Lösen von linearen Gleichungssystemen grafisch

Einführung

• Bekannte Künstler wie Picasso, Van Gogh, Michelangelo und Da Vinci konnten wahrscheinlich keine Gleichungssysteme lösen.
• Ein lineares Gleichungssystem grafisch zu lösen, wird auf einfache Weise erklärt.

Wiederholung: Lineare Funktionen zeichnen

• Lineare Funktion = Gerade
• Allgemeine Form: f(x) = mx + c
  • m ist die Steigung
  • c ist der Schnittpunkt mit der y-Achse
• Beispiel: f(x) = 3/2x + 1
  • Schritt 1: Schnittpunkt mit der y-Achse zeichnen (c = 1)
  • Schritt 2: Steigung anwenden (m = 3/2)
    • 2 Einheiten nach rechts, 3 Einheiten nach oben
    • Punkt markieren und Gerade zeichnen
• Negative Steigung: Bei z.B. -3/2 -> 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach unten
• Ganze Zahl als Steigung: z.B. 2 -> Umwandlung in Bruch 2/1

Lineares Gleichungssystem grafisch lösen

• Nur möglich bei Systemen mit maximal zwei Variablen
• Schritte:
  1. Jede Gleichung in eine lineare Funktion umformen
  2. Funktionen in ein Koordinatensystem zeichnen
  3. Beobachtetes interpretieren
  • Identische Geraden: Unendlich viele Lösungen
  • Parallele Geraden: Keine Lösung
  • Schneidende Geraden: Genau eine Lösung (Schnittpunkt)

Beispiele

1. Identische Funktionen
   • Gleichungen nach y umstellen
   • y = -x + 2 -> zeichnen: Schnittpunkt bei y = 2, Steigung -1
   • Ergebnis: Unendlich viele Lösungen (identische Funktionen)
2. Parallele Funktionen
   • Gleichungen nach y umstellen
   • Funktion zeichnen: Parallele Funktionen
   • Ergebnis: Keine Lösung
3. Schneidende Funktionen
   • Gleichungen sind bereits in Form von linearen Funktionen
   • Zeichnen und Schnittpunkt ermitteln: y-Achse bei (0, 3)
   • Rechnerische Überprüfung:
     • Gleichsetzen der Funktionen: -3x + 3 = x + 3
     • Auflösung: x = 0, Einsetzen ergibt y = 3
   • Ergebnis: Eine Lösung (0, 3)

Zusammenfassung

• Grafische Lösung ist sinnvoll für lineare Gleichungssysteme mit max. zwei Variablen
• Schritte:
  1. Jede Gleichung nach y umstellen
  2. Lineare Funktionen zeichnen
  3. Interpretation:
     • Identische Funktionen: Unendlich viele Lösungen
     • Parallele Funktionen: Keine Lösung
     • Schneidende Funktionen: Eine Lösung (Schnittpunkt)