Limiti Notevoli

Introduzione ai Limiti Notevoli

• I limiti notevoli sono forme indeterminate classiche e ricorrenti.
• Imparare i risultati ci aiuta a risolvere molti altri limiti.

Limiti Notevoli Fondamentali

1. Limite di seno:

   [ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 ]

   • Forma indeterminata 0/0.

2. Limite esponenziale:

   • [ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e ]
   • Forma indeterminata 1^∞.
   • Approssimazione di e: 2,718.

Limiti Conseguenti

• Da questi due limiti fondamentali si possono derivare altri quattro limiti frequenti:
  1. Tangente:
     • [ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 ]
     • Riscrivere ( \tan x ) come ( \frac{\sin x}{\cos x} ).
  2. Coseno:
     • [ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} ]
     • Moltiplicare e dividere per (1 + \cos x).

Applicazione nei Problemi

Esempio 1:

• Calcolo di [ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin x + 4x}{x \cos x + 2\sin x} ]
  • Forma indeterminata 0/0.
  • Raccogliere (x) al numeratore e al denominatore.
  • Risultato finale: 2._

Esempio 2:

• Calcolo di [ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos x} - \cos^2 x}{2x^2} ]
  • Forma indeterminata 0/0.
  • Raccogliere (\cos x) al numeratore.
  • Risultato finale: (\frac{1}{2})._

Altri Limiti Importanti

1. Logaritmo naturale:

   • [ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 ]
   • Cambiare variabile per adattarlo al limite notevole.

2. Espressione esponenziale:

   • [ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 ]
   • Invertire numeratore e denominatore porta al precedente.

Limiti Aggiuntivi

• Da questi limiti si derivano anche:
  1. [ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a ]
  2. [ \lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1 + x)}{x} = \frac{1}{\ln a} ]

Conclusione

• Memorizing these limits is crucial for solving many problems in calculus.
• Nel prossimo video: esercizi avanzati con limiti notevoli.