Appunti sulla Circonferenza in Geometria Analitica

Definizione

• Circonferenza: luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto dato (centro).
• Luogo geometrico: insieme di punti che condividono una stessa proprietà.
• Importante: specificare che ci riferiamo al piano, altrimenti in uno spazio tridimensionale si descriverebbe una superficie sferica.

Differenza tra Circonferenza e Cerchio

• Circonferenza: perimetro del cerchio.
• Cerchio: superficie interna delimitata dalla circonferenza, che include tutti i punti all'interno.
• La circonferenza divide il piano in due regioni:
  • Superficie interna (cerchio).
  • Superficie esterna (illimitata).

Formule Importanti

• Lunghezza della circonferenza: L = 2πR
• Area del cerchio: A = πR²
• Queste formule sono utili anche se non tipicamente introdotte in geometria analitica.

Equazione della Circonferenza

• Per ricavare l'equazione, consideriamo un sistema di coordinate.
• Distanza di un punto P (x,y) dal centro (x₀,y₀) è uguale al raggio R:
  • Formula distanza: ( R = \sqrt{(x - x₀)² + (y - y₀)²} )
  • Elevando al quadrato: ( (x - x₀)² + (y - y₀)² = R² )

Forma Canonica dell'Equazione

• Sviluppare i quadrati e riordinare:
  • ( X² + Y² - 2x₀X - 2y₀Y + C = 0 )
• Dove:
  • ( A = -2x₀ )
  • ( B = -2y₀ )
  • ( C = x₀² + y₀² - R² )

Determinazione del Centro e del Raggio

• Dato l'equazione in forma canonica, trovare:
  • Centro: ( (x₀, y₀) )
    • ( x₀ = -A/2 )
    • ( y₀ = -B/2 )
  • Raggio: ( R = \sqrt{x₀² + y₀² - C} )

Rappresentazione nel Piano Cartesiano

1. Equazione fornita nella prima forma:

   • Riconoscere il centro e il raggio a vista.
   • Esempio: se ( R² = 4 ) allora ( R = 2 ).

2. Equazione in forma canonica:

   • Calcolare il centro e il raggio usando le relazioni precedenti.
   • Esempio: per ( x² + y² - 4x - 2y + 1 = 0 ), il centro è (2, 1) e il raggio è 2.

Casi Particolari

• Se ( A = 0 ): centro sull'asse Y.
• Se ( B = 0 ): centro sull'asse X.
• Se ( C = 0 ): la circonferenza passa per l'origine.

Conclusione

• Nel prossimo video si discuteranno vari esercizi sulle circonferenze.
• Possibilità di fare domande nei commenti.
• Invito a mettere mi piace e controllare il canale per ulteriori video.