Hallo! In diesem Video möchte ich mit euch zusammen die Lage von zwei Geraden im Raum durchgehen. Diese vier Fälle können vorkommen.
Entweder sie verlaufen parallel oder sie sind identisch, also die eine ist tatsächlich gleich wie die andere, oder sie schneiden sich in genau einem Punkt hier. Oder der vierte Fall, sie sind windschief. Was bedeutet, das habe ich euch jetzt hier mit zwei Flugzeugen mal hingeschrieben. Also das ist wirklich wie Flugzeuge, damit die nicht kollidieren, verlaufen die ja in zwei verschiedenen Ebenen.
Also sie können über demselben Ort sein zum gleichen Zeitpunkt, aber damit sie eben nicht kollidieren, also nicht wie bei einem Schnittpunkt, dass sie einen Unfall bauen. verlaufen sie in zwei verschiedenen Ebenen, dass sie übereinander fliegen können. Und Windschief, wie ihr vielleicht wirklich sehen könnt, ist nicht parallel. Also die können in verschiedene Richtungen fliegen. Die müssen jetzt nicht in dieselbe Richtung fliegen.
Aber es ist halt auch kein Schnittpunkt, weil sie eben übereinander fliegen. Wir sind ja hier im Raum und da ist es natürlich möglich, dass diese zwei Geraden eben nicht in... einer Ebene liegen, sondern in zwei verschiedenen.
Und diese Fälle möchte ich jetzt an zwei Beispielen. Einmal haben wir diese beiden Geraden, die wir untersuchen sollen und einmal diese beiden Geraden. Das möchte ich jetzt mit euch durchgehen. Worauf ist zu achten?
Also es gehören die ersten beiden Fälle zusammen. Wie ihr seht, sind die ja doch relativ ähnlich, denn in beiden Fällen zeigen die Geraden in dieselbe Richtung. Und wer ist dafür zuständig, um die Richtung anzugeben? Naja, ihr kennt ihn bestimmt, den Richtungsvektor. Also ihr habt ja immer einen Stützvektor, also einen Punkt auf eurer Geraden und einen Richtungsvektor, der euch die Richtung zeigt.
Und genauso haben wir auf dieser Geraden einen Punkt und einen Richtungsvektor, der vielleicht in die andere Richtung zeigt, aber von der Gerade entsteht jeweils eine parallele Gerade. Und auch hier haben wir genau dasselbe. Wir haben einen Punkt und einen Richtungsvektor. und auch einen Punkt und einen Richtungsvektor.
Wie ihr seht, zeigen im Grunde die Richtungsvektoren hier in den Fällen in dieselbe Richtung. Ganz anders als hier unten, wo wir einen Punkt und einen Richtungsvektor haben und einen Punkt und einen Richtungsvektor, der eine völlig andere Richtung zeigt. Aber hier zeigen sie in dieselbe Richtung.
Vielleicht in genau die entgegengesetzte Richtung, also 180 Grad in die andere Richtung, aber wenn ihr so eine Gerade zeichnet, wird das dieselbe gerade werden. Und deswegen untersuchen wir als allererstes die Richtungsvektoren, wenn ihr die Lage untersuchen sollt, denn die geben uns schon mal einen Hinweis darauf, ob die Richtungsvektoren in dieselbe Richtung zeigen, dann können die Sachen nur noch parallel oder identisch sein, oder ob die Richtungsvektoren in unterschiedliche Richtungen zeigen, dann wären wir bei Windschief oder bei einem Schnittpunkt. Also untersuchen wir die Richtungsvektoren als allererstes.
Das hier wäre noch der vierte Fall. Und das machen wir mal hier auf der nächsten Seite. Wir haben hier zwei Geraden und die Richtungsvektoren sind ja immer hier der hintere Teil, wo dieser Buchstabe noch vorne dran steht.
Also 1, 1, 1 wäre ein Richtungsvektor und 2, 2, 2. Und wir untersuchen jetzt diese Richtungsvektoren, ob sie ein Vielfaches voneinander sind. Das entscheidet nämlich... ob sie in dieselbe Richtung zeigen, so wie bei den beiden Fällen, oder ob sie, wie im dritten und vierten Fall, in unterschiedliche Richtungen zeigen.
Und es funktioniert ganz einfach. Ihr schnappt euch euren 1, 1, 1 Vektor und setzt den einfach gleich R mal, also den Buchstaben könnt ihr euch aussuchen, den zweiten Richtungsvektor. Also ihr wollt wissen, ist der eine Richtungsvektor ein Vielfaches von dem anderen.
Und jetzt habt ihr so ein kleines Gleichungssystem, denn ihr könnt die erste Zeile auslesen. Da steht ja 1 gleich 2 mal r. In der zweiten Zeile steht 1 gleich 2 mal r. Und in der dritten 1 gleich 2 mal r. Ganz außergewöhnlich.
Das kommt natürlich auf eure Zahlen an, wie das Gleichungssystem aussieht. Wichtig hierbei ist jetzt einfach nur, dass ihr diese Gleichungssysteme auflöst. Also wir wollen R alleine stehen haben.
Also müssen wir hier durch zwei teilen, damit das R alleine steht. Wenn wir das machen, steht da R gleich 1 halb. Genauso machen wir das in der zweiten Zeile. Dann steht da auch R gleich 1 halb.
Und in der dritten, oh Wunder, es ist ja alles gleich, wenn wir da durch zwei teilen, steht da auch R gleich 1 halb. Und wenn für das R bei allen drei Zeilen dasselbe Ergebnis rauskommt, dann verlaufen eure Richtungsvektoren in dieselbe Richtung. Also Rv, also Richtungsvektoren sind linearabhängig, könntet ihr das nennen, oder Vielfache voneinander, je nachdem, wie ihr das bezeichnet.
Das bedeutet also, wir sind jetzt entweder im ersten oder im zweiten Fall, denn wenn wir jetzt nochmal zurückgehen, haben wir gesagt, wenn die Vielfache voneinander sind, also wenn sie in dieselbe Richtung zeigen, dann sind sie entweder hier im ersten Fall parallel oder wie im zweiten Fall identisch. Sie können sich jetzt nicht mehr schneiden, weil sie eben sonst in unterschiedliche Richtungen zeigen müssten, oder sie können auch nicht mehr windschief sein, weil auch hier zeigen sie eben in unterschiedliche Richtungen. Das heißt, wir müssen jetzt nur noch testen, ob unsere beiden Geraden echt parallel sind, wie im ersten Fall, oder identisch.
Und wenn sie identisch wären, dann müsste ja der Punkt hier, also dieser eine Punkt von der einen Geraden, müsste auf der anderen Geraden liegen. Und das testen wir jetzt. Wir schnappen uns also einen Stützvektor, zeige ich euch gleich, und testen, ob der auf der anderen Geraden liegt. Das heißt, mit den Stützvektoren haben wir ja noch gar nichts gemacht.
Das sind die beiden hier vorne dran. Wir schnappen uns den einen und setzen den in die andere Geradengleichung ein und gucken, ob der auch auf der anderen Geradengleichung liegt. Das heißt, für das x setzen wir jetzt diesen Stützvektor ein.
Da steht dann also 1, 0, 1, also wegen diesem 1, 0, 1 Vektor hier, gleich 1, 2, 3, ganz außergewöhnliche Zahlen, plus t mal Und jetzt kriegen wir schon wieder ein Gleichungssystem. Das läuft immer auf ziemlich viele Gleichungssysteme hinaus. Und wir vergleichen nochmal die Zeilen. Also in der ersten Zeile steht 1 gleich 1 plus 2t.
In der zweiten steht 0 gleich 2 plus 2t. Und in der dritten 1 gleich 3 plus 2t. Und dieses Gleichungssystem lösen wir jetzt auch nach t auf. Machen wir das mal ein bisschen flotter.
Also wir machen es ein bisschen im Kopf. Wir rechnen minus 1, damit die 1 auf die andere Seite kommt. Dann steht da 0. Und dann, um nach t aufzulösen, müssen wir noch durch die 2 teilen.
Also 0 durch 2 ergibt 0 immer noch. Also das erste t ist 0. Hier in der zweiten Gleichung müssen wir auch zuerst die 2 auf die andere Seite bringen. Also minus 2 rechnen. Dann steht da 0 minus 2 ergibt minus 2, würde hier stehen.
Und dann müssen wir auch nochmal durch 2 teilen, damit das t alleine steht. Und minus 2 durch 2 ergibt minus 1. Und jetzt könnt ihr schon aufhören. Also die dritte Zeile ist jetzt schon völlig egal, denn für das t kommen unterschiedliche Werte raus. Also sobald das passiert, dass unterschiedliche Werte für das t rauskommen, dann wisst ihr, dass dieser Punkt, den ihr... untersucht habt, dass der nicht auf dieser Geraden liegt.
Also der Punkt P liegt nicht auf der Geraden H. Das bedeutet für unseren Fall jetzt was? Wir wollten testen, ob dieser Punkt auch auf der anderen Geraden liegt, tut er aber nicht. Deswegen sind diese Geraden echt parallel und nicht identisch. Hätte dieser andere Punkt jetzt auch auf der anderen Gerade gelegen, dann wären sie identisch gewesen.
Okay, also noch einmal zusammengefasst bedeutet das, um rauszufinden, ob eine Gerade parallel oder identisch ist, einmal nochmal schauen, was wir gemacht haben, untersuchen wir die Richtungsvektoren als allererstes und gucken, ob die Vielfache voneinander sind. Dazu setzt man den einen gleich r mal den anderen und guckt, ob für das r immer dasselbe rauskommt. Wenn das so ist, dann sind sie viel voller voneinander und dann sind sie entweder echt parallel oder identisch.
Und um das dann noch zu unterscheiden, schnappt man sich den einen Punkt, setzt den in der anderen Geraden ein und guckt, ob der Punkt auch auf der anderen Gerade liegt. Weil wenn sie identisch sein wollen, dann muss der Punkt auch auf der anderen Gerade liegen. Das tut er hier also nicht, deswegen wissen wir, dass diese beiden Geraden hier echt sind.
parallel sind. Okay, das wäre der erste Schritt für den Fall 1 und Fall 2. Und jetzt unterscheiden wir noch die anderen beiden Fälle. Das ist ähnlich, denn wir gehen schon wieder genauso am Anfang vor wie bei den anderen beiden Fällen.
Wir untersuchen erstmal die Richtungsvektoren, denn wir wollen ja überhaupt wissen, ob die in unterschiedliche Richtungen zeigen. Dazu gehen wir dann zu unserem zweiten Beispiel. Also auch hier, genau wie bei dem anderen auch, deswegen kann man sich das gut merken, man untersucht erst mal die Richtungsvektoren.
Wir schnappen uns den einen Richtungsvektor, den 1,02er, und setzen den gleich ein Vielfaches, also r mal den zweiten Richtungsvektor, 0, 1, 0. Jetzt schauen wir, sind die Vielfache voneinander. Das heißt, wir lösen wieder ein Gleichungssystem oder stellen erst mal eins auf. Da steht dann 1 gleich r mal 0 kommt einem schon ein bisschen komisch vor, aber gut.
0 gleich r mal 1 und 2 gleich r mal 0. Das wäre unser Gleichungssystem. Was heißt denn jetzt dieses r mal 0? Also irgendwas mal 0 ergibt 0. Das heißt, auf der Seite steht eigentlich nur 0. Und wenn wir das dann als Gleichung lesen, 1 gleich 0. ist schon mal direkt ein Fehler.
Also sobald ihr einen Fehler in diesem Gleichungssystem findet, braucht ihr gar nicht weiterzurechnen. Das heißt jetzt, dass unsere Richtungsvektoren, die wir untersucht haben, dass sie eben kein Vielfaches voneinander sind. Sie zeigen also in unterschiedliche Richtungen.
Also keine Vielfachen. Das sagt uns jetzt, was wir ja erhofft haben, weil wir wollten ja den dritten und vierten Fall untersuchen, dass... unsere Richtungen von unseren Geraden unterschiedlich sind. Wir wollten ja nicht nochmal parallel untersuchen, wir wollten jetzt zum Fall 3 und 4. Und wenn die Richtungsvektoren eben keine Vielfachen voneinander sind oder linear unabhängig, je nachdem wie ihr das nennt, dann zeigen sie diese Geraden in unterschiedliche Richtungen.
Und dann kann es jetzt noch passieren, dass es einen Schnittpunkt gibt, und zwar genau einen Schnittpunkt, oder dass es eben keinen Schnittpunkt gibt. Und das ist jetzt das Unterscheidungsmerkmal zwischen hier ein Schnittpunkt und windschief. Nämlich hier gibt es einen Schnittpunkt und hier gibt es eben keinen.
Und das müssen wir jetzt noch untersuchen, denn das fehlt noch. Wir haben jetzt hier nur die Richtungsvektoren bisher untersucht und herausgefunden, dass es entweder jetzt einen Schnittpunkt gibt oder eben windschief vorliegt. Und jetzt müssen wir eben noch testen, ob sie einen Schnittpunkt haben. Schnittpunkt bedeutet, wir setzen diese beiden Geraden einfach gleich und schauen, ob es einen Schnittpunkt gibt. Also ihr schnappt euch diese erste Gerade, die 101 plus S mal 102 und setzt die gleich der zweiten Gerade, der 123 plus T mal 010. Das wird wieder ein Gleichungssystem.
Ich hoffe, ihr mögt Gleichungssysteme, denn hier kommen sie echt immer wieder vor. Und wir bauen uns jetzt ein Gleichungssystem daraus, also lesen die Zeilen aus. In der ersten Zeile steht 1 plus s mal 1, also 1 plus s gleich 1 plus t mal 0. 0 mal irgendwas wird 0, also reicht es, wenn wir die 1 da hinschreiben. In der zweiten Zeile steht 0 plus s mal 0, also irgendwas mal 0 ergibt 0 und 0 und 0 und 0. Da steht gar nichts, nämlich 0. Und auf der rechten Seite steht 2 plus t.
mal 1, also 2 plus t. Die dritte noch, 1 plus 2s gleich 3 plus t mal 0 ergibt schon wieder 0, also nur 3. Jetzt haben wir hier ein kleines Gleichungssystem. Das müssen wir jetzt lösen. Wie ihr jetzt hier vielleicht seht, steht in der ersten Zeile nur noch ein s drin. Das heißt, wir können die erste Zeile direkt nach s auflösen, indem wir minus 1 rechnen, um die 1 hier auf die andere Seite zu bringen.
Dann steht da nur noch s gleich 0. Und auch in der dritten Zeile haben wir nur noch s und auch das können wir auflösen. Wenn wir minus 1 rechnen, steht da 2s gleich 2 und dann müssen wir noch durch 2 rechnen, also s gleich 1. Wenn euch das mit dem Gleichungssystem zu schnell geht, macht es ruhig Schritt für Schritt. Aber ich gehe da jetzt einfach mal so durch.
Und jetzt, was haben wir hier schon wieder? Einen Widerspruch, denn wir finden für S zwei unterschiedliche Werte. Und das darf eben nicht vorkommen. Also immer, wenn ihr zwei unterschiedliche Sachen rausbekommt oder falsche Aussagen, dann ist das ein Widerspruch.
Und was heißt das jetzt? Wir haben getestet, ob... es einen Schnittpunkt gibt, weil wir haben beide Gleichungen gleich gesetzt und wollten einen Schnittpunkt finden.
Wenn wir jetzt aber einen Widerspruch gefunden haben, dann wissen wir, es gibt keinen Schnittpunkt. Gehen wir kurz nochmal zurück zu unserer Übersicht. Was heißt das jetzt? Wir wollten testen, ob der Fall 3 vorliegt oder der Fall 4. Wir haben jetzt keinen Schnittpunkt gefunden. Tada!
Das sind unsere Flugzeuge, die Gott sei Dank nicht... kollidieren. Also wissen wir, dass diese beiden Geraden hier windschief verlaufen.
Und so kann man echt immer durch alle Fälle durchgehen. Also als allererstes testet ihr die Richtungsvektoren, ob die Vielfache voneinander sind. Das macht ihr in allen vier Fällen, deswegen kann man sich das gut merken.
Einfach durchziehen, gucken und dann unterscheidet ihr eben in welchem Fall ihr landet. Ob ihr in dem Fall 1 und 2 landet, weil sie in dieselbe Richtung zeigen. Oder ob ihr im Fall 3 und 4 landet, weil sie in unterschiedliche Richtungen zeigen. Und dann müsst ihr nur noch, so wie ich es euch gezeigt habe, unterscheiden, welcher von diesen anderen beiden Fällen dann wirklich vorkommt.
Ich hoffe, es ist klar geworden. Ich habe gesagt, es wird ein bisschen länger, aber dafür habt ihr jetzt wirklich so eine Übersicht an den Fällen, die vorkommen können mit zwei Geraden im Raum. Falls ihr doch noch Fragen zu euren Aufgaben habt, dann schreibt sie einfach in die Kommentare.