नीट परीक्षा के लिए फिजिक्स क्रैश कोर्स

कि हलो बच्चों क्या हल चाहिए बढ़िया एकदम सब्सक्राइब टू आफ ब्यूटिफुल से चैनल फिजिक्स वाला मेरा नाम है अलग पांडे और मैं आया हूं आपको एक छोटी सी उमीत देने आपके नीट के एग्जाम के लिए तो आज से हम स्टार्ट कर रहे हैं अपना उमीद बैच जो की है फिजिक्स का क्रैश कोर्स फॉर योर नीच एग्जाम्स तो आज हमारे क्रैश कोर्स के फर्स लेक्चर में हम स्टार्ट करेंगे बेसिक मैच्चर Mathematics के साथ, Actually यहां से कोई Direct Question तो Neat में नहीं आता, पर, बहुत सारे Question ऐसे आते हैं, जो Basic Maths के Help से ही Solve होते हैं, मैंने कई बार बच्चों को देखा है, कि उनको सारे Concepts अच्छे से आते हैं, फिर भी वो, Question Solve नहीं कर पा रहे हैं, क्यों? क्योंकि उस Question में कहीं कोई Differentiation है, कहीं उस Question में एक छोटा सा Integration है, कहीं Trigonometry का कोई Formula लगा है, कहीं कोई Maximum, Minimum निकालने को पूछा है, सवाल आपके आने वाले चाप्टर्स में आपको मिलेंगे जिसमें basic maths का application होगा तो इस lecture को seriously लेना इसको अच्छे से देखना और lecture देखने के बाद आप इस lecture के pdf notes भी download कर सकते हैं कहां physics वाला mobile app से physics वाला mobile app में जाकर आप batches section में जाएंगे और batches section के अंदर आपका कौन सा batch ह उमीद बैच के अंदर क्लिक करेंगे, क्लिक करते ही ओप्शन आएगा बाय नौ का, तो बाय नौ नहीं करना है, खरीदना नहीं है, बाय नौ पे आप जैसे ही क्लिक करोगे, आटोमेटिकली आप सब्सक्राइब हो जाओगे बैच को, तो बाय नौ के बटन पे क्लिक करने पे मिलेगी एक practice sheet practice sheet में होंगे उस lecture पे based बढ़िया सवाल यानि lecture को अच्छे से देखना है lecture के अंदर के questions को practice करना है और उसके बाद physics वाला mobile app पे जाके batches section में जाके उमीद batch में by knock button दबाना है zero fee है कोई पैसा नहीं है totally free है और वहाँ से practice sheet डाउनलोड करनी है और उसको भी solve करना है solid तयारी करनी है ये सारी बाते follow करोगे तो definitely select होगे definitely physics में 160 plus लेके आप याओगी अच्छा, अब हो सकता हो lecture बहुत अच्छे समझ में आया, lecture की questions बहुत अच्छे समझ में आया, practice sheet में भी मज़ा आ रहा पर, practice sheet के कुछ percentage of questions solve नहीं हो रहे हैं, अब क्या करें, so मैं आपको बताना चाहूँगा कि physics वाला की mobile app में, उमीद batch के उपर practice sheet के video solutions भी आपको next day के अंदर मिल जाएंगे, यानि आज की practice sheet के solution आपको कल मिल जाएंगे, physics वाला app में, उमीद batch के अंदर, and that's again free. तो यहाँ पे किसी भी चीज का कोई चार्ज नहीं है, पढ़ाई कोई स्टार्ट करते हैं, शुरू किया जाए, चलिए तो आज हम लोग स्टार्ट कर रहे हैं बच्चो basic mathematics, आज का goal क्या है, एक तो basic trigonometry पढ़ेंगे, differentiation पढ़ेंगे और integration पढ़ेंगे वैसे basic maths में पढ़ाने को बहुत कुछ पढ़ाया जा सकता है, पर मैं, क्योंकि यह crash course है, और यहाँ पे मैं पढ़ाऊंगा आपको बहुत ही relevant topics, स्टार्ट करते हैं सबसे पहले basic trigonometry के साथ आजा basic trigonometry तो सबसे पहले some standard values of sin theta, cos theta and tan theta तो यह आपको values तो याद ही होंगी है ना 0 degree, 30 degree 45 degree, 60 degree and 90 degree यह तो सबी को याद होगा sin 0 is 0, sin 30 is half sin 45 is 1 by root 2, sin 60 is root 3 by 2, sin 90 is 1 इस तरह से cos की value cos 0 is 1, cos 30 is root 3 by 2 cos 45 is 1 by root 2, cos 60 is half, cos 90 is 0 10 theta की value 10 0 is 0, 10 30 is 1 by root 3, 10 45 is 1, 10 60 is root 3 and 10 90 is not infinity, undefined, 10 90 defined नहीं है, इनके reciprocal ratios आपको पता होंगे, sin theta का reciprocal cosec, cos theta का reciprocal sec और tan theta का reciprocal cot, clear एकदम, sin का reciprocal cosec, cos का reciprocal sec और tan का reciprocal cot, ये values आपको याद होंगी, definitely, अब मैं कह रहा हूँ आप ये दो values और पकड़ लो। एक 37 degrees की value और एक 53 degrees की value। बहुत असान है। जो सबसे famous triangle बच्चपन से देखते आ रहे हैं, Pythagorean triplet 3, 4, 5 वाला। 3, 4, 5 वाला। इसमें 3 के सामने जो angle होता है वो होता है 37 degree। और 4 के सामने जो angle होता है वो होता है 50 degree। थ्री डिग्री याद कर लेंगे बढ़िया स बच्चो छोटी साइड के सामने छोटा एंगल, बड़ी साइड के सामने बड़ा एंगल, 3, 4, 5, छोटी साइड कौन सी है 3, 3 के सामने छोटा एंगल, 37, 4 बड़ी साइड है उसके सामने बड़ा एंगल, 53, यहां से बच्चो आप कुछ और trigonometric ratios, trigonometric values याद कर सकते हो, like sin 37 की value 3 बटे 5 cos 37 कितना हो जाएगा base upon hypotenuse यानि 4 बटे 5 और यहाँ से आप tan 37 भी निकाल सकते हो बच्चो tan 37 क्या हो जाएगा perpendicular by base इस तरह से बच्चो आप sin 53, cos 53 और tan 53 भी calculate कर सकते हो यहाँ से बताओ sin 53 perpendicular upon hypotenuse, cos 53, base 3 upon hypotenuse, and tan 53, finally, tan 53, क्या हो जाएगा, perpendicular upon base, clear है, तो मैं ये नहीं कहूँगा कि triangle बना के निकालना, ये triangle आपके दिमाख में feed होना चाहिए कही एग्जाम में sign 37 की value दिखी तो ये नहीं कि बना रहे है दिमाख में sign 37, 37 के सामने कौन सी छोटी side 3, तो sign 37 3 बटे 5 tan 53, tan 53 ट्रेंगल दिमाग पर बना, 53 के सामने बड़ी वाली साइड, 4, tan 53, perpendicular upon base, 4 बटे 3, clear है एकदम, एकदम clear, बढ़िया है एकदम, चलो आगे बढ़ते हैं, बाई साब इस सीरीज के अंदर तो चुहा खाना महा पाप है, यहां कर ही नहीं सकते हम लोग चुह अगर ये आर्ख है और आर्ख की length L है, radius R है, angle थीटा है, तो बेटा थीटा is equals to चीटा नहीं थीटा, थीटा is equals to L बटे R, और बेटा ये जो थीटा होता है, ये radians में आता है, degree में नहीं, इसमें आता है radians में अब radians क्या होता है जल्दी से आ जाओ जल्दी से आ जाओ 2 pi radians 2 pi यानि complete circle 2 pi यानि complete circle तो बेटा complete circle में कितना angle हुआ 360 degree, तो 2 pi का मतलब 360 degree बस बेटा ये आ गया तो सब आ गया 2 pi 360 degree 2 pi का आधा किया pi तो 2 pi का आधा किया pi 2 pi का आधा किया pi, तो 360 का आधा किया 180, πाई का आधा किया, πाई बाई 2, पाई का आधा किया, पाई बाई 2, तो 180 का आधा किया, 90, पाई बाई 2, अच्छा, पाई का 1 बाई 3 किया, पाई का 1 बाई 3 किया, पाई का 1 बाई 3 किया, तो 180 का भी 1 बाई 3 कर दो, 60 टेकरी, 180 का भी 1 बाई 3, अच्छा, पाई का 1 बाई 4 किया, पाई का 1 by 4, पाई को 4 गुना कम किया, तो 180 को 4 गुना कम कर दो, 45 degree, पाई by 6, पाई को 6 गुना कम किया, 180 को 6 गुना कम किया, ना कम करो, डिवाइट बाई 6 करो, 6, 3, 19, 30 दिग्री, clear हैं ता, याद रहेगा, 2, pi, 360, pi, 180, pi by 2, 90, pi by 3, 60, pi by 4, 45, and और पाइ बाई 6 सबसे छोटी value इस तरह की जो होती है 30 degree, standard value इसके अंदर है, इसे तो और कोई भी value हो सकती है, practice sheet के अंदर इसके सवाल मैंने दिये हैं, तो practice sheet को जरूर से download करो आप में जाके, और इसको जरूर से solve करो, clear है, radian 2 degree, degree 2 radian, clear है एकदम, यह आद रखेंगे, 2 pi 360, pi 180, pi by 2, 90, pi by 3, 60, pi by 4, 45 and pi by 6, 30 degree, रखेंगे इसके सिवा कोई value आई तो आप convert अपने आप कर लेंगे unitary method लगा करें कि pi से इतना होता है तो किस से कितना होगा चालो next trigonometric identities beta मतलब जो हमेशा true हो तो तीन identities होती है पहली sine square theta plus cos square theta is equals to 1 दूसरी sex square theta minus tan square theta is equals to 1 और तीसरी cosec square theta minus cot square theta is equals to 1 सबको याद होगा बहुत बेसिक था यह ठीक है तो यह सबको याद होने चाहिए मेरे ख्याल से पहले से ठीक है इसके बाद आगे डबल फॉर्मुले पे ये सब चीज़े बच्चे छोड़के जाते हैं रटलो आगे बहुत मज़ा आएगा रटलो जहां दूलोग लगता नहीं कि यार ये कॉश्चन तो हो गया था बस यार ये फॉर्मुला नहीं हो दादा तो यही आजका लेक्चर का इंपोर्टें 2 sin theta cos theta simple sin 2 theta 2 sin theta cos 2 theta का formula cos square theta minus sin sin2 θ, cos2 θ, sin2 θ की जगे आप 1-cos2 θ भी रख सकते हो, यह सौनो, sin2 θ की जगे क्या रख सकते हो, cos2 θ को जगे ले जाओ, 1-cos2 θ, तो minus 1, minus minus, plus cos2 θ, तो एक formula यह भी बनेगा, 2cos2 θ-1, sin2 θ को हटा दिया, इसी की जगा आप cos2 θ की जगे रख सकते हो, जगे 1 minus sin square theta भी रख सकते हो, so 1 minus sin square theta minus sin square theta यानि 1 minus 2 sin square theta, तो ये तीनों formula याद रखने है cos 2 theta के, cos square theta minus sin square theta formula किसका है, cos 2 theta का इसलिए देखो cos वाला positive cos square theta minus sin square theta, 2 cos square theta minus 1, और 1 minus 2 sin square theta, बढ़िया इसके बाद tan 2 theta आके tan2 theta, 2 tan theta, upon 1 minus tan square theta, 2 tan theta, upon 1 minus tan square theta, clear? 3 formulae दिमाग में बैट गए, sin2 theta, 2 sin theta, cos theta, cos2 theta, cos square theta, minus sin square theta, या 2 cos square theta, minus 1, या 1 minus 2 sin square theta, tan2 theta, 2 tan theta, upon 1 minus tan square theta, आगे बढ़ते हैं बेटा, addition formula ये सब तो एकदम ignore किया जाता है नहीं बढ़िया से आद होना चाहिए बढ़िया से आद होना चाहिए sin a plus b sin a plus b sin a cos b plus cos a sin b simple sin a plus b sin a cos b plus cos a sin b sin a minus b एकदम same रहेगा यहाँ पे minus आ जाएगा एकदम same साइन ए कॉस बी माइनस कॉस ए साइन बी ठीक है तो साइन में क्या होता है साइन ए प्लस बी साइन ए कॉस बी प्लस कॉस ए साइन बी साइन ए माइनस बी साइन ए कॉस बी माइनस कॉस ए साइन बी कॉस में थोड़ा खेल अलग है, कॉस A प्लस B, कॉस कहता है हम साथ रहेंगे, तो कॉस A प्लस B, कॉस A, कॉस B, और अगर प्लस लगा है ना, तो कॉस थोड़ा सा है ही उल्टे दिमाग का, तो यहाँ पे आएगा माइनस साइन ए साइन बी देखो पढ़ते वक्त भी हम लोग साइन थीटा वो सबसे पहले लिखते हैं कॉस उल्टे होता है थोड़ा सो कॉस एक तो साथ में रहता है कॉस एक कॉस बी और जहां प्लस है वहाँ पे माइनस आता है कॉस ए माइनस बी साथ में कॉस ए कॉस बी प्लस साइन ए साइन भी यह एडिशन फॉर्मलेज हो गए तेरे साइन ए प्लस भी साइन वाला बढ़िया साइन ए कॉस भी प्लस कॉस ए साइन भी साइन ए माइनस भी साइन ए कॉस भी अच्छा माइनस है माइनस कॉस ए साइन भी कॉस ए प्लस भी कॉस हम साथ-साथ रहेंगे कॉस ए कॉस भी बीच में अगर प्लस लगा है तो यहां माइनस साइन ए साइन भी कॉस ए माइनस भी कॉस कैसा है साथ-साथ तो कॉस ए कॉस भी माइनस लगा है तो प्लस उल्टे दिमाग का प्लस साइन बहुत बढ़ी आगे देखो गती तो रहेगी दो साल का काम करना है अपने को 60 दिन के अंदर तो गती तो रहेगी आगे बढ़ते हैं कई लोग करें गती कौन है हे अब तो बाहर निकलो इससे हे 10a plus b तो बेटा 10a plus b is 10a plus 10b ओके this is very nice sir this is very cute 10a plus b is 10a plus 10b divided by 1 minus 10a 10b उपर tan a plus tan b एकदम simple, a plus b tan a plus tan b, नीचे 1 minus tan a tan b, अब देखो जरा tan a minus b, दिमाग लगाओ, tan a minus b, sir tan a minus tan b, yes, correct, tan a minus tan b, और नीचे क्या होगा, 1 plus tan a tan b, मतलब नीचे वाला उल्टा हो जाता है, नीचे वाला उल्टा हो जाता है देखो मैं सिर्फ साइन कॉस्ट टैन का क्यों बता रहा हूं क्योंकि इनके रेसि प्रेज करी लोगे ना अब मानलो सेक ए प्लस बी लिखा है तो का करेंगे मास्टर सेक ए प्लस बी में का करेंगे बिट आप कॉस ए प्लस बी निकाल लेना और उसका रेसिप्रोकल कर देना सेक ए प्लस बी आजाएगा सो टैन ए माइनस बी टैन ए माइनस टैन बी और नीचे इसका उल्टा साइन, यहाँ minus लगा है तो नीचे plus हो गया, यहाँ plus लगा है तो नीचे minus, 10a plus b, 10a plus 10b, upon 1 minus 10a, 10b, 10a minus b, 10a minus 10b, upon 1 plus 10a, 10b, तो I hope यह formulas आपने memorize कर लिये हैं, नहीं किये हैं, तो जल्दी से memorize करो, हम लोग सवाल करने जा रहे हैं, 1, 2, 3, 4, 5, find the value of, सबसे पहले sign 15 degree की value, साइन 30 पता था, 15 कैसे निकलता है? साइन 15, ओई हुल हुल हुल साइन 15 डिग्री कैसे निकालेंगे? साइन 15 डिग्री बहुत असान है क्या मैं साइन 15 डिग्री को यू लिख सकता हूँ? बोलो, साइन 15 को क्या मैं साइन 45 माइनस 30 लिख सकता हूँ? ये क्या हो गया? साइन A माइनस V साइन A माइनस V साइन A माइनस V वाइया क्या फॉर्मला है साइन A माइनस V का? साइन A कॉस B माइनस कॉस A साइन V कि साइन ए माइनेस बी साइन ए कॉस बी माइनस कॉस ए साइन बी बेटा वैलू देंगे साइन 45 की वैल्यू कितनी होती है वन बाई रूट टू कॉस 30 डिग्री की रूट 3 बाई टू माइनस कॉस 45 वन by root 2, sin 30 degree 1 by 2, तो देखो ये 2 root 2, 2 root 2 तो LCM तो हो गया 2 root 2 2 root 2, 2 root 2 कहां से करूँ मैं प्यारे शुरू 2 root 2, इधर क्या है बेटा root 3 और इधर क्या है, minus 1, clear है, 2 root 2 हो गया LCM, यहां root 3, यहां minus 1, root 3 minus 1 upon 2 root 2, sign 15 मिल गया, इसके बाद tan 75 degree, यह तो ऐसा हो गया जैसे डीजे नहीं होते, डीजे राकेश, डीजे, डीज, टून, ट� यह नियुक्त प्लस थर्टी प्लस टैन बी प्लस तीस पचचतर तो क्या लिख सकते हैं बेटा इसको हम लोग टैन ए प्लस टैन बी अपन वन मालिनस टैन ए टैन बी बोलो हाँ की ना, हाँ मास्टर, अगला पेज खाली था मास्टर, यहां क्यों आपने कूडा कर दिया, क्योंकि कूडा करने में मास्टर को मज़ा आता है, आजा बेटा नेक्स पेज में मेरे साथ, आजा आजा, हाँ, तैन 75 डिग्री, इस इक्वल्स टू, तैन 45 प्लस 30, ठीक है, तो इतना हो जाएगा, तैने, प्लस टेन बी अपन वन माइनस टेन ए टेन बी तो 1045 हो गया 1, 1030 1 by root 3, नीचे आओ, 1 minus 1045 1, और 1030 1 by root 3, तो बेटा जी ये कितना हो गया, is equal to, 1 plus 1 by root 3, तो LCM हो गया, root 3, root 3 plus 1, और नीचे, 1 minus 1 by root 3, तो नीचे भी LCM हो गया, root 3, root 3 minus 1, root 3, root 3 cancel, root 3 plus 1, अपन root 3 minus 1 clear है root 3 minus 1 इसके उपर भी आपको practice sheet में और सवाल मिलेंगे तो practice sheet को जरूर से practice करें seat जरूर लगाएंगे बच्चों जैसे coaching की seat लगाते हैं coaching की seat वैसे ही seat जरूर लगाएंगे कि मेरे लिए आप find करो cot 15 degree तो कैसे निकालोगे यार cot 15 sir cot का तो formula पता नहीं है तो cot 15 कैसे निकालें सर हम, है न, how will we find cot 15 degree, तो आप एक काम करो, 10-15 निकाल दो, cot 15 पूछा है न, तो क्या करें, आप 10-15 पे ध्यान दो, और 10-15 मिल जाए, cot 15 क्या होगा, 1 by 10-15, और 10-15 तो आप निकाली सकते हो, क्या होगा, 10-45-30 इसके बाद आप प्रोसीट कर जाओ, 10a-b है ये, तो 10a-10b अपन 1+, 10a-10b, 10-15 मिल गया तो 15, तो reciprocal के मैंने formulas नहीं बताए हैं, बात clear है, बढ़िया से, समझ में आप बताए हैं, आ गई मालो सेक पचचतर डिग्री पूछे सेक पचचतर डिग्री तो अपन क्या निकाल देंगे कॉस पचचतर डिग्री कॉस 45 प्लस 30 कॉस पचचतर मिलते ही 1 अपन कॉस पचचतर कर देंगे तो सेक पचचतर तो मैंने reciprocal के formula देखकर, clear है, quad 15 है तो tan 15 निकाल लो, clear, okay, let's proceed, 4 quadrants and sign convention, यहाँ पे 4 नहीं 4 होगा, फोर नहीं 4, फोर नहीं 4 होगा, तो 4 quadrants होंगे, ठीक है, 4, यह तो लग रहा है मेरट वाले बोल रहे हैं, मेरट वाले, 4 को 4 बोलते हैं न, 4, है न, वोसलो, तो 4 quadrants, shut up, हाँ, 4 quadrants and sign convention, 4 quadrants and sign पता है first coordinate में सारे positive होते हैं all first coordinate में सारे positive second coordinate में सिर्फ sign और sign का उल्टा यानि cosec positive होता है third coordinate ये वाला इसमें सिर्फ tan और tan का उल्टा यानि cot positive होता है fourth coordinate में कॉस और कॉस का उल्टा यानि सेक पॉजिटिव होता है यहाँ पे all, sign, cos, tan और सब के उल्टे सब पॉजिटिव यहाँ बेटा सिर्फ और सिर्फ sign और sign का उल्टा पॉजिटिव यहाँ बेटा tan और tan का उल्टा यानि cot पॉजिटिव यहाँ बेटा cos और cos का उल्टा यानि sec positive, यहाँ पे सारे positive, यहाँ पे sin और sin का उल्टा positive, बाकी सब negative, यहाँ पे tan और tan का उल्टा positive, बाकी सब negative, यहाँ पे cos और cos का उल्टा positive, बाकी सब negative, वैसे ऐसे तो crash course है फिर भी बता दूं, इसको याद करने का तरीका, तो इसको याद करने का तरीका होता है, add sugar to coffee, अब coffee पीते हो तो अच्छी बात है, हम तो चाय वाले हैं, है न, are you a coffee or a tea person, सब लोग लिखते हैं coffee person, अब coffee लगती है कडू, है न, तो add sugar to coffee से याद रखें, च प्लस 270 माइनस 270 प्लस में ट्रिग्नोमेट्रिक रेशियोस चेंज हो जाते हैं यानि साइन का कॉस बनता है कॉस का साइन बनता है टैन का कॉट बनता है साइन का कॉस बनता है कॉस का साइन बनता है टैन का कॉट किसमें 90 माइनस थीटा 270 प्लस थीटा 270 माइनस थीटा 270 प्लस थीटा में साइन का कॉस बनता है कॉस का साइन बनता है टैन का कॉट बनता है और कॉट का टैन बनता है पर आपको साइन ध्यान रखना होगा कि पॉजिटिव का लगाना है कि नेगेटिव का उसके लिए आपको यह पता होना चाहिए क्या था? Add sugar to kadu coffee, है ना? यही तो था, चलो, 90 minus theta, बेटा, 90 minus theta किस quadrant में आएगा? पहले यह सोचो, यहां से यहां गए, 90 minus theta, किस quadrant में आएगा? 90 minus theta किस quadrant में आएगा? First quadrant में आया, ठीक है? First quadrant में आया, बहुत बढ़िया, किस में आया? First quadrant में आया, बेटा, first quadrant के अंदर तो सब positive ह क्वाइडरेंट सारे पॉजिटिव साइन का बन गया कॉर्ड और कैसा रहेगा पॉजिटिव कॉप्पर बन गया साइन पॉजिटिव टैन का बन जाता है कॉट पॉजिटिव 90-90 प्लस 270-270 प्लस में रेशियों सेंज होते हैं साइन का कॉस का टैन फॉर साइन का कॉस का साइन टैन का कॉट का टैन ठीक है अच्छा 90 प्लस में आओ बेटा 90 प्लस थीटा किस कॉडरेंट में आएगा देखो यह 90 डिग्री प्लस थीटा यानि अब सेकंड कॉडरेंट में आ गए है की नहीं है कि नहीं, देखो, 90 प्लस थीटा, यह हुआ 90, और उसमें जोड़ा हमने थीटा, तो 90 प्लस थीटा कहा पहुँच गए बेटा, सेकेंड कॉर्डरेंड में पहुँच गए, साइन 90 प्लस थीटा, पहले तो कॉस लिख दो, साइन का हो जाता है, कॉस, कॉस का हो जाता है, साइन, टैन का हो जाता है, कॉट, कॉट का हो जाता है, टैन, 90 प्लस 90 माइनेस में रेशियो चेंज होता है, तो साइन का बन गया कॉस, बात आती है negative की positive second quadrant के अंदर यहां से check करेंगे इस तरफ से second quadrant के अंदर sign कैसा होता है positive sign और sign का उल्टा positive तो यह कैसा होगा बात समझ में आई अगर sine 90 minus theta 90 plus theta या 270 minus theta और 270 plus theta है, तो पहले तो ratio change कर दो, sine का cos, फिर check करो कि positive की negative, तो बेटा ये कौन सा quadrant है second, second quadrant में sine, इधर से देखेंगे उधर से नहीं, इधर से देखेंगे, sine कैसा है, positive, तो positive लगा दिये, cos 90 plus theta क्या बन जाएगा, sine theta, बेटा cos 90 plus theta के, क्वाडिनेट में है, second coordinate में, second coordinate में cost कैसा है, negative, यहां से sign check करना है, इधर से sign मत चेक करना, कई बार बच्चे इधर से sign चेक करते हैं, यहाँ से, negative, tan 90 plus theta, क्या बन जाएगा, cot theta, second quadrant में beta tan कैसा है, negative, तो यहाँ पे negative, tan negative, तो यह negative, आओ, 270 minus theta, तो बेटा यह 90, 180, 270 minus theta, यानि third quadrant, थर्ड कॉर्डिनेंट में tan और cot positive है ना देखो 90, 180, 270, minus theta यानि थर्ड कॉर्डिनेंट में वापस आ गए clear 270 minus 90, 180, 270, और वापस चले गए, तो 270 minus सीधा third, अब बिटा 270 में भी sin का cos, cos का sin, तो sin 270 minus theta, cos theta, अब सोचो positive की negative, अब ये चीज third coordinate में कैसी है, sin third coordinate में कैसा है, ये third coordinate होता है न, first coordinate, second coordinate, third coordinate, fourth, तो sin third coordinate में कैसा है, negative, सिफ tan और cot positive है, बाकी सब negative, तो यहाँ पे negative, cos 270 minus theta, साइन थीटा अच्छा अब साइन कैसा होगा इसका इस कॉर्डिनेंट में कॉस कैसा है नेगेटिव तो नेगेटिव टैंस टू सेवेंटी माइनस थीटा कॉर्ड थीटा साइन कैसा होगा इस कॉर्डिनेंट में टैन कैसा है पॉजिटिव तो पॉजिटिव टू सेवेंटी प्लस थीटा तो 90 180 270 प्लस थीटा इस कॉर्डिनेंट में आ गए साइन टू सेवेंटी प्लस थीटा किस कॉर्डिनेंट में आ गए फोर्थ में और टू सेवेंटी में रेशो चेंज होता है तो साइन का बन गया कॉस्टी साथ में क्या लगाएंगे fourth quadrant में कौन positive है cos और उसका reciprocal हमें क्या check करना है sign sign कैसा है negative यहां से नहीं check करना है वरना positive लगा दो गया check कहां से करना है बेटा जी check इस side से करना है इस तरफ से sign 270 plus theta 90, 180, 270 plus theta fourth quadrant एक तो 270 है तो change कर दो 90 और 270 में change कर देते हैं कैसा है negative तो negative cos 270 plus theta 270 है तो change कर दू sign बिटा cos theta इस quadrant में कैसा है positive है तो positive tan 270 plus theta cot theta और tan इस quadrant में कैसा है negative सिर्फ cos और उसका reciprocal positive so this is how you work out 90 plus theta 90 minus theta and 270 plus theta and 270 minus theta clear अच्छा इसी तरह से बिटा 180 minus theta और 360 minus theta वनित 180 plus theta, 360 plus theta, 90 and 270 ratio change, 180 and 360 ratio change, 90 and 270 ratio change, 180 and 360 ratio change, add sugar to coffee, 180 minus theta, 90 and 180, second quadrant, कॉर्डिनेंट में क्या है साइन और उसका रेसिप्रोकल पॉजिटिव है 90 180 माइनस थीटा अब 180 माइनस थीटा में रेशियो चेंज नहीं होता तो साइन 180 माइनस थीटा है साइन थीटा पॉजिटिव की नेगेटिव बेटा सेकंड कॉर्डिनेंट में साइन कैसा है पॉजिटिव है कॉस 180 माइनस थीटा कॉस थीटा 180 में रेशियो चेंज नहीं होता नेगेटिव की पॉजिटिव कॉस सेकंड कॉर्डिनेंट में कैसा है नेगेटिव तो नेगेटिव टैन 180 माइनस थीटा अब चेंज नहीं होगा, मैंने तो गलती चेंज कर दिया, tan 180 minus theta, tan theta, और second quadrant में beta tan कैसा है, negative, तो negative, यहाँ से देखना है, second quadrant में tan negative, तो negative, 180 plus theta, so 180 plus theta, किस quadrant में आगे, third quadrant में आगे, 180 plus theta, third quadrant में, sine 180 plus theta, it will remain sine theta, positive की negative, third quadrant में sine कैसा है, negative, cos 180 plus theta, cos theta, negative की positive, पॉजिटिव थर्ड कॉर्डरेंड में कॉस कैसा है नेगेटिव पैन 180 प्लस थीटा टैन थीटा रेशियो चेंज नहीं होगा 180 और 360 में रेशियो चेंज नहीं होगा सो टैन 180 प्लस थीटा टैन थीटा अब थर्ड कॉर्डरेंड में टैन कैसा है पॉजिटिव तो यह पॉजिटिव 360 माइनस थीटा 90 180 270 360 माइनस थीटा यहां पर आए 90 अ है यह सब्सक्राइब कांसा पॉइंट है बेटा फोर्ट क्वाइडरेंट है फोर्थ कॉर्डिनेंट है, फोर्थ कॉर्डिनेंट में cos और उसका reciprocal positive, चलो, अब 360 में ratio change नहीं होता, तो sin 360 minus theta, sin theta, है न, cos 360 minus theta, cos theta, tan 60 minus theta, tan theta, positive, negative सोच लेते हैं, sign कैसा है यहाँ पे, negative है, cost कैसा है यहाँ पे, positive है, tan कैसा है यहाँ पे, negative है, 360 plus theta, तो बेटा 90, 180, 270, 360 plus theta, कहाँ पहुँच गया वापस, first quarter, क्वाडरेट में फर्स कॉर्डरेट में सबके सब पॉजिटिव होते हैं और थ्री सिक्सटी में रेशो चेंज नहीं होता थ्री सिक्सटी प्लस थीटा साइन थीटा और फर्स कॉर्डरेट में सबके सब क्या होते नबर 180 270 360 प्लस थीटा फर्स कॉर्डर में सबके सब पॉजिटिव और थ्री सिक्सटी में क्या होता है रेशो चेंज नहीं थ्री सिक्सटी और 180 में ratio change, नहीं 90 और 270 में ratio change, होता है और negative positive कैसे check करोगे clear बहुत बढ़िया, इसको अच्छे से समझ ले चलो, find the value of sign 120 degree साइन 120 डिग्री तो क्या मैं साइन 120 को लिख सकता हूं साइन 90 प्लस 30 डिग्री क्या 90 में क्या होता है चेंज हो जाता है सो 90 प्लस थीटा क्या बन जाएगा कॉस थीटा और ये कहाँ पहुँच गए बेटा हम लोग, second coordinate में पहुँच गए, 120 degree, 90 plus theta second coordinate में, second coordinate में sign कैसा होता है, positive, तो ये positive, और cos 30 कितना होता है, root 3 by 2, खतम, clear, दूसरा, इसी को आप sign 180 minus 60 से भी कर सकते हो, same question can be done by sign, 180 degree minus 60 degree, sign 180 minus theta is sign theta, और किस quadrant में हम, second quadrant में है, 120 second quadrant, second quadrant में sign कैसा होता है, positive, sign 60 कितना होता है, root 3 by 2, you get the same answer, clear है, इस तरह से आप ये सब values निकाल सकते हैं, जो कि 90 से बड़ी हो, cos 210 degree, कॉस 210 कितना हो जाएगा बेटा ये कॉस 180 प्लस 30 लिख सकते हैं कॉस 180 प्लस θ 180 में ratio change नहीं होता तो इट विल लिए कॉस थीटा कॉस 180 प्लस थीटा 180 प्लस थीटा किस कॉर्डिन्ट में है all sign tan थर्ड कॉर्डिन्ट में tan positive है और tan का reciprocal यानि ये negative होगा कॉस 30 रूट 3 बाई 2 माइनस रूट 3 बाई 2 थर्ड, थर्ड क्या है अपना, साइन 315 डिग्री, तो बेटा इसको लिख सकते हैं हम लोग साइन 360 माइनस 45, बोलो सही है, साइन 315, साइन 360 माइनस 45, 15 आ रहा है, 315, आ रहा है, साइन 360 माइनस सीटा, 360 माइनस सीटा में चेट, नहीं होता तो क्या रह जाएगा साइन 45 साइन 360 माइनस थीटा 360 प्लस थीटा में चेंज नहीं होता है तो भाईया साइन 360 माइनस थीटा विल रेमेंड साइन थीटा किस कॉर्डिनेंट में है तीन सो पंजरा all sign 10 cos third quadrant fourth quadrant 360 minus 360 minus 45 fourth quadrant fourth quadrant में cos और उसका reciprocal positive यानि ये तो क्या हो गया negative sign 45 is 1 by root 2 आगे लगा दिया negative तो इस तरह का कोई भी ratio अब आप निकाल सकते हो इसके बाद आप switch करोगे कहा practice sheet के सवालों में और इसके सवालों को और लगाओगे मेरे सवालों का जवाब दो एक चीज़ और समझो 2π प्लस थीटा हो 4π प्लस थीटा हो 6π प्लस थीटा हो 8π प्लस थीटा हो यानि 2π के multiple में अगर थीटा 2π के multiple में अगर लिखा हो और प्लस थीटा हो तो बेटा ratio same रहता है क्योंकि आप वापस first coordinate में आ जाते हो जरा आराम समझो 2π plus θ, देखो 2π मतलब 360 degree, तो 2π पहुँचे 2π मतलब 360 degree, plus theta, कहां पहुँच गए, first quadrant में, जब वापस first quadrant में पहुँच गए तो क्या हो जाएगा, sin 2π plus theta, sin theta हो जाएगा, और first quadrant positive, cos 2π plus theta, cos theta, tan 2π plus theta, tan theta, sin 4π plus theta, 4π मतलब, ये हुआ 2π, फिर एक और चक्कर लगा लिया, 4π, 4π मतलब एक चक्कर लगाया, फिर दूसरा चक्कर है, तो sin 4 pi plus theta sin theta साइन 6 पाई प्लस थीटा कॉस्ट, 6 पाई मतलब 3 चक्कर, 6 पाई मतलब, देखो, 2 पाई, 4 पाई, 6 पाई प्लस थीटा, वापस कहा पहुँच गए, फर्स्ट कॉडर्ड में, 10 पाई प्लस थीटा, 10 पाई मतलब 5 चक्कर लगाए, 2 पाई, 5 चक्कर 2π plus θ हो, 4π plus θ हो, 6π plus θ हो, 8π plus θ हो, 10π plus θ हो, या 100π plus θ हो, 2π कहीं तो multiple है, नहीं 50 चक्का, कर लगा के first quadrant में, तो that will remain the same thing है न, sin 100 pi plus theta is sin theta, clear है बात एकदम, चलो आगे बढ़ते हैं, next is if theta is very small, actually it's not very small, it's very small, इस वेरी स्मॉल अगर थीटा बहुत-बहुत छोटा है तो बेटा साइन थीटा टेंड्स टू थीटा होता है कॉस्ट थीटा टेंड्स टू वन होता है और टैन थीटा टेंड्स टू थीटा होता है अगर थीटा बहुत-बहुत छोटा है तो साइन थीटा कॉस थीटा वन के बराबर होता है और टैन थीटा के बराबर होता है क्लियर है और बहुत छोटा मतलब पांच डिगरी तक दस डिगरी तक बट एक्चॉल में सच्चाई क्या है वैसे तो कहा जाता है पांच दस डिगरी यह रिलेशन 30 डिगरी तक वैलिड है सच्चाई यही है यह रिलेशन 30 डिगरी तक वैलिड है कई बार ना sin theta की value नहीं आती है, तो आप उसको सीधा theta से निकाल सकते हो, valid up to 30 degree, अप्रॉक्स, थोड़ी अजीब सी बात बता रहा हूँ, ध्यान से सुनना, बेटा sin 30 की value बताओ जरा मुझे, sir, sin 30 की value half होती है, अच्छा, मैं कह रहा हूँ, sin theta 30 की जगे, tends to not 30 degree, इसको पाई में change करना होगा, So 30 divided by 180. यहाँ से सीधी value आ जाएगी. So 30 divided by 180 into pi. कितना हो गया? Pi बटे 6. बेटा, pi बटे 6 की जरा value निकालो. Pi is 3.142 divided by 6. क्या यह approximately half नहीं आ रहा है? बात समझ में आई? तो यह जो relation यह 30 degree तक valid होता है. कि रिवाइट साइन 30 हाफ आया है ना 30 को एक्सप्रेस कर लो किसमें रेडियंस में तो कितना हो जाएगा 30 बाइट कितना होगा पाइबाइट 6 ना 30 वर्ड एक्सप्रेस कर लो रेडियंस में तो कितना हो जाएगा पाइबाइट 6 और पाइबाइट 6 की बेटा अब अ प्रॉक्स वाल्यू कितनी आएगी, हाफ आती है, तो यही बता रहा है, साइन थीता टेंट्स टू थीता हो जाता है, कॉस थीता टेंट्स टू वन होता है, और टैन थीता टेंट्स टू थीता होता है, क्लियर, अगर थीता बहुत छोटा है, चलो आगे बड़े, ओके, डि� यहां पर basic trigonometry खतम, अब हम differentiation पे आते हैं, start करते हैं differentiation, तो बेटा यह एक graph है y versus x, what is dy by dx, instantaneous rate of change of y with respect to x, यह आप बोल सकते हो slope of y versus x at that instant, because slope changing भी हो सकती है, so dy by dx क्या है, rate of change of y, with respect to x, और ये कौन सा rate मिलता है बेटा, instantaneous उस समय क्या rate है instantaneous उस particular instant पे क्या rate है है ना, इसको और क्या बोल सकते हैं हम लो slope of y versus x, और बेटा slope का दूसरा formula क्या होता है, tan theta slope का दूसरा formula tan theta, यहाँ से देखो tan theta क्या होगा dy by dx diva दिवाई चेंज इन वाई डी एक्स चेंज इन एक्स यहां देखो टैंथ थीटा की वैल्यू क्या होगी इस टैंगल देखो टैंथ थीटा की वैल्यू डी वाई डी एक्स होगा चलो आगे बताएं रूल्स फॉर डिफरेंशियेशन अगर वाई का कॉन्स्टेंट है तो कॉन्स्टेंट का डिफरेंशियेशन क्या होता है बेटा जीरो होता है वाई एक्स की पावर एंड है तो एक्स की पावर एंड का डिफरेंशियेशन सबको पता होगा एन एक्स की पावर एन माइनस वन यहां जो भी रहा है पावर उसको बाहर ले आओ और और x की power 1 कम कर दो, है न, y is equals to 10, constant है, constant का differentiation 0, y is equals to x, x की power किती है, 1, तो 1 को बाहर ले आए, क्या हो जाएगा, x की power 1 minus 1, 1 minus 1 यानि 0, so 1 into x की power 0, x की power 0 is 1, तो बेटा x का differentiation 1 होता है, याद रखेंगे, याद रखेंगे ये बात, अगर y is equals to x है, तो dy by dx कितना आ जाता है, 1, एक्स का डिफरेंशियेशन एक्स स्क्वेयर का डिफरेंशियेशन यहां से पावर टू को बाहर ले आओ और एक्स की पावर एक कम कर दो पावर बाहर ले आए और एक्स की पावर एक कम कर दी पावर को बाहर ले आए एक्स की पावर एक कम कर दी तो power को बाहर लाए, x की power एक कम कर दो, तो 2 से एक कम किया, 1 हो गई, बोलो clear है, बहुत बढ़िया, y is equal to x की power 5, तो power को बाहर ले आओ, और x की power एक कम कर दो, power को बाहर ले आओ और x की power को 1 कम कर दो तो power को बाहर लाए x की power 5 से 1 कम की 4 5 x की power 4 clear है जैसे मान लो लिखा हो y is equals to x की power 100 तो बेटा कितना हो जाएगा dy बाई डी एक्स, बोलो, पावर को बाहर ले आओ, और एक्स की पावर एक कम कर दो, एक्स की पावर 99, क्लियर है, पावर को बाहर ले आओ, एक्स की पावर एक कम, क्लियर, चलो आगे बढ़ते हैं, याद होना चाहिए, मैं तो कहता हूँ याद होना चाहिए, देखो, उल्टे और नीचे x की power एक बढ़ा दो करकी भी देख सकते हो formula से देखो ये नीचे है ना power 1 तो यानि minus 1 हो गई power तो उपर minus 1 लिखो जो power है और नीचे power एक बढ़ा दो ये देखो 1 upon x square यानि x की power minus 2 तो उपर लिखो minus 2 और नीचे power 1 बढ़ा दो ये reciprocal को deal करने का तरीका 1 upon x की power 9 तो उपल लिखो minus 9 और नीचे x की power 1 बढ़ा दो clear है जैसे मालो मेरे पास लिखा हो y is equal to 1 upon x की power 4 तो dy by dx सभी लोग साथ में बताएंगे बेटा x की power minus 4 है तो उपर लिखो minus 4 नीचे x की power 5 कर दो यह जल्दिल लिखना है तरीका बता रहे है देखो यह तो सबको याद होना चाहिए कि अगर y की value x है तो dy by dx minus 1 by x square कैसे किया यहाँ 1 है उपर minus 1 नीचे power 1 बढ़ा दो उपर minus 4, नीचे power 1 बढ़ा दी, मानलो y is equals to लिखा है 1 upon x की power 7, तो dy by dx क्या होगा, सभी लोग साथ में बोलें, देखो निकालने को तो तुम निकाली लोगे, तरीका तो तुमको पता ही चल गया, so you can find out. इस नॉट अबॉट कि आप निकाल नहीं सकते बेटा डी वाई बाई डी एक्स क्या हो जाएगा इसका माइनेस सेवन है ना तो माइनेस सेवन उपर लिख लो एक्स की पावर माइनेस सेवन तो माइनेस सेवन उपर लिख लो नीचे पावर एक बढ़ा दो बेटा रूट एक्स यानी एक्स की पावर हाफ अब सर क्या कर रहे हो, रटवा रहे हो, यार ना ये सब ऐसा है कि एग्जाम बेटी कर नहीं सकते, टाइम नहीं है इतना, है ना, नीट का एग्जाम बेटा क्या है, नीट का एग्जाम किस चीज का एग्जाम है, नीट का एग्जाम स्पीड का एग्जाम है, नीट का एग्� कि कई बार नीट में बड़े हेल्दी सवाल दे देता है और वह हेल्दी सवाल आप भी कर पाओगे जब आपको बेसिक डेटा याद होगा जब आप इग्जाम में दो आपको दो तीन हजार चीजें आदू देखो जितने भी बहुत अच्छे टीचरों आपक पॉइंट ऑफ यू में नहीं रख रहे हैं यह कॉम्पटीशन है साहब यहां हर कोई लड़ रहा है तो यहां जंग में आने के लिए पहले से अपनी कलवार कसके रखनी पड़ेगी ना अपने बांड कसके रखने पड़ेंगे यह नहीं कि वहां जा रहे हैं इस बां y is equals to root x dy by dx 1 by 2 root x, खतम आप इसको चाहो तो differentiate करके भी देख सकते हैं हम लोग ऐसा नहीं कर नहीं सकते y is equals to root x को क्या मैं x की power half लिख सकता हूँ, बिल्कुल so ये नहीं कहला कि concept नहीं है dy by dx क्या होगा बेटा half बाहर आ जाएगा x की power half minus 1 यानि half, x की power half minus 1 कितना हो गया, x की power minus half minus half मतलब 1 by root x, तो देखो आ गया minus half का मतलब नीचे ले आओ तो power positive हो गई और half मतलब root x बात समझ में आई minus half minus को power को नीचे ले आओ plus हो गई और half है तो root x कर दिया बट आप ये सब यहाँ दरखो कि y root x है तो dy by dx 1 by 2 root x y 1 by x है तो dy by dx minus 1 by x square तो ये reciprocal वाला खेल समझ में आ गया है 1 by x square को x की power minus 2 फिर minus 2 बाहर आएगा x की power minus 2 minus 1 minus 3 फिर नीचे ना यहाँ से minus 2 उपर गया नीचे power 1 बढ़ा दी यहाँ से minus 9 उपर गया नीचे power 1 बढ़ा दी बहुत बढ़िया भाई सबको समझ में आया आगे बढ़ते हैं next derivative of trigonometric function सभी को याद होते हैं एक बाद जल्दी से इसको revise करते हैं y is equals to sin x dy by dx क्या हो जाएगा cos x y is equals to cos x dy by dx minus sin x y is equals to tan x dy by dx क्या हो जाएगा sec square x y is equals to sec x इसमें कोई लॉजिक नहीं रटना होता है, बट इन दोनों को देख लो, इन दोनों का पैटर्न समझ में आएगा, टैन एक्स का बन गया सेक स्क्वेर एक्स, तो कॉट एक्स का बन जाएगा कोसेक स्क्वेर एक्स, सेक एक्स का बन गया सेक एक्स टैन एक्स, तो कोसेक एक्स का बन जाए� अब एक चीज़ याद रखो, ये CC वाले में नेगेटिव भी लगता है टैन एक्स का डिफरेंशेशन बेटा 6 स्क्वेर एक्स और कॉट एक्स का कोसेक स्क्वेर एक्स, एक जैसा लगा tan x का sec x square x, cot x का cosec x square x, बर यहां c वाले में negative भी लगता है, ठीक है? sec x का sec x tan x, तो cosec x का cosec x cot x साथ में negative लगता है, clear? रटने वाली बात है, चलो, derivative of logarithmic functions and exponential functions, है न, logarithmic भी है and exponential भी है, चलो, y is equals to log x, dy by dx होता है बेटा, 1 by x, y is equals to e की power x, dy by dx will be e की power x, e की power x का differentiation e की power x, y is equals to a की power x, dy by dx हो जाएगा, a की power x log a, इसका एक example दे देता हूँ, last वाले का, मालो लिखा है y is equals to 10 की power x, so dy by dx होगा, 10 की पावर x log 10 ये x की पावर 10 नहीं है ये 10 की पावर x है x की पावर 10 में तो आप क्या लिखते हैं 10 x की पावर 9 ये अलग है 10 की पावर x तो एकी पावर x पहले constant है पर उसकी power में x, अभी तक x की power में constant था, x की power 10 तो बड़ा आसान है, 10 x की power 9, 10 की power x, log 10, clear है, याद करने वाली चीज है, चलो, आगे बढ़ते हैं, addition rule, बड़ा simple है, कोई इसमें नहीं चीज नहीं है, addition rule के अंदर, देखो, अलग-अलग function को अलग-अलग differentiate कर ठीक है, so y is equal, चलो और differentiate करते हैं, dy by dx, तो बेटा x का differentiation 1 होता है, याद रखेंगे हमेशा, x का differentiation 1 होता है, x की power 4, 4 बाहर आ गया, power 1 कम कर दी, 4 बाहर आ गया, power 1 कम कर दी, 1 by x, यानि x की power minus 1, तो ऊपर minus 1 नीचे power 1 बढ़ा दो clear है यहाँ क्या होता है 4 बाहर आया x की power 1 कम कर दी नीचे वाले भी क्या होता है जो लिखा है x की power minus 1 है यह एक तरह से 1 by x मतलब x की power minus 1 तो minus 1 ऊपर नीचे power 1 बढ़ा दी plus 2 root x तो 2 को as it is छोड़ दो root x का differentiation बेटा क्या होता है 1 by 2 root x root x क्या होता है, 1 by 2 root x, तो यह 2, 2 cancel हो जाएगा, plus cos x, cos x का differentiation, minus sin x, minus 3 को as it is रखो, e की power x का differentiation, e की power x, यहां से 2, 2 cancel हो गया, that's it, clear है सभी को? x का 1, x की power 4x cube, 1 by x यानि x की power minus 1, तो minus 1 upon x की power 1 बढ़ा दी, 2 root x, 2 को as it is रखा, root x का 1 by 2 root x, cos x का minus sign x, minus 3 को बाहर किया, e की power x का, e की power x, चलो आगे बढ़ते हैं, next, uv method, इसको product rule भी बोलते हैं, so y is equals to uv, दो function multiply हो रहे हो, तो dy by dx क्या होता है, u dv by dx, प्लस v du by dx, पहले एक function को constant लो, दूसरे को differentiate करो, फिर दूसरे को constant लो, पहले को differentiate करो, y is equals to x log x, तो यह हो गया हमारे पास दो function, यह हो गया u, यह हो गया v, तो dy by dx, पहले u को बाहर लिया, log x को differentiate किया, 1 by x, फिर v को बाहर लिया, और x को differentiate किया, खतम हो गया, x by x कितना हो गया, 1 plus log x is the answer, clear, तो पहले एक को constant लो, दूसरे को differentiate, फिर दूसरे को constant लो, पहले को differentiate, u by v method, बाई वी मेथड यू बाई वी कोशिशन टूल यू बाई वी मेथड तो डी वाई बाई डी एक्स होता है बेटा जो नीचे लिखा है उसका प��ले स्क्वेयर कर दो जो नीचे लिखा है उसका पहले स्क्वेयर कर दो जो नीचे लिखा है उसको पहले लिखो फिर वी डी यू बाई डी एक्स क्लियर है जो नीचे लिखा है उसका पहले square कर दो, फिर v du by dx, फिर minus लगेगा u dv by dx, तो जो नीचे लिखा है पहले उसका square कर दो, फिर से लिखना हूँ, ठीक है, जो नीचे लिखा है पहले उसका square कर दो, u by v, नीचे क्या लिखा है, v, तो v का square कर दिया, फिर v du by dx, minus u dv by dx, तो पहले कौन सा आता है नीच पॉइंट फिर ऊपर वाले का डिफरेंशेशन फिर माइनस ऊपर वाला कॉन्सटेंट नीचे वाले का डिफरेंशेशन वाइज एक्वेस्ट टू एक्स बटे साइन एक्स यह हो गया यू यह हो गया विजाज और डिफरेंशेट करते हैं सब sin2x, फिर, v को यहाँ पे लिखेंगे, sinx, और u को differentiate करेंगे, x का differentiation, 1, फिर minus लगाएंगे, फिर u को constant लेंगे, और v को differentiate करेंगे, sinx का differentiation, cosx, this is the answer, clear है, पहले, नीचे v का square कर लो, नीचे, वी का square, फिर यहाँ v, और इसको differentiate कर दिया, minus, पाइनेस ऊपर वाला नीचे वाला जिसका square हुआ है वो पहले आएगा यहाँ आद रखो इसी में गलती होती है यहीं पर confusion यहीं पर भूल जाता है नीचे जिसका square किया उसी को पहले रखे यही चोटी बाते होती है जो teacher समस्ता है कि कहाँ आपसे mistake होती है v square तो यहाँ v du by dx minus u du by dx और यह तो बड़ा clear है uv multiplication तो बड़ा आसान है पहले को constant दूसरे को differentiate फिर दूसरे को constant पहले को differentiate पहले कौन से दूसरे कौन से पहले को इसके सवाल आपको मिलेंगे प्रैक्टिस सीट के अंदर तो प्रैक्टिस सीट तो लगाना ही लगाना है चेन रूल अब चेन रूल में क्या होता है अगर यहीं पर लिखा होता साइन एक्स वावावावावा साइन एक्स का डिफरेंशेशन कॉसेक्स पर यहां साइन एक्स इसके लिए जब ऐसी feeling आने लगे जब किसी की तरफ दिल जुकने लगे और बात आकर जुबां तक रुकने लगे तो मैंने कई बार कहा है कहने की कोई जरवत नहीं है बेजती होती है तो sin x square तो x square को आप x माल लो यहाँ यही खेल है x square को x माल लो क्योंकि आप चाहते थे दिल से कि यहाँ x हो sin x का differentiation cos x तो भाईया ठीक है तो भाईया ठीक है तुम चाहते थे यहाँ पे x हो तुमने x माल लिया so dy by dx sin x का differentiation cos x फिर क्या करो इस x को differentiate कर दो with respect to original x, है न, कहने का मतलब, कि जो लिखा है, sin x square, तो लिख लो, cos x square, अरे ये कैसे हो सकता है, sin x का cos x होता है, तो sin x square का cos x square, इसके बाद, ये जो x होना चाहिए था, इसको differentiate कर दो, x square का differentiation क्या हो जाएगा, 2x, तो answer हो गया, 2x into cos x square, बोलिये बात समझ में आई कुछ, जो आप चाहते थे x हो, जो आप चाहते थे x हो, sin x होता तो differentiation, सीधा cos x आता, तो आप इसको मान लो कि ये sin x है, अब इसका differentiation क्या होगा, cos x, so dy by dx is equals to cos, और x क्या है, x square है, फिर इसको differentiate करो, x square का differentiation क्या होगा बेटा, 2 बाहर आ जाएगा, x की power एक, यह हो गया 2x into cos x square clear है next y is equals to log 2x square plus 4 लोग x का differentiation हमें पता है log x का differentiation is 1 by x याद रखेंगे log x का differentiation 1 by x तो अगर ये पूरा का पूरा x होता तो इसका differentiation 1 by x होता 1 by x x क्या है 2x square plus 4 फिर क्या करो इस पूरे capital x को differentiate कर दे पहले क्या किया log log के अंदर पूरे को capital x माना, log x का differentiation, 1 by x, फिर इस capital x को differentiate कर दो, आओ, differentiate करें, 2x square plus 4 को, तो 2 as it is रहेगा, x square का 2 बाहर आ जाएगा, x की power एक कम हो जाएगी, 4 constant है, constant का differentiation, 0, तो आप देखते हैं तू जाएं 4x अपने 2x स्क्वेर प्लस 4 फिर देखाओं यह वाला फिर देखाओं चलो कि यह बच्चों को निर्भू होती है हमेशा चेन रूल में ठीक है चलो है तो मैंने क्या कहा कि इस पूरे को आप दिमाग में एक्स मानों अब पहले दिमाग से आप उनको निकालों ना आप तो उन्हीं को अपना रव मान रहे हो इनको एक्स मानों अपनी एक्स को नहीं आज करने लगे इसको एक्स मानना अभी सर समय नहीं जाएगा गबराहट का मौले समझो लॉग एक्स माना तो डिवाइड एक्स क्या होगा वह वन बाई एक्स होगा सो यानी वन बाई जो एक्स माना है यानी टू एक्स स्क्वेयर प्लस फूर फिर जिसको एक्स माना है उसको डिफरेंशिएट कर तो खत्म सो टू एक्स स्क्वेयर का डिफरेंशिएशन टू एस एट इज रहेगा एक्स स्क्वेयर का टू बाहर आ जाए y is equals to suppose लिखा है cos x square plus 4x plus 2 चलो इसको differentiate करते हैं dy by dx तो पहले आप किसको चाहते थे x हो जाए जो वहाँ पे अंदर लिखा है उसको आप दिल से चाह रहे थे कि वो x हो जाए, है कि नहीं, आप इसको चाह रहे थे कि ये पूरा x हो जाए, so divide by dx क्या होगा बेटा, cos x का differentiation minus sin x, so minus, नहीं समझ रहे हैं, आप यही तो चाह रहे थे न, आप दिल से चाह रहे थे कि यह पूरा क्या एक्स होता, so cos x का differentiation minus sin x, so minus sin और x की जगह यह जो लिखा है, x square plus 4x plus 2, इसके बाद इस पूरे x को differentiate कर दो, इस पूरे को आपने x माना था, so cos x का differentiation minus sin x, फिर इस पूरे को differentiate, x square का differentiation 2 बाहर आ गया, x की power 1, plus 4x का differentiation, बेटा 4 as it is रहेगा, differentiation 1 होता है, मैंने कई बार कहा, यह चीज़ याद होनी चाहिए आपको, कि x का डिफरेंशियेशन, क्या मेरी image साफ आ रही है, x का differentiation 1 होता है, तो यह 2 बार आ रहा है, 2x, और 4, x का differentiation 1, और 2, constant का differentiation बेटा, 0 हो जाएगा, so it will be, इसको इदर ले आओ, 2x plus 4, माइनस टू एक्स प्लस फॉर और साइन एक्स स्क्वेयर प्लस फॉर एक्स प्लस टू नेक्स बेटा डबल डिफरेंशियेट वाइज इक्वेल्स टू साइन एक्स तो डिवाइब एडिएस को बोलते हैं वाइड एश पहली बार cos x हो जाएगा क्या मेरी image clear आ रही है कि कोई issue आ रहा है इसमें clear आ रही है तो sin x का differentiation क्या हो जाएगा cos x हो जाएगा अब d2y by dx square यानि इसी को दूसरी बार differentiate करो इसको हम लोग y double dash बोलते हैं पहली बार differentiate किया y dash दूसरी बार differentiate किया y double dash तो दूसरी बार differentiate कर दो एक बार किया cos x इसको फिर से differentiate कर दो cos x का differentiation minus sin x, yes or no? cos x का differentiation? cos x का differentiation minus sin x तो इसको बोलते हैं double differentiate clear है? double differentiate मालो मैंने लिख दिया y is equal to x cube चलो इसका निकालो तो पहली बार differentiate dy by dx यानि y देश तो थ्री बाहर आ जाएगा एक्स की पावर एक कम हो जाएगी दूसरी बार डी टू वाई अपन डी एक्स स्क्वेर बेटा यह डी वाई बाई डी एक्स का होल स्क्वेर नहीं है वह अलग चीज होती है यह डबल डिफरेंशियेट है डी टू वाई बाई डी एक्स स् या डबल डेश पहले डिफरेंशेशन को वाइड देश दूसरे को वाइड डबल डेश इसको फिर से डिफरेंशेट कर दो थी आज इस रहेगा एक्स स्क्वेयर का टू बाहर आ जाएगा एक्स की पावर एक कम हो जाएगी कितना हो गया 6 एक्स हो गया बहुत बढ़िया नेक्स्ट आजो मैक्सिमा मिनिमा का कॉन्सेप्ट यहां से सवाल बनते हैं इसके एप्लीकेशन पर मैक्सिमा मिनिमा मैक्सिमा और मिनिमा दोनों यहां पर मैक्सिमम वैल्यू इस टाइम बेटा स्लोप कितनी है कि लोग क्या होता है तैन थीटा यहां पर थीटा कितना जीरो डिग्री इस लोग होती है एंग्ल देट लाइन में मेक्सविट positive x axis तो positive x axis से कितना angle बना रहा है 0 degree तो बेटा यहाँ पे slope कितनी होती है यहाँ पे slope होती है tan 0 और tan 0 की value कितनी होती है और slope क्या होता है dy by dx यानि dy by dx यहाँ पे कितना होता है 0 बात समझ में आ गई यहाँ पे angle कितना है 0 degree है horizontal line है slope हो गया tan 0 slope को हम लोग क्या लिखते है dy by dx और tan 0 की value कितनी होती है जी रो होती है तो डी वाइड एक जी रो यहां भी बेटा सीम चीज है यहां देखो फंक्शन की वेल्यू कैसी हो रही है मिनिमम मिनिमम और यहां भी बेटा स्लोक कैसी है जी रो ही है slope is equals to tan 0 degree, और tan 0 degree is 0, and slope is dy by dx, तो चाहे maxima हो, चाहे minima हो, दोनों पे dy by dx 0 होता है, अब कैसे पता चलेगा सर, कहाँ maxima, कहाँ minima, dy by dx दोनों जगे 0 होता है, चाहे maxima, चाहे minima, कैसे पता चलेगा भाई, dy by dx, दोन जगह 0, अगर dy by dx 0 है, तो maxima भी हो सकता है, और minima भी, अब check करना होगा, d2y by dx square, अगर d2y by dx square less than 0 है, यानि negative है, तो beta maxima होगा, और अगर d2y by dx square greater than 0 है, greater than 0 यानि positive है, तो minima होगा, वैसे कहानी थोड़ी उल्टी लग रही है, पर ऐसा ही होता है, नहीं ना, maxima में negative, minima म तो ये double differentiation का application है, maxima, minima में, कि जहाँ पे maxima या minima होता है, वहाँ पे dy by dx 0 होता है, चाहे maxima हो, चाहे minima हो, दोनों जगे dy by dx 0, maxima में double differentiation negative, negative maximum उल्टा negative और minimum double differentiation d2y by dx square positive greater than 0 आजो सवाल करते हैं find the minimum and maximum value of the function y is equals to x cube minus 3x square plus 6 also find the values of x at which these occurs चलो मेरे पास एक function है मैं को इसका मैक्सिमा और मिनिमा निकालना है तो अगर मेरे से मैक्सिमा, मिनिमा पे सवाल है सबसे पहले एक्जाम में अगर हमने मैक्सिमा या मिनिमा देख लिया कहीं भी देख सकते हैं The maximum height given by this expression and the maximum range given by this expression expression कहीं भी मिल सकता है ना the maximum value of the charge तो कहीं भी जहां पे बेटा exam में maxima minima बोले वहाँ पे बिना कुछ सोचे dy by dx को zero कर दो सबसे पहले dy by dx को zero कर दो यहां से बेटा dy दिए इसके आएगा एक्स क्योंकि डिफरेंटिएशन थ्री बाहर आ जाएगा एक्स स्क्वेयर थ्री बाहर जाएगा एक्स की पावर एक कम माइनस थ्री टू बाहर आ जाएगा एक्स की पावर एक कम कर दी और प्लस सिक्स का डिफरेंटिएशन जीरो एक्वेस्ट जीरो डिवाइब एडिएस की वैल्यू कितनी होनी है जीरो तो एक्स क्योंकि डिफरेंटिएशन थ्री एक्स स्क्वेयर माइनस जाएगा बेटा थ्री एक्स इस अ square minus 6x is equal to 0, यहाँ से x की 2 value आ रही है, यहाँ से x की value 2 आ रही है, 3x square minus 6x is equal to 0, यहाँ से 3x common ले लिया, x minus 2 equal to 0, तो either x 0 है, या x minus 2 0 है, 3 को दर ले जाओ, x into x minus 2 equal to 0, तो इसके 2 root आ रहे हैं, या तो x की value 0 है, या तो x की value 2 है, एलो, या तो ये 0 होगा या तो x-2 इतना तो आता होगा इतना तो पढ़े होगे भाईया इतना गलत कैसे हो सकता है तो x की value 0 या x-2 की value 0 तो दो values हैं क्या पता एक maximum एक minimum हो क्या पता दोनो minimum या दोनो maximum चेक कैसे होगा आप d2y by dx square निकाल के तो next step है d2y by dx square नि��ालना क्या करें दूसरी बार differentiate तो ये पहली बार differentiate करके आया d2y by dx की value यही है न इसको फिर से differentiate कर देंगे यह dy by dx की value इसको फिर से तो 3x square का differentiation 3x square का 2 बाहर आया और power 1 कम हो गई यह देखो dy by dx की value है तो 3x square का differentiation 3 बाहर रहा x square का 2 बाहर आया और power 1 कम हो गई minus 6x तो minus 6 को as it is ले लिया मैंने और x का differentiation 1 होता है लिख लिया कितना हो गया 3 2's are 6x minus 6 यह d2y by dx square square की value है, इसको check कर लो, x is equals to 0 और x is equals to 2 के लिए, इसको check कर लो, so d2y by dx square की value check करो, x equal to 0 के लिए and x equal to 2 के लिए, तो 0 रखने पे क्या हो रहा है, 0 कैसा हो गया, minus 6 कैसा हो गया, negative, और 2 रखने पे, 2 6 जा 12 वो minus 6, 6 यानि कैसा, positive, तो d2y by dx square यहाँ पे, positive है ये क्या है minima d2y by dx square negative है क्या है maxima और dy by dx दोनों के लिए क्या होना चाहिए 0, so dy by dx 0 है, किसके लिए, 0 के लिए और 2 के लिए, यानि 0 और 2 के maxima या minima हो सकता है, कैसे पता चलेगा, d2y by dx square से, so dy by dx की value यह थी, इसको फिर से differentiate किया, 3 को बाहर रखा, 2 को इधर लाए, 3 to the 6, इसकी power 1 कम की, minus 6, x की power 1 कम करोगे, तो 1 हो जाएगा, 6x minus 6, हमने कहा इसको check कर यहाँ दिए इसको नेगेटिव और डिवाइब एडिएड जीरो है यह कौन सी जगह है मैक्सिमल यहां डिटूआई बाइट इसको नेगेटिव है और यहां पर यह negative भी है so this is maxima और यहाँ भी beta x is equals to 2 पे क्या हुआ है dy by dx 0 है और d2y by dx square positive है यानि ये minimum है, कब? x is equal to 2 पे minimum है, x is equal to 0 पे maximum है, so y maximum निकालना है, तो x की value 0 रख दो, ये रहा y का expression, इसमें x की value 0 रख दो, maximum value कितनी हो गई y की? 6, और y minimum निकालना है, तो x की value 2 रख दो, ये रहा y का expression, इसमें x को 2 रखो, 2 cube 8, minus 3, 2 square 4, 4 3's are 12, 8 minus 12, minus 4, plus 6, 2, तो कितनी आई, y minimum 2, so y की maximum value 6 है, minimum value 2 है, clear है, x की value 2 रखके check कर लो, 2 रखा, 2 cube 8, minus 3, 2 square 4, 4 3's are 12, 8, minus 12 minus 4 plus 6 clear तो यह हुआ maximum minimum अब हम लोग आ गए basic integration basic पढ़ेंगे क्योंकि integration पढ़ने पर तो 16 video बन सकते हैं basic integration जो आ सकता है सबसे पहले integration होता क्या integral ydx is the area under curve इस curve के अंदर जितना area आ रहा है उसको हम लोग integration से ही निकालते हैं what is integral ydx it is area under curve इस बात को याद रखेंगे what is integral ydx area इस curve के अंदर जितना area आ रहा है उसी को हम लोग integral ydx बोलते हैं integration का main कहानी क्या है area under curve next बेसिक फॉर्मुला क्या है integration का? x की power n dx का फॉर्मुला क्या है? ध्यान से सुनें, x की power n plus 1 upon n plus 1 plus c and n should not be equal to minus 1, लंबी कहा नहीं है, x की power n है, तो उपर power 1 बढ़ा दो, और नीचे power 1 बढ़ा कर डिवाइड कर दो, x की power n है, तो उपर power 1 बढ़ा दो, sorry n की value minus 1 ना हो यानि आप कभी भी x की power minus 1 का integration इस तरह से मत करना कहने का मतलब 1 by x का integration मत करना ठीक है यह formula किस पे valid नहीं है integration of 1 by x dx पे ठीक है इसके लिए valid नहीं है ठीक है आज़ाओ integration of dx सबसे पहले हमने dx स्टार्ट किया तो बेटा integration of dx को हम लिख सकते है x की power 0 dx बाई x की power 0 क्या हो गया 1 तो 1 x की power 0 है तो उपर x की power 1 बढ़ा दो और नीचे x की power 1 बढ़ा की divide कर दो plus constant of integration कितना हो गया x by 1 plus c तो dx का integration beta x होता है dx का integration x होता है याद रखो dx का integration x होता है और x का differentiation 1 होता है डी एक्स का क्या एक्ट्रीव वन का इंटेग्रेशन ही तो है वन डी एक्स का इंटेग्रेशन एक्स और एक्स का डिफरेंशेशन वन है ना वन डी एक्स है वन को मैंने एक्स की पावर जीरो लिखा तो क्या हो गया एक्स की पावर जीरो प्लस वन अपॉन जीरो प्लस वन ए एक्स की पावर वन है तो उपर पावर एक बढ़ा दो और नीचे पावर एक बढ़ा कर डिवाइड कर दो कितना हो गया एक्स स्क्वेयर बटे टू प्लस सी एक्स स्क्वेयर डी एक्स तो उपर पावर एक बढ़ा दो नीचे पावर एक बढ़ा कर डिवाइड कर दो प्लस सी minus 1 by x minus 1 by x कैसे करेंगे चलो देखते हैं x की पार minus 2 dx है x की पार minus 2 dx so x की पार माइनस टू प्लस वन अपॉन माइनस टू प्लस वन प्लस सी सो ये हो गया एक्स की पार माइनस वन अपॉन माइनस वन प्लस सी यानि ये हो गया माइनस वन बाई एक्स प्लस सी तो मैंने कहा ना बेटा वन बाई एक्स स्क्वेर का इंटिग्रेशन याद रखो माइनस वन बाई एक्स और वन बाई एक्स का डिफरेंशेशन क्या था वन बाई एक्स का differentiation minus 1 by x square 1 by x square का integration minus कई जगे मिलता है gravitation वगेरा में 1 by r potential निकाल लेमे electrostatics के अंदर 1 by r का time आपको बहुत जगे integration में मिलने वाला है spherical shell वगेरा बहुत जगे मिलता है 1 by r का integration 1 by r square का integration जब भी मिले क्या करेंगे minus 1 by r वन बाई आर स्क्वेर का इंटिग्रेशन जहां भी मिले माइनस वन बाई आर या माइनस वन बाई एक्स क्लियर है बाकी तो यार फॉर्मले से करी सकते हो फॉर्मला तो सब कुछ है ही है फिर भी जब चीज़ें याद होती तो मज़ा आता है वन बाई एक्स स 1 by x square x की power minus 2 dx, तो minus 2 plus 1 upon minus 2 plus 1, so minus 1 by x, आगे बढ़ते हैं, अब n minus 1 हो गया, particular condition, इस पे formula valid नहीं था, यानि 1 by x की value, n-1 का मतलब 1 by x की value, तो बेटा 1 by x का integration होता है log x, और log x का differentiation होता है, 1 by x ऐसे याद भी रह सकता है, अगर integration of x की power minus 1 dx है, what is this? This is integration of 1 by x dx, so 1 by x dx का integration है log x, और log x का differentiation होता है 1 by x, clear? 5 dx, तो बेटा आप देखो इस तरह कैसे करना है? Integral 5 dx, तो जो constant होता है, वो integration के बाहर आ जाता है, integration of, dx कितना होता है, मैंने बता दिया x होता है, so 5x plus c, यहाँ भी c लगा लो, क्योंकि यह indefinite integration है, जब तक यहाँ limit ना लिखी हो, तब तक c लिखते हैं, अगर यहाँ पर limits लिख दे, यहाँ पर limits लिख दे, तो plus c लिखना बंद कर देते हैं, 10x dx, तो बेटा integration से 10 बाहर आ जाएगा, x dx, so बेटा x का integration क्या होगा, उपर power एक बढ़ा दो, नीचे power एक बढ़ा कर, divide कर दो, तो उपर power एक बढ़ा दी, divide कर दी, plus c, 2 5's are 10, तो 5x2 plus c, यहाँ पे आगे बिटा, e की power x, यह धीड आदमी है, इसको differentiate करो फरक नहीं पड़ता, integrate करो फरक नहीं पड़ता, so e की power x plus c, differentiate भी करोगे e की power x को, तो e की power x integrate भी तो ही, log x का integration, इसको बेटा हम लोग isolate rule से करते हैं, isolate rule हमको नहीं पढ़ना, log x का integration आप सिर्फ याद करके बैट सकते हो, ठीक है, इसको learn ही करना पढ़ेगा इसको भी, तो log x का integration होता है x log x minus x, x log x minus x ये log x का integration होता है x log x minus x और log x का differentiation 1y x होता है x log x minus x आगे बढ़ते हैं वेच्चों trigonometric function sin x का integration देखो sin x का differentiation था cos x integration हो जाता है minus cos x यहाँ पे खेल पलट गया plus c तो लगाना ही लगाना है जब तक यहाँ limits नहीं लिखी है तब तक plus c लगता है cos x का integration cos x का differentiation था minus sin x यहाँ पे उल्टा हो जाएगा यहाँ पे plus sin x प्लस सी, इसके बाद सेक्स स्क्वेर एक्स का इंटिग्रेशन, बिटा टैन एक्स का डिफरेंशेशन था सेक्स स्क्वेर एक्स, तो सेक्स स्क्वेर का इंटिग्रेशन हो जाएगा टैन एक्स, कोशिक स्क्वेर एक्स का इंटिग्रेशन बेटा कॉट एक्स का डिफरेंशेशन था माइनस कोशिक स्क्वेर एक्स तो कोशिक स्क्वेर एक्स का इंटिग्रेशन हो जाएगा माइनस कॉट एक्स प्लस सी क्लियर यादा यह बात यह साइन एक्स का कर दो कॉस x का integration क्या होगा, कॉस x का differentiation था, minus sin x, तो integration में plus sin x, sex square x का integration, तो tan x का differentiation क्या था, tan x का differentiation क्या था, dy by dx क्या था, sex square x, तो sex square x का integration tan x, cot x का differentiation क्या था, minus cosec square x, तो cosec square x का integration, minus cot x, आगे बढ़ते हैं, ax plus b types, तो सारा integration जैसा था, बाद में एसे डिवाइड कर दो था इसके एक्स प्लस बी तो साइन एक्स का इंटीग्रेशन क्या था जा था वही करो साइन एक्स का था माइनेस कॉस एक्स सो माइनेस कॉस एक्स प्लस बी इसके बाद एसे डिवाइड कर दो प्लस सी कॉस एक्स प्लस बी डी एक्स तो बेटा कॉस एक्स का इंटीग्रेशन क्या था प्लस साइन एक्स तो साइन जो इंटीग्रेशन कर रहे थे वही करो बाद में एसे डिवाइड कर दो अ सेक्स स्क्वेर एक्स प्लस बी डी एक्स सेक्स स्क्वेर का इंटिग्रेशन टैन एक्स था सो टैन एक्स प्लस बी डिवाइड बाई एकर दो सिंपल कोसेक स्क्वेर एक्स प्लस बी डी एक्स तो कोसेक स्क्वेर का क्या था माइनेस कॉट एक्स तो माइनेस कॉट एक्स प्लस बी डिवाइड बाई एकर दो प्लस सी dx upon ax plus va पहचान पाए कि नहीं पहचान पाए इसको ध्यान से पहचानो ये कुछ इसी form को change किया है ये किसको change किया है ये इस form को change किया है 1 by x dx को 1 by x dx का integration था log x यह special case था जहां x की power minus 1 हो रही थी, n is equals to minus 1 पे formula valid, नहीं है कि x की power n plus 1 upon n plus 1 valid, नहीं है, so 1 by x का special integration था log x, अब इसी x की जगे ax plus b आ गया, तो जो कर रहे थे वही करो, बस लास्ट में A से डिवाइड कर दो, E की पावर AX प्लस B, ये कहां से बना, ये इस से बना, E की पावर X, E की पावर X का इंटिग्रेशन क्या था, E की पावर X प्लस C, तो E की पावर AX प्लस B का भी क्या होगा, E की पावर AX प्लस B, और लास्ट में A से डिवाइड कर दो अगर x की जगह a x plus b आ जाए, तो same है, देखो sin x होता तो minus cos x, sin a x plus b है तो minus cos a x plus b, 1 by x होता, तो log x आता, a x plus b है, तो log a x plus b, divide by, पावर एक्स होता इन पावर एक्स कमान यार कमान इन पावर एक्स होता तो इन पावर एक्स आता इन पावर एक्स प्लस भी तो एक्स प्लस भी डिवाइड चलो सवाल कर लेते हैं कुछ थोड़े से प्रैक्टिस पहला साइन टू एक्स प्लस थ्री इंटेग्रेशन ऑ 2x plus 3 तो बेटा क्या करेंगे sin x का integration minus cos x so minus cos 2x plus 3 और देखो ये ax plus b है तो a से divide plus c यही तो a है यहाँ ax plus b यही तो form है so sin का minus cos x होता है कर दिया divide by a कर दिया Second, 1 upon 4x plus 3, पहचान रहे हो, log x वाला form है, 1 by x से 1 by ax plus b बन गया है, है की नहीं, ये क्या है, ax plus b, so 1 by x का ही तो form change हुआ है, 1 by x का क्या था, log x, so log 4x plus 3 divide by a plus c, third. E की power 2x अब देखो इसमें B नहीं है AX plus B, B की value 0 भी कह सकते हो यह E की power X तो नहीं है थोड़ा सा तो अलग है न उससे E की power 2x सो यहाँ पे आप क्या बोल सकते हो कि B की value 0 है AX plus 0 form तो वही है न AX plus 0 so E की power 2x dx का integration एक मिनिट E की power 2x dx का integration तो हम लोग बोल सकते हैं ये AX plus 0 का integration है इन्टेग्रेशन क्या होगा E की power 2x और divide by A plus C यहाँ पर B की value 0 है तो B नहीं आएगा E की power AX जैसे माल लो आपके पास कहीं ये लिखा हो integrate sine 2x अब इसमें क्या है? इसमें b की value 0 है, तो क्या हो जाएगा? minus cos 2x divide by 2 plus c. Clear है? यहाँ पे क्या हुआ, एक्स प्लस जीरो हो गया, बी की वैल्यू जीरो है, कोई दिक्कत नहीं है, साइन टू एक्स का इंटिग्रेशन क्या हो जाएगा, माइनस कॉस टू एक्स डिवाइड बाई टू प्लस सी, नेक्स्ट, और दिखा दे, फोर्थ हो जैसे मालो अपना लिखा है 1 by 2x का integration with respect to dx, तो इसमें तो यह भी कर सकते हैं, आप half को बाहर ले सकते हैं, और 1 by x dx का integration, so 1 by 2 log x, इस तरह से मैं आपको practice करा रहा हूँ, और बताओ, और क्या कर सकते हैं, हो गया I think, जितना भी हो सकता था, चलो आगे बढ़ते हैं let's proceed जैसे मान लो आपको ये दिया हो cos cos 2x का integration तो क्या हो जाएगा बेटा यहाँ पे b की value 0 है I think repetitive सवाल हो रहा है आगे बढ़ते हैं यहाँ पे b की value 0 है तो cos 2x का integration क्या हो जाएगा plus sin 2x divide by 2 plus c यह तो इसके similar हो गया चलो next definite integral बेटा definite definitely बच्चों definitely my name is Alag Pandey so definitely बच्चों so definite integral में very sorry definite integral में क्या होता है कि constant नहीं आता plus C नहीं आता क्यों क्योंकि यहाँ पे limits defined होती हैं बस इतना समझ लो x dx का integration आओ देखो कैसे करते हैं इसको पहले x dx को integrate कर लो क्या x dx का integration क्या होगा divide कर दो x की power एक बढ़ा लो नीचे power एक बढ़ा के divide यहां लिखो 2 यहां लिखो 4 ठीक अब x की जगे पहले 4 लखो x जगे पहले 4 रखो, 4 square divide by 2, फिर minus लगाओ फिर x की जगे lower limit रखो समझ में आया? पहले x की जगे upper limit रखो फिर minus लगाओ, फिर x की जगे lower limit रख दो, 4 का square यानि 16 बटे 2, 2 का square यानि 4 बटे 2, तो 8 minus 2, answer आ गया 6, बोलो सही है, x square by 2 ही होगा, x dx, x square by 2, x की value power एक बड़ी, नीचे उसे डिवाइड कर दिया, so पहले x की जगे 4 रखा, 4 square by 2, minus, x जगे 2 रखा, 2 square by 2, 4 square 16 बटे 2, minus 2 square, 4 बटे 2, तो 8 minus 2, 6, ठीक है, x cube, x3dx कर लेंगे अब x3dx क्या हो जाएगा x की power 1 बढ़ा दो नीचे power 1 बढ़ा के divide कर दो यहाँ पे 1 यहाँ पे 2 तो पहले x की जगह क्या रख देंगे 2 रख देंगे तो 2 की power 4 by 4 minus x की जगह क्या रख देंगे lower limit पहले upper limit रखो उसके बाद minus लगाओ उसके बाद lower limit रख दो 2 की power 4 यानी 16 हो जाएगा, और divide by 4, minus 1 by 4, तो 16 बटे 4 कितना हो गया, 4 minus 1 by 4, तो ये कितना हो जाएगा, LCM हो जाएगा इसका 4, चेके 16 minus 1, 15 बटे 4, 4 x 4 16, 16-1, 15 x 4, sin theta का integration, beta sin theta का integration क्या होता है, minus cos theta, और 0 से लेके pi, मेरा इसमें जब minus आता है, मेरा कहना होता है, minus बाहर निकाल लो, करना आसान होता है क्या minus बाहर लिकालना allowed है जी हाँ allowed है 0 से pi अब minus को बाहर रखो बेटा अब cos पहले theta की जगे pi रखेंगे minus cos theta की जगे 0 रखेंगे clear है यहाँ पे variable क्या था theta है यहाँ पे जो integration होगा बेटा वो d theta के terms में होता है जब theta है तो d theta के terms में so sin theta का integration minus cos theta 0 से pi साइन थीटा क्या होता है? माइनस कॉस थीटा माइनस जब दिखे बाहर निकाल लो अब कॉस पहले पाई रखो माइनस जीरो रखो थीटा की जगे पहले पाई फिर जीरो कॉस पाई कितना होता है? यहां बाहर माइनस लगा कॉस पाई यानि कॉस 180 कॉस 180 की वैल्यू कितनी होती है? साइन 180 की वैल्यू कितनी होती है? जीरो कॉस 180 कितना होता है? कॉस पाई कि असाइन 180 बेटा जी रूप ठीक है ताइम 00 साइड 180 जी रूप अब यहां तो माइनस कॉस्ट 0-1-2 और माइनस टू और अच्छा, sin2xdx और cos2dx, ठीक है, अब ये थोड़े अलग होते हैं, ये किसी formula से नहीं solve होते हैं, sinx का integration क्या था, minus cosx plus c, sin2x का भी हमने पकड़ लिया क्या है, minus cos2x divide by 2, but sin2x का अपने पास कोई formula नहीं है, sinx का minus cosx, sin2x का minus cosx, minus cos2x divided by 2, sin2x का कोई formula नहीं है, cos2x का कोई formula नहीं है, इसका एक ही तरीका है, double angle formula पे jump करो, इसका एक ही तरीका है, double angle formula में देखो इस तरह का integration बीच में फसने का neat में chances कमेंग तो direct integration का सवाल आएगा नहीं पर अगर ये बीच में कहीं आता है तो इस तरह का integration के chances low है पर मैं चाहता हूँ कि मैं आपको थोड़ा सा advance level पे भी रखूँ तो इस तरह की चीज़े भी अपन थोड़ी जी practice कर लेते हैं देखो क्या करना होगा sin square x को आप cos 2x के form में लेके जाओ cos 2x को अगर formula आप याद करो 2x मतलब cos 2 theta अगर cos2 theta का formula आप याद करो, तो sin के terms में था 1-2 sin2 theta, यहाँ x है तो x लिख दिया, cos2 theta का formula sin के terms में, 1-2 sin2 theta, यहाँ से बिता 2 sin2 x को इधर ले आओ, is equals to क्या हो जाएगा 1 minus cos 2x हो जाएगा यहाँ से sin square x कितना आ गया half into 1 minus cos 2x similarly बेटा आप cos square x को भी लिख सकते हो देखो cos2x का formula, cos2x में क्या था, 2cos2x-1, क्योंकि है तो formula cos का ना, तो positive कौन होगा, cos2x में 2cos2x-1, या 1-1, यहां से बेटा 2 cos2x is equals to 1 plus cos2x हो जाएगा और यहां से cos2x will be half into 1 plus cos2x बोलो सही है बस बेटा आप sin2x की जगह यह value रख के integrate कर दो cos2x की जगह यह value रख के integrate कर दो खतम sin2x दी एक्स की जगह वैल्यू पोट करो हाफ वन माइनस कॉस्ट टू एक्स अब इंटेग्रेशन अंदर घुश जाएगा यानि हाफ का डीएक्स अलग-अलग कर लें इसको हाफ का डीएक्स माइनस इंटेग्रेशन ऑफ हाफ का अ कॉस 2x dx समझ गया हाफ dx half cos 2x dx चलो तो बेटा हाफ तो बाहर आ जाएगा dx का integration क्या होता है x होता है minus half फिर से बाहर आ गया constant को बाहर करते है cos 2x का integration, cos 2x, cos 2x पैचान रहे हो, ax plus 0, ax plus 0 का form, so cos 2x का integration क्या होगा, sin 2x divide by 2, तो ये कितना हो गया, x by 2, 2 minus sign 2x by 4 plus इस जदे cos square x का कर लो बेटा cos square x dx formula क्या है इसका half 1 plus cos 2x चेक कर लो half 1 plus cos 2x dx तो सारी कहानी same रहेगी बस इस minus की जगे plus आ गया है तो all story will remain same लास्ट में देखो यहाँ जो minus है यह minus यहाँ आया यह minus यहाँ पर उसी के जगह plus है तो final answer क्या हो जाएगा x by 2 plus तो इसके बाद आप प्राक्टिस शीट को फिजिक्स वाला एप में जाकर उमीद बैच में बटन दबाएं कोई पैसा नहीं लगेगा आप सब्सक्राइब हो जाएंगे वहां से प्राक्टिस शीट को डाउनलोड करेंगे और उस पर प्राक्टिस करेंगे वह सॉल्व नहीं ह दिया तो माइन इज पांडियों और मैं आपको यह चोटी सी उमीद देने पढ़ाई करते रहें और द बेस्ट अ

साइन 15, ओई हुल हुल हुल साइन 15 डिग्री कैसे निकालेंगे? साइन 15 डिग्री बहुत असान है क्या मैं साइन 15 डिग्री को यू लिख सकता हूँ? बोलो, साइन 15 को क्या मैं साइन 45 माइनस 30 लिख सकता हूँ?

ये क्या हो गया? साइन A माइनस V साइन A माइनस V साइन A माइनस V वाइया क्या फॉर्मला है साइन A माइनस V का? साइन A कॉस B माइनस कॉस A साइन V कि साइन ए माइनेस बी साइन ए कॉस बी माइनस कॉस ए साइन बी बेटा वैलू देंगे साइन 45 की वैल्यू कितनी होती है वन बाई रूट टू कॉस 30 डिग्री की रूट 3 बाई टू माइनस कॉस 45 वन by root 2, sin 30 degree 1 by 2, तो देखो ये 2 root 2, 2 root 2 तो LCM तो हो गया 2 root 2 2 root 2, 2 root 2 कहां से करूँ मैं प्यारे शुरू 2 root 2, इधर क्या है बेटा root 3 और इधर क्या है, minus 1, clear है, 2 root 2 हो गया LCM, यहां root 3, यहां minus 1, root 3 minus 1 upon 2 root 2, sign 15 मिल गया, इसके बाद tan 75 degree, यह तो ऐसा हो गया जैसे डीजे नहीं होते, डीजे राकेश, डीजे, डीज, टून, ट� यह नियुक्त प्लस थर्टी प्लस टैन बी प्लस तीस पचचतर तो क्या लिख सकते हैं बेटा इसको हम लोग टैन ए प्लस टैन बी अपन वन मालिनस टैन ए टैन बी बोलो हाँ की ना, हाँ मास्टर, अगला पेज खाली था मास्टर, यहां क्यों आपने कूडा कर दिया, क्योंकि कूडा करने में मास्टर को मज़ा आता है, आजा बेटा नेक्स पेज में मेरे साथ, आजा आजा, हाँ, तैन 75 डिग्री, इस इक्वल्स टू, तैन 45 प्लस 30, ठीक है, तो इतना हो जाएगा, तैने, प्लस टेन बी अपन वन माइनस टेन ए टेन बी तो 1045 हो गया 1, 1030 1 by root 3, नीचे आओ, 1 minus 1045 1, और 1030 1 by root 3, तो बेटा जी ये कितना हो गया, is equal to, 1 plus 1 by root 3, तो LCM हो गया, root 3, root 3 plus 1, और नीचे, 1 minus 1 by root 3, तो नीचे भी LCM हो गया, root 3, root 3 minus 1, root 3, root 3 cancel, root 3 plus 1, अपन root 3 minus 1 clear है root 3 minus 1 इसके उपर भी आपको practice sheet में और सवाल मिलेंगे तो practice sheet को जरूर से practice करें seat जरूर लगाएंगे बच्चों जैसे coaching की seat लगाते हैं coaching की seat वैसे ही seat जरूर लगाएंगे कि मेरे लिए आप find करो cot 15 degree तो कैसे निकालोगे यार cot 15 sir cot का तो formula पता नहीं है तो cot 15 कैसे निकालें सर हम, है न, how will we find cot 15 degree, तो आप एक काम करो, 10-15 निकाल दो, cot 15 पूछा है न, तो क्या करें, आप 10-15 पे ध्यान दो, और 10-15 मिल जाए, cot 15 क्या होगा, 1 by 10-15, और 10-15 तो आप निकाली सकते हो, क्या होगा, 10-45-30 इसके बाद आप प्रोसीट कर जाओ, 10a-b है ये, तो 10a-10b अपन 1+, 10a-10b, 10-15 मिल गया तो 15, तो reciprocal के मैंने formulas नहीं बताए हैं, बात clear है, बढ़िया से, समझ में आप बताए हैं, आ गई मालो सेक पचचतर डिग्री पूछे सेक पचचतर डिग्री तो अपन क्या निकाल देंगे कॉस पचचतर डिग्री कॉस 45 प्लस 30 कॉस पचचतर मिलते ही 1 अपन कॉस पचचतर कर देंगे तो सेक पचचतर तो मैंने reciprocal के formula देखकर, clear है, quad 15 है तो tan 15 निकाल लो, clear, okay, let's proceed, 4 quadrants and sign convention, यहाँ पे 4 नहीं 4 होगा, फोर नहीं 4, फोर नहीं 4 होगा, तो 4 quadrants होंगे, ठीक है, 4, यह तो लग रहा है मेरट वाले बोल रहे हैं, मेरट वाले, 4 को 4 बोलते हैं न, 4, है न, वोसलो, तो 4 quadrants, shut up, हाँ, 4 quadrants and sign convention, 4 quadrants and sign पता है first coordinate में सारे positive होते हैं all first coordinate में सारे positive second coordinate में सिर्फ sign और sign का उल्टा यानि cosec positive होता है third coordinate ये वाला इसमें सिर्फ tan और tan का उल्टा यानि cot positive होता है fourth coordinate में कॉस और कॉस का उल्टा यानि सेक पॉजिटिव होता है यहाँ पे all, sign, cos, tan और सब के उल्टे सब पॉजिटिव यहाँ बेटा सिर्फ और सिर्फ sign और sign का उल्टा पॉजिटिव यहाँ बेटा tan और tan का उल्टा यानि cot पॉजिटिव यहाँ बेटा cos और cos का उल्टा यानि sec positive, यहाँ पे सारे positive, यहाँ पे sin और sin का उल्टा positive, बाकी सब negative, यहाँ पे tan और tan का उल्टा positive, बाकी सब negative, यहाँ पे cos और cos का उल्टा positive, बाकी सब negative, वैसे ऐसे तो crash course है फिर भी बता दूं, इसको याद करने का तरीका, तो इसको याद करने का तरीका होता है, add sugar to coffee, अब coffee पीते हो तो अच्छी बात है, हम तो चाय वाले हैं, है न, are you a coffee or a tea person, सब लोग लिखते हैं coffee person, अब coffee लगती है कडू, है न, तो add sugar to coffee से याद रखें, च प्लस 270 माइनस 270 प्लस में ट्रिग्नोमेट्रिक रेशियोस चेंज हो जाते हैं यानि साइन का कॉस बनता है कॉस का साइन बनता है टैन का कॉट बनता है साइन का कॉस बनता है कॉस का साइन बनता है टैन का कॉट किसमें 90 माइनस थीटा 270 प्लस थीटा 270 माइनस थीटा 270 प्लस थीटा में साइन का कॉस बनता है कॉस का साइन बनता है टैन का कॉट बनता है और कॉट का टैन बनता है पर आपको साइन ध्यान रखना होगा कि पॉजिटिव का लगाना है कि नेगेटिव का उसके लिए आपको यह पता होना चाहिए क्या था?

Add sugar to kadu coffee, है ना? यही तो था, चलो, 90 minus theta, बेटा, 90 minus theta किस quadrant में आएगा? पहले यह सोचो, यहां से यहां गए, 90 minus theta, किस quadrant में आएगा?

90 minus theta किस quadrant में आएगा? First quadrant में आया, ठीक है? First quadrant में आया, बहुत बढ़िया, किस में आया?

First quadrant में आया, बेटा, first quadrant के अंदर तो सब positive ह क्वाइडरेंट सारे पॉजिटिव साइन का बन गया कॉर्ड और कैसा रहेगा पॉजिटिव कॉप्पर बन गया साइन पॉजिटिव टैन का बन जाता है कॉट पॉजिटिव 90-90 प्लस 270-270 प्लस में रेशियों सेंज होते हैं साइन का कॉस का टैन फॉर साइन का कॉस का साइन टैन का कॉट का टैन ठीक है अच्छा 90 प्लस में आओ बेटा 90 प्लस थीटा किस कॉडरेंट में आएगा देखो यह 90 डिग्री प्लस थीटा यानि अब सेकंड कॉडरेंट में आ गए है की नहीं है कि नहीं, देखो, 90 प्लस थीटा, यह हुआ 90, और उसमें जोड़ा हमने थीटा, तो 90 प्लस थीटा कहा पहुँच गए बेटा, सेकेंड कॉर्डरेंड में पहुँच गए, साइन 90 प्लस थीटा, पहले तो कॉस लिख दो, साइन का हो जाता है, कॉस, कॉस का हो जाता है, साइन, टैन का हो जाता है, कॉट, कॉट का हो जाता है, टैन, 90 प्लस 90 माइनेस में रेशियो चेंज होता है, तो साइन का बन गया कॉस, बात आती है negative की positive second quadrant के अंदर यहां से check करेंगे इस तरफ से second quadrant के अंदर sign कैसा होता है positive sign और sign का उल्टा positive तो यह कैसा होगा बात समझ में आई अगर sine 90 minus theta 90 plus theta या 270 minus theta और 270 plus theta है, तो पहले तो ratio change कर दो, sine का cos, फिर check करो कि positive की negative, तो बेटा ये कौन सा quadrant है second, second quadrant में sine, इधर से देखेंगे उधर से नहीं, इधर से देखेंगे, sine कैसा है, positive, तो positive लगा दिये, cos 90 plus theta क्या बन जाएगा, sine theta, बेटा cos 90 plus theta के, क्वाडिनेट में है, second coordinate में, second coordinate में cost कैसा है, negative, यहां से sign check करना है, इधर से sign मत चेक करना, कई बार बच्चे इधर से sign चेक करते हैं, यहाँ से, negative, tan 90 plus theta, क्या बन जाएगा, cot theta, second quadrant में beta tan कैसा है, negative, तो यहाँ पे negative, tan negative, तो यह negative, आओ, 270 minus theta, तो बेटा यह 90, 180, 270 minus theta, यानि third quadrant, थर्ड कॉर्डिनेंट में tan और cot positive है ना देखो 90, 180, 270, minus theta यानि थर्ड कॉर्डिनेंट में वापस आ गए clear 270 minus 90, 180, 270, और वापस चले गए, तो 270 minus सीधा third, अब बिटा 270 में भी sin का cos, cos का sin, तो sin 270 minus theta, cos theta, अब सोचो positive की negative, अब ये चीज third coordinate में कैसी है, sin third coordinate में कैसा है, ये third coordinate होता है न, first coordinate, second coordinate, third coordinate, fourth, तो sin third coordinate में कैसा है, negative, सिफ tan और cot positive है, बाकी सब negative, तो यहाँ पे negative, cos 270 minus theta, साइन थीटा अच्छा अब साइन कैसा होगा इसका इस कॉर्डिनेंट में कॉस कैसा है नेगेटिव तो नेगेटिव टैंस टू सेवेंटी माइनस थीटा कॉर्ड थीटा साइन कैसा होगा इस कॉर्डिनेंट में टैन कैसा है पॉजिटिव तो पॉजिटिव टू सेवेंटी प्लस थीटा तो 90 180 270 प्लस थीटा इस कॉर्डिनेंट में आ गए साइन टू सेवेंटी प्लस थीटा किस कॉर्डिनेंट में आ गए फोर्थ में और टू सेवेंटी में रेशो चेंज होता है तो साइन का बन गया कॉस्टी साथ में क्या लगाएंगे fourth quadrant में कौन positive है cos और उसका reciprocal हमें क्या check करना है sign sign कैसा है negative यहां से नहीं check करना है वरना positive लगा दो गया check कहां से करना है बेटा जी check इस side से करना है इस तरफ से sign 270 plus theta 90, 180, 270 plus theta fourth quadrant एक तो 270 है तो change कर दो 90 और 270 में change कर देते हैं कैसा है negative तो negative cos 270 plus theta 270 है तो change कर दू sign बिटा cos theta इस quadrant में कैसा है positive है तो positive tan 270 plus theta cot theta और tan इस quadrant में कैसा है negative सिर्फ cos और उसका reciprocal positive so this is how you work out 90 plus theta 90 minus theta and 270 plus theta and 270 minus theta clear अच्छा इसी तरह से बिटा 180 minus theta और 360 minus theta वनित 180 plus theta, 360 plus theta, 90 and 270 ratio change, 180 and 360 ratio change, 90 and 270 ratio change, 180 and 360 ratio change, add sugar to coffee, 180 minus theta, 90 and 180, second quadrant, कॉर्डिनेंट में क्या है साइन और उसका रेसिप्रोकल पॉजिटिव है 90 180 माइनस थीटा अब 180 माइनस थीटा में रेशियो चेंज नहीं होता तो साइन 180 माइनस थीटा है साइन थीटा पॉजिटिव की नेगेटिव बेटा सेकंड कॉर्डिनेंट में साइन कैसा है पॉजिटिव है कॉस 180 माइनस थीटा कॉस थीटा 180 में रेशियो चेंज नहीं होता नेगेटिव की पॉजिटिव कॉस सेकंड कॉर्डिनेंट में कैसा है नेगेटिव तो नेगेटिव टैन 180 माइनस थीटा अब चेंज नहीं होगा, मैंने तो गलती चेंज कर दिया, tan 180 minus theta, tan theta, और second quadrant में beta tan कैसा है, negative, तो negative, यहाँ से देखना है, second quadrant में tan negative, तो negative, 180 plus theta, so 180 plus theta, किस quadrant में आगे, third quadrant में आगे, 180 plus theta, third quadrant में, sine 180 plus theta, it will remain sine theta, positive की negative, third quadrant में sine कैसा है, negative, cos 180 plus theta, cos theta, negative की positive, पॉजिटिव थर्ड कॉर्डरेंड में कॉस कैसा है नेगेटिव पैन 180 प्लस थीटा टैन थीटा रेशियो चेंज नहीं होगा 180 और 360 में रेशियो चेंज नहीं होगा सो टैन 180 प्लस थीटा टैन थीटा अब थर्ड कॉर्डरेंड में टैन कैसा है पॉजिटिव तो यह पॉजिटिव 360 माइनस थीटा 90 180 270 360 माइनस थीटा यहां पर आए 90 अ है यह सब्सक्राइब कांसा पॉइंट है बेटा फोर्ट क्वाइडरेंट है फोर्थ कॉर्डिनेंट है, फोर्थ कॉर्डिनेंट में cos और उसका reciprocal positive, चलो, अब 360 में ratio change नहीं होता, तो sin 360 minus theta, sin theta, है न, cos 360 minus theta, cos theta, tan 60 minus theta, tan theta, positive, negative सोच लेते हैं, sign कैसा है यहाँ पे, negative है, cost कैसा है यहाँ पे, positive है, tan कैसा है यहाँ पे, negative है, 360 plus theta, तो बेटा 90, 180, 270, 360 plus theta, कहाँ पहुँच गया वापस, first quarter, क्वाडरेट में फर्स कॉर्डरेट में सबके सब पॉजिटिव होते हैं और थ्री सिक्सटी में रेशो चेंज नहीं होता थ्री सिक्सटी प्लस थीटा साइन थीटा और फर्स कॉर्डरेट में सबके सब क्या होते नबर 180 270 360 प्लस थीटा फर्स कॉर्डर में सबके सब पॉजिटिव और थ्री सिक्सटी में क्या होता है रेशो चेंज नहीं थ्री सिक्सटी और 180 में ratio change, नहीं 90 और 270 में ratio change, होता है और negative positive कैसे check करोगे clear बहुत बढ़िया, इसको अच्छे से समझ ले चलो, find the value of sign 120 degree साइन 120 डिग्री तो क्या मैं साइन 120 को लिख सकता हूं साइन 90 प्लस 30 डिग्री क्या 90 में क्या होता है चेंज हो जाता है सो 90 प्लस थीटा क्या बन जाएगा कॉस थीटा और ये कहाँ पहुँच गए बेटा हम लोग, second coordinate में पहुँच गए, 120 degree, 90 plus theta second coordinate में, second coordinate में sign कैसा होता है, positive, तो ये positive, और cos 30 कितना होता है, root 3 by 2, खतम, clear, दूसरा, इसी को आप sign 180 minus 60 से भी कर सकते हो, same question can be done by sign, 180 degree minus 60 degree, sign 180 minus theta is sign theta, और किस quadrant में हम, second quadrant में है, 120 second quadrant, second quadrant में sign कैसा होता है, positive, sign 60 कितना होता है, root 3 by 2, you get the same answer, clear है, इस तरह से आप ये सब values निकाल सकते हैं, जो कि 90 से बड़ी हो, cos 210 degree, कॉस 210 कितना हो जाएगा बेटा ये कॉस 180 प्लस 30 लिख सकते हैं कॉस 180 प्लस θ 180 में ratio change नहीं होता तो इट विल लिए कॉस थीटा कॉस 180 प्लस थीटा 180 प्लस थीटा किस कॉर्डिन्ट में है all sign tan थर्ड कॉर्डिन्ट में tan positive है और tan का reciprocal यानि ये negative होगा कॉस 30 रूट 3 बाई 2 माइनस रूट 3 बाई 2 थर्ड, थर्ड क्या है अपना, साइन 315 डिग्री, तो बेटा इसको लिख सकते हैं हम लोग साइन 360 माइनस 45, बोलो सही है, साइन 315, साइन 360 माइनस 45, 15 आ रहा है, 315, आ रहा है, साइन 360 माइनस सीटा, 360 माइनस सीटा में चेट, नहीं होता तो क्या रह जाएगा साइन 45 साइन 360 माइनस थीटा 360 प्लस थीटा में चेंज नहीं होता है तो भाईया साइन 360 माइनस थीटा विल रेमेंड साइन थीटा किस कॉर्डिनेंट में है तीन सो पंजरा all sign 10 cos third quadrant fourth quadrant 360 minus 360 minus 45 fourth quadrant fourth quadrant में cos और उसका reciprocal positive यानि ये तो क्या हो गया negative sign 45 is 1 by root 2 आगे लगा दिया negative तो इस तरह का कोई भी ratio अब आप निकाल सकते हो इसके बाद आप switch करोगे कहा practice sheet के सवालों में और इसके सवालों को और लगाओगे मेरे सवालों का जवाब दो एक चीज़ और समझो 2π प्लस थीटा हो 4π प्लस थीटा हो 6π प्लस थीटा हो 8π प्लस थीटा हो यानि 2π के multiple में अगर थीटा 2π के multiple में अगर लिखा हो और प्लस थीटा हो तो बेटा ratio same रहता है क्योंकि आप वापस first coordinate में आ जाते हो जरा आराम समझो 2π plus θ, देखो 2π मतलब 360 degree, तो 2π पहुँचे 2π मतलब 360 degree, plus theta, कहां पहुँच गए, first quadrant में, जब वापस first quadrant में पहुँच गए तो क्या हो जाएगा, sin 2π plus theta, sin theta हो जाएगा, और first quadrant positive, cos 2π plus theta, cos theta, tan 2π plus theta, tan theta, sin 4π plus theta, 4π मतलब, ये हुआ 2π, फिर एक और चक्कर लगा लिया, 4π, 4π मतलब एक चक्कर लगाया, फिर दूसरा चक्कर है, तो sin 4 pi plus theta sin theta साइन 6 पाई प्लस थीटा कॉस्ट, 6 पाई मतलब 3 चक्कर, 6 पाई मतलब, देखो, 2 पाई, 4 पाई, 6 पाई प्लस थीटा, वापस कहा पहुँच गए, फर्स्ट कॉडर्ड में, 10 पाई प्लस थीटा, 10 पाई मतलब 5 चक्कर लगाए, 2 पाई, 5 चक्कर 2π plus θ हो, 4π plus θ हो, 6π plus θ हो, 8π plus θ हो, 10π plus θ हो, या 100π plus θ हो, 2π कहीं तो multiple है, नहीं 50 चक्का, कर लगा के first quadrant में, तो that will remain the same thing है न, sin 100 pi plus theta is sin theta, clear है बात एकदम, चलो आगे बढ़ते हैं, next is if theta is very small, actually it's not very small, it's very small, इस वेरी स्मॉल अगर थीटा बहुत-बहुत छोटा है तो बेटा साइन थीटा टेंड्स टू थीटा होता है कॉस्ट थीटा टेंड्स टू वन होता है और टैन थीटा टेंड्स टू थीटा होता है अगर थीटा बहुत-बहुत छोटा है तो साइन थीटा कॉस थीटा वन के बराबर होता है और टैन थीटा के बराबर होता है क्लियर है और बहुत छोटा मतलब पांच डिगरी तक दस डिगरी तक बट एक्चॉल में सच्चाई क्या है वैसे तो कहा जाता है पांच दस डिगरी यह रिलेशन 30 डिगरी तक वैलिड है सच्चाई यही है यह रिलेशन 30 डिगरी तक वैलिड है कई बार ना sin theta की value नहीं आती है, तो आप उसको सीधा theta से निकाल सकते हो, valid up to 30 degree, अप्रॉक्स, थोड़ी अजीब सी बात बता रहा हूँ, ध्यान से सुनना, बेटा sin 30 की value बताओ जरा मुझे, sir, sin 30 की value half होती है, अच्छा, मैं कह रहा हूँ, sin theta 30 की जगे, tends to not 30 degree, इसको पाई में change करना होगा, So 30 divided by 180. यहाँ से सीधी value आ जाएगी. So 30 divided by 180 into pi. कितना हो गया?

Pi बटे 6. बेटा, pi बटे 6 की जरा value निकालो. Pi is 3.142 divided by 6. क्या यह approximately half नहीं आ रहा है? बात समझ में आई?

तो यह जो relation यह 30 degree तक valid होता है. कि रिवाइट साइन 30 हाफ आया है ना 30 को एक्सप्रेस कर लो किसमें रेडियंस में तो कितना हो जाएगा 30 बाइट कितना होगा पाइबाइट 6 ना 30 वर्ड एक्सप्रेस कर लो रेडियंस में तो कितना हो जाएगा पाइबाइट 6 और पाइबाइट 6 की बेटा अब अ प्रॉक्स वाल्यू कितनी आएगी, हाफ आती है, तो यही बता रहा है, साइन थीता टेंट्स टू थीता हो जाता है, कॉस थीता टेंट्स टू वन होता है, और टैन थीता टेंट्स टू थीता होता है, क्लियर, अगर थीता बहुत छोटा है, चलो आगे बड़े, ओके, डि� यहां पर basic trigonometry खतम, अब हम differentiation पे आते हैं, start करते हैं differentiation, तो बेटा यह एक graph है y versus x, what is dy by dx, instantaneous rate of change of y with respect to x, यह आप बोल सकते हो slope of y versus x at that instant, because slope changing भी हो सकती है, so dy by dx क्या है, rate of change of y, with respect to x, और ये कौन सा rate मिलता है बेटा, instantaneous उस समय क्या rate है instantaneous उस particular instant पे क्या rate है है ना, इसको और क्या बोल सकते हैं हम लो slope of y versus x, और बेटा slope का दूसरा formula क्या होता है, tan theta slope का दूसरा formula tan theta, यहाँ से देखो tan theta क्या होगा dy by dx diva दिवाई चेंज इन वाई डी एक्स चेंज इन एक्स यहां देखो टैंथ थीटा की वैल्यू क्या होगी इस टैंगल देखो टैंथ थीटा की वैल्यू डी वाई डी एक्स होगा चलो आगे बताएं रूल्स फॉर डिफरेंशियेशन अगर वाई का कॉन्स्टेंट है तो कॉन्स्टेंट का डिफरेंशियेशन क्या होता है बेटा जीरो होता है वाई एक्स की पावर एंड है तो एक्स की पावर एंड का डिफरेंशियेशन सबको पता होगा एन एक्स की पावर एन माइनस वन यहां जो भी रहा है पावर उसको बाहर ले आओ और और x की power 1 कम कर दो, है न, y is equals to 10, constant है, constant का differentiation 0, y is equals to x, x की power किती है, 1, तो 1 को बाहर ले आए, क्या हो जाएगा, x की power 1 minus 1, 1 minus 1 यानि 0, so 1 into x की power 0, x की power 0 is 1, तो बेटा x का differentiation 1 होता है, याद रखेंगे, याद रखेंगे ये बात, अगर y is equals to x है, तो dy by dx कितना आ जाता है, 1, एक्स का डिफरेंशियेशन एक्स स्क्वेयर का डिफरेंशियेशन यहां से पावर टू को बाहर ले आओ और एक्स की पावर एक कम कर दो पावर बाहर ले आए और एक्स की पावर एक कम कर दी पावर को बाहर ले आए एक्स की पावर एक कम कर दी तो power को बाहर लाए, x की power एक कम कर दो, तो 2 से एक कम किया, 1 हो गई, बोलो clear है, बहुत बढ़िया, y is equal to x की power 5, तो power को बाहर ले आओ, और x की power एक कम कर दो, power को बाहर ले आओ और x की power को 1 कम कर दो तो power को बाहर लाए x की power 5 से 1 कम की 4 5 x की power 4 clear है जैसे मान लो लिखा हो y is equals to x की power 100 तो बेटा कितना हो जाएगा dy बाई डी एक्स, बोलो, पावर को बाहर ले आओ, और एक्स की पावर एक कम कर दो, एक्स की पावर 99, क्लियर है, पावर को बाहर ले आओ, एक्स की पावर एक कम, क्लियर, चलो आगे बढ़ते हैं, याद होना चाहिए, मैं तो कहता हूँ याद होना चाहिए, देखो, उल्टे और नीचे x की power एक बढ़ा दो करकी भी देख सकते हो formula से देखो ये नीचे है ना power 1 तो यानि minus 1 हो गई power तो उपर minus 1 लिखो जो power है और नीचे power एक बढ़ा दो ये देखो 1 upon x square यानि x की power minus 2 तो उपर लिखो minus 2 और नीचे power 1 बढ़ा दो ये reciprocal को deal करने का तरीका 1 upon x की power 9 तो उपल लिखो minus 9 और नीचे x की power 1 बढ़ा दो clear है जैसे मालो मेरे पास लिखा हो y is equal to 1 upon x की power 4 तो dy by dx सभी लोग साथ में बताएंगे बेटा x की power minus 4 है तो उपर लिखो minus 4 नीचे x की power 5 कर दो यह जल्दिल लिखना है तरीका बता रहे है देखो यह तो सबको याद होना चाहिए कि अगर y की value x है तो dy by dx minus 1 by x square कैसे किया यहाँ 1 है उपर minus 1 नीचे power 1 बढ़ा दो उपर minus 4, नीचे power 1 बढ़ा दी, मानलो y is equals to लिखा है 1 upon x की power 7, तो dy by dx क्या होगा, सभी लोग साथ में बोलें, देखो निकालने को तो तुम निकाली लोगे, तरीका तो तुमको पता ही चल गया, so you can find out. इस नॉट अबॉट कि आप निकाल नहीं सकते बेटा डी वाई बाई डी एक्स क्या हो जाएगा इसका माइनेस सेवन है ना तो माइनेस सेवन उपर लिख लो एक्स की पावर माइनेस सेवन तो माइनेस सेवन उपर लिख लो नीचे पावर एक बढ़ा दो बेटा रूट एक्स यानी एक्स की पावर हाफ अब सर क्या कर रहे हो, रटवा रहे हो, यार ना ये सब ऐसा है कि एग्जाम बेटी कर नहीं सकते, टाइम नहीं है इतना, है ना, नीट का एग्जाम बेटा क्या है, नीट का एग्जाम किस चीज का एग्जाम है, नीट का एग्जाम स्पीड का एग्जाम है, नीट का एग्� कि कई बार नीट में बड़े हेल्दी सवाल दे देता है और वह हेल्दी सवाल आप भी कर पाओगे जब आपको बेसिक डेटा याद होगा जब आप इग्जाम में दो आपको दो तीन हजार चीजें आदू देखो जितने भी बहुत अच्छे टीचरों आपक पॉइंट ऑफ यू में नहीं रख रहे हैं यह कॉम्पटीशन है साहब यहां हर कोई लड़ रहा है तो यहां जंग में आने के लिए पहले से अपनी कलवार कसके रखनी पड़ेगी ना अपने बांड कसके रखने पड़ेंगे यह नहीं कि वहां जा रहे हैं इस बां y is equals to root x dy by dx 1 by 2 root x, खतम आप इसको चाहो तो differentiate करके भी देख सकते हैं हम लोग ऐसा नहीं कर नहीं सकते y is equals to root x को क्या मैं x की power half लिख सकता हूँ, बिल्कुल so ये नहीं कहला कि concept नहीं है dy by dx क्या होगा बेटा half बाहर आ जाएगा x की power half minus 1 यानि half, x की power half minus 1 कितना हो गया, x की power minus half minus half मतलब 1 by root x, तो देखो आ गया minus half का मतलब नीचे ले आओ तो power positive हो गई और half मतलब root x बात समझ में आई minus half minus को power को नीचे ले आओ plus हो गई और half है तो root x कर दिया बट आप ये सब यहाँ दरखो कि y root x है तो dy by dx 1 by 2 root x y 1 by x है तो dy by dx minus 1 by x square तो ये reciprocal वाला खेल समझ में आ गया है 1 by x square को x की power minus 2 फिर minus 2 बाहर आएगा x की power minus 2 minus 1 minus 3 फिर नीचे ना यहाँ से minus 2 उपर गया नीचे power 1 बढ़ा दी यहाँ से minus 9 उपर गया नीचे power 1 बढ़ा दी बहुत बढ़िया भाई सबको समझ में आया आगे बढ़ते हैं next derivative of trigonometric function सभी को याद होते हैं एक बाद जल्दी से इसको revise करते हैं y is equals to sin x dy by dx क्या हो जाएगा cos x y is equals to cos x dy by dx minus sin x y is equals to tan x dy by dx क्या हो जाएगा sec square x y is equals to sec x इसमें कोई लॉजिक नहीं रटना होता है, बट इन दोनों को देख लो, इन दोनों का पैटर्न समझ में आएगा, टैन एक्स का बन गया सेक स्क्वेर एक्स, तो कॉट एक्स का बन जाएगा कोसेक स्क्वेर एक्स, सेक एक्स का बन गया सेक एक्स टैन एक्स, तो कोसेक एक्स का बन जाए� अब एक चीज़ याद रखो, ये CC वाले में नेगेटिव भी लगता है टैन एक्स का डिफरेंशेशन बेटा 6 स्क्वेर एक्स और कॉट एक्स का कोसेक स्क्वेर एक्स, एक जैसा लगा tan x का sec x square x, cot x का cosec x square x, बर यहां c वाले में negative भी लगता है, ठीक है? sec x का sec x tan x, तो cosec x का cosec x cot x साथ में negative लगता है, clear? रटने वाली बात है, चलो, derivative of logarithmic functions and exponential functions, है न, logarithmic भी है and exponential भी है, चलो, y is equals to log x, dy by dx होता है बेटा, 1 by x, y is equals to e की power x, dy by dx will be e की power x, e की power x का differentiation e की power x, y is equals to a की power x, dy by dx हो जाएगा, a की power x log a, इसका एक example दे देता हूँ, last वाले का, मालो लिखा है y is equals to 10 की power x, so dy by dx होगा, 10 की पावर x log 10 ये x की पावर 10 नहीं है ये 10 की पावर x है x की पावर 10 में तो आप क्या लिखते हैं 10 x की पावर 9 ये अलग है 10 की पावर x तो एकी पावर x पहले constant है पर उसकी power में x, अभी तक x की power में constant था, x की power 10 तो बड़ा आसान है, 10 x की power 9, 10 की power x, log 10, clear है, याद करने वाली चीज है, चलो, आगे बढ़ते हैं, addition rule, बड़ा simple है, कोई इसमें नहीं चीज नहीं है, addition rule के अंदर, देखो, अलग-अलग function को अलग-अलग differentiate कर ठीक है, so y is equal, चलो और differentiate करते हैं, dy by dx, तो बेटा x का differentiation 1 होता है, याद रखेंगे हमेशा, x का differentiation 1 होता है, x की power 4, 4 बाहर आ गया, power 1 कम कर दी, 4 बाहर आ गया, power 1 कम कर दी, 1 by x, यानि x की power minus 1, तो ऊपर minus 1 नीचे power 1 बढ़ा दो clear है यहाँ क्या होता है 4 बाहर आया x की power 1 कम कर दी नीचे वाले भी क्या होता है जो लिखा है x की power minus 1 है यह एक तरह से 1 by x मतलब x की power minus 1 तो minus 1 ऊपर नीचे power 1 बढ़ा दी plus 2 root x तो 2 को as it is छोड़ दो root x का differentiation बेटा क्या होता है 1 by 2 root x root x क्या होता है, 1 by 2 root x, तो यह 2, 2 cancel हो जाएगा, plus cos x, cos x का differentiation, minus sin x, minus 3 को as it is रखो, e की power x का differentiation, e की power x, यहां से 2, 2 cancel हो गया, that's it, clear है सभी को?

x का 1, x की power 4x cube, 1 by x यानि x की power minus 1, तो minus 1 upon x की power 1 बढ़ा दी, 2 root x, 2 को as it is रखा, root x का 1 by 2 root x, cos x का minus sign x, minus 3 को बाहर किया, e की power x का, e की power x, चलो आगे बढ़ते हैं, next, uv method, इसको product rule भी बोलते हैं, so y is equals to uv, दो function multiply हो रहे हो, तो dy by dx क्या होता है, u dv by dx, प्लस v du by dx, पहले एक function को constant लो, दूसरे को differentiate करो, फिर दूसरे को constant लो, पहले को differentiate करो, y is equals to x log x, तो यह हो गया हमारे पास दो function, यह हो गया u, यह हो गया v, तो dy by dx, पहले u को बाहर लिया, log x को differentiate किया, 1 by x, फिर v को बाहर लिया, और x को differentiate किया, खतम हो गया, x by x कितना हो गया, 1 plus log x is the answer, clear, तो पहले एक को constant लो, दूसरे को differentiate, फिर दूसरे को constant लो, पहले को differentiate, u by v method, बाई वी मेथड यू बाई वी कोशिशन टूल यू बाई वी मेथड तो डी वाई बाई डी एक्स होता है बेटा जो नीचे लिखा है उसका प���ले स्क्वेयर कर दो जो नीचे लिखा है उसका पहले स्क्वेयर कर दो जो नीचे लिखा है उसको पहले लिखो फिर वी डी यू बाई डी एक्स क्लियर है जो नीचे लिखा है उसका पहले square कर दो, फिर v du by dx, फिर minus लगेगा u dv by dx, तो जो नीचे लिखा है पहले उसका square कर दो, फिर से लिखना हूँ, ठीक है, जो नीचे लिखा है पहले उसका square कर दो, u by v, नीचे क्या लिखा है, v, तो v का square कर दिया, फिर v du by dx, minus u dv by dx, तो पहले कौन सा आता है नीच पॉइंट फिर ऊपर वाले का डिफरेंशेशन फिर माइनस ऊपर वाला कॉन्सटेंट नीचे वाले का डिफरेंशेशन वाइज एक्वेस्ट टू एक्स बटे साइन एक्स यह हो गया यू यह हो गया विजाज और डिफरेंशेट करते हैं सब sin2x, फिर, v को यहाँ पे लिखेंगे, sinx, और u को differentiate करेंगे, x का differentiation, 1, फिर minus लगाएंगे, फिर u को constant लेंगे, और v को differentiate करेंगे, sinx का differentiation, cosx, this is the answer, clear है, पहले, नीचे v का square कर लो, नीचे, वी का square, फिर यहाँ v, और इसको differentiate कर दिया, minus, पाइनेस ऊपर वाला नीचे वाला जिसका square हुआ है वो पहले आएगा यहाँ आद रखो इसी में गलती होती है यहीं पर confusion यहीं पर भूल जाता है नीचे जिसका square किया उसी को पहले रखे यही चोटी बाते होती है जो teacher समस्ता है कि कहाँ आपसे mistake होती है v square तो यहाँ v du by dx minus u du by dx और यह तो बड़ा clear है uv multiplication तो बड़ा आसान है पहले को constant दूसरे को differentiate फिर दूसरे को constant पहले को differentiate पहले कौन से दूसरे कौन से पहले को इसके सवाल आपको मिलेंगे प्रैक्टिस सीट के अंदर तो प्रैक्टिस सीट तो लगाना ही लगाना है चेन रूल अब चेन रूल में क्या होता है अगर यहीं पर लिखा होता साइन एक्स वावावावावा साइन एक्स का डिफरेंशेशन कॉसेक्स पर यहां साइन एक्स इसके लिए जब ऐसी feeling आने लगे जब किसी की तरफ दिल जुकने लगे और बात आकर जुबां तक रुकने लगे तो मैंने कई बार कहा है कहने की कोई जरवत नहीं है बेजती होती है तो sin x square तो x square को आप x माल लो यहाँ यही खेल है x square को x माल लो क्योंकि आप चाहते थे दिल से कि यहाँ x हो sin x का differentiation cos x तो भाईया ठीक है तो भाईया ठीक है तुम चाहते थे यहाँ पे x हो तुमने x माल लिया so dy by dx sin x का differentiation cos x फिर क्या करो इस x को differentiate कर दो with respect to original x, है न, कहने का मतलब, कि जो लिखा है, sin x square, तो लिख लो, cos x square, अरे ये कैसे हो सकता है, sin x का cos x होता है, तो sin x square का cos x square, इसके बाद, ये जो x होना चाहिए था, इसको differentiate कर दो, x square का differentiation क्या हो जाएगा, 2x, तो answer हो गया, 2x into cos x square, बोलिये बात समझ में आई कुछ, जो आप चाहते थे x हो, जो आप चाहते थे x हो, sin x होता तो differentiation, सीधा cos x आता, तो आप इसको मान लो कि ये sin x है, अब इसका differentiation क्या होगा, cos x, so dy by dx is equals to cos, और x क्या है, x square है, फिर इसको differentiate करो, x square का differentiation क्या होगा बेटा, 2 बाहर आ जाएगा, x की power एक, यह हो गया 2x into cos x square clear है next y is equals to log 2x square plus 4 लोग x का differentiation हमें पता है log x का differentiation is 1 by x याद रखेंगे log x का differentiation 1 by x तो अगर ये पूरा का पूरा x होता तो इसका differentiation 1 by x होता 1 by x x क्या है 2x square plus 4 फिर क्या करो इस पूरे capital x को differentiate कर दे पहले क्या किया log log के अंदर पूरे को capital x माना, log x का differentiation, 1 by x, फिर इस capital x को differentiate कर दो, आओ, differentiate करें, 2x square plus 4 को, तो 2 as it is रहेगा, x square का 2 बाहर आ जाएगा, x की power एक कम हो जाएगी, 4 constant है, constant का differentiation, 0, तो आप देखते हैं तू जाएं 4x अपने 2x स्क्वेर प्लस 4 फिर देखाओं यह वाला फिर देखाओं चलो कि यह बच्चों को निर्भू होती है हमेशा चेन रूल में ठीक है चलो है तो मैंने क्या कहा कि इस पूरे को आप दिमाग में एक्स मानों अब पहले दिमाग से आप उनको निकालों ना आप तो उन्हीं को अपना रव मान रहे हो इनको एक्स मानों अपनी एक्स को नहीं आज करने लगे इसको एक्स मानना अभी सर समय नहीं जाएगा गबराहट का मौले समझो लॉग एक्स माना तो डिवाइड एक्स क्या होगा वह वन बाई एक्स होगा सो यानी वन बाई जो एक्स माना है यानी टू एक्स स्क्वेयर प्लस फूर फिर जिसको एक्स माना है उसको डिफरेंशिएट कर तो खत्म सो टू एक्स स्क्वेयर का डिफरेंशिएशन टू एस एट इज रहेगा एक्स स्क्वेयर का टू बाहर आ जाए y is equals to suppose लिखा है cos x square plus 4x plus 2 चलो इसको differentiate करते हैं dy by dx तो पहले आप किसको चाहते थे x हो जाए जो वहाँ पे अंदर लिखा है उसको आप दिल से चाह रहे थे कि वो x हो जाए, है कि नहीं, आप इसको चाह रहे थे कि ये पूरा x हो जाए, so divide by dx क्या होगा बेटा, cos x का differentiation minus sin x, so minus, नहीं समझ रहे हैं, आप यही तो चाह रहे थे न, आप दिल से चाह रहे थे कि यह पूरा क्या एक्स होता, so cos x का differentiation minus sin x, so minus sin और x की जगह यह जो लिखा है, x square plus 4x plus 2, इसके बाद इस पूरे x को differentiate कर दो, इस पूरे को आपने x माना था, so cos x का differentiation minus sin x, फिर इस पूरे को differentiate, x square का differentiation 2 बाहर आ गया, x की power 1, plus 4x का differentiation, बेटा 4 as it is रहेगा, differentiation 1 होता है, मैंने कई बार कहा, यह चीज़ याद होनी चाहिए आपको, कि x का डिफरेंशियेशन, क्या मेरी image साफ आ रही है, x का differentiation 1 होता है, तो यह 2 बार आ रहा है, 2x, और 4, x का differentiation 1, और 2, constant का differentiation बेटा, 0 हो जाएगा, so it will be, इसको इदर ले आओ, 2x plus 4, माइनस टू एक्स प्लस फॉर और साइन एक्स स्क्वेयर प्लस फॉर एक्स प्लस टू नेक्स बेटा डबल डिफरेंशियेट वाइज इक्वेल्स टू साइन एक्स तो डिवाइब एडिएस को बोलते हैं वाइड एश पहली बार cos x हो जाएगा क्या मेरी image clear आ रही है कि कोई issue आ रहा है इसमें clear आ रही है तो sin x का differentiation क्या हो जाएगा cos x हो जाएगा अब d2y by dx square यानि इसी को दूसरी बार differentiate करो इसको हम लोग y double dash बोलते हैं पहली बार differentiate किया y dash दूसरी बार differentiate किया y double dash तो दूसरी बार differentiate कर दो एक बार किया cos x इसको फिर से differentiate कर दो cos x का differentiation minus sin x, yes or no? cos x का differentiation? cos x का differentiation minus sin x तो इसको बोलते हैं double differentiate clear है? double differentiate मालो मैंने लिख दिया y is equal to x cube चलो इसका निकालो तो पहली बार differentiate dy by dx यानि y देश तो थ्री बाहर आ जाएगा एक्स की पावर एक कम हो जाएगी दूसरी बार डी टू वाई अपन डी एक्स स्क्वेर बेटा यह डी वाई बाई डी एक्स का होल स्क्वेर नहीं है वह अलग चीज होती है यह डबल डिफरेंशियेट है डी टू वाई बाई डी एक्स स् या डबल डेश पहले डिफरेंशेशन को वाइड देश दूसरे को वाइड डबल डेश इसको फिर से डिफरेंशेट कर दो थी आज इस रहेगा एक्स स्क्वेयर का टू बाहर आ जाएगा एक्स की पावर एक कम हो जाएगी कितना हो गया 6 एक्स हो गया बहुत बढ़िया नेक्स्ट आजो मैक्सिमा मिनिमा का कॉन्सेप्ट यहां से सवाल बनते हैं इसके एप्लीकेशन पर मैक्सिमा मिनिमा मैक्सिमा और मिनिमा दोनों यहां पर मैक्सिमम वैल्यू इस टाइम बेटा स्लोप कितनी है कि लोग क्या होता है तैन थीटा यहां पर थीटा कितना जीरो डिग्री इस लोग होती है एंग्ल देट लाइन में मेक्सविट positive x axis तो positive x axis से कितना angle बना रहा है 0 degree तो बेटा यहाँ पे slope कितनी होती है यहाँ पे slope होती है tan 0 और tan 0 की value कितनी होती है और slope क्या होता है dy by dx यानि dy by dx यहाँ पे कितना होता है 0 बात समझ में आ गई यहाँ पे angle कितना है 0 degree है horizontal line है slope हो गया tan 0 slope को हम लोग क्या लिखते है dy by dx और tan 0 की value कितनी होती है जी रो होती है तो डी वाइड एक जी रो यहां भी बेटा सीम चीज है यहां देखो फंक्शन की वेल्यू कैसी हो रही है मिनिमम मिनिमम और यहां भी बेटा स्लोक कैसी है जी रो ही है slope is equals to tan 0 degree, और tan 0 degree is 0, and slope is dy by dx, तो चाहे maxima हो, चाहे minima हो, दोनों पे dy by dx 0 होता है, अब कैसे पता चलेगा सर, कहाँ maxima, कहाँ minima, dy by dx दोनों जगे 0 होता है, चाहे maxima, चाहे minima, कैसे पता चलेगा भाई, dy by dx, दोन जगह 0, अगर dy by dx 0 है, तो maxima भी हो सकता है, और minima भी, अब check करना होगा, d2y by dx square, अगर d2y by dx square less than 0 है, यानि negative है, तो beta maxima होगा, और अगर d2y by dx square greater than 0 है, greater than 0 यानि positive है, तो minima होगा, वैसे कहानी थोड़ी उल्टी लग रही है, पर ऐसा ही होता है, नहीं ना, maxima में negative, minima म तो ये double differentiation का application है, maxima, minima में, कि जहाँ पे maxima या minima होता है, वहाँ पे dy by dx 0 होता है, चाहे maxima हो, चाहे minima हो, दोनों जगे dy by dx 0, maxima में double differentiation negative, negative maximum उल्टा negative और minimum double differentiation d2y by dx square positive greater than 0 आजो सवाल करते हैं find the minimum and maximum value of the function y is equals to x cube minus 3x square plus 6 also find the values of x at which these occurs चलो मेरे पास एक function है मैं को इसका मैक्सिमा और मिनिमा निकालना है तो अगर मेरे से मैक्सिमा, मिनिमा पे सवाल है सबसे पहले एक्जाम में अगर हमने मैक्सिमा या मिनिमा देख लिया कहीं भी देख सकते हैं The maximum height given by this expression and the maximum range given by this expression expression कहीं भी मिल सकता है ना the maximum value of the charge तो कहीं भी जहां पे बेटा exam में maxima minima बोले वहाँ पे बिना कुछ सोचे dy by dx को zero कर दो सबसे पहले dy by dx को zero कर दो यहां से बेटा dy दिए इसके आएगा एक्स क्योंकि डिफरेंटिएशन थ्री बाहर आ जाएगा एक्स स्क्वेयर थ्री बाहर जाएगा एक्स की पावर एक कम माइनस थ्री टू बाहर आ जाएगा एक्स की पावर एक कम कर दी और प्लस सिक्स का डिफरेंटिएशन जीरो एक्वेस्ट जीरो डिवाइब एडिएस की वैल्यू कितनी होनी है जीरो तो एक्स क्योंकि डिफरेंटिएशन थ्री एक्स स्क्वेयर माइनस जाएगा बेटा थ्री एक्स इस अ square minus 6x is equal to 0, यहाँ से x की 2 value आ रही है, यहाँ से x की value 2 आ रही है, 3x square minus 6x is equal to 0, यहाँ से 3x common ले लिया, x minus 2 equal to 0, तो either x 0 है, या x minus 2 0 है, 3 को दर ले जाओ, x into x minus 2 equal to 0, तो इसके 2 root आ रहे हैं, या तो x की value 0 है, या तो x की value 2 है, एलो, या तो ये 0 होगा या तो x-2 इतना तो आता होगा इतना तो पढ़े होगे भाईया इतना गलत कैसे हो सकता है तो x की value 0 या x-2 की value 0 तो दो values हैं क्या पता एक maximum एक minimum हो क्या पता दोनो minimum या दोनो maximum चेक कैसे होगा आप d2y by dx square निकाल के तो next step है d2y by dx square नि��ालना क्या करें दूसरी बार differentiate तो ये पहली बार differentiate करके आया d2y by dx की value यही है न इसको फिर से differentiate कर देंगे यह dy by dx की value इसको फिर से तो 3x square का differentiation 3x square का 2 बाहर आया और power 1 कम हो गई यह देखो dy by dx की value है तो 3x square का differentiation 3 बाहर रहा x square का 2 बाहर आया और power 1 कम हो गई minus 6x तो minus 6 को as it is ले लिया मैंने और x का differentiation 1 होता है लिख लिया कितना हो गया 3 2's are 6x minus 6 यह d2y by dx square square की value है, इसको check कर लो, x is equals to 0 और x is equals to 2 के लिए, इसको check कर लो, so d2y by dx square की value check करो, x equal to 0 के लिए and x equal to 2 के लिए, तो 0 रखने पे क्या हो रहा है, 0 कैसा हो गया, minus 6 कैसा हो गया, negative, और 2 रखने पे, 2 6 जा 12 वो minus 6, 6 यानि कैसा, positive, तो d2y by dx square यहाँ पे, positive है ये क्या है minima d2y by dx square negative है क्या है maxima और dy by dx दोनों के लिए क्या होना चाहिए 0, so dy by dx 0 है, किसके लिए, 0 के लिए और 2 के लिए, यानि 0 और 2 के maxima या minima हो सकता है, कैसे पता चलेगा, d2y by dx square से, so dy by dx की value यह थी, इसको फिर से differentiate किया, 3 को बाहर रखा, 2 को इधर लाए, 3 to the 6, इसकी power 1 कम की, minus 6, x की power 1 कम करोगे, तो 1 हो जाएगा, 6x minus 6, हमने कहा इसको check कर यहाँ दिए इसको नेगेटिव और डिवाइब एडिएड जीरो है यह कौन सी जगह है मैक्सिमल यहां डिटूआई बाइट इसको नेगेटिव है और यहां पर यह negative भी है so this is maxima और यहाँ भी beta x is equals to 2 पे क्या हुआ है dy by dx 0 है और d2y by dx square positive है यानि ये minimum है, कब? x is equal to 2 पे minimum है, x is equal to 0 पे maximum है, so y maximum निकालना है, तो x की value 0 रख दो, ये रहा y का expression, इसमें x की value 0 रख दो, maximum value कितनी हो गई y की?

6, और y minimum निकालना है, तो x की value 2 रख दो, ये रहा y का expression, इसमें x को 2 रखो, 2 cube 8, minus 3, 2 square 4, 4 3's are 12, 8 minus 12, minus 4, plus 6, 2, तो कितनी आई, y minimum 2, so y की maximum value 6 है, minimum value 2 है, clear है, x की value 2 रखके check कर लो, 2 रखा, 2 cube 8, minus 3, 2 square 4, 4 3's are 12, 8, minus 12 minus 4 plus 6 clear तो यह हुआ maximum minimum अब हम लोग आ गए basic integration basic पढ़ेंगे क्योंकि integration पढ़ने पर तो 16 video बन सकते हैं basic integration जो आ सकता है सबसे पहले integration होता क्या integral ydx is the area under curve इस curve के अंदर जितना area आ रहा है उसको हम लोग integration से ही निकालते हैं what is integral ydx it is area under curve इस बात को याद रखेंगे what is integral ydx area इस curve के अंदर जितना area आ रहा है उसी को हम लोग integral ydx बोलते हैं integration का main कहानी क्या है area under curve next बेसिक फॉर्मुला क्या है integration का? x की power n dx का फॉर्मुला क्या है? ध्यान से सुनें, x की power n plus 1 upon n plus 1 plus c and n should not be equal to minus 1, लंबी कहा नहीं है, x की power n है, तो उपर power 1 बढ़ा दो, और नीचे power 1 बढ़ा कर डिवाइड कर दो, x की power n है, तो उपर power 1 बढ़ा दो, sorry n की value minus 1 ना हो यानि आप कभी भी x की power minus 1 का integration इस तरह से मत करना कहने का मतलब 1 by x का integration मत करना ठीक है यह formula किस पे valid नहीं है integration of 1 by x dx पे ठीक है इसके लिए valid नहीं है ठीक है आज़ाओ integration of dx सबसे पहले हमने dx स्टार्ट किया तो बेटा integration of dx को हम लिख सकते है x की power 0 dx बाई x की power 0 क्या हो गया 1 तो 1 x की power 0 है तो उपर x की power 1 बढ़ा दो और नीचे x की power 1 बढ़ा की divide कर दो plus constant of integration कितना हो गया x by 1 plus c तो dx का integration beta x होता है dx का integration x होता है याद रखो dx का integration x होता है और x का differentiation 1 होता है डी एक्स का क्या एक्ट्रीव वन का इंटेग्रेशन ही तो है वन डी एक्स का इंटेग्रेशन एक्स और एक्स का डिफरेंशेशन वन है ना वन डी एक्स है वन को मैंने एक्स की पावर जीरो लिखा तो क्या हो गया एक्स की पावर जीरो प्लस वन अपॉन जीरो प्लस वन ए एक्स की पावर वन है तो उपर पावर एक बढ़ा दो और नीचे पावर एक बढ़ा कर डिवाइड कर दो कितना हो गया एक्स स्क्वेयर बटे टू प्लस सी एक्स स्क्वेयर डी एक्स तो उपर पावर एक बढ़ा दो नीचे पावर एक बढ़ा कर डिवाइड कर दो प्लस सी minus 1 by x minus 1 by x कैसे करेंगे चलो देखते हैं x की पार minus 2 dx है x की पार minus 2 dx so x की पार माइनस टू प्लस वन अपॉन माइनस टू प्लस वन प्लस सी सो ये हो गया एक्स की पार माइनस वन अपॉन माइनस वन प्लस सी यानि ये हो गया माइनस वन बाई एक्स प्लस सी तो मैंने कहा ना बेटा वन बाई एक्स स्क्वेर का इंटिग्रेशन याद रखो माइनस वन बाई एक्स और वन बाई एक्स का डिफरेंशेशन क्या था वन बाई एक्स का differentiation minus 1 by x square 1 by x square का integration minus कई जगे मिलता है gravitation वगेरा में 1 by r potential निकाल लेमे electrostatics के अंदर 1 by r का time आपको बहुत जगे integration में मिलने वाला है spherical shell वगेरा बहुत जगे मिलता है 1 by r का integration 1 by r square का integration जब भी मिले क्या करेंगे minus 1 by r वन बाई आर स्क्वेर का इंटिग्रेशन जहां भी मिले माइनस वन बाई आर या माइनस वन बाई एक्स क्लियर है बाकी तो यार फॉर्मले से करी सकते हो फॉर्मला तो सब कुछ है ही है फिर भी जब चीज़ें याद होती तो मज़ा आता है वन बाई एक्स स 1 by x square x की power minus 2 dx, तो minus 2 plus 1 upon minus 2 plus 1, so minus 1 by x, आगे बढ़ते हैं, अब n minus 1 हो गया, particular condition, इस पे formula valid नहीं था, यानि 1 by x की value, n-1 का मतलब 1 by x की value, तो बेटा 1 by x का integration होता है log x, और log x का differentiation होता है, 1 by x ऐसे याद भी रह सकता है, अगर integration of x की power minus 1 dx है, what is this? This is integration of 1 by x dx, so 1 by x dx का integration है log x, और log x का differentiation होता है 1 by x, clear?

5 dx, तो बेटा आप देखो इस तरह कैसे करना है? Integral 5 dx, तो जो constant होता है, वो integration के बाहर आ जाता है, integration of, dx कितना होता है, मैंने बता दिया x होता है, so 5x plus c, यहाँ भी c लगा लो, क्योंकि यह indefinite integration है, जब तक यहाँ limit ना लिखी हो, तब तक c लिखते हैं, अगर यहाँ पर limits लिख दे, यहाँ पर limits लिख दे, तो plus c लिखना बंद कर देते हैं, 10x dx, तो बेटा integration से 10 बाहर आ जाएगा, x dx, so बेटा x का integration क्या होगा, उपर power एक बढ़ा दो, नीचे power एक बढ़ा कर, divide कर दो, तो उपर power एक बढ़ा दी, divide कर दी, plus c, 2 5's are 10, तो 5x2 plus c, यहाँ पे आगे बिटा, e की power x, यह धीड आदमी है, इसको differentiate करो फरक नहीं पड़ता, integrate करो फरक नहीं पड़ता, so e की power x plus c, differentiate भी करोगे e की power x को, तो e की power x integrate भी तो ही, log x का integration, इसको बेटा हम लोग isolate rule से करते हैं, isolate rule हमको नहीं पढ़ना, log x का integration आप सिर्फ याद करके बैट सकते हो, ठीक है, इसको learn ही करना पढ़ेगा इसको भी, तो log x का integration होता है x log x minus x, x log x minus x ये log x का integration होता है x log x minus x और log x का differentiation 1y x होता है x log x minus x आगे बढ़ते हैं वेच्चों trigonometric function sin x का integration देखो sin x का differentiation था cos x integration हो जाता है minus cos x यहाँ पे खेल पलट गया plus c तो लगाना ही लगाना है जब तक यहाँ limits नहीं लिखी है तब तक plus c लगता है cos x का integration cos x का differentiation था minus sin x यहाँ पे उल्टा हो जाएगा यहाँ पे plus sin x प्लस सी, इसके बाद सेक्स स्क्वेर एक्स का इंटिग्रेशन, बिटा टैन एक्स का डिफरेंशेशन था सेक्स स्क्वेर एक्स, तो सेक्स स्क्वेर का इंटिग्रेशन हो जाएगा टैन एक्स, कोशिक स्क्वेर एक्स का इंटिग्रेशन बेटा कॉट एक्स का डिफरेंशेशन था माइनस कोशिक स्क्वेर एक्स तो कोशिक स्क्वेर एक्स का इंटिग्रेशन हो जाएगा माइनस कॉट एक्स प्लस सी क्लियर यादा यह बात यह साइन एक्स का कर दो कॉस x का integration क्या होगा, कॉस x का differentiation था, minus sin x, तो integration में plus sin x, sex square x का integration, तो tan x का differentiation क्या था, tan x का differentiation क्या था, dy by dx क्या था, sex square x, तो sex square x का integration tan x, cot x का differentiation क्या था, minus cosec square x, तो cosec square x का integration, minus cot x, आगे बढ़ते हैं, ax plus b types, तो सारा integration जैसा था, बाद में एसे डिवाइड कर दो था इसके एक्स प्लस बी तो साइन एक्स का इंटीग्रेशन क्या था जा था वही करो साइन एक्स का था माइनेस कॉस एक्स सो माइनेस कॉस एक्स प्लस बी इसके बाद एसे डिवाइड कर दो प्लस सी कॉस एक्स प्लस बी डी एक्स तो बेटा कॉस एक्स का इंटीग्रेशन क्या था प्लस साइन एक्स तो साइन जो इंटीग्रेशन कर रहे थे वही करो बाद में एसे डिवाइड कर दो अ सेक्स स्क्वेर एक्स प्लस बी डी एक्स सेक्स स्क्वेर का इंटिग्रेशन टैन एक्स था सो टैन एक्स प्लस बी डिवाइड बाई एकर दो सिंपल कोसेक स्क्वेर एक्स प्लस बी डी एक्स तो कोसेक स्क्वेर का क्या था माइनेस कॉट एक्स तो माइनेस कॉट एक्स प्लस बी डिवाइड बाई एकर दो प्लस सी dx upon ax plus va पहचान पाए कि नहीं पहचान पाए इसको ध्यान से पहचानो ये कुछ इसी form को change किया है ये किसको change किया है ये इस form को change किया है 1 by x dx को 1 by x dx का integration था log x यह special case था जहां x की power minus 1 हो रही थी, n is equals to minus 1 पे formula valid, नहीं है कि x की power n plus 1 upon n plus 1 valid, नहीं है, so 1 by x का special integration था log x, अब इसी x की जगे ax plus b आ गया, तो जो कर रहे थे वही करो, बस लास्ट में A से डिवाइड कर दो, E की पावर AX प्लस B, ये कहां से बना, ये इस से बना, E की पावर X, E की पावर X का इंटिग्रेशन क्या था, E की पावर X प्लस C, तो E की पावर AX प्लस B का भी क्या होगा, E की पावर AX प्लस B, और लास्ट में A से डिवाइड कर दो अगर x की जगह a x plus b आ जाए, तो same है, देखो sin x होता तो minus cos x, sin a x plus b है तो minus cos a x plus b, 1 by x होता, तो log x आता, a x plus b है, तो log a x plus b, divide by, पावर एक्स होता इन पावर एक्स कमान यार कमान इन पावर एक्स होता तो इन पावर एक्स आता इन पावर एक्स प्लस भी तो एक्स प्लस भी डिवाइड चलो सवाल कर लेते हैं कुछ थोड़े से प्रैक्टिस पहला साइन टू एक्स प्लस थ्री इंटेग्रेशन ऑ 2x plus 3 तो बेटा क्या करेंगे sin x का integration minus cos x so minus cos 2x plus 3 और देखो ये ax plus b है तो a से divide plus c यही तो a है यहाँ ax plus b यही तो form है so sin का minus cos x होता है कर दिया divide by a कर दिया Second, 1 upon 4x plus 3, पहचान रहे हो, log x वाला form है, 1 by x से 1 by ax plus b बन गया है, है की नहीं, ये क्या है, ax plus b, so 1 by x का ही तो form change हुआ है, 1 by x का क्या था, log x, so log 4x plus 3 divide by a plus c, third. E की power 2x अब देखो इसमें B नहीं है AX plus B, B की value 0 भी कह सकते हो यह E की power X तो नहीं है थोड़ा सा तो अलग है न उससे E की power 2x सो यहाँ पे आप क्या बोल सकते हो कि B की value 0 है AX plus 0 form तो वही है न AX plus 0 so E की power 2x dx का integration एक मिनिट E की power 2x dx का integration तो हम लोग बोल सकते हैं ये AX plus 0 का integration है इन्टेग्रेशन क्या होगा E की power 2x और divide by A plus C यहाँ पर B की value 0 है तो B नहीं आएगा E की power AX जैसे माल लो आपके पास कहीं ये लिखा हो integrate sine 2x अब इसमें क्या है?

इसमें b की value 0 है, तो क्या हो जाएगा? minus cos 2x divide by 2 plus c. Clear है? यहाँ पे क्या हुआ, एक्स प्लस जीरो हो गया, बी की वैल्यू जीरो है, कोई दिक्कत नहीं है, साइन टू एक्स का इंटिग्रेशन क्या हो जाएगा, माइनस कॉस टू एक्स डिवाइड बाई टू प्लस सी, नेक्स्ट, और दिखा दे, फोर्थ हो जैसे मालो अपना लिखा है 1 by 2x का integration with respect to dx, तो इसमें तो यह भी कर सकते हैं, आप half को बाहर ले सकते हैं, और 1 by x dx का integration, so 1 by 2 log x, इस तरह से मैं आपको practice करा रहा हूँ, और बताओ, और क्या कर सकते हैं, हो गया I think, जितना भी हो सकता था, चलो आगे बढ़ते हैं let's proceed जैसे मान लो आपको ये दिया हो cos cos 2x का integration तो क्या हो जाएगा बेटा यहाँ पे b की value 0 है I think repetitive सवाल हो रहा है आगे बढ़ते हैं यहाँ पे b की value 0 है तो cos 2x का integration क्या हो जाएगा plus sin 2x divide by 2 plus c यह तो इसके similar हो गया चलो next definite integral बेटा definite definitely बच्चों definitely my name is Alag Pandey so definitely बच्चों so definite integral में very sorry definite integral में क्या होता है कि constant नहीं आता plus C नहीं आता क्यों क्योंकि यहाँ पे limits defined होती हैं बस इतना समझ लो x dx का integration आओ देखो कैसे करते हैं इसको पहले x dx को integrate कर लो क्या x dx का integration क्या होगा divide कर दो x की power एक बढ़ा लो नीचे power एक बढ़ा के divide यहां लिखो 2 यहां लिखो 4 ठीक अब x की जगे पहले 4 लखो x जगे पहले 4 रखो, 4 square divide by 2, फिर minus लगाओ फिर x की जगे lower limit रखो समझ में आया?

पहले x की जगे upper limit रखो फिर minus लगाओ, फिर x की जगे lower limit रख दो, 4 का square यानि 16 बटे 2, 2 का square यानि 4 बटे 2, तो 8 minus 2, answer आ गया 6, बोलो सही है, x square by 2 ही होगा, x dx, x square by 2, x की value power एक बड़ी, नीचे उसे डिवाइड कर दिया, so पहले x की जगे 4 रखा, 4 square by 2, minus, x जगे 2 रखा, 2 square by 2, 4 square 16 बटे 2, minus 2 square, 4 बटे 2, तो 8 minus 2, 6, ठीक है, x cube, x3dx कर लेंगे अब x3dx क्या हो जाएगा x की power 1 बढ़ा दो नीचे power 1 बढ़ा के divide कर दो यहाँ पे 1 यहाँ पे 2 तो पहले x की जगह क्या रख देंगे 2 रख देंगे तो 2 की power 4 by 4 minus x की जगह क्या रख देंगे lower limit पहले upper limit रखो उसके बाद minus लगाओ उसके बाद lower limit रख दो 2 की power 4 यानी 16 हो जाएगा, और divide by 4, minus 1 by 4, तो 16 बटे 4 कितना हो गया, 4 minus 1 by 4, तो ये कितना हो जाएगा, LCM हो जाएगा इसका 4, चेके 16 minus 1, 15 बटे 4, 4 x 4 16, 16-1, 15 x 4, sin theta का integration, beta sin theta का integration क्या होता है, minus cos theta, और 0 से लेके pi, मेरा इसमें जब minus आता है, मेरा कहना होता है, minus बाहर निकाल लो, करना आसान होता है क्या minus बाहर लिकालना allowed है जी हाँ allowed है 0 से pi अब minus को बाहर रखो बेटा अब cos पहले theta की जगे pi रखेंगे minus cos theta की जगे 0 रखेंगे clear है यहाँ पे variable क्या था theta है यहाँ पे जो integration होगा बेटा वो d theta के terms में होता है जब theta है तो d theta के terms में so sin theta का integration minus cos theta 0 से pi साइन थीटा क्या होता है? माइनस कॉस थीटा माइनस जब दिखे बाहर निकाल लो अब कॉस पहले पाई रखो माइनस जीरो रखो थीटा की जगे पहले पाई फिर जीरो कॉस पाई कितना होता है? यहां बाहर माइनस लगा कॉस पाई यानि कॉस 180 कॉस 180 की वैल्यू कितनी होती है? साइन 180 की वैल्यू कितनी होती है?

जीरो कॉस 180 कितना होता है? कॉस पाई कि असाइन 180 बेटा जी रूप ठीक है ताइम 00 साइड 180 जी रूप अब यहां तो माइनस कॉस्ट 0-1-2 और माइनस टू और अच्छा, sin2xdx और cos2dx, ठीक है, अब ये थोड़े अलग होते हैं, ये किसी formula से नहीं solve होते हैं, sinx का integration क्या था, minus cosx plus c, sin2x का भी हमने पकड़ लिया क्या है, minus cos2x divide by 2, but sin2x का अपने पास कोई formula नहीं है, sinx का minus cosx, sin2x का minus cosx, minus cos2x divided by 2, sin2x का कोई formula नहीं है, cos2x का कोई formula नहीं है, इसका एक ही तरीका है, double angle formula पे jump करो, इसका एक ही तरीका है, double angle formula में देखो इस तरह का integration बीच में फसने का neat में chances कमेंग तो direct integration का सवाल आएगा नहीं पर अगर ये बीच में कहीं आता है तो इस तरह का integration के chances low है पर मैं चाहता हूँ कि मैं आपको थोड़ा सा advance level पे भी रखूँ तो इस तरह की चीज़े भी अपन थोड़ी जी practice कर लेते हैं देखो क्या करना होगा sin square x को आप cos 2x के form में लेके जाओ cos 2x को अगर formula आप याद करो 2x मतलब cos 2 theta अगर cos2 theta का formula आप याद करो, तो sin के terms में था 1-2 sin2 theta, यहाँ x है तो x लिख दिया, cos2 theta का formula sin के terms में, 1-2 sin2 theta, यहाँ से बिता 2 sin2 x को इधर ले आओ, is equals to क्या हो जाएगा 1 minus cos 2x हो जाएगा यहाँ से sin square x कितना आ गया half into 1 minus cos 2x similarly बेटा आप cos square x को भी लिख सकते हो देखो cos2x का formula, cos2x में क्या था, 2cos2x-1, क्योंकि है तो formula cos का ना, तो positive कौन होगा, cos2x में 2cos2x-1, या 1-1, यहां से बेटा 2 cos2x is equals to 1 plus cos2x हो जाएगा और यहां से cos2x will be half into 1 plus cos2x बोलो सही है बस बेटा आप sin2x की जगह यह value रख के integrate कर दो cos2x की जगह यह value रख के integrate कर दो खतम sin2x दी एक्स की जगह वैल्यू पोट करो हाफ वन माइनस कॉस्ट टू एक्स अब इंटेग्रेशन अंदर घुश जाएगा यानि हाफ का डीएक्स अलग-अलग कर लें इसको हाफ का डीएक्स माइनस इंटेग्रेशन ऑफ हाफ का अ कॉस 2x dx समझ गया हाफ dx half cos 2x dx चलो तो बेटा हाफ तो बाहर आ जाएगा dx का integration क्या होता है x होता है minus half फिर से बाहर आ गया constant को बाहर करते है cos 2x का integration, cos 2x, cos 2x पैचान रहे हो, ax plus 0, ax plus 0 का form, so cos 2x का integration क्या होगा, sin 2x divide by 2, तो ये कितना हो गया, x by 2, 2 minus sign 2x by 4 plus इस जदे cos square x का कर लो बेटा cos square x dx formula क्या है इसका half 1 plus cos 2x चेक कर लो half 1 plus cos 2x dx तो सारी कहानी same रहेगी बस इस minus की जगे plus आ गया है तो all story will remain same लास्ट में देखो यहाँ जो minus है यह minus यहाँ आया यह minus यहाँ पर उसी के जगह plus है तो final answer क्या हो जाएगा x by 2 plus तो इसके बाद आप प्राक्टिस शीट को फिजिक्स वाला एप में जाकर उमीद बैच में बटन दबाएं कोई पैसा नहीं लगेगा आप सब्सक्राइब हो जाएंगे वहां से प्राक्टिस शीट को डाउनलोड करेंगे और उस पर प्राक्टिस करेंगे वह सॉल्व नहीं ह दिया तो माइन इज पांडियों और मैं आपको यह चोटी सी उमीद देने पढ़ाई करते रहें और द बेस्ट अ

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