इंटिग्रेशन पर लेक्चर नोट्स

परिचय

• इंटिग्रेशन और डिफरेंशियेशन के बीच संबंध
  • डिफरेंशियेशन: ds/dt (वेग)
  • इंटिग्रेशन: ds (विस्थापन) प्राप्त करने की विधि

इंटिग्रेशन की आवश्यकता

• जब हमें विस्थापन दिया जाता है और हमें वेग निकालना होता है।
• इंटिग्रेशन डिफरेंशियेशन की विपरीत प्रक्रिया है।

ग्राफ के साथ इंटिग्रेशन

• ग्राफ Y बनाम X का एरिया निकालना।
• पतली स्ट्रिप बनाकर एरिया की गणना:
  • एरिया = Y1 * dx (पहली स्ट्रिप)
  • एरिया = Y2 * dx (दूसरी स्ट्रिप)
• सभी स्ट्रिप्स का एरिया जोड़ना = समिशन (Σ) Y dx

इंटिग्रेशन के मूलभूत सूत्र

1. x^n का इंटिग्रेशन:

   [ \int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) ]

2. 1/x का इंटिग्रेशन:

   [ \int \frac{1}{x} , dx = \log |x| + C ]

3. e^x का इंटिग्रेशन:

   [ \int e^x , dx = e^x + C ]

4. dx का इंटिग्रेशन:

   [ \int dx = x + C ]

इंटिग्रेशन के नियम

• नियम: अगर कोई संख्या गुणा हो रही हो, तो उसे बाहर निकालें:
  • जैसे, [ \int k , f(x) , dx = k \int f(x) , dx ]

इंटिग्रेशन की विधियाँ

• इंटिग्रेशन बाय पार्ट्स:
  • [ \int u , dv = u , v - \int v , du ]

विशेष इंटिग्रेशन

• त्रिकोणमितीय कार्यों का इंटिग्रेशन:
  • [ \int , sin(x) , dx = -cos(x) + C ]
  • [ \int , cos(x) , dx = sin(x) + C ]

निश्चित और अज्ञात इंटिग्रेशन

• निश्चित इंटिग्रेशन: सीमाएँ निर्धारित की जाती हैं, जैसे:
  • [ \int_{a}^{b} f(x) , dx = F(b) - F(a) ]_

उदाहरण

1. sin(2x) का इंटिग्रेशन:
   • [ \int sin(2x) , dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C ]
2. e^{4x} का इंटिग्रेशन:
   • [ \int e^{4x} , dx = \frac{1}{4} e^{4x} + C ]

निष्कर्ष

• इंटिग्रेशन एक महत्वपूर्ण गणितीय प्रक्रिया है, जिसका उपयोग भौतिकी और अन्य क्षेत्रों में किया जाता है।
• इंटिग्रेशन के विभिन्न रूपों और सूत्रों को याद रखना आवश्यक है।

अध्ययन सामग्री

• सभी सूत्रों को नोट करें और नियमित रूप से अभ्यास करें।
• अतिरिक्त उदाहरणों और समस्याओं का समाधान करें।