PLANIMETRIJA - Mnogouglovi

Osnovne karakteristike pravilnih mnogouglova

• Imaju n osa simetrije.
• Ako je broj stranica paran, mnogougao je centralno simetričan.
• Oko pravilnog mnogougla se može opisati kružnica sa centrom u središtu mnogougla.
• Mogu se podeliti na n jednakokrakih trouglova (vrhovi trougla su centar kružnice i dva susedna temena).

Uglovi

• Zbir unutrašnjih uglova: ( S = (n-2) \times 180^\circ )
• Jedan unutrašnji ugao: ( Sn = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} )
• Jedan spoljašnji ugao: ( \frac{360^\circ}{n} )
• Zbir svih spoljašnjih uglova je ( 360^\circ ).

Dijagonale

• Iz svakog temena može se povući ( n-3 ) dijagonale.
• Ukupan broj dijagonala je ( \frac{n(n-3)}{2} ).

Obim i površina

• Obim mnogougla: ( O = n \times a ) (gde je a dužina stranice).
• Površina: ( P = \frac{n \times a \times h}{2} ) (gde je h visina karakterističnog trougla).

Centralni ugao

• Centralni ugao je ( \frac{360^\circ}{n} ).

Primeri zadataka

1) Mnogougao tri puta većeg ugla od spoljašnjeg

• Unutrašnji ugao je tri puta veći od spoljašnjeg: ( n = 8 ) (osmogao).

2) Razlika broja dijagonala i stranica je 25

• Broj stranica je ( n = 10 ) (decaedron).

3) Povećanje broja stranica za 2 smanjuje centralni ugao za ( 6^\circ )

• Broj stranica je ( n = 10 ).

4) Povećanje broja stranica za 5

• Zbir unutrašnjih uglova se povećava za ( 900^\circ ).

5) Povećanje broja stranica za 11 povećava broj dijagonala za 1991

• Zbir unutrašnjih uglova za ovaj slučaj je ( 31500^\circ ).

6) Povećanje broja stranica za 2 povećava unutrašnji ugao za ( 9^\circ )

• Broj stranica je ( n = 8 ) (osmogao).

7) Dijagonale su petostruko u broju od stranica

• Broj stranica: ( n = 13 ).

8) Mnogougao sa 44 dijagonale

• Broj stranica: ( n = 11 ).

9) Osmougao opisan oko kruga poluprečnika ( r = 21 )

• Površina osmougla je izračunata koristeći karakteristični trougao i tangens centralnog ugla.