बेटा आज हमें करना है basic mathematics का summary lecture बोलिये या quick revision बोलिये आपको ध्यान से सुनना है without any distraction प्लीज आप एक ऐसी शान जगबर चले जिये earphone लगा लिजे फिजिक्स को अच्छे से समझने के लिए आपको maths आनी चाहिए एक अच्छे level का फिजिक्स का सवाल is basically a good mathematics question ऐसे सवाल जहाँ पर एक ही critical point आ रहा है वहाँ पर तो obviously आप double differentiation करके नहीं चेक करें तब भी काम चल जाएगा लेकिन जब दो पॉइंट्स आ जाए या तीन पॉइंट्स आ जाए या चार पॉइंट्स आ जाए तो आपको चेक करना पड़ता है तो हम लोग मैस वालों के पास गए तो मैस वाले कुछ गणित अपनी लगा रहे थे तो हमन वहीं से हमारे कोड डिफरेंसिशन भी पढ़ना पड़ा जीपी सीरीज हमारे लिए बहुत इंपोर्टेंट है क्योंकि कई बार हमें जीपी सीरीज की कॉशिंस लगाने पड़ेंगे ग्यारा लेक्चर, 35 मिनट अब बात ही है कि ये 35 मिनट किसके लिए काम करें यो ये रिविजन है आज हमें करना है basic mathematics का summary lecture बोलिये या quick revision बोलिये, हम लोगों ने इस chapter को approximately 10 या 11 lecture में करा है, जिसमें हम लोगों ने differentiation, trigonometry, graphs and all slope, slope सारी चीज़े के बारे में बात करिये, जो हमें कहीं न कहीं आगे वाले chapters में requirement पड़ेगी, ठीक है, क्योंकि अब आपका इस chapter का test भी आने वाला कहीं न कहीं सबसे कम टाइम में हो जाए मैंने कोशिश करी है कि मैजॉरिटी चीजें जो भी हम लोगों ने डिस्कस करी हैं क्लास में मैं उनको आपको एक बार रिवाइज करा हूँ आपको ध्यान से सुनना है विदाउट एनी डिस्ट्रैक्शन प्लीज आप एक ऐसी शान ज इसमें कुछ errors हो सकते हैं तो वो side by side हम लोग करेंगे क्योंकि obvious ही बात है यार देखो जब operator लिखता है DTP operator लिखता है तो उसको इतनी physics या फिर इतनी maths की जानकारी नहीं होती है वो अपनी field में expert है तो obvious है कि कभी कबार हमारी handwriting से उसको confusion होती है तो कुछ चीज़ें वो गलत type ह एक अच्छे लेवल का फिजिक्स का सवाल is basically a good mathematics question एक अच्छे mathematics के सवाल में अगर आप एक फिजिक्स का लॉजिक लगा देंगे तो वो एक अच्छा सवाल बन जाता है that means कि आप फिजिक्स को बहुत आसानी से समर सकते हैं लेकिन problem आपको generally आएगी maths में तो इसलिए हम लोग maths के वो topics जो बाद में कहीं न कहीं आपको करा दिये जाएंगे और detail और better form में कराएंगे obviously लेकिन हमें क्या चीए एक छोटा form जिससे हमारे पास mathematically कोई दिक्कत न आए अपने फिजिक्स के सवालों को करने में तो जब हम लोगों ने basic maths की बात कर दिये थे, सबसे पहले हम लोगों ने angle से start किया था, है न, कि हमारे पास trigonometry से basically हम लोगों ने start किया था, तो याद करिये कि हमारे पास trigonometry में हम लोगों ने कहा था कि जो angle है, that is arc length by radius, और arc length by radius जब हम लोग angle की बात करेंगे तो ये dimensionless रहे तो 180 degree equal to pi radians, अगर यह कहीं लिखा नहीं है, तो आपको याद हो जाना चाहिए, 180 degree equal to pi radians, ठीक है, हम लोगों ने यहीं से सारी चीजों को यहाँ पर convert किया था, ठीक है, अब trigonometry के बात करें, तो हमाई पास right angle triangle की हमाई पास 3 side है, ठीक है, 90 degree के सामने हमाई पास होता है hypotenuse, थीटा इस ऑलवेज बिट्वीन बेस एंड हाइपोटेनियूस यह चीज याद रखनी है तो अगर 90 डिग्री आपका यहाँ पर है तो हाइपोटेनियूस आपका बिल्कुल सामने आपको दिखाई देगा ठीक है और एंगल के सामने होता है हमारे पास परपेंडिकुला ठीक ह ठीक है अब बात आती है एक स्टैंडर ट्राइंगल था हमारे पास 345 का याद करिए 345 तो जो 3 और 5 के बीच का एंगल होता है देट इज फिफ्टी थी डिग्री और फोर और फाइड के बीच का एंगल होता है थर्टी सेवन डिग्री मैंने याद कराया था 3 और 5 के बीच का 12, 5, 13 का भी triangle है, इसका भी आद रखना है, अब हम लोगों ने बात कर रही थी कि अगर माल लीजिए मैंने आपको 10th हिटा equal to 4 दिया है, that does not mean कि कई बच्चे कहें कि भीया, sir perpendicular 4 है, base 1 है, no. अगर मेरे पास एक trigonometric ratio है, तो basically दो sides of triangle के ratio है, वो कुछ भी हो सकते हैं, जैसे अगर मालो 4 है, तो एक triangle हमारे पास ऐसा हो सकता है, एक right angle triangle हमारे पास ऐसा हो सकता है, कि 4 और 1 हो, यह भी हो सकता है 8 और 4, हमारे पास, नहीं यहाँ पर, 8 और 2 हो, यह भी हो सकता है 16 और 4 हो, क्य लेकिन sides हमारे पार change हो रही है, that means अगर आपको tan theta मैंने अगर 4 दे दिया है, तो that does not means कि, it only means कि perpendicular by base 4 है, यहाँ पर आपकी triangle की side हमारे पार 4 और 1 नहीं है, अब कई बच्चे कहते हैं, जब हमें triangle की side नहीं पता है, तो मैं sin theta, cos theta कैसे निकालूँगा, क्योंकि sin theta, cos theta भी एक ratio है, तो अगर आपका एक triangle था, जहाँ पर tan theta हमारे पार 4 है, तो theta यह हुआ, तो यह हमारे पार root of 17 आएगा, तो जब आप sin थेटा निकालेंगे, cos थेटा निकालेंगे, उनका भी ratio वही होगा, अगर यहाँ पर 8 और हमाँ पर 2 होता, ratio वही रहेगा, ठीक है, तो अगर आपको 10 थेटा पता है, तो cos थेटा यह सब कैसे निकालेंगे, तो जैसे 1, 4 और 17 आगया, तो आप एक triangle बनाएंगे तो मैंने यहाँ पर standard triangle बना भी दिया है, तो यहाँ से मैं मिटा देता हूँ, 53 and 37 degree का जो triangle है, वो हमारे पर 3, 4, 5 वाला ही triangle होता है, ठीक है, फिर कुछ identities की बात कर दीते हैं, sin square plus cos square theta equal to 1, 1 plus tan square second square theta, 1 plus cos square second square theta, sin 2 theta और cos 2 theta की value हम लोगों ने यहाँ से भी निकाली थी, मैंने आप टर्म में क्या difference रहेगा, sin A cos B, ठीक है, तो sin A cos B plus cos A sin B, sin A cos B minus cos A sin B, जब cos का formula आएगा A plus B या cos of A minus B, तो sin उल्टे हो जाएगे, यहाँ plus है, तो यहाँ minus हो जाएगा, और यहाँ minus है, तो यहाँ plus हो जाएगा, ठीक है, यहाँ sin उल्टा रहते हैं, लेकिन term same रहते हैं, cos A cos B plus sin 10a-b, तो 10a-10b, 1 plus 10a, 10b, इसका हम लोग utilize कैसे करते हैं, एक तो ये, अगर a और b दोनों बराबर हैं, तो ये sin2 theta बन जाएगा, sin2 theta, ये हमारे पास आएगा 2 sin theta, cos theta, और यहाँ पर a और b अगर आप दोनों को बराबर कर देंगे बिटा, तो हमारे पास जैसे आप a और b को बर हमारे पास sign 15 degree 10, 165, cos 105, यह सारी चीजों को निकालने में हमें मदद करता है, ठीक है, अब अगर आपको यह वाले angles चीज़ें हैं, तो हम लोगों को यहाँ पर, ठीक है, I think next page पे हम लोगों ने, वाली, अच्छा, चली कोई नहीं, एक और हमारे पास, हाँ, ओहो, यह वाला हम मैंने आपको कहा था इतना ही यादगूर साइन जीरो है, साइन थट्टी हमारे पास कहीं गलत नहीं दिखाना है, साइन थट्टी हाफ है फिर वन बाय रूट टू है, फिर रूट थ्री बाय टू है, फिर वन है कॉस थेटा लिखना है, इसको यहाँ लिखो यहाँ पर निकाल सकते हैं, ठीक है अब अगर हमारे पास 90 degree से ज्यादा एंगल होता है, ठीक है तब हम लोग कैसे करते थे 90 into n plus minus theta का, याद करें कि if angle is more than 90 degree, जैसे for example आपको सवाल में आया, कि cos of 240 degree निकालिए, for example, ठीक है, ऐसे कोई भी रंग का number नहीं देंगे, क्योंकि आपको भी पता है कि हम सारे angles को याद नहीं कर सकते, हमें जो भी known angle है, for example, sec of 210 degree, cos of 300 degree, tan of 315 degree, which is more than 90 degree, कि first quadrant का अगर angle है तो सारे trigonometric ratio positive होते हैं second quadrant में sine और cosec third quadrant में tan और cot fourth quadrant में cos और secant ही positive होते हैं अगर angle हमारे पास second quadrant का होगा तो सिर्फ ये इन ही की values positive हैंगी angle अगर third quadrant होगा तो इन ही की values positive हैंगी angle अगर fourth quadrant में होगा तो इन ही की values हमारे पास positive हैंगी तो हम लोग कैसे करते थे मैंने कहा था कि जो भी आपका angle होता है आप 90 into n plus minus theta के form में लिखें अब आप n को देखें अगर आपका n even है तो जो भी sign, sign में ही रहेगा, cost, cost में ही रहेगा, 10, 10 में ही रहेगा, जो भी trigonometric ratio वो same रहेगा, अगर हमारे पार n odd आ गया, तो sign cost में चला जाएगा, 10 cot में चला जाएगा, कुछ इकन सेकंड में हमारे पास चला ज अब आती है बात कि जैसे cos of 240 degree तो अगर हम लोग देखे तो 19 to 3 minus 30 लिख सकता हूँ क्योंकि 19 to 3 270 degree हो गया minus 30 कर दो अगर आप देखे तो cos 240 degree हमारे पास कौन से quadrant में आएगा इस quadrant में तो answer negative आना चाहिए तो मैंने यहाँ पर answer negative करा जब यह हमारे पास odd था तो cos किस में convert हो गया sin 30 तो minus sin 30 की हमारे पास value यहाँ पर आ गई जैसे बाल लीजिए second of 210 degree पूछा तो मैंने कहा 90 इंटू टू 180, 180 में 30 जोड़ूंगा 210 हो जाएगा, तो secant of 210 degree, secant हमारे पास, देखो 210 degree कौन सा quadrant में आएगा, third quadrant में आएगा, तो हमारे पास secant यहाँ पर negative रहेगा, तो overall answer हमारा negative आना चाहिए, तो मैंने कहा यहाँ पर minus लगा लिया, यह 2 even है, तो secant में रह जा सकते हैं अंसर से माता है कॉस्ट रियल डिग्री तो यह कॉडरेंट का एंगल होगा फॉर्ट कॉडरेंट का तो अंसर पॉजिटिव आना चाहिए तो आपका अंसर पॉजिटिव आएगा फिर मैंने देखा यह इवन है तो यह कॉसी रहेगा और एंगल 120 degree second quadrant में है sign positive रहेगा answer आ गया sign 120 degree तो अगर sir मैं even से जाओ 19 to 2 कितना होता 180 180 में से 60 घटा दोगा 120 आएगा तो sir अब तो ये even है तो मैंने कहा अगर ये even है तो ये sign रहेगा ये angle रखा और 120 degree second quadrant में positive आना चाहिए answer हमारा same आया अभी हम लोग discrement वाली बात पर भी कहीं न कहीं आ जाते हैं तो ये वाली बात आई तो इनी angles को हम लोग use करके अपने trigonometry में और भी angles निकास करते हैं जैसे sign 15 degree है ठीक है, तो आप इसको कैसे निकल सकते हो बेटा, sin of 45 minus 30, और फिर sin A minus B का formula लगा दो, sin of 75 degree, तो मैं इसको लिख सकता हूँ, 45 plus 30 degree, तो इसी प्रकार से हमारे पास ये सारी values को आप आसानी से कर सकते हैं, तो 105 को आप लिख सकते हैं, 60 plus 45, and so on, आपके कोई भी combination बनाए जा सकते हैं, cos 45, sin 45, cos 30, sin 30, तो हम लोग directly निकाल पाते हैं small angle approximation मैंने आपको बताया था कि अगर आपका angle small है किस range तक का हम लोग generally 10 degree बोलते हैं लेकिन 30 degree तक भी बात करी जा सकती है तो sine theta को आप theta लिख सकते हैं cos theta को आप 1 लिख सकते हैं tan theta को आप theta लिख सकते हैं ये theta आपको हमेशा रखना है radians में ये न साइन ओफ वन डिग्री, अक्चुली में आपको यहाँ पर रेडियन्स में कन्वर्ट करना पड़ेगा, रेडियन्स में अगर आप डालेंगे तो सेम अंसर आपको यहाँ पर मिल जाएगा, ठीक है, इसके बाद हम लोगों ने कहा था कि एक कॉडरेटिक एक्वेशन के बारे बी क्या है coefficient of x है धियान समझना, ए क्या है coefficient of x square है and c is our constant, तो b square minus 4ac अगर आप निकालेंगे, अगर ये greater than 0 अगर हमाँ पास आ रहा है, तो दो roots distinct अलग-अलग roots मिलेंगे, d equal to 0 आ रहा है तो इसका एक ही root होगा, मतलब दो roots कहेंगे, आप कहें सकते हैं कि coinciding roots होएंगे, real and same roots ठीक है और complex अगर d की value less than 0 आ जाएं, which is complex root, maths में आप ये चीज़ पढ़ेंगे भी, तो इसके root कैसे निकालते थे, minus b plus minus root d divided by 2x, b square minus 4ac हम लोग लग सकते हैं, ठीक है, अब इसका पढ़ने के बाद हम लोगों ने binomial expansion की बात करी थी, अगर मेरे पास कोई भी term अगर ऐसा आ रहा है, 1 plus something, याद रखना 1 होना यहाँ पर जरूरी है, और डब्बा मैंने बनाया, डब्बा एक ऐसी चीज़ है, जो tending to 0 बोले, या फिर ज़्यादा बेटर रहेगा, very small, अगर यह 1 plus anything की power n है, very small, तो आप क्या कर सकते हैं, उस power को आगे ला सकते हैं, यहाँ पर minus हो, तब भी कोई अगर square है तो उसका area L square हो जाएगा, rectangle है तो area LB हो जाएगा, circle πाई R square हो जाएगा, ellipse का πाई A B बताया गया था, आपको sphere का surface area 4 πाई R square होता है, यह याद रखना बाद में नहीं तो दिक्कत आती है, cylinder का अगर आप बात करें, 2 पाई R into L, triangle का हमारे पर half into base into height, equilateral triangle का root 3 by 4 A square, trapezium का half of sum of parallel sides into perpendicular height, हम लोग perpendicular distance between parallel sides, volume के बात करें, तो cube का L cube, cuboid का LBH, cylinder का πी आर square H, ठीक है, यहाँ पर आपका πी आर square H, और sphere का 4 by 3 πी आर cube हमाँ पास रहेगा, अब AP series क्या होती थी, हम लोग ने कोई series की बात करी थी, कि भाई हमारे पास कभी कबार number को अगर मैं एक pattern में लिखूं, such that उनके बीच का common difference, ठीक है, A, A plus D, A plus 2D, दो consecutive number का अगर आप difference कर रहे हैं, tn plus 1 minus tn, एक बड़ा term, next term, minus previous term, अगर constant आ रहा है, इसको हम ap कहते हैं, तो वैसे ज़रूरत नहीं पड़ते हैं, लेकिन sum of ap आपको पता होंचे, n by 2 into initial term and last term, ठीक है, हमारे पास, gp series हमारे लिए बहुत important है, क्योंकि कई बार हमें gp series की questions लग जीपी सीरीज क्या होता है कि जब हमारे पास नंबर को इस प्रकार से लिखा जाए, कि हर टर्म एक, मतलब एक रेशो से मल्टिप्लाई होने के बाद आ रहा है, एक टर्म से मल्टिप्लाई, जैसे एक टर्म है A, सेकिन टर्म आ रहा है आर, फिर आ रहा है आर स्क्वेर, फिर अगर r की value greater than 1 है, मतलब ये term इससे बड़ा है, फिर और बड़ा है, अगर आप इनको जोड़ों के तो ये infinite result दे देगा, क्योंकि हर term बढ़ता चला जा रहा है, अगर मैं इनको जोड़ूंगा तो infinite हो जाएगा, इसको divergent series भी कहते है इस प्रकार से आना चाहिए ठीक है ए अपन वन माइनस आए क्या होता है मैं पर फर्स्ट आर है हमारे पर कॉमन रेशो ठीक है तो यह वाली बात आगे फिर इसके बाद हम लोगों ने स्लोप के बारे में बात करी थी कि भाई देखो हमारे लिए क्या है ना कि एक लाइन अगर ये वाला length हमारे पास होगा x2-x1, ये वाला length होगा हमारे पास y2-y1, और इस triangle में अगर मैं tan theta ले लूँ, तो हमारे पास होगा y2-y1, divided by x2-x1, actually मैं जो slope की definition है, class में मैंने आपको लिखाई थी, it is the tangent of the angle made by the line with a positive x axis in anti-clockwise direction, मतलब हमारे पास जो भी line है, ये कहीं न कहीं x axis को cut कर रही है, इधर भी या इधर भी, उससे positive x direction में जो भी है या आपका angle है, anti-clockwise sense में, इसी का अगर आप tan थीटा ले ले, इसी angle का अगर आप tan थीटा ले ले, तो इसी को हम लोग slope कहते हैं, ठीक है, क्योंकि ये हमें steepness of the line की बात करता है, कि line कितनी ज़्यादा हमारे पर steep है, जितना थीटा कम होगा, उतनी slope कम होगी, जितना थीटा ज़्यादा होगा, उतनी ही slope line ऐसी है तब भी आप tan theta लगाएंगे, line ऐसी है तब भी tan theta लगाएंगे, theta आपका यहाँ पर 0 है भली, लेकिन आपको ध्यान रखने कौन सा angle लेंगे, फिर मैंने आपको बताया था कि अगर line negative slope की होती है, तो confusion आ रही थी हमारे पास, ठीक है, positive slope में तो देखने में कोई पंग अब मालिजे दो line है, हमारे पास एक ये और एक ये, दोनों का angle उपर की side measure हो रहा है, तो दोनों का slope हमारे पास positive है, ठीक है, मैं यहाँ पर लिख देता हूँ, दोनों का slope हमारे पास positive है, और slope किसका ज़्यादा होगा, जिसका angle ज़्यादा होगा, तो slope of line L2 is more than slope of line L1, क्लियर अगर आप देखिए हमारे पास दो लाइन है यह नेगेटिव है क्योंकि इसका एंगल 90 डिग्री से ज्यादा है हमारे पास तो यह दोनों की स्लोप नेगेटिव है किसका स्लोप ज्यादा नेगेटिव है जिसका एंगल ज्यादा आएगा वो ज्यादा नेगेटिव है infinite आप बोलेंगे ठीक है अब बात आती है type of slopes की बात हम लोगों ने करें थे positive slope negative slope and zero slope and infinite slope अगर आप इस point पर slope की बात करेंगे भाई इधर slope बताइए तो मैं कहूंगा एक line बनेइए इस line का आप angle देखें अगर आप या तो ये वाला angle ले रहे हैं तो आप tan theta अगर मालिजी ये वाला कोई angle ले रहा है तो slope निकालेगा tan theta से और ध्यान समझे ये angle 90 degree से ज़्यादा है तो tan theta negative आएगा means इस point पर slope negative है अगर slope आपको दिख रहा है कि भाई line negative है, तो आप या तो ये कर लीजे, या फिर ये वाला angle नाप लीजे, मान लीजे ये alpha है, तो slope अगर आपको निकालना है, minus 10 alpha से आप directly निकाल सकते हैं, तो इस point पर slope आपका negative है, इस point पर अगर आप slope की बात करेंगे, तो zero है, और इस point पर तो आज समझना, अगर मेरा एक point है, तो यहाँ पर line ऐसे आएगी, एक point है, यहाँ पर line ऐसे आएगी, देखें, तो यहाँ पर ज़्यादा angle है, फिर यह angle कम हुआ, तो slope हमाई पर negative है, और हमाई पर कम होता जा रहा है, अगर हम लोग यहाँ पर बात करें, तो एक line ऐसे आए� फिर angle और कम होता चला जा रहा है, तो slope positive तो है, लेकिन decrease करता हुआ हमारे पास जा रहा है, फिर हमारे पास line अगर ऐसे है, तो आप देखे, पहले slope 0 होगा, फिर बड़ेगा, slope positive है, and increase हमारे पास कर रहा है, अब straight line की equation हमारे पास क्या थी, y equal to mx plus c, इसमें जो ये m होता है, अगर आपका x का coefficient, अगर आपका x का coefficient positive आ रहा है, M negative आ रहा है तो line नीचे की direction में देखीगी और अगर M 0 आ रहा है तो हमारे पास क्या रहेगा parallel to the x-axis रहेगा, C क्या बताता था intercept on y-axis, y-axis पर line कहां cut कर रही है, अगर C की value positive है तो line ऊपर cut करेगी, C की value negative है तो line नीचे cut करेगी, C की value 0 है तो line हमारे पास origin पर cut करती है, example के तरफे y equal to minus 2x plus 10, तो slope negative है, intercept positive है, तो intercept positive रखा, slope negative रखे line खेश दी, y equal to 5x minus 10, तो अगर आप देखें, तो slope हमाँ आपा positive है, intercept negative है, तो intercept negative रखे, slope हम लोगों ने consider करके line खेंच दी, याद रखना है, मैंने आपसे गलती करवाई थी, कि मैंने आपको equation दे दिया था, 2x plus 3y equal to 10, for example, ऐसा कुछ दिया, तो कुछ बच्चे कहते हैं, सर, ये slope है, ये intercept है, ऐसी गलती मत करना, आप सबसे पहले standard form में लाएंगे, 3y is equal to minus 2x plus 10, y is equal to minus 2x by 3 plus 10 by 3, अब आप slope की analysis करेंगे, slope negative है और intercept positive है, तब आप अपनी line बनाते थे, याद करेंगे, rectangular hyperbola जब product x और y equal to constant आपको मल जाए, तो rectangular hyperbola है, parabola जब y या x में से किसी एक की power 1 हो और दूसरे की power maximum power 2 हो, तो आपका parabola बनता है बेटा, ठीक है, y equal to x square, याद रखना, किसी का square हमेशा ह x की value negative डालो या positive डालो, y हमेशा positive आएगा, तो parabola ऐसे बना, x equal to y square, y की value positive हो या negative हो, x कभी negative नहीं आएगा, तो ये graph इधर ही बनेगा, ये ऐसा parabola, y equal to x square, ये y equal to minus x square, यहाँ पर y equal to minus x square, x की value positive डालो या negative डालो, square तो हमेशा positive है, लेकिन पहले से minus लगा होने के वाइसे y हमे I think यह है हमारे पास x equal to minus y square, ठीक है, y की value positive हो या negative हो हमारे पास, अगर आप देखें, minus लगे होने के वाइसे x हमेशा ही negative आएगा, तो यह हमारे पास हो गया parabola, ठीक है, फिर हम लोगों की बात करी थे, circle is a part of an ellipse, तो पहले मैंने ellipse पढ़ाया था, ellipse की equation होती है x square by a square plus y square by b square अगर A बड़ा है, greater than B है, तो ये ellipse ऐसा बनेगा, अगर B हमारे पास बड़ा है, तो ellipse ऐसा बनेगा, इनके दो नाम होते हैं, prolate and oblate, हमें अभी नाम से ज़रूरत नहीं है, और इसका area हम लोगों ने बात करी थी, pi AB, circle एक ellipse ही होता है, when A and B both are equal, तो जैसे फिर हम लोगों ने exponential ग्राफ के बारे में भी बात कर रहे हैं, e की पार minus x, and हमारे पास e की पार x, अगर आप देखे, y equal to e की पार x का ग्राफ है, जब x की value 0 होगी, तो हमारे पास यह वाला point आ जाएगा, e की value 1 से बड़ी है, 2.7 है, जैसे ऐसे x बड़ेगा, value बढ़ती चली दिहान से देखना, यह वाला ग्राफ अगर मैं more accurate form में बनाऊं, तो यह ग्राफ कुछ ऐसा बनेगा, यह यहाँ पर cut करेगा, फिर यह उपर जाएगा, और यह कुछ ऐसा आएगा, ठीक है, y equal to e की power minus x, जब x की value 0 होगी, तो यह हमारे को यहाँ पर आएगा, इसका बिल्कुल और जब x की value negative होईगी, तो e की power में overall positive आजाएगा, तो ये बढ़ेगा, तो ये हमारे पास mirror image कुछ ऐसा बनता है, ठीक है, फिर हम लोगों ने बात करी थी differentiation and integration की, differentiation की याद करें, तो rate of change of word हमारे पास physics में बहुत आता है, हम लोग जब velocity की बात करते हैं, तो rate of change of position with respect to time, acceleration की बात करते हैं, तो rate of change of velocity with respect to time, तो rate of change of, rate of flow of charge with respect to time, तो हमारे लिए ये rate of change निकालना बहुत important था, तो हम लोग मैस वालों के पास गए तो मैस वाले कुछ गणित अपनी लगा रहे थे उन्होंने पहले सी ही differentiation या फिर अपना y2-y1 upon x2-x1 जो ये चीज थी उसको वो differentiation कह रहे थे और उनके उन्होंने कई formula निकाले और हमारे लिए भी वही formula required हुई थे तो हमने कहा भी या अपन x क्या होता है independent, independent इसलिए क्योंकि आप x की कुछ भी value डाल सकते हैं, y उसके उपर depend करेगा, तो y हो गया dependent function, x हो गया independent function, अगर मालो f of x is sin x plus cos x, अगर मैं कहना हूँ f of pi by 2 निकाली है, इसका मतलब क्या होता है, ये भी बहुत important है, इसका मतलब यह है कि x की जगा आप pi by 2 रख तो अब हमें rate of change, differentiation क्या है? rate of change of dependent variable with respect to change in independent मतलब y में कितना change आया? यहाँ पे लिखा भी है, देखो y2-y1 upon x2-x1 जब आप x में change कर रहे हैं तो y में भी change आएगा तो change in y divided by change in x is nothing but our differentiation यह math वालों ने बताया इसी को वो अपना differentiation कहते हैं और यह change को represent करने के लिए वो delta यह delta term यूज़ करते हैं अगर change बहुत चोटा है तो dy और dx ऐसे हो जाएगा इसी को अगर graph में देखा जाएगा तो यही आपका tan theta होता था और यही आपका slope of secant होता था याद करिए कि अगर हमारा line दो point को touch कर रही है ऐसे तो आप यह कहेंगे this is slope tan theta ही आ रहा है यह slope ही है लेकिन यह इस curve को दो point पर cut कर रही है slope of tangent word का यूज़ करते हैं, जब हमारे पर dx बहुत छोटा हो जाता था, तो ये line, जो second line है, वो tangent बन जाती थी, तब आप अपना, इसी को tan theta और dy by dx हम लोग word यूज़ करने लग जाते हैं, this is called instantaneous rate of change, अब जब rate of change आ रहा था, तो मैस वालों ने कहा कि भाई यही तो differentiation होता है हमा ठीक है, तो यहीं से हमारे पार differentiation का अजाद हुआ physics में, अब बात आती है कि sir हमारे को कुछ formulas भी आपने को बताये थे differentiation करने के लिए, मैंने कहा yes, constant अगर अलग से मिल जाए differentiation 0 है, x की power n का differentiation power आगे x की power n-1, अगर constant multiplied है x की power किसी भी चीज से, constant किसी भी चीज से multiplied है तो constant क और इसके बाद मैंने आपको नहीं बताया, क्यों नहीं बताया, क्योंकि हमें जुरत नहीं पड़ेगी, हमें अपना कम से कम काम में अपनी सारी चीज़े करनी है, तो यह वाली चीज़े आपको याद नहीं करनी, कोई बोले थार मेरे दोस्त को याद है, आपको भी याद हों 2 की power 5 एक constant है बेटा, ये मत करना कि sir 5 2 की power 4, नहीं भाईया, ये constant है, तो constant बाहर आएगा, इसका differentiation करोगे, minus 7 x की power minus 8 हो जाएगा, important point, x की power e का अगर मैं differentiation करने के लिए बोलूं, e एक constant होता है, बच्चे इसमें और इसमें बहुत गलतियां करने लग जाते हैं, x की power e, तो x की power x की power e power constant है और जब power constant होती है तो आप क्या कहेंगे power आगे आएगी x की power e minus 1 हो जाएगा लेकिन e की power x है तो उसका differentiation same ही रहता है right फिर हम लोगों ने यहाँ पर बात करी थी कि भाई addition हो या subtraction अगर आपको y dot निकालना है धियान सुनना ठीक है, dy by dx की बात करी जाए, यहाँ पर मैं लिख देता हूँ, हमारे पास dy by dx की बात करें, तो इस is first derivative, इसको y dot से भी लिखते हैं, कई जग़ा पर y dash से भी लिखते हैं, और double differentiation, d square y by dx square, यह हमारे पार y double dot बोलिए, या y double dash बोलिए, बात एक ही होती है, मैंने आपको इभी second derivative में आप fraction consider नहीं कर सकते, आप काटा पीटी नहीं कर सकते, ठीक है, तो यह हमारे पास है, अब बात आती है, जब addition का case है, तो जब आप इसको differentiate करेंगे, तो इसका अलग से differentiation का color change कर लेता हूँ, माल लेते हैं, y दो function का summation है, x square का भी और sin x का भी, तो जब आपको differentiation करना होगा, तो इसका अलग से differentiation, इसका अलग से differentiation करके add कर देंगे, अगर आपका subtraction है, तो इसका differentiation, इसका differentiation, इसका differentiation आप कर देंगे, multiplication है, तो product rule लगाते हैं, y dot is equal to u dot v plus v dot u, एक बार एक का differentiation दूसरे को रहने दो, फिर दूसरे का differentiation फिर पहले वाले को रहने दो, जब आपका division rule है u dot v, तो denominator को बाहर रखना बेटा, numerator का differentiation, minus numerator को बाहर रखो, denominator का differentiation divided by denominator का square हमारे पास था, मैंने यहाँ पर example भी ले लिया है, जिससे तो 2 constant है बाहर आया, x cube का differentiation power आगे आगे, 3x square बनेगा, 6x square, यह आपका हो जाएगा 12x, यह हो जाएगा 10, और constant 0, अगर आपका x into e की पार x है, तो obvious ही बात है, यह product rule लगाएंगे, तो एक बार x का differentiation 1, e को ऐसी रहने दिया, फिर x को ऐसी रहने दिया, e का differentiation e की पार x वैसी रहा x का differentiation 1 divided by denominator का square x square आपको यहाँ पर मिलेगा फिर हम लोगों ने बात करेंगे जरूरी नहीं है कि हमारे पास किसी भी function में ध्यान समझना आपका हमेशा sin x का ही differentiation पूछे वो कह सकते है sin x square का differentiation बताईए और मैंने आपको यह भी बताये था sin x square is not equal to sin square x दोनों में difference है यह sin x का whole square है यह sin के अंदर x square है ठीक है this is nothing but sin x का whole square और यह है sin के अंदर x square तो मैंने आपको बताया था कि जरूरी नहीं है कि आपके formula direct हो, हम लोगों ने chain rule की बात करी हैं, मैंने कहा था एक डब्बा, डब्बा is nothing but the function of x, ठीक है, chain rule में हमाई पास क्या था, डब्बा था and this is nothing but a function of x, कुछ भी हो सकता है, तो जब आप differentiation कर रहे हैं, तो पहले power का करें� sin के अंदर 2x plus 3, sin के अंदर x square, तो मैंने कहा यार देखो sin के अंदर function है, तो पहले sin का differentiation करेंगे cos, function को ऐसी रहने दिया, into, multiply कर देंगे d डबा by dx, e की power x square आ जाए, तो पहले आप e का करेंगे, e की power x square, और फिर x square का differentiation एक और अलग करके, इसके साथ multiply कर देंगे, तो पहले log का करेंगे 1 upon, यह आएगा 1 upon, ठीक है, तो यह हमारे पास आएगा बिटा, 1 upon this function into d डबा by dx, ठीक है, cos के अंदर अगर हमारे पास आएगा, cos का differentiation minus sign है, तो पहले minus sign डबा into d डबा by dx, this is our chain rule, example के तौर पर मैंने यहाँ पर ले लिया है, y equal to 3x square plus 2x plus 1, e की power x अगर होता, तो answer e की power x होता, तो पहले e की power, e की power का differentiation करेंगे, 6x plus 2, वो multiply कर दिया, chain rule से हो गया, sin के अंदर x square है बेटा, तो आप ज़रह यहां समझ लें, dy by dx अगर मेरे को निकालना है, तो पहले sin का करूँगा cos, x square वैसे रखा, और फिर इसका differentiation 2x अलग से कर दिया, sin square x, basically आपके लिए sin x का whole square है, तो यह x की जगा पर आया है, x का square का differentiation होता 2x, तो पहले power आ गया है कि 2 sin x, और sin x का differentiation cos x by chain rule आ गया है, लॉक के अंदर ये पूरा मलवा है, तो लॉक का differentiation 1 upon x होता, लेकिन ये पूरा function पहले मैंने नीचे लिखा, फिर इसका differentiation हैगा 2x plus 2, multiply कर दिया, और मैंने इसके बारे में बताई दिया है, ठीक है, y equal to, second derivative, y equal to sin x है, तो dy by dx cos x हैगा, और हम लोग into dx by dy, general differentiation, जो advance बहुत पूछता था, याद रखना, मैंने लिखा y equal to sin x है, dy by dx बताईए, तो dy by dx जब आप करेंगे, तो cos x into dx by dy, दिवाई बाई डिएक्स कॉसेक्स होगा, अच्छा, ये चीज, ठीक है, साइन एक्स है, दिवाई बाई डिएक्स हमारे पार कॉसेक्स है, डिएक्स बाई डिवाई वन अपॉन कॉसेक्स, आप इसको फ्रेक्शन के जैसे मान सकते हैं, मत यह वाला general differentiation का parameter आ रहा था, अगर मालिज़े x equal to 80 square है, y equal to 280 है, यह सवाल भी लिया गया था सी, dy by dx निकालना है, या x तो t पर depend कर रहा है, y तो t पर depend कर रहा है, क्योंकि first derivative इस fraction के जैसे काम कर सकता है, तो आप यहां से dx by dt निकाल लिजे, ठीक है, और यहां से आप dy by dt निकाल फिर मैंने आपको यहाँ पर एक और चीज भी बताई थी, कि अगर माल लीज़े y हमाँ पर, मैं यही पर लिख दूँ क्या, चल यही लिख देता हूँ, ठीक है, y equal to x square, तो मैंने आपको कहा था, कि dy, general differentiation क्या होगा, 2x dx, यह general differentiation आएगा, अगर किसी को दिक्कत आ रही है, तो do जैसे आप dy by dx निकालेंगे, 2x आएगा, फिर आप लिख दीजे, dy is equal to 2x dx, इसको कैसे करेंगे, y का differentiation होगा dy, x square का differentiation होगा 2x, और chain rule dx, अगर आपको कोई बोलता, कि differentiate with respect to t, तो मैं यहाँ पे dy by dt अगर कर रहा होता, तो यहाँ जाता 2x into dx by dt, इस प्रकार से आता, right, अगर question में तो जरे यहाँ पर समझना, y equal to, example है हमारे पास, 4x square minus 4x plus 4, तो अगर मैंको dy by dx निकालना है, तो यह 8x minus 4, अच्छा यह इसका example आएगा, जब हम लोग differentiation की बात कर रहे हैं, तो ग्राफ में differentiation हमें slope के बारे में बता रहा है, क्योंकि differentiation क्या था, dy by dx, और अगर आप देखें, dy by dx में small change in y upon small change in x, तो ग्राफिकली differentiation slope के बारे में हमें बताता है, तो, हमें ये maxima और minima हम लोगों ने बात करी थे, और advance में ये बहुत ज़्यादा पूछा जाता है, अब समझ ना, किसी भी graph का maxima point क्या होता है, जिससे graph और उपर ना जाए, किसी भी graph का minima point क्या होता है, जिससे graph और नीचे ना जाए, this is your maxima point, this is your minima point, अगर आपको कोई भी function दिया जाए, math में function दिया जाएगा, जैसे math में दे दिया 4x2-4x4, इसका maxima minima solve करिए, physics में आपको function बनाना पड़ सकता है, एक mass का particle दो हिस्सों में तूट रहा है, such that force is maximum, तो हमें formula नहीं दिया था, कि चीज को maximum करना है, उन्हें कहा force is maximum, तो हमने थोड़ी सी अपनी physics लगानी पड़ी, कि अगर total mass m है, तो एक small m होगा, दूसरा m minus m होगा, फिर इनके बीच का force लिखा था, जब function आ गया तब मैंने maximum और minimum की बात करी, पहले आप find the function होगा physics में, आप एक बार differentiation करेंगे, differentiation slope के बारे में ता, equal to zero करेंगे, क्यों, क्योंकि maximum हो, या फिर minimum हो, हमारे पास point पर slope 0 होगा, जैसे आप equal to 0 कहेंगे, find critical points, critical points क्या होते हैं हमारे पास, एक ऐसा point जहाँ पर, where slope is 0, जहाँ पर maxima भी हो सकता है, slash minima भी हो सकता है, और point of inflection भी, जिसके बारे में मैंने अभी नहीं बता, फिर जो भी point आए, कि वहाँ पर maxima है या minima है, तो आप double differentiation calculate करते हैं, अगर d2y by dx2 greater than 0 आया तो वो minima होगा, less than 0 आया तो maxima होगा, equal to 0 आया तो हमारे को छोड़ देना है, point of inflection कहते हैं, अभी कोई दिक्कत नहीं है, ठीक है, जैसे example में, अगर आप यहाँ पर धियां से देखें, 4x2 minus 4x plus 4, इसका maxima minima निकालना है, तो मैंने कहा एक बाद differentiate करें� अब आप क्या करें एक और बार differentiation करें इसका एक और बार differentiation करेंगे 8 आ जाएगा this is greater than 0 that means इस point पर ये function हमारे पास क्या है इस point पर ये function हमारे पास क्या है minima है एक बच्चे ने कहा था कि सर जब portion में minima पूछा ही गया है तो आप double differentiation क्यों calculate कर रहे हो अगला सवाल y equal to 2x माइनस 6x और 0 जब आपने y.0 डाला तो हमारे पास यहाँ पर x की value आपको मिलेगी 0 and 1 एक बार x की value 0 आईगी एक बार x की value 1 आईगी अब आपको नहीं पता कि x की value 0 पर maximum है या 1 पर maximum है x की value 0 पर minimum है या 1 पर minimum है अब दो point आगे न ऐसे सवाल जहाँ पर एक ही critical point आ रहा है वहाँ पर तो obviously आप double differentiation करके नहीं चेक करें लेकिन जब 2 points आ जाएं, या 3 points आ जाएं, या 4 points आ जाएं, तो आपको check करना पड़ता है, तो अब आप क्या करेंगे, एक और बार differentiation करेंगे, तो ये क्या होगा, 12x-12, minus 6, अब आप x की value 0 डालेंगे, तो minus 6 आ रहा है, less than 0, तो ये maximum हो गया, जब आप x की value 1 डाल रहे है, तो जोड़ने को ही हम लोग integration यहाँ पर कहते हैं और graphically integration का बतलब होता है area under curve जहाँ पर हम लोगने area भी निकाला था integration का use करके तो इसके आपको यार रखने area under curve है और addition ही basically है मारे पास तो मैंने यह बताया था कि x की power n तब से पहले इस पर ध्यान देना x की power n का integration क्या है वो होता ह प्लस कॉंस्टेंट, कॉंस्टेंट हम लोग चलो अभी छोड़ते हैं, फिर मैंने आपको कहा, ये चीज़ आपको याद रखनी है, इंटिग्रेशन, ये मतलब है इंटिग्रेशन, इसके नीचे अगर कुछ लिखा जाएगा, इस is our lower limit, इस sign के, इधर कहीं लिखा त और आप सोच पा रहे थे, तो बस उतना ही dx को integrate नहीं करना है, यह कह रहा है कि भाई इस function में x को integrate करना है, x variable है, x को integrate करो, x के हिसाब से जोड़िये, तो limits भी x की ही रहेंगी, ठीक है, तो dx हमारे पास integrate नहीं होता, यह बताता है किसको integrate करना है, जैसे dy by dx में, वो कह रहा है y क फिर मैंने कहा अगर आपका कोई भी constant है, ठीक है, यह वाला 1, तो 1 को आप देखें, x की पार 0 लिख सकते हैं, तो 0 plus 1, x की पार 0 plus 1 upon 0 plus 1, इसका integration x आएगा, अगर आपका कोई भी constant है, तो इसको आप बाहर ले जाएगे, और अगर आप यहाँ पर बाहर ले जाएगे, तो हमार वन अपन एक्स का याद रखना है और हमाई पास इकी पार एक्स का याद रखना है ठीक है इंडेफनाइट दो प्रकार की इंटेगरेशन थी एक इंडेफनाइट इंटेगरेशन थी और एक इंडेफनाइट इंटेगरेशन थी सर ये प्लस सी क्या होता हमें कोई फर्क नहीं पड़ता अभी बस प्लस सी जोड़ेगा डेफनाइट इंटेगरेशन में हमें जब ये पता हो कि कहां से लेके कहां तक इंटेगरेट करना है देफनाइट इंटेगरेशन तो वहाँ पर आपके लिमिट अगर इसका integration करना है तो एक बार आप formula लगाएंगे, capital F of X मीं जुड़ने के बाद कुछ आया, एक बार upper limit, एक बार lower limit, इसी integration के formula में एक बार X की जगा पर B रखेंगे, minus इसी formula में X की जगा पर A रखेंगे, यह हमारे पास आएगा, तो physical significance क्या होता है, tell us about the area under curve, यह हम लोग यह 35 मिनट उसी के लिए काम का है, जिसने वो 10-11 लेक्चर में मेरे साथ रगडा है भाई, ठीक है, ऐसी ही, जब मैं अपनी बारवी में था, तो आख बंद करता था, पूरा चेप्टर मेरे आखों के सामने से निकलता था, इतनी स्पीड से रिवीजन होती थी, अब कुछ कहत नहीं बेटा ये करोगे ये अरे भाई कभी कबार अपने आपको घिसना भी सीखना पड़ेगा ठीक है अब कई बच्चों को ये बहुत फास्ट लगेगा है भाई ग्यारा लेक्चर तो आराम से करे है ना तो अब तो फास्ट करेगा ना और तू इन लेक् इट डिपेंड्स कि तुम कितने अफर्ट डालते हैं ठीक है तो हम लोग मिलेंगे बेटा नेक्स्ट लेक्चर में तिल दें त