लीनियर प्रोग्रामिंग सॉल्व करना

परिचय

• लीनियर प्रोग्रामिंग एक मैथमेटिकल मेथड है जिसके हेल्प से हम किसी गिवन प्रॉब्लम का बेस्ट आउटकम निकाल सकते हैं।
• यह प्रॉब्लम को अधिकतम या न्यूनतम वैल्यू के रूप में सॉल्व करता है।

उदाहरण: फर्नीचर डीलर की कहानी

• एक फर्नीचर डीलर जगतपाल के पास 50,000 ₹ और 60 पीस स्टोर करने की जगह है।
• टेबल की कीमत 2500 ₹ और प्रॉफिट 250 ₹ है।
• चेयर की कीमत 500 ₹ और प्रॉफिट 75 ₹ है।
• उद्देश्य: अधिकतम प्रॉफिट प्राप्त करना।

मैथमेटिकल फॉर्मूलेशन

1. नॉन-नेगेटिव कंस्ट्रेंट्स:
   • X (टेबल्स की संख्या) ≥ 0
   • Y (चेयर्स की संख्या) ≥ 0
2. फाइनेंशियल कंस्ट्रेंट:
   • 2500X + 500Y ≤ 50,000
3. स्टोरेज कंस्ट्रेंट:
   • X + Y ≤ 60
4. प्रॉफिट फंक्शन (Z):
   • Z = 250X + 75Y

ग्राफिकल सोल्यूशन

• नॉन-नेगेटिव कंस्ट्रेंट्स को दर्शाना।
• फाइनेंशियल और स्टोरेज कंस्ट्रेंट्स को प्लॉट करना।
• फिजिबल रीजन को पहचानना।

फिजिबल रीजन

• यह वह एरिया है जहां सभी कंस्ट्रेंट्स सत्य होते हैं।
• ऑप्टिमल सॉल्यूशन कॉर्नर पॉइंट्स पर होता है।

ऑप्टिमल सॉल्यूशन

• कॉर्नर पॉइंट्स की पहचान करें।
• सभी कॉर्नर पॉइंट्स पर प्रॉफिट वैल्यू निकालें।
• मैक्सिमम प्रॉफिट वाला वैल्यू ऑप्टिमल सॉल्यूशन होता है।

विशेष नोट: अनबॉउंडेड रीजन

• यदि फिजिबल रीजन अनबॉउंडेड है, तो मैक्सिमम या मिनिमम वैल्यू नहीं मिल सकती।
• विशेष थ्योरम्स के उपयोग से सॉल्यूशन निकालें।

उदाहरण क्वेश्चन #1: बॉन्डेड फिजिबल रीजन

• दिए गए कंस्ट्रेंट्स को प्लॉट करना और मैक्सिमम वैल्यू निकालना।

उदाहरण क्वेश्चन #2: अनबॉउंडेड फिजिबल रीजन

• दिए गए कंस्ट्रेंट्स के अनुसार फिजिबल रीजन अनबॉउंडेड है।
• सॉल्यूशन तब ही पॉसिबल है जब कोई फिजिबल सॉल्यूशन मिले।

उदाहरण क्वेश्चन #3: नो फिजिबल रीजन

• अगर कोई कॉमन फिजिबल रीजन नहीं है, तो सॉल्यूशन नहीं निकाले जा सकते।

निष्कर्ष

• लीनियर प्रोग्रामिंग का उद्देश्य ऑप्टिमल सॉल्यूशन निकालना है।
• प्रक्रिया में मैथमेटिकल मॉडलिंग, ग्राफिकल सोल्यूशन और फिजिबल रीजन की पहचान महत्वपूर्ण है।
• अलग-अलग प्रकार के फिजिबल रीजन (बॉन्डेड, अनबॉउंडेड) अलग-अलग अप्रोच से सॉल्व होते हैं।

महत्वपूर्ण थेओरम

• थेओरम #1: बॉन्डेड फिजिबल रीजन में मैक्सिमम और मिनिमम वैल्यूज कॉर्नर पॉइंट्स पर होती हैं।
• थेओरम #2: अनबॉउंडेड फिजिबल रीजन में मैक्सिमम या मिनिमम वैल्यू नहीं हो सकती है।