Notes de la Présentation sur les Sommes en Mathématiques

Introduction

• Destinée aux étudiants en prépa ou en mathématiques supérieures.
• Présentation du symbole sigma et de ses propriétés essentielles.
• Objectifs : comprendre les sommes, produits de sommes, sommes rectangulaires, triangulaires, télescopiques et formules importantes.

Le Symbole Sigma

• Symbolise la somme, noté avec la lettre grecque majuscule Sigma (Σ).
• Exemple : Σ de Z_i pour i variant de 5 à 8, où Z est le terme commun.
• Indice i varie de 5 à 8, noté comme : i ∈ [5, 8].

Propriétés des Sommes

Sommes de Termes

• Exemple de somme de deux entiers positifs m et p : x_m + x_{m+1} + ... + x_p.
• Notation : Σ pour i allant de m à p de x_i.

Sommes Arithmétiques et Géométriques

• Somme des puissances de Q : 1 + Q + Q² + ... + Qⁿ.
• Formule connue pour la somme des entiers de 1 à n : S_n = n(n + 1) / 2.
• Erreurs à éviter : utiliser un indice déjà utilisé dans l'expression.

Sommes sur des Ensembles Non-Intervalle

• Exemple : i ∈ {4, 6, 8}, somme des 2i.

Séparation des Sommes

• Possibilité de séparer les sommes lorsque cela est justifié.
• Exemples de sommes dépendant et non-dépendant de l'indice.

Formules Importantes à Retenir

Somme des Entiers

• S_n = n(n + 1) / 2.

Somme des Carrés

• S_n^2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6.

Somme des Cubes (Théorème de Nicomac)

• S_n³ = (S_n)² = [n(n + 1) / 2]².

Changement d'Indices

• Possibilité de changer l'indice d'une somme (exemple avec k et p).

Sommes Télescopiques

• Définition : somme de la forme Σ (z_{k+1} - z_k).
• Exemples : somme de 1/(k(k+1)), ln(1 + 1/k).

Sommes Doubles

• Définition et notation : somme sur les termes d'un tableau.
• Possibilité d'intervertir l'ordre des sommes.

Sommes Triangulaires

• Distinction entre diagonales, supérieur et inférieur.
• Méthodes de calculs selon les choix de somme (par colonne ou par ligne).

Formules de Développement

Formule du Binôme

• (a + b)ⁿ = Σ (C(n, k) a^k b^(n-k)).

Factorisation de Aⁿ - Bⁿ

• Aⁿ - Bⁿ = (A - B) Σ (A^k B^(n-k-1)).

Conclusion

• Importance de pratiquer avec des exercices pour maîtriser les concepts abordés.
• Rappel des formules essentielles à mémoriser.
• Encouragement à poser des questions et à commenter.