Limiti Notevoli

Introduzione ai Limiti Notevoli

• I limiti notevoli sono forme indeterminate classiche che, una volta conosciute, ci permettono di risolvere una vasta gamma di altri limiti.

Limiti Notevoli Fondamentali

1. Limite di seno:

   [ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 ]

   • Forma indeterminata: ( 0/0 )

2. Limite esponenziale:

   [ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e ]

   • Dove ( e \approx 2.718 )

Altri Limiti Derivati

1. Limite della Tangente

• [ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 ]_

• Dimostrazione:
  • Riscrivere ( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} )
  • Risultato finale: 1

2. Limite del Coseno

• [ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} ]_

• Dimostrazione:
  • Moltiplicare e dividere per ( 1 + \cos x )
  • Risultato finale: ( \frac{1}{2} )

Esempi di Applicazione

Esempio 1:

• Calcolare: [ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x + 4x}{x \cos x + 2 \sin x} ]
  • Risultato: 2_

Esempio 2:

• Calcolare: [ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos x} - \cos^2 x}{2x^2} ]
  • Risultato: ( \frac{1}{2} )_

Limiti Importanti dal Secondo Limite Fondamentale

1. Logaritmo Naturale:

   [ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 ]

2. Limite della Potenza:

   [ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a ]

3. Logaritmo in Base a:

   [ \lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} = \frac{1}{\ln a} ]_

Conclusioni

• I limiti notevoli e le loro conseguenze sono strumenti fondamentali per risolvere limiti in analisi matematica. È consigliabile memorizzarli per facilitare la risoluzione di esercizi.
• Prossimo video: esercizi avanzati sui limiti notevoli.