Suites Arithmétiques et Suites Géométriques

I. Suites Arithmétiques

Définition

• Suite où la différence entre un terme et le précédent est constante.
• Ex : Suite arithmétique de raison 5, premier terme 3 :
  • u0 = 3
  • u1 = 8
  • u2 = 13

Méthode : Démontrer si une suite est arithmétique

• Suite (un) est arithmétique si la différence entre un terme et son précédent reste constante.
  • Ex : un = 7 - 9n est arithmétique de raison -9.
  • vn = n² + 3 n'est pas arithmétique.

Propriétés

• Formule générale : un = u0 + nr
• Suite croissante si r > 0, décroissante si r < 0.

Représentation graphique

• Les points sont alignés.

II. Suites Géométriques

Définition

• Suite où le rapport entre un terme et le précédent est constant.
• Ex : Suite géométrique de raison 2, premier terme 5 :
  • u0 = 5
  • u1 = 10
  • u2 = 20

Méthode : Démontrer si une suite est géométrique

• Suite (un) est géométrique si le rapport entre un terme et son précédent reste constant.
  • Ex : un = un premier terme 500, raison 1.04.

Propriétés

• Formule générale : un = u0 * q^n
• Suite croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1 (u0 > 0).*

Représentation graphique

• Suite ni croissante ni décroissante si q < 0.

III. Somme de Termes Consécutifs

Somme d'une suite arithmétique

• Somme des n+1 premiers termes :
  • S = n(n+1)/2

Somme d'une suite géométrique

• Somme des n premiers termes :
  • S = (1 - q^(n+1)) / (1 - q)

Anecdote

• Carl Friedrich Gauss a utilisé une astuce pour calculer rapidement la somme de 1 à 100.

Conclusion

• Les suites arithmétiques et géométriques sont des outils fondamentaux en mathématiques, chaque type ayant ses propres caractéristiques et méthodes de calcul spécifiques.