Catatan Kuliah Matematika: Analisis Kekonvergenan Deret

Contoh 1: Deret dengan Am dan Bm

• Fungsi Deret yang Diberikan: A(n)

  • Formula: (A(n) = \frac{2n + 3}{n^3 - 5n^2 + 7})
  • Analisis: Pangkat tertinggi penyebut adalah (n^3), maka pembanding (B(n) = \frac{1}{n^2})

• Menghitung Limit

  • Formula: (\lim_{{n \to \infty}} \frac{A(n)}{B(n)} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{2n + 3}{n^3 - 5n^2 + 7} \times n^2)
  • Penyederhanaan: Pangkat tertinggi dan koefisien sama, jadi hasil = 2
  • Kesimpulan: (L = 2), artinya di antara 0 dan (+\infty)

• Kesimpulan Deret

  • Karena (B(n)) konvergen (deret p dengan (p > 1), yakni 2), maka (A(n)) juga konvergen.

Contoh 2: Deret dengan Analisis Banding Limit

• Fungsi Deret yang Diberikan: A(n)

  • Formula: (A(n) = \frac{1}{\sqrt{n^2 + 4}})
  • Pembanding: (B(n) = \frac{1}{n}) karena (\sqrt{n^2} = n)

• Analisis Banding

  • Penyebut lebih besar pada (A(n)), sehingga (A(n) < B(n))
  • Limit: (\lim_{{n \to \infty}} \frac{A(n)}{B(n)} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{n}{\sqrt{n^2 + 4}})
  • Hasil Limit: Setelah menyederhanakan, diperoleh (L = 1)

• Kesimpulan Deret

  • (B(n)) adalah deret harmonik yang divergen.
  • Karena (L = 1) dan (B(n)) divergen, maka (A(n)) juga divergen.

Kesimpulan Umum

• Uji perbandingan limit digunakan untuk menentukan kekonvergenan dengan membandingkan deret dengan deret pembanding yang diketahui sifatnya.
• Jika limit (L) antara 0 dan (+\infty), sifat konvergen/divergen dari pembanding menentukan sifat deret asli.