Lektion om Gram-Schmidt Algoritmen og Ortogonale Projektioner

Introduktion

• Afsluttende kursusgang i valgbloggen.
• Fokus på Gram-Schmidt algoritmen for at skabe en ortonormal basis.
• Mulighed for at stille spørgsmål undervejs.

Indre Produkter

• Indre produkt defineret som summen af produkter af vektorernes indgange.
• U prikket med V kan skrives som U transponeret ganget med V.
• Egenskaber:
  • Symmetrisk (U·V = V·U).
  • Distributiv over addition (W·(U+V) = W·U + W·V).
  • Skalarer kan trækkes ud af produktet.
  • V·V ≥ 0, lighed gælder kun for nulvektoren.

Ortogonale Komplementer

• To vektorer er ortogonale, når deres prikprodukt er 0.
• Ortogonalt komplement til et underrum består af alle vektorer, der er ortogonale på alle vektorer i underrummet.
• Ortogonal base og ortonormale baser defineres.

Ortogonale Projektioner

• Projektion af en vektor ned på et underrum.
• Korteste afstand opnås gennem ortogonal projektion.
• Projektionen udtrykkes som en lineær kombination af basisvektorer.

Anvendelser

• Mindstekvadratersmetode bruges til at minimere fejl i data tilpasning.
• Vigtighed af at finde den vektor i underrummet, der er tættest på data.

Eksempler og Beregninger

• Eksempler på beregning af ortogonale projektioner og afstande til underrum.
• Brug af Pythagoras’ sætning i ortogonale dekompositioner.
• Komponenter i et underrum og dets ortogonale komplement.

Gram-Schmidt Proces

• Hvordan man danner en ortonormal basis fra en vilkårlig basis.
• Processen involverer projektion og subtraktion af dele langs eksisterende vektorer.
• Formel opskrivning og detaljeret eksempel på Gram-Schmidt-processen.

Matrixfaktorisering

• QR-faktorisering som en form for matrixfaktorisering.
• Søgning efter en ortonormal basis for søjlerummet og øvre triangulær matrix.
• Praktisk anvendelse til løsning af mindstekvadraters problemer.

Konklusion

• QR-faktorisering gør løsningen af visse problemer lettere.
• Opsummering af processen og dens anvendelse i lineær algebra.