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Permutaciones y Combinaciones con el Teorema del Binomio

सो बेसिकली वट यू ट्रा टू से इज आर बेसिकली नॉ जस्ट रैंडम नंबर्स ये कोट है पोमल के एक मिनट युली आप देखोगे ना तो रामानुजन की एंट्री होने वाली है ठीक है ये उन्ही का शब्द है क्या बोलते है इसको [संगीत] पार्टीशन हेलो पीपल सो हम लोग आ चुके हैं वन मोस्ट इंटरेस्टिंग चैप्टर प ठीक है जिसका नाम है परम एंड कॉमिनेशन ए उसी के साथ बामल थरम ठीक है तो बहुत ही अलग टाइप का चैप्टर है ठीक है सीधे शुरू करते सीध शुरू करते आपको ुद समझ में आ जाएगा ठीक है तो बात हो रही है व अराउंड दोज साल पहले की ठीक है और हमारी इस टाइम जो कहानी है ठीक है उसम दो लोगों की बात करेंगे एक का नाम है भास्करा ठीक है भास्करा ठीक है और उनकी बेटी उनकी बेटी लीलावती ठीक है ना ये पहली बार होगा कि आप एक फीमेल मैथमेटिशियन को देखोगे वरना बहुत ही बहुत ही रेयर होगा कि कोई फीमेल मैथमेटिका सदम में आ गया था जब मुझे पता चला था कि भास्करा की बेटी लीलावती ठीक है मतलब छोटी है वो काफी यार और एक और बात कि इंडिया में एक फीमेल मैथमेटिशियन देखना ये बहुत ही बड़ी बात होती है और वो भी इतनी स्मार्ट ठीक है मतलब आपको खुद पता चल जाएगा तो बात कुछ ऐसी है कि दोनों बाप बेटी है ना भास्करा और लीलावती ये दोनों लोग ऐसे ही बाजार में निकलते हैं घूमने के लिए ठीक है और एक कैलेंडर वाले की दुकान पे पहुंचते हैं कहां पे कैलेंडर वाले की दुकान पे ठीक है अब देखो ओबवियस सी बात है उस टाइम पे जो कैलेंडर होते थे दैट वाज हिंदू कैलेंडर जो उस टाइम पे फॉलो होता था बट तुम लोगों को समझाने के लिए हम थोड़ा सा चेंज कर देंगे कहानी में ठीक है और हम बोलेंगे कि जो आज का कैलेंडर चलता है उस टाइप से तो वो कैलेंडर की दुकान पे पहुंचे अब जब वो कैलेंडर की दुकान पे पहुंचे तो वो जो बंदा था वो कैलेंडर बना रहा था और कैलेंडर बनता कैसे है भाई कैलेंडर जो होता है हमारा उसमें क्या-क्या होता है उसमें भाई अगर देखोगे तो मंथ्स होते हैं है ना मंथ्स लिखा हुआ होता है कि भाई जनवरी फरवरी मार्च अप्रैल एंड सो ऑन राइट फिर सारे दिन होते हैं कि जनवरी में फर्स्ट सेकंड थर्ड फोर्थ और फिर उसके ऊपर भी क्या लिखा हुआ होता है डे लिखा हुआ होता है कि मंडे ट्यूजडे वेडनेसडे है ना तो इस टाइप से कैलेंडर होता है आपका तो वो जो कैलेंडर वाला था वो कैलेंडर बना रहा था उस टाइम पे ठीक है ना तो जो लीलावती थी ना छोटी सी हमारी लीलावती उसने बोला कि पापा ये कैलेंडर ब मतलब कैसे बनाया बनाया जा रहा है तो जैसे मैंने तुम्हे अभी समझाया वैसे ही उन्होने उनको समझा दिया होगा कि भाई इसमें इतने सारे कंपोनेंट्स होते हैं और इसका भी ध्यान रखना पड़ता है कि भाई जनवरी में 31 डेज होते हैं फरवरी में कभी तो 28 डेज होते हैं है ना और कभी 29 डेज होते हैं राइट फिर कभी मार्च में फिर 31 डेज हो जाते हैं फिर अप्रैल में 30 डेज हो जाते हैं एंड सो ऑन राइट फिर आपको इसका भी ध्यान रखना पड़ता है कि भाई कौन से दिन मंडे होगा फिर ट्यूसडे होगा फिर वेडनेसडे होगा ठीक है तो फिर एक बहुत ही इंटरेस्टिंग क्वेश्चन है जो लीलावती ने सोचा उने ये था कि ऐसे टोटल कितने कैलेंडर होते होंगे ऐसे टोटल कितने कैलेंडर होते हैं लाइक अगर अगर हम चलो अभी अभी की बात कर लेते हैं कि भाई 2023 चल रहा है 2023 चल रहा है ठीक है तो 2023 का जो कैलेंडर होगा और फिर 2024 जो अभी शुरू होने वाला है पाच दिन में आज ट आज 255th दिसंबर है जब मैं ये शूट कर रहा हूं और ये वीडियो आपको कल मिलेगी यानी कि 26 दिसंबर को राइट तो अराउंड पाच दिन बचेंगे राइट तो पाच दिन बाद ही 2024 शुरू हो जाएगा तो उसका एक अपना अलग कैलेंडर होगा सब लोग नया कैलेंडर खरीदने जाएंगे है ना फिर 2023 का अलग कैलेंडर होगा 2025 का अलग होगा और ऐसे करते करते मान लेते हैं जो साल रहा होगा मान लो 70000 826 कि जब भी साल अगर हो भी पाया वरना तो हम इंसान अपनी सड़ी हुई हरकतों की वजह से अर्थ को ही तबाह कर देंगे ठीक है तो वैसे मेरा एक बड़ा इंटरेस्टिंग पॉइंट है कि तुम्हारी इतनी औकात है नहीं कि तुम इस पूरी इस पूरे नेचर को खत्म कर सको ठीक है हम ये बोल सकते हैं कि हम अपना सर्वनाश कर लेंगे क्योंकि नेचर को हम कैसे खत्म कर सकते हैं भाई नेचर सिर्फ अर्थ थोड़ना है नेचर तो पूरा पूरा यूनिवर्स है जिसमें एक ब्लैक होल है जिसमें पता नहीं क्या-क्या है ठीक है तो अर्थ थोड़ना कोई नेचर है नेचर तो पूरा ब्रह्मांड है राइट हम तो छोटे से हैं तो हम एक्चुअली में अपना ही हम अपनी ही स्पीशीज को खत्म कर बैठेंगे बस खैर तो 7826 मानो य ईयर होगा तो इसका क्या कैलेंडर होगा तो लीलावती के दिमाग में क्वेन आया कि अगर जितने भी कैलेंडर हो सकते हैं जितने भी वो कितने होते होंगे मतलब एकदम सुनने में लगता है अगर मानो मुझे निकालना हो कि जो साल रहा होगा मान लेते हैं 235 ठीक है कोई साल तो रहा होगा 235 एडी कोई भी इस टाप का साल रहा होगा तो इस साल का कैलेंडर क्या होगा ठीक है तो क्या हर साल का अलग अलग कैलेंडर होता है क्योंकि सुनने में य लगता है फर एपल अगर मैं बोलता फ जनवरी 1स्ट जनवरी लेट अस से 2001 इस दिन क्या रहा होगा इस दिन क्या होगा मतलब इस दिन मंडे था ट्यूजडे था हमें नहीं पता क्या था ठीक है मान लेते हैं ट्यूसडे था मान लेते हैं ट्यूसडे था ठीक है ठीक है लेकिन 1 जनवरी 2003 उस दिन हो सकता है मंडे हो राइट या संडे हो हमें नहीं पता क्या था राइट तो ऐसा नहीं लगता कि कैलेंडर तो बिल्कुल ही अलग बनता होगा है ना हर साल का हर साल का कैलेंडर अलग बनता होगा तो एक दिमाग में क्वेश्चन आया लीलावती के और फिर उन्होंने अपने पापा से बोला और पापा उसके मैथमेटिशियन थे है ना भास्कर बहुत बड़े मैथमेटिशियन बहुत बड़े मैथमेटिशियन ठीक है तो अब वो लोग बैठ के सोच रहे हैं ठीक है ऐसे ही पीपल के पेड़ के नीचे बैठ के उस सोने कैलेंडर तो खरीद लेंगे वो तो खरीद लिया बट आप बैठ के सोच रहे हैं कि भाई टोटल कितने कैलेंडर जो है हो सकते होंगे तो फिर बहुत सोचने समझने के बाद अगर आप सोचोगे तो आपको दिखेगा कि भाई एक कैलेंडर में होता क्या है एक कैलेंडर में स्पेशलिटी क्या होती है एक तो सारे मंथ्स होंगे उसमें राइट कि भाई जनवरी फरवरी मार्च अप्रैल म जून जुलाई ऐसे करते करते दिसंबर तक ठीक अब कोई कैलेंडर में क्या डिफरेंस हो सकता है ये तो बिल्कुल सेम ही लिखा रहेगा ना हर कैलेंडर में कि जनवरी फरवरी मार्च अप्रैल ये तो सेम लिखा हुआ होगा बस एक डिफरेंस होगा इसके नीचे कितने दिन होंगे टूथ 4 ऐसे करते करते 31 डेज होंगे बट फरवरी में किसी कैलेंडर में 28 डेज होंगे और किसी कैलेंडर में 29 डेज होंगे राइट बाकी सब सेम रहेगा मार्च में 31 डेज होंगे अप्रैल में 30 डेज होंगे ये तो सेम रहने वाला है ठीक है तो फिर कहने का मतलब क्या है कि टोटल दो कैलेंडर हो गए दो कैलेंडर हो गए ना दो कैलेंडर कौन से हो गए एक जिसमें फरवरी में 28 डेज है और एक जिसमें फरवरी में 29 डेज है राइट तो दो टाइप के कैलेंडर बन गए लेकिन लेकिन हमें सिर्फ यही थो ना बताना था कि 1 2 3 4 होता है हमें ये भी तो बताना है कि डे क्या होगा डे यानी अगर मैं बोलता हूं कि तुम कैलेंडर बना रहे हो मान लेते हैं 496 है ना इस साल का तुम कैलेंडर बना रहे हो ठीक है तो 1स्ट जनवरी ठीक है टू 4096 ये जो भी साल ये जो भी डेट होगी कैलेंडर में सिर्फ यही नहीं लिखा हुआ होता है ना कैलेंडर में और भी चीजें लिखी होती हैं ऐसे करते करते यहां पे लिखा हुआ होगा 31 जनवरी अ 4096 वो सब तो ठीक है बट यहां पे ये भी तो लिखा हुआ होगा ना कि इस दिन क्या होगा इस दिन संडे होगा ट्यूजडे होगा क्या होगा राइट ठीक है अच्छा इसके बाद क्या होगा इसके बाद लिखा हुआ होगा फर्स्ट फरवरी 1 फरवरी 496 और ऐसे करते-करते लेट अस से 28th फरवरी 200 सॉरी 4096 और फिर यहां से मार्च शुरू हो जाएगी लेकिन एक और कैलेंडर हो सकता है अगर 4096 को लीप ईयर होता होगा क्या होता होगा लीप ईयर तो फिर 29th फेबरी तक जाएगा है ना और अगर लीप ईयर नहीं होता होगा तो 28 तक जाएगा ठीक लेकिन फिर भी लाइक हाउ टू फाइंड आउट तो बहुत ही इंटरेस्टिंग सलूशन पर निकल के आई लीलावती उन्होने क्या बोला उन्होंने बोला कि देखो कुछ भी हो जाए कुछ भी हो जाए जो भी पहला दिन होगा किसी भी साल का जो भी पहला दिन होगा किसी भी साल का ठीक है लेटस फॉर एग्जांपल 1 जनवरी 496 उस दिन कोई ना कोई तो डेट डेट होगी ना कोई ना कोई तो डे होगा ना या तो मंडे होगा या ट्यूसडे होगा या वेडनेसडे होगा या थर्सडे होगा या फ्राइडे या सैटरडे या संडे यानी कि टोटल सेवन ऑप्शन ही है इन सातों में से ही कोई एक होगा तो अगर पापा मैंने ये चीज फिक्स कर दी अगर पापा मैंने ये बात फिक्स कर दी कि पहला दिन लेट अस से वेडनेसडे है ठीक है मान लेते हैं आप निकाल रहे हो फर्स्ट जनवरी अ 2024 का मान लो हम कैलेंडर निकाल रहे हैं मान लेते हैं ठीक है ठीक है तो मान लेते हैं पहला दिन जो होगा वो वेडनेसडे होगा और मुझे ये बात पता है कि 2024 जो होगा वो लीप ईयर है वो लीप ईयर है मान लेते हैं हमें पता है ये चीज तो फिर पूरा कैलेंडर हो तो गया अरे आ तो गया पूरा कैलेंडर भाई अगर मुझे समझ में आ गया कि वेडनेसडे है तो अब तो आगे की गाड़ी अपने आप ही चल पड़ेगी क्योंकि सेकंड जनवरी थर्सडे होगा थर्ड जनवरी फ्राइडे फिर सैटरडे संडे मंडे ट्यूसडे वेडनेसडे ये तो पूरा साल भर के लिए चल गया अब तो एक सेवन की साइकिल चलती रहेगी चलती रहेगी चलती रहेगी वो तो बस प्रिंट होता जाएगा ठीक है मेन जो वेरिएशन है वो क्या हो सकता है वो तो यही हो सकता है ना कि पहला दिन क्या है कि पहला दिन क्या है वेडनेसडे है मंडे है ट्यूसडे है क्या है और कि उस दिन लीप ईयर उस साल लीप ईयर होगा या नहीं होगा क्योंकि फरवरी में जाकर के कहानी फिर से चेंज हो सकती है कि 28 डेज होंगे या 29 डेज होंगे जैसे ही तुमने फिक्स कर दिया कि भाई 28 डेज होंगे तो 20 डेज के हिसाब से एक पूरा का पूरा फिक्स हो गया और 29 डेज के हिसाब से पूरा का पूरा फिक्स हो गया राइट तो कहने का मतलब क्या है कि अगर उसने कैसे उन्होंने इस तरीके इस चीज को कैसे ब्रेक डाउन किया उन्होंने बोला देखो अगर एक कोई भी मैं साल उठा लेता हू रैंडम कोई मैंने एक साल उठा लिया तो उसका जो पहला दिन होगा जो फर्स्ट डे होगा यानी कि फर्स्ट जनवरी और वो जो भी साल है ठीक है वो क्या होगा उसके पास टोटल सेवन ऑप्शन हो सकते हैं मंडे ट्यूसडे और ऐसे करते करते सेवन ऑप्शंस हो सकते हैं एंड वो जो पूरा साल है वो जो पूरा साल है उसमें फर्द दो ऑप्शंस है क्या कि लीप ईयर होगा या लीप ईयर नहीं होगा अगर लीप ईयर हुआ तो 366 डेज हो गए है ना और नहीं हुआ तो 360 5 डेज हो गए राइट तो फिर कितने टाइप के कैलेंडर हुए कितने टाइप के कैलेंडर हुए अगर मुझ कोई मुझसे पूछता है कि सर बताओ 3789 ठीक है ये जो साल आएगा इस साल का कैलेंडर क्या होगा इस साल का कैलेंडर क्या होगा तो मुझे बस ये पूछना है तो मेरे पास सारे कैलेंडर बन रखे हुए हैं मेरे पास सारे कैलेंडर बन के रखे हुए हैं अब तू मुझे ये बता जो तेरा 3789 है इस इसका पहला दिन क्या है तो वो बोलेगा सर पहला दिन है इसका थर्सडे ठीक है थर्सडे होगा फर्स्ट जनवरी 3789 को थर्सडे होगा मैंने कहा ठीक है अब मुझे ये बता कि लीप ईयर है या नहीं है तो उसने बोला लीप ईयर है इस साल लीप ईयर है तो बस खत्म हो गई बात मैंने क्या करा मेरा जो पंडाला रखा हुआ था उस पंडाल में से मैंने एक कैलेंडर उठाया जिसका पहला दिन थर्सडे से शुरू होता है और थर्सडे से शुरू होता है और वो लीप ईयर वाला ले बेटा ये है अगर वो बोलता थर्सडे तो है बट लीप ईयर नहीं है तो मैं एक और उठाता उसकी भी शुरुआत थर्सडे से ही हो रही है लेकिन लीप ईयर वाला नहीं है वो राइट तो मैं उसको वो दे देता यानी कि हर एक डे के लिए मेरे पास दो कैलेंडर है अगर थर्सडे वाला है तो उसमें लीप ईयर है या लीप ईयर नहीं है ऐसे ही अगर मान बोलता है मंडे वाला तो मंडे के भी मैंने दो बना लिए तो ऐसे अगर मैं कर लूं तो सेवन है टोटल टोटल सेवन डेज है और सेवन के दो होंगे तो टोटल 14 कैलेंडर आंसर आएगा मतलब क्या मतलब क्या कि 14 ऐसे टोटल कैलेंडर होंगे जो कि हो सकते हैं मतलब अगर मैं ये दुनिया जब से बनी है ठीक है तब से अगर एक एक साल को निकालू और उसका कैलेंडर निकालना चाहता हूं मैं मान लेते हैं हम थोड़ा पहले चले जाते हैं मान लेते हैं हम चले जाते हैं 2500 बीसी 2 बीसी यानी कि आज से अराउंड अराउंड 45 5 हज साल पहले तो उस साल जो भी वो साल रहा होगा अगर बस मुझे कोई ये बता दे उस साल का पहला दिन क्या था पहला दिन क्या था एंड वो साल डीप ईयर था या नहीं था तो इसके बेसिस पे मैं उसको कैलेंडर लाके दे सकता हूं बेटा ये होगा कैलेंडर दुनिया में अभी तक सिर्फ और सिर्फ टोटल 14 कैलेंडर ही हो सकते हैं इसके अलावा और कोई कैलेंडर नहीं हो सकता जो प्रॉब्लम तुम्हें इनिशियली सुनने में लग रही थी कि इंफाइटिंग शायद है ना ऐसा लग रहा है ना सुनने में कि भाई अनत कैलेंडर होते होंगे हर साल का अलग बनता होगा क्योंकि इतने तो वेरिएशन होते हैं कि भाई कभ कभी मंडे हो जाता है है ना जैसे मान लो तुम्हारी बर्थडे है तुम्हारी बर्थडे है तुम्हारी बर्थडे कभी संडे को पड़ती है कभी ट्यूसडे को पड़ती है कभी मंडे को पड़ती है तो ऐसी तो लगता है ना कि यार अनत कैलेंडर होते होंगे बट नहीं सिर्फ 14 कैलेंडर हो सकते हैं यानी कि तुम्हारी जो बर्थडे है वो भी एक साइकल के रूप में घूम रही है ठीक है कहने का मतलब कि सिर्फ 14 कैलेंडर हो सकते हैं जो कि तुम्हें लग रहा था कि पता नहीं रैंडम होता होगा ये तो बहुत सारे होते होंगे इसको कोई आप सिस्ट सिस्टमैटिक थोड़ना कर सकते हो इसको आप यू कैन नॉट मैथमेटाइजेशन ही बन सकते हैं सिर्फ 14 ठीक है क्योंकि सेवन डेज होते हैं क्योंकि सेवन डेज होते हैं एंड दो टाइप के साल होते हैं इसके अलावा पूरे कैलेंडर में कोई वेरिएशन नहीं होता है बताओ कोई कोई और वेरिएशन अगर तुम्हारे में आ रहा हो ठीक है तो दे वर क्वाइट अमेज्ड बाय दिस स्टोरी लाइक मतलब इन द सेंस कि बाय दिस डिस्कवरी कि सिर्फ 14 टाइप के कैलेंडर ही हो सकते हैं तो सबसे पहले तो उन्होंने उस कैलेंडर वाले को बता दिया कि भाई ऐसा है तू सिर्फ 14 कैलेंडर बना के रख ले ठीक है और जब जब साल आएंगे तो जो भी उस टाइम प पढ़े उसके हिसाब से कैलेंडर का नाम बदल दियो है ना तो तू को 14 एक बेस वेरिएंट बना के रख ले अपने पास और उसके हिसाब से चेंज करते रहना ठीक है अब बड़ा मजा आया उनको ये डिस्कवर करके कि सिर्फ 14 कैलेंडर ही हो सकते हैं तो भास्कर और लीलावती जो हैं भास्कर ने कि मैं अपने दोस्त को बता के आता हूं राइट ये क्या गजब की स्टोरी है तो उनके जो दोस्त थे उनका नाम क्या था उनका नाम था पिंगला आचार्य ठीक है पिंगला पिंगला ठीक है ये कहानी मैंने थोड़ी क्रॉस ओवर में बना दी एक्चुअली ठीक है भास्करा जो थे वो एक्चुअली अराउंड 1100 एडी के आसपास थे और पिंगला अगर आप देखोगे दैट इज अराउंड 00 बीसी ठीक है बट ये मैंने ऐसी क्रॉस ओवर बना दिया ठीक है क्योंकि दिस पीपल वर इवॉल्वड इन दिस डिस्कवरी ठीक है तो पिंगला जो थे उनसे वो मिलते हैं अब पिंगला जो थे वो आ रहे हैं आपके कर्नाटका से राइट तो पिंगला जो थे वो भास्करा से मिलने आ रहे थे ठीक है अब भास्करा जी हमारे रहते हैं अपने नॉर्थ इंडिया के कहीं पे किसी गांव में रहते थे सॉरी नॉर्थ इंडिया में नहीं आपके ये रहते उज्जैन में ठीक है ना उज्जैन में रहते थे ठीक है तो अब भा जो पिंगला जी है वो उज्जैन मिलने आ रहे हैं भास्करा जी से ठीक है तो इन दोनों की मीटिंग होती है ठीक है भास्करा उनके साइड में उनकी बेटी लीलावती और वो दोनों मिल रहे हैं अपने आराम से पिंगला से डाके तो पिंगला बोलते हैं अरे यार बड़ा दिमाग खराब हो गया हां मतलब मैं कर्नाटक से चला पहले तो ठीक है वहां से मैंने तांगा पकड़ा ठीक है अब वहां प दो चार ऑप्शन और भी थे ना कि तांगे से नहीं जाते मे बी उससे चले जाते क्या कहते हैं उसको अपना एक तो वो चल रही थी ठीक है देखो थोड़ी क्रॉस ओवर में गाड़ी चल रही है ठीक है तो इतना भी ऐसा नहीं बोल प्लेन चल रहा था ट्रेन चल रही थी ठीक है तो उनके पास तीन चार ऑप्शन थे जिससे वो आ सकते थे लेकिन उन्होने बोला कि हमें तांगा ही मिला तो हम तांगे से ही आ गए ठीक है तो कर्नाटका से मैं उतरा आपका बंबई बंबई की तरफ उतरा और वहां से मैं सीधे उज्जैन आया हूं ठीक है तो फिर लीलावती जो थी उसके फिर से दिमाग की हिल गई उन्होने बोला कि एक मिनट ये जो अंकल है हमारे पिंगल अंकल ये पिंगल अंकल जो है ये हमारे कर्नाटका से चले कहां से कर्नाटका से ठीक है और पहुंचे कहां पे उज्जैन ठीक है और बीच में कहां रु गए थे मुंबई में राइट तो उन्होंने कहा कि कर्नाटका से मुंबई जाने के चार तरीके थे ठीक है या तो वो तांगे से आ सकते थे ठीक है या फिर वो बैलगाड़ी से आ सकते थे मे बी या फिर वो किसी रथ पे आ सकते थे हम अपना एग्जांपल ले ले तो तुम ट्रेन से आ सकते हो तुम फ्लाइट से आ सकते हो है ना या फिर तुम किसी और चीज से आ सकते हो तीन तरीके से आ सकते थे और मुंबई से उज्जैन आने के लिए उन्होंने बोला कि टोटल चार तरीके थे ठीक है चार तरीके थे ठीक है तो वो इनमें से कोई एक तरीका फॉलो करके आए मान लेते हैं वो तांगे से तो आए यहां पे है ना उन्होंने पहले तांगे से आए कर्नाटका से मुंबई तो वो तांगे से आए होंगे कितना टाइम लगा होगा विचारों को आने में बट उसने में टाइम भी बहुत लगता था आने में ठीक है ट्रेवलिंग बहुत ज्यादा आपकी टाइम लेती थी ठीक है तो मुंबई से उज्जैन आने में मान लो उन्होंने किसी और चीज का उन्होंने यूज किया ठीक है और उन्होंने ये वाला रास्ता यूज किया ठीक है तुम अपना एग्जांपल ले लो कि कर्नाटका से मुंबई तुम ट्रेन से आए और मुंबई से उज्जैन तुम प्लेन से गए राइट तो तुम एक तरीके से आए बट तुम आ तो तुम गाड़ी से भी सकते थे आ तो तुम गाड़ी से भी सकते थे है ना कि भाई कर्नाटका से मुंबई में गाड़ी से य गाड़ी से गया और मुंबई से उज्जैन में मान लो ट्रेन से गया तो ऐसे तो बहुत सारे तरीके हो सकते हैं तो टोटल कितने तरीकों से टोटल कितने तरीकों से मैं कर्नाटका से उज्जैन जा सकता था ठीक है तो ये लीलावती के दिमाग में आया और उन्होंने भास्कर से बोल दिया कि सोचो क्योंकि पिंगल जीी वो भी मैथमेटिशियन ही थे तो मैथमेटिशियन लोग कुछ नहीं करते यही करते रहते हैं बस ठीक है य फालतू गिरी और इस फालतू गिरी में वो चीजें निकल के आ जाती है जो आप जो आज पूरी टेक्नोलॉजी यूज कर रहे हो जो सब बना रहे हो वो सब कुछ उसी से बना हुआ है उसी की देन है सब ठीक है उनकी मस्ती का ठीक है तो वही मस्त रहो तो अब क्या किस तरीके से इस चीज को सोचा जाए तो फिर उन्होंने देखा कि भाई कर्नाटका से मुंबई तीन तरीकों से हो सकता था ठीक है एंड मुंबई से उज्जैन ये चार तरीकों से हो सकता है भाई चार रास्ते हैं है ना यहां पे तीन रास्ते हैं तीन रास्ते तीन तरीकों से आप आ सकते थे तो टोटल कितने तरीके हो सकते हैं भाई सोच के देख सोच के देखते हैं एक सिंपल सा एग्जांपल लेते हैं मान लेते हैं मैं तुम्ह चलो तुम्हे सिंपल करने के लिए मैं अभी वाला एग्जांपल ले लेता हूं कि भाई ये ट्रेन वाला तरीका है ये मान लो तुम अपनी कार से आ रहे हो और ये मान लेते तुम एरोप्लेन से आ रहे हो ठीक है यहां पर भी ले लेते हैं कि तुम मान लो ट्रेन से आ रहे हो या कार से या फिर प्लेन से या फिर मान लो शिप से आ रहे हो या आई डोंट नो मे बी ठीक है इधर इधर रख लेते हैं ठीक है कि तुम किसी बोट से आ रहे हो बोट से ठीक है थोड़ा उल्टा सीधा हो गया बट ठीक है तुम समझ गए फीलिंग समझ रहे हो अब तू सोच के देख सोच के देख अगर अगर अगर अगर अगर मैं कर्नाटका से चलूं ट्रेन से मैं कर्नाटका से चला ट्रेन से ठीक है और मैं मुंबई से उज्जैन भी ट्रेन से ही गया ठीक है या फिर उधर तो मैं ट्रेन से ही चला उधर तो मैं ट्रेन से ही चला लेकिन गया फिर मैं कार से मुंबई से उज्जैन कार ठीक है या फिर मुंबई से उज्जैन ठीक है एरोप्लेन या फिर मुंबई से उज्जैन आपका बोट है ना बोट शिप जो भी तो कहने का मतलब क्या है इस एक रास्ते के लिए इस एक रास्ते के लिए चार टोटल कॉमिनेशन पॉसिबल है ठीक है मतलब अगर मैं कर्नाटका से मुंबई ट्रेन से जा रहा हूं तो आगे का जो मेरा फ्यूचर है जो आगे का मेरा फ्यूचर है उसको मैं चार तरीकों से जी सकता हूं ठीक है लेकिन अगर मैंने कर्नाटका से मुंबई मैं गाड़ी से गया होता मैं गाड़ी से गया होता तो फिर फिर से चार कॉमिनेशन है फिर से चार कॉमिनेशन पॉसिबल है मुंबई टू जन तुम अभी ट्रेन से जा सकते हो या कार से या प्लेन से या फिर बोट से और ऐसे ही ऐसे ही अगर तुम प्लेन से जाते तो फिर से तुम्हारे पास चार ऑप्शन होते तो हर रास्ते के लिए अगर ट्रेन है इसके लिए भी चार तरीके हैं इसके लिए भी चार तरीके हैं इसके लिए भी चार तरीके हैं तो यहां पे अगर तीन है तो 3 * 4 12 टोटल 12 तरीके हो गए कौन से 12 तरीके टीटी टीसी टी ए टीबी या फिर सीटी सीसी सी ए सीब या फिर एटी ए a ए ए ये टोटल 12 तरीके हो गए अच्छा तो सोच के देख अगर कर्नाटका से मुंबई पांच तरीके होते अगर कर्नाटका से मुंबई जो है वो पांच तरीकों से वो जा सकते हैं तो तुम समझ में आ रहा होगा कि एक तरीके के चार था तो पांच तरीकों के लिए 5 * 4 20 हो गया तो फिर हम क्या बोलते हैं 20 टोटल तरीकों से वो कर्नाटका से उज्जैन जा सकते थे ठीक है ठीक है तो फिर उन्होंने स वो लोग मैथमेटिशियन थे ठीक है तो फिर भास्कर ने सोचा कि इस इस स्टडी को तो हम जनरलाइज कर सकते हैं भाई अगर इसको हम जनरलाइज कर दें तो बड़े आसानी से ये चीज जनरलाइज करी जा सकती है कि मतलब ले दे कर के तुमने क्या किया कि कर्नाटका से अ मुंबई गए मुंबई से उज्जैन एक सिंपल एग्जांपल ले लेते हैं ठीक है यहां पे वो मैथमेटिशियंस है राइट तो आपका भास्करा पिंगला और लीलावती ये बैठ करके सोच रहे हैं अब यहां पे लीलावती तो थोड़ा आउट हो गई है बैठ के पिंगला और वो सोच रहे हैं ठीक है तो पिंगला और भाका चार्य बेसिकली सोच रहे हैं बैठ के कि हम अल्टीमेटली क्या कर रहे हैं कि भाई देखा जाए तो कोई एक जगह थी ए मान लेते हैं उसको इसको बी बोल देते हैं और इसको सी बोल देते हैं तो a से b तक जो हमारा अभी का जो प्रॉब्लम था कर्नाटका से मुंबई तो हम चार से गया है ना मैं चार रास्ता यूज़ करके आया और फिर यहां से b से सी में तीन से गया और मुझे दिखा कि अगर मैं एक रास्ता इसका चूज कर रहा हूं तो इसके एक रास्ते देख लिए तीन रास्ते हैं तो ये एक रास्ता एक्चुअली आगे के तीन रास्ते के बराबर है राइट तो ये तीन हो गया फिर ये भी तीन हो गया फिर ये भी तीन हो गया और ये भी तीन हो गया तो अल्टीमेटली आंसर चार बार तीन आ गया 12 आंसर हो गया ठीक है तो इस लॉजिक से अगर अ मैं प्रॉब्लम को चेंज कर देता हूं और मैं बोलता हूं कि तुम a से मान लो अ मान लेते हैं 17 तरीके हैं a से b जाने के a से b जाने के 17 तरीके हैं और b से c जाने के मान लेते हैं 120 तरीके हैं 120 तरीके हैं तो टोटल तरीके a से c जाने के कितने हो गए 177 * 120 डायरेक्टली ठीक है तो इससे उन्होंने एक फॉर्मूला बना दिया कि अगर तुम्हे कहीं जाना है तो कर सकते हो तो लीलावती ने बोला कि अच्छा अगर यहां पे हम एक और चीज डाल दें अगर हम बोल द कि डी मतलब ए से बी बी से सी सी से डी तो क्या तब भी ये चीज होती होगी क्या तब भी ये चीज होती होगी तो उन्होंने बोला लॉजिकली सोच के देखते हैं कि अगर हमें c से d जाना है मान लेते हैं एक सिंपल एग्जांपल ले लेते हैं फिर से ठीक है कि चार तीन और वो वाला ले लेते हैं एक बार ठीक है ना कि अगर तुम्हें a से बी जाने के तरीके मान लेते हैं पांच है कितने पांच ठीक है अभी पांच तरीको से तुम ए से बी जा सकते हो बी से स जाने के तरीके टोटल तीन है ठीक है और सी सेडी जाने के तरीके मान लेते हैं सेन है सेन ठीक है सेन सेन तरीके हैं और यहां पे तीन तरीके हैं तो उन्होंने बोला पहले तुम a से बी जा रहे हो a से बी गए और बी से c गए तो इतना तो सेम ही है इतना प्रॉब्लम तो सेम ही है तो इसका आंसर तो 5 * 3 15 तरीके हो गया राइट तो a से स जाने के टोटल तरीके कितने हैं 15 ठीक है तो उन्होने बोला हम इस क्वेश्चन को ऐसे लिख सकते हैं ना कि a से c बी को भूल जाओ ठीक है a से c और c से d तो a से c जाने के कितने तरीके हैं टोटल 15 तरीके हैं एंड c से d जाने के कितने तरीके हैं सेवन तरीके हैं तो अब ये तो बिल्कुल वैसे ही हो गया ना भाई अगर यहां पे 15 तरीके लिखा हुए हैं तो इस एक तरीके के लिए टोटल सात तरीके इधर हैं फिर इस एक तरीके के लिए टोटल सात इधर है फिर इस एक तरीके के लिए सात इधर है तो हर एक एक के लिए साथ-साथ आ जाएंगे यानी कि 15 * 7 यहां पर भी हो जाएगा और ये 15 थोड़ना लिखा हुआ है ये तो 3 * 5 लिखा हुआ है तो क्या बात समझ में आ रही है कि अगर मैं a से b से c से डी जा रहा हूं और इस यहां से यहां जाने के तरीके मान लेते हैं n1 तरीके हैं यहां से यहां जाने के तरीके n2 है यहां से यहां जाने के तरीके n3 है तो आंसर क्या आएगा n1 * n2 * n3 इतने तरीकों से आप वो पूरी ट्रिप कर सकते हो तो बड़ा मजा आया यार पिंगला और भास्कर चार काफी एक्साइटेड होए कि यार ये तो बड़ी गजब का रिजल्ट है फिर उन्होंने सोचा कि एक मिनट अ अभी उन्होंने सोचा कि पिंगला ने सोचा कि देखो अभी मैं तेरे से मिलने आया हूं भास कर जा ार ठीक है तेरे से मिलने आया हूं मैं उसके बाद मैं फिर कर्नाटका जाऊंगा लौट के है ना तो एक तरीके से हम जब कोई ट्रिप करते हैं तो हम पूरा गोल घूम के भी जाते हैं ना लाइक रूट होता है वो तो जब तुम a से b गए b से c गए c से d गए फिर तुम लौट के भी तो आओगे लौट के भी तो आओगे तो पूरी ट्रिप भी कर सकते हैं हम लोग अगर ध्यान से देखा जाए क्योंकि रियलिटी में क्या हो रहा है रियलिटी में ऐसा थोड़ी ना होता है कि तुम घूम के जा रहे हो रियलिटी में तो ऐसे ही होगा ना कि a से b गए b से c गए c से d गए और फिर अब d से वापस से तुम c जाओगे फिर c से वापस तुम कहां जाओगे b जाओगे एंड फिर वापस वहां से a जाओगे सही कह रहा हूं तो अब d से c जाने के तो अभी भी कितने तरीके हैं जैसे यहां पर अगर n3 तरीके थे तो ये तो अभी भी n3 ही है ना भाई कर्नाटका से मुंबई मुंबई से दिल्ली नहीं दिल्ली नहीं उज्जैन जो भी है तो उज्जैन राइट तो यहां से आप गए चार तरीकों से यहां से आप गए तीन तरीकों से तो उज्जैन से वापस मुंबई आने के तरीके कितने हैं तीन ही है ना अभी भी राइट तो 4 * तीन तरीकों से तो तुम कर्नाटका से उज्जैन पहुंचे फिर उज्जैन से मुंबई जाने के फिर तीन तरीके ठीक है फिर मुंबई से कर्नाटका जाने के फिर से चार तरीके तो 4 * 3 * 3 * 4 यानी कि 12 * 12 144 144 तरीकों से तुम ये पूरी ट्रिप जी सकते थे ठीक है अगर पिंगला जी कर्नाटका से निकले हैं तो 144 रीको से वो ये पूरी ट्रिप जी कर के वापस आ सकते थे 144 तारीख की जिंदगियां जी जा जी जा सकती थी किसी एक में वो क्या करते कि पहले वो तांगे से निकलते ठीक है फिर यहां पे वो बैलगाड़ी से जाते ठीक है फिर उज्जैन से जब वापस लौट के आते तो फिर वो बैलगाड़ी चूज कर सकते थे और यहां पे वो मान लो फिर से बैलगाड़ी चूज कर लेते तो बहुत तरीको से जिया जा सकता था या फिर वो यहां से पदयात्रा यूज करते हैं ना कि कर्नाटका से मुंबई हम पैदल जाएंगे फिर वहां से हमने घोड़े घोड़ सवारी कर ली ठीक है फिर वहां से जब लौट के आए तो हमने तांगा पकड़ लिया और फिर जब लौट के आए तो हमने फिर बैलगाड़ी पकड़ ली राइट बात समझ में आ रही है कि हज मतलब कितने सारे तरीके हो सकते हैं तो वो कितने तरीके हो सकते हैं 144 तरीके हो सकते हैं ठीक है अब थोड़ा दिमाग में गुलगुली मची दोनों के अ पंगला जी और ब्रह्माचार्य ब्रह्माचार्य कह रहा हूं भास्कराचार्य जी की कि यार अ इससे हम अल्टीमेटली क्या करना चाह रहे हैं मतलब क्या ये हो क्या रहा है अल्टीमेटली ठीक है इतने में लीलावती अ को एक वो हुआ कि मुझे अपने पापा के पास बैठना है तो कुछ इस तरीके से वो लोग बैठे हुए थे कि ये चेयर है है ना ये मान ले चेयर है ठीक है तो इस चेयर ऐसी ऐसी चार चेयर ऐसे तीन चेयर्स है ओबवियसली तीन लोग हैं ना तीन लोग हैं क्या मैंने चेयर बनाई है ये ठीक है तो मान लेते हैं यहां पर भास्कराचार्य जी बैठे हुए हैं यहां पे भास्कराचार्य बैठे हुए हैं यहां पे पिंगला बैठे हुए हैं और यहां पे छोटी सी चेहर पे लीलावती बैठी हुई है ठीक है कि ये दोनों अपना डिस्कशन कर रहे हैं और वो अपना अपने मस्ती में है लीलावती ठीक है अब लीलावती ने बोल दिया मेरा हो गया वो अपनी कुछ कर रही होगी अपने टॉय के साथ ठीक है और ये दोनों अपना डिस्कशन कर रहे हैं कि भाई क्या हो रहा होगा ठीक है तो ये मुझे पापा के साथ बैठ बैठना है तो पिंगला यहां आ जाते हैं लीलावती यहां आ जाती है ठीक है बट फिर उनको लगता है कि नहीं नहीं ये सही नहीं रहेगा तो फिर लीलावती वापस उधर आ जाती है और पिंगला इधर चले जाते हैं इतने में लीलावती को एक थोड़ी सी चुल मच जाती है उसने सोचा कि एक मिनट अगर तीन लोग बैठे हुए हैं है ना इधर भास्कराचार्य पिंगला लीलावती तो ये तीनों लोग कितने तरीके से बैठ सकते हैं भाई देखो या तो भास्कराचार्य इधर बैठ जाए फिर पिंगला इधर बैठ जाए है ना फिर लीलावती इधर बैठ जाए या फिर लीलावती इधर आ जाए है ना ये तो बीपी एल बीएल पी या फिर पिंगला इधर आ जाए है ना और ये इधर आ जाए या फिर लीलावती इधर बैठ जाए समझ रहे हो कितने सारे तरीके हो सकते हैं तो लीलावती के दिमाग में ये फितूर चढ़ गया तो वो अपना अलग बैठ के कैलकुलेट कर रही है उतने में उसने अपने पापा को बता दिया कि मेरी दोस्त है वो भी एक नाटक देख के आई थी ठीक है और वो नाटक देखने गई थी तो उसने बोला कि बड़ा अलग टाइप का वो वो शो था वो जहां पे वो नाटक होता है आप अभी के लिए ऐसे देख सकते हो कि सिनेमा हॉल है ना मूवी हॉल ठीक है तो वो ऐसा मूवी हॉल है जहां पे पांच गेट हैं ठीक है तो ऐसे मान लो कि ऐसे एक मूवी हॉल टाइप का है ठीक है या फिर ऐ मान लो कि एक नाटक हो रहा है यहां पे नाटक हो रहा है ठीक है ये स्टेज है ये स्टेज है एक गेट ये है दूसरा गेट ये है तीसरा गेट ये है चौथा गेट ये है पांचवा गेट ये है ठीक है ये गेट है गेट वन गेट टू गेट थ्री गेट फोर गेट फाइव ठीक है तो अपने पापा को बताती है भास्कराचार्य जी को कि भाई वो उसने वो नाटक देखा तो वो कह रही थी कि वहां पे पांच गेट है तो फिर से उन दोनों को फितूर चढ़ गया किनको पिंगला को और भास्कराचार्य को उन्होंने सोचा कि एक बात सोच के देखते हैं कि अगर उसको वो नाटक देखना है तो वो इन पांचों में से किसी एक गेट में घुसी होगी वो इन पांचों में से किसी एक गेट के थ्रू अंदर गई होगी ना ठीक है मे बी जीवन से या g2 से या g3 से या g4 से या g5 से तो टोटल पांच गेट के पास उसके पास ऑप्शंस है पांचों में से किसी भी उससे जा सकती है ठीक है तो मान लो यहां पे कोई सीट लगी हुई है यहां पे उसने बैठ के मूवी देख ली या फिर अपना शो देख लिया एंड फिर वो वापस जाएगी अब वापस जाने के भी उसके पास पांच तरीके हैं इन पांचों में से किसी भी गेट से वापस जा सकती है तो जो एंट्री है जो एंट्री है वो तो पांच गेट से हो सकती है और जो एग्जिट है जो एग्जिट है वो भी पांच तरीकों से हो सकता है ना तो टोटल कितने तरीके से वो मूवी देख सकती है टोटल कितने तरीके से उस नाटक को वो अटेंड कर सकती है है या तो वो जी व से एंटर करती या मान लो वो जीव से एंटर करती है मान लो वो इस गेट से एंटर करती है ठीक है और जीवन से ही बाहर हो जाती है मूवी देखी उसने और फिर वो यहीं से निकल ली या फिर वो g1 से तो एंटर करी थी लेकिन वो निकली g3 से यानी कि यहां से एंटर करी लेकिन वो निकली कहां से वो नीचे इस वाले से निकल गई क्यों निकल गई यहां पे कोई बैठा होगा ठीक है उसके साथ जाना होगा उसको फिर या फिर या फिर हो सकता है कि उसने एक्चुअली एंट्री g4 से करी थी हो सकता है वो यहां से एंटर करा उसने है ना यहां बैठने के लिए और फिर वो g5 से निकल गई हो है ना यहां से निकल गई हो या फिर हो सकता है g4 से गई हो और g4 से ही निकल गई हो राइट g4 से ही अंदर गई और g4 से ही बाहर निकल गई तो ऐसे टोटल कितने तरीके हो सकते हैं ऐसे टोटल कितने तरीके हो सकते हैं तो सोच के देखो सोच के देखो अगर मान लेते हैं वो g1 से एंटर करी अगर वो g1 से एंटर करी तो फिर वो g2 से जा सकती है या फिर या तो वो g1 से ही जा सकती है या फिर g2 से जा सकती है बाहर है ना या फिर g3 से बाहर जा सकती है तो सबसे पहले तुमने एंट्री लिख दिया ये तुम्हारा एंट्री है ठीक है फिर एंट्री के बाद फिर एंट्री फिर फिर क्या होगा फिर एग्जिट होगा ठीक है अब एग्जिट के टोटल कितने तरीके हैं पांच तरीके g4 से भी जा सकती है g5 से g5 से भी जा सकती है पांच तरीकों से एंड ऐसे ही ये तो g1 का केस हो गया फिर g2 के केस में भी पांच तरीके होंगे ना फिर g3 के केस में भी पांच तरीके होंगे ठीक है और ऐसे करते-करते पांच के लिए पांच ही तरीके आ गए तो क्या तुम्हें बात समझ में आ रही है कि टोटल कॉमिनेशन कितने हो गए g1 g1 g1 g2 g1 g3 g1 g4 g1 g5 तो फाइव एंट्री के फ एग्जिट के और 5 मल्टीप्लाई बा 5 हो गया क्योंकि g1 के साथ टोटल कॉमिनेशन कितने हैं पांच है फिर g2 लिए भी कितने हैं पांच फिर g3 के लिए भी कितने हैं पांच ठीक है तो टोटल कितने हो गए 5 * 5 राइट तो टोटल 25 आंसर आ गया यानी कि 25 तरीके से वो उस नाटक को अटेंड कर सकती थी उस मूवी को देख सकती थी ठीक है बात समझ में आ रही है अच्छा अगर ऐसा होता अगर किसी तरह से कुछ ऐसा हो जाता कि मान लेते हैं पांच गेट से उसने एंट्री जरूर करी थी बट जो एग्जिट वाले गेट है वो ये वाले नहीं है यहां पर कई बार होता है मूवीज में कि जिस गेट से तु एंट्री करते हो उस गेट से एग्जिट नहीं होता ठीक है तो ये वाला जो गेट है यहां से एग्जिट नहीं हो सकता और इस वाले गेट से भी एग्जिट नहीं हो सकता तो एंट्री तो तुमने कर ली पांच तरीकों से पर एग्जिट अब सिर्फ तीन तरीकों से हो सकती है तो टोटल कॉमिनेशन कितने हो गए 5 * 3 यानी कि 15 तरीकों से तुम इस मूवी को देख सकते थे मतलब देख के और निकल सकते थे क्योंकि वही वाली बात है ना कि g1 से तुमने एंट्री कर ली बट एग्जिट के कितने गेट तुम्हारे पास अवेलेबल हैं या तो g3 या g4 या g5 ठीक है क्यों क्योंकि अ g1 g2 जो है वो बंद हो गए g1 g2 बंद हो गए तो g3 g4 g5 ठीक है तो g1 के लिए कितने गेट्स अवेलेबल है g1 केलिए कितने गट अवेलेबल है g3 g4 g g5 ऐसे अगर वो g2 से एंट्री करती तो भी तीन ही होते अगर g3 से करती तो भी तीन ही होते तो इन पांच गेटों के लिए एक एक गेट लिए तीन-तीन कॉमिनेशन अवेलेबल हैं तो पांच * 3 राइट क्लियर हो गई बात तो उनको धीरे-धीरे एक बात समझ में आ रही थी कि ये अल्टीमेटली हम कर क्या रहे हैं ये व्हाट इज दिस क्योंकि अभी तक कुछ ऐसा हमने किया नहीं आज तक ये दोनों के दोनों मैथमेटिशियंस है गणितज्ञ है ना कैलकुलेट कैलकुलेशन करने वाले तो ये अल्टीमेटली हम कर क्या रहे हैं हम एक कोई काम पकड़ ले देखो पहले हमने क्या बोला कि अ हमें मान लो कर्नाटका से मुंबई जाना था तो ये काम था कहीं जाना ठीक है और यहां पे क्या था कहीं पे घुसना कहीं किसी किसी मूवी हॉल के अंदर तुम घुस रहे हो तुम एक काम कर रहे हो और उस काम को करने के कुछ तरीके हैं तो उन्होंने इसको जनरलाइज करने की कोशिश करी व्च वाज काइंड ऑफ वेरी टफ है ना इनिशियली बट उन्होंने सोचा कि तुम अल्टीमेटली एक काम कर रहे हो वर्क वन एंड उसके बाद तुम्हें एक दूसरा काम भी करना है वर्क टू जैसे कर्नाटका से उज्जैन गए फिर उज्जैन से भाई कर्नाटका से उज्जैन गए ये पहला काम है ये पहला काम हो गया फिर उज्जैन से मुंबई गए ये दूसरा काम हो गया है ना और इसके बाद तीसरा भी हो सकता है ना कि भाई अ जहां तुम अभी हो उज्जैन से मान लो तुम दिल्ली चले गए ठीक है ये तीसरा काम हो सकता है या फिर तीसरा काम ये भी हो सकता है कि उज्जैन से वापस आ गए है ना उज्जैन से वापस कर्नाटका में आ गए एंड फिर वहां से वापस अ सॉरी उज्जैन से वापस अ मुंबई आ गए मुंबई से वापस आपका कर्नाटका पहुंच गए राइट तो ये वर्क फॉर हो जाएगा तो ऐसे आप क्या करते जा रहे हो एक के बाद एक एक एक एक सीक्वेंस है एक स्टेज वाइज प्रो प्रोसीजर है है ना स्टेप वन ये फिर स्टेप टू फिर स्टेप थ्री तो एक लाइन वाइज एक चीज चल रही है कि पहले आपने मूवी हॉल के अंदर एंट्री करी फिर आपने मूवी हॉल के अंदर एग्जिट कर दी है ना पहले एंट्री होगी फिर एग्जिट होगा है ना ये फिर बहुत इंपोर्टेंट है कि फिर ठीक है ऐसा भी हो सकता है कि या तो मैं इस गेट से चले जाऊ या मैं उस गेट से चली जाऊ यहां पे ऑप्शन है अगर आप देखोगे या जब आप हिंदी में बोलते हो या तो आप क्या बोलते हो या तो मैं इस गेट से एंटर हो जाऊ या फिर मैं इस गेट से एंटर हो जाऊ या फिर मैं इस गेट से एंटर हो जाऊं या ठीक है तो या मतलब क्या होता है इंग्लिश में ऑप्शन ठीक है ऑप्शन एंड फिर का मतलब क्या होता है ये करना ही होगा फिर मतलब कि देन दिस देन दिस देन ठीक है देन मतलब क्या होता है स्टेज है ना कि स्टेज वाइज प्रोसीजर होता है स्टेज वन स्टेज टू स्टेज थ्री ऐसा नहीं हो सकता कि आप बोल दो कि पहले वर्क वन कर ले फिर वर्क थ्री कर लियो या एक काम कर पहले ये कर ले फिर ये कर लियो नहीं वो एक के बाद एक होता है आई गेस फीलिंग आ रही होगी बहुत बेसिक सी बात है ठीक है अच्छा तो जब मैं बोलता हूं कि वर्क वन करने के तरीके m है जब मैं बोल रहा हूं कि वर्क वन करने के तरीके मान लेते हैं पांच है पांच पांच तरीकों से तुम पहले काम को कर सकते हो पांच तरीकों से तुम कर्नाटका से मुंबई जा सकते हो ठीक है फिर मैं बोलता हूं वर्क टू करने के तरीके के मान लो तीन है ठीक है मतलब क्या या फिर ऐसे बोल दो कि वर्क वन क्या है कि मूवी हॉल में घुसना है ना कि मूवी हॉल में मैं पांच तरीकों से घुस सकता हूं लेकिन मूवी हॉल से एग्जिट मेरा तीन तरीकों से हो सकता है ठीक है और चलो मूवी हॉल वाले केस में तो बस दो ही आप काम कर पा रहे हो ठीक है बट आप आगे और भी बहुत सारे काम करवा सकते हो ना जैसे हमने वो वाला एग्जांपल लिया कि आप ए से बी जा रहे हो फिर ब से स जा रहे हो फिर सी से डी जा रहे हो राइट तो ये तीन काम हो गए ए से बी जाना वर्क वन हो गया फिर b से स जाना ये वर्क टू हो गया और यहां से जाना ये वर्क थ्री हो गया तो मान लो ये तुम सेवन तरीकों से कर सकते हो ये तुम नौ तरीकों से कर सकते हो जो भी है तो क्या ं समझ में आ रहा है ये टोटल जो काम है ये पूरा काम क्या है पूरा काम क्या है पहले वर्क वन फिर वर्क टू फिर वर्क थ्री फिर वर्क फोर ठीक है तो वर्क वन किया फिर वर्क टू किया फिर वर्क थ्री किया फिर वर्क फोर किया क्या समझ में आहा है कि जहां जहां पर भी फिर हो रहा है वहां पे मल्टीप्लाई करना पड़ रहा है ये कोई रटने वाला रूल नहीं है कि फिर मतलब मल्टीप्लाई होता है बट तुम्हें इसका लॉजिकली समझ में आ रहा है कि ऐसा क्यों हो रहा है कि ऐसा क्यों हो रहा है कि 5 * 3 * 7 * 9 ये क्यों करना पड़ रहा है जैसे कि हमने यहां देखा था जैसा कि हमने यहां देखा था कि n1 * n2 * n3 ये कैसे आया था क्योंकि ये सारे कॉमिनेशन एक दूसरे से मल्टीप्लाई हो जाएंगे ना यहां तक तो आपने पहला वाला रूल लगा लिया और फिर इसका आ गया 15 और फिर ये आपने पूरे पे लगा लिया ठीक है सो इट इज अ बिट कॉम्प्लिकेटेड टू एक्चुअली एक्सप्लेन तो कई लोग इसको रट लेते हैं सीधे-सीधे तो आप चाहो तो रट भी सकते हो वरना अगर आप थोड़ा सा रुक करके देखोगे तो आपको धीरे-धीरे समझ में आ जाएगा कि 5 * 3 * 7 * 9 ही क्यों किया ठीक अब इसका एक एग्जांपल लेते हैं उससे आपको ज्यादा क्लियर हो जाएगा कि भाई मान लेते हैं कि ये पिंगल और वो अपने डिस्कशन कर रहे हैं और हम आपको समझा रहे हैं कि वो क्या डिस्कशन कर रहे हैं कि भाई a से b जा रहे हो b से c जा रहे हो है ना और c से d जा रहे हो ठीक है मान लेते हैं ये इसके टोटल तरीके चार है इसके तरीके दो हैं और इसके तरीके मान लेते हैं अ मान लेते हैं सेवन तरीके तो a से d तुम कितने तरीको से ा सकते हो 4 * 2 * 7 a से d जाने का क्या तरीका है a से b कितने तरीके से जा सकते हो चार तरीको से तो चार हो गया फिर b से c दो फिर c से d सेन अगर मैं बोल दूं कि तुझे a से d तो जाना है बट फिर लौट के भी आना है तो अब तू लौट के आएगा देखो a से b गए फोर b से c गए टू फिर c से d गए सेवन फिर फिर डी से सी आ गए सेवन फिर स से बी आ गए ठीक है टू फिर ब से ए आ गए फोर ठीक है ये बहुत ही इंपोर्टेंट है ये फिर और ये जो अभी मैं अभी बताऊंगा आपको या ठीक है ये बहुत ही इंपोर्टेंट चीजें हैं ठीक है अच्छा एक बात सोच के देख अगर वो कुछ ऐसा बोले कि देख जो तूने रास्ता पहले चूज किया था ना उसके अलावा कोई दूसरा रास्ता चूज करके आई हो ठीक है सेम रास्ता चूज मत करना यार सेम रास्ता चूज मत करना मतलब क्या कि अगर मैं a से b गया था मान लेते हैं एरोप्लेन से गया था ठीक है मान लो मैं a से b गया था प्लेन से इस वाले रास्ते से गया था फिर b से c में गया अ गाड़ी से बी से b से सी में गया गाड़ी से ठीक है हम इस रास्ते को बनाते जा र वाइट से और फिर स से डी मान लो मैं आ गया आपका अ अ ट्रेन से आ गया ट्रेन से आ गया ठीक है तो अब तो ये तो सेम ही रह गया कि भा 4 * 2 * 7 4 * 2 * 7 का मतलब क्या है कि चारों में से कोई एक तरीका तूने फॉलो किया होगा है ना फिर यहां पे तूने एक किया यहां पे एक किया लेकिन जब तू लौट के जा रहा है जब तू d से c जा रहा है तो अब ये जो वाइट वाला ऑप्शन है ये कैंसिल हो गया क्योंकि मैंने क्या बोला कि वही ऑप्शन फॉलो नहीं कर सकते तो यहां पर सिर्फ छह ऑप्शन ही तो बचे ना क्योंकि ये वाला तो कैंसिल हो गया फिर इधर देखो इधर सिर्फ एक ऑप्शन बचा क्योंकि ये वाला ऑप्शन तुमने यूज कर लिया है ठीक है तो इस ऑप्शन को दोबारा यूज नहीं करेंगे हम तो हम ये वाला ऑप्शन यूज करेंगे फिर b से a जाने के लिए भी चार ऑप्शन नहीं है तीन ऑप्शन है तो 4 * 2 * 7 * 6 * 1 * 3 ठीक है सो ये समझ में आ रहा है क्या है ठीक है इसी को बस बड़े लोग बोल देते हैं फंडामेंटल थ्योरम ऑफ अ काउंटिंग जब जब मतलब जब भी कोई काम एक के बाद एक के बाद एक होता है तो उसको मल्टीप्लाई कर लो ठीक है और जबक जब उनके बीच में ऑप्शन होते हैं तो उनको प्लस कर लो प्लस का मतलब क्या है वो भी समझा देता हूं वो तुमने देख ही लिया एक्चुअली वो तुमने देख ही लिया कि अगर a से b जा रहे हो तो तुम्हारे पास कितने ऑप्शंस थे चार ऑप्शन थे तो चार ऑप्शन का मतलब क्या होता है या तो ट्रेन से चले जा या तो ट्रेन से चले जा या या प्लेन से चले जा या गाड़ी से चले जा या मान लो अ प्राइवेट जेट से चले जाओ आई डोंट नो राइट तो जब भी तुम्हारे पास या हो होता है तो तुमने क्या करा पहला तरीका ये था फिर दूसरा तरीका ये था फिर तीसरा तरीका ये फिर चौथा तरीका ये राइट तो तुम इन चारों को तुम्हें एक साथ नहीं करना है तुम्हें इन चारों में से कोई ऑप्शन दिया जा रहा है या तो ये कर ले या ये कर ले या ये कर ले या ये कर ले तो a से b जाने के हमने क्या बोली टोटल 1 + 1 + 1 + 1 चार तरीके ठीक है यानी कि a से बी जाने के टोटल कितने तरीके हैं चार तरीके हैं ठीक है तो आपको ये सब चीजें आती है ऑलरेडी दिस इज लाइक कि यू ऑलरेडी नो काउंटिंग ठीक है ऐसा कुछ नहीं है कि इसमें कुछ तुम नया सीख रहे हो राइट तो या जब भी आएगा जब भी या आएगा तो हम क्या कर रहे होंगे प्लस कर रहे होंगे ठीक है और जब भी फिर आएगा कि भाई फिर कि इसके बाद ये कर फिर ये कर फिर ये कर फिर ये कर उसमें आपको मल्टीप्लाई करना पड़ेगा फॉर ओबवियस रीजन क्योंकि वो सारे कॉमिनेशन एक दूसरे में गुट जाते हैं इट इज नॉट लाइक वो प्लस हो जा रहे हैं वो मिल जा रहे हैं एक दूसरे में है ना कि वो g1 g2 g1 g3 g1 g4 g1 g5 फिर g2 g1 g2 इस टाइप से ठीक है अ जैसे फॉर एग्जांपल मान लो यहां पे तीन बुक्स रखी हुई है तीन बुक्स यहां रखी हुई है और पांच बुक्स यहां रखी हुई है ठीक है तो मैं पूछ कि टोटल कितने तरीकों से मैं बुक्स को उठा सकता हूं मुझे एक बुक उठानी है कोई भी मुझे कोई भी एक बुक उठानी है तो अब तीन बुक्स यहां रखी हुई है तो तीन बुक्स अगर मैं इसमें से उठाऊंगा तो कोई भी उठा सकता हूं है ना मान लेते हैं एक कोई एक बुक रखी हुई है a कोई दूसरी बुक रखी हुई है b फिर तीसरी बुक रखी हुई है सी यहां पर भी रखी हुई है पांच बुक्स है ना तो इसका नाम रख देते हैं डीई एफ जी एच ठीक है ऐसे मान ले यहां हैरी पॉट रखी हुई है गेम ऑफ़ थ्रोंस रखी हुई है कुछ भी रखी हुई है ठीक है इस टाइप से तो अब तुम्हें ये आठ बुक्स रखी हुई है ठीक है तो अगर तुम्हें उठानी है तो तुम कौन-कौन सी उठा सकते हो तुम ए और उठा लो या फिर तुम बी उठा लो ठीक है या तुम सी उठा लो या तुम डी उठा लो या तुम ई उठा लो तो टोटल तुम आठ तरीको से भी उठा सकते हो बात खत्म एट तरीके हैं टोटल कोई एक बुक उठाने के ठीक है ना तो जब भी या आएगा आपकी हिंदी आपको हिंदी में देखना होगा क्योंकि तुम सोचते हिंदी में हो ठीक है तो ये बहुत ही इंपोर्टेंट और इंटरेस्टिंग पॉइंट है कि हिंदी में देखो कि या है तो प्लस हो जाएगा फिर है तो मल्टीप्लाई हो जाएगा और ये तुम देखना बहुत ही खूबसूरती से ये चीज चलेगी एनीवेज हम वापस लौट के आते हैं इतनी देर में हमारी जो लीलावती जी हैं वो पिंगल और भास्कराचार्य जी से बोलती है कि मेरे दिमाग में एक बड़ी फितूर चल रहा है मेरे दिमाग में क्या चल रहा है वो यही वाला फितूर ठीक है कि आप तीनों लोग बैठे हुए हो है ना आप तीनों लोग बैठे हुए हो आप तीनों मतलब की लीलावती और आप दोनों बैठे हुए हो बी पी और एल तो हम तीन लोग कितने तरीके से बैठ सकते हैं हम तीन लोग टोटल कितने तरीके से बैठ सकते हैं तो भास्करा बैठे हुए हैं पिंगला बैठे हुए हैं और लीलावती बैठे हुए तो उन्होंने सोचा कि चलो कॉपी प करके देखते हैं कि मान ले बी पीएल हो सकता है या फिर बी एल पी हो सकता ये तो तब होगा जब पहली सीट पे हमेशा भास्करा बैठे ठीक है थोड़ा सिस्टेट कली करते हैं थोड़ा सिस्टमैटिकली करते हैं तो क्या हो सकता है कि भास्करा तो पहली सीट प बैठ गए दूसरी सीट पे पिंगला फिर लीलावती या फिर पहली सीट प बी फिर यहां पर एल हो जाए यहां पे पी हो जाए राइट तो यहां पे तो हमने फिक्स कर दिया बी को फिर पी एल या फिर एल प राइट फिर अगर हमने पहली सीट प पिंगला को बिठा दिया तो यहां पे क्या हो सकता है या तो b प है ना या सॉरी या तो बी ए या फिर ए ब यही तो हो सकता है और अगर हमने इधर लीलावती को बिठा दिया तो या तो ब प या फिर पवी क्या इसके अलावा कोई भी तरीका हो सकता है हमने सारे कॉमिनेशन बना लिए ना तुम देखो ध्यान से दज आर ऑल द कॉमिनेशन पॉसिबल दिस आर ऑल द कॉमिनेशन पॉसिबल ठीक है बीपीएल बीएल प ब बी बी एल इस टाइप से तो उन्होंने बोला कि अच्छा चलो हम तो अभी सिर्फ तीन लोग थे मान लेते हैं सेवन लोग होते मान लो सात लोग होते हैं कितने होते हैं सेवन लोग कुर्सियों पर बैठे होते हैं सात लोग सात कुर्सियों पर बैठे हुए हैं ठीक है तो हम क्या ऐसे केसेस बनाते बैठ करके तो तो पगला जाते हैं हम लोग सोच के देखो ना अगर तुम केसेस बनाओगे कि भाई सात लोग सात कुरसी पर बैठे हुए हैं तो तो बहुत टाइम लग जाएगा क्योंकि भाई सात लोग हैं ठीक है तो ऐसे बो लो लोग व लोग टू है ना ऐसे l3 l4 और ऐसे करते करते l7 सात लोग हैं टोटल ठीक है और चेयर कितनी है c1 c2 ऐसे करके सात चेयर है तो मान लो तुमने पहले वाले पे तो l1 को बिठा दिया अब उसके बाद तू सोच के देख l2 l3 l4 l5 l6 l7 नहीं नहीं नहीं एक काम करो इसमें तो l2 ही बैठा दो l2 l3 l4 l5 लेकिन यहां पे l7 को बिठा दिया यहां प l6 को बिठा दिया दिस इ अ डिफरेंट कॉमिनेशन राइट ठीक है फिर क्या हो सकता है एक्चुअली कॉमिनेशन नहीं बोलोगे अरेंजमेंट है ना ये दूसरा अरेंजमेंट हो गया तो l1 ए2 या फिर एक काम कर सकते हो यहां प l4 को बिठा दो यहां प l3 को बिठा दो और ये सेम रखो l5 ए6 तुम समझ रहे ये तो बहुत ही कॉम्प्लिकेटेड हो जाएगा यार तो पगला जाएंगे कितने सारे कॉमिनेशन बनाने पड़ेंगे तो उन्होने सोचा क्या इसका कोई सिमेटिक तरीका है क्या इज देर एनी सिमेटिक वे जैसे हम लोग ने इसको निकाला क्या इस तरीके से हम इसको भी सोच सकते हैं तो लीलावती ने बोला कि एक काम करते हैं बनाते ठीक है तो उन्होने सेवन चेयर्स बनाई तो ऐसे मान लो ये पहले चेयर का पटला है जहा तुम बैठोगे ठीक है ये दूसरे चेयर का पटला ठीक है और ये तीसरी चेयर का पटला ये चौथी चेयर का पटला ये पांचवी चेयर का ये छठी चेयर का और ये सातवी चेयर का ठीक है अब उन्होने सोचा कि पहली चेयर प अगर मुझे बिठाना है पहली चेयर पर अगर मुझे लोगों को बिठाना है तो पहली चेयर प टोटल कितने लोग बैठ सकते हैं अबे बैठेगा तो एक ही इंसान बट कितने ऑप्शन है उन्होने सोचा कि एक मिनट रुक जाओ पहली चेयर प किसी को बिठाना ये मेरा पहला काम हुआ वर्क वन पहला काम क्या है किसी इन सात में ये सात लोग खड़े हुए हैं यहां पर सात में से किसी एक को ले आओ सात में से किसी एक को उठा लो तो सात तरीके हैं भाई भाई सातों में से कोई भी बैठ सकता है तो सात तरीके हो गए फिर फिर भाई वर्क वन के बाद फिर तुम क्या करोगे फिर तुम वर्क टू करोगे ना अब वर्क टू के कितने तरीके हैं सोच के देख सात में से एक इंसान तो बैठ गया ना पहली चेयर पे अब कितने बचे छह लोग बचे छह लोग बचे तो अब छह लोग बचे अब छह ऑप्शंस है मेरे पास तो दूसरी चेयर के पास छह ऑप्शंस है दूसरी चेयर पे कोई भी इन छह में से कोई भी बैठ सकता है तो छह तरीकों से इस चीज को किया जा सकता है ठीक है फिर फिर अब तुम समझ ही गए होगे कि अगर सात में से दो लोग चले गए तो पांच लोग बचे ना तो अब इसमें पांच लोग का ऑप्शन हो गया फिर चार ऑप्शन फिर तीन फिर दो फिर एक इसको ऐसे समझो इसको थोड़ा सा मैं इसको थोड़ा सा समझाता हूं थोड़ा सा छोटा एग्जांपल लेते हैं मान लो तीन वाला एग्जांपल लेते हैं कि हमारे पास तीन लोग हैं ए बी सी ठीक है और ये तीन चेयर पड़ी हुई है ये तीन चेयर पड़ी हुई है ये पहली चेयर ये दूसरी चेयर य तीसरी मा मान ले पहली वाली में तूने ए को बिठा दिया ठीक है लेकिन तू चाहता तो पहली वाली में तो बी को भी बिठा सकता था या फिर तू चाहता था तो पहली वाली में त सी को भी बिठा सकता था ठीक है पर मान लेते हैं तूने पहली वाली में a को बिठाया तो अब अगर तूने पहली वाली में a को बिठा दिया है तो दूसरी वाली में ए को थो बिठा देगा यार एक ही इंसान है राइट तो एक इंसान एक ही जगह बैठ सकता है तो दूसरी चेयर पे या तो बी बैठेगा या सी बैठेगा तो अगर तुमने बी को बिठा दिया तो कॉमन सेंस हो गया तो तीसरे प सी बैठेगा या अगर तूने यहां प सी को बिठाया होता तो फिर यहां प भी बैठता सही कह रहा हू ठीक अगर तूने पहली वाली पे b को बिठा दिया होता ठीक है तब तो तुम समझ ही गए ना कि या तो ए आएगा या सी आएगा ठीक है फिर अगर पहली वाली में c को बिठा दिया होता तो या तो तुम इधर पहली वाली में ए अब सेकंड वाली में या तो a को बिठा दो तो यहां b आ जाएगा या अगर इसको बी बिठा दे तो यहां पे a आ जाएगा ठीक है तो उन्होने बो ध्यान से देखो हम कर क्या रहे हैं पहली वाली जो चेयर है उसके पास ले दे के तीन ही ऑप्शन है या तो a को बिठा दो या b को बिठा दो या c को बिठा दो अगर तूने a को बिठा दिया चलो थोड़ा दूसरा एग्जांपल ते अगर तूने यहां पे बी को बिठा दिया तो b को बिठाते ये वाला केस एक्टिवेट हो गया अगर तूने b को बैठा दिया यहां पर तो अब मेरे पास सिर्फ दो ही ऑप्शन बचे ना या तो बी या फिर सी तो दो ही तो ऑप्शन बचे एंड फिर अगर तूने यहां पर बिठा दिया तो अब तो कोई ऑप्शन ही नहीं बचा मैंने बोला ना कि अगर तूने यहां पे a को बिठा दिया और बी को तू ऑलरेडी बिठा चुका है तो यहां तो c ही बैठेगा इसमें कोई चॉइस छोड़ना एक ही ऑप्शन बचा यहां तो कि भाई जो जो बचा व डाल दो यहां पर तो टोटल कितना हो गया 3 * 2 * 1 6 और तुम देख सकते हो सिक्स ही तो आ रहा है एक दोती च पा 6 छह टोटल अरेंजमेंट्स हो सकते हैं ठीक है तो ये क्या जादुई चीज है कि अगर मान लो मेरे को छ लोग को बैठाना होता छ चेयर्स प तो मैं सीधे बोलता था क्या बोलो पहले जो चेयर है उस कितने लोग बैठेंगे छ दूसरी चेर कितने लोग बैठेंगे पाच तीसरी कितने बैठेंगे चार फिर तीन फिर दो एंड फिर एक है फिर एक तो टोटल आंसर कितना आ गया 6 इन 5 इन 4 न 3 इन 2 नव आंसर आ गया 720 यानी टोटल 720 तरीको से छ लोग छ चेर प बैठ सकते हैं छ लोग छ चर में बैठ सकते क्या कुछ कुछ बात पल्ले पड़ रही है कि हम क्या करना चाह रहे हैं यहां पर कि अगर ये क्या समझ में आ रहा है कि 654321 का मतलब क्या है भाई एक चेयर पे एक ही इंसान बैठेगा ठीक है यहां पे इसका ये बिल्कुल भी मतलब नहीं है कि पहली चेयर पे छह लोग बैठ गए एक के ऊपर एक के ऊपर एक ऐसे नहीं हो रहा है ठीक है ना पहली चेयर पे जब मैं बोल रहा हूं तीन तो यहां पे तीन का मतलब है तीन ऑप्शंस ठीक है कि भाई यहां पे क्या मतलब है कि पहली चेयर के पास छह ऑप्शन है इसके पास आप कितने बचे पांच ऑप्शन बचे इसके पास चार ऑप्शन बचे इसके पास तीन ऑप्शन बचे इसके पास दो ऑप्शन बचे और आखिरी वाले के पास कोई ऑप्शन बचा ही नहीं है जो आखिरी में बच गया वही आ जा भाई तो एक ही बचा बस ठीक है इसको मैंने समझाने की कोशिश करी है ना दिस इज अ बिट हार्ड टू ग्राप ऑन द वेरी फर्स्ट टाइम आई कैन अंडरस्टैंड दैट तो इसलिए इसको आप रट भी सकते हो अगर आप चाहो तो कि अगर मुझे n लोगों को n चेयर में बिठाना है अगर मुझे n लोगों को मैं देखो यहां पे कोई फॉर्मूला मामूला बनाने की कोई जरूरत नहीं है n लोगों को n चेयर प बिठाना है तो कितने तरीकों से बिठा सकते हो कितने तरीको से बिठा सकते हो देखो अगर पांच लोगों को पांच चेयर प बिठाना होता है तो आंसर क्या आता है 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ठीक है तो इसकी उन्होंने एक नोटेशन बना दी उन्होंने बोल दिया इसको आज से हम से बोलेंगे 5 फैक्टोरियल ठीक है फैक्टोरियल इन द सेंस कि फ फाइव के फैक्टर्स नहीं है ये ठीक है बट उसी सेंस में है कि फव फैक्टोरियल इन द सेंस कि फाइव के फैक्टर वाली फीलिंग आती है ना 5 * 4 * 3 * 1 राइट 6 फैक्टोरियल का मतलब क्या हो गया 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 क्योंकि उन्होंने सोचा ना जो आपके भास्करा जी थे उन्होंने बोला कि यार ये तो बहुत कॉम्प्लिकेटेड हो रहा है कि अगर 50 लोगों को बिठाना होगा तो क्या मैं बार-बार ये लिखूंगा 15 * 49 * 48 * 47 इंटू ऐसे करते करते वन तक तो सीधे क्या बोल दो 50 फैक्टोरियल अब तू अपने आप समझ जा तू भी समझ गया मैं भी समझ गया क्या कि अगर लिखा हुआ होगा n फैक्टोरियल तो हम समझ जाएंगे कि n फिर उसमें से एक हटा दो n - 1 फिर उसमें से एक और हटा दो n - 2 फिर एक और हटा दो n - 3 और ऐसे करते करते करते करते वन तक ले जाइए गाड़ी को ठीक है तो इसका आंसर क्या आएगा n फैक्टोरियल अगर n लोगों को n चेयर प बिठाना है ठीक है तो आंसर आता है n फैक्टोरियल मतलब टोटल इतने अरेंजमेंट से आप बना सकते हो इसका एक और एग्जांपल ले स सकते हैं हम लोग कि अगर मैं तुम्हारे सामने लिख देता हूं अ ए बी सी डी ये चार मैंने लेटर लिख दिए क्या लिख दिए लेटर्स ठीक है अब इन चार लेटर्स को इन चार लेटर्स से से मैं कितने शब्द बना सकता हूं शब्द मतलब कुछ भी मतलब शब्द जरूरी नहीं है कि उन शब्द का कोई मतलब हो या ना हो फॉर एग्जांपल अगर मैं बोलता हूं बी ए सीडी बास ड ठीक है तो इसका भी हम मान लेंगे कि हां ये भी एक शब्द है या मैं तुम्हारे सामने लिख देता हूं एडी एडी सीब एडी सीब ये भी एक शब्द मान लेंगे हम ठीक है तो हमें टोटल अरेंजमेंट्स निकालने हैं तो आप सीधे क्या बोल सकते हो कि तू क्या पूछ रहा है भाई मेरे से भाई चार लेटर्स हैं तेरे पास चार लेटर्स हैं ए बी सी डी इससे तुझे चार लेटर के शब्द बनाने हैं ठीक है तो सीधा आंसर हो जाएगा 4 फैक्टोरियल सीधे कैसे भाई तुझे चार लेटर के शब्द बनाने हैं तो पहला जो शब्द होगा उसमें चार लेटर्स हैं ठीक है तो पहला जो लेटर होगा शब्द का उसके पास चार ऑप्शंस है ठीक है फिर तीन फिर दो फिर वन ठीक है देखो ये इनिशियली थोड़ा सा इसमें टाइम लगता है जब आपने पीएनसी नहीं पड़ा होता है ठीक है तो इनिशियली थोड़ा सा टाइम लगता है इसके साथ थोड़ा यूज टू होने में बट धीरे-धीरे आपके लिए बहुत कॉमन सेंस की बात बन जाएगी आप कहोगे अब तो ये बिल्कुल क्लियर हो गई ठीक है पूरी हम कहानी की तरह करेंगे अरे आप एकदम क्लियर हो जाओगे ठीक है तो चार लेटर्स कितने तरीके से अरेंज कर सकते हैं एक दूसरे के साथ 4 फ्ट 4 फटल कितना होता है 24 ठीक है आप रट सकते हो 2 फ्ट का मतलब क्या हुआ 2 * 1 2 ठीक है 3 फट का मतलब क्या हुआ 3 * 2 * 1 6 4 फ्ट का मतलब क्या हुआ 4 * 3 * 2 * 1 वो आप कर लेना आएगा 4 * 6 24 आ जाएगा 5 फ्टो कितना होगा 5 * 4 एक बात सोच के देखो 5 का मतलब क्या हुआ 5 फ्ट का मतलब क्या हुआ 5 * 4 * 3 * 2 * 1 बेसिकली 5 4 फ्ट हो गया ना 4 * 3 * 2 * 1 लिखेगा मैंने उसको 4 फैटल लिख दिया अब ये कितना हो गया 5 * 4 फटल कितना है 24 तो आंसर आ गया 24 ये हो गया 120 ठीक है तो 120 अब मैं पूछता हूं 6 फ्टो कितना होगा तो इसी में सि मल्टीप्लाई कर दे ठीक है तो 720 आ जाएगा ठीक है तो इतना तो आपको याद रहना चाहिए अगर मैं तुमसे बोलूं 1 फ्टो कितना होगा तो कॉमन सेंस है ना 1 फ्ट मतलब क्या वन खत्म ठीक है इसके आगे भी आप कर सकते हो 7 फटल क्या क्या होगा इसी को से से मल्टीप्लाई कर दो समथिंग लाइक 5000 समथिंग आएगा 8 फैक्टोरियल क्या होगा इसको 8 से मल्टीप्लाई कर दो एंड सो ऑन चलता रहेगा ये तो ठीक है देखो ये जो हम पूरा कर रहे हैं ना ये कहानी है लेजिटिमेसी तो पूरी फील है ठीक है पूरी फील है वो ठीक है अगर तुम्हें फीलिंग नहीं आ रही अगर तुम्हें स्टोरी नहीं समझ में आ रही तो कोई फायदा नहीं है ठीक है कुछ नहीं कर पाओगे सब रटते रहोगे बस कि अच्छा इसका ये फॉर्मूला होता है इसका ये फॉर्मूला होता है जैसे मैंने यहां पे कर दिया ये कोई याद बात करने की जरूरत नहीं है ये सब अपने आप हो जाएगा ठीक है ज्यादा टेंशन मत लो मुझे पता है थोड़ा सा मामला उठ जाता है उन लोगों के लिए जिन लोगों ने आज तक पीएनसी नहीं पढ़ा है बट थोड़ा सा धीरे-धीरे आराम से शांति से देखने की कोशिश करो तुम्हें धीरे-धीरे सब समझ में आने लग जाएगा ठीक है तो कहानी को कंटिन्यू करते हैं तो वो लोग काफी खुश हो गए ठीक है वो तीनों लोग बड़े खुश हो गए कि अच्छा ठीक है अगर हमें n चीजों को n चेयर्स प बिठाना है n लोगों को n चेयर प बिठाना है तो वो कितने तरीकों से हो सकता है है ना कितने कॉमिनेशन हो सकते हैं सॉरी कितने अरेंजमेंट्स हो सकते हैं और अरेंजमेंट का ही दूसरा नाम होता है परम्यूटेशन ठीक है तो जो बोला ना परम्यूटेशन एंड कॉमिनेशन तो उसका एक पत्ता तुम्हें दिख चुका है परम्यूटेशन मतलब कि तीन चीजों को तीन जगहों पे बिठाने के कितने तरीके हो सकते हैं ठीक है कि एक हो गया ए c या तुम बोल सकते हो c ए या मे बी b ए है ना या फिर कुछ भी या फिर b स ए है ना ऐसे बहुत सारे तरीके हो सकते हैं तो टोटल कितने तरीके होंगे तीन चीजों को बिठाने के तीन फैक्टोरियल यानी कि 3 * 2 * 1 6 छह तरीकों से आप तीन चीजों को इधर-उधर घुमा सकते हो ठीक है बढ़िया चल रहा कुछ अब ये तीनों लोग आपके घर पर पहुंचते हैं ठीक है पिंगला और भास्कराचार्य निकल जाते कु अपने रास्ते प लीलावती जो है लीलावती जो है वो अपने घर पर लट के आती है और वो देखती है उसकी दादी जी है उसकी जो दादी जी है दादी जी ठीक है ना वो चटनी बना रही होती है क्या बना रही होती है चटनी ठीक है और व दादी जी को देखती है तो उन्होने अपने अराउंड आठ चीज रखी होती है आ छोटी छोटी कटोरिया होती है ठीक है छोटी छोटी कटोरिया होती कटोरिया ठीक है पहली कटोरी में होता है पुदीना ठीक है दूसरे में होता है धनिया धनिया की चटनी ठीक है तीसरे में होती है अमिया अमिया की चटनी ठीक है ऐसे करते हुए टोटल आठ कटोरिया रखी होती है ठीक है अलग-अलग टेस्ट की इंडिया में टोटल एट हर्ब्स पाई जाती थ एट इस टाइप की जिसमें आप टोटल आठ चटनियां बना सकते हो ठीक है तो कितनी कितनी चटनिया है टोटल आठ चटनी है ठीक है लेकिन उनकी दादी क्या करती है ना वो बड़ा कमाल करती है वो क्या करती है कि मानो उन्होंने पुदीना उठा लिया और इधर से उन्होंने धनिया उठा लिया और इन दोनों की कटोरी को मिला दिया तो उन्होंने एक नई कटोरी बना ली उसमें थोड़ा सा उन्होंने धनिया डाल दिया धनिया वाली चटनी डाल दी और थोड़ा उन्होंने पुदीना वाली चटनी डाल दी तो अब ये मिल के क्या बन गई अब ये मिल के क्या बन गई धनिया पुदीने वाली चटनी ठीक है फिर एक और कटोरी उन्होंने बनाई उसमें उन्होंने पुदीना डाल दिया लेकिन यहां से उन्होंने अमिया उठा ली ठीक है तो अमिया की जब चटनी बना दी तो ये पुदीना प्लस अमिया वाली चटनी बन गई तो ये एक अलग ही यूनिक चटनी बन गई ठीक है तो ऐसे आप कितने तरीकों से चटनियां बना सकते हो ना राइट फिर उन्होंने एक और कटोरी ली उसमें उन्होंने पुदीना डाल दिया है ना इधर उन्होंने धनिया भी डाल दिया और अमिया भी डाल दी तो अब ये तीन से अलग कॉमिनेशन बन ग चटनी बनी राइट तो ऐसे करते करते वो बहुत सारी चटनी बना सकती है तो शाम को जब पापा उसके घर पे आए तो उन्होंने बोला कि इंडिया में टोटल 63 टाइप्स की चटनियां होती है इंडिया में हमारे भारत में टोटल 63 टाइप की चटनियां बनती है कितनी 63 टेस्ट्स की ठीक है अब लीलावती सोच रही है कि ये कैसे हो सकता हैले 63 टेस्ट की चटनी हमारे पास सिर्फ आठ चटनी है टोटल अगर आप इंडिविजुअल देखोगे तो पुदीना अमिया है ना धनिया ऐसे इस टाइप के टोटल एट यूनिक टेस्ट होते हैं बट हम उन्हीं के साथ कुछ झोला भला करके हम टोटल 63 टेस्ट निकाल लेते हैं इन्हीं में से तो ये कैसे निकल के आ रहा होगा व्हाट कुड बी द थिंग बिहाइंड इट कैसे ये चीज हो रही है क्योंकि उसको ये बात बड़ी मैथमेटिकल लगी लीलावती को ये बात बड़ी मैथमेटिकल लगी कि हम अल्टीमेटली कर क्या रहे हैं हम अल्टीमेटली क्या कर रहे हैं कि आठ चटनियां हैं कभी तो मैं उसमें से दो चूज कर ले रही हूं क्या कर ले रही हूं चूज तो उन्होंने ऐसी बोल दे कि इसको बोलते हैं कि आठ में से मैंने दो को चूज कर लिया ठीक है ना आ एट में से चूज कर ले दो को ठीक है या फिर तुम आठ में से तीन चूज कर रहे हो भाई ये आठ चटनियां में से कोई भी तीन उठा ले मान लो ये वाली ये वाली और ये वाली अब इन तीनों को मिला दिया मैंने बाउल के अंदर अब एक अलग ही टेस्ट बन के आ गया या फिर मैं ये भी कर सकती हूं कि मैं आठ में से कोई चार चटनी उठा लूं है ना या फिर आठ में से कोई भी पांच चटनी उठा लू या फिर आठ में से कोई भी छह चटनी उठा लूं या फिर आठ में से कोई भी सात चटनी उठा लूं या फिर आठ में से आठ होके आठ उठा लू राइट राइट तो उन्होंने बोला कि ये कुछ तो मैथमेटिकल लग रहा है सुनने में ठीक है एक बार ट्राई करके देखते हैं क्योंकि 63 चट्टी तो लेटेड ब्रूट फोर्स से निकल के आती है किससे क्या शब्द यूज किया मैंने यहां पे ब्रूट फोर्स ब्रूट फोर्स मतलब पता क्या होता है लाइक लिटरली करना है इससे ठीक है कि ठीक है पहले इस वाली चटनी को उठा लो फिर इस वाली को उठा लेना ठीक है फिर इसको उठा लो और फिर को भी उठा लो तुम एक्चुअली बैठ करके सारे कॉमिनेशन निकाल रहे हो तो 63 तो ऐसे आया था ठीक है उससे पहले कोई मैथमेटिक्स नाम की चीज नहीं थी इस टाइप से इस लेवल की तो लीलावती को चुन मच गई फिर से कि यार हम ये जो कर रहे हैं सुबह से हम कर रहे हैं कभी हमने कैलेंडर निकाला उसके बाद हमने रास्ते निकाले उसके बाद हमने फिर वो नाटक वो जो था मूवी हॉल में घुसने के तरीके हमने निकाले थे है ना फिर उसके बाद हमने ये देखा कि तीन लोग तीन जगह प कैसे बैठ सकते हैं ये सब है क्या ये हम कर क्या रहे हैं तो भास्कराचार्य और लीलावती सोच रहे थे कि हम कर क्या रहे हैं तो हम अल्टीमेटली कॉमिनेशन बना रहे हैं ठीक है हम अरेंजमेंट्स कॉमिनेशन बना रहे हैं तो इसीलिए इस चैप्टर का नाम रखा गया इस पूरी साइंस का इस पूरी स्टडी का नाम रखा गया परम्यूटेशंस एंड कॉमिनेशन ठीक है एंड आगे जा करके इसको बोल दिया गया कॉम्बिनो कॉम्बिनो ठीक है बेसिकली आप कॉमिनेशन के तरीकों से आप कैसे काउंट कर सकते हो इसको कुछ लोग ये भी बोलते हैं काउंटिंग काउंटिंग ही तो कर रहे हो ना ले दे करके कितनी चटनियां बन सकती है कितने रास्ते हो सकते हैं कितने कितने कितने ये कितना क्या होता है इसी को इंग्लिश में क्या बोलते हैं काउंट हाउ मेनी हाउ मेनी वेज हाउ मेनी वेज नंबर ऑफ वेज ठीक है तो अब ये और इंटरेस्टिंग मोड प कहानी आ चुकी है कि एगजैक्टली ये चटनियां का क्या खेल है राइट तो इसको समझते हैं एक बार तुम खुद भी सोच सकते हो कि कैसे ये चीज निकाली जाए कि अगर मुझे इन आठ चटनियां में से अलग-अलग टाइप से चटनी बनानी है भाई देखो आठ चटनियां तो मेरे पास ऐसी हो गई एट चटनियां तो मेरे पास ऐसी आ गई है ना जो यूनिक चटनियां है एकदम आपकी बट कुछ चटनी मेरे पास कैसी आएंगी जब मैं दो दो के पेयर बना के करूंगा जब मैं दो दो के पेयर बनाऊंगा राइट फिर जब मैं तीन-तीन लूंगा है ना तो उससे अलग-अलग आएंगी तो दो दो वाली कितनी चटनी आ सकती है ठीक है तो सोचना पड़ेगा थोड़ा सा सोचना पड़ेगा तो तुम सोच के देखो ना तुम सोच के देखो कि कैसे ये चीज करी जा सकती है तो क्या करना क्या चाह रहे हैं हम लोग भाई देखो हमारे पास आठ चटनियां है ठीक है और उसमें से हमें कोई भी लेटस से दो चटनी चाहिए या मान लो तीन चटनी चाहिए ठीक है तो ऐसे देखते हैं इस चीज को तीन चटनी चाहिए ठीक है तो ऐसे बना लो तीन चटनी चाहिए मेरे को ठीक है तीन अब इन तीन चटनियां मुझे चाहिए तो क्या बात समझ में आ रही है कि हम करेंगे क्या हम इन तीन ये जो भी हम तीन चटनी चुनेंगे मान लेते हैं हमारे पास कितनी चटनी है मान लेते हैं c1 c2 c3 और ऐसे करते करते c8 ठीक है ये पुदीने की चटनी ये अमिया की चटनी ये धनिया की चटनी ऐसे करके ठीक है तो इसमें से मान लो मैंने c2 चुन ली है ना फिर c5 चुन ली और c7 चुन ली अब इनको मिला कर के ये पूरी चीज क्या बन गई ये एक नई चटनी बन गई पूरी ठीक है तो ऐसे बहुत सारे कॉमिनेशन हो सकते हैं राइट तो हम कैसे करेंगे हम बोलेंगे देखो जो पहली चटनी मैं चूज करूंगा वो तो इन आठों में से कोई भी हो सकती है राइट तो पहला काम करने के कितने ऑप्शन है आठ ऑप्शन है ठीक है फिर फिर जो दूसरा चटनी है देखो एक को तो तुमने चूज कर लिया ना अब कितनी बची अब सेवन बची राइट तो अब इस वाले काम को करने के लिए सेवन ऑप्शंस है फिर जो तीसरी चटनी है उसको चूज करने के लिए कितनी चटनी बची छह राइट तो टोटल कितनी हो गई 8 * 7 * 6 राइट लेकिन यहां पे एक झोल हो गया भाई ध्यान से देखना यहां पे हमने क्या किया ओके ओके ल राइट आईम ट्रांग इट आउट ल राइट तुमने देखो ये जो हम कर रहे हैं ये बहुत कॉम्प्लिकेटेड है मुझे पता है ठीक है अगर हम अभी अभी मैं इसको सिंपलीफाई भी कर दूंगा थोड़ा कोशिश करूंगा आखरी में जा कर के ठीक है तो उससे बहुत ही आपको एक गिनी चुनी चीज मिल जाएगी और आपको पता चल जाएगा हां ऐसे करते हैं ठीक है लेकिन इसको समझ लोगे तो फिर तुम्हारा पीएनसी अलग ही लेवल प चला जाएगा ठीक है तो बिल्कुल फुल फोकस के साथ एकदम अटेंशन के साथ डूबने की कोशिश करो कि उन लोगों ने उस टाइम प क्या किया क्या चमत्कारी चीज करी है यार मजा आ जाएगा ठीक है ध्यान से सुनना प्लीज ठीक है तो 8 * 7 * 6 ठीक है अब इसका मतलब क्या है जब तुमने c1 से c8 तक कोई भी एक चूज कर लो कोई भी एक चीज मान लो तुमने c2 चूज कर ली मान लेते हैं ठीक है फिर अब तुमने c2 चूज कर लिया है अब कितनी बची c1 c2 तो चूज हो गया ना c1 c3 c4 c5 ऐसे करते करते मान ले तुमने अब जो बची हुई है उसमें से मान लो तुमने c5 चूज कर लिया अबकी बार ठीक है फिर अब तीसरी बार फिर चूज करना है तो अब तुमने कोई भी मतलब आप कोई भी चूज कर सकते हो तुमने c1 चूज कर लिया राइट तो ये तुम्हारी एक एक एकदम यूनिक चटनी बन गई राइट ऐसे ही अगर तुम चाहते तो तुम पहली बार में मान लो c3 चूज कर लेते ठीक है फिर तुमने मान लो c1 चूज कर लिया फिर c4 चूज कर लिया ये तुम्हारी एक यूनिक चटनी बन गई लेकिन अगर मैं बोलूं कि तुमने पहली बार में जब तुमने c3 चूज किया था ना तो तुमने c3 चूज नहीं किया उस टाइम पे तुमने अब c1 चूज किया तुमने c1 चूज किया ठीक है फिर अगली बार में तुमने c4 चूज किया एंड फिर तुमने c3 चूज किया ध्यान से देखो ये दोनों चटनी सेम ही तो हैं ये वाली और ये वाली ये दोनों चटनियां तो सेम ही है अरे यार तू एक कटोरी में पहले पुदीने की पहले पुदीना डाल फिर फिर धनिया डाल फिर अमिया डाल या फ पहले अमिया डाल दे फिर धनिया डाल दे फिर पुदीना डाल दे बात तो एक ही है ना चटनी तो एक ही बनेगी राइट तो स3 स1 c4 स1 c43 य सब तो एक ही है पर ये तो सब इसमें काउंट हो गया बात समझ में आ रही है यह तो सब इसमें काउंट हो गया ना 8 7 6 में काउंट हो गया य तो तो हमें ये सारे कॉमिनेशन हटाने पड़ेंगे इसमें से तो मतलब क्या है कि 8 7 * 6 तुमने ये किया इसमें इसमें हुआ क्या इसमें हुआ क्या कि इसमें ये जो केसेस हैं c3 c1 c4 या फिर c1 c4 c3 या फिर c3 c4 c1 ठीक है मतलब ये तीन चीजें एक दूसरे में कितनी तरीके से घूम सकती है तीन फैक्टोरियल तरीके से तो अ ओके लेट मी एक्सप्लेन इट विद अ मोर सिंपल सिंपल एग्जांपल ठीक है लेट मी टेक इट अ मोर सिंपल एग्जांपल मान ले चार चटनियां है ठीक है सिंपल रखते हैं चार चटनियां है मान ले ठीक है a b c और d ठीक है इसमें से मान लो मुझे सिर्फ दो चटनियां चाहिए मुझे कोई भी दो चटनियां लाके दे दे तो ऐसे ही करके देखते हैं पहले ठीक है बिल्कुल ऐ ही करके देखते हैं या तो तुम a और b को मिला लो ठीक है या फिर a और c को मिला लो या फिर a और d को मिला लो है ना ए ए एडी या फिर bcd4 तीन-तीन करके मिलाओ ग तो क्या तरीका है या तो ए c भाई ए c या फिर a देखो इसका तरीका क्या होता है ना मैं मैंने क्या ट्रिक लगा रखी है ए सडी में से मैं एक पे उंगली रख देता हूं मान लो मैंने d हटा दिया तो ए c आ जाएगा अगर मैंने c हटा दिया तो आ जाएगा एडी अगर मैंने b पे उंगली रख दी तो आ जाएगा एडी अगर मैंने a पे उंगली रख दी तो क्या आ जाएगा b c d इसके अलावा और कोई नहीं हो सकता और अगर तुमने चारों को ही मिला लिया तो एक चटनी बन जाएगी ए b सडी नाम से ठीक है ठीक है ना तो ये टोटल आपकी टाइप ऑफ चटनियां बन जाएंगी है ना पहली चटनी ए फिर दूसरी फिर तीसरी फिर चौथी पांचवी छठी सातवी आठवी नौवी 10वीं और ये 11वी और बाकी चार तो है ही इंडिविजुअल तो 11 12 13 14 15 टोटल 15 टाइप की चटनियां तुम बना सकते हो अगर तुम्हारे पास चार इंडिविजुअल फ्लेवर्स हैं अब ये जो तुमने किया ये तो बिल्कुल ब्रूट काउंटिंग हो गई बिल्कुल एकदम गिन गिन के कर लिया तुमने अब इसको हम एक टेक्निक से करने की कोशिश कर रहे हैं तो मान लो हमें दो चटनियां चाहिए ठीक है हमारे पास चार चटनियां रखी है a ब c और डी इसमें से मुझे कोई भी दो चटनियां उठानी है ठीक है कोई भी दो चटनियां मुझे उठानी है ठीक है ठीक है तो पहली चटनी उठाने के लिए मेरे पास कितने ऑप्शंस है कितने तरीकों से मैं पहली चटनी को उठा सकता हूं या तो ये वाली उठा लू या ये ठीक है तो चार तरीको से उठा सकते हैं फिर दूसरी चटनी उठाने के कितने ऑप्शंस है अब तुमने पहली एक उठा ली तो तीन बचे तो तीन तीन हो गए यानी कि 12 तरीके हो गए कितने 12 तरीके बट सर ये तो फ्लॉप है ये तो झूठ है क्यों क्योंकि सर एक्चुअल में तो एक दोती च ये तो सर छह आ रहे हैं आप तो 12 बोल रहे हो मैंने कहा एगजैक्टली क्या हुआ क्या यहां पर जब तुमने पहली बार में मान ले तूने ए उठा लिया पहले तुमने ए उठा उठा लिया ठीक है और फिर तूने मान ले c उठा लिया ठीक है ऐसे ही मान लो तुमने पहली बार मान लो b उठा लिया और फिर अगली बार तुमने d उठा लिया तो ठीक है ये तो परफेक्ट है बढ़िया लेकिन अगर तुमने पहली बार में d उठाया पहली बार में तुमने d उठाया ठीक है और फिर तुमने अब d को तो हट गया तो a ब c में से अब तुमने b उठा लिया तो इन 12 में ये दोनों इंडिविजुअली अलग-अलग काउंट हो गए क्योंकि इसके हिसाब से बडी और अरेंजमेंट वाइज अगर तुम देखोगे तो बी और डी और डी ब ये अलग-अलग सिचुएशन है मेरे राइट साइड में कोई बैठा है ये अलग सिचुएशन है या फिर मैं उसके लेफ्ट हैंड साइड में ठीक है तो ये अलग सिचुएशन हो जाएगी ना ठीक है तो बीडी और डी ब अलग अलग है लेकिन एक्चुअल में तो हम दो लोग ही है ना बस अगर इस दूसरे के अलावा कोई तीसरा बैठा होता ओके तो तो अगर एक मिनट ओके बच गए हां तो अगर क्या बोल रहा था मैं हां तो अगर हम दो के अलावा लाइक अगर इस दूसरे जो भी यहां बैठा हुआ है मान लेते हैं दूसरा कोई भूत ठीक है उसके अलावा कोई और बैठा होता तो ये कॉमिनेशन दूसरा माना जाता है राइट कि अगर ए है अगर ए है उसके अलावा ए होता तो तो चल जाता राइट लेकिन ऐसे थोड़ा ना आप मान लोगे कि ए भी लिखा हुआ है और ब लिखा हुआ है इसको आप अलग-अलग थोड़ी ना मान लोगे हां इनका अरेंजमेंट अलग है बट है तो लिटरली तो सेम ही चीज है ना चटनी तो एक ही है तो बडी और डीब सेम ही है तो कहने का मतलब क्या है कि ये दो चीजें एक दूसरे में कितनी देर तरीके से घूम सकती है दो तरीकों से दो चीजें एक दूसरे में कितने तरीके से घूम सकती हैं दो फैक्टोरियल तरीके से यानी कि दो तरीके से तो यहां पे हुआ क्या है हर केस दोदो बार काउंट हो गया है तो ये जो 12 लिखा हुआ है इसको आपको दो फैक्टोरियल से डिवाइड कर देना चाहिए तो आपको एक्चुअल आंसर मिल जाएगा क्योंकि हर केस दो-दो बार काउंट हो गया है ठीक है तो 12/2 = 6 तो तुम देख सकते हो छ आंसर आ गया इसी लॉजिक से अगर मैं तीन बनाऊं अगर मैं तीन बनाऊ मान लो मेरे पास चार है ए बी सीडी इसमें से मुझे तीन बनानी है कितनी तीन ठीक है तो चार पहले ऑप्शन के पास कितने हैं चार फिर तीन फिर दो डिवाइडेड बाय 3 फ्टो कितने लोग समझ गए ट क्यों किया मैंने क्योंकि अगर मान लो मैंने चूज कर लिया ए सी और डी फिर मैं बोल रहा हूडी सी ए फिर मैं बोल रहा हूं एडी सी अरे भैया ये सब एक ही है ना ये तो सब एक है और ऐसे कितने तरीके से घूम सकते हैं तीन फैक्टोरियल तरीके से ये ए सीडी तीनों एक दूसरे में घूम सकते हैं तो ऐसे ही हर केस हर केस इस 4 * 3 2 यानी की 24 तो 24 में हर केस 24 फोर में हर केस जो है वो छह छह बार काउंट हो गया क्योंकि तीन फैक्टोरियल है ना तो इसीलिए इसको आपको न फैक्टोरियल से डिवाइड करना पड़ेगा इसको लॉजिकली समझो जैसे ए ब स है ए ब स कितने तरीके से घूम सकता है छह छह तरीकों से ठीक है ए ब स जो है वो छह तरीकों से घूम सकता है सॉरी हां छह तरीकों से घूम सकता है क्योंकि ए स यानी कि 3 फैक्टोरियल ठीक है क्यों आप स दिखाओ मेरे को कौन से छह तरीके जैसे मानो ए c हो गया फिर acbb.red ए बी ठीक है या फिर सी बी ए ये लो ये हो गए वो छह तरीके जिसमें आपका ए बी सी घूम सकता है तो ये छ के छ इसमें काउंट हो गए ऐसे ही फिर इसके छ फिर इसके छ फिर इसके छ है ना तो ये चार के छछ काउंट हो कर के टोटल कितने बन गए 24 वही 24 यहां पर लिखा हुआ है इसीलिए 24 को 6 से डिवाइड कर दिया 3 फ्टो से डिवाइड कर दिया ठीक है आप जरा ऊपर वाले प आए ठीक है मेरा पेन तोड़ने के बाद है ना अब तो समझ जाओ अब तो समझ जाओ सालो ठीक है सो c1 c2 c3 ऐसे करते करते c8 तक हमारे पास आठ चटनियां थी ठीक है तो इसमें से अगर आपको तीन चटनियां लेनी है ठीक है तीन चटनी लेनी है तो पहली चटनी चूज करने के लिए तुम्हारे पास कितने तरीके हैं आठ तरीके फिर सेवन तरीके फिर छह तरीके अगर चार चूज करनी होती तो इंटू पा कर देते ठीक है सो 8 * 7 * 6 हो गया लेकिन सर लेकिन सर 8 * 7 * 6 इसमें एक गड़बड़ है बताओ क्या गड़बड़ है क्योंकि अगर आप तीन चटनी उठा रहे हो तो वो तीन तरीके से घूम सकती हैं तो वो सब इसमें काउंट हो गए तो इसलिए इसको 3 फैक्टोरियल से डिवाइड करना पड़ेगा राइट अच्छा अगर मुझे दो चटनी चाहिए होती इसमें से दो चटनी चाहिए होती तो पहले को पहली चटनी बनाने के लिए आठ हो गया इन 7 8 * 7 डिवाइड बा 2 फ्टो राइट तो अगर मैं इस पूरी कहानी को जरा सही से लिख दूं अब ठीक है जरा सही से लिख दूं तो क्या तुम समझ गए क्या तुम समझ गए कि c1 c2 c3 ऐसे करते करते c8 तक ठीक है अगर मुझे इसमें से इन आठ चटनियां में से एकएक के लेनी होती तो पहले c1 ले लो तो ये एक इंडिविजुअल चटनी हो गई c2 अपनी अलग चटनी हो गई c3 अपनी अलग चटनी हो गई तो ऐसे एट चटनियां तो यही हो गई प्लस एट चटनी तो यही हो गई ठीक है या फिर या फिर देखो या मैंने क्या बोला या या या या में हमेशा तुम जोड़ो ग क्योंकि वो केसेस है ना अलग-अलग कि या तो तुम एकएक चटनी को ले लो या फिर तुम दोदो चटनी करके ले सकते हो तो दो-दो चटनी अगर मुझे लेनी होंगी तो उसका क्या आंसर होगा ऐसे ही बोल दो यार 8 * 7 डिवाइडेड बा 2 फैक्टोरियल अगर तीन-तीन करके लेनी होंगी तो 8 * 7 * 6 / बा 3 फ्ट प्लस 8 * 7 * 6 * 5 / बा 4 फ्टो अगर मैं चार चार करके चूज करूंगा भई अगर मैं चार चार करके चूज करूं ठीक है तो आठ का में से अगर तुम्हे पहले पहली चटनी चूज करने के आठ तरीके फिर दूसरी चटनी चूज करने के सेवन फिर सिक्स फिर फाइव लेकिन अगर तुमने चार चटनियां को उठा लिया मान लेते हैं c3 c7 c1 c4 ये चारों अपने में कितने तरीके से घूम सकती है 4 फैक्टोरियल तरीके से घूम सकती है ये सारे केस रिपीट हो गए इसलिए 4 फैक्टोरियल से डिवाइड करना पड़ेगा राइट परफेक्ट दैट सिंपली मींस कि ये आप ऐसे कर सकते हो है अगर आपको पांच चाहिए होती तो 8 * 7 * 6 * 5 * 4 डिवाइड बा 5 फ्टो ठीक है एंड प्लस में आप आगे तक ले जा सकते हो इसको उन्होंने थोड़ा सा नोटिस किया ये अल्टीमेट का कौन रही है ना ये लीलावती भास्कर अपने घर में बैठ के चटनी चटनी खेल रहे हैं ठीक है तो उन्होंने जब इसको देखा तो उन्होंने बोला इसका हम एक नोटेशन बना सकते हैं भाई देखो ये तुमने अल्टीमेटली क्या किया ये तुमने आठ में से दो चटनी चूज करी ठीक है तो कितने तरीको से चूज कर सकते हो वो यहां लिखा हुआ है ये तुमने क्या करा ये तुमने आठ में से तीन चटनी चूज करी ये तुमने आठ में से चार चटनी चूज करी ये तुमने आठ में से पाच चटनी चूज करी एंड फिर तुम आठ में से छ चूज करोगे या आठ में से सात को मिला लोगे और आठ में से अगर आठ हो ले लोगे तो तो आंसर एक ही आएगा ठीक है उने बोला अल्टीमेटली हम क्या कर रहे बड़ी गजब की नोटेशन है है ना हम अल्टीमेटली क्या कर रहे हैं हम ए चीजों में से ए अलग अलग चीजों में से हम आर चीजें चुन रहे हैं है जैसे ए चटनिया होती आठ चटनिया चार चटनिया हम बोल रहे ए चटनी तो ए चटनियां में से अगर तुम आ चटनिया ले रहे हो अच्छा यहां एनसीआर से कंफ्यूज म य सीव सी ये अलग चीज है ना चटनी है सीव सी2 चटनी है ये ठीक है तो ये चटनी चटनी ज्यादा हो गया कोई बात नहीं अब जो भी है सच तो यही है तो एनसी आर ए में से आर चीज चूज करनी है ठीक है ना तो ए चूज आर है ना ए में से आ चूज करनी है तो क्या करोगे बताओ क्या करोगे यहां पे देखो ध्यान से देखो अगर मुझे एट में से एट में से दो चीजें चूज करनी होती है तो 8 * 7 डिवाइड बाय 2 फटल करना होता है ठीक है ना अगर मुझे 8 में से मान ले फाइव चूज करनी है तो क्या करूंगा 8 * 7 * 6 * 5 * 4 डिवाइड बाय 5 फैक्टोरियल राइट परफेक्ट ये समझ में आ रहा है ना हम लोगों ने पांच तक लेगा इसको और हमें तो पूरा दिख रहा है अब तो मुझे लरहा है तुम्हें तो दिख रहा होगा कि हां सर अब तो समझ गए ये तो बेसिकली डिब्बा है ठीक है ना ये तो डिब्बे हैं है ना कि हम पहली चटनी चूज करने के आठ तरीके एंड सो ऑन गेम समझ गए अब तुम आई होप सो समझ गए आई होप सो समझ गए अब इसको थोड़ा सा मैनिपुलेट करके देखते हैं तो थोड़ा और मजा आएगा ठीक है ठीक है थोड़ा साथ में रहना मजा आएगा तुम्हें ठीक है देखो क्या कर सकते हैं मानो ये लिखो हुआ है ना 8 * 7 * 6 * 5 * 4 ये तो लिखे रहने दो इसके अलावा मैं यहां पे क्या कर रहा हूं ना मैं इसको पूरा कर देता हूं 3 * 2 * 1 और लगा देता हूं अपनी मर्जी से अब ऊपर मल्टीप्लाई करेगा तो नीचे भी करना पड़ेगा ना 3 * 2 * 1 फालतू में खेल रहे फालतू में ठीक है तो अब ये ऊपर क्या बन गया 8 7 6 5 4 3 2 1 सर ये तो 8 फैक्टोरियल बन गया सर और नीचे क्या बन गया नीचे 5 फैक्टोरियल है ठीक है और ये क्या लिख गया 3 21 ये तो 3 फैक्टोरियल बन गया ई बाबा ये क्या चीज है ये क्या लिखा हुआ है 8 c5 = 8 फट डिवा बा 5 फट 3 फ्टो ठीक है एक मिनट तो क्या सर हम इसको जनरलाइज कर सकते हैं करके देख करके देख देखना यहां पे भी तो कर सकते हैं जैसे 8 c2 था तो 8 * 7 लिखा हुआ है तो सोचने वाले सोच जाएंगे कि भाई नीचे तो 2 फैक्टोरियल लिखे रहने दो यहां पे अल्टीमेटली तू क्या करेगा यहां पे तू अल्टीमेटली 6 5 4 3 पूरी सिक्स की लड़ी लगाएगा ना यानी कि 6 फैक्टोरियल से ऊपर नीचे मल्टीप्लाई करेगा राइट तो यह क्या बन गया 8 * 7 * 6 * ऐसे करते करते वन तक यह पूरी चीज़ क्या बन गई यह बन गया 8 फ्टो कितने लोग गेम को समझ गए कितने लोग गेम को समझ गए कि 8 c2 को हम लिख सकते हैं 8 डिवाइड बा 2 6 फट मतलब यह सर आप यह कहना चा रहे हो मैं कबूल बोलो क्या कहना चाह रहे हो कह अगर लिखा हुआ है मान लो 8c 6 तो पहले लिख दो 8 फैक्टोरियल ठीक है फिर नीचे लिख दो 6 फैक्टोरियल और फिर सर इन दोनों का माइनस यानी कि 2 फैक्टोरियल मैंने कहा हां ये उन्होंने नियम निकाला ठीक है और इसी को उन्होंने जनरलाइज करके लिख दिया कि अगर लिखा हुआ है ncr-1 का फैक्टोरियल मैं अभी और अच्छे से समझा सकता था इसको ठीक है बट समय समाप्ति की घोषणा के चक्कर में अ हमें ये चीज देखनी पड़ेगी सो दिस इज द फॉर्मूला व्हिच वी कॉल n स यानी कि कॉमिनेशन के फॉर्मूले यानी कि अगर तुम्हें n चीजों में से r चीजें चूज करनी है सेलेक्ट करनी है निकालनी है उसमें से तो ऐसे निकाल सकते हो ठीक है इसका सीधे लि सकते हैं कि मान लो तो मैं दे दूं ए बी सीडी e ये पांच चीजें हैं इन पांच चीजों में से मुझे कोई तीन चूज करनी है कोई भी तीन चूज करनी है तो मैं ए बी स चूज कर सकता हूं या फिर मैं ए सडी चूज कर सकता हूं या मैं बीडी चूज कर सकता हूं या मैं e स ए चूज कर सकता हूं बहुत सारे कॉमिनेशन होंगे तो कितने कॉमिनेशन होंगे ऐसे कितने टोटल बनेंगे तो आप सीधे कर सकते हो बेटा आंसर होगा 5 स3 खत्म बात छुट्टी निकाल ले अपने आप 5 स3 होगा आंसर क्या होगा सर 5 फ्टो डिवा बा 3 फट 5 -2 डिवा 5 - 3 2 फ्ट ठीक है ना सो सर ये क्या हो गया ये हो गया फ अब देखो देखो कॉमेडी बात देखना सब लोग तुम्हें ये पढ़ाएंगे जितने लोग भी पढ़ाते हैं वो ये पढ़ाते हैं कि एसी का फार्मूला होता है n फ्टो डिवाइड बा n - r फ्ट * r फटल फिर मैं तुम्हें एक ट्रिक बताऊंगा और वो ट्रिक अगर तुम समझोगे तो उसकी डिस्कवरी ऐसे ही हुई है जैसे मैंने तुम्हें बताया ऐसे हुई है ना कि अगर 8c 2 लिखा हुआ है तो 8 * 7 / 2 तो यहां पर अगर तुम्हें डायरेक्टली निकालना हो तो डायरेक्टली कैसे करोगे देखो 5 * 4 * 3 / 3 यानी कि पहले पांच को तीन तक ले जा तीन तक मतलब तीन तक नहीं मतलब 1 2 3 यहां तक ले जा अ अरे यार ऐसे ले ले मान ले 5c 4 निकालना होता तो 5 * 4 * 3 * 2 पहले चार बार लिख दिया एंड डिवाइड बा 4 फट खत्म ये ट्रिक है इसको याद रखा करो लोग बोलते हैं बेटा ये ट्रिक है क्या ये ट्रिक है क्या ये ट्रिक है भाई ये डिस्कवरी है उसकी तुम्हें आता तो कुछ है नहीं ठीक है तो तुम पता नहीं क्या करते रहते हो कि भाई ये ट्रिक है ये है वो है भा ये ट्रिक नहीं है यार ये ये ट्स हाउ इट वाज डिस्कवर्ड ठीक है और इसी चीज को अगर आप देखोगे ये जो चीज खई ना 5 * 4 * 3 * 2 इसी को कुछ लोग बोल देंगे आगे जाके एनपीआर ठीक है ये फालतू चीज हम यूज़ करेंगे भी नहीं कभी तो मैं तुम्हें पढ़ाने भी नहीं वाला ठीक है ये बिल्कुल कताई बिल्कुल फालतू चीज है बिल्कुल फालतू चीज है ठीक है मैं लिख देता हूं यहां पे सजाने के लिए कि एक चीज होती है बेटा उसका नाम होता है n प ठीक है और वो कुछ नहीं होता है वो ये होता है n फ्ट डिवा बा n मा r का फैक्टोरियल खत्म बात क्या होता है क्यों होता है भाड़ में जाए कोई जरूरत नहीं है इसकी कतई रद्दी चीज है बिल्कुल ठीक है बिल्कुल कोई जरूरत नहीं है बिल्कुल कोई जरूरत नहीं है इसकी ठीक है इसको ऐसे लिख के ही काट देना किसी काम का नहीं है ठीक है जिनको पीएनसी नहीं आता है वो ऐसे करते हैं पीएनसी जिनको आता है वो ऐसे करते हैं ठीक है वो शेरों की तरह करते हैं अब कैसे करते हैं आ जाओ तो अब हमारी हम लीलावती प लौट के आते हैं ठीक है तो अभी तक की कहानी अगर आपको समझ में आरही मैं एक बार जरा सही से लिख देता हूं ठीक है तो अब तु मुझे बताना हमारे पास आठ चटनी है आठ चटनियां है अलग-अलग टाइप की अलग अलग-अलग टाइप की तो अगर मुझे इसमें से चटनियां बनानी है इंडिविजुअली तो या तो मैं आठ में से एक-एक करके चूज कर लूं है ना कि ए बी सीडी इ एज है ना चलो आठ चटनियां को ऐसे लिख देते हैं जिससे कि कंफ्यूजन ना हो ठीक है ये आठ टाइप की चटनियां है तो या तो तुम इंडिविजुअली इन्हीं को काउंट कर लो कि भाई ए एक चटनी ए हो गई एक बी हो गई एक c हो गई तो वो तो 8c बन हो गया ठीक है या ठीक है अब देखो यहां पे हम क्या करते हैं जोड़ते हैं है ना या क्योंकि दूसरा केस हो गया ना या फिर तुम दो-दो करके चटनियां बना लो है ना कि ए को मिक्स कर दिया या फिर तुम तीन तीन करके मिक्स कर लो या फिर तुम चार चार करके कर लो या पाच या फिर छ करके या फिर सात करके या फिर पूरी आठ होगी आठ ले लो अब तुम गिन के देखो 8 स1 का फर्मूला वाइज क्या होना चाहिए 8 फैक्टोरियल डिवाइडेड बाय 1 फ्टो एंड 8-1 7 फ्टो राइट प्लस में ऐसे करके तुम एक एक की वैल्यू निकालो तो इसका आंसर 63 आएगा इसका आंसर 63 आएगा अच्छा कुछ लोग सोच रहे होंगे सर ये तो समझ में आ गया अगर आप 87 निकालते हो तो 8 फ्टो डिवाइड बा 7 फ्टो एंड 8 - 7 1 फ्टो हो जाएगा ठीक है बढ़िया ठीक है एंड 8 से 8 क्या होगा देखो अगर हम लॉजिकली सोच के देखें तो 8c 8 ठीक है दो तरीके से निकाल सकते हो दो तरीके से एक तो फॉर्मूला वाइज सर फॉर्मूले में तो थोड़ा घपला हो गया देखो 8 फैक्टोरियल नीचे लिख दोगे 8 फैक्टोरियल एंड 8 - 8 सर 0 फैक्टोरियल आ रहा है सर ये 0 फैक्टोरियल किस बला का नाम है मैं ठीक है सोचते हैं या फिर सर आपका हम डायरेक्टली सोच लेते हैं कि अगर वो आठ चटनियां तुम्हे चूज करनी है तो पहले चटनी चूज करने के तरीके फिर सात फिर छ फिर पांच फिर चार फिर तीन फिर दो फिर एक डिवाइडेड बाय 8 फैक्टोरियल आंसर आ गया सीधे-सीधे वन क्योंकि ऊपर आठ फैक्टोरियल ही लिखा हुआ है आंसर वन आ गया ठीक है जो कि मेरा तरीका है है ना बेसिकली जो लीलावती जी का तरीका है भास्करा जी का तरीका है जो एक्चुअल तरीका है जो मैथमेटिशियन का तरीका है और ये घलो का तरीका ठीक है और एक और लॉजिक भी है कॉमन सेंस वाली बात है कि अगर मैं अगर मैं आठों चटनियां को उठा लूंगा तो भाई एक ही चटनी तो बनेगी ना तूने सारी चटनी लेकर एक ही में डाल दी एक बड़ा सा भगवाना लिया उसमें ने सारी कटोरिया उड़ेल दी तो एक ही तो चटनी बन गई इट इज वन चटनी राइट तो एक ही चटनी तो बनेगी तो इसका आंसर आना तो वन ही है इसका आंसर वन आना है और ये तो सर मुझे दिख ही रहा है कि ये और ये कट जाएगा तो 1 = 1 / 0 फटल दैट मींस अगर इस चीज को सही बैठना है तो 0 फैक्टोरियल को फिर वन होना पड़ेगा 0 फैक्टोरियल को फिर वन होना पड़ेगा दैट इज द ओनली रीजन वई 0 फैक्टोरियल इज डिफाइंड एज वन बाकी सारे रीजन फ्रॉड है ठीक है स्कैम है कि रो फैक्टोरियल व क्यों होता है ये होता है वो कुछ नहीं 0 फ्टो व इसलिए होता है जिससे कि ये चीज डिफाइन हो सके क्योंकि यहां पे अचानक से 0 फैक्टोरियल आ गया कोई नीड तो थी नहीं हमने तो डिफाइन किया नहीं था 0 फैक्टोरियल का मतलब क्या हुआ भाई जब मैं बोलता हूं 5 फैक्टोरियल तो इसका मतलब क्या होता है 5 * 4 * 3 * 2 * 1 बट इसका एक्चुअल मतलब क्या होता है रियल लाइफ में कि पांच लोगों को पांच कुर्सियों में बिठाने के कितने तरीके होंगे फ फैक्टोरियल राइट तो जीरो लोगों को जीरो कुर्सी पर बिठाने के कितने तरीके होंगे भाई कुछ एजिस्ट ही नहीं कर रहा है तो मैं उसको बिठाऊ कैसे जस्ट डोंट से दैट इसका आंसर वन है दिस इज कंपलीटली इलॉजिकल राइट लेकिन उसको हमने वन क्यों बोला है 0 फैक्टोरियल इक्वल टू 1 दिस इज जस्ट मैथमेटिकल इट इज जस्ट लाइक जैसे एनर्जी पढ़ते हो तुम फिजिक्स में राइट तो एनर्जी का कोई मतलब थोड़ी नहीं होता है कि भाई एक ब्लॉक है उसमें 10 जूल एनर्जी डाल दी क्या पागल हो गए हो क्या 10 10 जूल एनर्जी डाल दोगे क्या उसके अंदर तुम ठीक है क्या तुम्हारे अंदर कुछ ऐसे पावर रेंजर्स की तरह क्या कुछ अल्ट्रा बीम्स निकल रही है तुम्हारे हाथों में से कुछ निकल थोड़ नहीं रहा होता है कि हम बोलते हैं हमने उसपे फोर्स लगाया और वो 5 मीटर डिस्प्लेस हो गया उसके अंदर इतनी एनर्जी आ गई और मेरे से इतनी निकल गई कुछ निकला आज तक हैं ये ले ये ले कुछ एनर्जी निकली क्या इसमें बट फिजिक्स वुड काउंट है ना सो एनर्जी कुछ होती नहीं है एनर्जी इज जस्ट कैलकुलेशन राइट इट इज जस्ट नंबर जो कि आप एक एक सिस्टम को असाइन कर देते हो कि भाई इसको हम बस बोलेंगे कि इसके पास 20 जूल एनर्जी है कोई एक्चुअल में 20 जूल नहीं है सिमिलरली जो ये कई लोगों को तो ये नहीं पता होगा कि एनर्जी इज जस्ट अ नंबर इट इज नॉट अ फिजिकल क्वांटिटी ठीक है इट वाज जस्ट डिफाइंड बाय फिजिसिस्ट इन अराउंड आई गेस 1700 1800 टू सिंपलीफाई कैलकुलेशंस एनीवेज दैट वुड काउंट फॉर फिजिक्स अनप्लग्ड हां तो 0 इ 1 दिस इज़ जस्ट दिस दिस इ दिस हैव नो फिजिकल सिग्निफिकेंट इट इज़ जस्ट लाइक इ 0 फ्ट इक्व ट 1 इज़ यूज इट इट इज़ नीडेड टू बी डिफाइंड लाइक दिस वरना आप इसको ऐसे कर नहीं पाओगे ना क्योंकि हमें यह तो बाय लॉजिक समझ में आ रहा है कि आठ चटनियां को अग डाल देंगे तो करना पड़ेगा तो यहां से एक बड़े इंपॉर्टेंट नियम निकल के आ गए कि 0 फैक्टोरियल को हम लोग वन बोलेंगे भाई ठीक है ना ठीक है तो यह इसे कहते हैं डिस्कवरी ऑल राइट सो अगर आप लोगों को ये बात समझ में आ गई है तो दैट्ची डू अ डू दिस ठीक है सो 8c 1 + 8 c2 ऐसे करते करते अब यह जो सीरीज लिखी हुई है ना इसको देख के भी कुछ लोगों को बड़ा इंटरेस्ट आ रहा था है ना जो हमारी लीलावती थी और भास्करा थे पिंगला थे कह ये बड़ी इंटरेस्टिंग सी सीरीज है 8 c1 + 8 c2 + 8 c3 + 8 c4 है ना लाइक काफी इंटरेस्टिंग सी सीरीज है इसके बारे में भी कुछ सोचेंगे कि हो सकता है कुछ और तरीका होता हो निकालने का और वो बिल्कुल सही सोच रहे हैं इसको निकालने का एक तरीका है और वो है 2 की पावर 8 डायरेक्ट 2 की पावर जो भी यहां लिखा हुआ है 2 की पावर 8 आंसर आएगा 64 यहां पे 8 से ज़ीरो नहीं है दैट इज वन तो 64 -1 63 आंसर आ जाएगा मुझे पता है तुम्हें समझ में नहीं आया बट दैट इज द ट्रिक पार्ट जो अभी आएगा आगे और उनका दिमाग और उड़ जाएगा ठीक है आई एम जस्ट कमिंग फ्रॉम टाइम मशीन एंड टेलिंग देम कि ब्रो एक्चुअली ये टू की पावर 8 होगा तुम ही लोग डिस्कवर करोगे ठीक है और फिर 63 आंसर आएगा ठीक है सो बट अभी हम वो सस्पेंस रखते हैं ऐसे थोड़ना बता देंगे सब कुछ एनीवेज आगे बढ़ते हैं तो अ ये हमारी कहानी चल रही थी अब तो उनको मजे आ गए अब उन्होंने बोला कि चलो कुछ और सिचुएशंस बना के देखते हैं ठीक है जैसे मान ले अ 10 बच्चे रखू मैं 10 बच्चे रख नहीं 10 बच्चे तुम्हारे सामने रख है ठीक है राम श्याम घनश्याम मीना मुन्नी है ना और क्या है चमन चमन तो होना ही चाहिए ठीक है और क्या है शालू आई डोंट नो मैं कैसे रैंडम नाम ले रहा हूं ठीक है बहुत सारे ऐसे 10 बच्चे रखू बच्चा बच्ची जो भी 10 बच्चे हैं हमारे सामने इनमें से किन्हीं चार को तुम्हें उठाना है किन्हीं चार को तुम्हें चूज करना है और टेबल प उठा देना है ठीक है ये टेबल है यहां पर चार चेर है ठीक है ये चार चेयर है कैसी ड्राइंग कर रहा हूं मैं ठीक है समझ गए ना कि एक टेबल है उसमें दो चेयर ऐसे दो चेयर ऐसे बेसिकली चार चेयर हैं और चार बच्चों को बिठाना है तो सबसे पहला काम तुम्हें क्या करना पड़ेगा यह काम कितने तरीके से हो सकता है या तो मैं राम को बिठा दूं फिर शाम फिर लेट अस से यहां पे मैंने मुन्नी को ले लिया और यहां पे चमन को तो ये चार लोग बैठे हुए हैं बट ये चार लोग अपने अलग-अलग तरीके से भी तो बैठ सकते हैं हो सकता है चमन यहां बैठा हो और राम यहां बैठा हो है ना उसको मुन्नी के पास बैठना था ठीक है तो ये एक तो इस तरीके से घूम सकती है कहानी या फिर या फिर क्या हो सकता है या फिर यह हो सकता है कि इसी टेबल पे ये लोग बैठे ही ना हो हो सकता है यहां पे तो चलो रा बैठा है और यहां पे सीता बैठी हुई है ठीक है लेकिन यहां पे मान लेते हैं गीता बैठी हुई है ठीक है और यहां पे अ चमन बैठा हुआ है ठीक है तो ये अलग कॉमिनेशन हो गया ना अब ये अपने आप में फरदर घूम सकता है तो सबसे पहला काम तुम्हें यहां पे क्या लग रहा है कहानी समझो सबसे पहले 10 बच्चे मेरे सामने रखो हुए हैं पहले 10 में सेए चार तुम लोग आ जाओ ठीक है तो पहले मुझे 10 में से चार को चूज करना पड़ेगा पहले मुझे 10 में से चार बच्चों को चूज करना पड़ेगा ना तो 10 c4 10 में से चार को चूज करने के कितने तरीके हुए 10 c4 मल्टीप्लाई बाय मल्टीप्लाई में क्यों किया मैंने क्यों किया मल्टीप्लाई सुनो सबसे पहले मैंने 10 में से चार बच्चों को चूज कर लिया 10 c4 फिर फिर फिर मतलब मल्टीप्लाई फिर अब क्या करूंगा अब उन चार बच्चों को चार चेयर पे बिठाने के कितने तरीके हो गए 4 फैक्टोरियल तो 10g 4 * 4 फटो तो अगर तुम्हारे पास सामने क्वेश्चन आ जाए कि 10 बच्चों में से चार बच्चों को उठा कर के टेबल पर बिठाना है चार बच्चों को बुला बिठाना है चेयर पे ठीक है कोई भी 10 उन 10 में से कोई भी चार बच्चों को उठा लो और उनको टेबल प बिठाना है इसके टोटल कितने तरीको से ये काम हो सकता है तो 10c 4 * 4 ये आंसर होगा इसका आप निकाल सकते हो 10c 4 क्या हो जाएगा 10 * 9 * 8 * 7 / 4 * 4 फटल खच खच क गया यही आंसर हो गया 10 * 9 * 8 * 7 ठीक है ये निकाल लेना निकाल लेते हैं चलो 7 * 8 7 * 8 56 56 * 9 तुम ही निकालना भाई मैं नहीं निकालना इसको पर अगर तुम मैग्नी ूडल हो इस चीज का तो दैट्ची 5500 तरीकों से तुम 10 बच्चों में से सिर्फ चार बच्चों को चूज करोगे और फिर उनको बिठा लोगे अगर सिर्फ चूज करना होता तो तो आंसर हो जाता 10c फ ठीक है अगर चार बच्चों को सिर्फ बिठाना होता तो ये हो जाता तो ये तुम्हें समझ में आ रहा है ये तुम्हारा पहला काम है पहला काम क्या है उनको चूज करना दूसरा काम क्या है उनको अरेंज करना तो जितने भी पीएनसी में क्वेश्चन बनते हैं अराउंड 7080 पर क्वेश्चन यही बनते हैं कौन से वाले कि पहले तो सेलेक्ट कर ले पहले तो सेलेक्ट कर है ना एंड देन उसको अरेंज कर दे एंड देन उसको अरेंज कर दे बात समझ में आ रही है सेलेक्ट करो पहले और फिर अरेंज करो ठीक है बहुत तरीके इसमें बहुत हजारों एग्जांपल बन सकते हैं ठीक है तुम अपनी मर्जी से कर लो कि भाई 15 अ कुछ भी मान लो कि चलो फिर से अब तुम खुद सोच के देखो 15 बच्चे हैं 15 बच्चे हैं ठीक है उनमें से मुझे चार बच्चों को चूज करना है चार बच्चों को चूज करना है तो ये तो सिंपल हो गया 15 c4 15 में से चार बच्चों को चूज कर लो आंसर कितना आ जाएगा 15 * 14 * 13 * 12 / 4 फट अच्छा कौन मुझे इस चीज को समझा भी सकता ता है अगर तुम्हें ये नहीं आता तो कैसे करते कि सर मुझे चार बच्चों को चूज करना है मुझे तो चार बच्चों को चूज करना है सर सीधी सी बात है तो पहले बच्चे के चूज करने के 15 तरीके हो गए फिर दूसरे बच्चे को चूज करने के 14 तरीके फिर तीसरे बच्चे को चूज करने के 13 तरीके फिर चौथे बच्चे को चूज करने के 12 तरीके लेकिन सर इनको मुझे कहीं बिठाना नहीं है बस चूज करना था ठीक है तो इसमें तो सर अरेंजमेंट भी काउंट हो गया ना ऑटोमेटिक इसीलिए मुझे इसको 4 फैक्टोरियल से डिवाइड भी करना पड़ेगा दैट इज एक्सप्लेनेशन टू दिस ठीक है तो आप ऊपर वाला क्वेश्चन डायरेक्टली भी कर सकते थे अगर मैं उसे बोलता हूं 10c फ कि इन 15 बच्चों में से चार बच्चों उठाना है और फिर उठाना भी है तो यही आंसर हो गया इसका बस 15 * 14 * 13 * 12 तो 4 फैक्टोरियल से डिवाइड करने की जरूरत नहीं है तो आप ऐसे भी बस आंसर लिख के छोड़ सकते हो यही आंसर हो गया और इसी को बोला जाता है 15 p4 ठीक है कि 15 परम्यूटेशंस ऑफ फोर कि छोड़ो क्यों ही समझाना है क्यों भी फालतूगिरी करनी है तुम्हारे साथ जिंदगी में हम तो इसको तब भी ऐसे ही करेंगे अगर मुझसे कोई बोलेगा मैं ये चीजें याद ही नहीं करता मुझे तो यही याद रहता है कि अरे भाई 15 15 में से चार बच्चों को कुर्सी पे बिठाना है ना 15 में से चार बच्चों को कुर्सी पे बिठाना है तो पहले 15 में से चार बच्चों को चूज कर लिया मैंने फिर फर उनको उन चार बच्चों को चार कुर्सी पर बिठा दिया 15 c4 * 4 फ्ट मुझे कोई दिक्कत नहीं है मैं इसको ऐसे लिख के काट दूंगा मेरी जिंदगी सेट चल रही है 15 14 13 है ना और 12 डिवाइड बा 4 फटो * 4 फ्ट मैं काट दूंगा कोई दिक्कत नहीं है बट ये कहानी है ये कहानी है कि पहले 15 में से चार को चूज किया और फिर उनको बिठा दिया इसका फायदा क्या है क्योंकि तुमसे वो चिल्लर क्वेश्चन तो पूछेगा नहीं ठीक है वो क्या बोलेगा मैं बताता हूं क्या बोलेगा वो कगा एक काम करो ये जो 15 बच्चे हैं ना ये जो 15 बच्चे हैं इसमें से कोई एक बच्चा है जिसको तुम्हें पक्का चूज करना है मतलब उसको तो बिठाना ही बिठाना है मान लेते हैं इसमें 15 बच्चों में से ऐसे राम श्याम घन श्याम ऐसे बहुत सारे बच्चे हैं ठीक है तो उनमें से जो राम है ना उसको तो तुम्हे पक्का लेना पड़ेगा उसको तो चाहिए वो वो तो पहले ही चूज हो गया वो तो है हमारे पास वो रखा हुआ है हमारे पास ठीक है मतलब उसको तो बिठाना ही बिठाना है अगर यहां पे एक हमारी एक पार्टी चल रही है ना चार कुर्सियां रखी हुई है तो उसको तो लेना ही लेना है तो एक काम करो ना भाई राम तू पहले आके बैठ जा तू इधर आ और बैठ जाचा ठीक है तो राम तो हमारे पहले आगे बैठ गया ठीक है तो अब तुम मुझे बताओ इसको चूज करने का कोई तरीका है ये तो एक ही तरीके से से हो गया ना काम ये तो भाई पहला काम क्या है मेरा वर्क वन क्या है वर्क वन ये है कि राम भाई साहब आप आइए और कुर्सी पे बैठ जाइए विराजमान हो जाइए आप ठीक है बाकी हम दूसर को चूज कर लेंगे हम ठीक है ना तो अब वर्क टू क्या है वर्क टू क्या है अब जो बची हुई तीन कुर्सियां हैं तो अब मुझे सिर्फ तीन बच्चे चाहिए ना चार बच्चे तोड़ने चाहिए तो अब मैं क्या बोलूंगा अब मैं क्या बोलूंगा कि बोलो अब मैं उन 15 में से तीन बच्चों को चूज करूंगा तो पहला काम क्या हो गया मेरा जिसको मैंने सिर्फ एक तरीके से किया कि राम भाई साहब आइए और बैठ जाइए ठीक है फिर दूसरा काम कैसे होगा 15 में से च हुए तीन बच्चों को मैंने चूज कर लिया 15 में से सॉरी झूठ झूठ झूठ झू 15 में से थोड़ ना करोगे 15 में से थोड़ ना करोगे 15 में से एक राम भाई साब तो चले गए ना हमारे तो 14 बच्चे बचे ना ठीक है तो 14 बच्चों में से तीन बच्चे चूज कर लिए तुमने ठीक है उनको बिठा दिया फिर अब तो यहां पे सब बच्चे आ गए मान लो एक चमन आ गया है ना एक श्याम आ गया एक घनश्याम आ गया चार बच्चे बैठा हुए हैं अब ये चार एक दूसरे में घूम सकते हैं ठीक है तो वो घूमेंगे तो चार फैक्टोरियल तरीके से ही ठीक है तो इसका आंसर ये हो जाएगा ठीक है 14 c3 * 4 फ्टो जिसमें तुम ये बोल रहे हो कि सारे कॉमिनेशन में राम को तो बैठना ही पड़ेगा राम को तो होना ही चाहिए इसमें ठीक है तो इसमें वो वाला केस काउंट नहीं हो सकता जहां पे मान लो सिर्फ चमन बैठा हुआ है श्याम बैठा हुआ है घनश्याम बैठे हुई है और यहां पे सीधा बैठी हुई ये काउंट नहीं हो सकता केस ठीक है क्योंकि इसमें राम भाई साहब नहीं है तो राम भाई साहब होने ही चाहिए किसी भी हालत में ठीक है तो इस टाइप की सिचुएशन वो बना सकता है जब हम क्वेश्चंस करेंगे तो तो ं मज आ जाएंगे ठीक है तो तु तुम्हारा दिल खुश हो जाएगा कि भाई साहब क्या चीज है ये मजा आ गया दिल मतलब मजा ही आ गया एकदम ठीक है लेकिन इसकी इंपॉर्टेंस समझो ठीक है तो हम सिर्फ एक फार्मूला आपको यूज करते हुए देखेंगे एंड दैट इज दिस एसी इनटू r फैक्टोरियल ठीक है क्या कि n में से पहले r चीजों को चूज कर ले और फिर उन आ चीजों को r जगह पे बैठाने के लिए r फैक्टोरियल से मल्टीप्लाई कर दे खत्म बात ठीक है बात क्लियर हो गई थोड़ी सी ठीक है मुझे पता है थोड़ी सी चीजें कम क्लियर हुई होंगी शायद और थोड़ी और क्लेरिटी की जरूरत होगी बट वो आपको मिलेगी टेंशन नॉट ठीक है तो अब अगले दिन क्या होता है ना कि लाइक ये जो पूरी हमारी डिस्कवरी हुई है वो सोचते हैं कि इसको हम पिंगला को जाके बताएंगे ठीक है तो जो लीलावती है वो तो अपने दोस्तों के साथ खेलने चले जाती है ठीक है और जो भास्करा जी हैं वो जाते हैं पिंगला के पास ठीक है तो जब भास्कर जी जा रहे होते हैं पहले वो कपड़े पहनेंगे ओबवियसली तो वो अपनी अलमारी के सामने खड़े होते हैं तो उस अलमारी में चार तो शर्ट होती हैं ठीक है उनके पास चार शर्ट होती होंगी और तीन धोती होती होंगी हम मान लेते हैं पेयर ऑफ ट्राउजर्स पेयर ऑफ ट्राउजर का मतलब ये नहीं है कि छह ट्राउजर हो गए पेयर ऑफ ट्राउजर यानी कि वो पैंट ऐसे होती है ना तुम्हारी तो वो एक ही मानते हैं तो पेयर ऑफ़ ट्राउजर यानी एक पैंट तो तीन उनके पास मान लो पैंट है ठीक है तो बताओ वो कितने तरीकों से कपड़े पहन सकते हैं मान ले एक ऑरेंज कलर की शर्ट है एक येलो कलर की शर्ट है इस तरीके से बोलो भाई कॉमन सेंस की बात है ऊपर वो शर्ट पहनेंगे ठीक है और नीचे पैंट पहनेंगे ठीक है तो पहले तो वो शर्ट पहनेंगे तो शर्ट पहनने के कितने तरीके हैं पहला काम करने के कितने तरीके चार तरीके फिर फिर अ पेंट पहनने के कितने तरीके तीन तरीके राइट तो टोटल 12 तरीकों से भास्कर जी ने अपने दिमाग में सोचा अलमारी खोलते वक्त हां भाई 12 तरीकों से मैं कपड़े तैयार कर सकता हूं अपने ठीक है फिर उनके दिमाग में ऐसी कॉमेडी आई कि अच्छा अगर यहां पे मैं या वाला केस लगा के देखूं या ठीक है मतलब कि या तो शर्ट पहन जाओ या फिर पैंट पहन जाओ राइट ऐसा हो नहीं सकता ओबवियसली कि तुम सिर्फ शर्ट पहन के निकल गए ठीक है बट अगर ऐसे एक हाइपोथेटिकल सिनेरियो बना लो कि सिर्फ ऑरेंज कलर की शर्ट पहन के भास्करी जी निकल गए या फिर सिर्फ पैंट पहन के राइट तो उसमें क्या उसमें कितने कॉमिनेशन होंगे चार प्लस 3 सात कॉमिनेशन होंगे सिंपल चार शर्ट है और तीन पैंट सात ठीक है या तो तुम शर्ट पहन लिए या एक पैंट पहन ली या शर्ट पहन ली दोनों नहीं पहन सकते देखो दोनों पहनने के लिए तो फ फिर वाला केस हो गया उसमें पहले शर्ट पहननी पड़ेगी फिर पैंट पहननी पड़ेगी या फिर तुम पहले पैंट पहन लो फिर तुम शर्ट पहन लो तो तीन * 4 बोलो 4 * 3 बोलो बात एक ही है ठीक है ये अलग-अलग केस नहीं होगा कि भाई पहले मैंने पैंट पनी थी फिर मैंने शर्ट पहनी थी नहीं वो बात एक ही है ठीक है ल राइट ठीक है बढ़िया अब क्या होता है कि भास्कर जी जब रास्ते में जा रहे होते हैं जब रास्ते में जा रहे होते तो उनको वहां प गाड़िया दिखती है ठीक है भास्कर जी पिंगल जी से मिलने जा रहे हैं ठी प पिल जी वही रुके हुए हैं उन्ही की जगह प ठीक है उज्जैन में ठीक है तो उस टाइम तो शायद वो होते होंगे तांगा वांगा होते होंगे हम जरा अ अभी अपनी अपनी सिचुएशन में आ जाते हैं जो उनको दिखा और हमारी सिचुएशन में क्या दिखा तो ऐसी हम जरा एक रैंडम बना के देखते हैं ठीक है मतलब जैसे मान ले कि तुम्हारा नंबर प्लेट बना रहे हैं गाड़ी का ठीक है तो मान लो स्टार्टिंग में तीन डिजिट्स होते हैं ठीक है मतलब मान लो एक अगर मैं नंबर बनाऊं तो मान ले मेरी गाड़ी का नंबर है मान लेते हैं कि 7 8 9 एसी ठीक है ये मेरी गाड़ी का नंबर है और वैसे अगर आप एक्चुअल गाड़ी का नंबर देखोगे तो जिस भी तुम स्टेट में रहते हो मान लो तुम राजस्थान में रहते हो तो आर ज है ना और फिर मान लो यहां पे आ गया r ज 15 और यहां पे कोई नंबर आ गया ए और फिर यहां पे एक नंबर होता और होता है 8097 मान ले ये है तो ये तुम्हारी पूरी गाड़ी का नंबर होता है अगर आप इंडिया में चल रहे हो तो ये होता है ठीक है अब इसमें ये तो फिक्स ही होता है ये तो आपका स्टेट हो गया ये आपकी डिस्ट्रिक्ट होती है ठीक है ना ये आपका फिक्स होता है इतना तो इतनी चीज है जो आपकी मूव करती रहती है ए और 8097 ये चीज़ आपकी वेरिएबल हो सकती है अभी हम ऐसे एक एग्जांपल लेकर चल रहे हैं कि मान ले गाड़ी का नंबर है 789 एसी ठीक है तो सोच के देख जो पहली डिजिट हो सकती है जो पहली डिजिट हो सकती है वो क्या-क्या हो सकती है वो या तो ज़ीरो हो सकती है या वन या टू और ऐसे करते-करते नाइन तक कुछ भी हो सकती है कोई भी सिंगल डिजिट नंबर यहां पे आप डाल सकते हो तो रो से लेकर नाइन तक कितने ऑप्शंस हैं भाई 1 2 3 ये तो नौ तो यही हो गए और एक ये हो गया टोटल 10 ऑप्शंस हैं ठीक है तो पहले डिजिट को चूज करने के लिए पहले काम को करने के लिए पहला काम कौन सा वाला है इसको चूज करना ठीक है तो उसको करने के लिए कितने ऑप्शन है 10 ऑप्शन है फिर अब जो ये दूसरा वाला है उसके पास भी कितने ऑप्शन है भाई डिजिट्स हैय जीरो से न तुम जो चाहो वो उठा लो अगर तुमने तुम चाहो तो नंबर ये बना लो 8 8 8 ठीक है और एसी या 88 8 ए बी कुछ भी ऐसा नंबर बना सकते हो ना तो रिपीटेशन तो चलेगा तो यहां पर भी 10 हो जाएगा फिर यहां पर भी 10 हो जाएगा मतलब समझे क्योंकि अगर मैंने पहला डिजिट चूज करने के लिए अपना जो गाड़ी का नंबर है उसका पहला डिजिट चूज करने के लिए मैं 10 में से कोई भी चूज कर सकता हूं फिर दूसरे के लिए भी मैं कोई भी चूज कर सकता हूं तीसरे के लिए भी मैं कोई भी चूज कर सकता हूं ठीक है फिर अब यहां पे देखो यहां पे दो होंगे अब यहां पे अल्फाबेट आएगा है ना ए बी सीडी में से कोई भी अल्फाबेट आ सकता है अब हमें पता है कि a से लेकर के z तक टोटल 26 अल्फाबेट होते हैं तो इस इस डिब्बे को आप किसी भी अल्फाबेट से भर सकते हो राइट तो इस काम को करने के लिए कितने ऑप्शंस है कितने तरीके हैं 26 तो यहां पे आएगा 26 फिर इसको भी आप 26 तरीकों से कर सकते हो तो इतने तरीके हो जाएंगे कितने 26 * 26 * मतलब समझ रहे हो कितने ज्यादा हो गए अराउंड 1 लाख के आसपास हो गया ठीक है देख लेना कितना भी आएगा बट लाखों तरीकों से आप नंबर प्लेट बना सकते हो ठीक है और अगर मैं यहां पे एक और अड़ंगा लगा दूं मैं बोलूं कि रिपीटेशन अलाउड नहीं है मतलब इस टाइप की गाड़ी का नंबर नहीं चलेगा ठीक है या मैं तुमसे बोल दूं 78 8aa ठीक है ये गाड़ी का नंबर नहीं चलेगा गाड़ी का नंबर कुछ इस तरीके से होना चाहिए मान लो 780 और सी बी डी ऐसे तो ये अलग-अलग होना चाहिए सब कुछ अगर ये केस है तो फिर काम तो फिर अलग बनेगी सिचुएशन तो फिर क्या होगा तो फिर ऐसा बनेगा देखो ठीक है तो फिर कैसा होगा देखते हैं ठीक है ये सब भास्करा जी हैं जो अपने मनी ही मन सोच रहे हैं ठीक है वो रास्ते में जा रहे हैं है ना और उनको पिंगला जी से मिलना है और रास्ते में उनको जो चीजें दिख रही है वहां पे वो ये चीजें अप्लाई करके देख रहे हैं दैट इज हाउ अ मैथमेटिकल माइंड वर्क्स ठीक है तो जो पहला डिजिट है उसको तुम कितने तरीके से चूज कर सकते हो इस इस सिचुएशन में भी भाई रो से 0 से नान तक 10 डिजिट्स हैं तो आप कोई भी चूज कर सकते हो लो 10 डिजिट कोई भी चूज कर लो फिर अब जो दूसरा ऑप्शन है उसमें जो डिजिट तुमने यहां लगा दी अगर रो से न में से मान लो तुमने सेवन चूज करके रख लिया यहां पर तो अभी बाकी नौ डिजिट तो बचे हुए हैं ना अगर तुमने मान लेते हैं यहां पे सेवन लिखा हुआ था 7 8 9 तो तुमने सेवन चूज कर लिया तो अब कितने डिजिट बचे हुए हैं 1 2 ये तो सब बचे हुआ ही बचा हुआ है तो नौ में से एक चला गया तो एट तो ये हो गया और ज़ीरो भी तो है तो 10 डिजिट में से एक चला गया तो नौ डिजिट बची यहां पर फिर अब दो डिजिट खत्म हो गई तो एट डिजिट बची है टोटल ठीक है फिर अब अल्फाबेट आएगा अब अल्फाबेट 26 है ठीक है फिर अब यहां पे 25 रह जाएंगे क्यों क्योंकि ये जो एक अल्फाबेट आपने यूज़ कर लिया ना आपने ए ए से लेकर z में से कोई एक अल्फाबेट यहां पे यूज कर लिया तो अब आपको रिपीटेशन नहीं करना तो इसी चक्कर में आप बचे हुए 25 में से यूज करोगे तो दिस वड बी द नंबर ऑफ वेज इन व्हिच अ आपकी नंबर प्लेट बन सकती है अगर आपके अ वो रिपीट ना हो कुछ भी ठीक है अब तुम ध्यान से सोचना इंडिया में यही हुआ था ठीक है अगर आप इंडिया में कोई नंबर प्लेट ले आते हो अ चलो कोई नंबर प्लेट ले आते हैं मैंने यहां पे कौन सा बनाया था मान लो यही आरजे 15 अ ए ठीक है और क्या 9 7 36 मतलब कुछ भी ऐसे रैंडम एक नंबर प्लेट मैंने बना दी आई होप सो किसी की गाड़ी के नंबर प्लेट ना हो ये ठीक है जो भी है तो इतना तो चलो फिक्स है ये तो हटा दो बट अगर तुम इसको देखोगे तो ये कितने तरीको से बन सकता है तु तुम खुद सोच के देखो यहां पर ए की जगह पे z z एक हो सकता है कुछ भी हो सकता है ना तो ये पहला जो लेटर है उसको चुनने के कितने तरीके हो सकते हैं 26 मल्टीप्लाई बा दूसरा लेटर चुनने के कितने तरीके हो सकते हैं अगर डिफरेंट बनानी है तो 25 तरीके हो सकते हैं सर ठीक है फिर इसको चुनने कितने तरीके हो सकते हैं 10 10 रो से नौ में से कोई भी फिर इसको चने कर चूज करने के कितने तरीके इस केस में रिपीटेशन अलाउड होता है जहां तक है ठीक है अगर रिपीटेशन अलाउड होता है तो तो 10 * 10 * 10 * 10 अगर नहीं होता है तो 10 * 9 * 8 * 7 तो इतने आप तरह-तरह के नंबर बना सकते हो अब तू सोच के देखिए कितना आएगा मान लेते हैं इंडिया में मान लेते हैं टोटल 2 करोड़ गाड़ियां हुआ करती थी कितनी 2 करोड़ कार्स हुआ करती थी इंडिया में ठीक है फिर अचानक से कुछ ऐसा हुआ कि इंडिया में 14 करोड़ गाड़ियां हो गई कितनी हो गई 14 करोड़ ठीक है जब 2 करोड़ गाड़ियां हुआ करती थी तो जो आपका रजिस्ट्रेशन वाला ऑफिस होता है वो जो गाड़ियों का नंबर होता था ना उसको कुछ ऐसे निकालता था कि भाई आरजे 15 ये तो फिक्स हो गया आपका और फिर ए और मान लो 973 बस ये गाड़ियों का नंबर हुआ करता था ठीक है तो सिर्फ तीन डिजिट हुआ करती थी अब क्या हुआ अचानक से गाड़ियों का नंबर 14 करोड़ हो गया मतलब इतने सारे व्हीकल्स का रजिस्ट्रेशन कराना है रजिस्ट्रेशन कराने का मतलब क्या हुआ हर एक गाड़ी को आपको एक यूनिक कोड देना पड़ेगा जिससे कि आप पहचान सको कि जिसकी भी ये गाड़ी है rj1 ए 9 76 ये तुरंत मेरे मतलब लॉ के हिसाब से इस गाड़ी के नंबर का जो भी ओनर है वो यूनिक होना चाहिए पूरी इंडिया में राइट तो एकदम यूनिक नंबर चाहिए अब तू सोच के देख दो करोड़ गाड़ियों प तो ये लगा हुआ है बट हमारे पास टोटल गाड़िया 14 करोड़ हो चुकी है तो इससे काम नहीं बनेगा ठीक है तो हमें टोटल 14 करोड़ अलग अलग यूनिक नंबर्स चाहिए ठीक है तो सोच के देख जब ऐसा हुआ होगा तो दिमाग में लगागा भया पता नहीं कितने सारे नंबर बनाने पड़ जाएंगे मौत हो जाएगी अब तो ठीक है लेकिन अगर वो यहीं पे यहीं पे अगर भास्करा जी से पूछ पूछ लेते या किसी भी मैथमेटिशियन से पूछ लेते जिसने भी ये पढ़ रखा है वो क्या बोलता पता है वो बोलता है कुछ नहीं करना है कुछ नहीं करना है बस यहां पे एक और डिजिट लगा दे तेरा काम हो जाएगा 973 के अलावा बस एक डिजिट और लगा दे कितने लोग समझ गए ऐसा क्यों हो रहा है तू सोच के देख तू सोच के देख अगर अभी मैं सिर्फ इतने के कॉमिनेशन निकाल के देखो ये तो फिक्स है ये तो फिक्स रहेगा a 9736 तो a के कितने हो गए 26 * 25 * 10 * 9 * 8 राइट इसका 10 इसका नौ इसका आठ ठीक है तो इतनी टोटल गाड़ियां तो अभी भी हम रजिस्टर न करा सकते हैं है ना 26 * 25 * 10 * 9 * 8 ये जो भी नंबर आएगा इतनी गाड़ियों का यूनिक आप वो निकाल के दे सकते हो ठीक है अलग-अलग वो निकाल के देख सकते हो कोड दे सकते हो लेकिन जब तूने यहां पे बोल दिया कि भैया एक और डिजिट लगा ले मान ले यहां पे तूने फाइव लगा दिया एक और डिजिट एक और डिजिट का जैसे ही तुमने एक ऑप्शन दिया तो यहां पे इंट 7 हो गया तो अगर ये पूरी चीज 2 करोड़ को कैटर कर रही थी तो अब ये 14 करोड़ को कर पाएगी बड़े आसानी से सिर्फ एक डिजिट बढ़ाने से समझ रहे हो सिर्फ एक डिजिट बढ़ने से इतने सारे केसेस एक्स्ट्रा आ गए ठीक है और जितने ज्यादा केसेस आएंगे उतने ही ज्यादा आप अलग-अलग कोड बना सकते हो उतने आप गाड़ियों को रजिस्ट्रेशन दे पाओगे सो व्हाट यू आर स्टडिंग इज अ हाई हाईली हाईली प्रैक्टिकल चैप्टर ये हर जगह प यूज होता है क्यार ये तो हमारे भास्करा जी है जो पिंगला से मिलना चाह रहे हैं और ऐसे रास्ते में वो ऐसे खूब सारी चीजें देख रहे हैं कि हां देख नंबर प्लेट प भी ऐसा हो सकता है ठीक है तो ऐसे ही करते करते अभी हम इस पे बाद में आते हैं ठीक है तो ऐसे करते करते वो जा ही रहे होते हैं तभी उनको अपना एक दोस्त मिलता है जो कि एक टीम बना रहा होता है ठीक है मब वो बेसिकली गेम खिलवा ठीक ख खिलते हैं खेलने वाले टीचर है ठीक है तो आप इसको अपने उससे रिलेट कर सकते हो कि भाई कोई हमारा कोई गेमिंग का टीचर है ठीक है आप अभी भास्कर जी को जरा वही छोड़ के आते हैं हम जरा यहां प आ जाते हैं ठीक है मान लो क्रिकेट का गेम चल रहा है ठीक है क्रिकेट का गेम चल रहा है क्रिकेट का ठीक है अब क्रिकेट के गेम के लिए मुझे टीम बनानी होती है मुझे टीम बनानी होती है तो मान लेते हैं 15 लोग हमारे पास य खड़े हु 15 क्रिकेटर्स है हमारे पास ठीक है तो 15 क्रिकेटर्स में से मुझे 11 लोग चूज करने कितने 11 की टीम बनानी है ठीक है तो बहुत सिंपल है सर 15 में से कोई भी 11 चूज कर लो 15 में से कोई भी 11 चूज कर लो सिंपल ये आंसर हो गया इसका छुट्टी ये तो बहुत ही बेसिक सी बात हो गई 15 में से कोई भी 11 चूज कर लो तो 15c 11 इसको आप निकाल भी सकते हो है ना 15 फ्टो डिवा बा 11 फ्ट फिर 15 - 15 - 11 4 फ्टो ठीक है अब इसको कैलकुलेट कर लेना आंसर आ जाएगा ठीक है हालांकि इसके बारे में भी जब भास्कर जी ने सोचा उन्होंने बोला कि 15 में से 11 चूज करने के लिए कैलकुलेशन कितनी लंबी करनी पड़ रही है 15 डिवाइड बा 11 फट 4 फटोल फिर उनके दिमाग में एक चीज आई उनके दिमाग में बड़ी गजब की चीज आई अगर तुम समझ जाओ तो यही तुम्हारा काम हो जाएगा जब मैं बोल रहा हूं कि 15 में से 11 को चूज कर ले क्या कर ले 11 को चूज कर ले तो अपने आप ही तुम क्या कर रहे हो हाथ के हाथ तुम चार लोगों को चार लोग जो है उनको रिजेक्ट भी तो कर दे रहे हो भाई मैं बोलू कि 15 में से 11 लोगों को ले आ तो तुम एकदम साइलस चार लोगों को क्या कर दे रहे हो रिजेक्ट कर दे रहे हो कि भाई तुम चार नहीं आओगे तुम 11 आओगे तुम चार नहीं आओगे तो ये बोलना कि किन्हीं चार को रिजेक्ट कर दो या फिर ये बोलू कि किन्हीं 11 को सेलेक्ट कर लो दोनों में कोई डिफरेंस है सिलेक्शन और रिजेक्शन एक ही बात तो हो गई राइट तो कितने लोग समझ गए कितने लोग समझ गए कि अगर मैं बोल दूं कि इन 15 में से कोई भी ऐसे चार पकड़ो कोई 15 में से कोई चार पकड़ो और उनको कहते तु तुम निकल लो यहां से और मैं बोलूं कि 15 में से कोई 11 को पकड़ो और उनको ले आओ एक बात बताओ ऐसे मान ले 15 लोग सामने खड़े हुए हैं 15 लोग सामने खड़े हुए हैं और पीछे पीछे एक मान ले बस है मेरे ठीक है तो उन 15 में से 11 लोगों को मुझे उस बस में बिठाना है ठीक है तो इसके कितने तरीके हो सकते हैं देखो दो दो कहानियां बनाई जा सकती है पहली कहानी 15 लोग मेरे सामने हैं ठीक है मैं उनमें से 11 लोगों को चूज कर लूं और कहू बेटो तुम गाड़ियों में बैठ जाओ जाके ठीक है या फिर मैं क्या कर सकता हूं मैं बोलूंगा एक काम करो मैं ज्यादा चालाक आदमी हूं मैं 15 में से कोई भी चार लोगों को चूज कर लेता हूं ठीक है और उन चारों को बोल दूंगा बेटा तुम लोग निकल लो तुम लोग घर जाओ ठीक है अब जो बच गए वो सब आ जाओ सेम कहानी है परपस तो एक ही है ना 11 लोगों को वहां बैठाना है नीचे पीछे 11 लोगों की की टीम बनानी है तो 15 में से 11 चूज कर ले या 15 में से चारों को वापस भेज दे तो 15 में से चार चूज करके उनको वापस भेज दिया या फिर 15 में से 11 चूज कर लिए बात तो एक ही है ये काम तो एक ही कर रहे हैं ना दोनों के दोनों भैया अल्टीमेटली क्या ये कहानी है 15c 111 का मतलब क्या है 15 में से 11 को चूज करना और 15 c4 का मतलब क्या है 15 में से चार को चूज किया लेकिन उनको चूज किया नहीं है उनको रिजेक्ट किया एक्चुअल में ठीक है तो अल्टीमेटली ये आना तो सेम ही चाहिए ना ठीक है तो 15c 111 एंड 15 c4 शुड बी बराबर ठीक है अब तुम समझ के देखो ना कि ये फोर एक्चुअली है क्या देखो ध्यान से देखोगे तो 15c 11 = 15c 15 - 11 भाई फर क्या है एक्चुअली 11 माइ ओ सॉरी 15 - 11 ही तो है ना तो यही एक फॉर्मूला जैसा बन गया कि तो हाथ की हाथ में ये भी तो बोल रहा हू ना कि मैंने सडी को रिजेक्ट कर दिया अब मैं बोलू कि एक काम करो चार में से दो चुन लो जिनको मैं रिजेक्ट करूंगा तो मैंने अबकी बार चार में से सडी को चूज कर लिया और बोल दि तू निकल ले यहां से तो अब कौन रह गया ए तो चूज कौन हो गया ए तो ए को चूज करना और सीडी को रिजेक्ट करना ये दोनों चीजें बराबर है ठीक है अब मैं बोलू ए बी सीडी लिखा हुआ है ठीक है इसमें से तुमने कोई भी एक चूज कर लिया अगर तुमने ए को चूज किया है या फिर मैं बोलू कि बी सीडी को रिजेक्ट कर दो ठीक है तो 4 स3 या 4 स1 बराबर होगा ठीक है तो 15c 11 बोलो 15c 11 बोलो या फिर 15 c4 बोलो बात एक ही है 15c 4 बोलो बात एक ही है और इसको निकालना बड़ा आसान काम है 15 फटो डिवाइड बा 4 फटो एंड 15 - 4 दैट इज 11 फटो क् सर सेम ही आ गया देखो 15 और 11 और 4 15 4 और 11 यही होने वाला है देखो ना जब तुम एसीआर लिखते हो तो n फ्टो डिवाइड बा r फ्टो n - r फ्टो ठीक है अब इसी को तुम घुमा के लिख दो n फैक्टोरियल और यहां लिख दो n - r फ्टो ठीक है ठीक है और फिर इन दोनों का सबट क्शन क्या होगा n - n - r तो n और n कट गया यहां पे आ गया r फैक्टोरियल तो ये लिखा हुआ है n स n - r और ये लिखा हुआ है ncr-1 मिनट मैं थोड़ा फेयर आउट करके लिख देता हूं कि 15 क्रिकेटर्स है मेरे पास ठीक है और उसमें से मुझे 11 की टीम बनानी थी ठीक है और यहां मैंने लिख दिया कि n स जो होता है वो n स ए माइ आ के बराबर होता है और इसको आप सीधे लिखोगे सिलेक्शन जो होता है वो इक्वल है इक्विवेलेंट है रिजेक्शन के ठीक है ये प्रॉपर्टी है पूरी ये एक तरीके का एक फीलिंग है कि सिलेक्शन जो होता है वो रिजेक्शन के बराबर होता है ठीक है तो 15c 11 इ 154 ठीक है इससे कैलकुलेशन बड़ी आसान हो गई कि भा अच्छा अब तुम सोच ना ना तो मैं ऐसे करने वाला था ना मैं ऐसे करने वाला था मैं तो अपना डायरेक्टली उससे करूंगा जिससे डिस्कवर हुआ था 15 c4 क्या होगा 15 * 14 * 13 * 12 / 4 फट अब तो निकाल ही लोगे 4 फ्ट क्या होता है 4 फ्ट क्या होता है अ 4 * 3 फट यानी कि 4 * 6 होता है ना यानी कि 24 तो 4 * 6 होता है तो ये दो कट गया टू से हो गया है ना ये आप आप काट फिट के बड़े आसानी से कर सकते हो ये से हो गया ये टू हो गया ठीक है अब तो आप करही लोगे 15 * 7 * 13 / 2 वही आपका आंसर हो जाएगा * 2b ठीक है तो 2 और 2b कट गया तो बस ये तीनों का मल्टीप्लिकेशन आपका आंसर हो जाएगा दैट नॉट अ अ प्रॉब्लम अब हम थोड़ा जिंदगी को आगे बढ़ाते हैं इसमें मान लो मैं एक अड़ंगा लगा दूं ठीक है और वहां पे य बात चल रही है भास्करा अपने दोस्त से बात कर रहे हैं जो कि दोस्त जो है वो टीम बना रहा है ठीक है तो वो वो तो टीम बना रहा है उनका दोस्त और भास्करा उसको ऑब्जर्व कर रहे हैं और देख रहे हैं अच्छा अगर मैं देखूंगा तो ऐसे ऐसे हो सकता है वो अपने मनी मन बना बना के खुश हो रहे हैं कि ये टोटल काम ना 15 c4 तरीके से हो सकता था ये टोटल काम इतने तरीके से हो सकता था वो अपने मनी मन सोच रहे हैं उनको नहीं पता इसका क्या काम है उनको नहीं पता बस उनको मजे आ रहे है कि यार ये तो बड़ी गजब की चीज बन रही है है ना तो ऐसे हम कर रहे हैं तो अ ठीक है ये बिल्कुल एकदम तुम समझ रहे ना पैरेलल चल रहा है वो वहां प ाज साल पहले पूरी कहानी चल रही है और हम उसको पैरेलल यहां पे करते जा रहे हैं अब इसमें और क्या हो सकता है अ वही जो मैंने बताया था कि मान लेते हैं मैं 15 क्रिकेटर में से बोल दूं कि भाई सुन एक मिनट सुन ले इसमें दो क्रिकेटर्स है ठीक है मान लेते हैं एक क्रिकेटर का नाम है मान लेते हैं कुछ भी चमन नाम है ठीक है दूसरे का नाम मान लेते हैं कुछ भी क्या नाम दूं मैं ठीक है घनश्याम नाम है मान लेते हैं चमन और घनश्याम ठीक है तो चमन और घनश्याम जो है इसमें से चमन तो पक्का होना ही होना चाहिए टीम में और घनश्याम जो है ना वो टीम में नहीं होना चाहिए चाहे कुछ हो घनश्याम को टीम में नहीं लेना है ठीक है तो अपना दिमाग में क्या चल रहा है 15 लोग सामने खड़े हुए हैं 15 लोग सामने खड़े हुए हैं पीछे 11 लोगों को हमें 11 लोगों की टीम बनानी है ठीक तो एक काम करो चमन बेटा तुम तो पहले आके बैठ जाओ तुम तो सिलेक्टेड हो ठीक है तुम आ जाओ बैठ पहले ही अब चमन को सेलेक्ट करने का कितने तरीका है एक ही तरीका है भाई 15 में से मुझे सिर्फ चमन को ही सेलेक्ट करना तो चमन को तो ऐसे ही बुला लिया ना एक ही तरीके से हो सकता है वो तो फिर फिर अब ये जो भाई साहब है हमारे क्या नाम है इनका अ घनश्याम इनको भी बुलाया और वापस भेज दिया तो ये भी एक ही तरीके से हो सकता है इसमें कोई 5060 तरीके तो है नहीं फिर अब क्या हुआ अब मेरे पास जो टीम है कितने लोग की टीम थी 11 लोगों की उसमें मैंने चमन को तो पहले सिलेक्ट कर लिया कितने बचे 10 10 की टीम बची है ना 10 लोग अभी भी सेलेक्ट करने हैं लोग कितने बचे 15 लोग नहीं बचे 15 में से दो लोग तो गायब हो गए ना एक को सेलेक्ट कर लिया एक को हटा दिया 13 लोग बचे तो 13 में से 13 में से अब मैं 10 लोगों को चूज कर लूंगा एंड दिस इज हाउ आई मेक अ टीम ऑफ 11 जहां पर मैंने एक सेलेक्ट कर रखा है और एक को रिजेक्ट कर रखा है ठीक है इसको थोड़ा ध्यान से देखो पॉज करके और समझ में आ जाएगा पता है छोटी-छोटी चीजों के फॉर्मूले बनाते हैं ये लोग क्या बोलेंगे कि एनसीआर है इसमें अगर एक को आपको सेलेक्ट करना है एक को रिजेक्ट करना है ना तो इसका आंसर होता है n -2 और सी क्या होगा यहां पर r -1 अब बच्चा रटा जा रहा है अरे भाई ये क्या नौटंकी है यार कैसे याद हो ग ये क्या पागल बनती है नहीं है ये ठीक है ये कोई आपको याद बात करने की जरूरत नहीं है सीधे-सीधे कहानी बनाओ कहानी ठीक है कहानी प जिंदा जिंदगी है ठीक है तीसरा और और मैं रैंडम कर रहा हूं मेरे को सारे केसेस याद भी नहीं है इससे में हजारों चीजें बनाई जा सकती है कि दो को सेलेक्ट कर ले इसको हटा दे वो कर ले बहुत चीजें हो सकती है अच्छा तुम बताओ अगर मैं बोलूं कि दो को सेलेक्ट कर ले दो को सेलेक्ट कर ले मान ले चमन और घनश्याम दोनों तुम दोनों के दोनों आ जाओ अ ये दोनों आ गए चमन और घनश्याम दोनों आ चुके हैं तो अब ये तो एक ही तरीके से आ सकते हैं दोनों को बुला लिया ठीक है अब कितने बचे 13 भाई 13 टीम वो वो वो बचे और टीम कितने की बनानी है 11 की उसमें दो लोग ऑलरेडी आ चुके हैं तो 9 बचे तो 13 c9 हो जाएगा सिंपल राइट अच्छा और सोचो अगर मैं यह बोल दूं अगर मैं यह बोल दूं कि कुछ भी हो जाए देखो चमन और घनश्याम की लड़ाई चल रही है ठीक है तो अगर तुम ये 11 की टीम बनाओ ठीक है तो इसमें चमन और घनश्याम नहीं आने चाहिए एक साथ नहीं आने चाहिए या तो चमन अकेला आ जाए या फिर घनश्याम आ जाए बट चमन और घनश्याम एक साथ नहीं आने चाहिए वरना बड़ी दिक्कत हो जाएगी क्योंकि इन दोनों में लड़ाई चलती है ठीक है इसको ऐसे देख ले कि ये मानो अभी क्रिकेट और टीम की जगह प पार्टी होती ठीक है कि 15 तुम्हारे दोस्त हैं और तुम्हें पार्टी करनी है ठीक है तो अब उस पार्टी में कुछ भी हो जाए चमन और गनश्याम को एक साथ नहीं ला सकते ठीक है वरना उनकी लड़ाई चल रही है गड़बड़ हो जाएगी समथिंग लाइक दैट तो अब इनकी इनकी तो लड़ाई चल रही है तो क्या किया जा सकता है अ क्या कर सकते हैं या तो चमन को बुला लो है ना और उस टीम में घनश्याम को मत बुलाना या फिर या या या फिर अब अच्छा तुम सुनना हमने बोलते है ना या फिर ठीक है तो यहां पर ये फिर साइलेंट होता है ये या फिर का मतलब क्या है यहां पर या फिर में या ही बोलना चाह रहे हो ना तुम ठीक है तो इस वाले फिर से कंफ्यूज मत हो जाना वो होता है और फिर ये फिर ये फिर ये ठीक है तो खैर यहां पे या तो चमन को बुला लो चमन को बुला लो घनश्याम को रहने दो या घनश्याम को बुला लो और चमन को रहने दो या फिर एक और काम भी हो सकता है चमन और घनश्याम दोनों कोही हटा दो तुम दोनों निकलो ठीक है एक और गेम क्या हो सकता था कि चमन और घनश्याम दोनों को इनवाइटेड है ये केस हमसे बोल दिया गया हटाने के लिए ठीक है तो हम इसकी बात तो करेंगे ही नहीं अब हम जो भी टीम बनाएंगे वो इन्हीं तरीको से बन सकती है ठीक है अब इस सिनेरियो को तुम ऑलरेडी डिस्कस कर चुके हो भाई 15 लोग हैं 15 में से तुमने चमन को पहले बुला लिया घनश्याम को हटा दिया ठीक है तो य ये तो काम हो गया चमन को बुला लिया घनश्याम को हटा दिया फिर 13 लोग बचे उसमें से 10 लोगों की टीम बना ली ठीक है प्लस प्लस क्यों करेंगे या की वजह से ठीक है समझ ले ध्यान से फिर अब बिल्कुल सेम तरीके से ये हो जाएगा 13c 10 तरीकों से क्योंकि घनश्याम को बुला लिया चमन को हटा दिया 13 लोग बचे उसमें 10 को चूज कर लिया 13c 10 या या अब ना तो चमन चाहिए ना घनशाम चाहिए चमन और घनश्याम दोनों दोनों निकलो पतली गली से ठीक है कितने लोग बचे 13 लोग बचे 13 लोगों में से अब हमें 11 की टीम बनानी है तो 13c 11 तो इसका आंसर क्या हो गया इस सिचुएशन का इसमें कितने केस बनेंगे 13c 10 + 13c 10 + 13 c11 मजा आया मजा आया ठीक है अच्छा इसको एक और तरीके से भी सोचा जा सकता था इस सिचुएशन को अगर हम फोर्थ वाले केस की बात करेंगे तो इसको हम एक और सिचुएशन एक और तरीके से सोच सकते थे भाई देखो तुम क्या बोल रहे हो तुम बोल रहे हो भाई कुछ भी हो जाए चमन और घनश्याम ये दोनों एक साथ नहीं आने चाहिए दोनों एक साथ नहीं आने चाहिए बाकी तो कोई भी केस चलेगा ये वाला चलेगा ये वाला चलेगा ये भी चलेगा मैं कह रहा हूं टोटल कितने केस हो सकते थे अगर 15 लोग मेरे सामने खड़े हुए थे तो उन 15 में से कोई भी 11 को चूज कर लो ये टोटल केसेस थे इसमें से अगर मैं वो केसेस माइनस कर दूं वो केसेस माइनस कर दूं जिसमें चमन और घनश्याम साथ में है जिसमें चमन और घनश्याम साथ में है तो काम हो जाएगा तो दिकाल लो भा चमन और घनश्याम एक साथ कहां कहां पे होंगे चमन और घनश्याम दोनों एक साथ आ जाए टीम में तो एक काम करो चमन और घनश्याम तुम दोनों आ जाओ तुम दोनों आ जाओ ठीक है तुम दोनों आ गए ये हमने यहां कर रखा है ये रहा 13c 9 ठीक है क्योंकि अगर दोनों आ गए तो 13 लोग बचे उसमें से अब 11 में से न बचे हैं तो 13c 9 हो जाएगा तो बस यही आंसर हो गया क्या हो गया कि 13 स9 इसमें से माइनस कर दो तो ये भी तरीका इसका हो सकता है तो 15c 111 - 30c 9 क्या करा टोटल में से वो केसेस हटा द जिसमें चमन और घन चम साथ में होते तो ये ये जो टोटल ये कौन से केसे बन गए जहां पे चमन घम साथ में नहीं होंगे तो ये दोनों बराबर आएगा अगर आप इसको खोल के पूरा कैलकुलेट करोगे ना तो ये बराबर आएगा ठीक है 13 स1 प् 13c 10 प् 13c 111 ये इसके बराबर आएगा ठीक है कोई एरर तो नहीं किया मैंने [संगीत] इसमें आई गेस क्लियर हो गई बात ठीक है तो इस तरीके से आप बहुत कहानिया बना सकते हो ठीक बहुत सारे केसेस बना सकते हो ठीक है जैसे एक और एपल ले लेता हूं मान लीलावती है लीलावती भी तो गई थी ना लीलावती भी तो गई थी ना तो लीलावती जो थी वो अपने अपने किसी स्कूल में गई होगी ठीक है लीलावती जी ठीक तो लीलावती अपने जब स्कूल में गई तो वहां पर एक टीम बनानी है फिर से ठीक है तो वहा पर चार तो लड़के हैं ठीक है चार लड़के हैं और पांच लड़किया है मान लेते हैं पांच लड़किया ठीक है तो जो हमारा एक हमें टीम बनानी है ठीक है तीन लोगों की टीम बनानी लोगों की तीन लोगों की टीम बनानी है अब इन तीन लोगों की टीम में कुछ इस तरीके से गेम होना चाहिए सच दैट कि एक लड़की तो होनी ही चाहिए एटलीस्ट वन गर्ल तो होनी ही चाहिए एटलीस्ट वन गर्ल इज कंपलसरी ठीक है एक लड़की तो कोई ना कोई होनी ही चाहिए तो अब लीलावती सोच रही है कि ठीक है वो देखो ऐसे एक्चुअल में ऐसे काम नहीं होता है एक्चुअल में तो ऐसे होगा ओ राम तू आा श्याम तू आजा इधर सीता तू आजा तो राम सीता और श्याम हो गए तीन लोग हो गए टीम में काम खत्म हो गया लेकिन लीलावती देखो रियलिटी में ये सब करने की जरूरत नहीं है बट लीलावती सोच रही है कि टोटल कितनी टीम बन सकती है है अगर हम इस सिचुएशन को बना के चल ले तो तो तुम भी सोचो कि भाई क्या क्या क्या क्या हो सकता है या तो एक लड़की तो लेनी लेनी है ना एक गर्ल और दो बॉयज हो जाए ठीक है या फिर दो लड़कियां हो जाए और एक बॉय हो जाए ठीक है या फिर तीनों लड़कियां हो जाए तीनों लड़कियां हो जाए और जीरो बॉयज हो जाए ये वाला केस नहीं हो सकता कि जीरो लड़कियां है ना और तीनों बॉयज ये वाला केस नहीं हो सकता तो कुछ लोगों के दिमाग में तुरंत करंट दौड़ गया होगा कौन सा कि सर एक काम करो इतना झमेला क्यों करना है एक काम करो ना आप टोटल निकाल लो टोटल कितने हैं टोटल कितने ले दे के चार और पांच सर नौ लोग टोटल उन नौ में से आपको तीन चुनने हैं तो टोटल तरीका तो ये हो गया ना 9 c3 ठीक है इसमें से आप वो वाला केस हटा दो आप वो वाला केस हटा दो जिसमें कोई भी लड़की नहीं होती है ठीक है तो अगर कोई भी लड़की नहीं लेनी है तो इसमें से लेना ही नहीं है अब हमें सिर्फ लड़के ही लेने हैं तो इन चार लड़कों में से कोई भी तीन चन करने है तो 4 स3 ये ये कौन से केसेस हैं 4 c3 वो वाले केसेस हैं जिसमें तीन लोग तो होंगे ब वो तीनों के तीनों लड़के होंगे तो वो केसने इसमें से माइनस कर दिया ठीक है तो ये क्या निकल के आ गया ये क्या निकल के आ गया ये वो निकल के आ गया कि ये वो नंबर नंबर ऑफ टीम्स होंगी जिसमें एक लड़की तो होगी ही होगी ठीक है इसको आप ऐसे भी कर सकते थे ठीक है चलो एक तरीका तो आपका ये हो गया जो आपको लग रहा है कि ऐसे कर सकते हैं और दूसरा तरीका जो मैं कह रहा हूं मैं क्या कह रहा हूं ऐसे कर लो क्या कि अ एक लड़की तुम्हे चूज करनी है तो इन फाइव में से कोई एक लड़की चूज कर लो ठीक है तो पहले फाइव में से कोई एक लड़की चूज कर ली फिर फिर अब इन चार लड़कों में से कोई भी दो लड़के चूज कर लो तो फोर बॉयज में से कोई भी दो लड़के चूज कर लो या या 5 स1 4 स2 प्लस प्लस अब क्या करो या फिर तुम क्या कर सकते हो कि पांच लड़कियों में से कोई दो लड़की चूज कर लो तो 5 स2 मल्टीप्ला बाय मल्टीप्ला बाय 4 स1 यानी कि इसमें से एक लड़का चूज कर लिया या या 5 स3 है ना पांच में से कोई लड़की चूज कर ली और इसमें से कोई चूज नहीं किया है ना 4c 0 लिख दिया यहां पे 4c 0 कोई इसमें लड़का चूज नहीं किया ठीक है इसको आप ऐसे लिखेंगे कि भाई 5c 1 4c 2 ् 5 स2 4c 1 + 5c 3 4c 0 ठीक है अच्छा एक और चीज अब यहां पे तुम सोचोगे सर 4c 0 का मतलब क्या हुआ तो ये मैंने बताया भी था कि ये एक्चुअली वन होता है क्योंकि 4c 0 का मतलब क्या होना चाहिए कि फोर में से कोई चूज नहीं किया ठीक है मतलब एक ही हो गया ना ये भाई यहां पे एक ही होना चाहिए ज़ीरो नहीं होना चाहिए वरना तो मामला गड़बड़ हो जाएगा तो 4c 0 क्या होता है 4 फैक्टोरियल है ना 4 फैक्टोरियल हां एक और चीज बताना भूल गया था मैं आपको 5 फैक्टोरियल को आप ऐसे भी लिख सकते हो 5 फैक्टोरियल ठीक है तो n फैक्टोरियल को हम लिख सकते हैं n फैक्टोरियल ये एक ही तरीका है ये जो l बना रखा है ना ये एक ही नोटेशन है कोई दिक्कत नहीं है तो 4 फैक्टोरियल फिर लिख दिया 0 फैक्टोरियल फिर 4 - 0 4 तो ये और ये कट गया ये तो वन हो गया ठीक है तो आंसर वन ही आ गया ठीक है तो 4 से 0 व होता है तो आप कुछ चीज लिख सकते हो कि तो आंसर आएगा ठीक है और आठ में से एक भी नहीं लूंगा तो उसको भी हम एक ही बोलते हैं क्यों बोलते हैं ऐसा बोलना पड़ेगा क्योंकि जी फट को हमने बोलना है ना हम लोग इस वजह से ठीक है तो ये एक छोटी सी बात है र अलग हो गई बात तो ऐसे भी कर सकते हो ठीक है और आप जैसा बोल रहे हो आप ऐसे भी सोच सकते हो 93 43 अच्छा इसमें एक बड़ी इंटरेस्टिंग बात हो सकती है कि कोई इसको एक और तीसरे तरीके से भी सोच सकता है मैं बताता हूं कैसे जो किसी और के दिमाग में आ सकता है वो क्या है मैं बताता हूं कि सर देखो पांच लड़कियां हैं और चार लड़के हैं ठीक है तो आप एक काम करो मैंने कहा बोल बता सर आपको तीन की टीम बनानी है ना तो आप इन पांच में से एक लड़की पहले ही चूज करके रख लो पांच में से कोई भी एक लड़की पहले ही चूज कर लो फिर फिर अब कितने लोग बच गए पांच में से एक लड़की चूज कर लिया आपने ये टोटल कितने लोग हैं ये टोटल नौ लोग थे ना उसमें से आपने एक लड़की को चूज करके चूज कर लिया है तो आठ लोग बजे अब इन आठ में से कोई भी दो चूज कर लो बन गई तीन की टीम कितने लोग समझ गए कि इसमें कुछ झोल है कितने लोग समझ गए कि इसमें एक झोल है और ये बहुत ही इंपॉर्टेंट मोड प आ चुके हैं हम लोग ठीक है ये एनटायर उसके लिए बड़ी गजब की चीज है ठीक है और आप देखो ये जो तरीका ये लीलावती ही सोच रही है तीनों तरीके और उसमें से तीसरा तरीका उसने सोचा अब 5 स1 * 8 स2 इसमें क्या दिक्कत हो सकती है एक एग्जांपल लेकर देखते हैं ना ठीक है मान लेते हैं एक लड़की का नाम है लीलावती ठीक है दूसरी का नाम है मान लो सीता फिर गीता ठीक है फिर राधा ठीक है ऐसे चार लड़किया है और एक और बनाले मान लेते हैं एक को बना लेते हैं शालू तो पांच लड़कियां हो गई ठीक है ये पता नहीं मेरे को जब भी मैं ऐसे यहां पे जब पीएनसी में घुसता हू ना मेरे ऐसे अजीब अजीब से नाम लिखते हैं रामम श्याम घनश्याम सीता गीता पता नहीं कैसे ऐसे नाम आ जाते हैं अचानक से ठीक है बट चलो कोई बात नहीं यहां पे राम श्याम घनश्याम ठीक है और कोई एक और चमन ठीक है तो पांच लड़कियां और चार लड़के अब तुम सोच के देखो जब तुमने किया 5 स1 तो इन पांच लड़कियों में से तूने कोई एक लड़की चूज कर ली मान लेते हैं तूने अ लीलावती को चूज कर लिया ठीक है और अब तुम्हें दो ल दो कोई भी चलेंगे अब इन अब मान लो तुमने इनको चूज कर लिया अब ये सब लोग हैं यहां पे तुम्हारे हिसाब से तो अब इन आठ लोगों में से तुम कोई भी चूज कर सकते हो ठीक है तो एक को तो तुमने पहले ही चूज करके रख लिया है ठीक है अब बचे हुए दो में तुम क्या कर सकते हो तुम राम को बुला लो और श्याम को बुला लो या फिर तुम क्या कर सकते थे तुम मे भी राम को बुला लो है ना और तुम मान लो राधा को बुला लो है ना या तुम लीलावती को तुमने चूज कर ही रखा है तो तुम अ गीता को बुला लिया तुमने और उधर से राम को बुला लिया ठीक बढ़िया अब तू सोच के देख सोच के देखना ठीक है ध्यान से देखना बहुत ध्यान से इसको थोड़ा ध्यान से देखते हैं यहां पे तुमने क्या किया था यहां पे तुमने राम को बुलाया था राम को ठीक है और ये कौन है ये सीता है ठीक है तो लीलावती राम और सीता इसको केस को ध्यान से देखना अब देखो ऐसा भी तो हो सकता है ना कि जब तुमने 5 स1 किया था तो 5 स1 में पहले तुमने सीता को बुला लिया तो तुमने सीता को पहले चूज कर लिया ये आ गई सीता सीता प पहले चूज कर लिया फिर अब दो में कौन बचा सीता तो पहले ही आ गई है ना सीता को तो हमने पहले ही ले लिया तो चार तो ये हैं और चार ये हैं तो आठ लोग है अब इन आठ में से इधर से तो मैंने राम को चूज किया ठीक है और यहां से मैंने लीलावती को बुला लिया तो यहां पर अगर तुम ध्यान से देखोगे तो लीलावती राम सीता सीता राम लीलावती ये तो तीनों ये तो दोनों एक ही टीम हो गई ना ये तो एक ही टीम है ये कोई अलग-अलग टीम थोड़ ना है हां ठीक है ऑर्डर अलग है बट भाई मोटा मोटा टीम तो एक ही है बट ये तो अलग-अलग काउंट हो रही है तो यहां तो रिपीटेशन हो ग जैसे उसमें हुए थे रिपीटेशन चटनी वाले केस में वही रिपीटेशन यहां पे भी हो रहे हैं तो ये तो हम फस गए और सर ऐसा तो बहुत बार फस जाएंगे ले इसका कोई लॉजिक है लाइक ऐसा क्यों हो रहा है तो ये बहुत ही बारीक बात है जो उस टाइम पे लोगों ने सोची लीलावती ने सोची और भास्करा ने सोची और तुम समझ जाओगे तो बहुत बात क्लियर हो जाएगी ध्यान से देखना जो लड़कियां हैं सिर्फ लड़कों की बात नहीं हो रही लड़के तो बेचारे छोड़ो लड़कियों की अगर मैं बात करूं तो लड़कियों को दो एंट्री मिल रही है देखो एक तो वो यहां से एंट्री कर सकती है टीम के अंदर है ना एक तो यहां से एंट्री कर सकती है पांचों में से कोई एक लड़की यहां आ सकती है और फिर लड़कियों को यहां पे भी एंट्री मिल रही है 8 स2 जो है इसमें भी लड़कियां आ सकती हैं इसके थ्रू भी इसके थ्रू लड़के आ सकते हैं लड़के से एक ही थ्रू एक ही चीज के थ्रू आ सकते हैं बट लड़कियां जो है वो इसके थ्रू भी एंटर कर सकती हैं तो जब भी तुम एक पर्टिकुलर ऑब्जेक्ट को दो तरीके के गेट दोगे दो तरीके के दरवाजे दोगे दो एंट्री दोगे तो हमेशा तुम्हारी काउंटिंग गड़बड़ होगी हमेशा और यही रीजन है देखो यहां से लीलावती आ गई ठीक है तो यहां पे सीता आ गई थी यहां पे अब दूसरे सिचुएशन में तुमने सीता को यहां से एंट्री दे दी तो यहां से लीलावती आ गई तो केस हमेशा रिपीट हो जाएंगे ठीक है इसका एक एग्जांपल देता हूं मान लो पांच चीजें हैं कोई पांच चीजें अब इन पांच में से तुम्हें कोई दो चीजें चूज करनी है ठीक है तो तुम सीधे बोल दोगे ना 5 स2 ठीक है ये तो बिल्कुल सही करा तुमने इसको एक और तरीके से भी कर सकते हो तुम मत क्या बोलोगे तुम बोलोगे एक काम करते हैं पहले इन पांच में से पहले मैंने सर एक ऑब्जेक्ट चूज किया पांच में से एक चूज कर लिया फिर फिर अब सर चार ऑब्जेक्ट बच गए ना पांच में से मैंने एक को तो चूज कर लिया तो चार बचे अब इन चार में से मैंने दोबारा एक चूज कर लिया तो अल्टीमेटली तो मैंने दो लोगों की टीम बना ली ठीक है लेकिन तुम ध्यान से देखना 5c कितना हो गया 5 स1 कितना हो गया फ हो गया ठीक है एंड 4 स1 कितना हो जाएगा फ ये भी लिख लेना ठीक है कि nc1 जो होता है वो n ही हो जाता है ठीक है तुम करके देख लो ना nc1 का मतलब क्या हुआ nc1 का मतलब क्या हुआ वही आठ चटनियां को अगर तुम एक एक करके लोगे तो आठ ही तो आंसर आएगा ना तो nc1 हमेशा n होता है ठीक है अगर ऐसे भी करके देख लो n को एक ही बार लिखोगे डिवाइड बा 1 फटोल ठीक है तो आंसर n ही आएगा या फॉर्मूले से कर ले भैया n फ्टो 1 फैक्टोरियल n - 1 फैक्टोरियल ठीक है तो 1 फ्ट तो हट गया ठीक अब n अब अच्छा कुछ लोग कंफ्यूज हो गए होंगे कि सर ये आपने क्या लिख दिया n फटो डिड बा n - 1 फ्ट देखो ये सब चीज है ना अभी हम देखेंगे क्वेश्चंस में ज्यादा अच्छे से क्लियर हो जाती ये ऐसे लिखूंगा जैसे 8 फटो डिवा बा 7 फ्ट अब कॉमन सेंस की बात है कि 8 * 7 फट डिवा बा 7 फ्ट भाई 8 फटल क्या होता है 8 * 765 तो वो तो 7 फैक्टोरियल ही हो गया तो ये और ये कट जाएगा तो 8 ही आंसर आ जाएगा ठीक है तो जब भी अगर आपको दिख जाए ये तो n n डि बा n - 1 फट इज व्हाट भाई n फैक्टोरियल को क्या लिख सकते हो n * n - 1 फट कट गया ए आंसर आ गया ठीक है तो nc1 क्या होता है हमेशा n होता है ठीक है ये छोटी छोटी बातें हैं जो बिल्कुल बैठ जानी चाहिए तो लिखना भी नहीं है ठीक है क्या कि nc0 n स ए होता है ठीक है और ये आंसर ए आता है इसका ठीक है एंड nc1 ए होता है ठीक है सॉरी गलत बोल गया ठीक है थोड़ा गलत बोल गया थोड़ा बक्स दीजिए हम यहां प वन होगा ठीक है हां तो हम कहां प थे हा तो तुम देख सकते हो कि 5 स1 5 हो गया 4c भी तो 5 * 4 आंसर कितना आ गया 20 तो 20 तरीके से हो गया पर 5 स2 क्या होगा 5 * 4 / बा 2 फ्टो राइट एंड दैट इज 20 डिवा बा 2 10 आंसर आएगा ब यहां तो 20 आ रहा है पर सही तो यही वाला है सर पांच में से दो चूज करने के फ तरीके होते हैं या आपने पता नहीं कौन सा नया तरीका बता दिया कि पांच में से पहले एक चूज कर ले फिर जो बच जाए चार उसमें से फिर देखो ध्यान से अब देखना यहां पे क्या हुआ जो पांच ऑब्जेक्ट है मान लेते हैं ए बी सीडी ठीक है ना इसमें से पहले तुमने एक को चूज किया तो तो इन पांचों के पास अगर ये टीम है ये टीम है ठीक है यहां पे आने के जो टीम को अभी ऐसे कर हैं इस टीम में आने का दो तरीके मिल गए उनको दो एंट्री मिल गई पहले तो तुमने इस एंट्री से उनको बुलाया कि पांच में से कोई भी एक आ जाओ तो एक तरीके से तो यहां पे आ सकते हैं एंड फिर इधर एक और एंट्री मिल गई तो इन सारे एलिमेंट्स को दो एंट्री मिल गई जब तुम बोलते हो 5 c2 तो ये तुमने एक ही बार में बोला है एक ही बार में दोनों आ जाओ ठीक है ये ऐसा नहीं है कि अलग-अलग दो-दो बार हो रहा है ठीक है ये जब क्वेश्चंस करेंगे तो ज्यादा अच्छे से क्लियर हो जाएगा ठीक है वरना तुम इसमें यह भी कर सकते थे कि 5 c1 4 c1 और क्योंकि रिपीट हो गया तो डिवाइडेड बाय 2 फ्टो तो तुम वापस से आंसर में यहीं पहुंच जाओगे यह बेवकूफी नहीं करना है ठीक है क्यों करना है हमें फालतू में हम हमेशा से ही ऐसे करेंगे कि हम कभी भी ऐसा नहीं करेंगे ठीक है जब भी ऐसा कुछ हो रहा होगा मैं आपको समझा दूंगा फिर से ठीक है इट इज अ बिट कॉम्प्लिकेटेड थिंग यह जो मैंने आपको यहां पे समझाई है ठीक है बट काफी हाईली कांसेप्चुअल चीजें हैं ठीक है यह बहुत ही बड़ी मिस्टेक होती है अ जो कई बच्चे करते हैं पीएनसी में ठीक है कि वो ये चीज़ें करते हैं या अभी तो आपको लग रहा होगा सर हम तो ऐसा कभी नहीं करेंगे 5c 1 * 4c जीवन बट कई बार आप कर दोगे ठीक है आपको लग रहा है ब कई बार आप कर दोगे तो जब करोगे तो मैं आपको समझा दूंगा देखो यहां पे नहीं करना है ठीक है तो वो छोड़ते हैं अभी ठीक है अभी हम वापस कहानी पे लौट के आते हैं तो भास्करा जी जो है वो निकले हुए हैं कहां जाने के लिए पिंगला से मिलने के लिए ठीक है तो इतने सारे केसेस उनको देखने को मिल रहे हैं ठीक है तो अच्छा इसी में से उन्होंने जो एक वो केस किया था ना ये वाला अ ये क्रिकेट टीम वाला कि चमन को चूज कर ले फिर घनशाम को चूज मत करना एंड ऑल दैट तो इसी से उन्होंने एक और चीज सोची अगर तुम सोच पाओ तो बहुत मजा आ जाएगा सो अलग से समता ठीक अगर मैं एक क्रिकेट की टीम बना रहा क्रिकेट की टीम बना रहा ठीक अब उस क्रिकेट की टीम में 15 लोग थे ठीक सॉरी टीम में तो 11 लोग थे 15 लोग टोटल है मेरे पास ठीक तो इसमें से अगर बोलता 15 में से 11 चूज करने है तो बो 15 सी 15 सी तरीके हो यास एक और इसम टेक्नीक है वो क्या है कि एक बंदा है इसम मान लेते हैं चमन ठीक है इन 15 लोगों में एक बंदा है चमन ठीक है अब चमन के रिस्पेक्ट से कहानी को देखते हैं इसी कहानी को देख रहे हैं इसी कहानी को देख रहे हैं हम लोग ठीक है तो देखो या तो चमन का सिलेक्शन होगा या नहीं होगा ठीक है टीम तो बनेगी बनेगी टीम या तो चमन के अलावा बनेगी या टीम के साथ या चमन के साथ बनेगी ये जो 15 सी 11 है ये कौन-कौन सी टीम है ये दो टाइप की टीम्स ही तो होंगी ना भाई इसमें या तो चमन होगा या चमन नहीं होगा कोई कहेगा सर आपको चमन के हिसाब से क्यों बताना है क्योंकि चमन इज अ नार्सिस्ट पर्सन नार्सिस्ट पर्सन कौन होता है जिसको लगता है पूरी दुनिया मेरे अराउंड रिवॉल्व कर रही है तो 15 सी 11 तो इंडिविजुअल टीम्स थी बट चमन इसको किस तरीके से देख रहा है चमन कैसे देख रहा है कि या तो मैं इसमें होंगा या नहीं होंगा तो अगर मैं इसमें होंगा अगर चमन इसमें हुआ तो 15c 11 को आप कैसे लिख सकते हो कि भाई इसमें चमन है जिसमें भी चमन होगा वो कौन सी टीम होगी कि चमन भाई साहब तुम तो आ जाओ अगर चमन भाई साहब को तुमने पहले ही सेलेक्ट कर लिया फिर अब कितने लोग बच गए 14 राइट तो 14 में से 10 लोग आ जाओ तो 14 सी 10 ये वो सारी नंबर ऑफ टीम्स होंगी जिसमें चवन होगा हो ही होगा ठीक है या या फिर चमन भाई साहब नहीं होंगे तो अगर चमन भाई साहब नहीं होंगे तो पहले चमन को बुलाया और फड़ दिया निकल जा य से ठीक है तो अब कितने लोग बचे 14 लोग बचे 14 लोग बचे और इसमें से तुम्हे चूज अभी भी 11 ही करने है क्योंकि टीम में तो अभी तक कोई भी नहीं आया ना तो 14 स10 प् 14 स1 विल बी इक्वल टू व्हाट विल बी इक्वल टू 15 स1 ये तो हो गई टोटल टीम्स ये वो वाली टीम है जिसमें चमन है ये वो वाली टीम है जिसमें चमन नहीं है ठीक है तो इसी का आप एक जनरलाइज करके सोचोगे तो आप एक फॉर्मूला बना सकते हो क्या कि अगर मैं यहां देखूंगा अ भाई यहां पे क्या है ये n है ये n है और यहां पे n + 1 हो गया तो अग लिखा हुआ है कि एसी प् nc1 करोगे तो n+ 1 स + 1 आएगा ठीक है और कितने तो कॉमन सेंस है अच्छा तुम सोच के देखो इसको भूल जाओ तुम गोली मारो इसको अगर मैं तुमसे बोल दूं कि मान ले 26 लोग हैं 26 लोग हैं और 26 में से तुम्हें 13 लोग चूज करने हैं ठीक है तो तुम सीधे बोल दोगे ना 26 1 इसमें इतना सोचना क्या है बट मैं बोलूंगा नहीं नहीं नहीं इसमें एक इंसान है अगर उसके रिस्पेक्ट में देखोगे तो 26 स 13 जो है सिर्फ इस एक इंसान के रिस्पेक्ट में एक इंसान मान लेते हैं कौन है इसमें मान लेते हैं श्याम ठीक है तो श्याम इसमें होगा या नहीं होगा अगर शाम होगा अगर शाम होगा तो अब शाम को अगर तुमने पहले ही बुला लिया तो 25 लोग बचे सामने और उसमें से तुम्हें कितने लोग चूज करने हैं 12 ठीक है या फिर शाम नहीं है तो शाम को हटा दे भाई 25 लोग बचे सामने और उसमें से कितने लोग चूज करने हैं 13 के 13 चूज करने हैं तो ये फर्मूला बन गया रिस्पेक्ट में सोचेंगे कि हम 133 बना रहे हैं तो कैसे होगा उनका मतलब क्या बोलना चाह रहे है देखो सर 26 सी 13 ये टोटल टीम होंगी ये टोटल टीम होंगी अब इसमें हम राम और श्याम दोनों के रिस्पेक्ट में सोच रहे हैं कि या तो राम और श्याम दोनों टीम में होंगे या फिर राम और शाम में राम होगा शाम नहीं होगा या फिर राम नहीं होगा शाम होगा या फिर राम और शाम दोनों ही नहीं होंगे ठीक है ये 26 सी 13 ये टोटल नंबर ऑफ टीम्स है तो टोटल नंबर ऑफ टीम्स जो होंगी वो चार टाइप की तो हो सकती है राम और श्याम की दुनिया के रिस्पेक्ट में ठीक है राम और शाम बड़े घने दोस्त हैं वो अपने रिस्पेक्ट में बता रहे हैं कि भाई अगर इन्होंने टीम बनाई तो क्या हम दोनों साथ में होंगे या हो सकता है सिर्फ तू हो या सिर्फ मैं हूं या हम दोनों ही ना हो ठीक है तो अगर राम और श्याम दोनों होंगे तो हमें पता है पहले से क्या आंसर आएगा 26 में से 26 में से दो लोगों को तो तुमने पहले ही चूज कर लिया ना तो अ 24 लोग बचे है ना और उसमें से तुम्हें चूज कितने करने हैं 11 तो 24c 111 ठीक है फिर राम और श्याम में राम को चूज कर लिया और श्याम को हटा दिया तो 26 में से दो लोग तो हट गए कितने बचे 23 अब राम को तो पहले ही चूज कर लिया है ना राम को तो पहले ही चूज कर लिया है ठीक है ना और 13 लोग की टीम बनानी है तो 12 लोग ही तो चूज करोगे ना अब तुम ठीक है एंड बिल्कुल यही सिनेरियो इसमें भी हो जाएगा 23c 12 प्लस ठीक है समझ में आ रहा है अगर नहीं भी आ रहा तो चलता है इतना इतना कोई इसमें टेंशन वाली बात नहीं है ठीक है मोटी मोटी कहानी समझ में आनी चाहिए अब देख राम और श्याम जो है अगर वो दोनों ही की दोनों नहीं है तो राम और श्याम तुम दोनों बाहर आ जाओ ठीक है और दोनों निकल लो यहां से ठीक है तो कितने बचे तो 25 में से दोनों लोग चले गए कितने बचे 23 तो 23 में से अब तुम्हें 13 लोग ही चूज करने पड़ेंगे ठीक है तो ये पूरी चीज किसके बराबर होगी 26c 122 के इसको ध्यान से देखो य क्या लिखा हुआ है ये क्या लिखा हुआ है 24c 111 + 20c 23 c12 दो बार आ गया ठीक है प्स 23 c13 = 26 c12 तो ऐसे करके उन्होंने फॉर्मूला बनाया तो उन्होंने बोला देखो ये क्या बन रहा है तो यहां पे एक छोटा सा एरर हो गया मेरे से ठीक है एंड दैट इज 24 वाली चीज ठीक है एक मिनट यहां पे एक्च 24 होगा तुमने ये मैंने क्या कर दिया एक्ली मैंने थोड़ा आगे तक समझा दिया था फिर मुझे याद आया कि मैंने गलत कर दिया तो अब मुझे दोबारा थोड़ा सा समझाना पड़ेगा एक मि मैं पूरा नहीं समझा रहा ठीक है बस छोड़ा सा समझा दे रहा हूं आपको कि हमने जो बोला था ना कि शाम होगा हमने क्या एग्जांपल लिया था बेसिकली यहां प 24 होगा ठीक है क्योंकि अगर तुम दो को हटा दोगे चाहे एक को चूज कर लिया और एक को हटा दिया तो 26 में से दो हट गए तो 24 तो हुआ ना तो 24 इधर भी 24 इधर भी होगा 24 इधर भी होगा ठीक है तो ये अल्टीमेटली क्या बनेगा ये अल्टीमेटली ऐसा बनेगा 24c 122 एंड 24c 13 तो इसका जनरल फर्मूला क्या बन गया nc2 एसी + 1 प् nc2 = n+ 2c + 2 ठीक है तो ये एक पूरी सीरीज बनाई जा सकती है भाई तुम सोच के देखो ना अभी हमने दो दोस्तों में किया था अगर मैं तीन कर लेता कि भाई राम श्याम घनश्याम के हिसाब से मुझे एक्सप्लेन करो तो फिर तीन के हिसाब से बनेगा ठीक है कि राम श्याम घनश्याम अगर तीनों दोस्त हुए तो ठीक है अगर राम हुआ श्याम और घनश्याम नहीं हुए ठीक है या फिर राम और श्याम तो हुए घनश्याम नहीं हुआ ऐसे करके आठ केस बनाए जा सकते हैं पूरे कोई कहेगा सर आठ केस ही कैसे बनाए जा सकते हैं क्योंकि राम श्याम घनश्याम है इस पे मुझे टिक मार्क जो है वो घुमाना है तो तीन चीजों पे नहीं एक्चुअली वैसे नहीं घूमेगा वो दूसरे तरीके से घूमेगा कि अ चलो ये भी समझ लेते हैं कि राम है ये श्याम के लिए है ये घनश्याम है तो या तो राम पे टिक आएगा या नहीं आएगा तो दो तरीके से हो सकता है ये काम तो कि राम पे टिक आए या ना आए फिर श्याम पे टिक आएगा या नहीं आएगा टिक टिक मार्क ठीक है तो ये भी दो तरीके से होता है फिर घनश्याम पे टिक आएगा या नहीं आएगा ये भी दो तरीके से हो सकता है तो टोटल 2 की पावर 3 यानी कि एट तरीकों से ये पूरे केसेस बनाए जा सकते हैं ठीक है मैं मैं तुम्हें दिखा भी सकता हूं ये बड़ी ये प तुम्हें तुम्हें समझ में नहीं आ रहा होगा कि सर ये सब चीजें यूज कैसे होंगी ठीक है आप इतनी सारी चीजें बताए जा रहे हो ये हम कैसे करेंगे देखो अभी सिर्फ समझने पे ध्यान दो ठीक है अभी क्वेश्चन सॉल्व नहीं करने हैं तुम्हें ठीक है अभी बस समझो ठीक है जब क्वेश्चन सॉल्व करना होगा तो तुम्हें दिख जाएगा कि ये जो हम कर रहे हैं ना इस ये कितना अच्छे से तुम्हारे दिमाग में सब कुछ बैठ रहा है जो हम कर रहे हैं उसमें कुछ भी खास नहीं है ठीक है जो मैं तुमसे ये फॉर्मूले मले करवा रहा हू ये फॉर्मूला हर टीचर करवाता है बट जिस तरीके से हम एक-एक चीज को जोड़ रहे हैं जो कहानी तुम्हारे दिमाग में बन रही है दैट इज द मेन थिंग ठीक है दैट इज द अंडरस्टैंडिंग व्हिच एवरीवन वांट्स ठीक है सो उसके पीछे भागो ठीक है अंडरस्टैंडिंग अंडरस्टैंड अब भागने की जरूरत नहीं पड़ती है अंडरस्टैंडिंग डूब के होती है डूब जाओ बस ठीक है ये समुद्र चल रहा है गणित का मैथ्स का ठीक है इस समुद्र में डूब जाओ इमर्स हो जाओ ठीक है तो डूब के एकदम फुल अटेंशन के साथ चीजों पे फोकस करो ये भूल करके कि ये कैसे होगा ये कैसे होगा वो कैसे यूज होगा अभी सारी टेंशन को गोली मार के सिर्फ ध्यान दो समझने पे ठीक है तो ये मैंने क्या समझाया भाई जैसे राम श्याम घन श्याम है तो या तो टिक मार्क इस पे आएगा ठीक है अगर इस पे टिक आ गया तो इस पे क्रॉस हो गया या फिर इस पे टिक आएगा इस पे भी टिक आ जाएगा ठीक है या फिर इस पे नहीं आएगा या फिर हो सकता है तीनों पे टिक आ जाए या फिर इस पे क्रॉस हो जाए और इस पे टिक आ जाए ठीक है तो ऐसे करके कितने केसेस बन सकते हैं ठीक है तो उसका सिस्टेमेयर के तुम क्या करना चाह रहे हो कि या तो इस पे टिक आएगा या क्रॉस आएगा ऐसे ही या तो इस पे टिक आएगा या क्रॉस आएगा या फिर इस पे टिक आएगा या क्रॉस आएगा तो इसके पास भी दो ऑप्शन है इसके पास भी दो ऑप्शन है इसके पास भी दो ऑप्शन है तो 2 * 2 * 2 2 का क्यूब आंसर कितना आ गया आठ आ गया यहां पे गलती से भी वो मत कर देना 3 * 2 * 1 कि सर आंसर छ है ना कि न फैक्टोरियल हो गया सर कि राम शम घनशाम तीन तरीके से घूम सकते हैं वो तो घूम सकते हैं एक दूसरे में ये दूसरी चीज है ठीक है तो इसको अगर आप देखोगे अगर आप देखना चाहते हो तो आप बना भी सकते हो इसको इनफैक्ट आप सिस्टेमेयर इसको टिक और इसको क्रॉस या फिर इसको क्रॉस और इसको टिक या फिर दोनों को क्रॉस ठीक है और तब तक इस पर टिक चल रहा है राइट ठीक है इसको मैं पता है कैसे करता हूं मैं इसको ऐसे करता हूं ध्यान से देखना मैं कैसे करूंगा इसको तो पहले चारों पे टिक बना दिया ठीक है देखो ऐसे ये बड़े काम में आते हैं ये सब चीजें छोटी-छोटी चीजें पहले चारों पे टिक बना दिया टिक बना दिया चारों पे फिर चारों पे क्रॉस बना दिया ठीक है फिर दोदो करके टिक बना दिया टिक क्रॉस टिक क्रॉस ठीक है और फिर टिक क्रॉस टिक क्रॉस टिक क्रॉस टिक क्रॉस ये टोटल वो एट केसेस आ गए जितने भी आ सकते थे दिस इज द सिस्टमिक तरीका ठीक है तो ये अब देखो ये सब चीजें तुम लिखने बैठोगे तो पगला जाओगे ठीक है बस ये सब चीजें तुम्हें पता हो होनी चाहिए बस कि हां ठीक है इस तरह से हम ऐसे कर सकते हैं कैसे यूज़ होगा क्या होगा वो हम देख लेंगे ठीक है अभी इसको इग्नोर मारो अब छोड़ो इसको ठीक है इसको छोड़ो तो ये जो हमने किया ये बट वो बोरिंग तरीका है है ना वो तो बस नंबर वाला तरीका है बट हमने जो किया वो फीलिंग है कि आया कहां से भास्करा को कोई शौक नहीं चल रहा था इस टाइप की चीजें बनाने का वो अपने आप ही उभर उभर के आ रही थी ठीक है जैसे इसी में का उन्होंने वहीं प बैठे बैठे सोचा कि अगर मान ले एक टीम थी उनको है ना उनको 15 में से 15 लोग थे उसमें से 11 की टीम बनानी थी राइट उसमें से किसी एक को तो कैप्टन भी बनाना होगा ठीक है तो इस प्रॉब्लम को दो तरीके से अप्रोच किया जा सकता है कि भाई एक काम करो पहले 15 में से तुमने 11 लोगों को चुन लिया ठीक है 11 लोगों को चुन लिया और अब इन 11 में से ठीक है पहले 15 में से 11 को चुन लिया 15c 11 फिर फिर इन 11 में से किसी एक को मैंने कैप्टन चुन लिया बोलो बिल्कुल ठीक ही है या फिर एक और तरीका भी हो सकता है इसी चीज को करने का ठीक है लेकिन अच्छा यहां पे सर आप यहां प्लस नहीं प्लस नहीं लगाओगे ठीक है क्योंकि हम एक ही सिचुएशन के बारे में बात कर रहे हैं हम इसी सिचुएशन को ऐसे भी हैंडल कर सकते थे कि पहले ये जो 15 लोग दे रखे हैं ना पहले इनमें से मैंने किसी एक को चूज कर लिया 15 स1 बेटा तुम इनमें से कोई एक आ जाओ जिसको मैंने कैप्टन चूज कर लिया है ठीक है फिर अब कितने लोग बच गए 14 लोग बच गए और और टीम में कितने लोग बचे 10 तो इन 14 लोगों में से अब 10 लोग चुन लो जो कि टीम में आएंगे ठीक है तो ये दोनों तरीके ही आपको समझ में आ रहे होंगे अब इसी का अगर आप जनरलाइज वर्न देखोगे कि भाई n में से मैं आठ चीजों को चूज कर रहा हूं राइट अब इसमें से अगर मैंने पहले ही एनसीआर को चूज कर लिया और फिर मैंने r में से किसी एक पर्टिकुलर चीज को ज्यादा इंपोर्टेंस दे दीया ठीक है तो ये बात इक्वल है क्या बोल नेंगे कि पहले n में से एक को इंपॉर्टेंस दे दो है ना और फिर जो बचे हुए n -1 चीजें हैं उनमें से r -1 चूज कर लो बात एक ही है बात एक ही है ठीक है तो ये क्या लिखा हुआ है ये लिखा हुआ है [संगीत] और यहां से टू बाहर निकाला तो वन बन गया यह तो कर रहा है ना ये चीज़ nc1 r तो बाहर आ गया तो एक n कम हो जाएगा एक r कम हो जाएगा कितना इंटरेस्टिंग रूल है मानो मैं बोल दूं 23c 17 ठीक है तो 23 बाहर निकाल लेगा ठीक है और नीचे से 17 बाहर निकाल ले तो 23 बाहर निकाल ले तो 22 बन गया और उधर से 16 बन गया यह समझाने का तरीका है बस कि उसको बाहर निकाल लिया एंड ऑल दैट एक्चुअल तो यह है एक्चुअल तो यह है कोई सोच सकता है कि यह चीज जो है यह एक्चुअली यहां से आ रही है यह कैप्टन बनाने वाले तरीके से आ रही है और इसको आप ऐसे भी प्रूफ कर सकते हो कि यह ncc.nic.in तभी तो मैंने बोला था ना n निकाल दोगे तो n - 1 बच जाएगा और फिर सिमिलरली r * r - 1 फ्ट जो लिखा हुआ है ना यही बराबर होगा r फ्टो के इसीलिए जब r को बाहर निकाला तो r - 1 फटल रह गया था ठीक है ये समझ में आया ना आया कोई दिक्कत नहीं है देखो ले ले कर के इस पूरे टॉपिक को बोलते हैं प्रॉपर्टीज ऑफ़ एसीआर ठीक है बट ये ऐसे पढ़ाया जाता है बड़े गंदे तरीके से कि देखो बेटा एक बाइनल को एफिशिएंट होता है ncr-1 फटो और बेटा होते और nc1 n होता है ठीक है और बेटा ये मैंने आपको बता ही दिया कि ncr-1 cr1 होता है ठीक है और ये भी बताते हैं कि एसी प् ncr-1 जो होता है वो इसके बराबर होता है अब ऐसे रूखे सूखे तरीके से पढ़ाया जाता है एक और पढ़ाया जाता है ये लिखा हुआ तुम्हारे सामने ठीक है और एक और ये भी है ये तो बड़ा इंटरेस्टिंग पहले हम इसको देख लेते हैं तो एक् और y बराबर हो जाएंगे कि भा मान लो 17 स3 और 17 स3 तो ये तो बराबर ही होंगे कोई दिक्कत ही नहीं है ठी तो x और बराबर हो गए या एक और चीज भी हो सकती है ऐसा भी तो हो सकता है ना कि सर 17c = 17c 17 माइ आ ये दोनों भी तो बराबर होते हैं तो r और 17 माइ आ बराबर हो गए यानी कि r एंड 17 माइ आ इनके बीच में क्या रिलेशनशिप है ये दोनों को बराबर ना होंगे आर नॉट बराबर राइट आर नॉट बराबर इनको जोड़ो तो आंसर 17 आएगा यह रिलेशनशिप है इनके बीच में राइट तो यही चीज़ लिखी जाती है कि अगर ऐसा है तो आप बोलोगे कि x + y जो होगा वह फेर 17 के बराबर होगा ठीक है तो अगर मुझे को कोई बोल दे रैंडम कि n -1 होगा या नहीं होगा ज्यादा काम की चीज नहीं है क्योंकि एक और चक्कर भी हो गया जेई मेंस ने बेसिकली बाइनल को एफिशिएंट का जो प्रॉपर्टीज वाला टॉपिक है उसको हटा दिया है ठीक है उसको हटा दिया है क्योंकि उसको हटा दिया है तो फिर ज्यादा कोई प्रैक्टिस करने की जरूरत है नहीं ठीक है अब जैसे ये चीज है अभ ये बच्चों को याद ही नहीं होती और ना तुम्हें अभी कुछ भी याद करने की जरूरत नहीं है ठीक है हम पहले देखेंगे कि क्वेश्चंस में यूज़ होता है या नहीं होता है तभी करना वरना अभी तुम मजे दो स्टोरी लो ठीक है अभी स्टोरी लो ठीक है क्योंकि मेजर जो क्वेश्चंस आते हैं वो स्टोरी बेस्ड ही आते हैं ठीक है तो जब उन्होंने अपने मुंह से बोल दिया कि ये टॉपिक को हम हटा रहे हैं तो फिर तुम्हें क्या टेंशन है ठीक है फिर तुम का को टेंशन ले रहे हो फिर भी मैं तुम्हें थोड़ा सा शो कर देता हूं कि जैसे मानो यहां लिखा हुआ है 17 c6 ठीक है और फिर लिख दिया 17 c5 तो तुम्हें साफसाफ दिख रहा है कि 17 17 है और यहां पे सिक्स है और य एक यूनिट कम है तो आप बढ़ा दो 17 वाले को तो बढ़ा के 18 लिख दो है ना और यहां पे जो लिखा हुआ है उसको यहां लिख दो मतलब जैसे मैं रा साम लिख दूं 186 c93 ठीक है फिर फिर से लिख दूं 186 c94 तो इसका आंसर क्या हो जाएगा 187 c93 बस इसको तो एज इट इज दिया और इन दोनों का एक बढ़ा के लिख दिया ठीक है तो बस यही प्रॉपर्टी है इसमें कुछ ऐसे खास बात तो है नहीं ठीक है ऐसे ही अगर आप देखोगे तो ये वाली प्रॉपर्टी होती है कि भाई ncc.nic.in [संगीत] nc0 आंसर आ जाएगा ले दे करके ठीक है करने की जरूरत है नहीं इसको आप एग्जांपल से देख सकते हो कि 5 स3 एंड 5 स2 इस इसको चलो मैं शो कर देता हूं 5 फैक्टोरियल ठीक है और फिर हो जाएगा 3 फ्टो एंड 2 फैक्टोरियल डिवाइडेड बाय अ 5 फ्टो और फिर 2 फ्टो और 3 फ्ट चलो ये तो पूरा ही कट गया ये तो स सभी कुछ कट गया आंसर वन आ गया तो यहां पर भी आंसर वन ही आएगा 5 - 3 2 2+ 1 3 3/3 आंसर आ गया व ठीक है आप ये फॉर्मूला यहां पे लगा सकते हो दैट्ची हैं अ बट रहने देते हैं अभी हम क्यों फालतू में टाइम वेस्ट करें मैंने आपको बस दिखा दिया है ज्यादा इसमें टाइम वेस्ट करने की जरूरत नहीं है ठीक है ब आप गेम को समझो कि ये सब जो बना है ना जसे जब जो कीड़े मकड़ों की तरह लिखा हुआ होता है ये पूरी कहानी है यार लाइक तुम देख सकते हो कि ये कैप्टन वाली कहानी थी जैसे ठीक है या फिर इस टाइप से थी कि एक इंसान अपने रिस्पेक्ट में सोच रहा है ना एक इंसान अपने रिस्पेक्ट में सोच रहा है कि यार तूने 26 में से 13 लोग की टीम तो बना ली बट उसमें मैं होऊंगा या या नहीं होगा हर इंसान अपने रिस्पेक्ट में ही सोचता है ना जब वो टीम बन रही होती है कि यार ये जो सर टीम बना रहे हैं इसमें मैं हूंगा या नहीं हूंगा राइट तो ऐसे ये चीज बनके आई है निकल के ठीक इसमें कोई बहुत हार्डकोर वो सब नहीं है ठीक है तो आई होप सो ये चीज समझ में आई होगी बताओ यार भास्करा जी चले हैं बचारे पिला पिंगला से नहीं मिलने दे रहे हो तुम उनको कहानी प कहानी सुनाए जा रहे हो पिंगला जी से नहीं मिल पा रहे हैं वो है ना तो पिंगला जी से मिलवा देते हैं पहले उनको ठीक है अब जब भास्करा जी जो है वो पिंगला जी मिलते हैं तो क्या होता है पिंगल जीी जो है वो भी कोई पागल आदमी थोड़ना है भा वो भी तो पूरे मैथमेटिशियन है ना ठीक है तो उन्होंने भी कुछ बड़ी गजब की चीज बना के रखी हुई है पि भास्करा जी के लिए ठीक है पिंगला जी ने भास्कर जी के लिए बड़ी गजब की चीज बना रखी है और वो होगी ये ठीक है लेट मी शो यू तो पिंगला जी जो हैं जब भास्करा और भास्करा और लीलावती जब उनसे मिलने आई तो उन्होंने उनको ये शो किया उन्होंने बोला देखो मैंने एक पैटर्न नोटिस किया है कि अगर मैं हमें फॉर्मूले तो पता ही है है ना वो तो हम एपिसोड वन में ही कर चुके हैं है तो वो उनको सब पता ही होगा ओबवियस सी बात है सो x + a स् क्या होता है x स् + 2x a + a a स् x + a क क्या होगा x क + 3x a + 3xa स् + a क है ना इतना तो तुम्हें याद ही होता है तो x + a की पावर 1 क्या होगा x + a x + a हो की पावर 0 क्या होगा सिंपल वन आ जाएगा है ना a की पावर 0 वन होता है सिंपल सा ठीक है तो किसी चीज की पावर रो कर दोगे तो वन आ जाएगा डिफाइन होना चाहिए तो उन्होंने बोला जब मैंने इनको मल्टीप्लाई किया ना x + a की पावर 4 x + a की पावर 5 तो तो ये एक्सप्रेशन आया कैसे निकाला होगा ये कैसे निकाला होगा बताओ बताओ बताओ बताओ हम तो कर चुके हैं बोलो बोलो बोलो x + a * x + a * x + a * x + a जब इस सबको मल्टीप्लाई किया तो ये आ गया फिर जब एक बार और x + a लगा दिया तो x+ a की पावर 5 हो गया उसको जब मल्टीप्लाई किया तो ये हो गया कह र जब मैंने इनको साइड में रखा ना तो एक गजब का पैटर्न आया यार देखने को एक गजब का पैटर्न देखने को मिला कितने लोग को दिख रहा है वो पैटर्न देखो एक तो ये दिख रहा है कि अ x फिर x स् फिर x क फिर x की पावर 4 फिर x की पावर 5 ठीक है वन a a स् a क a की पावर a की पावर 4 a की पावर 5 हो जाएगा बढ़िया लेकिन मजे की बात देखना इसका को एफिशिएंट वन है इसका भी वन है और ये वन और वन मिलके टू हो गए इसका वन है इसका टू है वन और टू मिलके थ्री हो गया इसका टू है इसका वन है तो टू और वन मिलके थ्री हो गए ठीक है फिर देख वन और थ्री वन और थ्री मिलके फोर हो गए थ और थ मिलके सिक्स हो गए थी और वन मिलके फोर हो गए फिर वन और फोर मिलके क्या हो गए फाइव हो गए फिर फोर और सिक्स मिल के 10 हो गए फिर फोर और सिक्स मिल के फिर 10 हो गए फिर फोर और वन मिलके फाइव हो गए ये ऐसा नहीं हुआ है कि मिलके हो गए हो इट्स नॉट लाइक कि वो मिलके फाइव हो गए हो इट इज लाइक कि उन्होंने पहले तो ये अलग से निकाला ना पहले तो उन्होंने ये अलग से निकाला लेकिन वो ये पैटर्न फॉलो कर रहा है तो उन्होंने बोला कि x + a की पावर 6 जो होगा ठीक है पहले उन्होंने अलग से लि लिख के शो भी किया यहां पर ठीक है ना कि अगर वन है ठीक है तो फिर वन और वन को जोड़ेंगे तो टू आएगा तो 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 51 ठीक है तो अगर हम x + a की पावर 5 कर रहे हैं तो ये आ रहा है तो अगर मैं x + a होल की पावर 6 कर दूं तो क्या आना चाहिए वन ठीक है इधर वन आ जाना चाहिए फिर 1 5 6 5 और 10 15 10 और 10 20 10 और 5 15 5 और 1 6स ठीक है एंड वन ठीक है तो क्या तुमहे दिख रहा है कितनी सिमेट्री है 1 6 और 6 10 और 10 और 20 सिमिलरली 1 1 5 5 10 10 ठीक है ठीक है बढ़िया लेकिन सर इससे काम थोड़ी ना बनेगा हमें तो पूरा ही चाहिए ना पूरा ही चाहिए होगा तो उन्होंने एक और पैटर्न ऑब्जर्व किया उन्होंने बोला ध्यान से देखो x की पावर 5 फिर x की पावर 4 x क x स् x और खत्म ठीक है तो यहां पर भी यही चीज हो रही होगी यहां पर भी यही चीज हो रही होगी सबसे पहले शुरू करते हैं x की पावर 6 फिर x की पावर 5 x4 x3 x2 x और खत्म ठीक है फिर फिर फिर फिर फिर इसके साइड में लिखते हैं a वाला टर्म तो देख इसमें तो कहीं पे a का टर्म नहीं है यहां से a का टर्म शुरू होगा ठीक है तो अगर a का टर्म शुरू होगा तो यहां लगा देते हैं a फिर a स् फिर a क a की पावर 4 ए की पावर 5 और आखरी में a की पावर सि क्योंकि अल्टीमेटली तो बढ़ ही जाएगा ना ठीक है देखो ये भी बढ़या अब मेन चीज रती को एफिशिएंट तो को एफिशिएंट क्या होगा इसका वो हम यहां से निकाल लेंगे है ना इसका तो वन ही हो जाएगा यहां सिक्स आएगा क्या आएगा सिक्स फिर क्या आएगा 15 यहां क्या आएगा 20 फिर यहां क्या आएगा नीचे 15 फिर 6 एंड ट्स इट इसको जोड़ लो तो वो दोनों बहुत खुश हो गए भास्करा ने बोला या ये तो ये तो डिस्कवरी है लाक अगर हम चाहे तो हम कल को + a होल की पावर 10 निकाल सकते हैं अगर हम पूरे इसको आगे तक लिखते चले जाए तो हम बड़ी आसानी से निकाल सकते हैं भाई बस ये ट्रायंगल तो हमारे पास होना चाहिए ठीक है भाई 16 15 तो ने निकाल लिया इसके आगे का निकाल लो 1 7 है ना फिर यहां क्या आ जाएगा 21 फिर ये 35 फिर ये भी 35 फिर ये भी 21 है ना फिर ये सेन और ये वन लो निकल गया x+ a होल की पावर 7 निकल गया ऐसे करते करते निकाल सकते हो उन्होने बोला हां ये तो है ठीक है लेकिन फिर दिमाग में आया कि यार ऐसे करेंगे तो तो बहुत टाइम लग जाएगा कल को अगर मान मुझे ऐसे ही मन कर रहा है और मुझे निकालना है x + a होल की पावर 20 तो ये निकालने में तो मुझे पहले पूरा टेबल 20 तक लेकर जाना पड़ेगा पहले पूरा ट्रायंगल 20 तक लेकर जाना पड़ेगा तब जाके बनेगा राइट तो ये देखो बहुत ही इंटरेस्टिंग है ठीक है क्योंकि हुआ क्या कि भास्कर ने बोला कि एक बात बता यार तूने ये निकाला कैसे होगा लाइक तुमने ये कैसे मानो फॉर एग्जांपल x+ a हो की पावर 4 है तो तुमने यहां पे फॉर्मूला लिखा हुआ है राइट तो ये निकाला कैसे तुमने ये ठीक है तो पिंगला ने उनको अपनी रफ कॉपी दिखाई है ना तो रफ कॉपी में उन्होंने ऐसे लिख रखा था और ये ज हम ऑलरेडी डिस्कस कर चुके हैं क्या कि अगर लिखा हुआ हो x प् a * x + b * x + c * x + d याद करो एपिसोड वन याद करो आप सब याद आ रहा होगा ठीक है बेसिक से बेसिक बातें मैंने तुम्हें पहले ही करा दी थी जिससे कि आगे दिक्कत ना हो सोचो कितना फ्यूचर प्लानिंग करके चला था मैं ठीक है तो x+ a * x+ b ये चीज होती है तो ये ऐसे खुल जाता है ठीक है हमने पूरा डिटेल में समझा हुआ है कि ये ऐसे ही क्यों आता है कि x और x को साथ में लेना पड़ता है तो आपको a लेना होता है क्या करना होता है हम सब समझ चुके हैं राइट तो ये ऐसे आता है जिनको नहीं आता जिनको नहीं पता वो भैया एपिसोड वन देख के आओ तुम स्किप करके क्यों बैठे हुए हो ठीक है एपिसोड वन इज अ मस्ट वच फॉर एनी जेएसपेंट इतना एडवांस लेवल पे इतना डीप लेवल पे लेकर गया था मैं खैर तो उन्होंने बोला कि ये जनरल एक्सप्रेशन खुल गया इसका ठीक है तो अ अब भाई अगर मैं बोलता हूं x+ a की पावर 4 x + a की पावर 4 दैट सिंपली मींस x+ a * x + a * x + a ये चीज बेसिकली ए ब सडी की जगह पे a ए ए आ जाएगा राइट तो मैंने यही कर दिया मैंने ए सडी की जगह पे क्या डाल दिया a a ए ठीक है यहां पे ए की जगह क्या आ जाएगा a * a a स् a स् a स् a स् ऐसे आ गया राइट यहां पे क्या आ जाएगा a a a a क a क a क राइट तो ये ऐसा बन गया राइट एंड अल्टीमेटली अगर आप देखोगे तो ये क्या बन जाएगा x की पावर 4 + 4a एक क + 6a x स् है ना 6a स् x स् एंड ऐसे करके ये चीज आ जाएगी ठीक है बढ़िया ठीक है तो लेकिन भास्कर ने खुद सुना ही नहीं भास्करा का कहीं दिमाग ही अटक गया था क्योंकि भास्करा ने जब इसको देखा ना इस चीज को ठीक है एंड इसको तो उनका थोड़ा थोड़ा थो उनका दिमाग अटक गया इस पे उन्होंने बोला एक मिनट यार ये चीज मैं आज सुबह करके आ रहा हूं अपनी बेटी के साथ ठीक है मतलब देख तू मतलब उन्होंने बोला देखो a ब सडी ये चार चीजें हैं इन चार में से तू कोई भी दो चूज कर ले तो चार में से दो चूज करने हैं 4 c2 दैट इज व्हाट दैट इज 4 * 3 / 2 फट व्हिच इज बेसिकली 6 ठीक है और वो सिक्स कौन-कौन से आएंगे कोई भी दो ूज कर लो या तो ए या ए या ए देखो ए ए ए है ना या या देखो यहां ल प्लस लगा हुआ पहले से ही ठीक है ए या ए या ए या bcc950 कहने का मतलब क्या है तू यहां पे दो दो के पेयर बना रहा है और सारे दो के दो पेयर आ गए ऐसे ही जब तू यहां पे कर रहा है तो 4 स3 चार में से तीन चुनने हैं राइट तो अगर ए बी सडी में से चार चुनने तीन चुनने तो क्या होगा या तो ए ब स ठीक है या तो ए ब स या फिर एडी देखो इसका तरीका होता है बता इसका तरीका क्या होता है कि एक एक को गायब कर दो ठीक है जैसे a बी c और d है तो पहले ले लो a b c ठीक है ए ब c आ गया इसमें तुमने d को गायब कर दिया अब तुम b को गायब कर दो तो b को गायब कर दोगे तो क्या आएगा ए सडी तो आ गया एडी अब तुम c को गायब कर दो तो ए बीडी तो एडी आ गया या फिर अब तुम a को गायब कर दो तो b सडी b सडी इनके अलावा कोई केस हो ही नहीं सकता वो तो ठीक है बट उनका दिमाग उड़ रहा था उन्होंने बोला 4 c3 दैट इज व्हाट दैट इज 4 c1 दैट इज 4 c1 एंड 4 c1 इज बेसिकली फोर ठीक है तो ये टोटल फोर ही आने वाले थे ये टोटल सिक्स आने वाले थे एंड सिमिलरली अगर तुम इसको देखोगे दिस इज अगेन व्हाट दिस इज 4c वन ठीक है तो उनके दिमाग में भास्करा के दिमाग में एकदम से होता है ना कि वजक की स्पीड एकदम बहुत सारी कैलकुलेशन चलने लग गई उन्होंने बोला अल्टीमेटली हम यहां पे क्या कर रहे हैं अल्टीमेटली हम क्या कर रहे हैं कि चार जो ए बी सीडी है उसमें से हम एक एक करके चूज कर रहे हैं यहां पे हम एक-एक करके चूज कर रहे हैं तो a b c d चार आ गए और यहां पर हम क्या कर रहे थे अ 4c फ अ जो हमने किया 4c 3 इसमें हम क्या कर रहे थे इसमें हम चार में से तीन-तीन करके चूज कर रहे थे तो ए c एडी एडी bcd4 में से दो दो करके चूज किया 4 c2 राइट अच्छा अगर मैं बोलूं पहला वाला x की पावर 4 तो यहां पे तुमने एक को भी चूज नहीं किया यानी कि कि फोर में से रो को चूज किया 4c 0 राइट और ए बी सीडी ये क्या चीज है ये क्या चीज है कि चार में से चारों को बला लो ए बी सीडी राइट तो एक ही आने वाला था 4 c4 इज व एंड 4c 4 इज आल्सो इक्वल टू 1 तो यहां पे देखो वन आ रहा होगा ठीक है देख यहां पर भी ये वन ही तो आ रहा है ए ब सडी वन है ए ब सडी का को एफिशिएंट तो वन ही है ना तो उनका दिमाग बढ़ गया नहीं यहां पे को एफिशिएंट वन नहीं है ए बी सीडी अपने आप में एक क्वांटिटी है उस चीज को शो कर रहा है उन्होंने बोला एक और बड़ी गजब की चीज यहां पे 4c 1 है 4 स1 का मतलब क्या है कि चार में से ए ब सडी में से कोई भी एक चूज कर ले और जब तू बोल रहा है 4 स3 यानी कि ए ब स ए सडी इन सब में तो इसमें तूने d को गायब कर दिया इसमें तूने b को रिजेक्ट कर दिया इसमें तूने c को रिजेक्ट कर दिया और इसमें तूने a को रिजेक्ट कर दिया जोक हमने बोला भी था कि सिलेक्शन इज इक्वल टू रिजेक्शन राइट तो तुमने यहां पर एक-एक को सेलेक्ट किया यहां पे तुमने एकएक को रिजेक्ट कर दिया तो 4 c1 और 4 c3 दोनों का ही आंसर सेम आएगा एंड दैट इज फोर राइट और तुम देख सकते हो एग्जैक्ट आंसर यही आ रहा है देखो ना वन इधर भी वन आ रहा है राइट फिर देखो 4c 1 ये लिखा हुआ है 4 c3 और ये लिखा हुआ है 4 c2 और उन्होंने बोला यही चमत्कार हो रहा है लाइक पिंगला ने बोला भाई सही कह रहा है लाइक ये 4c 2 है ये 4c व है ये 4c 3 है है ना मुझे नहीं पता ये ए बी सीडी का क्या झमेला है बट इतनी बात तो सेट है कि को एफिशिएंट तो यही आ रहा है 4 6 और 4 राइट मतलब ये मतलब ये कि अगर मुझे लिखा हुआ है x + a होल की पावर 4 तो उसको मैं सीधे लिख सकता हूं 4c 0 4c 1 4c 2 4c 3 एंड 4c 4 पहले तो ये लिख के रख लो ठीक है अब बाकी ये तुम अपने हिसाब से देख लेना है ना पिंगल है जी ये तुम अपने हिसाब से देख लो क्या लिख हुआ आ रहा है तुम्हारा x की पावर 4 a एक क है ना और क्या है a a स् x स् और क्या है a क x और a की पावर 4 तो उन्होंने ये अपने हिसाब से देख लो पर पिंगल ने बोला नहीं नहीं नहीं ये भी हम कर सकते हैं क्योंकि अल्टीमेटली देखा जाए तो हुआ क्या यहां पे ए बी सीडी की जगह पे बस a a a हो गया और यहां पर a स् a स् a स् का आपका बेसिकली वो तो हो जाएगा कहने का मतलब क्या है कि जब तुमने बोला कि इसमें सिक्स पेयर्स बनेंगे टोटल तो वो सारे पेयर्स ही तो बने ना ये टोटल सिक्स पेयर है देखो पहला पेयर दूसरा पेयर तीसरा पेयर चौथा पेयर पांचवा पेयर छठा पेयर बट वो सारे पेयर सेम हो गए इसलिए हमने क्या बोल दिया 6a स् कि छ a स् के पेयर बनेंगे और 4aa के सिंगल वाले बनेंगे और 4 a क बनेंगे ठीक है तो उन्होंने बोला लेट्स प्रिडिक्ट इट ठीक है बिना इसके करते हैं बिना इसके करके देखते हैं ठीक है जैसे मानो मैं बोलता हूं x + a की पावर 6 ठीक है तो सीधे लिख देते हैं 6c 0 6c 1 6c 2 6c 3 6 c4 6c 5 6c 6 तो 6c 0 कितना आ गया वन हो गया ठीक है ये भी कितना हो गया वन हो गया 6c 1 दैट इज 6 ये क्या हो गया ये भी 6स हो गया 6 c2 6c 2 क्या होगा 6 * 5 / 2 एंड 64 जो होगा वो तो 62 के बराबर ही होगा ना तो यहां पर भी सीधे लिख देता हूं 6 * 5 / 2 या फिर ऐसे भी लिख सकते थे 6 * 5 * 4 * 3 / 4 बात एक ही है तो 6 * 5 30 30 / 2 15 आना चाहिए ठीक है तो यहां पर 15 होगा ठीक है ना क्या होगा 15 ठीक है ठीक है 15 होना चाहिए यहां पे एंड 6 c3 दैट इज 6 * 5 5 * 4 / बा 3 फट व्हिच इज अगेन 6 तो ये और ये कट गया आंसर आ गया 20 राइट तो ये 20 होना चाहिए ठीक है ये प्रेडिक्शन दिया भास्करा ने कि ये आना चाहिए एंड जस्ट ऑन द माइंड बॉगलिंग थिंग इफ यू रिमेंबर अ यही आया था राइट x+ a हो पावर 6 का क्या आया था 16 15 20 15 6 एंड 1 सो बेसिकली व्हाट यू आर ट्राइट से इज कि दीज आर बेसिकली नॉट जस्ट रैंडम नंबर्स ये को एफिशिएंट है पॉलिनो के एक मिनट लाइक क्या है क्या ये लाइक व्हाट आर दीज दीज आर एक्चुअली देखो अगर हम इस डेफिनेशन से आए तो ये सब क्या लिखा हुआ है ये एक्चुअली एक बानो मियल हम यज कर रहे हैं बानो मियल का मतलब क्या होता है जिसमें दो टर्म्स होते हैं है ना जैसे x + a x - a ये सब बानो मियल है तो हम उसका एक्सपेंशन निकाल रहे हैं भाई x + a की पावर 10 x + a की पावर 15 इसको तुम खोल के लिख रहे हो उसको एक्सपेंड कर रहे हो और जब एक्सपेंड कर रहे हो तो ये सब उसके क्या आ रहे हैं को एफिशिएंट हैं तो इनको हम क्या बोलेंगे ये सब बायनोक्स थे ना ठीक है तो भाई जैसे थी है तो थ क्या है 3x + a क का तीसरा बानो मियल को एफिशिएंट है राइट 6स क्या है x + a की पावर 4 का बीच वाला को एफिशिएंट है ये तो ये सब तो बाइनल को एफिशिएंट थे बट भास्करा तुम कह रहे हो कि ये बाइनल को एफिशिएंट तो होंगे होंगे बट ये एक्चुअली वो नहीं है इसको आप ऐसे लिख सकते हो कि वन थोड़ ना लिखा हुआ है ये तो 4c 0 लिखा हुआ है ये 4 थोड़ ना लिखा हुआ ये तो 4c 1 लिखा हुआ है ये 6 थोड़ ना लिखा हुआ है ये तो 4c 2 है ये 4c 3 है और ये 4c 4 है तो भास्करा ने बोला एक मिनट इससे तो हम बड़ा इंटरेस्टिंग पैटर्न निकाल सकते कि भाई 4c 0 4c 1 4c 2 4c 3 4c 4 और जैसा कि तुमने बोला कि फोर जो है वो इन दोनों के समेशन के बराबर था वन और थ दैट इज लाइक 3 स0 3 स1 3 स2 एंड 3 स3 एंड उससे पहले क्या आएगा 2c 2 स1 2 स2 राइट फिर क्या आएगा 1 स0 1 स1 राइट और अगर 0 स0 लिखना हो तो लिख दो कोई बात नहीं है ठीक है तो 0 स0 को तो हमने सीध बोल दिया वन होगा ठीक है डिफाइन कर दिया ऐसे बट तुम्हे ये गेम समझ में आ रहा है कि अह अगर तुम समझ पा रहे हो कि 2c 0 + 2c 1 जो होगा वह 3c 1 के बराबर होगा 1 + 2 = 3 2 + 1 = 3 यानी कि 2c 1 + 2c 2 यह आपका 3 c2 के बराबर होगा एंड टू माय एक्सीलेंस टू माय सरप्राइज यह हमें ऑलरेडी पता है भाई यह हमें ऑलरेडी पता है कौन सा वाला अरे याद कर अभी तो किया था तो आ गई 2c 0 प् + 2c 1 = 3c 1 कभी नहीं सोचा था कि ये चीज यहां दिख जाएगी राइट ठीक है सो दैट इज द लाइक सरप्राइज ऑफ मैथमेटिक्स कि कौन सी चीज कहां जुड़ रही है भाई साहब कोई ट्रायंगल बना रहा है उधर बानो मियल थ्योरम और हमने शुरुआत कहां से करी थी चटनियां से शुरुआत करी थी मतलब इट इज जस्ट माइंड बॉगलिंग राइट ओके ऑलराइट ठीक है अभी आई एम जस्ट इन टू इट ठीक है ये क्या हो रहा है ये क्या हो रहा है ठीक है बट अब यार एक चुल मच रही है कि ये जो है ना x x की पावर 4 ये सब भी इसी के अंदर किसी तरह समा जाए तो काम हो जाएगा ठीक है तो तूने ये तो बता दिया कि 1 6 15 ऐसा होगा बट इसके आगे का सोचते हैं तो उन्होंने पैटर्न निकालने की कोशिश करी उन्होंने बोला ध्यान से देखते हैं देख जब 4c व है तो उसमें a की पावर व आ रहा है जब 4c 2 है तो a की पावर टू है जब 4 से थ है तो a की पावर थ है व्हिच इज कॉमन सेंस क्योंकि फोर से थ का मतलब क्या था कि चार में से तीन को चुन ले यानी कि ए ब c या फिर ए सडी तो वही तो आगे जाके बन जाएगा ना a a a a क तो जब तू फोर में से तीन चुन रहा है तभी तो a क बनेगा राइट सो वी कैन डायरेक्टली से कि 6c 0 में a की पावर 0 होगा क्योंकि तुमने a को एक बार भी नहीं चुना यहां पे तुमने एक a को चुना यहां पे तुमने a को दो बार चुना यहां पे तुमने तीन बार चुना यहां पे तुमने चार बार चुना यहां पे तुमने पांच बार चुना एंड यहां पे तुमने छह बार चुन लिया राइट राइट अब सुनो जितनी बार तुम x a को चुनते हो ठीक है उसी के रिस्पेक्ट में x तुम्हारा चेंज करता है फॉर एग्जांपल जब तुमने यहां पर दो a को चुना था ना अलग-अलग टाइप के a को चुना था जिनको पता है उनको पता होगा कि हम ये करते कैसे थे कि x * x * तो अगर तुमने दो फैक्टर्स में से को एफिशिएंट को चुना है c और d तो बच हुए दो फैक्टर में से तुम x को निकालते हो राइट तो कहने का मतलब क्या है कि आंसर फोर रहना चाहिए तो यहां पर अगर a की पावर 0 आ गया तो यहां पर x की पावर 6 आएगा यहां पे फिर x की पावर 5 आएगा यानी कि ओवरऑल आंसर सिक्स रहना चाहिए ठीक है क्योंकि अगर तुमने एक a को चुन लिया तो बचे हुए पांच में से तुम ये क्या लिखा हुआ ये एक्चुअली x + a x + a ऐसे छह फैक्टर्स लिखा हुआ हैं छह ब्रैकेट्स लिखे हुए हैं उनमें से तुमने एक में से अगर a चुन लिया तो बचे हुए पांच में से तो तुम x चुनो ग ना तो x की पावर 5 आएगा यहां पे x की पावर 4 आएगा यहां पे x का क्यूब आएगा यहां पे x की पावर स्क्वायर आएगा यहां पे x एंड यहां पे x की पावर 0 हो जाएगा एंड दैट इज हाउ यू ऐड ऑल ऑफ दीज एंड यू गेट अ कंप्लीट आंसर इसको उन्होंने जनरलाइज कर दिया उन्होंने बोला भाई बल्ले बल्ले हो गई ठीक है तो सीधे-सीधे आ गया x + a होल की पावर अगर मैं n कर रहा हूं ठीक है n बेसिकली कोई भी आपका नेचुरल नंबर 1 2 3 4 इस टाइप का तो आप सीधे कर सकते हो nc0 ठीक है nc0 अब डायरेक्टली लिखो nc0 a की पावर 0 होना ही चाहिए होना ही चाहिए एंड यहां पे क्या आएगा x की पावर n आएगा क्योंकि अगर तुमने रो चुना है तो सारे फैक्टर्स में से n निकल के आएगा प्लस nc1 a की पावर 1 तो x की पावर में एक कम हो जाएगा n - 1 हो जाएगा फिर अगर तुमने nc2 चुना तो a की पावर में तो टू हो जाएगा और x की पावर में से n में से दो हट गया ठीक है फिर nc3 a का क x की पावर n - 3 और ऐसे ही चलता जाएगा चलता जाएगा अच्छा आखरी का सोचो आखरी में अगर तुमने nc-17 मान लो तुमने निकाला तो a की पावर तो 6 हो गया एंड x की पावर में क्या आएगा 8 - 6 दैट इजट राइट तो a की पावर में तो n - 1 हो गया एंड x की पावर में सीधे-सीधे वन हो जाएगा ठीक है सीधे-सीधे वन हो जाएगा ऐसे देख लो कि इन दोनों का समेशन एट होना चाहिए सिंपल सी बात है ठीक है और फिर आखिरी में क्या होगा nc1 तो a की पावर n हो जाएगा ठीक है क्योंकि x की पावर 0 लिखने की जरूरत नहीं है तो ये एक जनरल आपका जो खुलेगा वो ऐसे खुलेगा ठीक है इसको अगर मैं थोड़ा सा साथ में लिख दूं ठीक है थोड़ा सा ये एक टर्म को हटा कर के तो आपको ज्यादा आसानी होगी ठीक है ऐसे डॉट डॉट डॉट डॉ डॉट बना लो पैटर्न तो सेम ही रहेगा एंड [संगीत] nc-17 बाद ये पूरी कहानी अ जो है दोबारा क्योंकि ये सब तो डूब जाएगा ठीक है ये सब डूब जाएगा ये इंडिया में ही रह जाएगा ऐसे मान लो एक शिप थी टाइटनिक गई थी ठीक है उसमें जो भी सब डिस्कवर हुआ सब उसी में डूब गया ठीक है ये किसी को पता नहीं चलेगा फिर उसके अराउंड 500 600 साल बाद जब रिसर्चस होंगी तो पता चलेगा अरे इंडिया ने तो ये सब काम पहले ही करके रख लिया था ठीक है बट फिर एक तो ये स्टोरी है दूसरी स्टोरी ये है कि ये सारा काम जाता है यूरोप में और यूरोपियन इसको अपना नाम दे देते हैं ठीक है दोनों कंट्रोवर्सीज है इसमें हम उसमें नहीं घुसते हमारा मेन आईडिया जो है वो है मैथमेटिकल फ्रीडम कि कैसे ये लोग मैथमेटिक्स में खेलते थे हमें इसमें इंटरेस्ट नहीं है कि किसने कौन सी अपनी चीटिंग करी क्या करा अपने को क्या लेना देना है यार इससे ठीक है कौन कौन लालची था क्या था हमें नहीं मतलब जैसे इसी चीज को आगे जाके बोला जाएगा यूरोपिय बोलेंगे इसको पास्कल्स ट्रायंगल ठीक है क्योंकि पास्कल ने इसको ढूंढा लेकिन पास्कल और भी बहुत महान आत्मा थे भा पास्कल तो तुम्हें उसमें भी पता होगा ना प्रेशर पढ़ते हो फिजिक्स में ठीक है तो पास्कल सिर्फ इसके लिए थोड़ ना यूज होते हैं ठीक है ऐसे ही ये जो है ये आपके न्यूटन भाई साहब ठीक है ये न्यूटन भाई साहब के नाम पे है न्यूटन की है ये बाइनल थ्योरम ठीक है अब नहीं पता भैया न्यूटन ने ढूंढा या क्या ढूंढा बट उनका तो श्यर है ठीक है अगर मेरे को मेरे पास टाइम होता ना तो मैं तुम्हें ओरिजिनल पेपर भी शो करता जो पिंगला की जो बुक है ना उसमें ये पूरी टेबल बनी हुई है ये जो ट्रायंगल है ये पूरा बना हुआ भी है ठीक है सो इट वाज रियली लाइक माइंड बॉगलिंग डिस्कवरी कि कैसे ये चीज़ हुई अब अगर तुम सोच लो मेरे साथ तो मज़ आ जाएगा तो तुमने कहा चलो सर एक एग्जांपल करते हैं देखो अगर मैं बोल दूं x + a स् सर ये तो रटा हुआ है अपने को x स् + 2ax + a स् ठीक है तो चलो इससे करके देखते हैं एक बार ठीक है 2c 0 है ना तुम्हारी प्रैक्टिस भी हो जाएगी 2c 0 2c 0 अ अब बोलो a की पावर 0 होना चाहिए a की पावर 0 एंड x स् फिर 2c 1 2c 1 a की पावर 1 x की पा 1 + 2c 2 एंड a की पावर 2 एंड x की पावर 0 एंड यू कैन जस्ट सी 2c 0 क्या हो गया वन हो गया a की पावर 0 वो भी वन हो गया तो सिंपल क्या आ गया x का स्क्वायर आ गया यहां से फिर 2c 1 2 हो गया 2ax + 2c 2 फिर से वन तो क्या बन गया a स् एंड दैट इज द फॉर्मूला राइट अगर मैं तुमसे बोलता हूं a + b की पावर 5 कितना होगा तो सीधे लिख दो 5c 0 5c 1 5c 2 5c 3 5c 4 5c 5 ठीक है अब देखो यहां पे तुम्हें कंफ्यूजन हो सकता है तुम कहोगे सर ये तो आपने गेम खेल दिया यहां तो x + a हुआ करता था अब यहां पे आपने a + b कर दिया तो a की जगह पे क्या आ गया a की जगह पे b आ गया तो यहां क्या करोगे b की पावर 0 b की पावर 1 b की पावर ट b की पावर 3 b की पावर 4 b की पावर 5 ठीक है एंड फिर अब हम a का कर देंगे तो a की पावर 5 a का a की पावर 4 a का क्यूब a का स्क्वा a एंड एंड फिर खत्म खत्म हो गया एंड इन सबको जोड़ देंगे तो ये आपका आंसर हो जाएगा ये जो खिच पिच दिख रही है यही आंसर है इसको निकालना पड़ेगा 5c 0 की जगह लिखना पड़ेगा तो आ जाएगा a की पावर 5 ये बन जाएगा 5b a की पावर 4 फिर आ जाएगा 10 b स् a का क्यूब फिर ये भी आ जाएगा देखो 5c 2 एंड 5c 3 ये तो बराबर ही होंगे ना ठीक है तो यहां से आप निकाल सकते हो पॉइंट वो नहीं है पॉइंट आप गेम समझो कि nc0 और nc1 बराबर होगा nc1 एंड nc1 -1 बराबर होगा तो ऐसे करके एक कोफ हमेशा बराबर होंगे इक्वल डिस्टेंस प सिमिट्रिक होगा ना ओबवियस सी बात है एंड जो डिग्री अगर आप देखोगे तो a की पावर 0 a की पावर 1 a की पावर 2 a की पावर 3 एक जीप बन रही है ठीक है फिर x की पावर n x की पावर n - 1 x की पावर n - 2 यहां पर भी एक जीप बन रही है ठीक है एक जीप बन रही है एंड इनका जो समेशन हो रहा है इनका जो समेशन हो रहा है वो हमेशा n आ रहा है देखो है ना देखो 2 + n - 2 हमेशा n आएगा ठीक है तो ये कुछ ऑब्जर्वेशंस है अब इसमें बहुत इंटरेस्टिंग इंटरेस्टिंग चीजें करी जा सकती हैं और वो सब चीजें आपको क्वेश्चंस में हम करते हैं ठीक है आईडियली बस इतना ही है बस इतना ही है पूरा ये बायनम थ्योरम नाम का जो चैप्टर पढ़ाया जाता है ना वो इतना ही है थोरेट्स में तो इतनी इंटरेस्टिंग इंटरेस्टिंग चीजें करी जा सकती हैं कि इसके इवन टर्म्स को एक तरफ कर लो ऑड टर्म्स को एक तरफ कर लो वो सब हम देखेंगे बहुत मजा आएगा बहुत ही इंटरेस्टिंग चीज है ठीक है इसमें से तुम्हें एक गजब की चीज दिखा देता हूं चलो ठीक है भाई देखो अ मान लेते हैं अगर मैं यहां पे क्या दे रखा था हमारे को दे रखा था x + a की पावर n हमने इसके लिए बाइनल थ्योरम को लिखा है राइट कि x + a के लिए आप ऐसे लिख सकते हो इसको अगर आप a अजीब सा लग रहा हो तो आप ऐसे कर लो है ना a की जगह प आप लिख लो x प्वा तो थोड़ा सा सेम लगेगा x प्वा होल की पावर n कैसे खोलोगे nc0 y की पावर 0 x की पावर n ठीक है देखो एक बार थोड़ा एक बार हम फिर से खोल के देखेंगे एक बार ऐसे नहीं ऐसे नहीं ऐसे नहीं है ना थोड़ा सा एक बार सर फिर से खुलवा दो जरा थोड़ा कंफ्यूजन हो रहा है कंफ्यूजन या फिर ऐसे करते चलो a प् b की पावर n दे रखा है ठीक है इसको खोलना है ठीक है तो तेरी जो मर्जी तो वो कर दे कोई फर्क पड़ता ही नहीं है एक्चुअली ठीक है इतना दिमाग लगाना ही नहीं है कि सर ये अगर आपने एसी 5 स 0 किया है तो यहां पे b की पावर रो होना चाहिए क्यों अगर तू a की पावर रो कर देगा तो कौन सी मौत हो जाएगी अगर तू यहां पर 2c 0 के सामने तू अगर x की पावर 0 कर देता और a का स्क्वायर कर देता तो कोई मौत थोनी हो जाती क्योंकि ये वाली चीज और ये वाली चीज तो बराबर है ना तो तूने इंटरचेंज करके लिख दिया दैट्ची क्या किया अगर तूने यहां पे x बरा 0 कर दिया होता तो ये वाला टर्म बन जाएगा अरे 2c 2 और 2c 0 बराबर ही तो होते हैं तो इतनी टेंशन नहीं लेनी अपने को तेरा जो मन है वो लिख दे तू देख सिंपल सी बात है ये लिखा है a + b की पावर n है चलो हम n का तो क्या अचार डालोगे ठीक है a + b की पावर 10 लिखा हुआ है मान लो क्या करोगे सीधे-सीधे 10c 0 10c 1 tc2 और ऐसे करते करते करते लेट अस से 10c 9 और 10c 10 ठीक है अब तुम्हारा जो मन है जो मन है उसको पहले ले लो तुम मानो तुम्हें a लेना है हटाओ a की पावर 10 a की पावर 9 a की पावर 8 और ऐसे करते करते आखिरी में क्या आएगा a और फिर खत्म हो जाएगा अब b को शुरू करना है तो नेक्स्ट वाले से b को शुरू कर दो तो b फिर b का स्क्वा फिर आखिरी में क्या आएगा b की पावर अब तुम्हें सोचना पड़ जाए तो सोचने की जरूरत नहीं है है अरे a की पावर 1 लिखा है ना तो b की पावर 9 ही तो होगा क्योंकि सम 10 होना चाहिए ना और फिर यहां प b की पावर 10 आ जाएगा और जोड़ देंगे खत्म मैं तो ऐसे ही करता हूं मेरे को कोई याद बाद नहीं रहता कि सर यहां पे b की पावर जीरो होगा या a की पावर जीरो होगा क्या होगा सर टेंशन नहीं लेने का इसी चीज को ऐसे भी लिख सकते हो t स0 10c 0 तुम्हें b से लिखना है तुम b से लिख दो b की पावर 10 लो हम b से कर लेंगे कोई दिक्कत नहीं है लो 10c व यहां लिख देंगे b की पावर 9 ठीक है एंड फिर a आ गया ठीक है फिर 10 स2 b की पावर 8 a का स्क्वा और ऐसे करते करते करते 10c 9 a की पावर 9 b + 10c 10 एंड a की पावर 10 आप ऐसे कर लो क्यों क्योंकि ये और ये तो सेम है ना मेरे भाई भाई 10c 0 10c 10 लिख या 10c 0 लिख बात तो एक ही है जैसे यहां लिखा हुआ है 10c 0 a10 इसी चीज को मैं लिख सकता हूं ना 10c 10 a10 क्योंकि 10c 10 और 10c 0 तो सेम ही है ऐसे ही मैं इसको लिख सकता हूं 10c 0 b की पावर 10 तो वो लिखो भाई ये ठीक है और ये वाला टर्म लिखा हुआ यहां पे तो आपने पूरी उसको घुमा के लिख दिया इट्स ऑल राइट इट्स कंप्लीट ऑलराइट ठीक है देखो मैथ्स में ना उड़ा करो अगर उड़ नहीं पा रहे हो मैथ्स में अगर ज्यादा ही कंडीशन में बंद के रह गए हो तो मैथ्स तुम्हारे लिए नहीं है फिर ठीक है मतलब मतलब मैथ्स तो तुम्हारे लिए ही थी तुमने मैथ्स का गलत तरीके से समझ लिया मैथ्स को मैथ्स में तो उड़ना होता है हवा में ठीक है जब तक वो उड़ान नहीं है तब तक कैसे गेम खेलोगे ठीक है मेरा बहुत मन है इसमें तुम्हे और भी चीजें कराने का कि अगर तुम मान लो a माइ b कर दो ठीक है और इनको जोड़ दो तो भी बड़ी चमत्कार हो जाते हैं ठीक है वो हम सब देखेंगे क्वेश्चन के टाइम पे हम देखेंगे बहुत सारी ऑब्जर्वेशंस है जो ओवर द टाइम बहुत सारे मैथमेटिशियंस नेने इसके आगे करी ठीक है तो उन सारी ऑब्जर्वेशंस के बेस करके आप बहुत सारी प्रॉब्लम्स बनाते हो जो कि आप करते हो वो सब हम करेंगे डोंट वरी ठीक अच्छा इसी में अगर हम एक और इंटरेस्टिंग सा गेम खेल दें अगर हम बोल द इसमें एक जगह पे वन डाल देते हैं जैसे 1 प् x ठीक है चलो 1 + x की पावर 5 निकालना है मान ले ठीक है चलो हम जनरलाइज ही कर रहे हैं तो तुम बड़े हो गए थोड़े है ना इतना तो तुम झेल ही जाओगे 1 + x की पावर n लिखा हुआ है तो nc0 nc1 nc2 nc3 nc4 ठीक है डड ड डा nc-17 राइट अब तेरा जो मान है वो लिख दे ठीक है मैं तो मैं x का लेकर चल रहा हूं दैट कंपैरेटिव लुक्स मोर सिंपल भाई सिंपल x की पावर n x की पावर n - 1 x की पावर n - 2 x की पावर n - 3 x की पावर n - 4 और ऐसे करते करते आखिरी में क्या आएगा x की पावर 1 आएगा सिंपल सा और यहां पे x की पावर 0 आ जाएगा सिंपल ठीक है अच्छा वन का लिखने की जरूरत है क्या तू खुद बता क्या वन का लिखने की जरूरत है क्योंकि यहां पे क्या आएगा 1 की पावर 0 1 की पावर 2 अबे वन की सब वन ववन होता है ववव होता है ठीक है तो वन नहीं लिख रहे यार हम काफी है अब तू सोच के देख अगर यहां पे मैं बोल दूं कि x जो है ना वो भी वन के बराबर है अगर मैंने x = 1 डाल दिया इस पूरी इक्वेशन में तो लेफ्ट हैंड साइड में क्या होगा 1 + 1 1 + 1 की पावर n यानी कि 2 की पावर n आ गया ठीक है और राइट हैंड साइड में क्या हो गया यहां पे वन डालो जरा nc0 1 की पावर n दैट इज वन तो 1 की पावर n वन हो गया तो nc0 * 1 nc0 ही हो गया प्लस nc1 ये क्या लिखा हुआ है ये लिखा हुआ है nc1 प्लस ये क्या लिखा हुआ है ये लिखा हुआ है फिर क्या आ गया nc3 ठीक है फिर क्या आ गया nc4 ठीक है और ऐसे करते करते करते करते आखरी में आ जाएगा एसी ए तो ये पूरी सीरीज का आंसर आपको आज के टाइम पे मिल चुका है अगेन अ वेरी इंटरेस्टिंग रिजल्ट ठीक है इसका क्या कॉमिनेशन है इसको मैं आपको सीधे ऊपर लेकर जाता हूं चटनी चटनी याद करो बेटे चटनी भूल गए क्या चटनी चटनी कहां है हमारी चटनी ये रही हमारी चटनी सीरीज याद करो 8c 1 ् 8c 2+ 8c 3+ 8c 4+ 8c 5 + 8c 6+ 8c 7+ 8c 8 बस यहां पे अगर 8c 0 और होता तो ये पूरी चीज क्या बन जाती ये पूरी चीज बन जाती 2 की पावर n यानी कि 2 की पावर 8 ठीक है 2 की पावर 8 बन जाती एंड 2 की पावर 8 क्या होता है 64 ठीक है और अच्छा लेकिन इसमें 8 से ज जीरो तो है नहीं तो कोई बात नहीं है 8c 0 को इधर ले आओ 8c 0 को इधर ले आओ कोई बात नहीं इतना कोई टेंशन थोड़ी है ठीक है तो ये पूरी सीरीज हमें चाहिए थी ना उस टाइम पे चटनियां निकालनी थी हमें तो 64 - 1 आंसर आ गया 63 एंड दैट इज व्हाई इंडिया हैज 63 चटनी टोटल टेस्ट्स जो होते हैं वो 63 होते हैं क्योंकि इंडिया में टोटल एट हर्ब्स ही पाई जाती हैं तो कितना भी तुम रो दो लो कुछ भी कर लो 63 से ज्यादा एक लेवल पे भी तुमहे चटनी नहीं बना बना सकते उसका टेस्ट चेंज नहीं कर पाओगे हां अगर अब तुम इसमें आ जाओ कि यार मैं फ तो इसको लूंगा एंड 75 इसमें लूंगा तो थोड़ा बहुत तुम उसको इधर-उधर कर सकते हो वरना लेकिन जो यूनिक टेस्ट होगा ना कि भाई पुदीना प्लस धनिया प्लस अमिया ये अलग ही टेस्ट हो गया अब इसमें तुम थोड़ा वो कर सकते हो कि इसको थोड़ा कम मिलाया उसको थोड़ा ज्यादा मिलाया उसकी बात नहीं कर रहे बट यूनिक टेस्ट 63 ही हो सकते हैं तो आठ चटनियां में से टोटल 63 टेस्ट ही आप बना सकते हो एंड दैट इज व्हाई इंडिया हैव 20 63 टेस्ट्स और पता है इसके मैं तुम्हें बता बता के थक जाऊंगा अगर तुम म्यूजिक देखोगे म्यूजिक ठीक है तो म्यूजिक में राग होते हैं सारा सा सॉरी वेरी सॉरी सरे ग मा प ठीक है तो उससे कितने कॉमिनेशन बनाए जा सकते हैं यहां से पिंगला जो थे उन्होंने पूरी बुक लिख डाली ठीक है जिसमें उन्होंने पूरा इसको डिटेल में समझाया कि ये कैसे हम इस चीज को ये जो हमने सीखा यहां पर इसको कैसे उन्होंने म्यूजिक में अप्लाई किया म्यूजिक में और लिटरेरी चीजों में उनकी पूरी बुक पढ़ सकते हो बहुत ही इंटरेस्टिंग है ठीक है टाइम नहीं है वरना हम उसमें भी जाते हैं कि उसमें कितनी गजब गजब की मैथमेटिकल सिचुएशन बनती है ठीक है सो एनीवेज अब भास्करा जी बहुत खुश थे पिंगला जी भी खुश थे लीलावती को उन्होंने बताया घर पे जाकर के भाई हमने ये भी डिस्कवर करा है क्या गजब की चीज हमने डिस्कवर करी है ठीक है अ फिर उन्होंने थोड़ा सा सोचा भास्कर जब भास्करा जी थे ना वो थोड़ा लौट के आए और उन्होंने इस इस चीज को थोड़ा ध्यान से देखा तो उनके दिमाग में घंटी सी बजी उन्होंने बोला कि एक बात सोच के देखते हैं ध्यान से देखो इस वाली सिचुएशन को ए बी ए एडी बी स बी ठीक है ये था और यहां पर a स् था तो ये तो सब अलाइक हो गया क्या हो गया अलाइक अलाइक मतलब सेम तो उनके दिमाग में एकदम से एक चीज आई ठीक है और ये चीज उनके दिमाग में तब भी आई जब उन्होंने लीलावती को लड्डू खिलाए जब उन्होंने लीलावती को लड्डू खिलाए तो उन्होंने बोला कि एक मिनट आर व मिसिंग आउट ऑन समथिंग मतलब देखो ठीक है अब देखो यहां फिर से ये फिर से एक नया डिस्कवरी का थॉट ठीक है क्या अब हम अलाइक की दुनिया में घुस रहे कि कहीं ना कहीं उनके दिमाग में अलाइक वाला थॉट आ रहा है कि अगर मेरे सामने ये जैसे चार लड्डू रखे हुए हैं क्या रख हुए चार लड्डू लड्डू रखो हुए हैं अब इन चार लड्डुओं को मुझे अरेंज करना है तुम देखो ना कि इस लड्डू को तुम यहां रख दो फिर यहां रख दो फिर यहां रख दो फिर यहां रख दो तुम कहोगे सर ये सेम ही लग रहा है सर ये सेम ही लग रहा है देखने में नहीं नहीं मैंने किया है मैंने इस वाले लड्डू को इधर रख दिया देख ना अब मैंने मैं बता रहा हूं मैंने मन ही मन में ट्रांसफर कर रहा हूं इसको इधर ला रहा हूं फिर इसको इधर ले आया फिर इधर ले आया फिर इधर ले आया साइजेस कोभी गोली मारो फीलिंग पे जाओ है ना तो तुम देखोगे तुम कहोगे भाई सब सेम ही है मतलब कोई इतना डिफरेंस है नहीं तुमने जो भी घुमाया तो चाहे तुम इसको देखो चाहे तुम इसको देखो या फिर चाहे इसको देखो हर बार उहे अरेंजमेंट क्या लगेगा एक ही लगेगा क्योंकि एक ही है तो वहां से उन्होंने बोला कि अगर हम n चीजों को अरेंज कर रहे हैं तो तो n फैक्टोरियल आंसर आता है बट यही n चीजें अगर अलाइक हो जाए ठीक है तो एक ही आंसर आएगा यहां से उनको एक बड़ी गजब की बात दिखाई दी ये उनकी गलती थी काइंड ऑफ उन्होंने बोला कि n चीजें जिसका जब हम बोले ना n चीजों को अरेंज करो तो वो n चीजें डिस्टिंक्ट होनी चाहिए जैसे चटनियां अलग-अलग थी जैसे बच्चे अलग-अलग थे ठीक है अ जैसे कि लेटर्स जो होते थे वो ए बी सीडी हुआ करते थे ठीक है उन्होंने काखा का यूज किया होगा कोई और यूज किया होगा पर तुम समझ गए ठीक है तो डिस्टिंक्ट होना बहुत जरूरी है अलग-अलग होना चाहिए तो अलग-अलग चीजें जब बैठें इधर-उधर तो तो दिखेगा है ना कि भाई अगर ऐसे तीन बच्चे बैठे हुए हैं तो एक को इधर बैठा दिया दूसरे को इर तो तो दिखेगा अब तीनों तुमने लड्डू पकड़ लिए है ना एक लड्डू दूसरा लड्डू तीसरा लड्डू बिल्कुल सेम ठीक है अब उसको तुम इधर रखो उधर रखो क्या फर्क पड़ रहा है मतलब फर्क प कि पता कैसे चलेगा सब सेम लगेगा ना देखने में तो अरेंजमेंट को देखने में तो एक ही लगेगा ना वो तो इसीलिए उन्होंने बोला कि n डिस्टिंक्ट चीजों को अगर अरेंज करोगे तो तो n फैक्टोरियल लेकिन अगर n बिल्कुल सेम या फिर अलाइक जिसको आप अलग-अलग शब्द होते हैं दिखने वाली चीजों को अरेंज करोगे तो आंसर एक ही आएगा वो एक ही कॉमिनेशन है ऐसे बोल दो ऐसे बोल दो ऐसे बोल दो वो सब एक है ठीक है तो यह उनको बात दिखी फिर उन्होंने बोला इससे तो हम बहुत सारी चीजें इसमें हमारी चेंज हो जाएंगी भाई अगर मैं बोलू तो एकदम से एक डाउट आया कि भाई अगर ऐसे समझ ले मान ले अ लेटर से ही समझते हैं कि मतलब अगर मेरे पास होते ए बी सीडी ठीक है और इसको मुझे अरेंज करना होता तो चार फैक्टोरियल तरीके से अरेंज हो जाते है ना ए बी सीडी चार तरीके से घूम जाते लेकिन अगर मेरे पास होते मान ले चार लड्डू होते ए ए ए और ए ये चार लड्डू हैं ठीक है फिर मान ले ये दो जलेबियां है ठीक है और तीसरा मेरे पास चॉकलेट है ठीक है और कोई और तीन चार मिठाइयां है मान लेते हैं तो भास्कर और लीलावती सोच रहे हैं बैठ के कि फिर इसको हम कैसे अ सोचेंगे लाक ये कैसे घूम सकते हैं तो उन्होंने बोला कितने हैं ये 1 2 3 4 5 6 7 8 9 तो 9 फ्टो तो आंसर नहीं लग रहा क्योंकि सोच के देखो ना कि अगर मैं एक कॉमिनेशन ये बनाता हूं मान लेते हैं ए बी ए सी एडी e बी ठीक है और क्या हो गया सीडी तो आ गए अब एक के बच मान लो मैंने एक कॉमिनेशन ये बनाया और मैंने दूसरा कॉमिनेशन ये बनाया मैंने ए ब ए एडी e ए तु बो सर ये दूसरा कॉमिनेशन कहां है सेम ही तो है मैंने कहा नहीं नहीं दूसरा है ये कैसे देखो जब मैं इसको बना रहा था ना तो मैंने ये वाला ए चूज किया था फिर मैंने ये वाला बी चूज किया फिर मैंने ये वाला ए चूज किया था बट जब मैंने इसको बनाया तो मैंने ये वाला ए चूज किया फिर ये वाला बी चूज किया लेकिन इस बार मैंने ये वाला ए चूज किया था मैंने कहा अरे यार तू कोई भी ए यूज कर है ना देखने में तो सेम ही लग रहा है ना देखने में तो सेम ही है तो सर ये तो सेम कॉमिनेशन हो गए ये तो सेम कॉमिनेशन हो गए बोला यार बात तो सही है ये तो सेम कॉमिनेशन हो गए तो इसमें से कुछ कॉमिनेशन हटाने पड़ेंगे अब मैं हटाऊ कैसे हाउ डू आई नो कि कितने कॉमिनेशन इसमें से हटाने हटा ने पड़ेंगे लेकिन लॉजिकली दिख रहा है कि हटाना तो पड़ेगा तो कैसे हटाया जाए सोचो अच्छा तुम खुद सोच के देखो कैसे हटाएंगे ठीक है इसको बिल्कुल ऐसे देखो कि इसको ऐसे देखो कि ये क्या है एक दोती च पा 6 सा आन तो नौ डिब्बे हैं भाई साब न डिब्बे हैं है ना ऐसे न डिब्बे हैं और उन न डिब्बो में हमें इन सबको अरेंज करना है ठीक है और फिर हम सोच रहे हैं तो अगर तुमने सोचा हो तो इट इज अ वेरी इंटरेस्टिंग प्रॉब्लम इन फैक्ट ठीक है तो भास्करा ने क्या सोचा उने बोरहा एक काम करते हैं देखो ए ए ए बी बी सीडी e राइट तो एक काम करते हैं इसमें से डिस्टिंक्ट वाले कौन से हैं भाई सीडी ये तो पक्का अलग-अलग है अब ये b बी और ये ए ये अपने आप में रिपीट हो रहे हैं तो सडी e एक काम करते हैं ये जो नौ प्लेसेस हैं इनमें से मैं कोई भी तीन प्लेसेस चुन लेता हूं मान लेते हैं मैंने ये वाली और मान लो ये वाली या ये वाली या कोई भी तीन कोई भी तीन वो तो तुम्हें पता है सारे केसेस ही इसमें काउंट हो गए सारे केसेस आ गए इसमें कोई भी तीन चुनो और उसमें b सॉरी उसमें c d और e को बिठा दो उसमें सडी को बिठा दो तो तीन प्लेसेस पे तीन लोगों को बिठाने के कितने तरीके होंगे 3 फैक्टोरियल हो जाएंगे क्लियर हो गई बात अब देखो अब जब तुमने तीन जगह पे बिठा दिए तो कितनी जगह खाली रह गई 1 दोती ओबवियसली नौ में से तीन चीजें तुमने चुन ली तो छह स्पेसेस बाकी बच गई राइट ये सारी स्पेसेस खाली हैं इन खाली स्पेसेस में से अब हम a को फिल करते हैं ठीक है तो ये जो छह खाली स्पेसेस हैं इसमें से चार खाली स्पेसेस को तुमने चूज कर लिया और इसमें a को बिठा दिया इसमें सारे a को बिठा दिया अब चार जगहो वहां पे चार लोगों को बिठाना है लेकिन क्योंकि ये चारों के चारों तो अलाइक है ना उन्होंने क्या करा उन्होंने ये ऊपर वाला केस यूज़ किया उन्होंने बोला इन चारों को इंडिविजुअली देखूंगा मैं तो चार जगहों पे चार बिल्कुल सेम चीजों को बिठाने का एक ही तरीका होता है राइट जो हमने ऊपर देखा एक ही तरीका होता है ठीक है फिर फिर अब देख छह में से चार स्पेस भी चले गई तो अब सिर्फ दो स्पेस बची अब सिर्फ दो डिब्बे खाली बचे इन दो डिब्बों में मुझे b और बी को बिठाना है तो दो डिब्बों में दो लोगों को बिठाना है फिर एक ही तरीके से बिठा सकते हो इसको भी ठीक है ना दो डिब्बों में दो लोगों को बिठाना है तो एक ही तरीके से तो बिठा सकते हो ना लेकिन यहां प ू सीटू का क्या मतलब है 2 सटू का मतलब क्या है कि दो ही चीज बची है दो में से दो ही को चुन लिया भाई देखो स्टार्टिंग में न चीज थी न में से पहले तुमने तीन चज ली चूज कर ली तो ना सेथ तुमने ले लिया अब छ बचे अब छ बचे तो छ में से तुमने इन चारों को उठा लिया इन चारों को उठा लिया ठीक है फिर तुमने 2 सट करके 2 सीट करके क्योंकि सिर्फ दो ही रह गए थे तो अब तुमने उसम से एक उठा लिया ठीक है सुनने में तो ठीक ही लग रहा होगा तुम्हें ये बट एक्चुअली ये गलत है लीलावती ने बोला अरे लेकिन एक बात बताइए ठीक है एक बात बताओ जब आपने नौ में से तीन को चूज किया तो नौ में से तो कोई भी तीन आ सकते हैं ना जरूरी थोड़ना कि c और डी और e ही आए हो सकता है इधर से बी आ जाए ठीक है अब जब आप बोल रहे हो 6 c4 तो अगर आप बोल रहे हो ए ए बी बी तो आप अपने दिमाग में लेकर चल रहे हो कि ये चार सेलेक्ट होंगे हो सकता है कि दो ये वाले आ जाए दो ये वाले आ जाए या ये दोनों आ जाए ये ये दो आ जाए मतलब तो ये तो गलत है पास कर बोला आई बात तो ठीक है बात तो ठीक है कि हां बिल्कुल सही बात है तो ऐसे तो नहीं होगा तो उन्होंने बोला एक काम करते हैं जो सबसे बड़ी मुसीबत की जड़ है पहले उसी को निपटा हैं ठीक है ना पहले उसी को निपटा हैं तो सबसे पहले इन चार ए को यहां पे लपेट देते हैं तो एक काम करते हैं हमारे पास कितनी स्पेसेस हैं नाइन स्पेसेस हैं राइट तो नौ में से चार स्पेस चुन ले तो कोई भी ये तो तुम अलग अलग-अलग तरीको से कर सकते हो कोई भी चार मान लो ये ये ये या फिर ये ठीक है कोई भी चार चुन ली तुमने और उन चार स्पेसेस में इन चारों a को एक तरीके से बिठा दिया अब तो कोई दिक्कत नहीं है बिल्कुल सही बात है फिर फिर कितनी स्पेसेस बच गई कितनी स्पेसेस बच गई नौ स्पेसेस में से अब कितनी स्पेसेस बची है पांच स्पेस बच गई इन पांच स्पेसेस में से अब कोई दो स्पेस चूज कर ले ठीक है और उसमें b को बिठा दे उसमें b को बिठा दो अब बिठाने का एक ही तरीका है क्योंकि अलाइक ऑब्जेक्ट्स है ना भाई ए ए ए को बिठाने का एक ही तरीका b ब को बिठाने का एक ही तरीका अब कितने स्पेस बच गए तीन अब इन तीन स्पेसेस में अब इनको तीन c3 लिखो या ना लिखो बात एक ही है यहां पर सडी यही तीन बच गए अब तो सिर्फ ऑटोमेटिक तीन ही बच गए cd9 फ्टो डिवा बा 4 फ्टो ठीक है एंड यहां क्या आ जाएगा 5 फैक्टोरियल ये भी 9 फ्ट है इंटू 5 फ्ट 2 फ्टो 3 * 3c 3 तो वन ही हो गया हटाओ इसको और क्या हो गया 3 फट 3 फट ठीक है ये और यह कट गया ये और यह कट गया ओवरऑल आंसर क्या आया 9 / 4 * 2 यह क्या गजब की चीज़ आ गई ध्यान से देखो क्या इसमें गजब क्या है इसमें गजब यह है कि देखो a a a ए b b c d e ये टोटल नाइन ऑब्जेक्ट्स थे ठीक है तो वैसे हमारे इनिशियल लॉजिक के हिसाब से आंसर आना चाहिए था सर 9 फटो बट 9 फट नहीं आ रहा है आंसर आ रहा है 9 फट डिवाइडेड बाय 4 फटो 2 फैक्टोरियल और ध्यान से देखो ये फोर इसलिए है क्योंकि यहां पे फोर ऑब्जेक्ट्स है और ये टू इस वजह से क्योंकि यहां पे 2 फैक्टोरियल है दो दो ऑब्जेक्ट्स है तो लीलावति ने कहा एक मिनट रुक जाओ यहां पे इसको हम इसकी जगह पे इसके थ्रू किसी और तरीके से भी सोच सकते हैं लीलावति ने कहा ध्यान से देखा जाए तो जैसे फॉर एग्जांपल ये वाला कॉमिनेशन है पापा ठीक है ए बी ए सी एडी e बी ए इसमें ए ए a और a अगर ये अलग-अलग होते मान लो a1 a2 a3 और a4 तो ये ये चारों अपने आप में मूव करते रहते जितनी बार ये अपने आप में मूव करते उतनी बार ये कॉमिनेशन काउंट होता अगर मैं 9 फैक्टोरियल की बात करूं तो 9 फैक्टोरियल तो ऐसे निकाला गया ना कि ये सारे डिस्टिंक्ट ऑब्जेक्ट्स हैं तो a1 a2 a3 a4 ये सब अलग-अलग है क्योंकि ये सब अलग-अलग है तो जितनी तरीके से ये अपने आप में घूम सकते हैं कितने तरीके से अपने आप पे घूम सकते हैं चार फैक्टोरियल तरीके से ठीक है तो चार फैक्टोरियल जो कॉमिनेशन है जो अरेंजमेंट्स है सॉरी वो सब काउंट हो गए इसमें तो इसमें से इसीलिए हमें 4 फैक्टोरियल हटाना पड़ेगा क्योंकि कि वो सारे कॉमिनेशन को हटाना पड़ेगा ना जिसमें a1 a2 a3 a4 अलग-अलग काउंट हो गए हैं एक्चुअल में तो सब a ही है a ए है सब सब एक ही है राइट राइट अच्छा बिल्कुल इसी लॉजिक से जो b और b है वो भी b1 और b2 हो गया है b1 और b2 वो भी अपने आप में मूव करेंगे तो इसमें से दो फैक्टोरियल भी हटाना पड़ेगा एक्चुअली 4 फ्ट * 2 फ्ट हटाना पड़ेगा क्योंकि वो फिर वो ठीक है अगर समझ गए तो ठीक है नहीं समझे कोई बात नहीं ठीक है वरना आप इस तरीके से भी देख सकते हो वरना आप चाहो तो सीधे रट भी सकते हो कि भाई रटना वैसे पसंद नहीं है देखो कि अगर ए ए ए ठीक है मान लो ऐसे दे रखा है और b बी बी ठीक है और c सीडी e f जी एच एच मान लो ऐसे दे रखा है ये बहुत सारे आपको लेटर्स दे रखे हैं और बोला ज रहा बताओ ये कितने तरीके से अरेंज हो सकते हैं एक दूसरे में तो ये टोटल कितने लेटर्स हैं पांच और तीन आठ ठ और दो 10 10 11 12 13 14 15 16 16 ही आसपास ठीक है तो 16 फैक्टोरियल डिवाइडेड बाय ये कितने हैं पांच तो पाच फैक्टोरियल ये कितने है तीन तो तीन फैक्टोरियल ठीक है ये कितने है दो तो 2 फैक्टोरियल ठीक है और फिर एज और h कितने है दो तो 2 फैक्टोरियल खत्म ये आंसर हो गया इसका अगर ये सब डिस्टिंक्ट होते तो 16 फैक्टोरियल आता बट क्योंकि ये अलाइक है तो ऐसे करना पड़ेगा वरना ये तो आप सीधे-सीधे याद कर सकते हो कि अगर n फैक्टोरियल है और उसमें मान लेते हैं कोई तीन चीजें जो अलाइक है ठीक है मान लो वो अलाइक है a1 a2 a3 बार तो आप a1 फैक्टोरियल से डिवाइड कर दो फिर a2 से और फिर a3 से ठीक है आप समझ गए गेम को कि मोटा-मोटा ये बात करी जा रही है ठीक है रटने की ये चीज जरूरत नहीं है आई गेस थोड़ा सा फीलिंग वाइज भी अगर आप देखोगे तो चीज समझ में आ रही होगी ठीक है जैसे अगर किसी का नाम हो या जैसे बड़े फेमस क्वेश्चन होते हैं मिसीसिपी है ना ऐसे कुछ येही स्पेलिंग होती है ना मि ससी पी की तो ये जो वर्ड है इसके सारे लेटर्स को अगर मैं रिअरेंज कर दूं तो कितने सारे नए वर्ड्स बनाए जा सकते हैं कितने सारे नए वर्ड्स बनाए जा सकते हैं तो एक दोती च पा 6 सा 8 आ फैक्टोरियल होता आंसर बट क्योंकि इसमें रिपीट कर रहा है था दो और ये दो कितने हो गए दो फैक्टोरियल और दो फैक्टोरियल और ये छुपा हुआ आई आई आई तो ये तीन बार ठीक है तो इतने नए वर्ड्स बनाए जा सकते हैं इसका यूज करके ठीक है तो ये सब आपका चलता रहता है लेकिन अब चलो ये तो ठीक है यहां पे तो आपने अरेंज कर दिया बट उसके दिमाग में एक चीज आई कि अगर यही होता मान लो यही है ए ए ए ए ए ठीक है फिर यहां पे बी बी बी फिर ये सी सी फिर डी e ए जी एच इस टाइप से लिखा हुआ है इसमें से अगर मैं बोलता हूं कि मुझे अ कि मुझे कुछ ऑब्जेक्ट्स को चूज करना है सेलेक्ट करना है तो उसमें भी तो घपला हो रहा है उसमें भी तो खपला हो जाएगा भाई अगर मैं बोलूं कि तुम इसमें से तीन ऑब्जेक्ट चूज कर लो तो 16 c3 ये आंसर थोड़ ना आएगा क्योंकि 16 c3 तो तब निकाला गया था जब सारे ऑब्जेक्ट्स डिस्टिंक्ट थे जब आप बोलते हो n ऑब्जेक्ट में से मुझे r ऑब्जेक्ट को चूज करना है इसमें आप n को डिस्टिंक्ट मान के चूज करते हो राइट तो यहां पे तो सब अला अलाइक हो गया तुम्हे दिख रहा है कि कैसे-कैसे पूरा एक मैथमेटिकल मॉडल फेल हो जाता है और फिर उसको दोबारा अपग्रेड किया जाता है राइट तो यहां पे साफ-साफ लिखा गया कि जब आप एनसीआर बोलते हो तो यहां पर ए जो होता है वो डिस्टिंक्ट ऑब्जेक्ट्स होते हैं ठीक है ना आप उसमें डिस्टिंक्ट ऑब्जेक्ट्स की बात कर रहे होते हो तब आप एनसीआर लिख पाओगे अगर अलाइक हो गया ठीक है या तो सारे अलाइक हो जाए अगर सारे अलाइक हो गए तो क्या आंसर होगा भाई तुम्हारे सामने लिखा हुआ है a ए ए और ए इसको अरेंज कितने तरीके से कर सकते हो एक तरीके से अगर इसम से मुझे कोई भी दो ऑब्जेक्ट चूज करने है उसको चूज करने के कितने तरीके एक ही तरीका है अबे तू ये वाले दो चूज कर या ये वाले दो चूज कर या ये वाले दो चूज कर क्या फर्क पड़ रहा है सब एक ही तो है सब एक ही तो है ऐ बोलोगे कि मैंने तीन बार सेलेक्ट किया नहीं एक ही तुम एक ही बना सकते हो चाहे तुम तीन बार करो चार बार करो पांच बार करो आंसर एक ही आएगा ठीक है तो एनसीआर वाले केस में भी सलेक्शन के केस में भी यही आ रहा है और अरेंजमेंट के केस में भी यही आ रहा है ठीक है ये बड़ी इंपोर्टेंट इंटरेस्टिंग बात बन जाती है ठीक है ये छोटी-छोटी बातें हैं छोटी-छोटी बातें हैं ये सब आपकी दिमाग में एज अ अंडरस्टैंडिंग फीड हो जानी चाहिए अगर इनको रट लोगे तो कोई फायदा होना नहीं है क्योंकि क्वेश्चंस में ऐसे नहीं आने वाला है ये कि अरे यहां में तो रटा हुआ है हमें तो रटा हुआ है एक होता है कई यूज नहीं होगा ऐसे ठीक है जब आप देखोगे तो आपको दिखेगा कि सब कहानी है भाई अभी तुम देखना अभी जब हम अगला सेशन लेंगे पीएनसी का तो तुम्हें दिखेगा कि बस कहानी बनानी है बस कहानी बनाते रहो हो जाएगा अपने आप सब कुछ तो क्वेश्चंस की टेंशन मत लो वो ऐसे ही है बिल्कुल पूरा सेशन ऐसे ही रहेगा वो वाला भी ठीक है तो तो अब आगे बढ़ते हैं वैसे तो हमें ये भी निकालना था कि भाई अगर इसमें से चूज करना हो तो क्या तरीके हैं इसको हम सीधे जब क्वेश्चंस करेंगे ना तभी समझेंगे एक्चुअली इसमें जो पीएनसी अभी हम कर रहे हैं ये ठीक है बाइनल थ्योरम तो वो छोटा सा पोर्शन था जो पीएनसी तुम कर रहे हो इसमें बहुत छोटी-छोटी चीजें होती है ठीक है जैसे स्ट्रिंग मेथड गैप मेथड ठीक है मैं बहुत सारी चीजें कराता हूं इसमें ठीक है अलाइक ऑब्जेक्ट्स चेस बोर्ड प्रॉब्लम ज्योमेट्री प्रॉब्लम ये बहुत छोटी-छोटी चीजें होती है जो ओवर द पीरियड जैसे भास्करा और वो तो हो गया उनका तो ठीक है उन्होंने तो बहुत कुछ बता दिया बट उसके अलावा भी बहुत सारी चीजें ओवर द पीरियड ऑफ टाइम बनी है तो जो ओवर द पीरियड ऑफ टाइम चीजें डेवलप हुई है ना वो बहुत ही इंटरेस्टिंग इंटरेस्टिंग टाइप्स है ठीक है तो अ उसको हम देखेंगे तो आपको बहुत मजा आएगा लेकिन वो ना क्वेश्चन के साथ ही करेंगे अगर हम इंडिविजुअली देखेंगे तो घिच पिच बन जाएगी तुम्हारे दिमाग में तो उसको एकदम सिस्टेमेयर ही करेंगे जब पी वाई क्यू वाला हम सेशन लेंगे इसके तुरंत बाद पी वाई क्यू वाला सेशन आएगा पीएनसी का फिर बाइनल का आएगा तो पीएनसी वाला जो होगा वो बहुत ही इंटरेस्टिंग होगा ठीक है मतलब बाइनल वाला भी होगा बट पीएनसी वाला अलग ही एकदम कहानी चलेगी ठीक है लेकिन इससे भी पहले जो इसमें एक और डेवलपमेंट हुआ दैट वाज अ वेरी इंटरेस्टिंग डेवलपमेंट ठीक है और वो ये है कि अगर मान लेते हैं ठीक है उसकी हेडिंग डालता हूं चलो मैं ठीक है वैसे मुझे पसंद नहीं है हेडिंग डिंग डालना डिवाइड एंड डिस्ट्रीब्यूटर्स मेथड ठीक है और फिर इसी से मिलता आता है डी अरेंजमेंट ठीक है तो ये एक पूरा सेक्शन बनता है एक और टॉपिक होता है इसमें जिसको आप बोलते हो सर्कुलर परम्यूटेशन ये बहुत ही छोटा सा और इंटरेस्टिंग सा है ये मैं खुद नहीं बताऊंगा तुम्हें ये जब हम क्वेश्चंस करेंगे ना तो तुम खुद डिस्कवर कर लोगे ठीक है तो हम तब करेंगे छोटा सा टॉपिक होता है ठीक है उसको हटाते हैं बस ये एक आखिरी एक बड़ा सा एक वो बचा हुआ है टॉपिक ठीक है उसको करते हैं ये हम क्या कर रहे हैं देखो ये जो सेशन है ये बेसिकली एक थोरेट्स की दुनिया में एंटर कर रहे हैं देखो पीएनसी जो होता है ना वो मोस्ट ड्रेडेड टॉपिक माना जाता है सबसे डरावना ठीक है क्योंकि समझ में नहीं आता कि अरे यार ये वाला केस रह गया वो वाला केस रह गया कितनी सारी चीजें हैं ठीक है इसीलिए मैंने इसको जो ये पहला सेशन है इसको मैंने बहुत कोशिश करिए लाइट रखने की बट फिर भी शायद ये काफी इंटेंस हो गया होगा कुछ लोगों के लिए कुछ लोगों के लिए बहुत सिंपल रगा होगा कुछ लोगों के लिए बहुत इंटेंस रहा होगा ठीक है तो इस सेशन को हम थोड़ा कम डरावना ही रखेंगे ठीक है क्योंकि मुझे नहीं लगता इसम कुछ डरने वाली बात है इट इज जस्ट कहानी यार सिर्फ कहानी बना रहे हो बट अगर गलत तरीके से पढ़ोगे तो वही चीज बहुत डरावनी पड़ जाएगी ठीक है तो अभी एक आखिरी कहानी हमारी बची हुई है उसके बाद फिर इनफाइनों उसमें कहानियां ही कहानियां है हर क्वेश्चन अपनी अलग कहानी लेकर बैठा हुआ है ठीक है और तुम्हें पूरा दिमाग खोल के सॉल्व करना है अगर नहीं कर सकते तो गए काम से ठीक है क्योंकि क्यों नहीं कर सकते मतलब वो डरावना वाला जो पन होता है ना वो खत्म हो जाना चाहिए तुम्हारा इस चैप्टर के बाद वो चीज खत्म हो जानी चाहिए ठीक है एनीवेज तो ये आखिरी टॉपिक और निपटा आता हैं उसके बाद फिर हम सीधे पीवा के सेशन करेंगे ठीक है तो आ जाइए डिवाइड डिस्ट्रीब्यूटर है क्या हटाओ इसको हटाओ वो गोली मारो ठीक है भाई देखो ऐसा है भास्कर जीी बैठे हुए थे ठीक है और उनके पास मान लो अराउंड 25 लड्डू थे ठीक है 25 लड्डू नहीं लड्डू नहीं लड्डू नहीं लड्डू नहीं लड्डू नहीं वो बाद में आएगा 25 अलग-अलग चीजें थी उनके पास ठीक है अभी मेरे पास ज्यादा ऑप्शंस नहीं आ रहे एक्चुअली मेरे को ना सर्वाइकल हो गया है तो मेरा दिमाग घूम रहा है इस टाइम पे थोड़ा सा ठीक है तो काफी ये सेशन पता नहीं कैसे तैसे शूट हुआ है ठीक है हर 15 10 मिनट में मेरे को ब्रेक लेना पड़ रहा था क्योंकि बहुत यहां दर् वो तुम्हें पता होगा जिसको सर्वाइकल हुआ है ठीक है तो मेरे को काफी सीवियर वाला हो गया बिकॉज ऑफ ओवर वर्क तो खैर तो 25 ऑब्जेक्ट्स हैं ठीक है अब इन 25 ऑब्जेक्ट्स को मान लो मैं मुझे चार थलो में डिवाइड करना है मान लो मेरे पास ये चार बैग्स हैं ठीक है ना ये चार मेरे पास बैग्स हैं बैग्स एक बैग में मान लो मुझे सेवन ऑब्जेक्ट्स डालने हैं दूसरे में मान लो मुझे पांच डालने हैं तीसरे में मान लो मुझे तीन डालने हैं ठीक है ऐसे कोई ये नहीं है कि डिक्रीजिंग ऑर्डर में ही डालने ठीक है कितने बढ़ गए 12 बढ़ गए और इधर तीन बढ़ गए यानी कि 17 तो पढ़ गए ना 12 इधर पढ़ गए और तीन ये हो गए 15 और इसमें 10 डालने हैं ठीक है आप देखोगे टोटल 25 ऑब्जेक्ट पढ़ जाएंगे इसमें राइट अ 15 और ये हां ठीक है तो 25 ऑब्जेक्ट्स को तुम्हें डिवाइड करना है तुम्हें डिवाइड करना है चार थैलों में चार ग्रुप्स में ठीक है इसको ग्रुपिंग भी बोलते हैं कि चार ग्रुप्स में डिवाइड करना है तो व्हाट डू यू थिंक व्हाट इज द वे और ये सब डिस्टिंक्ट है ठीक है बिल्कुल एकदम डिस्टिंक्ट ऑब्जेक्ट्स हैं कोई दिक्कत नहीं है तो डोंट यू थिंक कि सर सिंपल सी बात है आप 25 में से कोई भी सेवन ऑब्जेक्ट उठा लो ठीक है है तो उसको हमने एक ग्रुप बोल दिया फिर अब जो बचा हुए ऑब्जेक्ट हैं कितने बच गए कितने बच गए अच्छा एक और चीज कुछ लोग कहेंगे सर इसको 7 फैक्टोरियल से मल्टीप्लाई कर दो पागल हो क्या भाई तुमने सेवन ऑब्जेक्ट उठा के इसमें डाल दिए ठीक है तो वो कोई चीज थोड़ी है उसको अब तुमने जब थैले में डाल दिया तो वो कोई अरेंज थोड़ी ना होंगे ठीक है बहुत मन कर रहा है तो वन से मल्टीप्लाई कर दो वरना कोई जरूरत नहीं है ठीक है तो अब कितने ऑब्जेक्ट बचे 25 में से सेवन तो चले गए तो बचे कितने 18 है ना तो 18 में से अब तुम फाइव को डाल दो अब कितने बचे अ 13 तो 13 में से थ को डाल दो और अब कितने बचे 10 तो 10 में से जितने भी 10 ऑक्ट बचे वो सब इसमें डाल देना इस वाले थले में डाल देना तो 10c 10 हो जाएगा खत्म यही आंसर हो गया ठीक है इतने तरीको से आप 25 ऑब्जेक्ट को ऐसे चार थलो में डिवाइड कर सकते हो अब इसको जरा खोल के देखते हैं ठीक है तो 25 फ्टो डिवाइड बा 7 फट और क्या आ जाएगा 18 समझ में आया खोला क्यों क्योंकि बहुत सारी चीज कट जाएंगी इसमें ठीक है ना देखो ध्यान से देखो 13 हैय ये थ है फिर यहां पर 10 आएगा फिर 10 फटोल 10 0 तो यह और यह कट गया यह और यह कट गया यह और यह कट गया तो आंसर क्या आ गया आंसर आ गया 25 डिवाइड बा 7 5 और 3 फ और 10 ठीक है ना देखो 7 5 3 और आपका 10 और यह तो ज़ीरो ही है हटा दो इसको ठीक है तो लोगों ने सो 1 मिनट यह तो मतलब 1 मिनट यानी यह तो हम डायरेक्टली कर सकते थे कि भाई अगर 25 ऑब्जेक्ट्स को 75 310 में डालना है तो इसको तो आप डायरेक्टली लिख सकते हो ना ऐसे कि 25 फट फैक्टोरियल डिवाइडेड बाय कितने ग्रुप्स हैं चार है ना तो 7 फैक्टोरियल 5 फैक्टोरियल 3 फैक्टोरियल 10 फैक्टोरियल अब जैसे ही इसको तुमने देखा तुम्हारे दिमाग में आया कि सर ये तो कुछ अलाइक ऑब्जेक्ट वाली फीलिंग मार रहा है मेरे सामने मैंने कहा एगजैक्टली अलाइक ऑब्जेक्ट ही तो है भाई एक बत बता मान लेते हैं 25 ऑब्जेक्ट्स हैं मान लेते हैं a1 a2 और ऐसे करते करते मान लो a25 ऐसे 25 ऑब्जेक्ट्स रखा हू मैं ठीक है इसमें से तुने कोई सेवन ऑब्जेक्ट जो है वो इस थैले में डाल दिए मान लो a2 a5 a7 और ऐसे करते करते सेवन ऑब्जेक्ट सुने इसमें डाल दिए ठीक है तो अब इनका अरेंजमेंट थोड़ ना काउंट होगा क्या बोला मैंने देखो बहुत सिंपल सा एग्जांपल लेता हूं पहले छोटा एग्जांपल लूं ठीक है मान ले पांच ऑब्जेक्ट्स हैं ठीक है a1 a2 a3 a4 और a5 ठीक है बढ़िया इनको मुझे मान लो दो थलो में नहीं तीन थैलों में डालना है तीन थैलों में तो मान लो मैंने एक थैले में इसको डाल दिया फिर इसको डाल दिया है और फिर इसको डाल दिया तीन थैले हो गए एक में a1 है एक में a2 a3 और फिर a4 a5 अगर मुझे इन पांच चीजों को अरेंज करना होता तो उसके फ फैक्टोरियल तरीके होते राइट उन फ टोरियल में क्या-क्या आता फॉर एग्जांपल ये आ जाता a2 a1 a3 है ना a4 a5 ध्यान से देखोगे तो मेरे अगर खाच को मैं ऐसे ही रखूं एज इट इज तो ये मेरा दूसरा कॉमिनेशन हो गया क्योंकि इस वाले थैले में a2 आ गया इस वाले ले थैले में a1 a3 आ गए है ना और इसमें a4 a5 आ गए तो ये परफेक्टली वैलिड सिचुएशन है तो अगर मैं इस तरीके से प्रॉब्लम को हैंडल करूं ठीक है देखो वैसे मेरा काम हो गया बट मैं ये तो मैं फाल तुम्हें बस फील दिलाने के लिए तुम्हें ये दिखा रहा हूं ठीक है कोई नहीं कर रहा ये काम ठीक है क्यों करना पड़ रहा है जैसे कि तुम्हें पूरी तरह से समझ में आया ठीक है बाकी मेरे ये कुछ एक्शंस को इग्नोर मानना ठीक है सो या सॉरी फॉर दैट अ या तो अब सोच के देख अगर मैं बोलूं कि एक कॉमिनेशन तो ये भी होगा ना अगर मैं 5 फैक्टोरियल की बात करूं तो उसमें एक कॉमिनेशन तो वो वाला भी होगा ना जहां पे a2 और a3 एक दूसरे में घूम जाएंगे यानी कि ये वाला a1 a3 a2 a5 a4 अब ये ध्यान से देखो a5 a4 या a4 a5 ये तो सेम ही है ये तो सेम ही है फिर a3 a2 a2 a3 ये भी तो सेम ही है ये भी तो सेम है तो इसी चक्कर में जैसे कि जो इंटरनल ग्रुपिंग है उसमें जो चेंज आ रही है उसको हमने डिवाइड कर दिया 2 फैक्टोरियल से और 2 फैक्टोरियल से इधर भी 2 फैटल था इधर भी 2 फैटल था ये तो थाव फैक्टोरियल स डिवाइड क्या करोगे कोई कोई कोई केस ही नहीं है इसमें तो ठीक है ये थोड़ा सा मैंने ऐसा आपको मोटा-मोटा समझाया वरना मैं बहुत डीप में समझा सकता हूं मेरा अराउंड 4 घंटे का लेक्चर है पूरा पता है इसके ऊपर डिवाइड एंड डिस्ट्रीब्यूटर ऊपर बहुत सारे क्वेश्चंस कराए हैं सब कुछ कराया तो ऐसा नहीं कि मैं करा नहीं सकता बट अभी यही है ना कि हमें थोड़ा वेटेज के हिसाब से भी चलना होगा मात्र तीन क्वेश्चन आए हैं अभी इस टॉपिक में से ठीक है सब मिलाजुला के तो हमें थोड़ा आराम से ले दो वरना मेरे को ना यह अच्छा नहीं लगता यह तुम्हे वेटेज बताता हुए यह सब चीज़ें हम क्वेश्चन में देखेंगे अभी हम बस डूबे हुए हैं कहानी में हम कहानी में डूबे रहने दो अभी ठीक है तो अच्छा अब एक और चीज़ है एक और चीज़ अगर तुम समझ गए हो जैसे अगर आप ऊपर वाले क्वेश्चन को देखोगे तो यहां पर भी यही चीज़ हो रही है कि 25 फैक्टोरियल में ये 25 तरीके से घूम सकते थे लेकिन अगर मैंने पहले वाले में सेवन के खाचे बनाए हैं अब अगर a1 a2 a5 इस टाइप से लिखा हुआ है उसमें a2 a1 हो जाए तो कोई बात थोड़ी ना बनती है तो इसीलिए हमने 7 फ्टो 5 फ्टो 3 फ्ट 10 फटल से डिवाइड कर दिया कि इंटरनली अगर वो कुछ घूमेगा आप अपने को मतलब नहीं है ठीक है सो आप ऐसे भी निकाल सकते हो ठीक है लेकिन इसमें एक एक्चुअल है बताओ क्या जो ये तुमने किया है ना ये तुमने गलत किया है क्यों गलत किया है क्योंकि यहां पर ग्रुपिंग के जो साइजेस है वो भी सेम है 2 फैक्टोरियल एंड 2 फैक्टोरियल इससे होगा क्या फॉर एग्जांपल अगर लिखा हुआ है a1 a2 a3 a4 और a5 ठीक है तो ये पहला ग्रुप है ये दूसरा ग्रुप है और ये तीसरा ग्रुप है अगर मैं ये लिख दूं a1 a4 a5 और फिर लिख दूं a2 a3 ठीक है तो इस सिचुएशन में ये तो यहां पहुंच गया और ये यहां पहुंच गया बट अगर तुम थैले के हिसाब से देखोगे तो हमारे पास दो थैले हैं मतलब मेरे पास तीन थैले हैं एक थैले में a1 पड़ा हुआ है ठीक है एक थैले में a2 a3 पड़ा हुआ है और एक थैले में a4 a5 पड़ा हुआ है तुम कहोगे ठीक है बढ़िया बहुत बढ़िया अब तू दूसरा कॉमिनेशन बता तो दूसरा कॉमिनेशन जब मैं बोलता हूं तो कम से कम ऐसा तो होना चाहिए ना कि एक थैले में मान ले a2 a4 पड़ा हुआ है और दूसरे थैले में मान लो a3 a5 पड़ा हुआ है तो ये तो मैं मान लूंगा कि दूसरा कॉमिनेशन है बट तू कहेगा नहीं नहीं नहीं सर पहले वाले में तो अभी भी a1 है दूसरे वाले में ना अब a a45 है और तीसरे वाले में a2 a3 मैंने कहा नहीं मुझे मतलब नहीं है कि दूसरे थैले में कौन सा है तीसरे थैले में कौन सा है मुझे मतलब इससे कि थैले कितने तीन थैले हैं और तीन थलो में से दो थैले तो बिल्कुल सेम है ना उम दोनों में दो दो ऑब्जेक्ट नहीं है तो तुम इस वाले में a2 a3 डाल दो या इस वाले में डाल दो ये सेम ही है ये सेम केस है ये सेम केस है तो हमें ये भी देखना पड़ेगा कि ये दोनों एक दूसरे में कितने तरीके से घूम सकते हैं तो ये दो चीज एक दूसरे में दो फैक्टोरियल तरीके से घूम सकती है तो एक बार और दो फैक्टोरियल से डिवाइड करना पड़ेगा मैं समझ सकता हूं कि तुम थोड़ा कंफ्यूज हो गए होंगे इसको ऐसे देखते हैं थोड़ा एक बार फिर से देखते मान ले 25 चीजें हैं ठीक है इसमें से तूने छ छ और मान लो तीन फिर दो दो ठीक है कितने बच गए 6 6 12 12 और तीन 15 15 और 4 19 और तीन और तीन मान लो चलो ठीक है ये क्वेश्चन है ठीक है नहीं चलो एक एक एक छोटा ले सकते नहीं इतना ही लेते हैं तो इसका आंसर पता क्या होगा इसका आंसर देखो ये होगा 25 फैक्टोरियल सबसे पहले ठीक है डिवाइडेड बाय सबसे पहले लिखो 6 फैक्टोरियल 6 फैक्टोरियल ठीक है इनटू फिर 6 फटोल देखो पहले सारे इंडिविजुअली लिख दो ठीक है फिर 3 फैक्टोरियल फिर 2 फैक्टोरियल 2 फैक्टोरियल फिर क्या है 3 फैक्टोरियल 3 फैक्टोरियल ये तो तुमने कर दिया काम जो तुम्हें कॉमन सेंस की बात है कि इन बैगों के अंदर जो चीजें घूम रही होंगी वो तो हमने डिवाइड कर दी अब ये जो छह छह वाले हैं ये एक दूसरे में भी तो घूम सकते हैं ना तो ये दो चीजें अपने आप में दो तरीके से घूम सकती है तो दो फैक्टोरियल से डिवाइड करना पड़ेगा फिर ये जो तीन है एक दोती ये तीन बार ही आ गया ठीक है तो ये तीन चीजें अपने आप में तीन तरीकों से घूम सकती है तीन फैक्टोरियल तरीको से घूम सकती है तो तीन फैक्टोरियल से डिवाइड करना पड़ेगा फिर ये जो दो है ये दो थैले हैं जो एक दूसरे में ऐसे करके घूम सकते हैं तो दो फैक्टोरियल इससे डिवाइड करना पड़ेगा ये आंसर होगा इसका अब देखो इसको और सिस्टेमेयर है 25 फ्टो ठीक है डिवाइडेड बाय 6 फ्टो देखो कितनी बार आ रहा है अल्टीमेटली दो बार आएगा तो 6 फैक्टोरियल का स्क्वायर हो गया ठीक है फिर तीन कितनी बार आएगा तीन बार ही आएगा तो 3 फैक्टोरियल का क्यूब हो गया राइट और फिर यहां पे क्या आएगा 2 फटोल का स्क्वायर आ गया ठीक है इसके बाद इसके बाद जो इनकी पावर्स है ना यहां पे दो है ना तो 2 फैक्टोरियल कर दे यहां पे तीन है ना तो 3 फैक्टोरियल कर दे यहां पे दो है तो फिर से दो फैक्टोरियल कर दे ये तो किया तुमने अल्टीमेटली ठीक है तो लोगों को ऐसे रटवा दिया जाता है लोगों को ऐसे रटवा दिया जाता है कैसे मैं बताता हूं इसका फॉर्मूले की तरह रवाया जाता है कि अगर तुम्हारे पास n डिस्टिंक्ट ऑब्जेक्ट्स हैं और उसको तुम्हें उसको तुम्हें n1 n2 n3 n4 ठीक है ऐसे करते करते मान लो n ए ऐसे ग्रुपिंग ऐसे ग्रुप्स में डिवाइड करना है ठीक है और इसमें जो n1 वाला ग्रुप है ना वो p1 बार है वो p1 बार है मतलब क्या p1 बार मतलब जैसे छह का जो ग्रुपिंग है वो दो बार आ गया तो ऐसे ही n1 वाला p1 बार है ऐसे समझ लो बच्चों के साथ टॉर्चर होता है ये p2 बार है मान लेते हैं ये p3 बार है तो इसका आंसर क्या आएगा बेटा इसका आंसर आएगा बोलो चलो तुम तो बता ही सकते हो n फटोल डिवाइडेड बाय डिवाइडेड बाय n1 फ्टो n1 फ्टो की पावर p1 ठीक है फिर n2 फ्टो की पावर p2 है ना और ऐसे करते करते n m अ फैक्टोरियल ठीक है इसकी पावर अगर मान लो इसके पए ग्रुप्स हैं टोटल तो पए से करना पड़ेगा एंड देन उसके बाद क्या करोगे उसके बाद क्या करोगे उसके बाद अ p1 फैक्टोरियल p2 फैक्टोरियल p3 फैक्टोरियल ऐसे करते करते p ए फैक्टोरियल ठीक है अब ये कैसे यूज होता है हम देख लेंगे ठीक है डोंट यू वरी डोंट यू वरी आपको बस मोटा-मोटा समझ में आना चाहिए कि अगर एक ग्रुप ऑफ ऑब्जेक्ट्स हमारे पास है तो उसको हम कैसे डिवाइड कर सकते हैं ठीक है आपको समझ में आ गया होगा जहां तक कि मेन ऑब्जेक्ट तो यही था कि 25 ऑब्जेक्ट्स हैं और उनको चार थलो में डिवाइड करना है तो ऐसे कर सकते हो अब पता है इसमें क्वेश्चन कैसे आ सकते हैं क्या प्रॉब्लम घूम सकती है कि भाई अगर चार मेरे को पैकेट्स दे रखे हैं तो इन चार थैलों में तुमने बोला इसमें सेवन डाल दे इसमें फाइव डाल दे इसमें थ्री डाल दे इसमें 10 डाल दे मैं एक और काम कर सकता हूं मान लो मैंने इसमें नाइन डाल दिए और इसमें मैंने थ्री डाले और इसमें भी मैंने थ्री डाले और इसमें 10 डाले तो अभी भी 25 ऑब्जेक्ट्स ही हैं बट अब आंसर कुछ और आएगा अब आंसर क्या आएगा अब आंसर आएगा 25 फ्ट डिवा बा 9 फ्टो 10 फ्टो और 3 फैक्टोरियल का तो स्क्वायर हो गया एंड फिर 2 फैक्टोरियल अब ये आंसर आएगा ठीक है तो ये क्वेश्चन बनता है कि 25 ऑब्जेक्ट को तुम्हे चार थलो में डिवाइड करना है जैसे करना है कर लो जैसे करना है कर लो ठीक है 25 ऑब्जेक्ट्स को चार थैलों में डिवाइड करना है अभी बहुत तरीके हो सकता है मैं इस ऑब्जेक्ट में कुछ भी ना डालूं कुछ भी ना डालूं मैं इन ऑब्जेक्ट में तो इसमें जीरो इसमें भी जीरो इसमें भी जीरो और इसमें मैं सब डाल दूं इसमें मैं 25 डाल दूं तो ये तो फ्लॉप केस हो गया ये तो फ्लॉप केस हो गया ये तो एक ही तरीके से हो सकता है तो ज्यादातर ये बोलेंगे कि एक ऑब्जेक्ट देखो एक तो डालना ही पड़ेगा चीटिंग नहीं चीटिंग नहीं एक तो डालना पड़ेगा तो एक एक एक और कितना हो गया 23 डाल दिए फिर इसमें एक डाल दो इसमें एक डाल दो और इसमें दो डाल दो है ना और इसमें फिर कितने हो जाएंगे 22 हो जाएंगे तो ऐसे करके आप बहुत सारे केसेस बना सकते हो और हर एक केस के लिए हर एक केस के लिए आप ये वाला फॉर्मूला लगा सकते हो ये फॉर्मूला याद करने की जरूरत नहीं है ठीक है लॉजिकली सोचो ठीक है तो हर एक केस के लिए आएगा फिर वो या या करके वो प्लस होंगे ठीक है इस तरीके से कुछ चीजें होती है झोल वाला होता है वो हम देख लेंगे डोंट यू वरी ठीक है अच्छा अब एक और चीज सोच के देखो भाई ऐसे मान ले मेरे पास ये 25 ऑब्जेक्ट थे ठीक है इन 25 ऑब्जेक्ट्स को मैंने चार थैलों में डिवाइड कर लिया है ना चार बैग्स आ गए मेरे पास अब मेरे पास चार बच्चे खड़े हुए हैं चार बच्चे ब ड़ हु यहां पे है ना तो अब इन चार थैलों को चार बच्चों को भी तो देना है ठीक है तो इसमें कितने थे इसम मान लो ए आपने डाले थे है ना इसमें आपने मान लो फोर डाले थे इस मान लो आपने टू डाले थे टॉफी मान टॉफी है 25 टॉफी है टॉफी ठीक है तो 25 टॉफी है और उनको मान आठ टॉफी मैंने इस बैग में डाल दी चार टॉफी मैंने इसमें डाल दी दो टॉफी मैंने इसमें डाल दी तो 6 प् आ 14 हो गए और इसमें कितने आएंगे फिर क्यारी कैलकुलेशन भा 11 टफी आए ओके तो अगर आपको बैग्स बनाने हैं अगर आपको बैग्स बनाने हैं तो 25 फटो डिवा बाय 8 फट 4 फैक्टोरियल 2 फैक्टोरियल 11 फ्टो राइट इतने तरीकों से तो तुमने क्या कर लिया इतने तरीकों से तो भैया मैंने चार बैग्स बनाए हैं पहले मैंने चार बैग्स बना लिए अब जब तुमने चार बैग्स बना लिए तो अब ये चार बैग्स तुम इनको डिस्ट्रीब्यूटर 25 टॉफीस को चार थैलों में क्या कर दिया डिवाइड कर दिया डिवाइड कर दिया अब इनको डिस्ट्रीब्यूटर तो कहानी समझ रहे हो कि पहले डिवाइड कर लो तो ये हो गया डिवीजन ये क्या कर लिया हमने डिवाइड कर लिया डिवाइड कर लिया फिर फिर आप डिस्ट्रीब्यूटर तो करोगे तो चार थैलों को चार थैलों को चार लोगों में डिवाइड करने के कितने तरीके होंगे 4 फैक्टोरियल खत्म खत्म दैट्ची है सो तुमने ये क्या लिखा हुआ ये तुम्हें तो ल रहा हो पता नहीं क्या ीच बच लिखी हुई है मेरे को य ऐसा दिख रहा है कि ये जो चीज लिखी हुई है ना दिस इज जस्ट लाइक कि चार थैले हैं चार थैले बन गए अब इन चार थैलों को डिस्ट्रीब्यूटर दिया ठीक है तो कहानी की तरह समझोगे तो तो समझ में आएगा वरना तो घिच पच बन जाएगी वरना वरना तो समझ में नहीं आएगा हे भगवान ये 4 फैक्टोरियल से डिवाइड किया ये ऐसे कार्ड भी तो सकते थे क्या कर रहे हैं ये क्या करना क्या चाह रहे हैं ठीक है बच्चे ऐसे ही कंफ्यूज रहते हैं पीएनसी में बहुत ज्यादा ठीक है और अभी तो इसमें बहुत अच्छे अच्छे केसेस आएंगे कि एक गाड़ी जा रही है उस गाड़ी में मान लो अभी तुम देखना ये बहुत इसमें इंटरेस्टिंग चीजें बन सकती है ठीक है तो ये बस मैं आपको एक हवा के छोके की तरह बताते जा रहा हूं ठीक है ऐसे किया जा सकता है अच्छा अब लीलावती की तरह तुम्हारे सा में अगर क्यूरियोसिटी आ रही हो कि सर एक बात सोच के देखिए अगर ये 25 ऑब्जेक्ट डिस्टिंक्ट ना हो और अलाइक हो जाए तो जैसे आपने चलो मतलब कैसे इसको आप करोगे अगर 25 ऑब्जेक्ट के 25 ऑब्जेक्ट अलाइक हो गए मान लेते हैं 25 लड्डू है जो मैंने बोला था इनिशियली कि मान लेते हैं 25 लड्डू है है ना भास्कर के पास मान लो 25 लड्डू है ठीक है क्या है भाई 25 लड्डू ठीक है अब लड्डू तो सब एक एक जैसे होते हैं बिल्कुल है ना मोती चूर का लड्डू बिल्कुल डिट्टो सेम जैसा होता है वैसे ही होता है 25 लड्डू बिल्कुल सेम अब इनको अगर मुझे डिवाइड करना है तो कैसे कर सकता हूं अ इसको थोड़ा छोटा सा एग्जांपल लेकर देखते हैं ठीक है मान ले मेरे पास पांच लड्डू है ठीक है मान लेते हैं पांच लड्डू है ठीक है मान लेते हैं ये पहला ये दूसरा ये तीसरा ये चौथा और ये पांचवा ये पांच लड्डू है मेरे पास ठीक अच्छा बिल्कुल सेम दिख रहे हैं एकदम अब इसको अगर मैं ग्रुपिंग करना चाह रहा हूं इसकी तो मैं ऐसे कर सकता हूं ना कि एक ऐसे है ना ऐसे एक पार्टीशन की तरह लगा दिया मैंने यहां पर क्या कर दिया पार्टीशन यहां पे एक्चुअली अगर आप देखोगे ना तो रामानुजन जी की एंट्री होने वाली है ठीक है ये उन्हीं का शब्द है क्या बोलते हैं इसको पार्टीशन ठीक है पार्टीशन ये तो हमने बहुत बच्चों वाले लेवल प स्टार्टिंग कर रहे हैं अगर बहुत डिटेल लेक्चर होता तो बहुत डिटेल में समझा पाता मैं इस चीज को बट खैर जो बात भी है ठीक है ये बहुत आगे की बात है 18100 में पहुंच गए हम लोग ठीक है तो पार्टीशन का मतलब क्या है कि भाई पांच एकदम एग्जैक्ट से सेम दिखने वाले लड्डू हैं राइट तो एक पार्टीशन तुमने यहां लगा दिया और एक पार्टीशन तुमने यहां लगा दिया मान लेते हैं तो अब ये पांच लड्डू तीन अलग-अलग पैकेट्स में आ गए राइट या तुम एक और काम भी कर सकते थे क्या कर सकते थे बोलो बोलो बोलो बोलो भाई इनको तो ऐसे ही लिख रहने दो अ तुम एक और काम कर सकते थे बताओ क्या मान लो तुमने एक पार्टीशन यहां लगा दिया सुन लो पहले एक यहां लगा दिया और मान लेते हैं एक तुमने यहां लगा दिया ठीक है अब ध्यान से देखना मैं यहां पे काउंटिंग करता जा रहा हूं ठीक है ये मेरा पहला बैग वन है ये बैग टू है और ये बैग थ्री है ठीक है ध्यान से देखना एकदम ध्यान से तो इस वाले ये जो पहला केस है इसमें बैग वन के अंदर कितने लड्डू आए एक लड्डू आया है ना इसमें कितने आए दो लड्डू आए इसमें कितने आए इसमें भी दो लड्डू आ गए ठीक है तो ये तो एक तरीका हो गया डिवाइड करने का ठीक है अच्छा अगर मैं इसको देखूंगा तो इसमें देखो पार्टीशन के लेफ्ट साइड में कुछ दिख रहा है तुम्हें कुछ भी नहीं दिख रहा यानी कि बैक व में मैंने एक भी लड्डू नहीं डाला राइट इसमें मैंने कितने लड्डू डाल दिए बैक टू में मैंने तीन लड्डू डाल दिए और इसमें मैंने कितने लड्डू डाल दिए बोलो दो लड्डू डाल दिए राइट अब तुम सोच के देखो क्या दिमाग लगाया रामानुजन ने मजा आ गया भाई रामानुजन सरने उन्होने क्या बोला उन्होने बोला अगर इनको डिवाइड करना है अगर इनको डिवाइड करना है तो इज इट सिंपली की तुम इसको इसको इसको इसको इसको इसको इसको इन सबको अरेंज कर दो कुछ बात पले प र सब उचा से गई अगर मैं बोलू कि देखो पांच लड्डू थे पांच लड्डू को मुझे मान लो तीन बैग्स में डिवाइड करना है ठीक है तो अब पांच लड्डू को तीन बैग्स में डिवाइड करने के कितने तरीके हो सकते हैं कि भाई टेबल बना लो टेबल बना लो कि भाई पहले एक लड्डू पहले बैग में जीरो लड्डू दूसरे में भी जीरो लड्डू फिर पांच लड्डू या फिर इसमें जीरो है ना और इसमें एक और फिर पांच सॉरी फिर पांच नहीं होंगे ना फिर चार होंगे फिर चार होंगे या फिर जीरो और इसमें सर आप एक काम करो इसमें आप इसमें सर आप दो डाल दो अब तुम देख रहे हो कितनी कंफ्यूजन हो रही है इसमें दो डाल दो फिर इसमें तीन डाल दो मैंने कहा नहीं लेकिन एक ये भी तो हो सकता है 11थ ये भी केस हो सकता है तो ऐसे तो बहुत सारे केस बन जाएंगे पूरी टेबल बनानी पड़ जाएगी ठीक है वो भी हम यूज़ कर सकते हैं टेबल बनाने वाला मैं फिर से कह रहा हूं ये टॉपिक बहुत डीप है ये बहुत डीप है हम बेइज्जती कर रहे हैं आईडियली इतना हल्के में पड़ गया इसको ठीक है बट ठीक है कम से कम एक एक एक हवा तो ले लें एक इंट्रोडक्शन तो ले ले कम से कम क्योंकि टाइम की कमी है ठीक है और हमारे पास बिल्कुल भी हम इस टाइम पे वो नहीं कर सकते कि हम इरेलीवेंट पढ़े हालांकि बहुत ही डीप और एडवांस लेवल टॉपिक है ठीक है बट हम अभी इतने पे रखेंगे इसको ठीक है तो ऐसे आप पूरी टेबल बना सकते हो कि पांच लड्डुओं को मैं तीन बैगों में कितने तरीके से डिस्ट्रीब्यूटर सकता हूं तो रामजन ने बोला हां ठीक है टेबल बबल बना लो ठीक है बढ़िया है हमारे पास ज्यादा अच्छा आईडिया है बताओ क्या एक दो तीन चार पा पांच लड्डू है इन पांच लड्डू के साथ में तुमने दो क्या डाल दिए दो पार्टीशन डाल दिए है ना ये दो स्टिक भी डाल दिए ऐसे करके दो पार्टीशन डाल दिए तो अब तुम क्या करो अब बोललो ये पांच लड्डू है और दो क्या है स्टिक्स भी है तो टोटल सेवन ऑब्जेक्ट्स है टोटल सेवन ऑब्जेक्ट्स है अब ये सेवन ऑब्जेक्ट को अरेंज करा दो सेवन ऑब्जेक्ट एक दूसरे में घूम रहे हैं उससे क्या होगा अरे कभी पार्टीशन इधर आ जाएगा कभी लड्डू इधर आ जाएंगे तो इससे अल्टीमेटली क्या होने वाला है अरे सोच के देखना मान ले बिल्कुल ऐसे मान ले कि ये सब एक है ये सारी चीजें एक ही हैं तो इससे होगा क्या इससे ये फायदा होगा कि ये जो येलो वाला पार्टीशन है कभी ये इधर आ जाएगा मान लेते हैं ऐसे है ना मान लो ये आपका बना हुआ है ठीक है ठीक है कभी आपका जो येलो वाला पार्टीशन है वो इधर आ गया अरेंज कर दो इधर आ गया फिर ये इधर आ गया ऐसे करके जैसे जैसे ये पांचों ये सातों चीजें जैसे-जैसे अपने में घूमती रहेंगी उससे हमारे को ये सारी वैल्यूज एक ही झटके में मिल जाएंगी ये टेबल जो तुम मैनुअली बना रहे हो ये काम अपने हो जाएगा राइट लेकिन इसमें घपला है बताओ क्या अरे ये जो दोनों ऑब्जेक्ट्स है ये जो दोनों स्टिक्स हैं स्टिक्स ये तो बिल्कुल सेम ही है ना इनमें थोड़ी ना कोई चीज है कि यार ये वाली स्टिक यहां पर थी स्टिक नंबर टू यहां पे थी है ना अगर मैं स्टिक वन और स्टिक टू कर दूं और फिर बोलू नहीं नहीं नहीं नहीं ये कॉमिनेशन एक ही है यहां पे स्टिक टू है और यहां पे स्टिक वन है अरे उससे कोई मतलब थोड़ना है स्टिक तो एक ही है तो इसलिए दो फैक्टोरियल से डिवाइड करना पड़ेगा तो ये सात चीजें घूम रही है 7 फ्टो डिवाइडेड बाय 2 फटोल ठीक है और फिर ये जो लड्डू है 1 दोती 4 पा इनको भी तो डिवाइड करना पड़ेगा राइट 5 फैक्टोरियल राइट तो अल्टीमेटली तुमने क्या किया तुम्हारे को मैंने क्या क्वेश्चन क्या था प्रॉब्लम क्या थी कि पांच लड्डू हैं है ना पांच लड्डू है और उनको तुम्हें तीन तीन बैग्स में डिवाइड करना है ठीक है तो कितने तरीकों से कर सकते हो कितने तरीके से पांच बिल्कुल एकदम सेम दिखने वाले लड्डुओं को तुम तीन बैगों में डाल सकते हो ये क्वेश्चन है ठीक है तो एक तरीका क्या है आ जाओ भैया बना लेते हैं बैग वन बैग टू बैग थ्री हां भाई तो पहले जीरो डाल दे इसमें जीरो डाल दे और इसमें पांचों के पांच डाल दे या फिर क्या कर अ ब इसको हम बहुत तरीको से कर सकते हैं इसको एक्चुअली नॉन डिक्रीजिंग तरीके से भी करा जा सकता है इसको भी करने का तरीका होता है टेबल बनाने का भी पूरा तरीका होता है नॉन डिक्रीज डिक्रीजिंग उससे चलना होता है 005 कर लिया फिर 01 4 डाल दिया फिर 02 3 डाल दिया ठीक है या फिर 1 3 डाल दिया या फिर ट और टू ये डाल दिया ठीक है तो ऐसे करके आप केसेस बना सकते हो या हमारे आ जाते हैं द बैड एस है ना श्री रामानुजन राइट उन्होंने क्या बोला भाई ये तो हो गया चिल्लू भर तरीका है ना अब आता है मेंट ऑफ जिंदगी मेंट ऑफ जिंदगी क्या है देखो भाई ऐसा है पांच लड्डू है उसमें हमने दो पार्टीशन घु सेर दिए दो पार्टीशन डालते ही क्या होने वाला है दो पार्टीशन डालते ही क्या होने वाला है दो ही क्यों डाले क्योंकि अगर तुम दो डालोगे तो तीन अपने आप हि हिस्से हो जाएंगे अगर मान लो मुझे पांच बैग्स में करना होता तो मैं चार पार्टीशन डालता समझ रहे हो समझ रहे हो बात को तो क्या करोगे तो हमने क्या करा हमने पांच में दो पार्टीशन डाल दिए तो टोटल कितने हो गए टोटल सेवन हो गए है ना ध्यान से देखना हमें पांच लड्डू दे रखे थे उसमें मैंने कितने पार्टीशन डाले कोई क हमने दो पार्टीशन डाले दो पार्टीशन क्यों डाले क्योंकि जितने बैग्स हैं उससे एक कम डालोगे ना उससे एक कम डालोगे ठीक है समझ रहे बात को तो इससे क्या निकल के आया इससे आया सेवन ठीक है तो सेवन तो हमारे टोटल हो गए इससे आंसर क्या निकल के आया 7 फैक्टोरियल अब इसमें वो दोनों चीजों में रिपीटेशन है सॉरी अलाइक ऑब्जेक्ट्स हैं तो दो तो तुमने क्यों हटाए दो तुमने क्यों हटाया बिकॉज़ ऑफ अ स्टिक्स की वजह से एंड फिर 5 फैक्टोरियल क्योंकि लड्डू सेम है राइट अब इसको ध्यान से देखो इसको ध्यान से देखो ये क्या बन गया ये बन गया 7c 2 अरे ये क्या बन गया मेरे भाई ये बन गया 7c 2 राइट तो अगर मैं इसको जनरलाइज कर दूं क्योंकि उन्होंने किया उन्होंने बोला कि एसी सॉरी एसीआर नहीं अगर n अलाइक ऑब्जेक्ट्स हैं n बिल्कुल अलाइक ऑब्जेक्ट्स हैं ठीक है अलाइक ऑब्जेक्ट्स ठीक है और उनको मुझे r ग्रुप्स में r ग्रुप्स में डिवाइड करना है ठीक है मतलब आर बैग्स में डालना है ठीक है ना तो हम कैसे कर सकते हैं हम पहले क्या करेंगे उस n ऑब्जेक्ट जितने भी n ऑब्जेक्ट्स हैं जैसे कि मान लो पांच लड्डू रखू है तो पांच लड्डुओं में मैं पहले दो पार्टीशन ुसेड दूंगा राइट तो दो पार्टीशन नहीं खु सेडना यहां पे कितने डालोगे जितने भी ग्रुप होंगे उससे एक कम ठीक है जैसे कि हम ऐसे बॉक्स बनाते हैं मैं बोलता हूं इसको तीन में डिवाइड कर दे तो तू दो डंडे बनाता है वो तीन अपने आप डिवाइड हो जाता है ठीक अगर मैं बोलता हूं इसको पांच में डिवाइड कर दे तो कैसे करेगा चार चार डंडे बना दे बस एक दो तीन और चार अब तुम देखो 1 2 3 4 5 अपने आप पांच में डिवाइड हो जाएगा राइट तो तुम हमेशा अगर तुम्हें r में डिवाइड करना है तो तुम r -1 बनाते हो पार्टीशंस ठीक है तो वही लॉजिक रामानुजन जी ने यूज किया तो n + r -1 राइट तो ये जो आ गया क्या हो गया ये n + r - 1 इट इज जस्ट लाइक ऊपर लिख देता हूं हूं 5 + 3 - 1 = 7 राइट अब क्या आंसर आएगा n + r - 1 का फैक्टोरियल यहां लिख देते हैं 7 फ्टो इसमें जो नंबर ऑफ पार्टीशंस थे जो जो कि थे 2 फैक्टोरियल तो नंबर ऑफ पार्टीशंस कितने हैं r - 1 फ्टो गेम समझ में आ रहा है फिर अ जो इनिशियल नंबर ऑफ अलाइक ऑब्जेक्ट्स कितने थे पांच थे तो 5 फैक्टोरियल यहां पे क्या आएंगे n आएंगे n फटोल तो ये क्या बन गया ये बन गया 7c 2 और ये क्या बन गया ये बन गया n + r - 1c -1 एंड दिस इज द फार्मूला ऑफ पार्टीशन ठीक है अगर आपने मूवी देखी हो द मैन हु न्यू इंफिनिटी उसमें उनका बड़ा गजब का प्रॉब्लम होता है कि अगर कोई भी एक नेचुरल नंबर है मान लेते हैं 13 तो उसको तुम कैसे डिवाइड कर सकते हो ये यही क्वेश्चन है ये जो ऊपर लिखा हुआ है ये यही क्वेश्चन है ठीक है ना कि अगर आपको ऐसे करना है तो आप कर सकते हो कि 13 को अगर मुझे डिवाइड करना है तो मैं कितने तरीको से 13 को डिवाइड कर सकता हूं दैट इज इवन मोर एडवांस लेवल क्वेश्चन ठीक है तो अभी उसको रहने देते हैं अभी उसको छोड़ते हैं ठीक है कभी जब वीडियो बनाएंगे तो देखेंगे जब पूरा फुल फ्लेड कोर्स बनेगा पीएनसी का है ना उस लेवल पे तो बनाऊंगा मैं खैर तो इसी चीज को फिर जब ये कोटा बोटा में पहुंचा तो इसको बोल दिया बैगर्स मेथड ठीक है बहुत लोगों ने इसके अलग-अलग नाम रखे हैं बट मैंने जो आपको बताया दैट इज लाइक द प्यूरे वे जिसको जिस तरीके से इसको बनाया गया था दैट वाज पार्टीशन ठीक है क्योंकि और कॉमन सेंस भी है पार्टीशन ही बोलोगे इसको राइट तो इसी को बैगर्स मेथड भी बोला जाता है बैगर्स मेथड क्यों बोला जाता है क्योंकि वो उन्होंने एक एग्जांपल ले लिया कि अगर सिक्कों को ले लोगे ठीक है अगर बहुत सारे सिक्के हैं तो एकदम सेम दिखने वाले सिक्के हैं राइट तो अगर तुम्हें कुछ बैगर्स को बांटना है उसको तो उन्होंने बोला कि आप इसके अंदर कुछ अलग अ फेक सिक्को मैंने छोड़ो यार ये इस तरीके से नहीं समझाते ठीक है आई गेस हमारा वाला तरीका आपको समझ में आ गया होगा आई गेस ठीक है तो अगर मैं तो मैं सिंपल सी बात बोलूं कि भाई 25 अलाइक ऑब्जेक्ट्स हैं बिल्कुल सेम दिखने वाले ऑब्जेक्ट्स हैं ये चलो 25 कॉइंस है बिल्कुल सेम दिखने वाले कॉइंस है और इनको तुम्हें सेवन लोगों में डिस्ट्रीब्यूटर है ठीक है सेवन लोगों में डिस्ट्रीब्यूटर है सेवन पीपल ठीक है तो कितने तरीकों से कर सकते हो कितने तरीकों से कर सकते हो तो देखो सबसे पहले तो मुझे 25 कॉइंस को सेन ग्रुप्स में डिवाइड करना पड़ेगा है ना ठीक है सेवन ग्रुप्स में डिवाइड करना पड़ेगा और फिर इसको मुझे सेवन लोगों में डिस्ट्रीब्यूटर पड़ेगा राइट तो अब जब मैं 25 कॉइंस को सेवन लोगों में अ सेवन ग्रुप्स में डिवाइड करूंगा उसका आप सीधे फॉर्मूले से कर सकते हो वरना आप दिमाग लगा के भी कर सकते हो कि भाई 25 है है ना तो इसमें मुझे छह पार्टीशन डालने पड़ेंगे 7 -1 छह पार्टीशन डालने पड़ेंगे तो टोटल 31 ऑब्जेक्ट्स हो गए तो 31 फैक्टोरियल ठीक है डिवाइडेड बाय अ 6 फ्टो और फिर 25 फ्टो दिस इज द नंबर ऑफ टोटल अ जो आपके सेवन बन गए और इसको आपको 7 फैक्टोरियल सात लोगों में डिवाइड कर दिया ने डिस्ट्रीब्यूटर दिया या फिर फर्मूला रट लो क्या कि 25 प् 7-1 c 7-1 दिस इज द नंबर ऑफ वेज इनटू 7 फ्ट ठीक है तो ये एक ही चीज है राइट इसी को बैगर्स मेथड बोलते हैं राइट कोई बहुत बड़ी बात बहुत बड़ी तोप नहीं है इसमें कुछ आई होप सो समझ में आ गया होगा ठीक है ऑल राइट बढ़िया मैं फिर से कह रहा हूं इसमें बहुत चीजें समझाने को बहुत सारी चीजें है ठीक है मतलब अगर मैं एंट्री की सीज में जाऊ तो मैं ऐसे कभी इंट्रोड्यूस नहीं करता इसको ठीक है मैं बहुत ही एकदम कहानी की तरह एगजैक्टली कैसे क्याक हुआ था वैसे करता बट आप समझ रहे होंगे इस चीज को कि थोड़ी टाइम की कमी आपके पास भी है हमारे पास भी है तो हमें थोड़ा सा उसके हिसाब से चलना होगा ठीक है अ या राइट इसमें हम बहुत सारे चीजें बना सकते हैं जो कि हम देखेंगे ठीक है हम अगली वीडियो में देखेंगे मतलब जो पीवा क सेशन होगा उसमें हम देखेंगे बट अब इसी से मैं तुम्हें थोड़ा सा अगर मैं तुम्ह यहीं पे इंट्रोडक्शन दे दूं तो मैं तुम्हें दे सकता हूं देखो क्या कैन यू सी इट लाइक दिस कैन यू सी इट लाइक दिस कि अ चलो नीचे वाले से समझाता हूं नीचे वाले से समझाता हूं ध्यान से देखना ठीक है x1 सर ये कहां पहुच ग x1 + x2 + x3 = 17 मान लो तुम्हारे सामने ये लिखा हुआ है ठीक है जहां पे वो बोल रहा है कि x1 x2 और x3 ये सब नेचुरल नंबर्स की तरह आने चाहिए ठीक है सब नेचुरल नंबर्स है तो बताओ इसके क्या-क्या सॉल्यूशन हो सकते हैं देखो एक सिंपल सा एग्जांपल देता हूं समझाने के लिए कि बोलना क्या चाह रहा है x1 x2 x3 को सम करोगे तो 17 आएगा मतलब जैसे अ मान ले x1 सब अच्छा इन्होंने नेचुरल नंबर बोल दिया है तो आपको वन लेना पड़ेगा कि भाई 1 + 1 ठीक है प्लस अ 15 तो से 17 आ जाएगा अगर तुम 0 + 17 + 0 कर लेते तो भी 17 आ जाता सही करर तो सर ये तो क्या मतलब हुआ इसका आप यही तो बोल रहे हो ना कि 17 अगर मेरे पास लड्डू हैं उनको मुझे तीन थलो में डिवाइड करना है यही तो बोल रहे हो मैंने कहा हां यही बोल रहा हूं यही बोल रहा हूं एगजैक्टली तो कितने लोग समझ गए अच्छा इसमें अगर अभी हम क्वेश्चन को आसान कर ले थोड़ा सा तो बेसिकली होल नंबर हो सकता है कोई दिक्कत नहीं है ठीक हो नंबर हो सकता है जीरो भी अलाउड है तो अगर 17 को मुझे तीन में डिवाइड करना है तो तीन थलो में डिवाइड करना है है ना एक को x1 बोल दो एक को x2 एक को x3 राइट तो कितने नंबर ऑफ सॉल्यूशन इसके हो सकते हैं कितने लोग समझ गए 17 प् 2 सी2 दैट इज द आंसर 19 स2 दैट इज द आंसर खतम बात क्योंकि बैगर्स मेथड ही तो है ना ये भाई ये जो पार्टीशन पार्टीशन ही तो लगा रहे हो कि अगर 17 लड्डू है मेरे पास 17 ऑब्जेक्ट है उनके बीच में मैंने दो पार्टीशन कोसेट दिए दो पार्टीशन डाल दिए उसम तो टोटल 19 ऑब्जेक्ट्स बन गए है ना तो 19 और c2 ट्स इट इतने नंबर ऑफ सॉल्यूशन होंगे इसके कैसे कैसे देखो 11 हो गया 0 17 0 हो गया ठीक है 2 प् 1 प् 14 ये हो जाएगा और भी ऐसे करोगे तो 19 c2 टोटल सॉल्यूशन आएंगे इसके ठीक है अब इसमें भी बहुत वेरिएशन लगाई जा सकती है कि x1 है ना ज यही ना कि x1 x2 x3 जो है ये नेचुरल नंबर होना चाहिए नेचुरल नंबर होना चाहिए भैया तो इसमें हम गेम खेल सकते हैं ठीक है अभी मैं ये जब क्वेश्चन करेंगे तो हम समझेंगे इस चीज को अभी यही शायद जेई मेंस में भी क्वेश्चन आया हुआ है इसका कि x1 + x2 प् x3 = 15 तो सॉल्व करो तो बस य एकदम सीधे आप आंसर निकाल सकते हो ठीक है तो बहुत बेसिक सी चीज है हम जब क्वेश्चन करेंगे तो आपको और अच्छे से समझ में आएगा कि क्या है ठीक है आई गेस मोटा मोटा आपको आईडिया मिल रहा होगा इंट्रोडक्शन मिल रहा होगा फील मिल रहा होगा अब एक और बड़ा इंटरेस्टिंग प्रॉब्लम ठीक है जो कि फिर से उठा था आपका कुछ लेट 1800 या 1900 में वो फालतू की देखो फालतू की मैथमेटिशियंस की मस्ती चल रही है उस मस्ती में बेचारे ये जेई मेंस के क्वेश्चन जेई एडवांस के क्वेश्चन बन जाते हैं ठीक है उनकी मस्ती में ठीक है और तुम यहां पिस्ते रहते हो क्योंकि तुम उस मस्ती का पार्ट नहीं बनते तुम क्या करते हो तुम उस मस्ती के बाहर र के तुम सोचते हो ये जो ऊंची ऊंची बातें चल रही है इसको लिख लेता हूं कहीं पे तो तुम मर जाते हो फिर इस चक्कर में मस्ती का पार्ट बनो तुम खुद मस्त हो जाओगे तो एक क्या मजेदार चीज थी वो क्या था वो ऐसा था कि एक एनवेलप है ठीक है ध्यान से समझना ये बहुत ही अलग सी चीज है ठीक है क्या कि मान ले मेरे पास दो लेटर है ठीक है ये बहुत ही फेमस एग्जांपल है क्योंकि यहीं से शुरू हुआ था दो लेटर है ठीक है लेटर नंबर वन लेटर नंबर टू और मे दो एनवेलप है एनवेलप नंबर वन एनवेलप नंबर टू ठीक है तो आईडियली तो l1 और e1 मैंने क्यों लिखा है क्योंकि देखो ऐसे बात है कि ये जो लेटर है ये मैंने किसके लिए लिखा था ये मैंने मान लो किसी लिए लिखा होगा मान लो मैंने घनश्याम के लिए लिखा था ये तो घनश्याम के लिए जो एनवलप है वो यही वाला है क्योंकि ये वाला जो एनवलप है ये घनश्याम के घर पे जाएगा और ये वाला जो एड्रेस है ये राम के घर पे जाएगा और राम के लिए मैंने ये वाला लेटर लिखा हुआ है तो आईडियली l2 को e2 के अंदर जाना चाहिए था और l1 को e1 के अंदर जाना चाहिए था बट हमें थोड़े शातिर लोग हैं ना हम थोड़े अ क्या कहते हैं शरारती लोग हैं हम बोल रहे हैं कि एक ऐसा केस बताओ जहां पर ये दोनों लेटर गलत जगह पहुंच जाए यानी l1 तो पहुंच गया e2 में ठीक है और l2 पहुंच गया e1 में ठीक है राम का घनश्याम के पास पहुंच गया और उसका उसके पास पहुंच गया तो ये टोटल कितने तरीके से हो सकता है भाई एक ही तरीके से हो सकता है ना एक ही तरीके से हो सकता है कि l1 तो e2 के पास चला गया और l2 जो है वो e1 के पास चला गया खत्म बात ठीक है तो ये जो अरेंजमेंट तुमने किया ये गलत हो गया ठीक है ऐसा अरेंजमेंट नहीं करना था ठीक है तो इसीलिए इसका नाम पड़ गया डी अरेंजमेंट ठीक है क्योंकि तुमने गलत तरीके से अरेंज कर दिया डी अरेंजमेंट ठीक बढ़िया अब तू सोच के देख अगर मैं दे दू को तीन लेटर l1 l2 l3 और दे देता हूं e1 e2 और e3 ठीक है तो आप कैसे करोगे अब सोच के देखो या तो l1 जो है वो e2 प चला जाए e1 में तो जाना नहीं है l2 को या फिर l1 जो है वो e3 में चला जाए दोनों केस में ही काम चल जाएगा या फिर l2 ऐसे चले जाए तो इसमें तो आपको बहुत सारे केसेस बनाने पड़ेंगे है ना तो क्या कर सकते हो या तो l1 e2 में चला जाए और l2 e3 में चला जाए है ना तो l1 तो चला गया e2 में है ना और l2 चला गया e3 में ठीक है और l3 चला गया e1 में राइट या फिर क्या कर सकते हो कि l1 चला जाए e3 में तो ऐसे तो आपको गिनना पड़ेगा ये तो आपको गिनना पड़ेगा ऐसे अगर आप करने बैठोगे तो ये मैथमेटिशियन के अंदर एक आग लग गई कि अगर हमें ये निकालना हो तो ये कैसे निकाला जाएगा लाइक व्हाट इज द वे टू फाइंड दिस कि अगर मैं कल को बोल दूं तुम्हारे सामने कि मान ले 10 लेटर हैं l1 l2 और ऐसे करते करते l10 10 लेटर्स हैं और 10 एनल e1 e2 और ऐसे करते करते 10 एनवेलप्स है ठीक है अब मुझे डालने तो है बट गलत डालने हैं गलत डालने हैं तो कैसे कैलकुलेट होगा ये सोचो सोचो सोचो सोचो सोचो वैसे तो ये चीज इसका एक सीधे-सीधे फार्मूला होता है ठीक है कि d10 जो है वो इसको d10 बोल देते हैं कि अगर 10 चीजों में करना है अगर d1 करना है मतलब फर्मूला टाइप होता है ठीक है तो मैं सोच रहा हूं कि मैं आपको फम समझाऊ या अभी बता दे रहा हू टाइम की कमी है तो आ ू थ न दिस इसको रहने ही देते हैं ठीक है सो बेसिकली क्या होता है अगर आपको ए निकालना है का मतलब क्या होता है ए लेटर्स को ए पर डालना तो है बट गलत गलत डालना है ठीक है तो य कितने तरीको से किया जा सकता है तो इसका सीधा फर्मूला होता है ठीक है वोय होता है एट डिवाइड बा मुझे पता कितना बुरा लग र करते हु पहले तो रहने देते हैं रह देते जैसे d4 है तो वो हो जाएगा 4 फटोल ठीक है और 1 माइव अपन 1 प्स माइव प्स ये हो जाएगा 2 फ्टो ये हो जाएगा 3 फटोल ये हो जाएगा 4 फटो यही प रोक देंगे इसको ठीक है य रोक देंगे इसको ट्स इट ठीक है कोई सर ये कैसे आ रहा है तो अब आ ही रहा है क्या कर सकते हैं सो 1 अपव फ्टो फिर माइनस में 1 अप 2 फट फिर प्लस में 1 अप 3 फट फिर माइनस में 1 अप 4 फटो फिर माइनस ऐसे करते करते न अपन में n आपको करना पड़ेगा अब यहां पर न के आगे क्या आएगा तो वो डिपेंड करता है कि क्या होगा सो माइव की पावर ए पर डिपेंड करेगा वसने कुछ गलत कर दिया फमले में मिन मिनट इसको कर लेता हं एक मिनट व एक छोटी सी हो गई थी प्लस माइनस की व सोच रहा था क्या कर दिया मिनट य हो जाएगा माइनस 1 फटो प् माइनस प्लस ठीक है एंड सो ऑन तो यहां पर भी यही चीज हो जाएगी ठीक है तो अब आप समझ ही गए होगे देखो एक मिनट तो यहां हो जाएगा 1 माइनस प्लस माइनस प्लस ठीक है तो जैसे अगर मा मुझे बोलना है कि सेवन लेटर्स हैं और सेवन लेटर्स को सेवन एनवलप में पहुंचाना तो है बट गलत जगह से पहुंचाना है ठीक है गलत तरीके से पहुचने चाहिए वो तो d7 क्या होगा d7 हो जाएगा 7 फटो 1 - 1/1 फटो + 1/2 फटो - 1 / 3 फ्ट फिर 1/4 फटो - 1 अप 5 फटो 1/6 फट माइन 1 / 7 फट दैट इट ठीक है अब ये कैसे हो रहा है क्या हो रहा है अ इसके लिए आपको प्रिंसिपल ऑफ इंक्लूजन एंड एक्सक्लूजन प्रिंसिपल पे जाना पड़ेगा उसमें हम जा नहीं सकते वो बहुत डिटेल टॉपिक हो जाएगा ठीक है अगर आपको छोटा सा आईडिया चाहिए तो आप ऐसे देख सकते हो कि अ कि अगर ए बी सीडी ठीक है ये चार चीजें हैं और ये चार जगहों पे बैठी हुई है ठीक है ये अपने ए बी सीडी एकदम ऐसे ही अरेंज कर हुए बैठे हुए हैं ठीक है तो अगर मैं इनको रिअरेंज कर देता हूं तो क्या-क्या हो सकता है ऐसे बन जाएगा बी ए सीडी या फिर a सीडी बी है ना ऐसे कुछ बन जाएगा राइट तो वैसे तो 4 फैक्टोरियल तरीके से होता है का लेकिन अगर मैं बोलूं कि भाई ऐसे अरेंज कर कि a जो है वो वैसे ही बैठा रहा है जैसे वो बैठा हुआ है तो a तो ऐसे ही बैठा हुआ है अब बाकी के जो तीन प्लेसेस हैं उसमें ये तीन घूमते रहे जैसे घूमने बट a ने अपनी पोजीशन रिटेन कर ली बिल्कुल ऐसे ही जैसे उसको रहना चाहिए वैसे ही रह गया वो तो ये जो b सीडी है ये तो तीन फैक्टोरियल तरीके से घूम जाएंगे तो अगर a को अपनी पोजीशन रिटेन करनी है जिस पोजीशन पे वो बैठा हुआ है उसी पे बैठा रहेगा तो ये तीन फैक्टोरियल तरीकों से हो सकता है होता है ठीक है अगर मैं बोलूं कि या तो a अपनी पोजीशन ये तो पहला केस हो गया चलो ठीक है अगर मैं बोलूं या तो a अपनी पोजीशन रिटेन कर ले या फिर बी अपनी पोजीशन रिटेन कर ले या तो ए या तो बी तो उस सिचुएशन में क्या कर सकते हो भाई देखो अगर a अपनी पोजीशन प बैठा रहेगा तो b सीडी अपने आप में तीन फैक्टोरियल तरीके से घूम सकते हैं ठीक है ठीक है या या अगर b अपनी b अगर अपनी जगह प बैठा रहेगा तो फिर ए सीडी अपने आप में घूम सकते हैं तो वो भी तीन फैक्टोरियल तरीके से हो सकता है लेकिन जब आपने बोला a और b तो इस सिचुएशन में तो a और b अगर दोनों ही अपनी-अपनी जगह पे बैठ गए तो ये वाला केस इसमें माइनस करना पड़ेगा ना क्योंकि ये सिचुएशन तो इसमें इवॉल्व हो गई भाई जब तुमने बोला 3 फैक्टोरियल + 3 फैक्टोरियल तो इस सिचुएशन में तुमने क्या बोला कि अगर a अपनी जगह प बैठा हुआ है तो b सडी अलग-अलग घूम सकता है राइट कि भाई c बीडी या बडी स है ना इस तरीके से घूम सकता है वो अपने आप में तीन फैक्टोरियल तरीकों से तुमने बोला अगर b यहां पे फिक्स कर दिया तो अब ए स ए सडी ये अपने आप में अ घूम सकता है d स ए इस टाइप से बट ऐसे केसेस तो होंगे ना देखो जैसे ये वाला केस हो गया कि ए यहीं पे बैठ गया और यहां पर भी ए आ जाएगा कभी ना कभी तो अगर ए यहीं पे फिक्स हो गया तो ये वाले केसेस तो इसमें काउंट हो गए ठीक है तो हमें और इसमें दोदो बार काउंट हो गए इसमें भी काउंट हो गए और इसमें भी काउंट हो गए ए वाले केसेस तो हमें ए वाले केसेस को हटाना पड़ेगा जहां पे ये दोनों फिक्स हो गए अगर दोनों फिक्स हो गए तो अब बस दो मूव करेंगे तो हमें दो फैक्टोरियल माइनस करना पड़ेगा इसमें से ठीक है समझ रहे हो बात को ठीक है तो ये थोड़ा कॉम्प्लिकेटेड हो हो जाएगा रहने देते हैं इसको ठीक है तो ऐसे ही आप केसेस बना सकते हो और आखिरी में आप ये बोलोगे कि ऐसा कौन सा केस होगा जहां पे ए बी सीडी चारों ही अपनी जगह पे नहीं बैठेंगे ठीक है देखो अगर आप बोलते हो 4 फैक्टोरियल अगर आप बोलते हो 4 फैक्टोरियल होगा आंसर तो 4 फैक्टोरियल तो वो वाले केसेस हो गए जिसमें सब इवॉल्व हो गए इसमें तो वो हो गए ना जिसमें ए बी सीडी जो है वो सब के सब अपनी सही जगह प बैठे हुए हैं बिल्कुल सही जगह पे बैठे हुए हैं वो वाले केसेस भी होंगे कोई एक आद सही जगह पे बैठ गया बाकी सब गलत जगह प बैठ गए वो भी होगा ठीक है और आखिरी में जाते-जाते एक केस वो भी होगा जिसमें कोई भी अपनी सही जगह पे नहीं बैठेगा यानी अगर ए बी सीडी है तो c इधर आ गया फिर इधर आ गया a ठीक है फिर इधर आ गया d और इधर आ गया b अब c ए db8 अरेंजमेंट है जो कि इसका बिल्कुल गलत है है ना तो इसी को आप बोलोगे डी अरेंजमेंट ऑफ़ ए बी सडी ठीक है अगर मैं एक दूसरा बना दूं मान लो अ d ए ब ये भी एक दूसरा डी अरेंजमेंट हो गया इसका क्योंकि कोई भी बंदा अपनी पोजीशन पे नहीं है कोई भी लेटर अपने बॉक्स में नहीं है वही वाली चीज़ है ठीक है तो जब आप 4 फैक्टोरियल बोलते हो तो उसमें तो सारे के सारे आ गए ना उसमें तो सारे के सारे आ गए तो इसलिए आपको 4 फैक्टोरियल में से ये सब के सब माइनस करने पड़ेंगे और वही चीज कहीं ना कहीं आपको यहां देखने को मिल रही है कि 7 जैसे 4 फटल होता तो देखो यहां पे अगर आप मल्टीप्ला करोगे तो क्या बन जाएगा 7 फ्टो - 7 फ्टो डिवाइड बा 1 फ्टो फिर प्लस में 7 फ्ट डिवा बा 2 फट ठीक है माइनस में 7 बा 3 तो ये पूरी चीज आपको बेसिकली आप इसमें से माइनस कर रहे हो तो ये जो माइनस कर रहे हो ना मैं बस आपको एक मोटी मोटी फील देने की कोशिश कर रहा हूं कि आपको ये पूरी चीज जो है वो इसमें से माइनस करनी पड़ती है तो आपको ये आखिरी वाला बंदा मिलता है जो आपको चाहिए ठीक है तो ये चीज निकल के आती है और ये प्लस माइनस क्यों आ रहा है रहने देते हैं रहने देते हैं ठीक है सो दैट इज इट दैट्ची में और बानो मियल थ्योरम में वो सब हमारे हो चुके हैं अब जो बचता है वो ये कि हम कैसे इस जो हमने पढ़ा यहां पे इसको हम अप्लाई करेंगे प्रॉब्लम्स में ठीक है कैसे केसेस बनेंगे स्ट्रिंग मेथड गैप मेथड ऐसे के बहुत सारे मेथड्स हैं जो ओवर द पीरियड ऑफ टाइम लोगों ने बनाए हैं तो वो हम देखेंगे ये सेशन काफी छोटा था वैसे थोरेट्स पास रहे हैं ठीक है ये वाला अराउंड 3 घंटे 45 मिनट के आसपास आई गेस रहा होगा 3 घंटे 40 ऐसा कुछ अराउंड ठीक है तो उसका रीजन यही है कि एक तो ये सेशन कुछ लोगों को हल्का लग रहा होगा कुछ लोगों को ये सेशन बहुत हैवी लग रहा होगा ठीक है ऐसा मुझे लग रहा है क्योंकि पीएनसी जो होता है वो बहुत हैवी टॉपिक होता है ठीक है एक तो ये रीजन है इसका ऐसा क्यों है और दूसरा जो इसका बहुत बड़ा रीजन है वो मेरा ही रीजन है वो मेरी प्रॉब्लम है मेरी घ मेरी गलत बात है उसका रीजन क्या है कि मेरे को सर्वाइकल हो गया बहुत भयंकर वाला ठीक है तो मैं अभी आपके सामने हंस रहा हूं क्योंकि जब भी मैं इमर्जन में होता हूं ठीक है जब मैं इसमें होता हूं तो मैं जॉय में होता हूं ठीक है लेकिन इसके बंद करने के बाद ही मेरी हालत बहुत खस्ता होने वाली है ठीक है मेरी बिल्कुल बहुत दर्द है सिर घूम रहा है मेरा ठीक है तो आई एम रियली सॉरी कि इस सेशन को हम ज्यादा लंबा नहीं कर पाए ठीक है वरना हम इसमें और भी कुछ चीजें इंट्रोड्यूस कर सकते थे पर अब वो हम फिर प्रॉब्लम प्रॉब्लम सॉल्विंग वाले सेशन में डाल दूंगा मैं ठीक है क अभी काफी दर्द है मेरे तो इस वजह से नहीं हो पाएगा ठीक है बाकी थ्योर मैं कसम से बता रहा हूं मैंने सारे टॉपिक कवर करा दिए इसमें ठीक है बाकी अब हम प्रॉब्लम्स के हिसाब से देखेंगे क्योंकि कल को अगर मैं पीएनसी की बात करूं तो इसमें तो तुम साढ़े घंटे छोड़ दो मैं तो 1015 घंटे इसमें सिर्फ बोल ही सकता हूं इतना इंटरेस्टिंग टॉपिक है ये ठीक है तो हमें अपने आप को रिस्ट्रिक्टर पड़ेगा ना कि भाई हम ले दे करके अभी हम जेई मेंस की तैयारी कर रहे हैं जो कि होने वाला है 2024 में ठीक है ना तो और वो बिल्कुल आ गया बिल्कुल पास में तो एडवांस के टाइम प मे बी हम लोग एक और सेशन निकाल सकते हैं जहां प हम थोड़ा और इसको एडवांस बूस्टर कर सकते हैं ओबवियसली बट अभी तो मेंस है तो उसके हिसाब से चलना होगा क्योंकि उसमें ये सारे टॉपिक बहुत कम आते हैं जैसे अगर मैं थोड़ी सी वेटेज बताऊ आपको तो जो मैक्सिमम उसमें आता है जो मैक्सिमम पोर्शन है अराउंड अभी मैंने देखे थे तो अराउंड 155 क्वेश्चंस हमें देखने को मिल रहे हैं उसमें ठीक है पीएनसी में बट उस उसमें बहुत सारे क्वेश्चन इ लेवेंट भी होंगे तो उसमें अगर आप देखोगे तो अ बस तीन क्वेश्चन जो हैं वो डिवाइड एंड डिस्ट्रीब्यूटर टॉपिक से हैं ठीक है सिर्फ एक क्वेश्चन जो है वो डी अरेंजमेंट से है ठीक है और अराउंड दो क्वेश्चन जो है वो सर्कुलर परम्यूटेशन में से हैं तो ये टॉपिक बिलकुल ही कुछ नहीं आ रहा है जो मेन टॉपिक उसमें से आ रहा है वो यही है जिसको आप जो आपको काफी अच्छे से समझ में आ गया है एसी * r फैक्टोरियल दैट इज द थिंग व्हिच दे आर आस्किंग द मोस्ट ठीक है एंड यही है जो सबसे इंटरेस्टिंग भी है सबसे इंटरेस्टिंग भी यही है ओबवियसली ये भी बहुत इंटरेस्टिंग टॉपिक्स थे बट लाइक इसमें भी बहुत मजा आता है ठीक है तो ये है जहां से मैक्सिमम चीजें आने वाली हैं ठीक है और इस पे हमने पीएचडी करी है आज के सेशन में और हम अगले सेशन में तो और बिल्कुल धूम मचा देंगे इसमें ठीक है ऑल द प्रॉब्लम्स ऑल द टाइप ऑफ प्रॉब्लम्स हम देखेंगे बहुत अच्छा लगेगा ठीक है तो इसी के साथ अ अब मिलते हैं आपसे अगले सेशन में दैट इज द पीएनसी का पी वाई क सेशन ठीक है तो पीएनसी के पीवा क सेशन में मिलेंगे ठीक है फिर बायनम थ्योरम का सेशन होगा ठीक है और एक मुझे अलग से सेशन करना ही पड़ेगा मैंने देख र देख रहा हूं जैसे-जैसे मैं मुझे दिख रहा है नंबर थ्योरी का मुझे एक सेशन इसमें करना पड़ेगा ठीक है क्योंकि नंबर थ्योरी के बहुत सारे क्वेश्चन है जो कि इन 155 क्वेश्चन में मिक्स हो गए हैं और वो हार्डकोर नंबर थ्योरी है बिल्कुल हार्डकोर नंबर थ्योरी है वो पता नहीं कैसे जेई मेंस आजकल पूछने लग ग नंबर थ्योरी मतलब बामल थ्योरम से मिलकर के कुछ क्वेन बनते थे ब कुछ क्वेश्चन तो बिल्कुल इंडिपेंडेंट है ठीक है तो वो नंबर थ्योरी का एक सेशन मुझे लेना ही पड़ेगा ठीक है जो मैं सोच रहा था कि चलो रहने देते हैं अभी इतना इंपोर्टेंट टॉपिक नहीं होगा बट निकल के आ रहा है तो या तो हम ये कर सकते हैं कि हम एक छोटा सा टॉपिक और पकड़ लेंगे साथ में सेट थ्योरी ठीक है और उसके साथ नंबर थ्योरी पकड़ लेंगे क्या तो ये किया जा सकता है क्योंकि अगर मैंने सेट थ्योरी पढ़ाया तो उसमें मैं तुम्हें एक टॉपिक पढ़ाऊंगा मे बी उसके थ्रू मैं तुम्हें ये एक्सप्लेन कर सकता हूं कि डी अरेंजमेंट कैसे आया ठीक है क्योंकि सेट थ्योरी में हम एक टॉपिक पढ़ेंगे ठीक है जो जिसे आप पॉली एक्सक्लूजन एंड इंक्लूजन प्रिंसिपल बड़े आसानी से एक्सप्लेन हो जाएगा वहां पे मैं कोशिश करूंगा अगर मैं आपको डी अरेंजमेंट का पूरा समझा सकूं क्या है उससे आपकी पीएनसी और अच्छी पहुच जाएगी ठीक है तो हम एक काम कर सकते हैं हम सेट थ्योरी और नंबर थ्योरी का सेशन एक और लगा सकते हैं ठीक है उससे हमारा काम आसान हो जाएगा मतलब थोड़ा और सिस्टेमेयर जो आप देखते हो ना उसमें अराउ आपको दिखेगा अराउंड 70 क्वेश्चन आए हुए हैं सेट थ्योरी से बट वो क्वेश्चन एक्चुअली सेट थ्योरी के है ही नहीं वो क्वेश्चन सब नंबर थ्योरी के हैं ठीक है तो बहुत घपले बाजी चल रही है ठीक है मतलब क्वेश्चन चैप्टर को छुपाने के लिए उन्हीं हेडिंग्स के अंदर डाल दिया जाता है बट हम तो खोद खोद के बाहर निकाल रहे हैं तो हमें पता चल रहा है तो पीएनसी बायनम थ्योरम तो आ ही जाएगा दिसंबर से पहले पूरी कोशिश कर रहा हूं मैं ठीक है बाकी देखते हैं क्या हो सकता है ओके देन मिलते हैं पीएनसी के पी वाईक सेशन के साथ ठीक है बहुत मजा आएगा ल एट देन बाय सर या आत्म पध या विन्न हरि या जसन वि या सकल [संगीत] [प्रशंसा] [संगीत] तारिणी