Bine ați venit! În clipul de astăzi vom discuta despre proporții. Egalitatea a două rapoarte se numește o proporție.
Nu-i așa că este foarte simplu? Așadar, A supra B egal cu C supra D, această egalitate poartă denumirea de proporție, unde A, B, C și D sunt termenii proporției. A și D se numesc extremi, iar B și C sunt mezi. Care este cea mai importantă proprietate a unei proporții?
Că întotdeauna produsul extremilor este egal cu produsul mezilor. Și credeți-mă că veți folosi acest lucru de nenumărate ori. Haideți să vă mai explic încă o dată.
A or D întotdeauna este egal cu B or C. Voi ați făcut asta și în clasa 5-a când ați învățat fracțiile echivalente. Așadar, nu uitați, înmulțim!
pe diagonală și egalăm. Haideți să mergem acum să verificăm dacă această egalitate este o proporție. Pentru a fi o proporție, 2x18 ar trebui să fie egal cu 5x7 și atunci 2x18 este 36 pe când 5x7 este 35. Așa că egalitatea aceasta nu este o proporție.
Mergem mai departe. Verificați dacă următoarele egalități sunt proporții Pentru a fi o proporție 3x4, 3x8 ar trebui să fie egal cu 6x4 Vă mai explic încă o dată 3 și 8 sunt extremi, apoi 6 și 4 sunt mezi și în orice proporție produsul extremilor este egal cu produsul mezilor E foarte simplu Haideți să vedem, 3 x 8 este 24, 6 x 4 este evident 24, așa că de data aceasta avem o proporție. Mergem mai departe, nu vă speriați, nu este greu, doar trebuie să aducem la o formă mai simplă termenii proporției.
Așa că vă propun să luăm de desubt primul termen, să-l luăm separat să-l calculăm. Avem 4 x 3 x 1 x 2 plus 2 x 3 x 2, 2 x 1 dacă vreți. Și haideți să facem simplificări, 4 cu 2 prin 2 rămânem cu 1 respectiv 2, apoi la al doilea produs nu avem simplificări, așa că vom avea 2 ori 1 este 2, apoi 3 ori 1 este 3, apoi 2 ori 2 este 4 și 3 ori 1 este 3. Și din fericire avem același numitor, asta înseamnă că putem să efectuăm adunarea.
Și vă reamintesc, la adunare și la scădere... E obligatoriu să aveți același numitor și operația se efectuează doar între numărători. Asta înseamnă că rezultatul este 6 pe 3, nu 6 pe 6, cum cred unii elevi. Întotdeauna efectuăm operația doar între numărători la adunare și la scădere, atâta timp cât numitorul este egal.
Și haideți să mergem mai departe. Oare cât este 6 pe 3? Păi linia de fracție înseamnă operația de împărțire, așa că 6 pe 3 este 2. Mergem acum la următorul termen.
2 pe 3 ori 1 pe 2. Putem să simplificăm și observăm că rămânem cu 1 pe 3. Apoi, în partea dreaptă, avem 2 pe 3 plus 4 pe 3, care este 6 pe 3 și obținem 2. Haideți să mergem acum să înlocuim. Și avem 2 supra 1 pe 3 egal cu 2 supra 1 pe 3. Și este evidentă această egalitate. Nici nu m-are sens să mai înmulțim pe diagonală pentru că într-adevăr cele două fracții sunt egale, așa că avem o proporție. Haideți să mergem mai departe să rezolvăm o problemă.
Raportul a două numere a și b este 2 pe 3. Cel mai mare dintre numere este 24. Determinați celălalt număr. Raport ce înseamnă? Înseamnă fracția cu cele două numere. Așa că avem APB egal cu 2 pe 3. și cel mai mare dintre numere este 24. Oare care este cel mai mare?
Dacă ne uităm că avem fracția 2 pe 3, atunci e clar B-ul un număr mai mare pentru că numitorul este mai mare. Așa că B este 24 și trebuie să aflăm cât este A. Haideți să înlocuim și avem A pe 24 egal cu 2 pe 3 și în orice proporție ce facem?
Ce facem când nu știm cum să rezolvăm? în mulțime diagonale. Așa că vom avea a ori 3 egal cu 24 ori 2 Ceea ce înseamnă că a ori 3 este egal cu 48 și atunci îl ducem pe 3 cu împărțire, iar 48 împărțit la 3 este 16. În concluzie, a este 16. Și dacă nu mă credeți, haideți să vedem.
16 pe 24. Putem să simplificăm această fracție prin 8, iar 16 împărțit la 8 este 2 și 24 împărțit la 8 este 3. Observați cum am obținut 2 pe 3 și vedeți cât de simplu este. Încă o dată. În orice proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor sau mai simplu și mai ușor de reținut pentru voi, înmulțim pe diagonală și egalăm. Haideți să vedem la acest exemplu cum facem. X cu cine îl înmulțim?
Păi cu 2, egal cu 5 ori 7. Asta înseamnă că X ori 2 va fi egal cu 35 și îl ducem pe 2 cu împărțire, însă observăm că 35 nu se împarte la 2, așa că X va fi 35. pe 2 sau putem să-l scriem ca un număr cu virgulă. Mergem mai departe, la fel înmulțim pe diagonală. Așa că vom avea x ori 9 egal cu 4 ori 5, ceea ce înseamnă că x ori 9 este 20. Îl ducem pe 9 cu împărțire și obținem că x este 20 pe 9. Nu e așa că e foarte simplu? Haideți să mergem mai departe. Ce facem oare?
Înmulțim pe diagonală. Așa că avem X ori 2. Egal cu 0 perioada 3 ori 0 perioada 2. Nu vă speriați, sunt ușoare aceste transformări. Dacă nu vă descurcați, mergeți pe canal și vedeți clipul în care discut doar despre transformări.
Și avem 0 perioada 3 înseamnă 3 supra 9. De ce supra 9? Pentru că avem o singură cifră în perioadă. Dacă am fi avut, spre exemplu, două cifre în perioadă, atunci numitorul ar fi fost 99. Putem să simplificăm prin 3. iar 3 împărțit la 3 este 1 și 9 împărțit la 3 este 3. Haideți să îl transformăm și pe 0 perioadă 2 și avem 2 pe 9, așa că rămâne 2 pe 9 pentru că alte simplificări nu avem. Și vom avea x-or-2 egal cu, nu avem simplificări și facem înmulțirea dintre numărători, respectiv dintre numitori și obținem 2 pe 27. Îl ducem pe 2 cu împărțire și avem 2 pe 27 împărțit la 2 pe 1. Și sunt convinsă că v-ați dat seama de ceea ce trebuie să facem mai departe. Avem 2 pe 27 ori 1 pe 2. Și ia uitați cum se simplifică 2 cu 2. În concluzie, x este 1 pe 27. Mergem mai departe la următorul exemplu.
Ce facem? Înmulțim pe diagonală. Haideți să vedem. Avem x ori 1 pe 4 egal cu 2. ori 3 pe 2. Vedeți cât de simplu e? Și atunci, x-ul scriem ca x pe 1, pe 2 ca 2 pe 1 și facem înmulțirea, așa că avem x pe 4 egal cu, avem și o simplificare, iar în dreapta observăm că obținem 3 pe 1 și magia, am obținut o altă proporție în care ce facem înmulțim pe diagonală.
Așa că, sau, altfel spus, înmulțim extremii între ei și mezii între ei. Și vom avea x ori 1 Nu? Egal cu 3 ori 4, asta înseamnă că x este 12. Mergem mai departe. Haideți la fel să luăm separat termenii, să facem calculul și apoi ne întoarcem, scriem proporția și raflăm pe x. 1,2 înseamnă 12 pe 10, simplificând prin 2 obținem 6 pe 5. Mai departe, 2,5 minus 1 întreg și 2 pe 3 totul la a doua.
În 2,5 dacă... Îl vom transforma separat, înseamnă 25 pe 10. Simplificând prin 5, obținem 5 pe 2. Apoi, haideți să introducem întregi în fracție. Avem un întreg și 2 pe 3. Și atunci când introducem întregi în fracție, vom avea 1 ori 3 plus 2, totul pe 3. Așa că obținem 5 pe 3, totul la puterea a doua. Haideți, dacă tot sunt aici. Să vă spun o greșeală frecventă.
Unii elevi cred că dacă eu paranteză totul la a doua, atunci ridică fiecare fracție la a doua și au terminat. Este adevărat, haideți să vă dau un simplu exemplu. Dacă am avea 1 plus 2 totul la a doua, dacă ar fi să folosim metoda greșită de care vă spuneam, ar fi 1 la a doua plus 2 la a doua. 1 la a doua știm că este 1, 2 la a doua este 4, așa că am obținut 5. Pe când, dacă am respecta ordinea efectorii operațiilor, 1 plus 2 este 3. iar 3 la a doua este 9, observăm că nu ne dă același lucru. Mare, mare atenție!
Respectăm ordinea efectorii operațiilor și observăm că avem nevoie de același numitor, de aceea vom amplifica pentru a obține numitorul comun 6, așa că pe prima fracție o amplificăm cu 3, iar pe a doua cu 2 și obținem 15 pe 6 minus 10 pe 6, totul la a doua. Și atunci obținem 5 pe 6 totul la a doua și vom ridica atât numitorul cât și numărătorul la puterea a doua și vom obține 25 pe 36. Haideți să rescriem atunci proporția și avem în principal liniile de fracții și avem x supra 6 pe 5 egal cu 25 pe 36 și 5 pe 24. Haideți să vedem ce facem mai departe. Dacă vom respecta proprietatea fundamentală a proporțiilor, vom avea x ori 5 pe 24 egal cu 6 pe 5 ori 25 pe 36. Observăm că putem să simplificăm 6 cu 36 prin 6 și rămânem cu 1 respectiv 6 și 5 cu 25 prin 5 și rămânem cu 1 respectiv 5. asta înseamnă că x ori 5 pe 24 este egal cu 5 pe 6 ducem fracția 5 pe 24 cu operația de împărțire și x va fi 5 pe 6 împărțit la 5 pe 24 așa că avem 5 pe 6 ori 24 pe 5 simplificăm 5 cu 5 24 cu 6 și observăm că x este 4 Acum mi-am dat seama că ar trebui să fac două mențiuni.
Dacă vi se pare că vorbesc prea repede, puteți să micșorați viteza de redarea clipului. Dacă vorbesc prea lent, puteți să măriți viteza de redarea clipului, astfel încât totul să fie foarte bine pentru voi. Și mi-am mai dat seama de o greșeală frecventă pe care o fac elevii și haideți să vă arăt pentru că am întâlnit-o de atâtea ori. Ați văzut că mai sus am făcut simplificări între numărători și numitori. Uneori am mai întâlnit următoarea greșeală, să spunem că avem 5 pe 24 egal cu 10 pe 45. Să vedem dacă avem o proporție.
Și unii elevi au tendința de a face simplificări. Nu există acest lucru. Simplificări facem doar dacă avem înmulțire între ele. Dacă e o egalitate, atunci produsul extremilor este egal cu produsul mezilor, se înmulțesc pe diagonală.
Nu aveți voie să faceți simplificări, acest lucru este greșit. Simplificări facem doar în operația de înmulțire. Mare, mare grijă. Haideți să mergem la un alt exemplu. Avem această proporție unde numărul 4xy este cel mai mare număr divizibil cu 25. Păi când un număr se divide cu 25?
Când ultimile două cifre se divide la 25. Așa că cel mai mare număr de această formă. Care va fi? Păi dacă aș avea 495, nu e corect pentru că 95 nu se divide cu 25. Sunt sigură că ați găsit deja răspunsul și anume 475 pentru că 75 se divide cu 25 și acesta este cel mai mare număr. Așa că vom avea x pe 2 egal cu 475 pe 5 și am obținut o proporție foarte frumoasă de altfel. Avem x ori 5 egal cu 2 ori 475 și atunci ce am putea să facem?
Haideți să împărțim la 5. În stânga rămânem doar cu x, iar în dreapta avem 2 ori și haideți să facem împărțirea. 475 împărțit la 5. 5 în 47 se cuprinde de 9 ori și avem 45. Ne rămâne 2, iar în 25 de 5 ori și am obținut 95. iar x va fi 180 înseamnă 9 ori 20 și atunci 95 ori 2 înseamnă 190. Haideți să mergem la ultimul exercițiu. Nu vă speriați, e simplu chiar dacă avem acea diferență de puteri. E clar că mai întâi trebuie să lucrăm la acea diferență, după care vom merge în proporție. Așa că haideți să-l calculăm pe A și după asta vă mai arăt un truc.
Neapărat un truc cât o greșeală frecventă. M-am exprimați eu greșit. Și cum procedăm oare când avem o astfel de diferență?
Dacă vă amintiți încă din clasa 5-a când ați învățat regulile de calcul cu puteri, avem reguli de calcul pentru înmulțirea puterilor, pentru împărțirea puterilor, cu același exponent sau cu aceeași bază. În niciun caz nu avem reguli pentru scădere sau pentru adunare. Și atunci, ceea ce puteți voi folosi este factorul comun.
Dacă aveți sume de puteri sau diferențe de puteri, dați în factor comun puterea cu exponentul cel mai mic și sigur veți reuși să rezolvați exercițiul. Așa că în cazul nostru îl dăm un factor comun pe 2 la 1988. Pe lângă, factorul comun se scoate prin operația de împărțire și avem 2 la 1990 împărțit la 2 la 1988, iar la împărțirea a două puteri cu aceeași bază scădem exponenția, asta înseamnă că vom avea 2 la puterea a doua, care este 4, apoi din 2 la 1989 Dacă îl scoatem în factor comun pe 2 la 1988, rămânem cu 2 la 1, care înseamnă 2. Iar din 2 la 1988, dacă îl scoatem în factor comun pe 2 la 1988, rămânem evident cu 1, pentru că este împărțirea a 2 termeni la fel. Așa că vom avea 2 la 1988, ori 4 minus 2 este 2, 2 minus 2 este 1, așa că A este 2 la puterea 1988. Și acum ce observăm?
În partea dreaptă avem o putere, dar nu este o putere de 2, e o putere de 4, așa că trebuie să facem o transformare. Fie îl transformăm pe acesta într-o putere de 4, fie îl transformăm pe 4 într-o putere de 2. Cum vă este vouă mai simplu? Cred că mai simplu ar fi să-l luăm pe cel din dreapta. Avem 4 la 993. Pe 4, bineînțeles că îl putem scrie ca 2 la puterea a doua, totul la 993. Și vă reamintesc că dacă avem o putere la o altă putere, e foarte simplu, doar mulțime exponenții.
Așa că vom avea 2 la puterea 2 ori 993 și haideți să vedem ce obținem. 993 ori 2 înseamnă 6, 18, 1 reținem și obținem 2 la 1986. Haideți acum să rescriem această proporție și avem așa 2 la 1988. Supra x egal cu 2 la 1986 supra 0,25. Haideți să-l transformăm. Înseamnă 25 pe 100. Putem să simplificăm prin 25 și obținem 1 pe 4. Și atunci înmulțim pe diagonală. Așa că vom avea x ori 2 la 1986. Nu vă temeți imediat că vom da cea putere.
E foarte simplu. De obicei, dacă un exercițiu pare mai complicat, de fapt, el e simplu. Păi, haideți să împărțim relația.
La cât am putea o împărți oare? De cine scăpăm? Păi, de puterea cea mai mică.
Împărțim la 2 la 1986. Și uitați, am scăpat de acesta și în stânga am rămas doar cu x. Iar în dreapta, 2 la 1988 împărțit la 2 la 1986 va fi 2 la puterea a doua, pentru că scădem exponenții. Și avem 1 pe 4. Iar doilea a doua este 4, pe care îl putem scrie ca 4 pe 1, ori 1 pe 4. Simplificăm și observăm că x este 1. Vedeți cât de simplu a fost?
V-am promis că vă mai dau un exemplu, cu toate că exerciziul trecut trebuia să fie ultimul. Să spunem că avem x plus 1 supra 4 egal cu 2 supra 16. Cum procedăm? Înmulțim pe diagonală, așa cum știți, doar că greșeala frecventă este următoarea.
Dacă înmulțim pe diagonală, avem 16 ori x plus 1 egal cu 4 ori 2, adică 8. Ce e greșit? În momentul în care eu aplic proprietatea fundamentală a proporțiilor, eu trebuie să înmulțesc tot acest termen cu 16. Asta înseamnă că obligatoriu trebuie să folosesc parantezele. Vă rog să nu uitați de aceste paranteze. Așa că vom avea 16, îl ducem pe 16 cu operația de împărțire și atunci, haideți să modificăm puțin, să scriem minus 1 pentru a putea rezolva, pentru că voi încă nu știți numerele negative. Așa că avem x minus 1 egal cu 8, nu se împarte la 16, așa că scriem ca o fracție pe care o simplificăm prin 8 și x minus 1 va fi egal cu 1 pe 2. Îl mutăm pe 1 cu operația de adunare și vom avea 1 plus 1 pe 2, care înseamnă fie 1 întreg și 1 pe 2, fie aducem la același numitor și observăm că obținem 3 pe 2. Vă mai explic încă o dată.
Dacă, spre exemplu, am fi avut 2 supra x plus 5 egal cu 9 supra x plus sau x minus 1. Am ales aceste numere la întâmplare. Eu doar vreau să vă explic ideea. În momentul în care vrem să aplicăm proprietatea fundamentală a proporțiilor și în mulțime diagonală, e foarte important să folosiți parantezele. E 2 ori tot numărul corespunzător, la fel 9 ori tot numărul corespunzător.
Mare atenție la paranteze! Sper că v-a fost util clipul de astăzi și vă doresc mult spor la învățat în continuare!