Overview
Sinteza prezintă formule esențiale de geometrie plane și în spațiu pentru Evaluarea Națională, acoperind arii, perimetre, teoreme și volume ale principalelor figuri geometrice.
Arii și Perimetre Figuri Plane
- Aria triunghiului oarecare: (A = \frac{b \cdot h}{2}), perimetrul: (P = a + b + c)
- Triunghi dreptunghic: (A = \frac{catetă_1 \cdot catetă_2}{2})
- Triunghi echilateral: (A = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}), (P = 3l)
- Pătrat: (A = l^2), (P = 4l), (d = l\sqrt{2})
- Dreptunghi: (A = L \cdot l), (P = 2(L + l))
- Paralelogram: (A = b \cdot h), (P = 2(a + b))
- Romb: (A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}), (P = 4l)
- Trapez: (A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}), (P = B + b + l_1 + l_2)
- Cerc: (L = 2\pi R), (A = \pi R^2)
- Poligon regulat (n laturi): (A = \frac{n \cdot l \cdot a}{2}) unde (a) este apotema
Cerc: Proprietăți și Formule
- Unghi la centru: măsura egală cu arcul subîntins
- Unghi înscris: măsura este jumătate din arcul subîntins
- Lungimea arcului: (L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R)
- Aria sectorului: (A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi R^2)
Asemănarea triunghiurilor și Teoreme
- Teorema lui Thales: segmente proporționale între paralele
- Triunghiuri asemenea: unghiuri egale, laturi proporționale
- Teorema fundamentală a asemănării: raportul ariilor este pătratul raportului laturilor corespondente
Teoreme în triunghiul dreptunghic
- Teorema lui Pitagora: (c^2 = a^2 + b^2)
- Teorema înălțimii: (h^2 = p \cdot q)
- Teorema catetei: (cat^2 = ipotenuză \cdot proiecția catetei)
Funcții trigonometrice uzuale
- (\sin, \cos, \tan, \cot) definite pentru unghiuri uzuale (ex: (\sin 30^\circ = \frac{1}{2}))
- Relații trigonometrice în triunghiul dreptunghic: (\sin\alpha = \frac{cat. op.}{ipot.}), (\cos\alpha = \frac{cat. alăturată}{ipot.})
Linia mijlocie
- În triunghi: paralelă cu baza, lungimea jumătate din baza opusă
- În trapez: paralelă cu bazele, lungimea media aritmetică a celor două baze
Arii și Volume Corpuri Geometrice
- Cub: (A = 6a^2), (V = a^3)
- Paralelipiped dreptunghic: (A = 2(Ll + Lh + lh)), (V = L \cdot l \cdot h)
- Prisma regulată: (A_l = P_b \cdot h), (A_t = A_l + 2A_b), (V = A_b \cdot h)
- Piramidă regulată: (A_l = \frac{P_b \cdot a_p}{2}), (A_t = A_l + A_b), (V = \frac{A_b \cdot h}{3})
- Tetraedru regulat: (A_t = l^2\sqrt{3}), (V = \frac{l^3\sqrt{2}}{12})
- Trunchi piramidă: (A_l = \frac{(P_B + P_b)a_t}{2}), (V = \frac{h}{3}(A_B + A_b + \sqrt{A_B A_b}))
- Cilindru: (A_l = 2\pi R h), (A_t = 2\pi R(R + h)), (V = \pi R^2 h)
- Con: (A_l = \pi R G), (A_t = \pi R(R + G)), (V = \frac{\pi R^2 h}{3})
- Trunchi de con: (A_l = \pi G (R + r)), (V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + r^2 + Rr))
- Sfera: (A = 4\pi R^2), (V = \frac{4}{3} \pi R^3)
Key Terms & Definitions
- Apotemă — distanța de la centru la o latură a poligonului regulat
- Perimetru — suma lungimilor laturilor unei figuri
- Arie — măsura suprafeței unei figuri plane
- Volum — măsura spațiului ocupat de un corp geometric
- Linie mijlocie — segment paralel cu una din baze, cu lungimea mediei lor
Action Items / Next Steps
- Recapitulează formulele și încearcă să le aplici la exerciții de antrenament pentru Evaluarea Națională.
- Consultă sinteza formulelor de algebră pentru recapitulare completă.