Stochastik für das Abitur verstehen

Herzlich willkommen bei Mathe mit Rick und herzlich willkommen zur Stochastik. Nachdem mein letztes Video How to Mathe Abi so gut angekommen ist, dachte ich mir, ach komm, machst du noch ein Mathe Video zum Thema Stochastik im Abitur. Wenn meine Schülerinnen und Schüler Stochastik hören, sagen sie häufig, ja, äh, nein. Und was ich häufig sehe, ist, dass man bei Stochastik große Schwierigkeiten hat, die Aufgabentypen zuzuweisen. Alles sieht irgendwie gleich aus und man versucht irgendwie ein Baumdiagramm zu machen und dann passt das schon oder so. Deswegen dachte ich mir, gucke ich mir Stochastik nochmal ganz genau an. Was habe ich gemacht? Ich habe mir verschiedene Abis aus verschiedenen Jahrgängen aus verschiedenen Bundesländern ausgedruckt. Zwei Dutzend Abis und habe da jeweils die Stochastik-Bereiche rausgeholt. Dann habe ich mich hingesetzt und habe die ausgerechnet. Vormittags, nachmittags, abends und nachts, an verschiedenen Orten, an verschiedenen Zeiten, mit Hilfsmittel, ohne Hilfsmittel, mit Taschenrechner, ohne Taschenrechner, Formelsammlung, irgendwelche Tabellen, was auch immer. Und habe versucht mir mal so einen Überblick zu verschaffen über all die Aufgabenbereiche, die in Stochastik wichtig sind. Und ich habe mich gefragt, gibt es eigentlich Aufgabentypen oder Formulierungen, die immer und immer wieder so oder so ähnlich im Abi drankommen? Und auf folgende Antwort bin ich gestoßen, ja, die gibt es. Ich würde sagen, es gibt einen bestimmten Pool an Aufgabentypen oder Formulierungen, die immer und immer wieder drankommen im Abitur. Ich habe also eine Übersicht entwickelt aus 10 Aufgabentypen, die aus meiner Sicht für das Abi ganz, ganz relevant sind. Und diese Aufgabentypen möchte ich dir in diesem Video gerne vorstellen. Ich möchte dir ganz präzise zeigen, wie du diese Aufgabentypen erkennen kannst, welche Formel du dann anwendest und wie die Rechnung aussieht. 10 Aufgabentypen, die das Grundkonzept der Stochastik aus meiner Sicht bilden. Aus meiner Sicht heißt wieder, kleiner Disclaimer, das ist jetzt nicht der heilige Gral der Stochastik. Das heißt nicht, dass du mit diesen Aufgabentypen 15 Punkte bekommst und dich nicht weiter vorbereiten musst. Aber wenn du sagst, oh, ich habe nicht mehr so viel Zeit oder ich brauche noch meinen Überblick, dann würde ich sagen, ist dieses Video genau das Richtige. Es gibt noch einige spezielle Aufgabentypen, die habe ich jetzt hier nicht angeschnitten, das würde den Rahmen so ein bisschen spielen. Sprengen, aber so das Grundkonzept möchte ich dir gerne vorstellen. Zwei Erkenntnisse habe ich gewinnen können während meiner ganzen Rechnerei, möchte ich dir auch noch kurz sagen. Erstens, die Aufgabentypen weichen ganz selten nur von einem bestimmten Standard ab und wenn sie das tun, dann nur minimal. Das heißt, du kannst dich wirklich darauf konzentrieren, nach bestimmten Formulierungen zu suchen, die dich dann auf einen bestimmten Aufgabentypen hinweisen. Zweitens, man muss in der Regel sehr, sehr wenig rechnen. Diese ganzen Skills und Tools, die du brauchst, zum Beispiel in der Analyse, ableiten, integrieren. Logarithmus-Gesetze oder für Geometrie Gleichungssysteme oder dergleichen mehr, spielt in der Stochastik eher eine untergeordnete Rolle. Es sind häufig sehr einfache und sehr handliche Konzepte, die wir anwenden. Okay, fangen wir an. Ne, stopp, bevor wir anfangen, ich habe unten wieder verschiedene Kapitel eingeteilt. Das heißt, wenn du sagst, ja, dieser Aufgabentyp, der ist sehr, sehr leicht, den kann ich schon, spule gern zum nächsten oder übernächsten Kapitel vor. Ich empfehle aber, den gesamten Überblick mitzunehmen, insbesondere den Ende. Ganz am Ende habe ich einen ganz, ganz wertvollen Tipp für dich, von dem ich glaube, dass er dich sehr, sehr weit nach vorne bringen würde im Abi. Aufgabentyp 1 ist das Laplace-Experiment. Eine Abi-Formulierung, die ich so ganz oft gefunden habe, lautet wie folgt. Ein Abiturjahrgang besteht aus 150 Schülerinnen und Schülern, von denen 25 die Mathe-AG besuchen. Ein Drittel der Schülerinnen und Schüler sind Mitglied der Hockey-AG. 60% des Jahrgangs besuchen weder die Mathe-noch die Hockey-AG. Wir schauen uns die folgenden Ereignisse an. Das Ereignis M, eine zufällig ausgewählte Person aus dem Abschlussjahrgang, ist Mitglied der Mathe-AG. Und das Ereignis H, eine zufällig ausgewählte Person aus dem Abschlussjahrgang, ist Mitglied der Hockey-AG. So würde der Text im Abi lauten. Das wäre jetzt hier so eine hilfsmittelfreie Aufgabe oder Aufgabe im A-Teil oder so, je nachdem, wie man dazu sagen möchte. Und die Aufgabe lautet, berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses M. P von M. Wie gehen wir hier vor? Naja. Wir sehen, dass wir nur zwei relevante Mengen haben. Einmal die Menge m, das ist die Menge der Schülerinnen und Schüler, die die Mathe-HG besuchen. Und dann haben wir noch die Menge Omega, das ist die Menge aller Schülerinnen und Schüler aus diesem Abschlussjahrgang. p von m ist gleich Mächtigkeit der Menge m durch Mächtigkeit der Menge Omega. Oder anders gesagt, die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse. 25 durch 150 haben wir hier. 25 Schülerinnen und Schüler sind in der Mathe-AG, 150 sind im ganzen Abschlussjahrgang. Kann man auch ein bisschen kürzen, ist ein Sechstel, sodass wir auf die folgende Lösung kommen. P von M ist rund 16,6%. Aufgabentipp 2 ist das Baumdiagramm. Ganz beliebt, wenn wir immer dann an, wenn wir zum Beispiel mehrfach aus einer Urne irgendwelche Kugeln ziehen. Oder uns mehrfach eine Entscheidung hier stellen. Eine Aufgabenstellung, wie sie im Abi vorkommen könnte, lautet wie folgt. In einer Box befinden sich 10 Kugeln. Auf 3 der Kugeln ist eine 1 abgebildet, 7 der Kugeln ist eine 1, sind mit einer 2 beschriftet. Aus der Box wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Aufgabe, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auf den gezogenen Kugeln dieselben Zahlen abgebildet sind. Und ich ziehe jetzt ein erstes Mal aus dieser Box. Beim ersten Mal ziehen gibt es zwei Möglichkeiten. Möglichkeit 1, auf der Kugel ist eine 1 abgebildet. Möglichkeit 2, auf der Kugel ist eine 2 abgebildet. Die Wahrscheinlichkeiten hier sehen wie folgt aus. 0,3 und 0,7. Das sind jetzt einfache Laplace-Wahrscheinlichkeiten. 3 durch 10 sind 0,3 und 7 durch 10 sind 0,7 Hier taucht also die Laplace-Wahrscheinlichkeit direkt wieder auf Nachdem ich gezogen habe, lege ich wieder zurück Und habe im zweiten Zug auch wieder die Möglichkeit, eine Kugel mit einer 1 oder einer 2 zu ziehen Auch hier gelten wieder die gleichen Wahrscheinlichkeiten, 0,3 und 0,7 Denn ich habe die erste Kugel wieder zurückgelegt Jetzt habe ich hier ein schönes Baumdiagramm gezeichnet Und mit Hilfe dieses Baumdiagramms kann ich jetzt also verschiedene Wahrscheinlichkeiten berechnen Hier wollen wir die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass auf den beiden Kugeln die selbe Zahl abgebildet ist. Wir haben also die Möglichkeit 1,1 und die Möglichkeit 2,2. Wir gehen also hier einmal diesen Pfad entlang, der uns nur über Kugeln führt, die die Aufschrift 1 enthalten. Dann hätten wir also hier die Wahrscheinlichkeit 0,3 mal 0,3, denn entlang eines Pfades müssen wir immer multiplizieren. Und dann haben wir noch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auf beiden Kugeln eine 2 abgebildet ist. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt 0,7 mal 0,3. Ich gehe entlang eines Pfades, ich multipliziere die Wahrscheinlichkeiten. Jetzt möchte ich zwei Pfade zusammenführen und dann muss ich addieren. Wenn du zwei Pfade oder mehr zusammenführst, dann musst du addieren. Die Rechengrundlage sieht also wie folgt aus. p ist gleich 0,3 mal 0,3, erster Pfad, plus 0,7 mal 0,7, zweiter Pfad. Ich habe dann 0,09 plus 0,49 und das ist dann also 0,5. Also eine Wahrscheinlichkeit von 58%. Also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auf den Kugeln dieselben Zahlen abgebildet sind, beträgt 58%. Für das Baumdiagramm habe ich noch drei Tipps für dich. Tipp 1. Zeichne das Baumdiagramm schön groß, damit du alles gut sichtbar und deutlich erkennen kannst. Insbesondere wenn du 3, 4 oder 5 mal aus der Box ziehst, dann wird das Baumdiagramm entsprechend größer. Plan da genügend Platz ein. Tipp 2. Färbe die Fade entsprechend ein. deutlich sehen kannst. Und dritter Tipp, beachte die Pfadregeln. Entlang eines Pfades mal, verschiedene Pfade zusammenführen, plus. Aufgabentyp 3, Vierfelder-Tafel. Eine abi-ähnliche Aufgabenstellung lautet wie folgt. Auf einer Getränkekarte sind 200 Cocktails aufgeführt, von denen 75% mit einem Strohhalm serviert werden. 80 Cocktails enthalten köstliche Früchte. 30% der Drinks werden sowohl mit Strohhalm als auch mit köstlichen Früchten gereicht. Da soll noch mal jemand sagen, dass Mathe-Nix-Mitglieds-Tafeln nicht so gut sind. mit dem Real Life zu tun hat. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse. Ereignis S, ein zufällig ausgewählter Cocktail wird mit einem Strohhalm serviert. Und Ereignis F, ein zufällig ausgewählter Cocktail wird mit köstlichen Früchten serviert. Aufgabe lautet wie folgt, bestimmen Sie den Anteil der Cocktails, die weder mit einem Strohhalm noch mit köstlichen Früchten serviert werden. Hier bietet es sich an, eine Vierfelder-Tafel zu zeichnen. Warum? Hm, naja, ich habe hier verschiedene Mengen, die miteinander... Interaktion treten. Ich habe die Menge S und ich habe die Menge F. Es gibt auch zum Beispiel eine Schnittmenge. Also es gibt auch Cocktails, die sowohl mit Strohhalm als auch mit köstlichen Früchten serviert werden. Es gibt aber auch Cocktails, die nur mit Strohhalm und nicht mit Früchten oder nur mit Früchten ohne Strohhalm serviert werden. Also ich habe hier verschiedene Schnittmengen. Und immer dann, wenn verschiedene Schnittmengen möglich sind, sollte dir die Vierfelder-Tafel in den Sinn kommen. Zumindest als eine Option. Habe ich hier mal aufgezeichnet. Ich habe hier also P von S, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Cocktail... Cocktail mit einem Strohhalm serviert wird, wenn ich zufällig wähle. Dann die Wahrscheinlichkeit S quer, Cocktail hat keinen Strohhalm. Dann die Wahrscheinlichkeit P von F, Cocktail wird mit köstlichen Früchten erreicht. Und die Wahrscheinlichkeit P von F quer, Cocktail wird ohne köstliche Früchte erreicht. P von S ist in der Aufgabe so aufgeführt, 75%, trage ich ein, 0,75. P von F, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Cocktail köstliche Früchte enthält, ist 0,4. Warum? Weil 80 durch 200 0,4 ist. 80 durch 200 ist 0,4. Da schön aufpassen, wir suchen ja immer Anteile. 30% der Drinks werden sowohl mit Strohhalm als auch mit köstlichen Früchten gereicht. Und da kannst du dir schön merken, wenn du irgendwo liest, sowohl als auch, dann haben wir eine Schnittmenge. Sowohl als auch ist eine Schnittmenge. Können wir hier schön eintragen, 0,3. Wir haben also folgende Angaben, 0,7. 0,5, 0,4 und 0,3. Ich starte mal, um von 0,3 auf 0,4 zu kommen, brauche ich 0,1, 0,45, dann steht unten rechts ja immer eine 1. Um von 0,75 auf 0,1 zu kommen, brauche ich 0,25, dann hier noch 0,6 und schlussendlich hier 0,15. Also ich addiere immer so, dass sich die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten hier ergeben. Ich kann auch einfach subtrahieren, um das Ergebnis zu bekommen, das ist jetzt nicht so wichtig. So, jetzt möchte ich den Anteil der Cocktails ermitteln, die weder einen Strohhalm noch köstliche Früchte enthalten. weder noch heißt die beiden Komplementmengen schneiden sich. Also weder Strohhalm noch köstliche Früchte ist die Wahrscheinlichkeit von s quer geschnitten f quer und die können wir hier einfach ablesen, die ist 0,15. 15 Prozent wäre hier also meine Lösung. Der Anteil der Cocktails, die weder mit einem Strohhalm noch mit köstlichen Früchten serviert werden, beträgt also 15 Prozent. So kann ich hier auf dieser Vierfellertafel aber auch alle möglichen anderen Schnittmengen berechnen. Und merk sie bitte, wann immer irgendwo Schnittmengen oder die Formulierung sowohl als auch oder weder noch auftauchen, da ist die Vierfelder-Tafel nicht weit. Aufgaben Typ 4, der sogenannte Additionssatz. Wir bleiben bei der Aufgabe. 200 Cocktails, 75% werden mit einem Strohhalm serviert, 80 Cocktails enthalten köstliche Früchte, 30% der Drinks werden sowohl mit Strohhalm als auch mit köstlichen Früchten gereicht. Die Aufgabe lautet wie folgt, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit. für das Eintreten des Ereignisses S vereinigt mit F, beschreiben sie dessen Bedeutung im Sachzusammenhang. Habe ich auch so ähnlich in einer Abiturklausur gefunden. Da haben die also S vereinigt mit F. Also dieses Zeichen, was nach oben geöffnet ist, bedeutet vereinigt mit. Ich stelle mir da so einen Topf vor, wo ich einfach an und rein haue. Wann immer du also die Wahrscheinlichkeit für eine Vereinigungsmenge berechnen sollst, ist der Additionssatz nicht weit. Und hier in dem Fall schreibe ich... den Additionssatz einfach als Ansatz hin. Ich notiere Additionssatz und dann p von s vereinigt f ist gleich p von s plus p von f minus p von s geschnitten f. Ich addiere die Einzelwahrscheinlichkeiten dieser beiden Ereignisse und subtrahiere die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge. Ich habe dann also 0,75 ist die Wahrscheinlichkeit von Cocktail hat Strohhalm plus 0,4 ist die Wahrscheinlichkeit von Cocktail enthält köstliche Früchte minus 0,3 ist die Wahrscheinlichkeit von Cocktail enthält beides. Ich habe dann also 0,75 plus 0,4 minus 0,3 und erhalte dann 0,85. Antwort lautet, Wahrscheinlichkeit P von S vereinigt F, beträgt also 0,85. 85%. Die Bedeutung im Sachzusammenhang lautet also wie folgt, mein Cocktail wird mit Strohhalm oder mit köstlichen Früchten oder mit beidem gereicht. Warum zieht man da eigentlich diese Schnittmenge hinten ab? Naja, sonst würde man ja doppelt mitziehen. Stell dir vor, du sollst aus einem Kartendeck ziehen und die... Die Aufgabenstellung lautet, ermitte die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die gezogene Karte eine Herzkarte oder eine Damenkarte ist. Herz oder Dame. Dann haben wir irgendwie 13 Herzkarten und 4 Damenkarten. Wenn du die jetzt zusammen addierst, also 13 plus 4 wäre dann 17. Du würdest die Herz-Dame hier aber doppelt mitzählen. Das ist nämlich eine Herzkarte und eine Damenkarte. Das heißt, die Schnittmenge, die Herz-Dame, die ziehen wir hinten nochmal ab, weil sonst würden wir nicht einfach doppelt zählen. Und so ist es hier bei diesem Cocktailbeispiel auch. Hier gilt der Additionssatz. Die Wahrscheinlichkeit für die Vereinigungsmenge ist die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten, von der die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge subtrahiert wird. P von S plus P von F minus P von S geschnitten F. So, Aufgabentyp 5, stochastische Unabhängigkeit. Auch ein sehr schöner Aufgabentyp, auch sehr beliebt im Abitur. Ich trage mal die Aufgabstellung vor. Auf einer Party werden verschiedene spaßige Aktionen angeboten. So können sich die Party... Partygäste für einen Limbo-Wettbewerb oder eine Karaoke-Session anmelden. Vorab tragen sich die Gäste Listen dafür ein. Okay, Karaoke, Limbo, nice. 15% der Gäste haben sich sowohl für die Karaoke-Session als auch für den Limbo-Wettbewerb eingetragen. Dann wieder sowohl als auch. 80% wollen ihr Glück beim Limbo versuchen und ein Viertel der Gäste hat Lust auf Karaoke. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse. Ereignis Groß L, ein zufällig gewählter Partygast. So, Aufgabe. Untersuchen Sie die Ereignisse L und K auf stochastische Unabhängigkeit. Und das ist ein toller Aufgabentyp. Warum? Weil stochastische Unabhängigkeit immer explizit im Text steht. Also wenn du irgendwo liest, stochastische Unabhängigkeit, kannst du sofort, ohne darüber nachzudenken, aufschreiben. P von A mal P von B ist gleich P von A geschnitten B. Das bedeutet, Das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeiten ist gleich die Wahrscheinlichkeit von der Schnittmenge. Führen wir hier unsere Wahrscheinlichkeiten erstmal auf. p von L, also die Wahrscheinlichkeit davon, dass jemand sein Glück beim Limbo versuchen möchte, ist ja 0,8. 80% wollen ihr Glück beim Limbo versuchen. p von K, das ist ein Viertel der Gäste, die machen Karaoke. Ein Viertel ist 0,25. Und dann haben wir noch, sowohl als auch, sind 15% der Gäste, also 0,15. Haben also hier unsere drei Wahrscheinlichkeiten. P von L ist 0,8, P von K ist 0,25 und P von L gestütten K ist 0,15. Der Ansatz lautet jetzt wie folgt. p von L mal p von K ist gleich p von L geschnitten K. Woher weiß ich das? Das ist die Definition von stochastischer Unabhängigkeit. Wenn du irgendwo liest, stochastische Unabhängigkeit, schreibst du das so auf. mit den entsprechenden Bezeichnungen. Das heißt, ich muss jetzt nur untersuchen, ob das Produkt von 0,8 und 0,25 0,15 ergibt. Und dann bin ich schon fertig. Dann kann man ausrechnen, 0,8 mal 0,25 ist 0,2. 0,2 ist nicht das gleiche wie 0,15. Demzufolge sind die beiden Ereignisse L und K stochastisch abhängig. Muss man jetzt nicht weiter interpretieren. Du musst lediglich die Formel für die stochastische Unabhängigkeit kennen und die dann entsprechend anwenden. Wenn du also irgendwo liest, stochastisch abhängig, Stochastisch abhängig oder unabhängig, schreibst du am besten direkt auf P von A mal P von B ist gleich P von A geschnitten B. Und das ist dann zu überprüfen. Fertig. Geil. Toller Aufgabentyp. Mir fällt mir richtig gut. Habe ich ganz oft im Abi gesehen. Man muss irgendwann auf stochastische Unabhängigkeit prüfen und man denkt so, was soll ich denn da jetzt machen? Naja, einfach das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ausrechnen und gucken, ob es die Wahrscheinlichkeit des Schnittes ist. Aufgabentyp 6. Bedingte Wahrscheinlichkeit. Die Formulierung, die ich hier gewählt habe, lautet wie folgt. In einer Umfrage wurden... Freizeitaktivitäten und Schulleistungen von Jugendlichen untersucht. Demnach lesen 20% der Jugendlichen regelmäßig Bücher, 18% mögen Spaziergänge, 15% geben an, regelmäßig Bücher zu lesen und benennen Deutsch als ihr Lieblingsfach. Das ist doch mal toll. 20% lesen regelmäßig Bücher, 18% mögen Spaziergänge und 15% geben an, regelmäßig Bücher zu lesen und Deutsch als Lieblingsfach zu haben. Aufgabe, bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit... Dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bücherwurm Deutsch als Lieblingsfach angibt. Woher weiß ich jetzt, dass ich hier eine bedingte Wahrscheinlichkeit ansetzen muss? Da habe ich herausgefunden, dass bedingte Wahrscheinlichkeiten ganz häufig mit einem Partizip 2 einhergehen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bücherwurm Deutsch als Lieblingsfach angibt. Meistens noch in einem Nebensatz oder so verschachtelt. Das sind immer die Bedingungen. Man könnte die Aufgabenstellung auch so lesen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bücherwurm Deutsch als Lieblingsfach angibt. eine Person Deutsch als Lieblingsfach angibt, unter der Bedingung, dass sie regelmäßig Bücher liest. Also ein Partizip 2 ist dann häufig die Bedingung. Wir suchen uns eine neue Bezugsgruppe. Das ist jetzt die Bezugsgruppe der bücherlesenden Menschen. Jetzt führe ich hier noch ein paar Bezeichnungen ein, um das schön irgendwie aufzuführen. Ich habe jetzt mal das Ereignis B gewählt. Das ist jemand, der liest regelmäßig. Das Ereignis S. Jemand mag Spaziergänge. Und das Ereignis D. Jemand hat Deutsch als... Jetzt Lieblingsfach. Und jetzt kann ich hier Wahrscheinlichkeiten aus dem Text direkt aufschreiben. Die Wahrscheinlichkeit P von B ist 0,2. Das ist der Anteil der Menschen, die regelmäßig Bücher lesen. Das ist 20%. Also hier P von B 0,2. P von S ist 0,18. Jemand mag Spaziergänge. Okay, nice. Und die Wahrscheinlichkeit von P geschnitten D ist 0,15. Jemand liest regelmäßig Bücher und gibt Deutsch als Lieblingsfach an. Ich möchte jetzt also wissen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Deutsch als Lieblingsfach benennt unter der Bedingung, dass er oder sie regelmäßig Bücher liest. Der lautet der Ansatz wie folgt, p von d unter der Bedingung b ist gleich p von b geschnitten d durch p von b. Du merkst dir, Schnitt durch Bedingung, Schnitt durch Bedingung. Du teilst immer den Schnitt durch die Bedingung und die Bedingung, das ist das Ereignis, was nah am Partizip 2 steht. Das ist die Menge, aus der nochmal ausgewählt wird. Das ist jetzt die Menge der Menschen, die gerne Bücher lesen. Ja, das ist ein Ereignis. Einfache Division 0,15 durch 0,2 ist 0,75. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bücherwurm Deutsch als Lieblingsfach angibt, beträgt also 75%. Ist auch relativ plausibel, ja, in der Menge der Menschen, die regelmäßig Bücher lesen, ist der Anteil der Menschen, die Deutsch als ihr Lieblingsfach angeben, wahrscheinlich auch höher als in der gesamten Ergebnismenge. Nebensatz und Partizip 2 deutet uns also ganz häufig auf die bedingte Wahrscheinlichkeit hin. Dann wendest du diese Formel an, du merkst dir Schnitt. durch bedingung schnitt durch bedingung schnitt durch bedingung machen wir mal kurzes zwischen Mir ist während der Bearbeitung dieser ganzen Abiturklausuren aufgefallen, dass die letzten vier Aufgabentypen immer ganz, ganz eng miteinander in Beziehung gesetzt werden. Also die Vierfelder-Tafel, die steht ganz oft im Zusammenhang mit dem Additionssatz, der stochastischen Unabhängigkeit oder der bedingten Wahrscheinlichkeit. Das liegt daran, dass in einer Vierfelder-Tafel eben vier verschiedene Schnittmengen stehen. Da sind vier Felder für die jeweiligen möglichen Schnitte. Ich kann also aus einer Vierfelder-Tafel zum Beispiel gar keine Wahrscheinlichkeiten für Vereinigungsmengen direkt ablesen. Dafür brauche ich einen Additionssatz. Oder ich kann dann zum Beispiel, wenn ich eine Vierfelder-Tafel habe, prüfen, ob zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind. Ich multipliziere die beiden Wahrscheinlichkeiten und schaue mir an, ob das gleich der Wahrscheinlichkeit des Schnittes ist. Mit einer Vierfelder-Tafel kann man wunderbar stochastische Unabhängigkeit prüfen. Man kann mit den Werten, die man in einer Vierfelder-Tafel hat, auch ganz wunderbar bedingte Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Denn wir haben da sowohl Schnitter... als auch Bedingungen drin. Das heißt, wann immer du eine Vierfädertafel im Abi zeichnen musst. Versuch dir diese drei Aufgabentypen zu merken. Die drei hängen da ganz häufig hinten dran. Additionssatz, stochastische Unabhängigkeit oder bedingte Wahrscheinlichkeit. Die Vierfädertafel bietet also Anknüpfungspunkte in alle möglichen Richtungen. Aber mit den drei Tools bist du da auf jeden Fall sehr, sehr gut vorbereitet. Das heißt, sobald du eine Vierfädertafel zeichnest, oder vielleicht schreibst du ganz kurz einen Bleistift daneben, Additionssatz, stochastische Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit. Weil ziemlich sicher kommt nach dieser Vierfältertafel einer dieser drei Aufgabentypen. Habe ich zumindest relativ häufig in meinen Abiturklausuren gesehen. Das kann man sich gut merken. Diese vier Aufgabentypen, die hängen dicht miteinander zusammen. Aufgabentyp 7. Erwartungswert. Aufgabenstellung lautet wie folgt. Die Zufallsgröße kann ausschließlich die Werte 1, 2 und 3 annehmen. Gegeben sind weiterhin die folgenden Wahrscheinlichkeiten. p von x gleich 1 ist 0,2 sowie p von x gleich 2 ist 0,7. Also die Wahrscheinlichkeit dafür... dass die Zufallsgröße den Wert 1 annimmt, beträgt 20%. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße den Wert 2 annimmt, beträgt 70%. Das könnte jetzt zum Beispiel die Modellierung eines Glücksrades sein. Auf dem Glücksrad sind drei Kreissektoren abgebildet, die jeweils mit den Zahlen 1, 2 und 3 beschriftet sind. Aufgabe lautet wie folgt, berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p von x gleich 3, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße x den Wert 3 annimmt. Und Aufgabe b. Berechnen Sie den Abwartungswert der Zufallsvariable in Groß X. Auch sehr beliebter Aufgabentyp habe ich ganz häufig gesehen, vor allem in den hilfsmittelfreien Teilen. Aufgabe A, da kann ich erstmal sehen, dass da steht ausschließlich. Das heißt, diese Zufallsgröße kann nur die Werte 1, 2 und 3 annehmen. Die Wahrscheinlichkeiten für das Annehmen von 1 und 2 haben wir schon gegeben mit 0,2 und 0,7, also können wir ansetzen, dass p von x gleich 1 plus p von x gleich 2 plus p von x gleich 3 1 sein muss. Denn wenn ausschließlich die drei Werte angenommen werden können, dann ist die Wahrscheinlichkeit 1, dass ein dieser drei Werte angenommen wird. Kann ich jetzt ausrechnen. Das ist 0,2 plus 0,7. Beginnaufgabe. Wir geben plus p von x gleich 3 soll 1 sein. Jetzt zieht er auf beiden Seiten 0,9 ab. Subtrahiere also 0,9 auf beiden Seiten und habe dann p von x gleich 3 gleich 0,1. Die Wahrscheinlichkeit dafür... dass die Zufallsgröße den Wert 3 annimmt, also 0,1. Das kannst du aber nur machen, wenn hier ausschließlich steht. Also ein Wert ist eben noch offen und der muss eben die Summe mit den beiden anderen Wahrscheinlichkeiten zu 1 ergänzen. Jetzt ist hier der Erwartungswert, der erwartungswert der Zufallsgröße x. Und da setze ich die Formel für den Erwartungswert an. Das ist ja hier k1 mal p1 plus k2 mal p2 plus k3 mal p3. Also ich bilde die Summe. aus den jeweiligen Einzelprodukten, bestehend aus dem Wert und der Wahrscheinlichkeit. Also ich rechne hier 1 mal 0,2, weil p von x gleich 1 ist gleich 0,2, p von x gleich 2 ist 0,7 und p von x gleich 3 ist 0,1. Also 1 mal 0,2 plus 2 mal 0,7 plus 3 mal 0,1. Das ist dann 0,2 plus 1,4 plus 0,3 ist 1,9 und das ist der Erwartungswert. der Zufallsgröße Groß X. Der ist nahe an 2 dran, macht aber auch Sinn, denn zum einen ist 2 ja der mittlere Wert zwischen 1 und 3 und zum anderen ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße den Wert 2 ernehmt, ja 0,7, also relativ groß. Ist aber ein bisschen zur Eins hin verzogen. Warum? Weil die Wahrscheinlichkeit für X gleich 1 größer ist als die Wahrscheinlichkeit für X gleich 3. Nämlich 0,2. Die Formel für den Erwartungswert wendest du also immer dann an, wenn da explizit steht, berechnen Sie den Erwartungswert. Oder wenn du das Wort fair irgendwo findest. Wenn immer ein Glücksspiel oder eine Lotterie fair sein soll, dann bedeutet das, dass der Erwartungswert 0 sein muss. Das heißt, wenn da steht, prüfen Sie, ob das Spiel fair ist, dann muss der Erwartungswert 0 sein. Aufgaben Typ 8, Binomialverteilung. Eine Aufgabenstellung könnte wie folgt lauten. Ein Fußballer übt im... Training das Elfmeterschießen. Vereinfachend können wir davon ausgehen, dass eine Trefferwahrscheinlichkeit bei 80% liegt. Der Schütze tritt 10 mal an. Aufgabe, berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Schütze genau 6 Treffer erzielt. Bei A und bei B berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Schütze genau 6 Treffer erzielt. dafür, dass der Schütze mindestens 8 Treffer erzielt. Diese Aufgabe kannst du mit der Formel für die Binomialverteilung lösen. Bei Aufgabentypen dieser Art erkennt man sehr sehr sehr deutlich, dass es sich um eine Binomialverteilung handelt. Denn es gibt viele Formeln, die die Binomialverteilung lösen können. Zum Beispiel die Formel für die Binomialverteilung. Bei Aufgabentypen dieser Art erkennt man sehr sehr sehr deutlich, dass es sich um eine Binomialverteilung handelt. Denn es gibt viele Formeln, die die Binomialverteilung lösen können. Bei Aufgabentypen dieser Art erkennt man sehr sehr sehr sehr deutlich, dass es sich um eine Binomialverteilung handelt. Denn es gibt viele Formeln, die die Binomialverteilung lösen können. Vier, ganz vier Erkennungssignale. Erkennungssignal 1. Es gibt bei einer einfachen Ausführung dieses Zufallsexperiments nur zwei mögliche Ausgänge. Es gibt nur den Ausgang, der Schütze trifft oder der Schütze trifft nicht. Es gibt nicht den Ausgang, der Schütze trifft irgendwie halb oder vielleicht oder so, der trifft oder trifft nicht. Das heißt, wann immer du Zufallsexperimente hast, bei denen es nur zwei mögliche Ausgänge gibt, kann man im Kopf schon mal die Numeralverteilung aufrufen. Kopf oder Zahl. Gewinnen oder verlieren. Treffer. Oder Niete. Der Schütze trifft oder er trifft nicht. Es werden Lampen in einer Fabrik überprüft und die Lampen sind entweder intakt oder nicht intakt. Ganz häufige Formulierung, habe ich häufig im Abi gesehen. Zwei Optionen. Die Trefferwahrscheinlichkeit ist bei jeder Ausführung konstant. Das heißt, die Trefferwahrscheinlichkeit von diesem Schützen ist hier konstant 80%. Die Trefferwahrscheinlichkeit beim Werfen einer Münze ist konstant 50%. Die Trefferwahrscheinlichkeit beim Werfen eines Würfels für eine Sechs zum Beispiel oder so ist konstant ein Sechstel. Konstant ist P. das ist auch Ergebnis, hier in dem Fall 80%, also 0,8. Wir führen diesen Zufallsversuch n-mal aus. n-maliges Ausführen des Zufallsversuches mit Zurücklegen, in Anführungszeichen. Der Schütze tritt hier 10-mal an, n ist also 10, das ist das dritte Erkennungssignal, das vierte Erkennungssignal ist, wir interessieren uns für k Treffer. Wir haben Interesse für k Treffer und hier in unserem Fall sind das 6 Treffer, k ist also 6. Wir können also sehen, dass es zwei Optionen gibt, dass wir den Parameter p mit 0,8 haben, den Parameter n mit 10 und den Parameter k mit 0,8 haben. mit 6. Dann setzen wir die Formel für die Binomialverteilung an, die lautet p von x gleich k ist gleich n über k mal p hoch k mal 1 minus p hoch n minus k. Die am besten merken oder gut merken zumindest, wo die in der Formelsammlung zu finden ist. Jetzt setzen wir alles ein, dann haben wir p von x gleich 6 ist 10 über 6, das ist der Binomialkoeffizient, mal 0,8 hoch 6 mal 0,2 hoch 4. Das ist im Prinzip eine Verallgemeinerung vom Baumdiagramm, wenn man so möchte. 10 über 6 ist die Anzahl aller pfade und 0,8 hoch 6 mal 0,2 hoch 4 sind die einzelfade sozusagen. Was kommt raus? Bei mir kommt raus ca. 0,08. Ich habe also hier 8%. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 8% trifft der Schütze genau 6 mal. Warum ist denn das so wenig? Naja, er hatte eine Trefferwahrscheinlichkeit von 80% und 6 Treffer ist jetzt nicht besonders ehrgeizig. Das ganze 2 Treffer darunter, deswegen haben wir hier nur 8%. Dann habe ich noch häufig so Formulierungen gelesen, wie berechnen sie die Wahrscheinlichkeit... dafür, dass der Schütze mindestens 8 Treffer erzielt. Also mindestens heißt dann, x ist größer gleich k, in dem Fall 8. p von x ist größer gleich 8. Das ist hier also eine sogenannte kumulierte Binomialverteilung. Kumuliert, das bedeutet, ich nehme jetzt hier also die Formel für die Binomialverteilung einzeln her, einmal für k gleich 8, einmal für k gleich 9, einmal für k gleich 10 und rechne die einzeln aus und addiere die dann. Kannst du gut mit dem Taschenrechner machen. Das steht unter Umständen auch in deiner Formelsammlung. Guck da vorher einmal nach, wo du das findest, dass du da schnell bist. Ich komme dann auf eine Wahrscheinlichkeit von ca. 0,67, ja ganz rough, je 100 kumulierte Binomialverteilung. Die Formel für die Binomialverteilung lautet also immer bitte merken, p von x gleich k ist gleich n über k mal p hoch k mal 1 minus p hoch n minus k. Und du wendest sie immer dann an, wenn du einen Zufallsversuch hast, der nur zwei Ausgänge hat, den du n mal ausführst, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit... konstant p ist und bei dem du dich für k Treffer interessierst, sehr sehr leicht zu erkennen. Die Binominalverteilung. Aufgaben Typ 9, die hypergeometrische Verteilung. Klingt fancy, ist auch fancy, kommt jetzt nicht in allen Bundesländern vor, ist aber ziemlich einfach zu berechnen aus meiner Sicht. Eine Aufgabenstellung könnte wie folgt lauten. In einer Box befinden sich 16 Kugeln. 7 dieser Kugeln sind rot, 9 sind schwarz. Es werden zufällig 5 Kugeln gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei dieser Kugeln rot sind. Hier wende ich jetzt die Formel für die hypergeometrische Verteilung an. Warum? Weil ich habe verschiedene Mengen, die ineinander verschachtet sind. Menge aus Menge aus Menge heißt Formel für die hypergeometrische Verteilung. Ich ziehe 5 aus 16. 3 von 7 sollen rot sein und so weiter. Ich fange jetzt erstmal ganz in Ruhe an. Ich schreibe jetzt erstmal die Zahlen in Ruhe auf. In der Box sind 16 Kugeln. Bei mir ist N also 16. Das ist die Gesamtheit aller Kugeln. Groß N ist 16. Dann definiere ich mir hier die Anzahl meiner roten Kugeln. Die Anzahl der roten Kugeln nenne ich mal M, ist bei mir hier 7. M ist die Anzahl der Elemente mit der besonderen Eigenschaft. Also N sind alle Elemente. M ist die Anzahl der Elemente mit der besonderen Eigenschaft. sind die Elemente mit der besonderen Eigenschaft. In dem Fall rote Kugeln sind 7. Dann habe ich klein n, gibt an, wie oft x hier ist, 5. Und dann habe ich noch klein k, ist mein Interesse, also wie viele rote Kugeln möchte ich denn haben? Sie haben 3, also k gleich 3. Ich habe dann also... Also N ist gleich 16, M ist gleich 7, N ist 5 und K ist 3. Jetzt kann ich die Formel für die hypergeometrische Verteilung hinschreiben. Dann habe ich P von Groß X ist gleich K, das bitte nicht ausrasten, ist gleich Groß M über K mal Groß N minus Groß M über N minus K geteilt durch Groß N über Klein N. Was bedeutet das? Ziemlich simpel. Unter dem Bruchstrich steht einfach nur, wie viele Kugeln siegt er. denn aus den gesamten Kugeln neigt hier 5 aus 16. Ich habe also ein Binomialkoeffizient von 16 über 5. Oben links habe ich auch ein schicken Binomialkoeffizienten. Das ist in dem Fall 7 über 3. Das sind also 3 Kugeln von insgesamt 7. Und oben rechts, dieser Binomialkoeffizient, bezieht sich auf die schwarzen Kugeln. Das ist nämlich N minus M. Das sind jetzt alle Kugeln, die nicht rot sind. Also an schwarzen sind 9. Und dann muss ich mir noch überlegen, wenn ich mir 5 Kugeln greife und 3 davon sind rot, wie viele davon sollen schwarz sein? Na ja, 5 minus 3 ist 2. Ich habe also hier ein Binomialkoeffizient von 9 über 2. Im Zähler habe ich also zum einen die roten Kugeln, 3 aus 7, 7 über 3, mal schwarze Kugeln, 2 aus 9, 9 über 2. Und im Nenner steht, wie viele Kugeln ich insgesamt ziehe. Wenn ich 5 aus 16, also 16 über 5, habe ich 3 Binomialkoeffizienten, habe ich einfach mit dem Taschenrechner ausgerechnet, komme ich auf ca. 28,8%. Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 3 Kugeln rot sind, wenn ich 5 zufällig ohne Zurücklegen ziehe. Aufgaben Typ 10, 3. 3M Aufgaben sind wieder sehr einfach zu identifizieren, da in ihnen dreimal das Wort mindestens auftaucht. Eine Aufgabenstellung könnte wie folgt laufen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Drehen eines Glücksrades liegt bei 15%. Aufgabe. Berechnen Sie die Anzahl der Versuche, die mindestens nötig wäre, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens einmal zu gewinnen. Mindestens nötig wäre, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens einmal zu gewinnen. Ja? Die machen Sie. jetzt folgendes ich schreibe jetzt mal auf p von mindestens einem treffer und geh mal zum gegeneignis über schreibt es auf 1 minus p von kein treffer 1 minus p von kein treffer so größer gleich 0,99 endet soll mindestens 99 prozent größer gleich 0,99 das überlege ich mir noch was kein treffer eigentlich bedeutet treffer wahrscheinlichkeit 0,15 1 0,15 habe ich also hier 0,85 und hoch n immer entlang eines pads 1 minus kann man 1 minus 0,15 hoch n ist größer, gleich 0,99. Jetzt ziehe ich auf beiden Seiten 1 ab. Dann multipliziere ich auf beiden Seiten noch mal minus 1. Dann habe ich 0,85 hoch n ist kleiner, gleich 0,01. Hier schön aufpassen, denn wenn ich mit minus 1 multipliziere, ändert sich die Richtung des Relationszeichens. 0,85 hoch n ist also kleiner, gleich 0,01. Jetzt kann ich auf beiden Seiten logarithmieren, denn n steht im Exponenten. Ich kann es hier logarithmieren, dann habt ihr n mal l. ln von 0,85, das ist das Logarithmusgesetz, kleiner gleich ln von 0,01. Jetzt teile ich noch durch ln von 0,85. Auch hier kehrt sich das Vorzeichen wieder um, denn der Logarithmus von 0,85 ist negativ. Ja, ist ja kleiner als e. Meine Formel lautet dann, n ist größer gleich ln von 0,01 durch ln von 0,85. Okay, kann ich ausrechnen, krieg dann raus, n ist größer gleich 28,1. Mein Antwortsatz würde also wie folgt lauten, man muss mindestens 29 Mal beim Glücksrad antreten, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens einmal zu gewinnen. Nehmt ihr die 29, weil abrunden kann ich nicht. Wenn ich die 28 habe, bin ich ja unter 28,33, deswegen nehme ich die nächsthöhere natürliche Zahl. Wenn du jetzt sagst, ja, die Herleitung verstehe ich zwar, ist aber ganz schön schwierig, kann ich sagen, ja, kann ich nachempfinden. Versuchst dir trotzdem zu merken, kappt es hin und wieder, man hat hier Sehnen. Wenn nicht, merkt ihr doch einfach die Formel, die hier unten steht. steht. Ich habe also hier nur einen Prozenten aus zwei Logarithmen. In diesen Logarithmen steht im Prinzip jeweils die Gegenwahrscheinlichkeit. Also statt 0,99 treibt 0,01 ein und beim Logarithmus im Nenner steht einfach nur die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ich halt nicht gewinnlich bin bei 0,85. Taschenrechner eingeben, kommen wir auf 28,33. Kleiner Tipp noch, in manchen Bundesländern sind Tafelwerke zugelassen, in denen diese Formel auch so drinsteht. Da steht dann N größer gleich ln1 minus 1. durch n in 1. Das ist P. Dann setzt man A und P ein und rechnet das aus. Bei mir damals war das so, es war damals 2010, und ich hatte eine 3-mal-mindestens-Aufgabe und ich habe einfach diese Formel aus dem Tafelwerk abgeschrieben, habe die eingesetzt und habe 5 Punkte dafür bekommen. Geht klar, musst du mal gucken, ob das bei dir in der Formelsammlung oder im Tafelwerk so verzeichnet ist. 3-mal-mindestens-Aufgaben sind hier also sehr, sehr leicht zu identifizieren. Allerdings muss man hier unter Umständen ein bisschen umformen, außer es im Tafelwerk so aufgeführt. In jedem Fall, um den Logarithmus wirst du hier leider nicht drum herum kommen. Ist aber auch nicht so schlimm. Das waren meine 10 Aufgabentypen für Stochastik im Abi. Ich würde sagen, das bietet ein ganz, ganz solides Grundjurist. Wenn du diese 10 Aufgabentypen und die Formeln beherrschst, dann kommst du in Stochastik sehr, sehr weit. Es gibt natürlich noch ein paar andere Aufgaben. Konfidenzintervalle, Hypothesentests würde ich noch nennen. Da mache ich vielleicht nochmal ein separates Video dazu. Mir wäre wichtig, dass du die Aufgabentypen schnell und präzise eindeutig zuweisen kannst. Dass du also genau sagen kannst, jo, das Stoch hast du schon an der Möglichkeit. Hier brauche ich eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Hier brauche ich ein Additions- Das ist eine Binomialverteilung, das ist eine übergeometrische Verteilung. Das wäre mir sehr wichtig. Achte also präzise auf diese Formulierungen und versuch, bevor du anfängst zu rechnen, genau zu sagen, ist es Aufgabentyp 4 oder Aufgabentyp 5 oder so. Ist es bedingte Wahrscheinlichkeit oder das und das. Das wäre sehr wichtig, weil dann kannst du ziemlich straight die Formeln anwenden. Die Formeln selber sind dann häufig gar nicht so schwer. In die Infobox schreibe ich dir nochmal eine Zusammenfassung. Da stehen nochmal die 10 Aufgabentypen drin und woran du sie erkennen kannst. Und jetzt kommt nochmal ein Top-Tipp für eine schnelle Performance im Stochastik. Plastik-Abi, ich werde dir nochmal 10 Aufgaben in einen Kommentar schreiben, die ich unter diesem Video anpinnen werde. Da stehen also die Aufgaben 1 bis 10 und entsprechende Formulierungen, wie sie so oder so ähnlich demnächst in deinem Abi auftauchen werden. Du machst den folgenden, du schreibst mir nochmal eine Nachricht oder einen Kommentar unter diesem Video, schreibst die Zahlen von 1 bis 10 auf und schreibst präziser auf, welcher Aufgabentyp ist das. Dann löst du diese Aufgabe auf dem Schmierblatt und schreibst nochmal das Ergebnis dazu. Das heißt, du notierst. Notierst also in deinem Kommentar die Aufgabennummer, den Aufgabentypen und die Lösung. Und dann schreibe ich dir als Antwort, jo, alles klar, bei 3 und 4 müsstest du nochmal nachschauen, ob das passt oder irgendwie so ähnlich. Ich gebe dir also individuelles Feedback, sodass du sehen kannst, jo, ich habe die Aufgabentypen verstanden, ich kann das aus der Aufgabenstellung rauslesen, ich weiß, welche Formel ich anwenden muss und alles wird gut. Und das wäre auch meine Message, die ich dir gerne noch mit auf den Weg geben möchte. Bei all dem Stress, den vielleicht auch Stochastik oder Mathe an sich in dir auslöst, ich kann dir sagen, du schaffst es, du wirst es hinbekommen. mit einer guten und langfristigen Vorbereitung und den ein oder anderen Tipps, bist du da auf der sicheren Seite. Stell gerne alle deine Fragen. Ich versuche dir so gut wie möglich zur Verfügung zu stehen. Also schreib mir gerne alle deine Fragen in die Kommentare. Ich versuche sie alle zu beantworten. Du schaffst es und ich glaube an dich. Zu guter Letzt, ich habe noch eine kleine Bitte. Like dieses Video bitte an alle Menschen weiter, die der Stochastik demnächst auch im Mathe-Abi begegnen werden. Okay, das war's. Ich danke dir, dass du dabei warst. Ich wünsche dir viel Erfolg im Mathe-Abi. Lass es dir gut gehen. Tschau und Tschüss. Dein Rick. Möge die Stochastik mit dir sein.

Alles sieht irgendwie gleich aus und man versucht irgendwie ein Baumdiagramm zu machen und dann passt das schon oder so. Deswegen dachte ich mir, gucke ich mir Stochastik nochmal ganz genau an. Was habe ich gemacht? Ich habe mir verschiedene Abis aus verschiedenen Jahrgängen aus verschiedenen Bundesländern ausgedruckt. Zwei Dutzend Abis und habe da jeweils die Stochastik-Bereiche rausgeholt.

Dann habe ich mich hingesetzt und habe die ausgerechnet. Vormittags, nachmittags, abends und nachts, an verschiedenen Orten, an verschiedenen Zeiten, mit Hilfsmittel, ohne Hilfsmittel, mit Taschenrechner, ohne Taschenrechner, Formelsammlung, irgendwelche Tabellen, was auch immer. Und habe versucht mir mal so einen Überblick zu verschaffen über all die Aufgabenbereiche, die in Stochastik wichtig sind. Und ich habe mich gefragt, gibt es eigentlich Aufgabentypen oder Formulierungen, die immer und immer wieder so oder so ähnlich im Abi drankommen? Und auf folgende Antwort bin ich gestoßen, ja, die gibt es.

Ich würde sagen, es gibt einen bestimmten Pool an Aufgabentypen oder Formulierungen, die immer und immer wieder drankommen im Abitur. Ich habe also eine Übersicht entwickelt aus 10 Aufgabentypen, die aus meiner Sicht für das Abi ganz, ganz relevant sind. Und diese Aufgabentypen möchte ich dir in diesem Video gerne vorstellen.

Ich möchte dir ganz präzise zeigen, wie du diese Aufgabentypen erkennen kannst, welche Formel du dann anwendest und wie die Rechnung aussieht. 10 Aufgabentypen, die das Grundkonzept der Stochastik aus meiner Sicht bilden. Aus meiner Sicht heißt wieder, kleiner Disclaimer, das ist jetzt nicht der heilige Gral der Stochastik. Das heißt nicht, dass du mit diesen Aufgabentypen 15 Punkte bekommst und dich nicht weiter vorbereiten musst.

Aber wenn du sagst, oh, ich habe nicht mehr so viel Zeit oder ich brauche noch meinen Überblick, dann würde ich sagen, ist dieses Video genau das Richtige. Es gibt noch einige spezielle Aufgabentypen, die habe ich jetzt hier nicht angeschnitten, das würde den Rahmen so ein bisschen spielen. Sprengen, aber so das Grundkonzept möchte ich dir gerne vorstellen.

Zwei Erkenntnisse habe ich gewinnen können während meiner ganzen Rechnerei, möchte ich dir auch noch kurz sagen. Erstens, die Aufgabentypen weichen ganz selten nur von einem bestimmten Standard ab und wenn sie das tun, dann nur minimal. Das heißt, du kannst dich wirklich darauf konzentrieren, nach bestimmten Formulierungen zu suchen, die dich dann auf einen bestimmten Aufgabentypen hinweisen.

Zweitens, man muss in der Regel sehr, sehr wenig rechnen. Diese ganzen Skills und Tools, die du brauchst, zum Beispiel in der Analyse, ableiten, integrieren. Logarithmus-Gesetze oder für Geometrie Gleichungssysteme oder dergleichen mehr, spielt in der Stochastik eher eine untergeordnete Rolle.

Es sind häufig sehr einfache und sehr handliche Konzepte, die wir anwenden. Okay, fangen wir an. Ne, stopp, bevor wir anfangen, ich habe unten wieder verschiedene Kapitel eingeteilt. Das heißt, wenn du sagst, ja, dieser Aufgabentyp, der ist sehr, sehr leicht, den kann ich schon, spule gern zum nächsten oder übernächsten Kapitel vor. Ich empfehle aber, den gesamten Überblick mitzunehmen, insbesondere den Ende.

Ganz am Ende habe ich einen ganz, ganz wertvollen Tipp für dich, von dem ich glaube, dass er dich sehr, sehr weit nach vorne bringen würde im Abi. Aufgabentyp 1 ist das Laplace-Experiment. Eine Abi-Formulierung, die ich so ganz oft gefunden habe, lautet wie folgt.

Ein Abiturjahrgang besteht aus 150 Schülerinnen und Schülern, von denen 25 die Mathe-AG besuchen. Ein Drittel der Schülerinnen und Schüler sind Mitglied der Hockey-AG. 60% des Jahrgangs besuchen weder die Mathe-noch die Hockey-AG. Wir schauen uns die folgenden Ereignisse an.

Das Ereignis M, eine zufällig ausgewählte Person aus dem Abschlussjahrgang, ist Mitglied der Mathe-AG. Und das Ereignis H, eine zufällig ausgewählte Person aus dem Abschlussjahrgang, ist Mitglied der Hockey-AG. So würde der Text im Abi lauten.

Das wäre jetzt hier so eine hilfsmittelfreie Aufgabe oder Aufgabe im A-Teil oder so, je nachdem, wie man dazu sagen möchte. Und die Aufgabe lautet, berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses M. P von M. Wie gehen wir hier vor? Naja.

Wir sehen, dass wir nur zwei relevante Mengen haben. Einmal die Menge m, das ist die Menge der Schülerinnen und Schüler, die die Mathe-HG besuchen. Und dann haben wir noch die Menge Omega, das ist die Menge aller Schülerinnen und Schüler aus diesem Abschlussjahrgang.

p von m ist gleich Mächtigkeit der Menge m durch Mächtigkeit der Menge Omega. Oder anders gesagt, die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse. 25 durch 150 haben wir hier.

25 Schülerinnen und Schüler sind in der Mathe-AG, 150 sind im ganzen Abschlussjahrgang. Kann man auch ein bisschen kürzen, ist ein Sechstel, sodass wir auf die folgende Lösung kommen. P von M ist rund 16,6%.

Aufgabentipp 2 ist das Baumdiagramm. Ganz beliebt, wenn wir immer dann an, wenn wir zum Beispiel mehrfach aus einer Urne irgendwelche Kugeln ziehen. Oder uns mehrfach eine Entscheidung hier stellen. Eine Aufgabenstellung, wie sie im Abi vorkommen könnte, lautet wie folgt. In einer Box befinden sich 10 Kugeln.

Auf 3 der Kugeln ist eine 1 abgebildet, 7 der Kugeln ist eine 1, sind mit einer 2 beschriftet. Aus der Box wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Aufgabe, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auf den gezogenen Kugeln dieselben Zahlen abgebildet sind. Und ich ziehe jetzt ein erstes Mal aus dieser Box.

Beim ersten Mal ziehen gibt es zwei Möglichkeiten. Möglichkeit 1, auf der Kugel ist eine 1 abgebildet. Möglichkeit 2, auf der Kugel ist eine 2 abgebildet.

Die Wahrscheinlichkeiten hier sehen wie folgt aus. 0,3 und 0,7. Das sind jetzt einfache Laplace-Wahrscheinlichkeiten.

3 durch 10 sind 0,3 und 7 durch 10 sind 0,7 Hier taucht also die Laplace-Wahrscheinlichkeit direkt wieder auf Nachdem ich gezogen habe, lege ich wieder zurück Und habe im zweiten Zug auch wieder die Möglichkeit, eine Kugel mit einer 1 oder einer 2 zu ziehen Auch hier gelten wieder die gleichen Wahrscheinlichkeiten, 0,3 und 0,7 Denn ich habe die erste Kugel wieder zurückgelegt Jetzt habe ich hier ein schönes Baumdiagramm gezeichnet Und mit Hilfe dieses Baumdiagramms kann ich jetzt also verschiedene Wahrscheinlichkeiten berechnen Hier wollen wir die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass auf den beiden Kugeln die selbe Zahl abgebildet ist. Wir haben also die Möglichkeit 1,1 und die Möglichkeit 2,2. Wir gehen also hier einmal diesen Pfad entlang, der uns nur über Kugeln führt, die die Aufschrift 1 enthalten. Dann hätten wir also hier die Wahrscheinlichkeit 0,3 mal 0,3, denn entlang eines Pfades müssen wir immer multiplizieren.

Und dann haben wir noch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auf beiden Kugeln eine 2 abgebildet ist. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt 0,7 mal 0,3. Ich gehe entlang eines Pfades, ich multipliziere die Wahrscheinlichkeiten.

Jetzt möchte ich zwei Pfade zusammenführen und dann muss ich addieren. Wenn du zwei Pfade oder mehr zusammenführst, dann musst du addieren. Die Rechengrundlage sieht also wie folgt aus.

p ist gleich 0,3 mal 0,3, erster Pfad, plus 0,7 mal 0,7, zweiter Pfad. Ich habe dann 0,09 plus 0,49 und das ist dann also 0,5. Also eine Wahrscheinlichkeit von 58%. Also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auf den Kugeln dieselben Zahlen abgebildet sind, beträgt 58%.

Für das Baumdiagramm habe ich noch drei Tipps für dich. Tipp 1. Zeichne das Baumdiagramm schön groß, damit du alles gut sichtbar und deutlich erkennen kannst. Insbesondere wenn du 3, 4 oder 5 mal aus der Box ziehst, dann wird das Baumdiagramm entsprechend größer.

Plan da genügend Platz ein. Tipp 2. Färbe die Fade entsprechend ein. deutlich sehen kannst.

Und dritter Tipp, beachte die Pfadregeln. Entlang eines Pfades mal, verschiedene Pfade zusammenführen, plus. Aufgabentyp 3, Vierfelder-Tafel. Eine abi-ähnliche Aufgabenstellung lautet wie folgt.

Auf einer Getränkekarte sind 200 Cocktails aufgeführt, von denen 75% mit einem Strohhalm serviert werden. 80 Cocktails enthalten köstliche Früchte. 30% der Drinks werden sowohl mit Strohhalm als auch mit köstlichen Früchten gereicht. Da soll noch mal jemand sagen, dass Mathe-Nix-Mitglieds-Tafeln nicht so gut sind. mit dem Real Life zu tun hat.

Betrachtet werden die folgenden Ereignisse. Ereignis S, ein zufällig ausgewählter Cocktail wird mit einem Strohhalm serviert. Und Ereignis F, ein zufällig ausgewählter Cocktail wird mit köstlichen Früchten serviert.

Aufgabe lautet wie folgt, bestimmen Sie den Anteil der Cocktails, die weder mit einem Strohhalm noch mit köstlichen Früchten serviert werden. Hier bietet es sich an, eine Vierfelder-Tafel zu zeichnen. Warum? Hm, naja, ich habe hier verschiedene Mengen, die miteinander... Interaktion treten.

Ich habe die Menge S und ich habe die Menge F. Es gibt auch zum Beispiel eine Schnittmenge. Also es gibt auch Cocktails, die sowohl mit Strohhalm als auch mit köstlichen Früchten serviert werden. Es gibt aber auch Cocktails, die nur mit Strohhalm und nicht mit Früchten oder nur mit Früchten ohne Strohhalm serviert werden.

Also ich habe hier verschiedene Schnittmengen. Und immer dann, wenn verschiedene Schnittmengen möglich sind, sollte dir die Vierfelder-Tafel in den Sinn kommen. Zumindest als eine Option. Habe ich hier mal aufgezeichnet.

Ich habe hier also P von S, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Cocktail... Cocktail mit einem Strohhalm serviert wird, wenn ich zufällig wähle. Dann die Wahrscheinlichkeit S quer, Cocktail hat keinen Strohhalm. Dann die Wahrscheinlichkeit P von F, Cocktail wird mit köstlichen Früchten erreicht. Und die Wahrscheinlichkeit P von F quer, Cocktail wird ohne köstliche Früchte erreicht.

P von S ist in der Aufgabe so aufgeführt, 75%, trage ich ein, 0,75. P von F, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Cocktail köstliche Früchte enthält, ist 0,4. Warum? Weil 80 durch 200 0,4 ist.

80 durch 200 ist 0,4. Da schön aufpassen, wir suchen ja immer Anteile. 30% der Drinks werden sowohl mit Strohhalm als auch mit köstlichen Früchten gereicht.

Und da kannst du dir schön merken, wenn du irgendwo liest, sowohl als auch, dann haben wir eine Schnittmenge. Sowohl als auch ist eine Schnittmenge. Können wir hier schön eintragen, 0,3. Wir haben also folgende Angaben, 0,7.

0,5, 0,4 und 0,3. Ich starte mal, um von 0,3 auf 0,4 zu kommen, brauche ich 0,1, 0,45, dann steht unten rechts ja immer eine 1. Um von 0,75 auf 0,1 zu kommen, brauche ich 0,25, dann hier noch 0,6 und schlussendlich hier 0,15. Also ich addiere immer so, dass sich die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten hier ergeben.

Ich kann auch einfach subtrahieren, um das Ergebnis zu bekommen, das ist jetzt nicht so wichtig. So, jetzt möchte ich den Anteil der Cocktails ermitteln, die weder einen Strohhalm noch köstliche Früchte enthalten. weder noch heißt die beiden Komplementmengen schneiden sich.

Also weder Strohhalm noch köstliche Früchte ist die Wahrscheinlichkeit von s quer geschnitten f quer und die können wir hier einfach ablesen, die ist 0,15. 15 Prozent wäre hier also meine Lösung. Der Anteil der Cocktails, die weder mit einem Strohhalm noch mit köstlichen Früchten serviert werden, beträgt also 15 Prozent.

So kann ich hier auf dieser Vierfellertafel aber auch alle möglichen anderen Schnittmengen berechnen. Und merk sie bitte, wann immer irgendwo Schnittmengen oder die Formulierung sowohl als auch oder weder noch auftauchen, da ist die Vierfelder-Tafel nicht weit. Aufgaben Typ 4, der sogenannte Additionssatz. Wir bleiben bei der Aufgabe.

200 Cocktails, 75% werden mit einem Strohhalm serviert, 80 Cocktails enthalten köstliche Früchte, 30% der Drinks werden sowohl mit Strohhalm als auch mit köstlichen Früchten gereicht. Die Aufgabe lautet wie folgt, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit. für das Eintreten des Ereignisses S vereinigt mit F, beschreiben sie dessen Bedeutung im Sachzusammenhang. Habe ich auch so ähnlich in einer Abiturklausur gefunden. Da haben die also S vereinigt mit F.

Also dieses Zeichen, was nach oben geöffnet ist, bedeutet vereinigt mit. Ich stelle mir da so einen Topf vor, wo ich einfach an und rein haue. Wann immer du also die Wahrscheinlichkeit für eine Vereinigungsmenge berechnen sollst, ist der Additionssatz nicht weit. Und hier in dem Fall schreibe ich...

den Additionssatz einfach als Ansatz hin. Ich notiere Additionssatz und dann p von s vereinigt f ist gleich p von s plus p von f minus p von s geschnitten f. Ich addiere die Einzelwahrscheinlichkeiten dieser beiden Ereignisse und subtrahiere die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge. Ich habe dann also 0,75 ist die Wahrscheinlichkeit von Cocktail hat Strohhalm plus 0,4 ist die Wahrscheinlichkeit von Cocktail enthält köstliche Früchte minus 0,3 ist die Wahrscheinlichkeit von Cocktail enthält beides. Ich habe dann also 0,75 plus 0,4 minus 0,3 und erhalte dann 0,85.

Antwort lautet, Wahrscheinlichkeit P von S vereinigt F, beträgt also 0,85. 85%. Die Bedeutung im Sachzusammenhang lautet also wie folgt, mein Cocktail wird mit Strohhalm oder mit köstlichen Früchten oder mit beidem gereicht.

Warum zieht man da eigentlich diese Schnittmenge hinten ab? Naja, sonst würde man ja doppelt mitziehen. Stell dir vor, du sollst aus einem Kartendeck ziehen und die... Die Aufgabenstellung lautet, ermitte die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die gezogene Karte eine Herzkarte oder eine Damenkarte ist. Herz oder Dame.

Dann haben wir irgendwie 13 Herzkarten und 4 Damenkarten. Wenn du die jetzt zusammen addierst, also 13 plus 4 wäre dann 17. Du würdest die Herz-Dame hier aber doppelt mitzählen. Das ist nämlich eine Herzkarte und eine Damenkarte.

Das heißt, die Schnittmenge, die Herz-Dame, die ziehen wir hinten nochmal ab, weil sonst würden wir nicht einfach doppelt zählen. Und so ist es hier bei diesem Cocktailbeispiel auch. Hier gilt der Additionssatz.

Die Wahrscheinlichkeit für die Vereinigungsmenge ist die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten, von der die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge subtrahiert wird. P von S plus P von F minus P von S geschnitten F. So, Aufgabentyp 5, stochastische Unabhängigkeit.

Auch ein sehr schöner Aufgabentyp, auch sehr beliebt im Abitur. Ich trage mal die Aufgabstellung vor. Auf einer Party werden verschiedene spaßige Aktionen angeboten. So können sich die Party... Partygäste für einen Limbo-Wettbewerb oder eine Karaoke-Session anmelden.

Vorab tragen sich die Gäste Listen dafür ein. Okay, Karaoke, Limbo, nice. 15% der Gäste haben sich sowohl für die Karaoke-Session als auch für den Limbo-Wettbewerb eingetragen. Dann wieder sowohl als auch.

80% wollen ihr Glück beim Limbo versuchen und ein Viertel der Gäste hat Lust auf Karaoke. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse. Ereignis Groß L, ein zufällig gewählter Partygast.

So, Aufgabe. Untersuchen Sie die Ereignisse L und K auf stochastische Unabhängigkeit. Und das ist ein toller Aufgabentyp.

Warum? Weil stochastische Unabhängigkeit immer explizit im Text steht. Also wenn du irgendwo liest, stochastische Unabhängigkeit, kannst du sofort, ohne darüber nachzudenken, aufschreiben. P von A mal P von B ist gleich P von A geschnitten B.

Das bedeutet, Das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeiten ist gleich die Wahrscheinlichkeit von der Schnittmenge. Führen wir hier unsere Wahrscheinlichkeiten erstmal auf.

p von L, also die Wahrscheinlichkeit davon, dass jemand sein Glück beim Limbo versuchen möchte, ist ja 0,8. 80% wollen ihr Glück beim Limbo versuchen. p von K, das ist ein Viertel der Gäste, die machen Karaoke. Ein Viertel ist 0,25. Und dann haben wir noch, sowohl als auch, sind 15% der Gäste, also 0,15.

Haben also hier unsere drei Wahrscheinlichkeiten. P von L ist 0,8, P von K ist 0,25 und P von L gestütten K ist 0,15. Der Ansatz lautet jetzt wie folgt.

p von L mal p von K ist gleich p von L geschnitten K. Woher weiß ich das? Das ist die Definition von stochastischer Unabhängigkeit. Wenn du irgendwo liest, stochastische Unabhängigkeit, schreibst du das so auf.

mit den entsprechenden Bezeichnungen. Das heißt, ich muss jetzt nur untersuchen, ob das Produkt von 0,8 und 0,25 0,15 ergibt. Und dann bin ich schon fertig.

Dann kann man ausrechnen, 0,8 mal 0,25 ist 0,2. 0,2 ist nicht das gleiche wie 0,15. Demzufolge sind die beiden Ereignisse L und K stochastisch abhängig.

Muss man jetzt nicht weiter interpretieren. Du musst lediglich die Formel für die stochastische Unabhängigkeit kennen und die dann entsprechend anwenden. Wenn du also irgendwo liest, stochastisch abhängig, Stochastisch abhängig oder unabhängig, schreibst du am besten direkt auf P von A mal P von B ist gleich P von A geschnitten B. Und das ist dann zu überprüfen.

Fertig. Geil. Toller Aufgabentyp. Mir fällt mir richtig gut.

Habe ich ganz oft im Abi gesehen. Man muss irgendwann auf stochastische Unabhängigkeit prüfen und man denkt so, was soll ich denn da jetzt machen? Naja, einfach das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ausrechnen und gucken, ob es die Wahrscheinlichkeit des Schnittes ist. Aufgabentyp 6. Bedingte Wahrscheinlichkeit. Die Formulierung, die ich hier gewählt habe, lautet wie folgt.

In einer Umfrage wurden... Freizeitaktivitäten und Schulleistungen von Jugendlichen untersucht. Demnach lesen 20% der Jugendlichen regelmäßig Bücher, 18% mögen Spaziergänge, 15% geben an, regelmäßig Bücher zu lesen und benennen Deutsch als ihr Lieblingsfach.

Das ist doch mal toll. 20% lesen regelmäßig Bücher, 18% mögen Spaziergänge und 15% geben an, regelmäßig Bücher zu lesen und Deutsch als Lieblingsfach zu haben. Aufgabe, bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit...

Dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bücherwurm Deutsch als Lieblingsfach angibt. Woher weiß ich jetzt, dass ich hier eine bedingte Wahrscheinlichkeit ansetzen muss? Da habe ich herausgefunden, dass bedingte Wahrscheinlichkeiten ganz häufig mit einem Partizip 2 einhergehen.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bücherwurm Deutsch als Lieblingsfach angibt. Meistens noch in einem Nebensatz oder so verschachtelt. Das sind immer die Bedingungen. Man könnte die Aufgabenstellung auch so lesen.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bücherwurm Deutsch als Lieblingsfach angibt. eine Person Deutsch als Lieblingsfach angibt, unter der Bedingung, dass sie regelmäßig Bücher liest. Also ein Partizip 2 ist dann häufig die Bedingung.

Wir suchen uns eine neue Bezugsgruppe. Das ist jetzt die Bezugsgruppe der bücherlesenden Menschen. Jetzt führe ich hier noch ein paar Bezeichnungen ein, um das schön irgendwie aufzuführen. Ich habe jetzt mal das Ereignis B gewählt. Das ist jemand, der liest regelmäßig.

Das Ereignis S. Jemand mag Spaziergänge. Und das Ereignis D. Jemand hat Deutsch als... Jetzt Lieblingsfach. Und jetzt kann ich hier Wahrscheinlichkeiten aus dem Text direkt aufschreiben. Die Wahrscheinlichkeit P von B ist 0,2.

Das ist der Anteil der Menschen, die regelmäßig Bücher lesen. Das ist 20%. Also hier P von B 0,2. P von S ist 0,18.

Jemand mag Spaziergänge. Okay, nice. Und die Wahrscheinlichkeit von P geschnitten D ist 0,15. Jemand liest regelmäßig Bücher und gibt Deutsch als Lieblingsfach an. Ich möchte jetzt also wissen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Deutsch als Lieblingsfach benennt unter der Bedingung, dass er oder sie regelmäßig Bücher liest.

Der lautet der Ansatz wie folgt, p von d unter der Bedingung b ist gleich p von b geschnitten d durch p von b. Du merkst dir, Schnitt durch Bedingung, Schnitt durch Bedingung. Du teilst immer den Schnitt durch die Bedingung und die Bedingung, das ist das Ereignis, was nah am Partizip 2 steht.

Das ist die Menge, aus der nochmal ausgewählt wird. Das ist jetzt die Menge der Menschen, die gerne Bücher lesen. Ja, das ist ein Ereignis.

Einfache Division 0,15 durch 0,2 ist 0,75. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bücherwurm Deutsch als Lieblingsfach angibt, beträgt also 75%. Ist auch relativ plausibel, ja, in der Menge der Menschen, die regelmäßig Bücher lesen, ist der Anteil der Menschen, die Deutsch als ihr Lieblingsfach angeben, wahrscheinlich auch höher als in der gesamten Ergebnismenge. Nebensatz und Partizip 2 deutet uns also ganz häufig auf die bedingte Wahrscheinlichkeit hin. Dann wendest du diese Formel an, du merkst dir Schnitt.

durch bedingung schnitt durch bedingung schnitt durch bedingung machen wir mal kurzes zwischen Mir ist während der Bearbeitung dieser ganzen Abiturklausuren aufgefallen, dass die letzten vier Aufgabentypen immer ganz, ganz eng miteinander in Beziehung gesetzt werden. Also die Vierfelder-Tafel, die steht ganz oft im Zusammenhang mit dem Additionssatz, der stochastischen Unabhängigkeit oder der bedingten Wahrscheinlichkeit. Das liegt daran, dass in einer Vierfelder-Tafel eben vier verschiedene Schnittmengen stehen.

Da sind vier Felder für die jeweiligen möglichen Schnitte. Ich kann also aus einer Vierfelder-Tafel zum Beispiel gar keine Wahrscheinlichkeiten für Vereinigungsmengen direkt ablesen. Dafür brauche ich einen Additionssatz.

Oder ich kann dann zum Beispiel, wenn ich eine Vierfelder-Tafel habe, prüfen, ob zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind. Ich multipliziere die beiden Wahrscheinlichkeiten und schaue mir an, ob das gleich der Wahrscheinlichkeit des Schnittes ist. Mit einer Vierfelder-Tafel kann man wunderbar stochastische Unabhängigkeit prüfen. Man kann mit den Werten, die man in einer Vierfelder-Tafel hat, auch ganz wunderbar bedingte Wahrscheinlichkeiten bestimmen.

Denn wir haben da sowohl Schnitter... als auch Bedingungen drin. Das heißt, wann immer du eine Vierfädertafel im Abi zeichnen musst. Versuch dir diese drei Aufgabentypen zu merken.

Die drei hängen da ganz häufig hinten dran. Additionssatz, stochastische Unabhängigkeit oder bedingte Wahrscheinlichkeit. Die Vierfädertafel bietet also Anknüpfungspunkte in alle möglichen Richtungen. Aber mit den drei Tools bist du da auf jeden Fall sehr, sehr gut vorbereitet. Das heißt, sobald du eine Vierfädertafel zeichnest, oder vielleicht schreibst du ganz kurz einen Bleistift daneben, Additionssatz, stochastische Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit.

Weil ziemlich sicher kommt nach dieser Vierfältertafel einer dieser drei Aufgabentypen. Habe ich zumindest relativ häufig in meinen Abiturklausuren gesehen. Das kann man sich gut merken. Diese vier Aufgabentypen, die hängen dicht miteinander zusammen.

Aufgabentyp 7. Erwartungswert. Aufgabenstellung lautet wie folgt. Die Zufallsgröße kann ausschließlich die Werte 1, 2 und 3 annehmen. Gegeben sind weiterhin die folgenden Wahrscheinlichkeiten. p von x gleich 1 ist 0,2 sowie p von x gleich 2 ist 0,7.

Also die Wahrscheinlichkeit dafür... dass die Zufallsgröße den Wert 1 annimmt, beträgt 20%. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße den Wert 2 annimmt, beträgt 70%. Das könnte jetzt zum Beispiel die Modellierung eines Glücksrades sein.

Auf dem Glücksrad sind drei Kreissektoren abgebildet, die jeweils mit den Zahlen 1, 2 und 3 beschriftet sind. Aufgabe lautet wie folgt, berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p von x gleich 3, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße x den Wert 3 annimmt. Und Aufgabe b.

Berechnen Sie den Abwartungswert der Zufallsvariable in Groß X. Auch sehr beliebter Aufgabentyp habe ich ganz häufig gesehen, vor allem in den hilfsmittelfreien Teilen. Aufgabe A, da kann ich erstmal sehen, dass da steht ausschließlich. Das heißt, diese Zufallsgröße kann nur die Werte 1, 2 und 3 annehmen.

Die Wahrscheinlichkeiten für das Annehmen von 1 und 2 haben wir schon gegeben mit 0,2 und 0,7, also können wir ansetzen, dass p von x gleich 1 plus p von x gleich 2 plus p von x gleich 3 1 sein muss. Denn wenn ausschließlich die drei Werte angenommen werden können, dann ist die Wahrscheinlichkeit 1, dass ein dieser drei Werte angenommen wird. Kann ich jetzt ausrechnen. Das ist 0,2 plus 0,7.

Beginnaufgabe. Wir geben plus p von x gleich 3 soll 1 sein. Jetzt zieht er auf beiden Seiten 0,9 ab. Subtrahiere also 0,9 auf beiden Seiten und habe dann p von x gleich 3 gleich 0,1.

Die Wahrscheinlichkeit dafür... dass die Zufallsgröße den Wert 3 annimmt, also 0,1. Das kannst du aber nur machen, wenn hier ausschließlich steht. Also ein Wert ist eben noch offen und der muss eben die Summe mit den beiden anderen Wahrscheinlichkeiten zu 1 ergänzen.

Jetzt ist hier der Erwartungswert, der erwartungswert der Zufallsgröße x. Und da setze ich die Formel für den Erwartungswert an. Das ist ja hier k1 mal p1 plus k2 mal p2 plus k3 mal p3. Also ich bilde die Summe. aus den jeweiligen Einzelprodukten, bestehend aus dem Wert und der Wahrscheinlichkeit.

Also ich rechne hier 1 mal 0,2, weil p von x gleich 1 ist gleich 0,2, p von x gleich 2 ist 0,7 und p von x gleich 3 ist 0,1. Also 1 mal 0,2 plus 2 mal 0,7 plus 3 mal 0,1. Das ist dann 0,2 plus 1,4 plus 0,3 ist 1,9 und das ist der Erwartungswert. der Zufallsgröße Groß X. Der ist nahe an 2 dran, macht aber auch Sinn, denn zum einen ist 2 ja der mittlere Wert zwischen 1 und 3 und zum anderen ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße den Wert 2 ernehmt, ja 0,7, also relativ groß. Ist aber ein bisschen zur Eins hin verzogen.

Warum? Weil die Wahrscheinlichkeit für X gleich 1 größer ist als die Wahrscheinlichkeit für X gleich 3. Nämlich 0,2. Die Formel für den Erwartungswert wendest du also immer dann an, wenn da explizit steht, berechnen Sie den Erwartungswert.

Oder wenn du das Wort fair irgendwo findest. Wenn immer ein Glücksspiel oder eine Lotterie fair sein soll, dann bedeutet das, dass der Erwartungswert 0 sein muss. Das heißt, wenn da steht, prüfen Sie, ob das Spiel fair ist, dann muss der Erwartungswert 0 sein. Aufgaben Typ 8, Binomialverteilung. Eine Aufgabenstellung könnte wie folgt lauten.

Ein Fußballer übt im... Training das Elfmeterschießen. Vereinfachend können wir davon ausgehen, dass eine Trefferwahrscheinlichkeit bei 80% liegt.

Der Schütze tritt 10 mal an. Aufgabe, berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Schütze genau 6 Treffer erzielt. Bei A und bei B berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Schütze genau 6 Treffer erzielt.

dafür, dass der Schütze mindestens 8 Treffer erzielt. Diese Aufgabe kannst du mit der Formel für die Binomialverteilung lösen. Bei Aufgabentypen dieser Art erkennt man sehr sehr sehr deutlich, dass es sich um eine Binomialverteilung handelt.

Denn es gibt viele Formeln, die die Binomialverteilung lösen können. Zum Beispiel die Formel für die Binomialverteilung. Bei Aufgabentypen dieser Art erkennt man sehr sehr sehr deutlich, dass es sich um eine Binomialverteilung handelt. Denn es gibt viele Formeln, die die Binomialverteilung lösen können. Bei Aufgabentypen dieser Art erkennt man sehr sehr sehr sehr deutlich, dass es sich um eine Binomialverteilung handelt.

Denn es gibt viele Formeln, die die Binomialverteilung lösen können. Vier, ganz vier Erkennungssignale. Erkennungssignal 1. Es gibt bei einer einfachen Ausführung dieses Zufallsexperiments nur zwei mögliche Ausgänge. Es gibt nur den Ausgang, der Schütze trifft oder der Schütze trifft nicht.

Es gibt nicht den Ausgang, der Schütze trifft irgendwie halb oder vielleicht oder so, der trifft oder trifft nicht. Das heißt, wann immer du Zufallsexperimente hast, bei denen es nur zwei mögliche Ausgänge gibt, kann man im Kopf schon mal die Numeralverteilung aufrufen. Kopf oder Zahl.

Gewinnen oder verlieren. Treffer. Oder Niete. Der Schütze trifft oder er trifft nicht.

Es werden Lampen in einer Fabrik überprüft und die Lampen sind entweder intakt oder nicht intakt. Ganz häufige Formulierung, habe ich häufig im Abi gesehen. Zwei Optionen.

Die Trefferwahrscheinlichkeit ist bei jeder Ausführung konstant. Das heißt, die Trefferwahrscheinlichkeit von diesem Schützen ist hier konstant 80%. Die Trefferwahrscheinlichkeit beim Werfen einer Münze ist konstant 50%.

Die Trefferwahrscheinlichkeit beim Werfen eines Würfels für eine Sechs zum Beispiel oder so ist konstant ein Sechstel. Konstant ist P. das ist auch Ergebnis, hier in dem Fall 80%, also 0,8. Wir führen diesen Zufallsversuch n-mal aus. n-maliges Ausführen des Zufallsversuches mit Zurücklegen, in Anführungszeichen. Der Schütze tritt hier 10-mal an, n ist also 10, das ist das dritte Erkennungssignal, das vierte Erkennungssignal ist, wir interessieren uns für k Treffer.

Wir haben Interesse für k Treffer und hier in unserem Fall sind das 6 Treffer, k ist also 6. Wir können also sehen, dass es zwei Optionen gibt, dass wir den Parameter p mit 0,8 haben, den Parameter n mit 10 und den Parameter k mit 0,8 haben. mit 6. Dann setzen wir die Formel für die Binomialverteilung an, die lautet p von x gleich k ist gleich n über k mal p hoch k mal 1 minus p hoch n minus k. Die am besten merken oder gut merken zumindest, wo die in der Formelsammlung zu finden ist.

Jetzt setzen wir alles ein, dann haben wir p von x gleich 6 ist 10 über 6, das ist der Binomialkoeffizient, mal 0,8 hoch 6 mal 0,2 hoch 4. Das ist im Prinzip eine Verallgemeinerung vom Baumdiagramm, wenn man so möchte. 10 über 6 ist die Anzahl aller pfade und 0,8 hoch 6 mal 0,2 hoch 4 sind die einzelfade sozusagen. Was kommt raus? Bei mir kommt raus ca.

0,08. Ich habe also hier 8%. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 8% trifft der Schütze genau 6 mal. Warum ist denn das so wenig? Naja, er hatte eine Trefferwahrscheinlichkeit von 80% und 6 Treffer ist jetzt nicht besonders ehrgeizig.

Das ganze 2 Treffer darunter, deswegen haben wir hier nur 8%. Dann habe ich noch häufig so Formulierungen gelesen, wie berechnen sie die Wahrscheinlichkeit... dafür, dass der Schütze mindestens 8 Treffer erzielt. Also mindestens heißt dann, x ist größer gleich k, in dem Fall 8. p von x ist größer gleich 8. Das ist hier also eine sogenannte kumulierte Binomialverteilung.

Kumuliert, das bedeutet, ich nehme jetzt hier also die Formel für die Binomialverteilung einzeln her, einmal für k gleich 8, einmal für k gleich 9, einmal für k gleich 10 und rechne die einzeln aus und addiere die dann. Kannst du gut mit dem Taschenrechner machen. Das steht unter Umständen auch in deiner Formelsammlung. Guck da vorher einmal nach, wo du das findest, dass du da schnell bist. Ich komme dann auf eine Wahrscheinlichkeit von ca.

0,67, ja ganz rough, je 100 kumulierte Binomialverteilung. Die Formel für die Binomialverteilung lautet also immer bitte merken, p von x gleich k ist gleich n über k mal p hoch k mal 1 minus p hoch n minus k. Und du wendest sie immer dann an, wenn du einen Zufallsversuch hast, der nur zwei Ausgänge hat, den du n mal ausführst, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit... konstant p ist und bei dem du dich für k Treffer interessierst, sehr sehr leicht zu erkennen. Die Binominalverteilung.

Aufgaben Typ 9, die hypergeometrische Verteilung. Klingt fancy, ist auch fancy, kommt jetzt nicht in allen Bundesländern vor, ist aber ziemlich einfach zu berechnen aus meiner Sicht. Eine Aufgabenstellung könnte wie folgt lauten. In einer Box befinden sich 16 Kugeln. 7 dieser Kugeln sind rot, 9 sind schwarz.

Es werden zufällig 5 Kugeln gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei dieser Kugeln rot sind. Hier wende ich jetzt die Formel für die hypergeometrische Verteilung an. Warum?

Weil ich habe verschiedene Mengen, die ineinander verschachtet sind. Menge aus Menge aus Menge heißt Formel für die hypergeometrische Verteilung. Ich ziehe 5 aus 16. 3 von 7 sollen rot sein und so weiter. Ich fange jetzt erstmal ganz in Ruhe an.

Ich schreibe jetzt erstmal die Zahlen in Ruhe auf. In der Box sind 16 Kugeln. Bei mir ist N also 16. Das ist die Gesamtheit aller Kugeln.

Groß N ist 16. Dann definiere ich mir hier die Anzahl meiner roten Kugeln. Die Anzahl der roten Kugeln nenne ich mal M, ist bei mir hier 7. M ist die Anzahl der Elemente mit der besonderen Eigenschaft. Also N sind alle Elemente. M ist die Anzahl der Elemente mit der besonderen Eigenschaft. sind die Elemente mit der besonderen Eigenschaft.

In dem Fall rote Kugeln sind 7. Dann habe ich klein n, gibt an, wie oft x hier ist, 5. Und dann habe ich noch klein k, ist mein Interesse, also wie viele rote Kugeln möchte ich denn haben? Sie haben 3, also k gleich 3. Ich habe dann also... Also N ist gleich 16, M ist gleich 7, N ist 5 und K ist 3. Jetzt kann ich die Formel für die hypergeometrische Verteilung hinschreiben. Dann habe ich P von Groß X ist gleich K, das bitte nicht ausrasten, ist gleich Groß M über K mal Groß N minus Groß M über N minus K geteilt durch Groß N über Klein N. Was bedeutet das?

Ziemlich simpel. Unter dem Bruchstrich steht einfach nur, wie viele Kugeln siegt er. denn aus den gesamten Kugeln neigt hier 5 aus 16. Ich habe also ein Binomialkoeffizient von 16 über 5. Oben links habe ich auch ein schicken Binomialkoeffizienten. Das ist in dem Fall 7 über 3. Das sind also 3 Kugeln von insgesamt 7. Und oben rechts, dieser Binomialkoeffizient, bezieht sich auf die schwarzen Kugeln. Das ist nämlich N minus M.

Das sind jetzt alle Kugeln, die nicht rot sind. Also an schwarzen sind 9. Und dann muss ich mir noch überlegen, wenn ich mir 5 Kugeln greife und 3 davon sind rot, wie viele davon sollen schwarz sein? Na ja, 5 minus 3 ist 2. Ich habe also hier ein Binomialkoeffizient von 9 über 2. Im Zähler habe ich also zum einen die roten Kugeln, 3 aus 7, 7 über 3, mal schwarze Kugeln, 2 aus 9, 9 über 2. Und im Nenner steht, wie viele Kugeln ich insgesamt ziehe.

Wenn ich 5 aus 16, also 16 über 5, habe ich 3 Binomialkoeffizienten, habe ich einfach mit dem Taschenrechner ausgerechnet, komme ich auf ca. 28,8%. Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 3 Kugeln rot sind, wenn ich 5 zufällig ohne Zurücklegen ziehe.

Aufgaben Typ 10, 3. 3M Aufgaben sind wieder sehr einfach zu identifizieren, da in ihnen dreimal das Wort mindestens auftaucht. Eine Aufgabenstellung könnte wie folgt laufen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Drehen eines Glücksrades liegt bei 15%. Aufgabe.

Berechnen Sie die Anzahl der Versuche, die mindestens nötig wäre, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens einmal zu gewinnen. Mindestens nötig wäre, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens einmal zu gewinnen. Ja?

Die machen Sie. jetzt folgendes ich schreibe jetzt mal auf p von mindestens einem treffer und geh mal zum gegeneignis über schreibt es auf 1 minus p von kein treffer 1 minus p von kein treffer so größer gleich 0,99 endet soll mindestens 99 prozent größer gleich 0,99 das überlege ich mir noch was kein treffer eigentlich bedeutet treffer wahrscheinlichkeit 0,15 1 0,15 habe ich also hier 0,85 und hoch n immer entlang eines pads 1 minus kann man 1 minus 0,15 hoch n ist größer, gleich 0,99. Jetzt ziehe ich auf beiden Seiten 1 ab. Dann multipliziere ich auf beiden Seiten noch mal minus 1. Dann habe ich 0,85 hoch n ist kleiner, gleich 0,01.

Hier schön aufpassen, denn wenn ich mit minus 1 multipliziere, ändert sich die Richtung des Relationszeichens. 0,85 hoch n ist also kleiner, gleich 0,01. Jetzt kann ich auf beiden Seiten logarithmieren, denn n steht im Exponenten. Ich kann es hier logarithmieren, dann habt ihr n mal l.

ln von 0,85, das ist das Logarithmusgesetz, kleiner gleich ln von 0,01. Jetzt teile ich noch durch ln von 0,85. Auch hier kehrt sich das Vorzeichen wieder um, denn der Logarithmus von 0,85 ist negativ.

Ja, ist ja kleiner als e. Meine Formel lautet dann, n ist größer gleich ln von 0,01 durch ln von 0,85. Okay, kann ich ausrechnen, krieg dann raus, n ist größer gleich 28,1. Mein Antwortsatz würde also wie folgt lauten, man muss mindestens 29 Mal beim Glücksrad antreten, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens einmal zu gewinnen.

Nehmt ihr die 29, weil abrunden kann ich nicht. Wenn ich die 28 habe, bin ich ja unter 28,33, deswegen nehme ich die nächsthöhere natürliche Zahl. Wenn du jetzt sagst, ja, die Herleitung verstehe ich zwar, ist aber ganz schön schwierig, kann ich sagen, ja, kann ich nachempfinden. Versuchst dir trotzdem zu merken, kappt es hin und wieder, man hat hier Sehnen. Wenn nicht, merkt ihr doch einfach die Formel, die hier unten steht.

steht. Ich habe also hier nur einen Prozenten aus zwei Logarithmen. In diesen Logarithmen steht im Prinzip jeweils die Gegenwahrscheinlichkeit. Also statt 0,99 treibt 0,01 ein und beim Logarithmus im Nenner steht einfach nur die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ich halt nicht gewinnlich bin bei 0,85. Taschenrechner eingeben, kommen wir auf 28,33.

Kleiner Tipp noch, in manchen Bundesländern sind Tafelwerke zugelassen, in denen diese Formel auch so drinsteht. Da steht dann N größer gleich ln1 minus 1. durch n in 1. Das ist P. Dann setzt man A und P ein und rechnet das aus.

Bei mir damals war das so, es war damals 2010, und ich hatte eine 3-mal-mindestens-Aufgabe und ich habe einfach diese Formel aus dem Tafelwerk abgeschrieben, habe die eingesetzt und habe 5 Punkte dafür bekommen. Geht klar, musst du mal gucken, ob das bei dir in der Formelsammlung oder im Tafelwerk so verzeichnet ist. 3-mal-mindestens-Aufgaben sind hier also sehr, sehr leicht zu identifizieren.

Allerdings muss man hier unter Umständen ein bisschen umformen, außer es im Tafelwerk so aufgeführt. In jedem Fall, um den Logarithmus wirst du hier leider nicht drum herum kommen. Ist aber auch nicht so schlimm. Das waren meine 10 Aufgabentypen für Stochastik im Abi.

Ich würde sagen, das bietet ein ganz, ganz solides Grundjurist. Wenn du diese 10 Aufgabentypen und die Formeln beherrschst, dann kommst du in Stochastik sehr, sehr weit. Es gibt natürlich noch ein paar andere Aufgaben.

Konfidenzintervalle, Hypothesentests würde ich noch nennen. Da mache ich vielleicht nochmal ein separates Video dazu. Mir wäre wichtig, dass du die Aufgabentypen schnell und präzise eindeutig zuweisen kannst. Dass du also genau sagen kannst, jo, das Stoch hast du schon an der Möglichkeit. Hier brauche ich eine bedingte Wahrscheinlichkeit.

Hier brauche ich ein Additions- Das ist eine Binomialverteilung, das ist eine übergeometrische Verteilung. Das wäre mir sehr wichtig. Achte also präzise auf diese Formulierungen und versuch, bevor du anfängst zu rechnen, genau zu sagen, ist es Aufgabentyp 4 oder Aufgabentyp 5 oder so.

Ist es bedingte Wahrscheinlichkeit oder das und das. Das wäre sehr wichtig, weil dann kannst du ziemlich straight die Formeln anwenden. Die Formeln selber sind dann häufig gar nicht so schwer.

In die Infobox schreibe ich dir nochmal eine Zusammenfassung. Da stehen nochmal die 10 Aufgabentypen drin und woran du sie erkennen kannst. Und jetzt kommt nochmal ein Top-Tipp für eine schnelle Performance im Stochastik. Plastik-Abi, ich werde dir nochmal 10 Aufgaben in einen Kommentar schreiben, die ich unter diesem Video anpinnen werde. Da stehen also die Aufgaben 1 bis 10 und entsprechende Formulierungen, wie sie so oder so ähnlich demnächst in deinem Abi auftauchen werden.

Du machst den folgenden, du schreibst mir nochmal eine Nachricht oder einen Kommentar unter diesem Video, schreibst die Zahlen von 1 bis 10 auf und schreibst präziser auf, welcher Aufgabentyp ist das. Dann löst du diese Aufgabe auf dem Schmierblatt und schreibst nochmal das Ergebnis dazu. Das heißt, du notierst.

Notierst also in deinem Kommentar die Aufgabennummer, den Aufgabentypen und die Lösung. Und dann schreibe ich dir als Antwort, jo, alles klar, bei 3 und 4 müsstest du nochmal nachschauen, ob das passt oder irgendwie so ähnlich. Ich gebe dir also individuelles Feedback, sodass du sehen kannst, jo, ich habe die Aufgabentypen verstanden, ich kann das aus der Aufgabenstellung rauslesen, ich weiß, welche Formel ich anwenden muss und alles wird gut. Und das wäre auch meine Message, die ich dir gerne noch mit auf den Weg geben möchte. Bei all dem Stress, den vielleicht auch Stochastik oder Mathe an sich in dir auslöst, ich kann dir sagen, du schaffst es, du wirst es hinbekommen.

mit einer guten und langfristigen Vorbereitung und den ein oder anderen Tipps, bist du da auf der sicheren Seite. Stell gerne alle deine Fragen. Ich versuche dir so gut wie möglich zur Verfügung zu stehen.

Also schreib mir gerne alle deine Fragen in die Kommentare. Ich versuche sie alle zu beantworten. Du schaffst es und ich glaube an dich.

Zu guter Letzt, ich habe noch eine kleine Bitte. Like dieses Video bitte an alle Menschen weiter, die der Stochastik demnächst auch im Mathe-Abi begegnen werden. Okay, das war's.

Ich danke dir, dass du dabei warst. Ich wünsche dir viel Erfolg im Mathe-Abi. Lass es dir gut gehen.

Tschau und Tschüss. Dein Rick. Möge die Stochastik mit dir sein.

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