L'enigma dei numeri primi nella matematica

Esiste un enigma matematico che tormenta le più grandi menti del mondo da 2000 anni. Un problema talmente difficile che ha gettato nello sconforto tutti coloro che hanno provato a risolverlo. Molti alla fine si sono arresi. Alcuni ne sono stati ossessionati fino alla morte. Questo rompicapo ha avuto persino un ruolo nella vittoria degli alleati contro la Germania nazista. Ha contribuito in modo determinante alla nascita dei computer e ha gettato luce sul comportamento degli atomi, i mattoni di cui è fatta la materia. Oggi il mondo della finanza online dipende dall'impenetrabilità di questo enigma. Se venisse decifrato potrebbe mettere in ginocchio i mercati telematici. Non sorprende dunque che sia stato messo in pali un premio di un milione di dollari per chi riuscirà a risolverlo. Cos'è questo santo graal della matematica? Il mistero che da secoli tiene in scacco le menti più brillanti è l'enigma dei numeri primi. È il più grande problema irrisolto della matematica e chi riuscirà a risolverlo conquisterà fama eterna. Questa è la storia di coloro che hanno raccolto questa affascinante sfida. Sono le 7 di martedì 6. Siamo circondati dai numeri, sono ovunque intorno a noi. Spesso non ce ne rendiamo conto, ma i numeri sono una parte essenziale della nostra vita. Ci aiutano a ordinare e interpretare la realtà. E anche a comunicare. Vorrei un 17, un 73... E un 101. I numeri sono presenti in ogni aspetto della vita quotidiana. Quando viaggiamo in auto, o in aereo, quando guardiamo la tv, o ascoltiamo un cd. Quando usiamo il telefono o facciamo da mangiare, dipendiamo dalla matematica. Rosso 18, blu 43, bianco 65, rosso 14. Senza la matematica non esisterebbe nulla di tutto ciò. I numeri sono essenziali per la nostra vita. E tra tutti, i più importanti sono i numeri primi. Ho vinto! Ma cosa sono i numeri primi e perché sono così importanti? Tutti i bambini imparano la definizione a scuola. Un numero primo è un numero divisibile solo per se stesso e per uno. Quello che ai bambini non viene insegnato è perché questi numeri indivisibili sono così importanti. Sono gli elementi base della matematica. Tutti i numeri che non sono primi possono essere ottenuti moltiplicando tra loro dei numeri primi. Il numero 105, ad esempio, si ottiene moltiplicando 3 per 5 per 7. Dai numeri primi derivano tutti i numeri, dai numeri deriva la matematica e dalla matematica derivano tutte le scienze. Dunque i numeri primi sono l'idrogeno e l'ossigeno del mondo dei numeri, sono gli atomi della matematica. I matematici sono sempre stati affascinati dai numeri primi. Il mio preferito è il 163. Il 17. Il 19. Il 163. Il 2. Perché? Perché è il più strano. È l'unico pari. La mia vita è piena zeppa di numeri primi. Il mio civico è un numero primo. Ho un numero primo di figli. Due gemelle e un maschio. Fanno tre. La targa della mia auto è un numero primo. Ed è una primera. Ho persino convinto la mia squadra di calcio a indossare solo maglie con numeri primi. Adesso i nostri numeri vanno dal 2 al 41. E il cambiamento ha portato benefici. Siamo volati in testa al campionato. Per un matematico come me, i numeri primi sono veramente la base di tutto. I numeri primi sono così importanti che la natura ha imparato a conoscerli molto prima di noi. Nelle foreste del Nord America c'è una specie di cicala che ha imparato a usare i numeri primi nella lotta per la sopravvivenza. Per 17 anni questi insetti vivono sottoterra senza fare assolutamente nulla, a parte trarre nutrimento dalle radici degli alberi. Poi, dopo 17 anni di silenzio, emergono in superficie per una festa che dura 6 settimane. Il rumore che producono è fortissimo, quasi insopportabile. Le cicale mangiano, si accoppiano, depungono le uova e dopo sei settimane muoiono. E la foresta sprofonda nel silenzio per altri 17 anni. Ma perché le cicale hanno scelto proprio un periodo di 17 anni? Sembra che un tempo ci fosse un predatore che amava imbucarsi alle loro feste. Anche il predatore appariva ad intervalli periodici. Le cicale scoprirono che scegliendo un ciclo di vita basato su un numero primo, il ciclo del predatore risultava sempre sfasato rispetto a loro. I numeri primi sono la chiave della sopravvivenza della cicala. Nei tempi antichi, anche l'uomo scoprì ben presto che la capacità di contare aumentava le possibilità di sopravvivenza. Di fronte all'attacco di un nemico, era fondamentale capire se si era in inferiorità numerica per decidere se combattere o fuggire. I primi a intuire l'importanza dei numeri primi furono gli antichi greci. furono loro a gettare le fondamenta su cui i matematici continuano ancora oggi a costruire. I greci ritenevano che i numeri fossero in ogni cosa, in particolare i seguaci di Pitagora. Il loro motto era «Tutto è numero». I greci, effettuando divisioni, capirono che c'erano numeri che non potevano essere divisi ulteriormente. Questi numeri irriducibili sono i numeri primi. Biblioteche e scuole dell'antica Grecia si riempirono di tavolette che riportavano elenchi di numeri primi sempre più grandi. Forse qualche antico matematico greco sperava di passare alla storia scrivendo tutti i numeri primi su un'enorme tavoletta. Ma intorno al 300 a.C. Euclide, il primo grande genio della matematica, scoprì che era impossibile. Intuì che per scrivere tutti i numeri primi si dovrebbe contare per l'eternità. In pratica dimostrò che i numeri primi sono infiniti. E lo fece con un ragionamento davvero ingegnoso. Euclide si chiese, è possibile che esista un numero finito di numeri primi che moltiplicati tra loro producono tutti gli altri numeri? Fece un tentativo con il 2, il 3 e il 5. È possibile ottenere tutti gli altri numeri moltiplicando in diverse combinazioni il 2, il 3 e il 5? Euclide, idea. ideò un sistema per trovare un numero che non si potesse ottenere dai tre numeri primi presi in considerazione. Iniziò moltiplicando tra loro i tre numeri. Il risultato è 30. Poi, e questo fu il colpo di genio, aggiunse uno per arrivare a 31. Ne il 2, ne il 3, ne il 5 erano divisori di 31. Rimaneva sempre il resto di 1. Euclide sapeva che ogni numero può essere ottenuto moltiplicando dei numeri primi tra loro. E il 31 allora? Poiché non è divisibile per 2, 3 o 5, questi non potevano essere i soli numeri primi. In effetti anche 31 è un numero primo. ma anche aggiungendo il 31 alla lista, Euclide poteva sognare. sempre ripetere lo stesso trucco di aggiungere uno. Per quanti numeri ci fossero sulla lista, poteva sempre dimostrare che ce n'erano altri mancanti. Così aveva provato che i numeri primi sono infiniti. La dimostrazione di Euclide è uno splendido esempio di ragionamento matematico, ma c'è un problema che Euclide non riuscì a risolvere. Non trovò il modo di predire quali numeri fossero primi. Non vedeva nessuna regola che lo aiutasse a capire come trovare i numeri primi. Se immaginiamo che i numeri siano disposti lungo una linea retta, la frequenza con cui si incontrano dei numeri primi sembra del tutto casuale. Appaiono in modo completamente casuale, come i numeri estratti all'otto o come gli orari d'arrivo degli autobus quando c'è traffico. La domanda è, esiste un qualche tipo di ordine nei numeri primi? C'è un modo per comprenderli? Se non del tutto? Almeno quel tanto che basta per riuscire a vedere il tipo di legge che essi impongono in ambito matematico? Se provi a fare previsioni sulla frequenza con cui appaiono i numeri primi, o se cerchi delle formule come si fa normalmente, non ottieni nulla. Come le stelle nel cielo notturno, i numeri primi appaiono sparpagliati nell'universo dei numeri. Alcuni sono raggruppati e vicini tra loro, altri lontanissimi e isolati. Sembrano disposti senza nessuna regola e senza alcun senso. Ma i matematici cercano proprio questo, regole e senso. Tutti pensano che la matematica sia solo una questione di calcoli, divisioni e addizioni. Ma la vera essenza della matematica è un'altra. Un matematico è soprattutto un cercatore di regole. La matematica consiste nel cercare l'ordine nel caos di numeri intorno a noi, capire qual è la musica che li tiene insieme. E i numeri primi rappresentano la sfida più difficile per un cercatore di regole. Il problema della regolarità o dell'apparente mancanza di regolarità nei numeri primi Affascina e sconcerte i matematici fin dai tempi di Euclide. È un enigma che ha tenuto in scacco le più grandi menti. Fu solo verso la fine del XVIII secolo che venne finalmente compiuto un passo avanti. Fu merito di un ragazzo tedesco di 15 anni, destinato a diventare uno dei più grandi matematici di tutti i tempi. Karl Friedrich Gauss. Fu osservando le stelle che Gauss diventò un astro nascente della matematica. Un pianeta nano appena scoperto, Cerere, sembrava scomparso dal cielo notturno, nascosto dal bagliore del sole. Gli astronomi si erano rassegnati, ma Gauss scoprì una regolarità matematica nell'orbita di Cerere e indicò agli astronomi il punto in cui avrebbero ritrovato il pianeta. E Cerere era proprio lì, come previsto dai calcoli. Gauss era affascinato dall'astronomia, ma la sua vera passione erano i numeri. Gauss era un bambino prodigio, passava tutto il giorno a contare e calcolare. Aveva imparato a fare calcoli prima di imparare a leggere, quindi visse sempre in mezzo ai numeri fin dai primissimi anni dell'infanzia. All'età di tre anni, Gauss correggeva gli errori di aritmetica di suo padre. Quando iniziò ad andare a scuola, cominciò a tenere un diario segreto delle sue scoperte matematiche. Ma fu un regalo ricevuto per il suo quindicesimo compleanno, la scintilla che cambiò per sempre la sua vita. Era una raccolta di tavole matematiche. Alla fine del libro c'era una lista che iniziò a ossessionare il giovane Gauss, una tavola dei numeri primi. Gauss passava ore e ore a scorrere quelle tavole cercando di carpirne i segreti. Alla fine, i suoi sforzi portarono a una eccezionale scoperta. Osservando la tavola dei numeri primi, il quindicenne Gauss si rese conto che non c'era nessuna regolarità in quei numeri, e quindi non c'era modo di predire quando un numero primo compariva sulla linea dei numeri. Sembravano apparire in maniera casuale, proprio come i numeri che escono alla roulette. Allora, Gauss fece quello che fanno i bravi matematici. Quando le cose diventano complicate, pensa in modo creativo. Guarda il problema da un'altra prospettiva e fatti una nuova domanda. Invece di cercare di predire quali numeri sono primi, Gauss si chiese quanti numeri primi ci sono. Per contare i numeri primi, Gauss prese in esame un blocco di mille alla volta. Pare che in soli 15 minuti fosse capace di scomporre in fattori primi tutti i numeri di un blocco di mille. E così ricavò una tavola dopo l'altra. In questo modo elaborò la sua congettura, che è stata una svolta fondamentale per i moderni studi sui numeri primi. Euclide aveva dimostrato che i numeri primi sono infiniti. Gauss iniziò a contare quanti ce ne sono tra 0 e 10, fino a 100, fino a 1000, e così via. Mano a mano che il conto saliva, i numeri primi sono finiti. i numeri primi sembravano diventare sempre più rari. Ma c'era un modo per predire in che modo diminuivano? All'apparenza i numeri primi sembravano essere estratti in modo casuale, come in un lancio di dadi. Gauss si rese conto che poteva calcolare la probabilità di incontrare un numero primo. Per esempio... Se da 1 a 100 ci sono 25 numeri primi, significa che c'è una probabilità su 4 di incontrare un numero primo. Nei numeri da 1 a 1000 invece c'è solo una probabilità su 6. È come se la natura avesse scelto con dei lanci di dadi quali numeri dovevano essere primi. Ma Gauss doveva anche capire quante facce avevano i dadi usati da madre natura man mano che sceglieva numeri primi sempre più grandi. Procedendo nel calcolo delle probabilità, Gauss cominciò a intravedere un disegno di fondo. Dall'apparente caos dei numeri primi, iniziò ad affiorare una straordinaria regolarità. Gauss si accorse che ogni volta che aggiungeva uno zero, la frequenza dei numeri primi scendeva in modo costante all'incirca di due. Quindi, passando da 10.000 a 100.000 a un milione, le probabilità scendono da 1 su 8 a 1 su 10 a 1 su 12. Quindi, se voglio contare i numeri primi intorno a 10.000, devo usare un dado a 8 facce. Ma, se voglio contare i numeri primi intorno al milione, devo usare un dado a 12 facce. È come se i numeri primi fossero stati scelti lanciando un dado, le cui facce aumentavano in modo uniforme, man mano che si sceglievano i numeri più grandi. Gauss scoprì questa regolarità e scoprì anche con quale ritmo i numeri primi tendono ad assottigliarsi man mano che si sale. Gauss rappresentò l'andamento dei numeri primi in un grafico e vide che si sviluppava con una progressione a scatti, un po' come una scala. salendo di un gradino ogni volta che incontrava un nuovo numero primo, ma non poteva salire all'infinito. Usando la logica dei dati, Gauss realizzò un secondo grafico che prediceva l'andamento della scala dei numeri primi continuando a salire all'infinito. Ma invece di concentrarsi sui dettagli di ogni singolo gradino, il grafico di Gauss cercò di predire la tendenza generale della scala. Gauss era convinto che la frequenza dei numeri primi dovesse diminuire con una meravigliosa regolarità. Per la prima volta si intravedeva una regolarità nella distribuzione dei numeri primi. I matematici precedenti li avevano ascoltati uno ad uno, nota per nota, incapaci di udire la composizione nell'insieme. Gauss invece riuscì a cogliere il tema dominante della musica dei numeri primi. Gauss sapeva che la sua congettura conduceva solo a una stima approssimativa. ma era convinto di non essere lontano dalla realtà. Tuttavia non poteva dimostrarlo, e la dimostrazione per un matematico è tutto. La matematica non procede per congetture, ma per dimostrazione. La dimostrazione è tutto. È l'unico modo per essere sicuro di avere raggiunto la verità su qualcosa. E il bello della matematica è che quando hai dimostrato che una cosa è vera, Allora è vera per sempre. Non dipende dalla cultura o dall'epoca. E questo è uno dei motivi per cui molti si innamorano di questa disciplina. Gauss tenne segreti quegli studi per buona parte della sua vita. Era sempre esitante a pubblicare le sue idee. Preferiva tenerle al sicuro nel suo diario. Ci sono due ragioni per cui Gauss... non divulgava i suoi appunti. La prima è che la sua professione era quella di astronomo. Quello di matematico per lui era come un secondo lavoro. La seconda ragione è che Gauss non pubblicava nulla dei suoi lavori fino a quando non era assolutamente certo che fossero perfetti. Al giorno d'oggi, con Internet, la gente pubblica tutto quello che gli passa per la testa, che si tratti di stupidaggini o di grandi idee. Gauss invece era molto scrupoloso e perfezionista. Ho in mente una metafora che gli si addice molto. Si può dire che Gauss non voleva presentare la cattedrale finché c'erano impalcature ancora innalzate. Ecco, per lui la congettura sui numeri primi non era altro che un'impalcatura. Quando finalmente pubblicò il suo lavoro, Gauss si impose come uno dei più grandi matematici al mondo. I matematici sono spesso oggetto di venerazione. Molti sono stati definiti geniali o eccezionali, ma Gauss è davvero uno dei più grandi in assoluto. È stato soprannominato il principe dei matematici, sia per l'importanza dei suoi studi, sia per la varietà di campi di indagine. Era anche un fisico, si interessava di elettromagnetismo, della geometria, dello spazio, ebbe molteplici interessi. Col passare degli anni, Gauss divenne sempre più chiuso e riservato. Conduceva una vita ritirata nell'osservatorio della piccola città universitaria di Gottinga. Continuò a trovare nuovi numeri primi da aggiungere alle sue tavole, ma non riusciva a carpirne i segreti fino in fondo. La presenza di Gauss a Gottinga trasformò questa piccola città universitaria nella capitale europea della matematica. Tra i suoi discepoli c'era anche un giovane studioso che avrebbe compiuto una nuova grande scoperta sui numeri primi, Bernard Riemann. Riemann? era nato nel 1826 a Hannover in Germania, figlio di un pastore protestante. Era nato in una famiglia povera ed era un bambino timido. Non amava stare con la gente, era molto riservato e per questo non passava molto tempo a fare giochi da bambini e cose del genere. Il preside della scuola notò che quel ragazzino introverso aveva un talento straordinario per la matematica. Per incoraggiarlo, diede a Riemann libero accesso alla sua biblioteca privata, dove era conservata una splendida collezione di libri di matematica. La biblioteca gli aprì le porte su un nuovo mondo da esplorare, dove Riemann si sentiva perfettamente a suo agio. Era il mondo astratto e perfetto della matematica, dove i numeri erano suoi amici. In uno dei libri del preside, Riemann lesse per la prima volta del problema dei numeri primi. Si dice che abbia letto le 859 pagine di quel libro in soli sei giorni, per poi restituirlo con queste parole. Questo è un libro meraviglioso, l'ho imparato a memoria. Ciò che Riemann aveva appreso da quella lettura lo avrebbe portato a risultati straordinari nel giro di pochissimi anni. Attirato dalla presenza di Gauss, nel 1846 Riemann si iscrisse all'università di Gottinga. Questa piccola città medievale dove i fratelli Grimm scrissero molte delle loro fiabe non è cambiata molto dai tempi di Riemann. Gottinga all'epoca stava per vivere una vera e propria rivoluzione matematica. La matematica era vista tradizionalmente come la disciplina del calcolo, un'ancella delle altre scienze. A Parigi veniva usata per costruire navi e cannoni, ma in Germania stava diventando qualcosa di diverso. I matematici stavano entrando in un abito mentale più astratto, popolato da nuove forme geometriche e numeri. Riemann si immerse nella rivoluzione matematica di Gottinga. Il suo dottorato di ricerca introdusse una nuova teoria di geometria astratta, considerata tutt'oggi uno dei più significativi contributi alla matematica. Tuttavia, nonostante i suoi successi accademici, Riemann continuava a isolarsi dagli altri. Era un ipocondriaco che attraversava periodi di depressione e si rifugiava nel suo lavoro, nascondendosi dietro una barba nera sempre più folta. Fu questo ombroso personaggio a raccogliere il testimone di Gauss e a compiere un enorme balzo in avanti nello studio dei numeri primi. Riemann, infatti, fece una scoperta straordinaria. Era l'anno 1859, una data che avrebbe segnato la storia della matematica. Riemann stava lavorando a una formula, la funzione z. Una funzione un po' come una calcolatrice. Si inseriscono dei numeri e si ottiene un risultato. Riemann intuì che dalla funzione z poteva ricavare un grafico, una sorta di paesaggio matematico in tre dimensioni. La funzione agì come uno specchio magico. Dal vecchio universo dei numeri... Intravide un nuovo strano mondo. Riemann guardò dentro allo specchio, fece un respiro profondo e varcò la soglia. All'inizio Riemann non aveva idea che la funzione Z fosse in qualche modo collegata ai numeri primi. Quasi subito però comprese l'importanza del paesaggio creato da quella formula. Poteva svelare i segreti dei numeri primi. A est, il paesaggio appariva come una vasta pianura. Ma quando Riemann guardò verso ovest, vide una catena montuosa. Una montagna saliva vertiginosamente verso l'infinito. Il dettaglio più importante non erano le vette, ma le vallate che si aprivano tra le montagne. Fu lì che Riemann scoprì un vero tesoro. In alcuni punti chiave, la superficie del grafico tridimensionale precipitava a quota zero, come i luoghi a livello del mare in un vero paesaggio. I matematici chiamano questi punti gli zeri. Riemann capì che questi zeri sono importantissimi. Esiste una sorprendente relazione tra essi e la distribuzione dei numeri primi. È un fatto che ha sbalordito tutti i matematici che hanno ripreso gli studi di Riemann. Fu necessario un enorme sforzo di immaginazione per stabilire un collegamento del genere tra l'universo dei numeri e il mondo della geometria. Solo così, però, Riemann riuscì a migliorare l'approccio di Gauss ai numeri primi. Gauss aveva usato i dadi per ipotizzare quanti numeri primi si possono incontrare nell'universo dei numeri. giunse solo a una stima approssimativa. Tuttavia, i matematici, si sa, amano la precisione assoluta. Riemann scoprì che l'esatta localizzazione di ogni zero poteva correggere l'ipotesi di Gauss. In altre parole, è come se ogni zero producesse una nota musicale che, vibrando, modifica l'ipotesi di Gauss, avvicinandola alla reale scala dei numeri primi. Dalla combinazione di tutte le note, si origina una musica che ridefinisce l'ipotesi di Gauss e dà il numero esatto dei numeri primi man mano che contiamo. La scoperta di Riemann era straordinaria. Gli zeri, a prima vista senza alcuna relazione con i numeri primi, in realtà erano la chiave per comprendere il modo in cui essi sono distribuiti. Una scoperta paragonabile all'intuizione di Einstein sulla materia che si trasforma in energia. In questo caso i numeri primi diventano musica. Riemann aveva scoperto la mappa del tesoro che portava ai segreti dei numeri primi. Doveva esplorare quei punti a livello del mare, gli zeri. Riemann poi notò una cosa ancora più incredibile. Rilevando la posizione dei primi dieci zeri, vide emergere un disegno straordinariamente regolare. Gli zeri non erano sparpagliati a caso, al contrario, sembravano disposti lungo una linea retta. Secondo Riemann, il fatto che i primi dieci zeri si trovassero su una linea non poteva essere solo una coincidenza. Ipotizzò che tutti gli zeri, in numero infinito, si trovassero disposti lungo quella linea retta. la linea critica. La sua congettura è diventata celebre con il nome di ipotesi di Riemann. Cosa significa questa regolarità? Se Riemann ha ragione nel dire che gli zeri sono distribuiti lungo questa linea, allora l'ipotesi di Gauss è molto più accurata di quanto Gauss stesso supponeva. La logica dei dadi di Gauss distribuiva i numeri primi nel modo più regolare possibile nell'universo dei numeri. L'ipotesi di Riemann mostra che esiste una grande regolarità osservando i numeri primi nel loro complesso. Ci dice quanto la congettura di Gauss è accurata e in un certo senso dispone i numeri primi in una configurazione ottimale. Mostra come i numeri primi siano bilanciati nel miglior modo possibile. La scoperta di Riemann ci svela la meraviglia della musica dei numeri primi. Se tutti gli zeri sono distribuiti lungo una linea, come ha proposto Riemann, esiste un equilibrio armonico tra le note musicali corrispondenti agli zeri. Se Riemann si sbagliasse e ci fosse uno zero fuori dalla linea, sarebbe come se un altro musicista coprisse il resto dell'orchestra. Riemann però era convinto che non ci fosse nemmeno uno zero al di fuori della linea. Pur viaggiando all'infinito, avrebbe incontrato solo gli zeri disposti sulla linea. L'ipotesi di Gauss, quindi, avrebbe sempre offerto una stima molto realistica dei numeri primi. Riemann ha completamente trasformato il nostro modo di concepire i numeri primi. Ha messo in relazione due parti distinte della matematica, gli zeri e i numeri primi. Trovare una connessione così inaspettata e illuminante è l'esperienza più straordinaria che un matematico possa fare. Magnifico! Fantastico! Deve essere la sensazione più bella del mondo fare una scoperta come quella di Riemann sul legame tra i numeri primi e gli zeri. Mettere in contatto due campi della matematica apparentemente disparati e scoprire che parlano della stessa cosa. deve essere una delle imprese intellettuali più gratificanti che si possano immaginare. Per un matematico è il massimo, una grande sorpresa. È certamente entusiasmante, perché pensi «Ehi, ho appena scoperto che queste due cose in realtà sono collegate. Chissà se questo mi aiuterà a risolvere un problema che finora è rimasto senza soluzione». È senza dubbio un'emozione unica riuscire a trovare un collegamento del genere. Anche ai più brillanti matematici può succedere una o al massimo due volte nella vita, se sono fortunati. È un momento straordinario, un'esperienza da brivido. Riemann pubblicò la scoperta in un documento di nove pagine nel 1859. Nonostante la sua ipotesi fosse rivoluzionaria, Riemann rimase molto cauto. Parlò di probabilità sul fatto che tutti gli zeri fossero distribuiti lungo la linea. Infatti, c'era un problema di fondo. Egli non era in grado di fornire una dimostrazione. Pur mancando la dimostrazione, la scoperta diede a Riemann molta fama. Ottenne la cattedra di matematica a Gottinga, la stessa che un tempo era stata occupata dal grande Gauss. Da allora ebbe una vita sociale molto attiva e cominciò ad aprirsi agli altri. Spesso le menti geniali sono persone introverse e taciturne, si aprono solo con l'avanzare dell'età e questo sembra il caso di Riemann. Qualsiasi argomento toccasse lo trasformava completamente. Era davvero un genio, ma in modo diverso da Gauss. Aveva un chedi magico. Gauss era in grado di spaziare in tutti i campi della matematica. Ma Riemann aveva la capacità di guardare oltre. Riemann merita un posto d'onore tra i grandi matematici. Fece scoperte straordinarie sui numeri primi. Per farle aveva inventato un intero arsenale matematico. Fu decisivo anche per la geometria. La teoria della relatività di Einstein è basata sulle scoperte che Riemann aveva fatto 50 anni prima. È tuttora molto importante. Riemann non visse a lungo dopo la sua scoperta. Tra la Prussia e Hannover scoppiò una guerra che si abbatté su Gottinga. Preso dal panico, Riemann fuggì in Italia, terrorizzato dagli scontri a fuoco. Fu un colpo troppo duro. Morì di tubercolosi in Italia appena tre settimane dopo. Aveva solo 39 anni. Riemann venne subito riconosciuto come uno dei più importanti matematici di ogni tempo. Forse le sue scoperte si erano spinte ancora più in là, ma non potremo mai saperlo, a causa di una domestica troppo zelante. Riemann aveva lasciato la sua stanza nel caos. La governante per riordinare bruciò molti dei suoi manoscritti. Non sapremo mai se Riemann fosse sul punto di dimostrare la sua ipotesi. Rimase solo la sua sfida alle generazioni future. Oggi, il sogno di ogni matematico è dimostrare che lui aveva ragione sulla distribuzione degli zeri. L'ipotesi di Riemann è il problema centrale della teoria dei numeri, ma forse di tutta la matematica. Questo problema è affascinante per varie ragioni. Innanzitutto è ancora irrisolto dopo molto tempo. Poi è un problema che non è mai stato risolto. è un enunciato estremamente chiaro ed elegante. Inoltre perché è il problema fondamentale dei numeri primi. Ormai è diventata una sfida storica, è come mandare l'uomo su Marte. È un problema che rappresenta un banco di prova per tutti. All'inizio del XX secolo, l'ipotesi di Riemann era già considerata uno dei più grandi misteri della matematica. La sua dimostrazione restava un obiettivo sfuggente. Poco dopo la fine della prima guerra mondiale però, ci fu una svolta. Non avvenne in Germania, ma in un altro paese dell'Europa. All'inizio del XX secolo l'Inghilterra non sembrava offrire granché alla matematica. Le grandi università erano rimaste estranee alla rivoluzione che aveva travolto questa scienza in Europa durante il XIX secolo. Eppure il successivo tassello nel mosaico dei numeri primi avrebbe preso forma qui, a Cambridge. L'uomo che risvegliò dal torpore la matematica inglese si chiamava G. H. Hardy. Per tutta la vita fu ossessionato dai numeri primi. Secondo Hardy, le tavole dei numeri primi erano meglio della pagina del calcio come lettura per la colazione. Anche perché il calcio non era tra le sue maggiori passioni. Mentre lo erano i numeri primi, il cricket e anche la sua incessante battaglia intellettuale con il divino. Voleva disperatamente confutare l'esistenza di Dio. e tanto fece da farlo diventare una presenza attiva nella sua vita. Quando andava a vedere una partita di cricket, portava con sé un kit per ingannare Dio e tenere lontano la pioggia. Persino nelle giornate di sole arrivava con maglioni, ombrello e un fascio di carte sotto braccio. Era un suo trucco per far credere a Dio che sperava che piovesse. così da portarsi avanti con il lavoro. In tal modo, Dio avrebbe mantenuto il sole pur di rovinare i suoi piani. Una volta, Hardy mandò una cartolina a un amico dicendo di avere dimostrato l'ipotesi di Riemann. Poi si scoprì che era un altro dei trucchi di Hardy riservati a Dio. Aveva spedito la cartolina prima di imbarcarsi su una nave per un lungo viaggio. Dio non lo avrebbe mai lasciato annegare. altrimenti il mondo avrebbe attribuito veramente a lui la soluzione del problema. Il principale contributo di Hardy al problema dei numeri primi arrivò all'inizio della sua carriera. Riemann aveva dedotto che poiché ci sono tanti zeri sulla linea è molto plausibile che siano tutti sulla linea. Hardy mostrò che su questa linea c'è un numero infinito di zeri. Questa era quasi una prova di almeno una parte di ciò che Riemann aveva ipotizzato. Hardy andò a trovare il suo pupillo. L'unico argomento di discussione che venne in mente a Ramanujan fu il numero del taxi con il quale era arrivato, 1729. Un numero insignificante, disse Hardy. No, niente affatto, rispose Ramanujan. È il più piccolo numero che può essere scritto come la somma di due cubi in due modi diversi. Ramanujan non smetteva mai di pensare ai numeri. Alla fine della prima guerra mondiale, Hardy consigliò a Ramanujan di tornare in India per restabilirsi. Alcuni mesi dopo, il matematico ricevette la triste notizia che il suo pupillo era morto. Ramanujan aveva solo 33 anni. Quanto ad Hardy non sopportava di invecchiare. Coprì tutti gli specchi di casa pur di non vedere il proprio volto segnato dal tempo. Hardy ebbe un destino particolare. Rimase, come dire, giovane e in salute per molto tempo, fino ai 60 anni. Poi cominciò ad avere attacchi di cuore. Da allora diventò molto depresso. Il problema dell'ipotesi di Riemann continuò a ossessionare Hardy. Col tempo, però, il matematico perse ogni speranza di riuscire a risolverlo. Come Ramanujan, anche Hardy tentò il suicidio, ingerendo barbiturici. L'ipotesi di Riemann si stava dimostrando un avversario terribile. Una ventina di anni dopo, nel 1954, l'ipotesi di Riemann ossessionò un altro grande pensatore, che fece una fine ancora più tragica. Si chiamava Alan Turing. Era un grande intellettuale, il padre dell'informatica. Alcuni lo definiscono il padre dell'intelligenza artificiale. In realtà amava la matematica. E ovviamente è famoso anche per il suo lavoro nella criptografia. Turing è famoso per essere uno dei matematici che decifrarono il codice Enigma, dando un contributo notevole nella guerra ai nazisti. Pochi sanno però che l'ipotesi di Riemann fu decisiva per conseguire quel risultato. All'inizio della seconda guerra mondiale, un gruppo di matematici venne inviato all'istituto di Bletchley Park in Gran Bretagna per decodificare i messaggi intercettati dagli alleati. L'atmosfera di Bletchley assomigliava a quella delle università frequentate da Turing e colleghi. Ogni giorno, i matematici decrittavano i messaggi in codice dei tedeschi come se fossero normali cruciverba. In realtà, salvavano migliaia di vite. Quando non era impegnato a decifrare i messaggi nemici, Turing tornava al problema su cui stava lavorando da molti anni. L'ipotesi di Riemann, appunto. Il problema gli era stato esposto da uno dei suoi docenti a Cambridge, Hardy. L'approccio di Turing si distingueva da quello degli altri matematici per due motivi. Primo, iniziò a prendere in considerazione l'ipotesi che la congettura di Riemann potesse essere falsa. Secondo, Decise di provare che era falsa adottando un sistema rivoluzionario. Costruì una macchina. La macchina doveva esplorare il paesaggio matematico di Riemann alla ricerca degli zeri esterni alla linea critica. Se li avesse trovati, l'ipotesi sarebbe risultata falsa. Nella seconda metà degli anni 30, nella sua stanza di Cambridge, Turing lavorava tra rotelle e ingranaggi. L'arrivo della guerra, però, interruppe il suo progetto. Turing era stato reclutato a Bletchley Park. Non era riuscito a completare la macchina Riemann, ma il suo lavoro tornò utile per la costruzione di un'altra macchina in grado di decifrare i codici nemici. amici. La macchina di Turing accelerò la fine della guerra e salvò un numero incalcolabile di vite. Non mi sembra esagerato dire che il lavoro di Turing sulla macchina Riemann prima della guerra spienò la strada alla vittoria sul nazismo. Dopo la guerra, Turing continuò a usare macchine per risolvere problemi. L'esperienza a Bletchley gli aveva fatto maturare un'idea, costruire una macchina che potesse essere programmata per diverse funzioni. Assemblando tubi catodici e cilindri magnetici, Turing creò il prototipo del moderno computer. Uno dei primi compiti che Turing assegnò alla macchina fu computare gli zeri di Riemann. Tutti quelli che riuscì a calcolare i zeri di Riemann calcolare erano disposti sulla linea critica. Aveva creato un sistema ingegnoso per individuare quegli zeri e mostrare che stavano sulla linea. La nuova macchina di Turing riuscì a localizzare i primi 1104 zeri, ognuno dei quali risultò essere sulla linea, ma poi si guastò. Non era però solo la macchina di Turing ad avere problemi, anche la sua vita cominciava ad andare in pezzi. Bisogna tenere presente che Turing era omosessuale. Questo generò molti sospetti su di lui. Fu coinvolto in un processo giudiziario e subì una punizione umiliante proprio a causa della sua omosessualità. Questo può averlo portato al suicidio. Il corpo di Turing venne trovato nel suo letto. L'autopsia rivelò alti livelli di cianuro nel sangue. La morte di Turing è avvolta dal mistero. Di fianco al suo letto trovarono una mela mangiata a metà. Aveva iniettato il cianuro nella mela? Forse aveva preso spunto dal cinema. Il film preferito di Turing era Biancaneve e i sette mani. Adorava la scena in cui la strega avvelena la mela. È una delle grandi tragedie del ventesimo secolo. Fu spinto al suicidio. Era perseguitato per il suo orientamento sessuale. fu così che il mondo perse una delle più grandi menti dell'epoca. Turing morì. Ma la sua idea di una macchina calcolatrice continuò a vivere. Egli aveva inaugurato una nuova era. I computer avrebbero preso il posto degli umani nell'esplorazione dei numeri primi. Nel 1952 la macchina di Turing aveva scoperto numeri primi che andavano oltre le capacità di calcolo della mente umana. Oggi il più grande numero primo individuato ha più di 7.800.000 cifre. Eccolo. Se lo lasciassi scorrere sullo schermo dovreste aspettare 10 giorni per vederlo tutto. Non mi sembra il caso. 7.000.000 cifre. e 800.000 cifre. Ne bastano solo 100 per esprimere il numero di atomi nell'universo. Questo dà un'idea di quanto questo numero sia gigantesco. Eppure, come intuì Euclide molti secoli fa, ci sarà sempre un numero primo ancora più grande da scoprire, anche per i computer. Come Turing aveva suggerito, i computer possono essere usati per esplorare zone del paesaggio di Riemann, altrimenti inconcepibili. È stato calcolato che i primi 10-10.000 miliardi di zeri sono tutti sulla linea critica. Possono sembrare eccessivi tutti questi calcoli, ma in un certo senso sono la miglior prova per dimostrare l'ipotesi di Riemann. Oggi! La maggior parte degli studiosi è convinta dell'esattezza dell'ipotesi di Riemann. Vent'anni fa però non era così. C'erano matematici che la mettevano in dubbio. Ritengo che le prove accumulate con i recenti calcoli abbiano convinto quasi tutti. L'ipotesi di Riemann è vera. Immaginiamo che la linea degli zeri parta da Gottinga. Riemann ci ha portato al di sopra della città. Turing ci ha spinto molto più lontano, fino alla Luna. E il computer ci ha permesso di scrutare a 100 anni luce dalla Terra. Come un'astronave che avanza nel cosmo, il computer ci sta mandando messaggi da zone remote dell'universo matematico. Anche laggiù, tutti gli zeri rispettano l'ipotesi di Riemann. Verificare che sulla linea ci sono sempre più zeri va bene. Ma questo comunque non dimostra l'ipotesi di Riemann. Il computer non aiuta a comprendere l'infinito. Nessuno può sapere cosa accade in zone ancora più remote dell'universo matematico. Laggiù potrebbe esistere uno zero anomalo, esterno alla linea. Non possiamo contare un numero infinito di cose. Questo è il problema. L'ipotesi di Riemann viene confermata dal computer fino ad un certo punto. Fino a lì, gli zeri sono tutti sulla linea critica. Noi però stiamo parlando di un numero infinito di zeri. Quando il computer si ferma, significa che non abbiamo determinato un numero infinito di soluzioni. Con l'avanzare del XX secolo, i matematici sentivano di essere arrivati a un punto morto. Poi, negli anni 70, L'enigma dei numeri primi venne affrontato in maniera del tutto inaspettata. Negli Stati Uniti, l'Institute for Advanced Study di Princeton accoglie alcune fra le più grandi menti matematiche e scientifiche del mondo. Durante l'ascesa del nazismo, la scuola matematica tedesca venne spazzata via. Molti eminenti scienziati ebrei fuggirono, trovando asilo in America, tra essi anche Albert Einstein. A partire dalla seconda guerra mondiale, Princeton si è affermata come il più prestigioso istituto di matematica del mondo. Nel 1972 Hugh Montgomery, un giovane matematico americano, attirò l'attenzione dei colleghi per le sue ricerche sull'ipotesi di Riemann. A differenza dei suoi predecessori, Montgomery osservava non dove, ma come erano disposti gli zeri lungo la linea critica. Fece una scoperta sorprendente. La distribuzione che ho riscontrato presenta un numero relativamente basso di coppie vicine, come se gli zeri... si respingessero. Immaginiamo delle piccole molle che legano gli zeri l'uno all'altro. Queste molle si comprimono e si allungano. Sollecitando il sistema, gli zeri si muovono avanti e indietro. Se immagini di scattare una foto e fissare un'istantanea, alcuni appariranno fuori posto rispetto al loro stato di riposo, anche se tendono comunque a stare distanziati. Si notò che gli zeri non amano stare troppo vicini. Se li rappresenti consecutivamente in linea, avranno un distanziamento armonico, mentre presi a caso, appaiono a blocchi con grossi spazi tra uno e l'altro. Era interessante. Pensai che nella distribuzione degli zeri ci fosse qualche messaggio, ma la prima volta che la osservai, nell'autunno del 71, non capivo quale fosse. Ogni giorno... Docenti e ricercatori di tutti i dipartimenti si riuniscono per un importante rito, il tè pomeridiano. Fu durante uno di quei ritrovi che Montgomery conobbe il celebre fisico Freeman Dyson. Quel giorno c'era anche un matematico che si vedeva spesso da quelle parti, Chawla. Stavo parlando con lui e Dyson era dall'altra parte della sala. Ad un certo punto Chawla mi chiese se conoscesse già Dyson. Io risposi di no e lui disse che me lo avrebbe presentato subito. Io non volevo, temevo di disturbare, ma Chawla continuava a insistere, era ostinato. Così mi costrinse in pratica a fare la conoscenza di Dyson. Lui mi domandò a cosa stessi lavorando, glielo accennai. Dyson riconobbe subito nella distribuzione degli zeri la teoria delle matrici casuali studiata in fisica. La teoria delle matrici casuali era stata studiata dai fisici per ottenere un modello statistico per i livelli energetici delle particelle eccitate. Se studi una o due particelle o comunque un numero limitato, non è difficile predire come interagiscono. Ma quando hai migliaia di particelle e vuoi vedere come viene emesso il livello energetico da queste particelle, allora devi fare degli esperimenti e catalogare i livelli energetici cercando di vedere che tipo di grafico viene fuori dalle statistiche che riesci a ricavare. Cosa significa questo cocktail di termini scientifici? È la matematica usata per studiare e costruire un modello dei livelli energetici del nucleo di un atomo pesante, ad esempio quello dell'uranio. I livelli energetici nel nucleo di un atomo sono simili alle note di uno strumento musicale. Suonando la tromba con sempre maggiore energia, le note salgono per gradi. Per esempio... Per l'atomo accade qualcosa di simile. Man mano che viene eccitato, le vibrazioni all'interno del nucleo salgono per gradi, come le note nella tromba. I fisici hanno scoperto che i livelli energetici del nucleo di atomi come quello di uranio tendono a intervallarsi in modo uniforme, come gli zeri sulla linea di Riemann. I livelli energetici appaiono in modo quasi regolare. puoi quasi prevederli, ma con un certo margine di casualità. Per esempio, è raro trovarne due molto vicini o due molto lontani. Esiste una frequenza con la quale appaiono che è prevedibile statisticamente. È un tipo di statistica particolare. Fornisce previsioni che vengono rispettate dai nuclei. La scoperta di Montgomery, riconosciuta da Dyson, era che gli zeri di Riemann rispettavano questa statistica. Montgomery e Dyson scoprirono che il comportamento degli atomi, i mattoni di cui è fatta la materia, sembrava corrispondere a quello dei numeri primi, i mattoni della matematica. Una connessione del tutto inaspettata, che inaugurò un nuovo approccio all'ipotesi di Riemann. La scoperta della connessione tra atomi e numeri primi fatta da Riemann da Montgomery e Dyson è stata incredibile ed emozionante. Ha portato i fisici a studiare l'ipotesi di Riemann e ha dato il via a nuove entusiasmanti ricerche sia in fisica che in matematica che altrimenti non sarebbero mai iniziate. L'obiettivo è unificare sempre di più i vari aspetti del mondo creando delle connessioni tra i campi del sapere. È meraviglioso per uno scienziato scoprire che discipline diverse in realtà sono collegate tra loro. La vera domanda da porsi non è tanto sull'ipotesi di Riemann, ma su un'altra questione. Per quale ragione il comportamento degli atomi della matematica ha a che fare con il comportamento degli atomi della fisica? Questo è veramente un mistero. Se riuscissimo a comprenderlo, dimostreremmo l'ipotesi di Riemann. Forse i fisici nucleari potrebbero arrivare a chiarire il comportamento dei numeri primi. Dopotutto, uno zero fuori dalla linea equivale a un livello energetico immaginario, cosa non ammessa dalle leggi della fisica. Tuttavia questa svolta non ha ancora portato a una dimostrazione dell'ipotesi di Riemann. È possibile che questa connessione con la fisica aiuti a dimostrare l'ipotesi di Riemann? Non lo sappiamo, perché non abbiamo idea di cosa serve per dimostrarla. Potrebbe accadere che domani qualcuno utilizzi questo approccio e risolva il problema, o al contrario si trovi in un vicolo cieco. Potremmo scoprire che era solo una coincidenza, da cui non si può ricavare nulla. Nonostante queste grandi scoperte, i matematici non sono ancora riusciti a trovare la prova che dimostri l'ipotesi di Riemann. I numeri primi conservano il loro mistero. Fino a pochi anni fa erano solo i matematici a interessarsi di questi numeri enigmatici. Oggi invece i numeri primi hanno acquisito un ruolo centrale nel mondo telematico. Ogni volta che operiamo una transazione online, vengono usati i numeri primi per criptare i dati della nostra carta di credito. La sicurezza del sistema si basa sulla difficoltà di decriptare il numero della carta attraverso i numeri primi che lo compongono. Vediamo come funziona il sistema con l'aiuto di due colori. Immaginate che a ogni colore corrisponda un numero primo. Mischiare i due colori è un po' come moltiplicare i due numeri primi. Nel primo caso ottengo un colore del tutto nuovo, nel secondo un numero diverso. Questo nuovo numero serve a cifrare la carta di credito. C'è solo un modo per decodificarlo, conoscere i due numeri primi originali. Separare i due colori mischiati è estremamente difficile, come calcolare i due numeri primi che hanno originato il numero cifrato. Senza i due fattori originari, è quasi impossibile decifrare il numero di carta di credito. È un sistema sicuro proprio perché non conosciamo ancora abbastanza bene i numeri primi. Una dimostrazione dell'ipotesi di Riemann forse potrebbe aiutarci a scomporre anche le cifre più grandi e risalire ai numeri primi di cui sono composte. Una scoperta del genere farebbe crollare il sistema finanziario online. Sono state investite grandissime risorse nella ricerca per la sicurezza informatica. Da un lato si cerca di sviluppare metodi che rendano i sistemi telematici sempre più sicuri e dall'altro si lavora per decifrare i codici elaborati dagli altri. Esiste un aneddoto su un matematico britannico che viveva negli Stati Uniti, Oliver Atkin. Si dice che lavorasse sia per la marina che per l'aviazione degli Stati Uniti, che cercavano di spiarsi a vicenda. Non sorprende dunque che un uomo d'affari abbia offerto un premio di un milione di dollari a chi dimostrerà l'ipotesi di Riemann. Ma non è il denaro il premio più allettante. Molti matematici venderebbero l'anima pur di trovare la soluzione del problema, perché sarebbe la più grande scoperta matematica di tutti i tempi. L'ipotesi di Riemann è una di quelle tipologie di matematica che non è mai stata scoperta. Le teorie che, una volta formulate, sembrano abbracciare tutta la matematica. Oggi esistono interi manuali che si basano sull'ipotesi di Riemann. Una buona parte della matematica si fonda sull'assunto che l'ipotesi di Riemann sia vera. Se dovesse rivelarsi falsa, allora dovremmo modificare molte parti che non sarebbero più corrette. Non sappiamo quali segreti potrebbe svelarci la dimostrazione dell'ipotesi. Potrebbe portare a qualcosa di rivoluzionario, in grado di trasformare la matematica stessa. Ma ci stiamo almeno avvicinando a una dimostrazione dell'ipotesi di Riemann? Stiamo facendo progressi nel comprendere il comportamento dei numeri primi? Troveremo prima o poi una soluzione all'enigma? Sì. Altrimenti è meglio lasciar perdere. Che senso avrebbe impegnarsi a dimostrare qualcosa se non credi con tutte le tue forze che quella cosa sia vera? Se venisse scoperto uno zero fuori dalla linea, credo che smetterei di occuparmi di matematica. Vorrei conoscere qualcuno che dubita dell'ipotesi di Riemann. Non conosco nessuno che la pensi così. Non sono assolutamente sicuro che sia corretta. Esiste una piccola probabilità che possa essere falsa. Sono scettico sulla possibilità che l'ipotesi di Riemann venga dimostrata. Se matematici come Riemann, Hardy e tutti gli altri ci hanno provato e non ci sono riusciti, allora vuol dire che forse è indimostrabile. Io credo che sarà dimostrata. Ci sono importanti argomenti di fisica a suo favore, però sarebbe interessante se fosse falsa. Vorrebbe dire che quegli argomenti sono fuorvianti, come se Dio si fosse divertito a ingannarci con delle coincidenze per farci poi scoprire degli zeri fuori dalla linea. È un problema di un'importanza indiscutibile. Perciò un giorno qualcuno riuscirà a trovare il metodo giusto. Forse attraverso la geometria, o forse attraverso la fisica. Alla fine qualcuno riuscirà a dimostrarla. Questa è la dimensione misteriosa ed emozionante della matematica. Nessuno sa dove si trovi la soluzione dei problemi, quanto sia nascosta in profondità. Penso che la dimostrazione, con tutti i recenti progressi della matematica, potrebbe essere vicina. Potrebbe arrivare in qualsiasi momento. da qui ai prossimi 300 anni. Secondo me arriverà nei prossimi 50. Forse vivrò abbastanza per vedere la dimostrazione dell'ipotesi di Riemann. Dopo oltre 2000 anni, l'enigma dei numeri primi non è ancora stato risolto. Nonostante le connessioni con la fisica, la criptografia e i computer, ai matematici manca il lampo di genio per giungere alla soluzione. Nessuno sa quando e da dove arriverà, ma una cosa è certa. Chiunque riuscirà a dimostrare l'ipotesi di Riemann verrà ricordato come il matematico capace di svelare la musica dei numeri primi.

Alcuni ne sono stati ossessionati fino alla morte. Questo rompicapo ha avuto persino un ruolo nella vittoria degli alleati contro la Germania nazista. Ha contribuito in modo determinante alla nascita dei computer e ha gettato luce sul comportamento degli atomi, i mattoni di cui è fatta la materia. Oggi il mondo della finanza online dipende dall'impenetrabilità di questo enigma.

Se venisse decifrato potrebbe mettere in ginocchio i mercati telematici. Non sorprende dunque che sia stato messo in pali un premio di un milione di dollari per chi riuscirà a risolverlo. Cos'è questo santo graal della matematica? Il mistero che da secoli tiene in scacco le menti più brillanti è l'enigma dei numeri primi.

È il più grande problema irrisolto della matematica e chi riuscirà a risolverlo conquisterà fama eterna. Questa è la storia di coloro che hanno raccolto questa affascinante sfida. Sono le 7 di martedì 6. Siamo circondati dai numeri, sono ovunque intorno a noi.

Spesso non ce ne rendiamo conto, ma i numeri sono una parte essenziale della nostra vita. Ci aiutano a ordinare e interpretare la realtà. E anche a comunicare. Vorrei un 17, un 73...

E un 101. I numeri sono presenti in ogni aspetto della vita quotidiana. Quando viaggiamo in auto, o in aereo, quando guardiamo la tv, o ascoltiamo un cd. Quando usiamo il telefono o facciamo da mangiare, dipendiamo dalla matematica.

Rosso 18, blu 43, bianco 65, rosso 14. Senza la matematica non esisterebbe nulla di tutto ciò. I numeri sono essenziali per la nostra vita. E tra tutti, i più importanti sono i numeri primi. Ho vinto!

Ma cosa sono i numeri primi e perché sono così importanti? Tutti i bambini imparano la definizione a scuola. Un numero primo è un numero divisibile solo per se stesso e per uno. Quello che ai bambini non viene insegnato è perché questi numeri indivisibili sono così importanti. Sono gli elementi base della matematica.

Tutti i numeri che non sono primi possono essere ottenuti moltiplicando tra loro dei numeri primi. Il numero 105, ad esempio, si ottiene moltiplicando 3 per 5 per 7. Dai numeri primi derivano tutti i numeri, dai numeri deriva la matematica e dalla matematica derivano tutte le scienze. Dunque i numeri primi sono l'idrogeno e l'ossigeno del mondo dei numeri, sono gli atomi della matematica. I matematici sono sempre stati affascinati dai numeri primi.

Il mio preferito è il 163. Il 17. Il 19. Il 163. Il 2. Perché? Perché è il più strano. È l'unico pari. La mia vita è piena zeppa di numeri primi.

Il mio civico è un numero primo. Ho un numero primo di figli. Due gemelle e un maschio. Fanno tre. La targa della mia auto è un numero primo.

Ed è una primera. Ho persino convinto la mia squadra di calcio a indossare solo maglie con numeri primi. Adesso i nostri numeri vanno dal 2 al 41. E il cambiamento ha portato benefici. Siamo volati in testa al campionato.

Per un matematico come me, i numeri primi sono veramente la base di tutto. I numeri primi sono così importanti che la natura ha imparato a conoscerli molto prima di noi. Nelle foreste del Nord America c'è una specie di cicala che ha imparato a usare i numeri primi nella lotta per la sopravvivenza.

Per 17 anni questi insetti vivono sottoterra senza fare assolutamente nulla, a parte trarre nutrimento dalle radici degli alberi. Poi, dopo 17 anni di silenzio, emergono in superficie per una festa che dura 6 settimane. Il rumore che producono è fortissimo, quasi insopportabile. Le cicale mangiano, si accoppiano, depungono le uova e dopo sei settimane muoiono. E la foresta sprofonda nel silenzio per altri 17 anni.

Ma perché le cicale hanno scelto proprio un periodo di 17 anni? Sembra che un tempo ci fosse un predatore che amava imbucarsi alle loro feste. Anche il predatore appariva ad intervalli periodici. Le cicale scoprirono che scegliendo un ciclo di vita basato su un numero primo, il ciclo del predatore risultava sempre sfasato rispetto a loro.

I numeri primi sono la chiave della sopravvivenza della cicala. Nei tempi antichi, anche l'uomo scoprì ben presto che la capacità di contare aumentava le possibilità di sopravvivenza. Di fronte all'attacco di un nemico, era fondamentale capire se si era in inferiorità numerica per decidere se combattere o fuggire. I primi a intuire l'importanza dei numeri primi furono gli antichi greci. furono loro a gettare le fondamenta su cui i matematici continuano ancora oggi a costruire.

I greci ritenevano che i numeri fossero in ogni cosa, in particolare i seguaci di Pitagora. Il loro motto era «Tutto è numero». I greci, effettuando divisioni, capirono che c'erano numeri che non potevano essere divisi ulteriormente. Questi numeri irriducibili sono i numeri primi. Biblioteche e scuole dell'antica Grecia si riempirono di tavolette che riportavano elenchi di numeri primi sempre più grandi.

Forse qualche antico matematico greco sperava di passare alla storia scrivendo tutti i numeri primi su un'enorme tavoletta. Ma intorno al 300 a.C. Euclide, il primo grande genio della matematica, scoprì che era impossibile.

Intuì che per scrivere tutti i numeri primi si dovrebbe contare per l'eternità. In pratica dimostrò che i numeri primi sono infiniti. E lo fece con un ragionamento davvero ingegnoso. Euclide si chiese, è possibile che esista un numero finito di numeri primi che moltiplicati tra loro producono tutti gli altri numeri? Fece un tentativo con il 2, il 3 e il 5. È possibile ottenere tutti gli altri numeri moltiplicando in diverse combinazioni il 2, il 3 e il 5?

Euclide, idea. ideò un sistema per trovare un numero che non si potesse ottenere dai tre numeri primi presi in considerazione. Iniziò moltiplicando tra loro i tre numeri.

Il risultato è 30. Poi, e questo fu il colpo di genio, aggiunse uno per arrivare a 31. Ne il 2, ne il 3, ne il 5 erano divisori di 31. Rimaneva sempre il resto di 1. Euclide sapeva che ogni numero può essere ottenuto moltiplicando dei numeri primi tra loro. E il 31 allora? Poiché non è divisibile per 2, 3 o 5, questi non potevano essere i soli numeri primi. In effetti anche 31 è un numero primo. ma anche aggiungendo il 31 alla lista, Euclide poteva sognare.

sempre ripetere lo stesso trucco di aggiungere uno. Per quanti numeri ci fossero sulla lista, poteva sempre dimostrare che ce n'erano altri mancanti. Così aveva provato che i numeri primi sono infiniti. La dimostrazione di Euclide è uno splendido esempio di ragionamento matematico, ma c'è un problema che Euclide non riuscì a risolvere. Non trovò il modo di predire quali numeri fossero primi.

Non vedeva nessuna regola che lo aiutasse a capire come trovare i numeri primi. Se immaginiamo che i numeri siano disposti lungo una linea retta, la frequenza con cui si incontrano dei numeri primi sembra del tutto casuale. Appaiono in modo completamente casuale, come i numeri estratti all'otto o come gli orari d'arrivo degli autobus quando c'è traffico.

La domanda è, esiste un qualche tipo di ordine nei numeri primi? C'è un modo per comprenderli? Se non del tutto?

Almeno quel tanto che basta per riuscire a vedere il tipo di legge che essi impongono in ambito matematico? Se provi a fare previsioni sulla frequenza con cui appaiono i numeri primi, o se cerchi delle formule come si fa normalmente, non ottieni nulla. Come le stelle nel cielo notturno, i numeri primi appaiono sparpagliati nell'universo dei numeri. Alcuni sono raggruppati e vicini tra loro, altri lontanissimi e isolati.

Sembrano disposti senza nessuna regola e senza alcun senso. Ma i matematici cercano proprio questo, regole e senso. Tutti pensano che la matematica sia solo una questione di calcoli, divisioni e addizioni. Ma la vera essenza della matematica è un'altra.

Un matematico è soprattutto un cercatore di regole. La matematica consiste nel cercare l'ordine nel caos di numeri intorno a noi, capire qual è la musica che li tiene insieme. E i numeri primi rappresentano la sfida più difficile per un cercatore di regole. Il problema della regolarità o dell'apparente mancanza di regolarità nei numeri primi Affascina e sconcerte i matematici fin dai tempi di Euclide. È un enigma che ha tenuto in scacco le più grandi menti.

Fu solo verso la fine del XVIII secolo che venne finalmente compiuto un passo avanti. Fu merito di un ragazzo tedesco di 15 anni, destinato a diventare uno dei più grandi matematici di tutti i tempi. Karl Friedrich Gauss.

Fu osservando le stelle che Gauss diventò un astro nascente della matematica. Un pianeta nano appena scoperto, Cerere, sembrava scomparso dal cielo notturno, nascosto dal bagliore del sole. Gli astronomi si erano rassegnati, ma Gauss scoprì una regolarità matematica nell'orbita di Cerere e indicò agli astronomi il punto in cui avrebbero ritrovato il pianeta. E Cerere era proprio lì, come previsto dai calcoli. Gauss era affascinato dall'astronomia, ma la sua vera passione erano i numeri.

Gauss era un bambino prodigio, passava tutto il giorno a contare e calcolare. Aveva imparato a fare calcoli prima di imparare a leggere, quindi visse sempre in mezzo ai numeri fin dai primissimi anni dell'infanzia. All'età di tre anni, Gauss correggeva gli errori di aritmetica di suo padre.

Quando iniziò ad andare a scuola, cominciò a tenere un diario segreto delle sue scoperte matematiche. Ma fu un regalo ricevuto per il suo quindicesimo compleanno, la scintilla che cambiò per sempre la sua vita. Era una raccolta di tavole matematiche. Alla fine del libro c'era una lista che iniziò a ossessionare il giovane Gauss, una tavola dei numeri primi.

Gauss passava ore e ore a scorrere quelle tavole cercando di carpirne i segreti. Alla fine, i suoi sforzi portarono a una eccezionale scoperta. Osservando la tavola dei numeri primi, il quindicenne Gauss si rese conto che non c'era nessuna regolarità in quei numeri, e quindi non c'era modo di predire quando un numero primo compariva sulla linea dei numeri.

Sembravano apparire in maniera casuale, proprio come i numeri che escono alla roulette. Allora, Gauss fece quello che fanno i bravi matematici. Quando le cose diventano complicate, pensa in modo creativo. Guarda il problema da un'altra prospettiva e fatti una nuova domanda.

Invece di cercare di predire quali numeri sono primi, Gauss si chiese quanti numeri primi ci sono. Per contare i numeri primi, Gauss prese in esame un blocco di mille alla volta. Pare che in soli 15 minuti fosse capace di scomporre in fattori primi tutti i numeri di un blocco di mille.

E così ricavò una tavola dopo l'altra. In questo modo elaborò la sua congettura, che è stata una svolta fondamentale per i moderni studi sui numeri primi. Euclide aveva dimostrato che i numeri primi sono infiniti.

Gauss iniziò a contare quanti ce ne sono tra 0 e 10, fino a 100, fino a 1000, e così via. Mano a mano che il conto saliva, i numeri primi sono finiti. i numeri primi sembravano diventare sempre più rari.

Ma c'era un modo per predire in che modo diminuivano? All'apparenza i numeri primi sembravano essere estratti in modo casuale, come in un lancio di dadi. Gauss si rese conto che poteva calcolare la probabilità di incontrare un numero primo. Per esempio...

Se da 1 a 100 ci sono 25 numeri primi, significa che c'è una probabilità su 4 di incontrare un numero primo. Nei numeri da 1 a 1000 invece c'è solo una probabilità su 6. È come se la natura avesse scelto con dei lanci di dadi quali numeri dovevano essere primi. Ma Gauss doveva anche capire quante facce avevano i dadi usati da madre natura man mano che sceglieva numeri primi sempre più grandi.

Procedendo nel calcolo delle probabilità, Gauss cominciò a intravedere un disegno di fondo. Dall'apparente caos dei numeri primi, iniziò ad affiorare una straordinaria regolarità. Gauss si accorse che ogni volta che aggiungeva uno zero, la frequenza dei numeri primi scendeva in modo costante all'incirca di due. Quindi, passando da 10.000 a 100.000 a un milione, le probabilità scendono da 1 su 8 a 1 su 10 a 1 su 12. Quindi, se voglio contare i numeri primi intorno a 10.000, devo usare un dado a 8 facce. Ma, se voglio contare i numeri primi intorno al milione, devo usare un dado a 12 facce.

È come se i numeri primi fossero stati scelti lanciando un dado, le cui facce aumentavano in modo uniforme, man mano che si sceglievano i numeri più grandi. Gauss scoprì questa regolarità e scoprì anche con quale ritmo i numeri primi tendono ad assottigliarsi man mano che si sale. Gauss rappresentò l'andamento dei numeri primi in un grafico e vide che si sviluppava con una progressione a scatti, un po' come una scala. salendo di un gradino ogni volta che incontrava un nuovo numero primo, ma non poteva salire all'infinito. Usando la logica dei dati, Gauss realizzò un secondo grafico che prediceva l'andamento della scala dei numeri primi continuando a salire all'infinito.

Ma invece di concentrarsi sui dettagli di ogni singolo gradino, il grafico di Gauss cercò di predire la tendenza generale della scala. Gauss era convinto che la frequenza dei numeri primi dovesse diminuire con una meravigliosa regolarità. Per la prima volta si intravedeva una regolarità nella distribuzione dei numeri primi.

I matematici precedenti li avevano ascoltati uno ad uno, nota per nota, incapaci di udire la composizione nell'insieme. Gauss invece riuscì a cogliere il tema dominante della musica dei numeri primi. Gauss sapeva che la sua congettura conduceva solo a una stima approssimativa.

ma era convinto di non essere lontano dalla realtà. Tuttavia non poteva dimostrarlo, e la dimostrazione per un matematico è tutto. La matematica non procede per congetture, ma per dimostrazione.

La dimostrazione è tutto. È l'unico modo per essere sicuro di avere raggiunto la verità su qualcosa. E il bello della matematica è che quando hai dimostrato che una cosa è vera, Allora è vera per sempre. Non dipende dalla cultura o dall'epoca.

E questo è uno dei motivi per cui molti si innamorano di questa disciplina. Gauss tenne segreti quegli studi per buona parte della sua vita. Era sempre esitante a pubblicare le sue idee. Preferiva tenerle al sicuro nel suo diario.

Ci sono due ragioni per cui Gauss... non divulgava i suoi appunti. La prima è che la sua professione era quella di astronomo.

Quello di matematico per lui era come un secondo lavoro. La seconda ragione è che Gauss non pubblicava nulla dei suoi lavori fino a quando non era assolutamente certo che fossero perfetti. Al giorno d'oggi, con Internet, la gente pubblica tutto quello che gli passa per la testa, che si tratti di stupidaggini o di grandi idee.

Gauss invece era molto scrupoloso e perfezionista. Ho in mente una metafora che gli si addice molto. Si può dire che Gauss non voleva presentare la cattedrale finché c'erano impalcature ancora innalzate. Ecco, per lui la congettura sui numeri primi non era altro che un'impalcatura.

Quando finalmente pubblicò il suo lavoro, Gauss si impose come uno dei più grandi matematici al mondo. I matematici sono spesso oggetto di venerazione. Molti sono stati definiti geniali o eccezionali, ma Gauss è davvero uno dei più grandi in assoluto. È stato soprannominato il principe dei matematici, sia per l'importanza dei suoi studi, sia per la varietà di campi di indagine. Era anche un fisico, si interessava di elettromagnetismo, della geometria, dello spazio, ebbe molteplici interessi.

Col passare degli anni, Gauss divenne sempre più chiuso e riservato. Conduceva una vita ritirata nell'osservatorio della piccola città universitaria di Gottinga. Continuò a trovare nuovi numeri primi da aggiungere alle sue tavole, ma non riusciva a carpirne i segreti fino in fondo.

La presenza di Gauss a Gottinga trasformò questa piccola città universitaria nella capitale europea della matematica. Tra i suoi discepoli c'era anche un giovane studioso che avrebbe compiuto una nuova grande scoperta sui numeri primi, Bernard Riemann. Riemann?

era nato nel 1826 a Hannover in Germania, figlio di un pastore protestante. Era nato in una famiglia povera ed era un bambino timido. Non amava stare con la gente, era molto riservato e per questo non passava molto tempo a fare giochi da bambini e cose del genere.

Il preside della scuola notò che quel ragazzino introverso aveva un talento straordinario per la matematica. Per incoraggiarlo, diede a Riemann libero accesso alla sua biblioteca privata, dove era conservata una splendida collezione di libri di matematica. La biblioteca gli aprì le porte su un nuovo mondo da esplorare, dove Riemann si sentiva perfettamente a suo agio.

Era il mondo astratto e perfetto della matematica, dove i numeri erano suoi amici. In uno dei libri del preside, Riemann lesse per la prima volta del problema dei numeri primi. Si dice che abbia letto le 859 pagine di quel libro in soli sei giorni, per poi restituirlo con queste parole.

Questo è un libro meraviglioso, l'ho imparato a memoria. Ciò che Riemann aveva appreso da quella lettura lo avrebbe portato a risultati straordinari nel giro di pochissimi anni. Attirato dalla presenza di Gauss, nel 1846 Riemann si iscrisse all'università di Gottinga.

Questa piccola città medievale dove i fratelli Grimm scrissero molte delle loro fiabe non è cambiata molto dai tempi di Riemann. Gottinga all'epoca stava per vivere una vera e propria rivoluzione matematica. La matematica era vista tradizionalmente come la disciplina del calcolo, un'ancella delle altre scienze.

A Parigi veniva usata per costruire navi e cannoni, ma in Germania stava diventando qualcosa di diverso. I matematici stavano entrando in un abito mentale più astratto, popolato da nuove forme geometriche e numeri. Riemann si immerse nella rivoluzione matematica di Gottinga.

Il suo dottorato di ricerca introdusse una nuova teoria di geometria astratta, considerata tutt'oggi uno dei più significativi contributi alla matematica. Tuttavia, nonostante i suoi successi accademici, Riemann continuava a isolarsi dagli altri. Era un ipocondriaco che attraversava periodi di depressione e si rifugiava nel suo lavoro, nascondendosi dietro una barba nera sempre più folta. Fu questo ombroso personaggio a raccogliere il testimone di Gauss e a compiere un enorme balzo in avanti nello studio dei numeri primi. Riemann, infatti, fece una scoperta straordinaria.

Era l'anno 1859, una data che avrebbe segnato la storia della matematica. Riemann stava lavorando a una formula, la funzione z. Una funzione un po' come una calcolatrice.

Si inseriscono dei numeri e si ottiene un risultato. Riemann intuì che dalla funzione z poteva ricavare un grafico, una sorta di paesaggio matematico in tre dimensioni. La funzione agì come uno specchio magico. Dal vecchio universo dei numeri... Intravide un nuovo strano mondo.

Riemann guardò dentro allo specchio, fece un respiro profondo e varcò la soglia. All'inizio Riemann non aveva idea che la funzione Z fosse in qualche modo collegata ai numeri primi. Quasi subito però comprese l'importanza del paesaggio creato da quella formula. Poteva svelare i segreti dei numeri primi.

A est, il paesaggio appariva come una vasta pianura. Ma quando Riemann guardò verso ovest, vide una catena montuosa. Una montagna saliva vertiginosamente verso l'infinito. Il dettaglio più importante non erano le vette, ma le vallate che si aprivano tra le montagne. Fu lì che Riemann scoprì un vero tesoro.

In alcuni punti chiave, la superficie del grafico tridimensionale precipitava a quota zero, come i luoghi a livello del mare in un vero paesaggio. I matematici chiamano questi punti gli zeri. Riemann capì che questi zeri sono importantissimi.

Esiste una sorprendente relazione tra essi e la distribuzione dei numeri primi. È un fatto che ha sbalordito tutti i matematici che hanno ripreso gli studi di Riemann. Fu necessario un enorme sforzo di immaginazione per stabilire un collegamento del genere tra l'universo dei numeri e il mondo della geometria. Solo così, però, Riemann riuscì a migliorare l'approccio di Gauss ai numeri primi. Gauss aveva usato i dadi per ipotizzare quanti numeri primi si possono incontrare nell'universo dei numeri.

giunse solo a una stima approssimativa. Tuttavia, i matematici, si sa, amano la precisione assoluta. Riemann scoprì che l'esatta localizzazione di ogni zero poteva correggere l'ipotesi di Gauss. In altre parole, è come se ogni zero producesse una nota musicale che, vibrando, modifica l'ipotesi di Gauss, avvicinandola alla reale scala dei numeri primi.

Dalla combinazione di tutte le note, si origina una musica che ridefinisce l'ipotesi di Gauss e dà il numero esatto dei numeri primi man mano che contiamo. La scoperta di Riemann era straordinaria. Gli zeri, a prima vista senza alcuna relazione con i numeri primi, in realtà erano la chiave per comprendere il modo in cui essi sono distribuiti.

Una scoperta paragonabile all'intuizione di Einstein sulla materia che si trasforma in energia. In questo caso i numeri primi diventano musica. Riemann aveva scoperto la mappa del tesoro che portava ai segreti dei numeri primi.

Doveva esplorare quei punti a livello del mare, gli zeri. Riemann poi notò una cosa ancora più incredibile. Rilevando la posizione dei primi dieci zeri, vide emergere un disegno straordinariamente regolare.

Gli zeri non erano sparpagliati a caso, al contrario, sembravano disposti lungo una linea retta. Secondo Riemann, il fatto che i primi dieci zeri si trovassero su una linea non poteva essere solo una coincidenza. Ipotizzò che tutti gli zeri, in numero infinito, si trovassero disposti lungo quella linea retta.

la linea critica. La sua congettura è diventata celebre con il nome di ipotesi di Riemann. Cosa significa questa regolarità? Se Riemann ha ragione nel dire che gli zeri sono distribuiti lungo questa linea, allora l'ipotesi di Gauss è molto più accurata di quanto Gauss stesso supponeva.

La logica dei dadi di Gauss distribuiva i numeri primi nel modo più regolare possibile nell'universo dei numeri. L'ipotesi di Riemann mostra che esiste una grande regolarità osservando i numeri primi nel loro complesso. Ci dice quanto la congettura di Gauss è accurata e in un certo senso dispone i numeri primi in una configurazione ottimale.

Mostra come i numeri primi siano bilanciati nel miglior modo possibile. La scoperta di Riemann ci svela la meraviglia della musica dei numeri primi. Se tutti gli zeri sono distribuiti lungo una linea, come ha proposto Riemann, esiste un equilibrio armonico tra le note musicali corrispondenti agli zeri. Se Riemann si sbagliasse e ci fosse uno zero fuori dalla linea, sarebbe come se un altro musicista coprisse il resto dell'orchestra.

Riemann però era convinto che non ci fosse nemmeno uno zero al di fuori della linea. Pur viaggiando all'infinito, avrebbe incontrato solo gli zeri disposti sulla linea. L'ipotesi di Gauss, quindi, avrebbe sempre offerto una stima molto realistica dei numeri primi.

Riemann ha completamente trasformato il nostro modo di concepire i numeri primi. Ha messo in relazione due parti distinte della matematica, gli zeri e i numeri primi. Trovare una connessione così inaspettata e illuminante è l'esperienza più straordinaria che un matematico possa fare.

Magnifico! Fantastico! Deve essere la sensazione più bella del mondo fare una scoperta come quella di Riemann sul legame tra i numeri primi e gli zeri.

Mettere in contatto due campi della matematica apparentemente disparati e scoprire che parlano della stessa cosa. deve essere una delle imprese intellettuali più gratificanti che si possano immaginare. Per un matematico è il massimo, una grande sorpresa.

È certamente entusiasmante, perché pensi «Ehi, ho appena scoperto che queste due cose in realtà sono collegate. Chissà se questo mi aiuterà a risolvere un problema che finora è rimasto senza soluzione». È senza dubbio un'emozione unica riuscire a trovare un collegamento del genere. Anche ai più brillanti matematici può succedere una o al massimo due volte nella vita, se sono fortunati. È un momento straordinario, un'esperienza da brivido.

Riemann pubblicò la scoperta in un documento di nove pagine nel 1859. Nonostante la sua ipotesi fosse rivoluzionaria, Riemann rimase molto cauto. Parlò di probabilità sul fatto che tutti gli zeri fossero distribuiti lungo la linea. Infatti, c'era un problema di fondo.

Egli non era in grado di fornire una dimostrazione. Pur mancando la dimostrazione, la scoperta diede a Riemann molta fama. Ottenne la cattedra di matematica a Gottinga, la stessa che un tempo era stata occupata dal grande Gauss.

Da allora ebbe una vita sociale molto attiva e cominciò ad aprirsi agli altri. Spesso le menti geniali sono persone introverse e taciturne, si aprono solo con l'avanzare dell'età e questo sembra il caso di Riemann. Qualsiasi argomento toccasse lo trasformava completamente.

Era davvero un genio, ma in modo diverso da Gauss. Aveva un chedi magico. Gauss era in grado di spaziare in tutti i campi della matematica.

Ma Riemann aveva la capacità di guardare oltre. Riemann merita un posto d'onore tra i grandi matematici. Fece scoperte straordinarie sui numeri primi. Per farle aveva inventato un intero arsenale matematico.

Fu decisivo anche per la geometria. La teoria della relatività di Einstein è basata sulle scoperte che Riemann aveva fatto 50 anni prima. È tuttora molto importante.

Riemann non visse a lungo dopo la sua scoperta. Tra la Prussia e Hannover scoppiò una guerra che si abbatté su Gottinga. Preso dal panico, Riemann fuggì in Italia, terrorizzato dagli scontri a fuoco. Fu un colpo troppo duro. Morì di tubercolosi in Italia appena tre settimane dopo.

Aveva solo 39 anni. Riemann venne subito riconosciuto come uno dei più importanti matematici di ogni tempo. Forse le sue scoperte si erano spinte ancora più in là, ma non potremo mai saperlo, a causa di una domestica troppo zelante. Riemann aveva lasciato la sua stanza nel caos.

La governante per riordinare bruciò molti dei suoi manoscritti. Non sapremo mai se Riemann fosse sul punto di dimostrare la sua ipotesi. Rimase solo la sua sfida alle generazioni future. Oggi, il sogno di ogni matematico è dimostrare che lui aveva ragione sulla distribuzione degli zeri.

L'ipotesi di Riemann è il problema centrale della teoria dei numeri, ma forse di tutta la matematica. Questo problema è affascinante per varie ragioni. Innanzitutto è ancora irrisolto dopo molto tempo.

Poi è un problema che non è mai stato risolto. è un enunciato estremamente chiaro ed elegante. Inoltre perché è il problema fondamentale dei numeri primi. Ormai è diventata una sfida storica, è come mandare l'uomo su Marte.

È un problema che rappresenta un banco di prova per tutti. All'inizio del XX secolo, l'ipotesi di Riemann era già considerata uno dei più grandi misteri della matematica. La sua dimostrazione restava un obiettivo sfuggente. Poco dopo la fine della prima guerra mondiale però, ci fu una svolta. Non avvenne in Germania, ma in un altro paese dell'Europa.

All'inizio del XX secolo l'Inghilterra non sembrava offrire granché alla matematica. Le grandi università erano rimaste estranee alla rivoluzione che aveva travolto questa scienza in Europa durante il XIX secolo. Eppure il successivo tassello nel mosaico dei numeri primi avrebbe preso forma qui, a Cambridge.

L'uomo che risvegliò dal torpore la matematica inglese si chiamava G. H. Hardy. Per tutta la vita fu ossessionato dai numeri primi.

Secondo Hardy, le tavole dei numeri primi erano meglio della pagina del calcio come lettura per la colazione. Anche perché il calcio non era tra le sue maggiori passioni. Mentre lo erano i numeri primi, il cricket e anche la sua incessante battaglia intellettuale con il divino.

Voleva disperatamente confutare l'esistenza di Dio. e tanto fece da farlo diventare una presenza attiva nella sua vita. Quando andava a vedere una partita di cricket, portava con sé un kit per ingannare Dio e tenere lontano la pioggia.

Persino nelle giornate di sole arrivava con maglioni, ombrello e un fascio di carte sotto braccio. Era un suo trucco per far credere a Dio che sperava che piovesse. così da portarsi avanti con il lavoro.

In tal modo, Dio avrebbe mantenuto il sole pur di rovinare i suoi piani. Una volta, Hardy mandò una cartolina a un amico dicendo di avere dimostrato l'ipotesi di Riemann. Poi si scoprì che era un altro dei trucchi di Hardy riservati a Dio.

Aveva spedito la cartolina prima di imbarcarsi su una nave per un lungo viaggio. Dio non lo avrebbe mai lasciato annegare. altrimenti il mondo avrebbe attribuito veramente a lui la soluzione del problema.

Il principale contributo di Hardy al problema dei numeri primi arrivò all'inizio della sua carriera. Riemann aveva dedotto che poiché ci sono tanti zeri sulla linea è molto plausibile che siano tutti sulla linea. Hardy mostrò che su questa linea c'è un numero infinito di zeri.

Questa era quasi una prova di almeno una parte di ciò che Riemann aveva ipotizzato. Hardy andò a trovare il suo pupillo. L'unico argomento di discussione che venne in mente a Ramanujan fu il numero del taxi con il quale era arrivato, 1729. Un numero insignificante, disse Hardy.

No, niente affatto, rispose Ramanujan. È il più piccolo numero che può essere scritto come la somma di due cubi in due modi diversi. Ramanujan non smetteva mai di pensare ai numeri. Alla fine della prima guerra mondiale, Hardy consigliò a Ramanujan di tornare in India per restabilirsi. Alcuni mesi dopo, il matematico ricevette la triste notizia che il suo pupillo era morto.

Ramanujan aveva solo 33 anni. Quanto ad Hardy non sopportava di invecchiare. Coprì tutti gli specchi di casa pur di non vedere il proprio volto segnato dal tempo. Hardy ebbe un destino particolare.

Rimase, come dire, giovane e in salute per molto tempo, fino ai 60 anni. Poi cominciò ad avere attacchi di cuore. Da allora diventò molto depresso.

Il problema dell'ipotesi di Riemann continuò a ossessionare Hardy. Col tempo, però, il matematico perse ogni speranza di riuscire a risolverlo. Come Ramanujan, anche Hardy tentò il suicidio, ingerendo barbiturici. L'ipotesi di Riemann si stava dimostrando un avversario terribile.

Una ventina di anni dopo, nel 1954, l'ipotesi di Riemann ossessionò un altro grande pensatore, che fece una fine ancora più tragica. Si chiamava Alan Turing. Era un grande intellettuale, il padre dell'informatica.

Alcuni lo definiscono il padre dell'intelligenza artificiale. In realtà amava la matematica. E ovviamente è famoso anche per il suo lavoro nella criptografia. Turing è famoso per essere uno dei matematici che decifrarono il codice Enigma, dando un contributo notevole nella guerra ai nazisti. Pochi sanno però che l'ipotesi di Riemann fu decisiva per conseguire quel risultato.

All'inizio della seconda guerra mondiale, un gruppo di matematici venne inviato all'istituto di Bletchley Park in Gran Bretagna per decodificare i messaggi intercettati dagli alleati. L'atmosfera di Bletchley assomigliava a quella delle università frequentate da Turing e colleghi. Ogni giorno, i matematici decrittavano i messaggi in codice dei tedeschi come se fossero normali cruciverba.

In realtà, salvavano migliaia di vite. Quando non era impegnato a decifrare i messaggi nemici, Turing tornava al problema su cui stava lavorando da molti anni. L'ipotesi di Riemann, appunto. Il problema gli era stato esposto da uno dei suoi docenti a Cambridge, Hardy. L'approccio di Turing si distingueva da quello degli altri matematici per due motivi.

Primo, iniziò a prendere in considerazione l'ipotesi che la congettura di Riemann potesse essere falsa. Secondo, Decise di provare che era falsa adottando un sistema rivoluzionario. Costruì una macchina.

La macchina doveva esplorare il paesaggio matematico di Riemann alla ricerca degli zeri esterni alla linea critica. Se li avesse trovati, l'ipotesi sarebbe risultata falsa. Nella seconda metà degli anni 30, nella sua stanza di Cambridge, Turing lavorava tra rotelle e ingranaggi.

L'arrivo della guerra, però, interruppe il suo progetto. Turing era stato reclutato a Bletchley Park. Non era riuscito a completare la macchina Riemann, ma il suo lavoro tornò utile per la costruzione di un'altra macchina in grado di decifrare i codici nemici. amici. La macchina di Turing accelerò la fine della guerra e salvò un numero incalcolabile di vite.

Non mi sembra esagerato dire che il lavoro di Turing sulla macchina Riemann prima della guerra spienò la strada alla vittoria sul nazismo. Dopo la guerra, Turing continuò a usare macchine per risolvere problemi. L'esperienza a Bletchley gli aveva fatto maturare un'idea, costruire una macchina che potesse essere programmata per diverse funzioni. Assemblando tubi catodici e cilindri magnetici, Turing creò il prototipo del moderno computer. Uno dei primi compiti che Turing assegnò alla macchina fu computare gli zeri di Riemann.

Tutti quelli che riuscì a calcolare i zeri di Riemann calcolare erano disposti sulla linea critica. Aveva creato un sistema ingegnoso per individuare quegli zeri e mostrare che stavano sulla linea. La nuova macchina di Turing riuscì a localizzare i primi 1104 zeri, ognuno dei quali risultò essere sulla linea, ma poi si guastò. Non era però solo la macchina di Turing ad avere problemi, anche la sua vita cominciava ad andare in pezzi.

Bisogna tenere presente che Turing era omosessuale. Questo generò molti sospetti su di lui. Fu coinvolto in un processo giudiziario e subì una punizione umiliante proprio a causa della sua omosessualità. Questo può averlo portato al suicidio. Il corpo di Turing venne trovato nel suo letto.

L'autopsia rivelò alti livelli di cianuro nel sangue. La morte di Turing è avvolta dal mistero. Di fianco al suo letto trovarono una mela mangiata a metà. Aveva iniettato il cianuro nella mela?

Forse aveva preso spunto dal cinema. Il film preferito di Turing era Biancaneve e i sette mani. Adorava la scena in cui la strega avvelena la mela.

È una delle grandi tragedie del ventesimo secolo. Fu spinto al suicidio. Era perseguitato per il suo orientamento sessuale.

fu così che il mondo perse una delle più grandi menti dell'epoca. Turing morì. Ma la sua idea di una macchina calcolatrice continuò a vivere.

Egli aveva inaugurato una nuova era. I computer avrebbero preso il posto degli umani nell'esplorazione dei numeri primi. Nel 1952 la macchina di Turing aveva scoperto numeri primi che andavano oltre le capacità di calcolo della mente umana. Oggi il più grande numero primo individuato ha più di 7.800.000 cifre. Eccolo.

Se lo lasciassi scorrere sullo schermo dovreste aspettare 10 giorni per vederlo tutto. Non mi sembra il caso. 7.000.000 cifre. e 800.000 cifre.

Ne bastano solo 100 per esprimere il numero di atomi nell'universo. Questo dà un'idea di quanto questo numero sia gigantesco. Eppure, come intuì Euclide molti secoli fa, ci sarà sempre un numero primo ancora più grande da scoprire, anche per i computer. Come Turing aveva suggerito, i computer possono essere usati per esplorare zone del paesaggio di Riemann, altrimenti inconcepibili.

È stato calcolato che i primi 10-10.000 miliardi di zeri sono tutti sulla linea critica. Possono sembrare eccessivi tutti questi calcoli, ma in un certo senso sono la miglior prova per dimostrare l'ipotesi di Riemann. Oggi!

La maggior parte degli studiosi è convinta dell'esattezza dell'ipotesi di Riemann. Vent'anni fa però non era così. C'erano matematici che la mettevano in dubbio. Ritengo che le prove accumulate con i recenti calcoli abbiano convinto quasi tutti.

L'ipotesi di Riemann è vera. Immaginiamo che la linea degli zeri parta da Gottinga. Riemann ci ha portato al di sopra della città.

Turing ci ha spinto molto più lontano, fino alla Luna. E il computer ci ha permesso di scrutare a 100 anni luce dalla Terra. Come un'astronave che avanza nel cosmo, il computer ci sta mandando messaggi da zone remote dell'universo matematico.

Anche laggiù, tutti gli zeri rispettano l'ipotesi di Riemann. Verificare che sulla linea ci sono sempre più zeri va bene. Ma questo comunque non dimostra l'ipotesi di Riemann. Il computer non aiuta a comprendere l'infinito.

Nessuno può sapere cosa accade in zone ancora più remote dell'universo matematico. Laggiù potrebbe esistere uno zero anomalo, esterno alla linea. Non possiamo contare un numero infinito di cose. Questo è il problema.

L'ipotesi di Riemann viene confermata dal computer fino ad un certo punto. Fino a lì, gli zeri sono tutti sulla linea critica. Noi però stiamo parlando di un numero infinito di zeri. Quando il computer si ferma, significa che non abbiamo determinato un numero infinito di soluzioni. Con l'avanzare del XX secolo, i matematici sentivano di essere arrivati a un punto morto.

Poi, negli anni 70, L'enigma dei numeri primi venne affrontato in maniera del tutto inaspettata. Negli Stati Uniti, l'Institute for Advanced Study di Princeton accoglie alcune fra le più grandi menti matematiche e scientifiche del mondo. Durante l'ascesa del nazismo, la scuola matematica tedesca venne spazzata via.

Molti eminenti scienziati ebrei fuggirono, trovando asilo in America, tra essi anche Albert Einstein. A partire dalla seconda guerra mondiale, Princeton si è affermata come il più prestigioso istituto di matematica del mondo. Nel 1972 Hugh Montgomery, un giovane matematico americano, attirò l'attenzione dei colleghi per le sue ricerche sull'ipotesi di Riemann.

A differenza dei suoi predecessori, Montgomery osservava non dove, ma come erano disposti gli zeri lungo la linea critica. Fece una scoperta sorprendente. La distribuzione che ho riscontrato presenta un numero relativamente basso di coppie vicine, come se gli zeri... si respingessero.

Immaginiamo delle piccole molle che legano gli zeri l'uno all'altro. Queste molle si comprimono e si allungano. Sollecitando il sistema, gli zeri si muovono avanti e indietro. Se immagini di scattare una foto e fissare un'istantanea, alcuni appariranno fuori posto rispetto al loro stato di riposo, anche se tendono comunque a stare distanziati. Si notò che gli zeri non amano stare troppo vicini.

Se li rappresenti consecutivamente in linea, avranno un distanziamento armonico, mentre presi a caso, appaiono a blocchi con grossi spazi tra uno e l'altro. Era interessante. Pensai che nella distribuzione degli zeri ci fosse qualche messaggio, ma la prima volta che la osservai, nell'autunno del 71, non capivo quale fosse.

Ogni giorno... Docenti e ricercatori di tutti i dipartimenti si riuniscono per un importante rito, il tè pomeridiano. Fu durante uno di quei ritrovi che Montgomery conobbe il celebre fisico Freeman Dyson. Quel giorno c'era anche un matematico che si vedeva spesso da quelle parti, Chawla.

Stavo parlando con lui e Dyson era dall'altra parte della sala. Ad un certo punto Chawla mi chiese se conoscesse già Dyson. Io risposi di no e lui disse che me lo avrebbe presentato subito. Io non volevo, temevo di disturbare, ma Chawla continuava a insistere, era ostinato. Così mi costrinse in pratica a fare la conoscenza di Dyson.

Lui mi domandò a cosa stessi lavorando, glielo accennai. Dyson riconobbe subito nella distribuzione degli zeri la teoria delle matrici casuali studiata in fisica. La teoria delle matrici casuali era stata studiata dai fisici per ottenere un modello statistico per i livelli energetici delle particelle eccitate.

Se studi una o due particelle o comunque un numero limitato, non è difficile predire come interagiscono. Ma quando hai migliaia di particelle e vuoi vedere come viene emesso il livello energetico da queste particelle, allora devi fare degli esperimenti e catalogare i livelli energetici cercando di vedere che tipo di grafico viene fuori dalle statistiche che riesci a ricavare. Cosa significa questo cocktail di termini scientifici? È la matematica usata per studiare e costruire un modello dei livelli energetici del nucleo di un atomo pesante, ad esempio quello dell'uranio.

I livelli energetici nel nucleo di un atomo sono simili alle note di uno strumento musicale. Suonando la tromba con sempre maggiore energia, le note salgono per gradi. Per esempio...

Per l'atomo accade qualcosa di simile. Man mano che viene eccitato, le vibrazioni all'interno del nucleo salgono per gradi, come le note nella tromba. I fisici hanno scoperto che i livelli energetici del nucleo di atomi come quello di uranio tendono a intervallarsi in modo uniforme, come gli zeri sulla linea di Riemann. I livelli energetici appaiono in modo quasi regolare. puoi quasi prevederli, ma con un certo margine di casualità.

Per esempio, è raro trovarne due molto vicini o due molto lontani. Esiste una frequenza con la quale appaiono che è prevedibile statisticamente. È un tipo di statistica particolare. Fornisce previsioni che vengono rispettate dai nuclei. La scoperta di Montgomery, riconosciuta da Dyson, era che gli zeri di Riemann rispettavano questa statistica.

Montgomery e Dyson scoprirono che il comportamento degli atomi, i mattoni di cui è fatta la materia, sembrava corrispondere a quello dei numeri primi, i mattoni della matematica. Una connessione del tutto inaspettata, che inaugurò un nuovo approccio all'ipotesi di Riemann. La scoperta della connessione tra atomi e numeri primi fatta da Riemann da Montgomery e Dyson è stata incredibile ed emozionante.

Ha portato i fisici a studiare l'ipotesi di Riemann e ha dato il via a nuove entusiasmanti ricerche sia in fisica che in matematica che altrimenti non sarebbero mai iniziate. L'obiettivo è unificare sempre di più i vari aspetti del mondo creando delle connessioni tra i campi del sapere. È meraviglioso per uno scienziato scoprire che discipline diverse in realtà sono collegate tra loro.

La vera domanda da porsi non è tanto sull'ipotesi di Riemann, ma su un'altra questione. Per quale ragione il comportamento degli atomi della matematica ha a che fare con il comportamento degli atomi della fisica? Questo è veramente un mistero. Se riuscissimo a comprenderlo, dimostreremmo l'ipotesi di Riemann.

Forse i fisici nucleari potrebbero arrivare a chiarire il comportamento dei numeri primi. Dopotutto, uno zero fuori dalla linea equivale a un livello energetico immaginario, cosa non ammessa dalle leggi della fisica. Tuttavia questa svolta non ha ancora portato a una dimostrazione dell'ipotesi di Riemann.

È possibile che questa connessione con la fisica aiuti a dimostrare l'ipotesi di Riemann? Non lo sappiamo, perché non abbiamo idea di cosa serve per dimostrarla. Potrebbe accadere che domani qualcuno utilizzi questo approccio e risolva il problema, o al contrario si trovi in un vicolo cieco. Potremmo scoprire che era solo una coincidenza, da cui non si può ricavare nulla. Nonostante queste grandi scoperte, i matematici non sono ancora riusciti a trovare la prova che dimostri l'ipotesi di Riemann.

I numeri primi conservano il loro mistero. Fino a pochi anni fa erano solo i matematici a interessarsi di questi numeri enigmatici. Oggi invece i numeri primi hanno acquisito un ruolo centrale nel mondo telematico. Ogni volta che operiamo una transazione online, vengono usati i numeri primi per criptare i dati della nostra carta di credito. La sicurezza del sistema si basa sulla difficoltà di decriptare il numero della carta attraverso i numeri primi che lo compongono.

Vediamo come funziona il sistema con l'aiuto di due colori. Immaginate che a ogni colore corrisponda un numero primo. Mischiare i due colori è un po' come moltiplicare i due numeri primi.

Nel primo caso ottengo un colore del tutto nuovo, nel secondo un numero diverso. Questo nuovo numero serve a cifrare la carta di credito. C'è solo un modo per decodificarlo, conoscere i due numeri primi originali.

Separare i due colori mischiati è estremamente difficile, come calcolare i due numeri primi che hanno originato il numero cifrato. Senza i due fattori originari, è quasi impossibile decifrare il numero di carta di credito. È un sistema sicuro proprio perché non conosciamo ancora abbastanza bene i numeri primi. Una dimostrazione dell'ipotesi di Riemann forse potrebbe aiutarci a scomporre anche le cifre più grandi e risalire ai numeri primi di cui sono composte. Una scoperta del genere farebbe crollare il sistema finanziario online.

Sono state investite grandissime risorse nella ricerca per la sicurezza informatica. Da un lato si cerca di sviluppare metodi che rendano i sistemi telematici sempre più sicuri e dall'altro si lavora per decifrare i codici elaborati dagli altri. Esiste un aneddoto su un matematico britannico che viveva negli Stati Uniti, Oliver Atkin.

Si dice che lavorasse sia per la marina che per l'aviazione degli Stati Uniti, che cercavano di spiarsi a vicenda. Non sorprende dunque che un uomo d'affari abbia offerto un premio di un milione di dollari a chi dimostrerà l'ipotesi di Riemann. Ma non è il denaro il premio più allettante. Molti matematici venderebbero l'anima pur di trovare la soluzione del problema, perché sarebbe la più grande scoperta matematica di tutti i tempi. L'ipotesi di Riemann è una di quelle tipologie di matematica che non è mai stata scoperta.

Le teorie che, una volta formulate, sembrano abbracciare tutta la matematica. Oggi esistono interi manuali che si basano sull'ipotesi di Riemann. Una buona parte della matematica si fonda sull'assunto che l'ipotesi di Riemann sia vera. Se dovesse rivelarsi falsa, allora dovremmo modificare molte parti che non sarebbero più corrette.

Non sappiamo quali segreti potrebbe svelarci la dimostrazione dell'ipotesi. Potrebbe portare a qualcosa di rivoluzionario, in grado di trasformare la matematica stessa. Ma ci stiamo almeno avvicinando a una dimostrazione dell'ipotesi di Riemann?

Stiamo facendo progressi nel comprendere il comportamento dei numeri primi? Troveremo prima o poi una soluzione all'enigma? Sì.

Altrimenti è meglio lasciar perdere. Che senso avrebbe impegnarsi a dimostrare qualcosa se non credi con tutte le tue forze che quella cosa sia vera? Se venisse scoperto uno zero fuori dalla linea, credo che smetterei di occuparmi di matematica. Vorrei conoscere qualcuno che dubita dell'ipotesi di Riemann.

Non conosco nessuno che la pensi così. Non sono assolutamente sicuro che sia corretta. Esiste una piccola probabilità che possa essere falsa. Sono scettico sulla possibilità che l'ipotesi di Riemann venga dimostrata.

Se matematici come Riemann, Hardy e tutti gli altri ci hanno provato e non ci sono riusciti, allora vuol dire che forse è indimostrabile. Io credo che sarà dimostrata. Ci sono importanti argomenti di fisica a suo favore, però sarebbe interessante se fosse falsa. Vorrebbe dire che quegli argomenti sono fuorvianti, come se Dio si fosse divertito a ingannarci con delle coincidenze per farci poi scoprire degli zeri fuori dalla linea. È un problema di un'importanza indiscutibile.

Perciò un giorno qualcuno riuscirà a trovare il metodo giusto. Forse attraverso la geometria, o forse attraverso la fisica. Alla fine qualcuno riuscirà a dimostrarla.

Questa è la dimensione misteriosa ed emozionante della matematica. Nessuno sa dove si trovi la soluzione dei problemi, quanto sia nascosta in profondità. Penso che la dimostrazione, con tutti i recenti progressi della matematica, potrebbe essere vicina. Potrebbe arrivare in qualsiasi momento.

da qui ai prossimi 300 anni. Secondo me arriverà nei prossimi 50. Forse vivrò abbastanza per vedere la dimostrazione dell'ipotesi di Riemann. Dopo oltre 2000 anni, l'enigma dei numeri primi non è ancora stato risolto. Nonostante le connessioni con la fisica, la criptografia e i computer, ai matematici manca il lampo di genio per giungere alla soluzione. Nessuno sa quando e da dove arriverà, ma una cosa è certa.

Chiunque riuscirà a dimostrare l'ipotesi di Riemann verrà ricordato come il matematico capace di svelare la musica dei numeri primi.

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