंक्शन है भाई एक को तो हम मां लेंगे देखो p² + 1 पीस का इस पी को या तो इसके साथ ले लो या इसके साथ ले लो लेकिन अब देखना पड़ेगा कौन सा आसन हो रहा है देखो अगर मैं यहां पर एफबी 1 / p² + 4 को हमने मां लिया एफबी और पी / p² + 1 को अब यहां पर बच्चों को कन्फ्यूजन होगा कुछ बच्चों को लगेगा सर ये ज्यादा आसन है कुछ को लगेगा सर ये ज्यादा आसन है लेकिन अगर ओवरऑल देखें तो वो ज्यादा आसन है क्यों क्योंकि यहां पर अगर आप देखोगे तो यहां डायरेक्ट फॉर्मूला ये किसका कस का कस टी का फॉर्मूला बन रहा है जबकि यहां डायरेक्ट फॉर्मूला नहीं बन रहा है यहां आपको 1 / 2 से डिवाइड भी करना पड़ेगा तब साइन तू डी का फॉर्मूला बनेगा जाके तो ये ज्यादा टफ है ये आसन है यहां डायरेक्ट फॉर्मूला है तो इसको जीपी मां लो और इसको एफबी मां लो दोनों का इन्वर्स निकलेंगे टी की जगह एक्स रख देंगे तो यहां से एफसी मिलेगा और यहां से जीटी - एक्स मिल जाएगा कन्वॉल्यूशन थ्योरम लगा दीजिए दोनों की वैल्यू को पट कर दीजिए तो यहां पर देखो क्या क्लियर यह आपके पास बन गया साइन तू एक्स और कोस्पी - एक्स अगर आपको याद हो तो यहां पर ट्रिग्नोमेट्री का फॉर्मूला लगेगा 2sina का फार्मूले बहुत इंपॉर्टेंट है बता चुका हूं आपको फॉर्मूला आप यहां पर लगाएंगे देखो यहां पर मैंने साइड में लिखा भी है फॉर्मूला लगा के लिमिट लगा देंगे आपको आंसर मिल जाएगा आगे बढ़ते हैं तो कन्वॉल्यूशन थ्योरम बहुत आसन है यहां पर देखिए उसे कन्वॉल्यूशन थ्योरम आपको इसको कैलकुलेट करना है तो यहां पर देखो p² + a² का होल स्क्वायर है इसको एक कम करो दो बार लिखो जीपी अलग कर दो तो 1 / p² + a²gp हो गया ये आसन है है ना क्योंकि वहां डायरेक्ट फॉर्मूला बनेगा कस ए टी का यहां डायरेक्ट नहीं बनेगा ठीक है तो यहां से एफबी और जीटी - एक्स ए गया यहां पर पट कर दीजिए अगेन आपके पास साइन और साइन ए और कस बी का फॉर्मूला बन गया तो फिर से आपको सन ए कस बी का फॉर्मूला लगाना पड़ेगा तो यहां पर लिमिट लगा दीजिए आपको आसानी से आंसर मिल जाएगा तो आप देख सकते हैं कन्वॉल्यूशन थ्योरम मतलब यहां पर आपको कुछ नहीं करना है बस आपको अलग-अलग करना है अलग-अलग उनका इन्वर्स निकालना है इन्वर्स निकालना के लिए कुछ भी नया मेथड यहां पर नहीं है जो पुराना है वही सब हम यहां पर उसे कर रहे हैं क्लियर है आगे बढ़ते हैं स्टेट कन्वॉल्यूशन थ्योरम कन्वॉल्यूशन थ्योरम का स्टेटमेंट लिखना है पर डी यूनिवर्स ला प्लाज्मा हंस और एडरवाइज फाइंड डी इन्वर्स लास्ट ट्रांसफॉर्म अब ये देखिए ये बहुत इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है है ना तो हमें इसका इन्वर्स निकालना है हालांकि इस क्वेश्चन में कहा है की आप कन्वॉल्यूशन थ्योरम से भी निकाल सकते हैं और किसी दूसरे मेथड से भी निकाल सकते हैं लेकिन अगर आप यहां पर पार्शियल फ्रैक्शन से निकालना जाएंगे तो प्रॉब्लम होगी क्यों क्योंकि पार्सल क्षेत्र में मैंने आपको कोई कैसे ऐसा बताया ही नहीं जहां पर देखो यहां पर क्या ये क्वांटिटी ठीक है और ये क्वांटिटी फैक्टर है और वो भी रिपीटिंग है तो ये तो हमने कोई कैसे पढ़ा ही नहीं पार्सल में और ऐसा नहीं की पार्सल में ये कैसे नहीं बन सकता बन जाएगा लेकिन अगर इस कैसे को पार्सल में बनाएंगे तो आप सोचिए दो कांस्टेंट इसके लिए आएंगे कर इसके लिए छह कांस्टेंट हो जाएंगे छह कांस्टेंट को निकालना बहुत ही डिफिकल्ट टास्क होगा आसन नहीं होगा तो इसलिए नहीं रखते लेकिन यहां ये आसन हो जाएगा अलग-अलग करेंगे एक को एफबी मां लेंगे एक को जीपी मां लेंगे तो यहां पर जरा ध्यान दीजिए यहां पर हमारे पास पी + p² + 1 का होल स्क्वायर अपन 2p और ये पीस का देखिए p² + 16 इसको सीधी सी बात है जीपी मानेंगे और इसको मानेंगे हम एफबी क्योंकि वहां पर होल स्क्वायर क्वाड्रेटिक फैक्टर का भी स्क्वायर ए रहा है टू हो जाएगा ना तो यह हो जाएगा हमारे पास अब इसमें से हमें थोड़ा सोचना पड़ेगा की एक पी में से पी किसके साथ में तो यहां पर पी हमने लिया एसपी के साथ में और जो हमारा जीपी था जीपी कहां है जरा जीपी मैप एक बार बताता हूं ये देखो जीपी को हमने ले लिया 4 / p² + 16 क्यों लिया क्योंकि आसन है डायरेक्ट फॉर्मूला बन रहा है ना भाई आते में से हमने फोर निकाल के इसके साथ रख दिया 4 / p² + 16 तो ये डायरेक्ट फॉर्मूला बन गया किसका साइन का तो इसलिए फोर उसके साथ रखा ठीक है एफबी जो बैक गया 2p / p² + 1 का होल स्क्वायर इसको रख दिया इसके साथ में तो हमें पहले क्या करना है जीपी को अलग कर लेना जीपी को भाई नीचे से ये फैक्टर तो लेना ही पड़ेगा जीपी में से इसको ले लो ये आसन है अब ऊपर से क्या लेने अगर ऊपर से मैं वन लेट मां लो 8p को उसके साथ ले जाता तो वन लेट तो मुझे डिवाइड करना पड़ता है 1 / में कुछ करना पड़ता तो ऊपर से हमने फोर भी ले लिया जिससे डायरेक्ट फॉर्मूला बन जाए तो जीपी को अलग कर दिया एफ पी को अलग कर दिया तो देखो ये बच्चा हुआ एसपी है अब इसका इन्वर्स निकालना है हमें क्या करना है इसका इन्वर्स कैलकुलेट करना है अब कैसे इसका इन्वर्स कैलकुलेट करेंगे ये हमें देखना पड़ेगा जरा ध्यान से समझिए इसका इन्वर्स निकालना के लिए थोड़ा सा ये हमें डिफिकल्ट है देखो कैसे 2p / p² + 1 का होल स्क्वायर डायरेक्ट तो हम निकाल ले सकते हो डायरेक्ट हमारे पास इसके लिए कोई फॉर्मूला नहीं है लेकिन ये p² + 1 का होल स्क्वायर है तो ये किसी ना किसी चीज का डर होगा तो हम उसे फंक्शन का निकलेंगे जिसका डर है बात समझ में ए रही है ना यह किसी ना किसी फंक्शन का डर है ठीक तो हमने वह फंक्शन लिख दिया जिसका ये डर 1 / p² + 1 और इसका लाप्लास होता है सन θ + क्या होता है सन टी अब इसका डर मतलब यहां पर डर वाला कॉन्सेप्ट ग गया अब इसका क्या करेंगे डर करेंगे तो इसका डिफरेंशियेशन करेंगे तो यहां पर डेरिवेटिव वाला फॉर्मूला लगेगा -टीएफटी तो माइंस टी साइन टी हो जाएगा क्लियर है इसका डर कितना आएगा इसका डर आपका ए जाएगा 2p / p² + 1 का होल स्क्वायर तो ये ए गया 30 और यहां से अब आपके पास ये t90 फटी की वैल्यू ए गई यहां पर एक्स रख देंगे यानी की खाने का मतलब ये ये इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है और इस इंपॉर्टेंट क्वेश्चन में यहां पर जो कॉन्सेप्ट उसे हो रहा है ये कॉन्सेप्ट उसे हो रहा है आपका कौन सा डेरिवेटिव वाला ठीक है ना इसलिए सब कुछ पढ़ना जरूरी है क्लियर है वरना ये क्वेश्चन नहीं हो पाएगा भले ही आपको कन्वॉल्यूशन थ्योरम आई है लेकिन अगर आपको ये वाला ये वाला पार्ट अगर आपको नहीं आता तो दिक्कत हो जाएगी ठीक तो अब यहां से एफसी ए गया इसका इन्वर्स निकलेंगे तो ये जीटी मिल जाएगा जीटी - एक्स ए गया दोनों को पट कर देंगे दोनों को पट करने के बाद हमारे पास ये एक्सप्रेशन बनेगा अब इसमें क्या करें अब जरा ध्यान से देखेंगे जीरो से टक्स सन 2x sin40 - एक्स अब यहां पर एक्चुअल में तीन फंक्शन है इनका क्या करें तो इसमें सबसे पहले क्या करना होगा इस वाले में देखो फॉर्मूला बन रहा है तू साइन ए तू साइन ए साइन बी का फॉर्मूला लगाएंगे सन ए सन बी का फॉर्मूला लगाने के बाद हमें ये मिल जाएगा है ना ये पार्ट हमारे पास ए जाएगा ठीक चलिए सन ए सन बी का फॉर्मूला जब लगाएंगे ये एक्स इसके साथ भी ये एक्स इसके साथ भी है उसके बाद इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स कर देंगे और इंटीग्रेशन बाय पार्ट करने के बाद लिमिट लगा देंगे यहां पर ध्यान से समझो ये फॉर्मूला ग गया 2 सन ए सन बी का तो ये ए गया अब यहां जब ये एक्स इसके साथ भी आएगा इसके साथ भी आएगा तो ये दो इंटीग्रेशन हो गए एक इंटीग्रेशन ये हो गया एक ये हो गया आप दोनों में इंटीग्रेशन बाय पास लगाएंगे इंटीग्रेशन बाय पास लगाने के बाद आप लिमिट अप्लाई कर देंगे और लिमिट जैसे ही अप्लाई करेंगे आपको आंसर मिल जाएगा तो यहां पर देखो इसका आंसर लिखा है मैंने ये हमारे पास ए गया है ना तो यहां पर सब लिमिट हमने लगा दी लिमिट लगा के सिंपलीफाई करेंगे तो काफी बड़ा क्वेश्चन यहां पर हो जाएगा ये और ये इसका आंसर है लैंग्वेज क्वेश्चन है लेकिन इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है ठीक है ना तो मतलब आपको इसीलिए ट्रांसफॉर्म को थोड़ा सा डिफिकल्ट यूनिट माना जाता है क्योंकि इसमें बहुत सारे टॉपिक है फार्मूले भी काफी सारे हो जाते हैं आपको साड़ी चीज आनी चाहिए तभी आप आगे तक इसको कर पाएंगे तो यहां पर ये कन्वॉल्यूशन थ्योरम वाला जो पार्ट था हमारा खत्म हो गया अब इस यूनिट का लास्ट टॉपिक हमारे पास आता है डेट इस एप्लीकेशन ऑफ लाप्लास ट्रांसफॉर्म एप्लीकेशन ऑफ लाप्लास ट्रांसफॉर्म अब इसको जरा ध्यान से समझेंगे कैसे करना है क्या करना है तो एप्लीकेशन पढ़ना है हमें और यहां पर देखिए इसकी एप्लीकेशन है क्या एक्चुअल में हम लाप्लास ट्रांसफॉर्म की हेल्प से डिफरेंस को सॉल्व कर सकते हैं और साइमन डिफरेंशियल इक्वेशन को भी सॉल्व कर सकते हैं यानी की यूनिट नंबर वन में हमने डिफरेंशियल इक्वेशन पढ़ा और वहां पर हमने डिफरेंशियल इक्वेशन को पढ़ने के लिए काफी सारे मेथड पढ़ें डिफरेंशियल इक्वेशन को सॉल्व करना भी हमने वहां पर शिखा तो यहां पर भी हमें डिफरेंशियल इक्वेशन को सॉल्व करना है लेकिन यहां पर हम डिफरेंशियल इक्वेशन सॉल्व करेंगे विद डी हेल्प ऑफ लाप्लास ट्रांसफॉर्म और ये जो टॉपिक है बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट है ये मां के चलिए की यहां से तो एक सेवन मार्क्स का क्वेश्चन आने के चांसेस मार के चलिए पूरे ही हैं बहुत इंपॉर्टेंट टॉपिक है इस यूनिट का सबसे ज्यादा इंपॉर्टेंट टॉपिक यही है इसके बाद आता है कन्वॉल्यूशन थ्योरम ठीक है ना सबसे इंपॉर्टेंट यह है इसके बाद नंबर आता है कन्वॉल्यूशन थ्योरम का क्लियर है चलिए स्टार्ट करते हैं तो यहां पर एप्लीकेशन दो एप्लीकेशन है एक तो हम ऑर्डिनरी डिफरेंशियल इक्वेशन को सॉल्व करेंगे इसकी हेल्प से और दूसरा हम साइमन के डिफरेंस से इक्वेशन को सॉल्व करेंगे एक बात प्रोसीजर को समझ लीजिए उसके बाद कोई दिक्कत आपको नहीं होगी बहुत सिंपल क्वेश्चन जिसके होंगे तो चलिए स्टार्ट करते हैं तो पहले हम सॉल्व करेंगे ऑर्डिनरी डिफरेंशियल इक्वेशन तो जरा देखिए ध्यान से तू सॉल्व ऑर्डिनरी डिफरेंशियल इक्वेशन ऑर्डिनरी डिफरेंशियल इक्वेशन को सॉल्व करने के लिए यहां पर मैंने स्टेप लिखे हुए आपको सभी क्वेश्चन के अंदर इन्हीं स्टेप को फॉलो करना है और इन्हीं इस टाइप के अकॉर्डिंग आपका डायरेक्ट आंसर ए जाएगा पहले स्टेप देखिए क्या है सबसे पहले स्टेप टेकिंग डी लाप्लास ट्रांसफार्मर बोथ साइड ऑफ डी जिवन डिफरेंशियल इक्वेशन आपको जो डिफरेंस दे राखी है उसे डिफरेंस लेना है जिवन डिफरेंशियल इक्वेशन और लाप्लास लेने के बाद और उसे डी जिवन फार्मूले जब आप लाप्लास ले लेंगे तो आप उसके बाद यह फार्मूले अप्लाई करेंगे क्या है यह फॉर्मूला जरा ध्यान से देखिए ये फार्मूले वही है जो हमने लाप्लास के डेरिवेटिव में पड़े थे लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ डेरिवेटिव बस अंतर इतना है की वहां पर हम एफ का उसे कर रहे थे यहां पर एफ की जगह ए ए जाएगा देखो वहां पर हमने फॉर्मूला पढ़ा था की लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ एफ- टी ये फॉर्मूला हमने वहां पर पढ़ा था तो इसका लाभ लाप्लास क्या होता था देखिए इसका लाप्लास हमारे पास वहां पर हम क्या लिखने थे पी एफ पी माइंस एफ जीरो ये लिखने थे से फॉर्मूला है अंतर क्या ए गया देखो जरा यहां पर एफ-टी नहीं हो क्योंकि डिफरेंशियल इक्वेशन में एफ नहीं होगा ए होगा यहां पर भी और पी यहां भी ए रहा है पी तो वैसे ही रहेगा ए बाहर ए बाहर बोल रहे हैं क्लियर है तो फार्मूले वही है बस रिप्रेजेंटेशन बादल गई नोटेशन बादल गई है अगर सिमिलरली अगर आपको ए डबल डिस्क वायरस माइंस पी ए 0 - 0 तो ये तीनों फार्मूले अगर आप याद सबसे पहले मतलब यहां पर जब आप एप्लीकेशन ऑफ लाप्लास ट्रांसफॉर्म के क्वेश्चन सॉल्व करेंगे डिफरेंशियल इक्वेशन सॉल्व करेंगे तो याद रखना सबसे पहले जो डिफरेंशियल इक्वेशन आपको दी गई है वो डिफरेंशियल इक्वेशन अगर हो सकता है की दी की फॉर्म में दी हो तो आपको उसे डिफरेंशियल इक्वेशन को पहले ए की फॉर्म में कन्वर्ट कर देना वाइड एस ए डबल - व्हाइट ट्रिपल देश इस तरह से उसके बाद दोनों तरफ लाप्लास ले लेंगे और लाप्लास लेने के बाद ये फॉर्मूला लगा देंगे इतना कम तो आपको सभी क्वेश्चन में करना है देखिए कुछ स्टूडेंट क्या होते हैं की बहुत सारे स्टूडेंट होते हैं पूरा क्वेश्चन सॉल्व नहीं कर पाते कोई बात नहीं अगर आप 50% भी क्वेश्चन सॉल्व करेंगे तो आपको वहां से मार्क्स मिलेंगे और यहां पर जो एप्लीकेशन ऑफ लाप्लास ट्रांसफॉर्म है उसके कुछ स्टेप्स हैं जो सभी क्वेश्चन में करना है तो जो स्टेप फिक्स है और जो सभी में करना है उनको तो आप कर सकते हैं तो यहां पर स्टार्टिंग जब दो तीन स्टेप हर बच्चा कर सकता है कोई दिक्कत नहीं है ठीक है तो ध्यान दीजिए तो सबसे पहले स्टेप दोनों तरफ लाप्लास ले लो फिर उसके बाद ये फार्मूले लगा दो तो आपका यहां से एक स्टेप पूरा हो जाता है मतलब अगर साथ नंबर का क्वेश्चन आता है तो शायद दो नंबर तो आपको इसी में मिल जाएंगे अगर आप इतना कम कर देते हैं तो नो स्टेप नंबर तू जब आप फॉर्मूला लगा देंगे है ना जब आप ये उसे डी जिवन फॉर्मूला उसे करेंगे जब आप ये फॉर्मूला लगा देंगे तो इसके बाद आपको अप्लाई डी फार्मूले ऑफ लाप्लास ट्रांसफॉर्म और जिवन कंडीशन आपको यहां पर हर क्वेश्चन के अंदर कंडीशन जिवन होगी तो आप उन कंडीशन को अप्लाई कर दें बहुत आसन है अप्लाई करना और अगर कहानी पर लाप्लास ट्रांसफॉर्म का फॉर्मूला बन रहा है तो उसे फार्मूले को लगा दे जो आपके सेवन बेसिक फार्मूले मैंने बताए थे और जो प्रॉपर्टी आपको बताई थी लाप्लास ट्रांसफॉर्म की है ना वो प्रॉपर्टी और वो बेसिक फार्मूले उनका उसे करके आप स्टेप नंबर तू को कंप्लीट कर सकते हैं यानी की आपको यहां पर लाप्लास ट्रांसफॉर्म के जो सेवन बेसिक फार्मूले थे और जो तीन प्रॉपर्टी थी और उसके बाद भी हमने जो छोटे-छोटे टॉपिक पड़े थे उनमें से कोई भी फॉर्मूला आपका यहां बन सकता है स्टेप नंबर तू पूरा हो जाएगा आपका लाप्लास ट्रांसफॉर्म के फार्मूले लगा के स्टार्ट नंबर तू में जिवन कंडीशन को अप्लाई करना है और लाप्लास के फार्मूले अप्लाई करने थॉट्स जो नो स्टेप नंबर थ्री स्टेप नंबर तीन में आप क्या करेंगे अब आपको ए बार निकालना है इन टर्म्स ऑफ पी यहां पर देखो जब आपने फॉर्मूला लगाएं हैं जब आपने फार्मूले लगाएं हैं जब आप ये फॉर्मूला लगाएंगे एक्चुअल में वाइबर है एफबी तो आपको क्या चाहिए अब क्या करेंगे तो आप क्या करना पड़ेगा आपको नो टेकिंग डी इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म तू फाइंड व्हाइट तो अब आप दोनों तरफ वे बार की जो इक्वेशन ए रही है ना इसके दोनों तरफ इन्वर्स लग लॉस ले लो तो आपको ए मिल जाएगा स्टेप फिक्स हो गए सबसे पहले दोनों तरफ लास्ट लेना है लाप्लास लेने के बाद जो ये डेरिवेटिव वाले फार्मूले लिखे ये फार्मूले अप्लाई करने हैं इन फॉर्मूला को अप्लाई करने के बाद आपको लाप्लास के सारे फार्मूले अप्लाई करने और जिवन कंडीशन को अप्लाई करना है इतना कर देंगे उसके बाद आप ए बार निकलेंगे और उसके बाद इन्वर्स ले लेंगे यानी के आपको अगर आप देखें तो इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म सॉरी एप्लीकेशन ऑफ लाप्लास ट्रांसफॉर्म का क्वेश्चन करने के लिए डिफरेंशियल इक्वेशन को सॉल्व करने के लिए बाय लाप्लास ट्रांसफॉर्म आपको लाप्लास ट्रांसफॉर्म के फार्मूले भी उसे करने होंगे और आपको इन्वर्स के फार्मूले भी उसे करने होंगे यानी की एप्लीकेशन का बेसिक आता है ना तो इन क्वेश्चन में कुछ भी नहीं है स्टार्ट करते हैं पहले क्वेश्चन सॉल्व अब देखो क्वेश्चन में लिखा है लाप्लास कुछ बच्चे गलती कर देते हैं ऊपर डिफरेंशियल इक्वेशन है तो बहुत आसन है है ना यहां पर कम भाई ये देखो सिंपल सी इक्वेशन है इसमें क्या करेंगे आप कंप्लीमेंट्री फंक्शन निकाल देंगे पी इसका जीरो होगा क्योंकि राइट साइड जीरो है तो ये 2 मिनट में क्वेश्चन खत्म हो जाएगा लेकिन उसे पर नंबर एक भी नहीं मिलेगा क्यों क्योंकि इसको लाप्लास ट्रांसफॉर्म से करना है ना की डायरेक्ट डायरेक्ट तो ये दो नंबर का क्वेश्चन है ऐसे क्वेश्चन तो दो नंबर में भी नहीं आते मैंने आपको कराए थे सबसे पहले हमने यही किया था ना कफ निकालना पी इसका जीरो होगा आंसर ए जाएगा मुश्किल से कर पांच लाइन में आंसर ए जाएगा दो नंबर का क्वेश्चन है ये लेकिन आप इसको कफ और पी निकाल के नहीं करेंगे आप इसको करेंगे लाप्लास से कैसे करेंगे और जैसा मैंने आपको बताया यहां पर हर क्वेश्चन में आपको कंडीशन जिवन होगी तो ये है आपके पास कंडीशन तो देखिए क्या क्या करेंगे आप सबसे पहले ध्यान से समझिए सबसे पहले मैंने जिवन कंडीशन को लिख दिया देखो कंडीशन का मतलब क्या है एक बार समझ लो ऐसे ही करना है इसका मतलब ये है की ए की वैल्यू वन होगी जब टी की वैल्यू जीरो होगी भाई इसमें दो वेरिएबल है ए और टी अगर t0 है तो ए कितना है 1 है तो ए जीरो की वैल्यू वन है यानी की टी अगर जीरो होगा तो ए वन होगा अगर टी जीरो है तो वायरस जीरो है और t0 है तो y1 है तो पहले तो मैंने ये जिवन कंडीशन लिख दी यहां पर क्योंकि मुझे ये अप्लाई करनी है आगे बढ़ते हैं उसके बाद मैंने लिखा जीवन डिफरेंस d2y/dt² की फॉर्म में दी है आप इसको देश की फॉर्म में कन्वर्ट कर दो भाई d2y/dt² को आप क्या लिख सकते हैं ए डबल एस लिख सकते हैं की नहीं भाई डबल टच लिख सकते हैं तो इसको ए डबल डिक लिख दिया प्लस ए इक्वल तू जीरो हो गया था ये तो जिवन डिफरेंस से इक्वेशन है अब आते हैं अपने स्टेप नंबर वन पे जो जिवन डिफरेंशियल इक्वेशन है उसके दोनों तरफ आपको लाप्लास लेना है तो पैकिंग क्लास ऑन बोथ साइड दोनों तरफ लाप्लास ले लीजिए तो राइट साइड में तो जीरो है जीरो का लाभ जीरो ही होगा तो राइट साइड तो जीरो रहेगी लेफ्ट का लाप्लास ले लिया हमने अब लेफ्ट में जब आप लग लॉस लेंगे तो इसका लग लॉस अलग लेंगे इसका अलग लेंगे क्लियर हो गया ये लिख दिया अब जरा ध्यान से देखो ये तो फॉर्मूला हमें पता है ल ए एस ल ए एस ये फॉर्मूला लगा देंगे यहां पर ठीक है तो ये लगा देंगे तो अभी तो ए डबल दास का आया तो देखो ल ए एस पी स्क्वायर माइंस पी ए जीरो और माइंस जीरो और प्लस भाई बाहर इक्वल तू जीरो ध्यान रखना हवाई का लाप्लास होगा वही बात वही बार का यहां पर और यहां पर यह फार्मूले मैंने लगा दिए अब क्या करना है अब इसमें स्टेप नंबर तू पर जाना है इस टाइप नंबर तू हमें क्या कहता है की अप्लाई डी फॉर्मूला ऑफ लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ जिवन कंडीशन तो लाप्लास्ट ट्रांसफॉर्म का तो यहां पर कोई फॉर्मूला बना नहीं क्यों क्योंकि इसकी राइट साइड जीरो थी अगर यहां राइट साइड जीरो ना होती तो राइट साइड में हमें लाप्लास ट्रांसफॉर्म का फॉर्मूला लगा के उसका लाप्लास लिखना पड़ता मतलब यहां पर राइट साइड में तो कुछ लिखा होता तो हमें जो हमारे लाप्लास के सेवन बेसिक फार्मूले हैं या तो वो अप्लाई करने पढ़ते हो सकता है प्रॉपर्टी भी अप्लाई करनी पड़ेगी मतलब लाप्लास का कोई ना कोई फॉर्मूला यहां ग जाता अगर राइट साइड में जीरो नहीं होता तो फिलहाल तो अभी जरूर नहीं है तो क्या करेंगे जिवन कंडीशन को अप्लाई करते हैं तो देखो जिवन कंडीशन क्या है ए जीरो की वैल्यू वन है तो यहां ए जीरो ए रहा है क्या ये रहा ए जीरो इसकी वैल्यू वन है तो यहां पर इसकी जगह वन पट करेंगे 0 की वैल्यू जीरो है तो इसकी जगह जीरो पट कर दो तो यहां जीरो ए गया अब इसको थोड़ा सिस्टमैटिक वे में लिखो आम ले लो p² + 1 = पी बच्चा और यहां से अब हम चलते हैं अपने अगले स्टेप पे तो फार्मूले हमने लगा दिए लाप्लास के लगा नहीं यहां पर और जिवन कंडीशन अप्लाई कर दी| नेक्स्ट स्टेप का रहा है की वे बार निकालो तो एक कम करो यहां से ए बाहर निकालना तो ये नीचे चला जाएगा तो पी / p² + 1 ए जाएगा और लास्ट स्टेप हमें क्या बता रहा है की टेकिंग डी इन्वर्स लाप्लास अब इन्वर्स लाप्लास ले लो दोनों तरफ तो इसके दोनों तरफ इन्वर्स लाप्लास ले लिया तो इसका इन्वर्स लाप्लास कॉस्टली यानी की इसका आंसर ए गया कॉस्ट टी अगर आप इसको यूनिट नंबर वन के मेथड से करते हैं तब भी आंसर यही आता है लेकिन करना नहीं है आपको क्लियर है आगे बढ़ते हैं नो यूजिंग लग अब देखो बिल्कुल से है एक्जेक्टली अब मैं जल्दी से बता देता हूं सब से है यूजिंग सॉल्व डी फॉलोइंग डिफरेंशियल इक्वेशन अब देखो यहां पर सेकंड ऑर्डर की डिफरेंस में क्या-क्या दिया होगा एक तो ये सेकंड ऑर्डर की है तो एक तो ए जीरो दिया होगा और एक ए' दिया होगा अगर ये थर्ड ओड के डिफरेंशियल इक्वेशन होती तो यहां पर आपको कंडीशन में ए डबल जीरो भी दिया होगा अगर तू ऑर्डर की है तो ए और ए दास दिया होगा और अगर वन ऑर्डर की है तो केवल ए दिया होगा पर मां लो बाय चेस कभी-कभी ऐसा भी होता है की आपको 200 की डिफरेंशियल इक्वेशन दे दी लेकिन वहां पर केवल आपको वाइड ऐसे ही दिया है और ए नहीं दिया यह ए दिया है ए' नहीं दिया तो उसे कैसे में आपको अपनी तरफ से मानना पड़ेगा मैं आपको बताऊंगा कैसे चलिए फिलहाल तो इस क्वेश्चन को फॉक्स करते हैं ये तो पहले तो जिवन कंडीशन यहां पर लिख दे ये जिवन कंडीशन है उसके बाद डिफरेंशियल इक्वेशन को लिख दिया अब देखो ध्यान देना यहां पर ए नहीं है एक्स है तो कोई बात नहीं एक्स की फॉर्म में लिखेंगे तो इसको लिखेंगे एक्स डबल दास भाई इसको क्या लिख सकते हैं एक्स डबल दास इसको लिख सकते हैं एक्स दास तो यहां पर देखो प्लस 5x = सन टी ना इसके बाद लेंगे दोनों तरफ लास्ट टेकिंग लाप्लास बोथ साइड जब आपने लग लॉस लिया तो आप इधर देखो दोनों तरफ लास्ट ले लिया तो अब यहां पर लाप्लास के फार्मूले लगाने पढ़ेंगे आपको यहां पर भी और यहां पर भी और यहां पर भी तीन हो जाएंगे फॉर्मूला लगा दीजिए तो पहले फॉर्मूला तो यहां से यहां तक बन गया ये दूसरा फॉर्मूला बन गया और 5 लेप्लेस ट्रांसफॉर्म ऑफ एक्स होगा अब देखो यहां पर राइट साइड जीरो नहीं है तो अब आप इसको लाप्लास का फॉर्मूला लगा के इसका आंसर निकालना पड़ेगा ठीक है ना इसका आंसर आपको निकालना पड़ेगा तो यहां पर क्या लगेगा सन टी का हो जाएगा 1 / p² + 1 और फिर 15 प्रॉपर्टी लगाएंगे तो पी की जगह पी + 1 का होल स्क्वायर ए जाएगा तो यहां पर देखो शिफ्टिंग प्रॉपर्टी भी ग गई बेसिक फॉर्मूला भी ग गया तो हमने लाप्लास के फार्मूले लगा दिए अब जिवन कंडीशन अप्लाई कर दो जो कंडीशन आपको दे राखी है एक्स - 0 की जगह वन रख दो और एक्स जीरो की जगह जीरो रख दो तो हमने जिवन कंडीशन भी अप्लाई कर दी जिवन कंडीशन को अप्लाई करने के बाद हमारे पास ये ए गया आफ्टर सिंपलीफिकेशन अब क्या करना है मुझे तो सिर्फ एक्स बार चाहिए मुझे ये नहीं चाहिए लेफ्ट में इसको राइट में ले जो तो ये वाला जो फैक्टर है ये इसके साथ भी मल्टीप्लाई होगा और इसके नीचे भी आएगा तो हमारे पास यहां पर ए जाते हैं ये ए गया हमारे पास अब क्या करें अब इसका लेना इन्वर्स अब इन्वर्स लेकर प्रॉब्लम हो जाएगी क्यों क्योंकि इसका डायरेक्ट फॉर्मूला नहीं पता देखो दो क्वांटिटी फैक्टर डिनॉमिनेटर में ए गए अब मेरे पास यहां से दो ऑप्शन है या तो मैं कन्वॉल्यूशन थ्योरम लगाऊं या मैं यहां पर पार्शियल फ्रैक्शन करूं तो देखो क्योंकि दोनों के दोनों क्वाड्रेटिक फैक्टर है और ऊपर केवल वन है तो यहां पर पार्सल क्षेत्र आसन रहेगा कन्वॉल्यूशन थ्योरम से यहां पर पार्शियल फ्रैक्शन आसन रहेगा तो आप यहां पर शॉर्टकट मेथड जो मैंने आपको बताया था उसके बेसिस पर इसके पार्शियल फ्रैक्शन कर देंगे तो यहां पर शॉर्टकट मेथड जिसके पार्सल हो जाएंगे आसानी के साथ और जैसे ही पार्सल हो जाएंगे उसके बाद देखो पार्सल क्षेत्र होने के बाद ये ए गया तो इसका तो इन्वर्स ले सकते हैं अब देखो सारे कॉन्सेप्ट उसे हो जाएंगे इसमें पार्सल क्षेत्र भी ए गया है ना उसके बाद ये देखो अब यहां पर याद करो आपको इनका इन्वर्स लेना है तो इन्वर्स लेने के नीचे परफेक्ट स्क्वायर बनाने पढ़ेंगे तब जाके इसका इन्वर्स लिया जाएगा क्या बनाना पढ़ेंगे परफेक्ट स्क्वायर बताया था मैंने इन्वर्स में स्टार्टिंग में तो यहां पर सब में आप इसके परफेक्ट स्क्वायर बनाएंगे देखो ये बन गए परफेक्ट स्क्वायर बनाने के बाद शिफ्टिंग प्रॉपर्टी लगाएंगे और तब जाके इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म के बेसिक फार्मूले लगेंगे तब जाकर आप आंसर मिलेगा इसीलिए ये टॉपिक थोड़ा सा कॉम्प्लिकेटेड माना जाता है क्यों क्योंकि यहां पर आपको जो लाप्लास का बेसिक है उसे बेसिक पे कमांड करनी पड़ेगी तभी जाकर ये क्वेश्चन आपको आसन लगेंगे और आगे बढ़ते हैं यूजिंग लेप्लेस ट्रांसफॉर्म इसको भी सॉल्व करना है जीरो कहां है इसमें तो अब सेकंड ऑर्डर की डिफरेंस तो होना चाहिए था भाई जिवन कंडीशन में एक्स दास क्या होना चाहिए था जिवन होना चाहिए था एक्स जीरो जिवन होना चाहिए था लेकिन नहीं है तो अपनी तरफ से मानना पड़ेगा तो देखो मैंने यहां से मां लिया क्योंकि ये जो जिवन है ना कंडीशन ये तो हमें एक्स पी / 2 जिवन है तो एक्स है ना एक-एस नहीं है तो यहां पर एक्स जीरो जिवन है एक्स π/2 जिवन है लेकिन एक्स दास जीरो जिवन नहीं था इसलिए मैंने इसको ए मां लिया है बस ये यहां पर एक नया पॉइंट ए रहा है ध्यान रखना है मैंने अब उसके बाद सब कुछ से है जिवन डिफरेंस इक्वेशन लेक दोनों तरफ लाप्लास लिया सारे फॉर्मूला लगा दिया लाप्लास के और फॉर्मूला लगाने के बाद हमें ये मिल गया फाइनली तो यहां पर देखो ये भी देखिए ये भी क्वांटिटी है फिर से पार्सल कनेक्शन लगा दो इसमें इस वाले पार्ट में इसको अलग अलग कर देंगे तो देखो पार्सल से अलग-अलग करने के बाद हमारे पास यहां पर ये पूरा एक्सप्रेशन ए गया अब इसमें ले लो इसका इन्वर्स इन्वर्स लेने के बाद हमारे पास जो ए रहा है इन्वर्स लेने के बाद ये एक्सप्रेशन ए रहा है आपके पास अब इसमें प्रॉब्लम क्या है इसमें ए रहा है इस ए को हमें हटाना पड़ेगा यह ए तो हमने अपनी तरफ से माना था ना इस ए को कैसे हटाएंगे इस ए को हटाने के लिए इस बार हमें ये कंडीशन दी गई है की आप टी की जगह π/2 पट करो तो एक्स की वैल्यू माइंस वन आएगी बस इसी कंडीशन का उसे करेंगे एक्स की जगह माइंस वन रख दो और जहां जहां टी ए रहा है वहां वहां पी / 2 रख दो तो ऐसा करने से आपको ए की वैल्यू 12 / 5 मिल जाएगी इस वैल्यू को उठा के इस इक्वेशन में रख दो तो आपके पास फाइनल आंसर ए जाएगा इस तरीके से क्लियर है तो इस तरीके से आप सभी क्वेश्चंस को सॉल्व कर सकते हैं देखो इस क्वेश्चन को ध्यान से देखो इसमें कुछ भी नया नहीं है बस यहां पर डिफरेंशियल इक्वेशन ए गई तो सीधी सी बात है थर्ड ऑर्डर की आई है तो मैंने आपको बताया था तीन कंडीशन जिवन हनी चाहिए देखो यहां ए जीरो भी है ये व्हाइट एस भी है और ए डबल दास भी है ठीक है यही होना भी चाहिए बस उसके बाद आपको कुछ नहीं करना ये जिवन कंडीशन मैंने लिख दिया यहां पर तो जिवन कंडीशन ए जीरो है व्हाइट है व्हाइट डबल है इसको हम माइंस लिख सकते हैं देखो यहां डी / डीटी = 0 इसका मतलब ये है की टी इक्वल तू जीरो पे डिवाइड की वैल्यू जीरो है और डी / डीटी को हम लिख सकते हैं उसके बाद जिवन डिफरेंशियल इक्वेशन लिखो इसको आप क्या लिखोगे ए ट्रिपल देश इसको लिखोगे ए डबल दास इसको लिखोगे ए' लिख दिया यहां पर फिर दोनों तरफ इसका लाप्लास ले लो और सारे फार्मूले जो मैंने आपको बता रखें हैं वो फार्मूले यहां पर लगा दीजिए सब अप्लाई कर देंगे राइट साइड में जो क्वांटिटी ए रही है ये इसका लाप्लास ले लेंगे अब देखो यहां पर जब आप इसका लाप्लास लेंगे तो यहां पर आपको या तो शिफ्टिंग प्रॉपर्टी लगाने पड़ेगी या मल्टीप्लिकेशन बाय टी की पावर एन वाला कॉन्सेप्ट लगाना पड़ेगा मतलब यहां पर पूरा बेसिक उसे होगा आपका चलिए ये सब करने के बाद इसको सिंपलीफाई करके आप वही बार निकाल लेंगे तो देखो यहां से ए बार कितना ए रहा है ये ए रहा है ए बार ये ए गया आपके पास ठीक है ये वाली बाहर है तो अब इसको सिंपली देखो इसमें तो कोई प्रॉब्लम नहीं है इसको देखो इसमें थोड़ा सा प्रॉब्लम है ये p² - 3p प्लस वन है तो ऊपर भी पी माइंस वन का फैक्टर बना लेंगे हम तो पी माइंस वन का होल स्क्वायर माइंस पी बैक गया इसको अलग अलग कर दो अलग-अलग करने के बाद आपके पास ये ए गया तो ये तो आसन है इसका तो आप इन्वर्स निकाल सकते हो तो डायरेक्ट आप इसका इन्वर्स और सिंपलीफाई करेंगे तो ये ए जाएगा तो इसका इन्वर्स निकालना में कोई दिक्कत किसी को नहीं हनी चाहिए अगर आपको बेसिक पूरा आता है तो आप इसका इन्वर्स आसानी से निकाल सकते हैं और ये आपका आंसर भी ए जाएगा तो मतलब एप्लीकेशन को करने के लिए लाप्लास ट्रांसफॉर्म का जो बेसिक है वो क्लियर होना चाहिए आपको ठीक कुछ और कुछ यहां पर दिए और इसमें देखिए अभी ऐसा नहीं है क्योंकि बहुत इंपॉर्टेंट टॉपिक है हम इसी में भी और भी क्वेश्चन है आपके पास आप देखो यहां पर भी है डिफरेंशियल इक्वेशन दी है आपको कंडीशन जिवन है सेकंड ऑर्डर की डिफरेंस भी दिया दोनों के दोनों है टी = 0 पे तो आपको कंडीशन जिवन है बिल्कुल आगे आईटी इसे से क्वेश्चन है कुछ भी इसमें वेरिएशन नहीं है बस यहां पर आपको टी कॉस्ट टी का लाप्लास निकालना है तो यहां मल्टीप्लिकेशन बाय टी वाला कॉन्सेप्ट ग जाएगा देखो मतलब आपको लाप्लास ट्रांसफॉर्म का पूरा बेसिक उसे हो जाएगा इसमें इन्वर्स का भी और लाप्लास का भी पूरा बेसिक उसे होगा तो यहां से आप ए बार ए गया उसके बाद आप इन्वर्स निकाल देंगे देखो यहां वाइबर को ध्यान से देखो यहां पर स्क्वायर की जगह एम रख देंगे तो ये थोड़ा सा आसन हो जाएगा पार्शियल फ्रैक्शन तो देखो यहां पर पूरा पार्सल ए गया हमारा तो क्वेश्चन बहुत जल्दी है यहां पर ध्यान रखना क्वेश्चन बहुत जल्दी है पूरा प्लस और इन्वर्स लाप्लास का बेसिक उसे हो जाएगा तो आप आंसर की और तक तो पहुंच ही सकते हैं इस क्वेश्चन में थोड़ा सा एक पॉइंट नया ए गया वह मैं आपको बता देता हूं यहां पर इंटीग्रेशन भी ए रहा है तो कोई बात नहीं इंटीग्रेशन का लाप्लास आपको लेना आता है तो यहां पर सबसे पहले जिवन कंडीशन अब ये देखो वन ऑर्डर की डिफरेंस है तो वन ऑर्डर के डिफरेंस होना चाहिए बस वीड्स की जरूर नहीं है तो जिवन कंडीशन हमें अब ये जिवन डिफरेंस से इक्वेशन को हमने लिख दिया इसमें दोनों तरफ लाप्लास ले लिया तो यहां पर देखो यहां लाप्लास ऑफ इंटीग्रल वाला कॉन्सेप्ट ग जाएगा लाप्लास ऑफ इंटीग्रल वाला कॉन्सेप्ट यहां पर ग जाएगा तो लाप्लास ऑफ इंटीग्रेशन क्या होता था लाप्लास ऑफ एफबी / पी होता था ना पी से डिवाइड कर देते थे तो वही वाला कॉन्सेप्ट यहां पर ग जाएगा कुछ और नया नहीं है भाई यहां पर नया इतना है की आपको इसका लास्ट लेना है सन तीता तो आसन है इसका लाभ लास्ट लेना है तो इसका लाप्लास कितना होगा वही बार अपन पी हो जाएगा मतलब एफबी / पी याद है ना इंटीग्रेशन का लाभ प्लस क्या होता था एफबी / पी तो यहां पर वाला फॉर्मेट ग जाएगा बस बाकी तो आगे आसन है यहां से हवाई बाहर निकाल लेंगे और ए बार निकालना के बाद इसका इन्वर्स ले लेंगे तो र का जब आप इन्वर्स लेंगे अब यहां पर देखो अगेन एक क्वाड्रेटिक फैक्टर है और एक क्वाड्रेटिक फैक्टर लाइनर फैक्टर है वो भी रिपीटिंग वाला तो यहां पर पार्सल लगाना पड़ेगा देखिए कन्वॉल्यूशन नहीं लगा सकते हैं यहां पर कन्वॉल्यूशन में दिक्कत हो जाएगी कन्वॉल्यूशन में आप इसको किसके साथ लेंगे या इसको किसके साथ लेंगे कन्वॉल्यूशन आप तब लगाना जब ऊपर कांस्टेंट नंबर हो या केवल पी हो या p² हो यहां पर आपको पार्सल ही लगाना पड़ेगा और यहां पर देखो पार्शियल का भी सबसे कॉम्प्लिकेटेड वाला कैसे ग रहा है अगर आप ध्यान दें पार्सल का सबसे कॉम्प्लिकेटेड वाला कैसे है एक क्वांटिटी फैक्टर और एक लाइनर फैक्टर का लाइनर रिपीटिंग फैक्टर है तो यहां पर आप पार्सल क्षेत्र करेंगे ए बी सी दी की वैल्यू निकलेंगे इसमें वापस पट कर देंगे पट करने के बाद तब जाकर के आपको क्या मिलेगा देखो यहां तक कितना लंबा इसमें हो गया ए बी सी डी फिर ए बी सी दी की वैल्यू को यहां पर सब्सीट्यूट कर देंगे तब जाकर आपको आंसर मिलेगा तो क्वेश्चन बहुत जल्दी है पेशेंट चाहिए करने के लिए है ना और थोड़ा सा मेहनत आपको करनी पड़ेगी अगर आप चाहते हैं की ये क्वेश्चन आप कर लेने ठीक है अब इसमें देखो इसमें क्या नया ए गया इसमें यह तो डेफिनेशन इक्वेशन तो से ही है इसमें नया ये है की इसमें राइट साइड में यूनिट स्टेप फंक्शन दे दिया तो इसमें यूनिट स्टेप फंक्शन वाला फॉर्मूला भी ग जाएगा कुछ और नया नहीं है ठीक है ना तो इसमें आपको यूनिट स्टाफ फंक्शन का फॉर्मूला लगाना पड़ेगा ये रहा 1 / वी ए की पावर -आप बाकी इसमें कुछ नया नहीं है बाकी सब करने का प्रोसीजर एकदम से है तो इस तरह से ये अभी एक एप्लीकेशन पुरी हुई इसकी एक एप्लीकेशन कौन सी ये ये हम कंप्लीट कर चुके हैं तो सॉल्व ऑर्डिनरी डिफरेंशियल इक्वेशन तो जितने ज्यादा से ज्यादा क्वेश्चन आप कर सकते हैं इसमें देखो मैंने इसमें हर वैरायटी का क्वेश्चन दे रखा है कोई क्वेश्चन डिलीट नहीं किया अगर आपको जितने क्वेश्चन मैंने यहां दे रखें हैं अगर आप सबको सॉल्व कर लेते हैं तो मुझे नहीं लगता इसके अलावा कोई और क्वेश्चन आपको करने की जरूर है या तो क्वेश्चन आपका एनीमीज ए जाएगा और अगर आगे आईटी इसे नहीं आएगा तो इनके जैसा आएगा अलग कुछ नहीं आएगा आगे बढ़ते हैं और अब हम चलते हैं अब हम देखते हैं की अगर साइमन टेनिस इक्वेशन दे रखें हो सायमाल्टेनियस डिफरेंशियल इक्वेशन यानी की साइमलटेनियर डिफरेंशियल इक्वेशन को भी हम इन्वर्स सॉरी लाप्लास ट्रांसफॉर्म से सॉल्व कर सकते हैं कैसे सॉल्व करेंगे जरा ध्यान दीजिए और इसमें कुछ नहीं है से ये ऑलमोस्ट 90% कम वही करना है जो हम अभी करते ए रहे थे ठीक है ना देखो कैसे आप अच्छे से जानते हैं की जब सिमेन्टेनियस इक्वेशन थी वो डिफरेंशियल इक्वेशन तो यहां पर आपको दो डिफरेंशियल इक्वेशन जिवन होगी और यहां पर जो दोनों डिफरेंशियल इक्वेशन जिवन होगी या तो वो फर्स्ट ऑर्डर की होगी या सेकंड ऑर्डर यहां थर्ड ऑर्डर भी नहीं आएगा तो स्टेप नंबर वन तो पहले से ही है हमारा की टेकिंग लाप्लास ट्रांसफार्मर बोथ साइड ऑफ डी जिवन डिफरेंस जिवन होगी आपको दोनों डिफरेंस में दोनों तरफ लाप्लास लेना सबसे पहले तो जब आप दोनों तरफ लाप्लास लेंगे तो देखो क्या होगा एक एक क्वेश्चन आपको एक्स में दी होगी एक ए में दी होगी एक एक्स में दी होगी और एक ए में तो एक्स वाली डिफरेंशियल इक्वेशन है तो स्टेप नंबर वन से स्टार्ट नंबर तू अप्लाई डी फार्मूले ऑफ लाप्लास ट्रांसफॉर्म और जिवन कंडीशन स्टेप नंबर तू से ही है भाई आपको लाप्लास ट्रांसफॉर्म के फार्मूले लगाने जिवन कंडीशन को अप्लाई करना है आगे बढ़ो उसके बाद सॉल्व इक्वेशन नंबर थ्री और फोर बाई एलिमिनेशन मेथड अब सीधी सी बात है साइमन टीनएजर डिफरेंसल इक्वेशन है तो हमें यहां पर एलिमिनेशन मेथड लगाना पड़ेगा दोनों इक्वेशन को आपस में सॉल्व करने के लिए और सॉल्व करके हमें निकालना पड़ेगा एक्स बार और ए बार और एक्स बार और ए बार जब हमारे पास ए जाएगा तो उसके बाद हम दोनों का इन्वर्स ले लेंगे तो हमारे पास एक्स और ए ए जाएगा ठीक है ना अच्छा यहां पर ध्यान रखना ये जो दो फार्मूले हैं ये दोनों फार्मूले कन्वॉल्यूशन वाले टॉपिक में आए थे वहां पर ये दोनों के दोनों क्वेश्चन थे इन दोनों क्वेश्चन को कन्वॉल्यूशन वाले जो टॉपिक था हमारा ये दोनों क्वेश्चन वहां पर दिए गए हैं लेकिन एप्लीकेशन के कैसे में ये दोनों फार्मूले की तरह उसे करते हैं बात समझ में ए गई अगर कहानी पर भी आपको पी / p² + a² का होल स्क्वायर का इन्वर्स लिखना हो तो आप डायरेक्ट लिख सकते हैं इसी तरह से 1 / p² + a² का होल स्क्वायर लिखना हो तो इसको भी आप डायरेक्ट लिख सकते हैं इनको डायरेक्ट ले सकते हैं कन्वॉल्यूशन थ्योरम में दिए गए हैं मैंने कराया भी ये वाला कराया मैंने और ये वाला डीपी भी मैं दे रखा है क्लियर है तो ये दोनों यहां पर फार्मूले की तरह उसे होंगे ऐसा नहीं की इसमें इससे पहले जो मैंने आपको डिफरेंशियल इक्वेशन अभी भी बताया उनमें भी एक दो क्वेश्चन के अंदर ये दोनों फार्मूले उसे हुए हैं आप ध्यान से देख लेना एक बार चलिए अब इसका क्वेश्चन देखिए सॉल्व डी सिमुल्टेनियस यहां पर हमें सोलर सिमुल्टेनियस इक्वेशन में लाप्लास ट्रांसफॉर्म देखो एक डिफरेंशियल इक्वेशन ये है और दूसरे डिफरेंशियल इक्वेशन ये दोनों को सॉल्व करना है अंदर डी कंडीशन कंडीशन यहां पर दी गई है देखो ये फर्स्ट ऑर्डर की डिफरेंस है इक्वेशन है तो फर्स्ट ऑर्डर के डिफरेंशियल इक्वेशन है तो हमारा एक्स जीरो से और ए जीरो से कम चल जाएगा यहां पर एक्स दास और ए' की जरूर नहीं है अगर सेकंड ऑर्डर की होती तो हमें एक्स दास और ए' भी चाहिए होता क्लियर है चलिए तो सबसे पहले जिवन कंडीशन लिख दे फिर उसके बाद जिवन डिफरेंशियल इक्वेशन लिख दें उसके बाद दोनों का लाप्लास ले लिया दोनों तरफ तो टेकिंग लाप्लास ट्रांसफॉर्म और लाप्लास लेने के बाद जिवन कंडीशन को अप्लाई कर दिया फार्मूले अप्लाई कर दिए अब क्योंकि राइट हैंड साइड जीरो है तो लाप्लास का फॉर्मूला तो कोई बनेगा ही नहीं हां कंडीशन लगा देना कंडीशन लगाने के बाद एक इक्वेशन ये आई और दूसरी इक्वेशन मेरे पास ये ए गया एक को मैंने बोल दिया थ्री इक्वेशन नंबर फोर अब क्या करें अब इन दोनों इक्वेशन को थ्री और फोर को क्या करना है सॉल्व करना है यही हमारा स्टेप था भाई हमने क्या क्या किया देखो हमने ये पहले स्टेप पूरा कर दिया दूसरा कर दिया जीवन कंडीशन अप्लाई कर दिया अब हमें इक्वेशन नंबर थ्री और फोर को सॉल्व करना है और सॉल्व करके एक्स बार और ए बार निकालना इक्वेशन नंबर थ्री एलिमिनेशन मेथड लगाना है वो आपको अच्छे से लगाना आता है तो देखो यहां पर र का कॉएफिशिएंट पी है यहां पर ए का कॉएफिशिएंट है तो एक कम करो इसको पी से मल्टीप्लाई कर दो इसको किस मल्टीप्लाई कर दो पी से है ना और दोनों को क्या कर दो सब्सट्रैक्ट कर दो एक ऑप्शन तो ये है दूसरा ऑप्शन ये है यहां पर एक्स का कॉएफिशिएंट पी है और यहां पर एक्स का कोई चैन वन है तो एक कम करो आप इसमें पी से मल्टीप्लाई कर दो दोनों को एड कर दो मतलब आप ए के को फिश ए को भी एलिमिनेट कर सकते हैं और एक्स को भी कर सकते हैं दोनों चॉइस आपके पास है आप जो भी करना चाहें ऐसा करने से आपको क्या मिल जाएगा र मिल गया और इस र को आप किसी भी इक्वेशन में पट करेंगे आपको एक्स बार मिल जाएगा तो देखो ए बार भी मिल गया एक्स बार भी मिल गया अब दोनों तरफ क्या करो इनका इन्वर्स ले लो तो आपके पास एक्स भी मिल जाएगा ए भी मिल जाएगा ये है पूरा प्रोसेसर क्वेश्चन को करने का एक और क्वेश्चन देख लेते हैं हां देखिए इसके राइट हैंड साइड जीरो नहीं है ठीक है और यह फर्स्ट ऑर्डर की डिफरेंस दे रखा है बस इसमें जब आप देखो जिवन कंडीशन दे दे फिर आपको जिवन डिफरेंशियल इक्वेशन भी दे दे दोनों तरफ आप लाप्लास लेंगे तो जब आप दोनों तरफ लाप्लास लेंगे तो ध्यान रखना इसमें आपको 2t का लाप्लास लेना पड़ेगा टीका लाप्लास 1 / p² होता है तो ये इक्वेशन नंबर थ्री हो गए ऐसे इक्वेशन नंबर फोर बनेगी दोनों को आपस में सॉल्व कर लेंगे सिमिलर क्वेश्चन है एकदम देखो आसन है ये क्वेश्चन फर्स्ट लैंग्वेज जरूर है लेकिन आसन है ठीक है नेक्स्ट क्वेश्चन देखो यहां पर इसमें देखो ये भी फर्स्ट ऑर्डर की डिफरेंस है यहां पर भी देखो दोनों डिफरेंशियल इक्वेशन फर्स्ट ऑर्डर की है आपको कंडीशन भी दे राखी है ठीक है सॉल्व करना है बस इसमें और में जाकर एक नई चीज आपसे पूछी है क्या पूछिए की सो डेट सो यूजिंग ट्रांसपोर्टेशन ट्रांसपोर्टेशन का उसे करके आपको उसे शो करना है की जो देखो क्वेश्चन पहले ध्यान से सुन रहे हो एक बार डी कोऑर्डिनेटर एक्स कोमा भाई कोर्डिनेट है और फिर पार्टिकल मूविंग अलोंग डी प्लेन कर्व आते अन्य टाइम टी आर जिवन बाई एक्चुअल में क्या है किसी कोई पार्टिकल है जो किसी कर्व के अलोंग मूव कर रहा है और उसे पार्टिकल की जो पोजीशन है किसी पर्टिकुलर टाइम टी पर वो इन दोनों डिफरेंशियल इक्वेशन की हेल्प से दी गई है ठीक है ना उसके बाद क्या आता है आईटी इसे जिवन डेट यहां पर कंडीशन दे दी की जब टी = 0 था तब एक्स की वैल्यू वन थी और ए की वैल्यू जीरो थी ये कोऑर्डिनेटर है तो आपको ये शो करना है यूजिंग ट्रांसपोर्टेशन डेट डी पार्टिकल मऊ अलोंग डी कर आपको ये प्रूफ करना है की पार्टिकल के अलावा मूव कर रहा है कैसे प्रूफ करेंगे पहले आप क्या करो इन दोनों डिफरेंशियल इक्वेशन को सॉल्व कर लो सॉल्व करने के बाद आपको एक्स और ए मिलेगा उसे एक्स और ए को उठाकर इसकी लेफ्ट साइड में रख दो अगर एक्स और ए को लेफ्ट साइड में रखना पे आपको फोर मिल जाता है तो इसका मतलब आपने प्रूफ कर दिया की पार्टिकल इस पाठ के अलावा मूव कर रहा है भाई सीधी सी बात है जो एक्स और ए आपने कैलकुलेट किया है इन दोनों डिफरेंशियल इक्वेशन से अगर वो एक्स और ए की वैल्यू इसमें लेफ्ट पे रखना लेफ्ट साइड में रखना पे अगर वो फोर वैल्यू ए जाति है तो इसका मतलब दोनों साइड इक्वल हो गई इसका मतलब पार्टिकल इस पास से क्या कर रहा है मूव कर रहा है देखो पहले मैंने इसमें एक्स और ए निकाला देखो ये ए गया हमारे पास एक्स और ये ए गया ए उसके बाद मैंने क्या किया इन एक्स और ए को उठा के इसके लेफ्ट साइड में पट कर दिया और इसको सॉल्व कर सॉल्व करने के बाद देखो फोर ए गया हमारे पास तो हमने का दिया की एलएस रहा बराबर है इसका मतलब पार्टिकल जो है मूव कर रहा है जिवन पास से ठीक है तो इस तरह से आप यह क्वेश्चन आसानी से सॉल्व कर सकते हैं ठीक है तो देखो यहां पर जो एप्लीकेशन आपको इसमें सॉल्व करनी है ऑर्डिनरी क्वेश्चन लेंगे लेकिन अगर आपको लाप्लास ट्रांसफॉर्म का बेसिक आता है इन्वर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म का भी बेसिक आता है तो आपको क्वेश्चन करने में कोई दिक्कत नहीं होगी तो अगर आप चाहते हैं की आप लाप्लास ट्रांसफॉर्म को बहुत अच्छे से कर लेने तो मैं आपको फिर से बार-बार वही बोलूंगा की आपको लाप्लास ट्रांसफॉर्म के सेवन जो बेसिक फार्मूले हैं उनको पढ़ो उनको याद करो उनके ऊपर बेस क्वेश्चन सॉल्व करो उसके बाद लाप्लास ट्रांसफॉर्म की तीन प्रॉपर्टी है तीनों को पढ़िए उन तीनों का उसे करना सीखें खासकर फर्स्ट शिफ्टिंग प्रॉपर्टी का उसके बाद वहां पर आपके पास छोटे-छोटे और भी पॉइंट आते हैं की अगर हम टी की पावर एन से मल्टीप्लाई कर दें टी से डिवाइड कर दें या डेरिवेटिव का लाप्लास क्या होगा इंटरनल वाला क्लास क्या होगा और यही साड़ी चीज फिर इन्वर्स में भी आएंगे तो अगर ये साड़ी चीज आप अच्छे से सिख लेते है तो फिर आपको कोई प्रॉब्लम नहीं होगी फिर आपको लाप्लास आसन लगेगा ठीक है तो अभी जितने भी क्वेश्चंस मैंने आपको बताए हैं उनको अच्छे से प्रैक्टिस करिए अगर देखिए यहां पर मैंने जो इंपॉर्टेंट टॉपिक थे जैसे पार्शियल फ्रैक्चर कन्वुलेशन एप्लीकेशन इनके जो क्वेश्चन मैंने यहां पर आपको दिए हैं ये क्वेश्चन सफिशिएंट है अगर आप इतने कर लेंगे तो आप कोई भी क्वेश्चन कर सकते हैं हां स्टार्टिंग का जो पार्ट था उसमें से मैंने नंबर ऑफ क्वेश्चन कम कर दिए थे लेकिन उसमें भी आपको अगर उतने भी क्वेश्चन कर लेंगे ना तो आपका बेसिक क्लियर हो जाएगा जब बेसिक क्लियर हो जाएगा तो आप आगे के क्वेश्चन सॉल्व कर सकते हैं ठीक है तो चलिए अब आपका एग्जाम बहुत जल्द ज्यादा समय नहीं बच्चा है तो आप समय ना खराब करें और बहुत अच्छे से अपनी तैयारी करें रिवीजन बार-बार करें क्योंकि अगर आप किसी यूनिट को एक बार पढ़ लेते हैं और उसको रिवाइज नहीं करते हैं तो आपको सेमेस्टर एग्जाम में क्या होगी दिक्कत होगी देखिए बहुत ज्यादा टू नहीं है मैथमेटिक्स बहुत ज्यादा टू नहीं है बस मैथमेटिक्स में आपको प्रैक्टिस की जरूर है आप रेगुलर प्रैक्टिस करेंगे तो आपके बहुत अच्छे मार्क्स ए जाएंगे ओके थैंक यू सो मैच