Bestimmung von Wendepunkten

Einführung

• Ziel: Bestimmen von Wendepunkten einer Funktion
• Wendepunkte: Stellen, an denen sich die Krümmung der Funktion ändert (von Rechts- zu Linkskurve oder umgekehrt)

Schritte zur Bestimmung von Wendepunkten

Schritt 1: Ableitungen berechnen

• Erste Ableitung: Nicht nötig für die Bestimmung der Wendepunkte, aber notwendig zur Berechnung der zweiten und dritten Ableitungen
• Zweite Ableitung: Gleich null setzen, um mögliche Wendestellen zu finden
• Dritte Ableitung: Dient zur Überprüfung, ob die gefundene Stelle tatsächlich ein Wendepunkt ist

Schritt 2: Zweite Ableitung gleich null setzen

• Beispiel: ( f''(x) = -\frac{3}{2}x + 3 )
  • Gleichung lösen: ( x = 2 )
  • Kandidat für Wendestelle

Schritt 3: Überprüfung mit der dritten Ableitung

• Beispiel: ( f'''(x) = -\frac{3}{2} )
  • Wenn ( f'''(x) \neq 0 ), dann liegt ein Wendepunkt vor
  • Falls ( f'''(x) = 0 ), könnte trotzdem ein Wendepunkt vorliegen, weitere Tests nötig

Berechnung der Koordinaten des Wendepunkts

• Koordinaten: ((x, f(x)))
• Beispiel: ( x = 2 ), ( f(2) = 5 )
• Wendepunkt: ((2, 5))

Sonderfall: Dritte Ableitung gleich null

• Weitere Tests mit der zweiten Ableitung nötig
• Prüfung der Krümmung vor und nach der möglichen Wendestelle
  • Beispiel: Vorzeichenwechsel der Krümmung von negativ (Rechtskurve) zu positiv (Linkskurve) zeigt einen Wendepunkt an

Fazit

• Wendestellen sind durch Ableitungen und Krümmungsänderungen bestimmbar
• Bei unklaren Fällen (dritte Ableitung gleich null) sind zusätzliche Prüfungen erforderlich

Hinweis: Die Methode zeigt, wie man systematisch zu einer solchen Analyse der Krümmung und den zugehörigen Funktionen vorgeht.