📊

Analisis Kekonvergenan Deret Matematika

Apr 20, 2025

Catatan Kuliah Matematika: Analisis Kekonvergenan Deret

Contoh 1: Deret dengan Am dan Bm

  • Fungsi Deret yang Diberikan: A(n)

    • Formula: (A(n) = \frac{2n + 3}{n^3 - 5n^2 + 7})
    • Analisis: Pangkat tertinggi penyebut adalah (n^3), maka pembanding (B(n) = \frac{1}{n^2})
  • Menghitung Limit

    • Formula: (\lim_{{n \to \infty}} \frac{A(n)}{B(n)} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{2n + 3}{n^3 - 5n^2 + 7} \times n^2)
    • Penyederhanaan: Pangkat tertinggi dan koefisien sama, jadi hasil = 2
    • Kesimpulan: (L = 2), artinya di antara 0 dan (+\infty)
  • Kesimpulan Deret

    • Karena (B(n)) konvergen (deret p dengan (p > 1), yakni 2), maka (A(n)) juga konvergen.

Contoh 2: Deret dengan Analisis Banding Limit

  • Fungsi Deret yang Diberikan: A(n)

    • Formula: (A(n) = \frac{1}{\sqrt{n^2 + 4}})
    • Pembanding: (B(n) = \frac{1}{n}) karena (\sqrt{n^2} = n)
  • Analisis Banding

    • Penyebut lebih besar pada (A(n)), sehingga (A(n) < B(n))
    • Limit: (\lim_{{n \to \infty}} \frac{A(n)}{B(n)} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{n}{\sqrt{n^2 + 4}})
    • Hasil Limit: Setelah menyederhanakan, diperoleh (L = 1)
  • Kesimpulan Deret

    • (B(n)) adalah deret harmonik yang divergen.
    • Karena (L = 1) dan (B(n)) divergen, maka (A(n)) juga divergen.

Kesimpulan Umum

  • Uji perbandingan limit digunakan untuk menentukan kekonvergenan dengan membandingkan deret dengan deret pembanding yang diketahui sifatnya.
  • Jika limit (L) antara 0 dan (+\infty), sifat konvergen/divergen dari pembanding menentukan sifat deret asli.