Cours sur les probabilités conditionnelles

Introduction

• Révision du chapitre sur les probabilités conditionnelles.
• Importance de comprendre et s'entraîner avec des exercices.
• Liens vers des vidéos supplémentaires pour la pratique.

Notions clés

Probabilités conditionnelles

• Explication à partir d'un exemple :
  • Événements : M (élève fort en maths), F (élève fort en français).
  • Probabilité conditionnelle : probabilité qu'un élève soit fort en maths sachant qu'il est fort en français.
• Formule :
  • Probabilité de B sachant A : ( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} ).

Exemple concret

• Classe de 30 élèves :
  • 10 forts en maths, 12 forts en français, 7 forts dans les deux disciplines.
• Calcul des probabilités :
  • ( P(M) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} )
  • ( P(F) = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} )
  • ( P(M \cap F) = \frac{7}{30} )
  • ( P(M|F) = \frac{P(M \cap F)}{P(F)} = \frac{7/30}{2/5} = \frac{7}{12} )

Propriétés des probabilités conditionnelles

• Valeurs comprises entre 0 et 1.
• Probabilité de l'événement contraire : ( P(\overline{B}|A) = 1 - P(B|A) ).
• ( P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) ).

Arbres de probabilité

• Construction et utilisation des arbres de probabilité.
• Critères :
  • Boules rouges/noires, gagnantes/perdantes.
• Deux méthodes de construction :
  • Premier critère : couleur de la boule.
  • Premier critère : marquage (gagnant/perdant).
• Exemple :
  • 40% de boules rouges, 75% de rouges gagnantes, 25% de noires gagnantes.
• Règles d'un arbre :
  • Somme des probabilités issues d'un même nœud = 1.
  • Probabilité à l'extrémité d'un chemin = produit des probabilités de ce chemin.

Formule des probabilités totales

• Probabilité d'un événement associé à plusieurs chemins = somme des probabilités de ces chemins.
• Exemple : probabilité de tirer une boule gagnante.

Indépendance

• Définition : ( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) ).
• Conséquence : ( P(B|A) = P(B) ) et ( P(A|B) = P(A) ).
• Exemple : probabilité de B avec ou sans condition sur A est la même.
• Propriété : si A et B sont indépendants, toutes les combinaisons d'événements contraires le sont aussi.

Conclusion

• Importance de comprendre les notions et les formules.
• Importance des exercices pratiques pour maîtriser le sujet.