Geometrická posloupnost

Úvod

• Dnes se zaměříme na geometrické posloupnosti.
• Minule jsme probírali aritmetické posloupnosti.

Rozdíl mezi geometrickou a aritmetickou posloupností

• Aritmetická posloupnost:
  • Následující člen se získává přičtením určité diference.
• Geometrická posloupnost:
  • Následující člen se získává vynásobením předchozího členu kvocientem (Q).
  • Například: pokud je první člen 1 a kvocient 2, pak: 1, 2, 4, 8, 16...

Vztahy a vzorce

• Vztah mezi členy:
  • ( a_{n+1} = a_n \cdot Q )
  • ( a_3 = a_1 \cdot Q^2 )
  • Obecně: ( a_r = a_s \cdot Q^{r-s} )
• Můžeme spočítat libovolné členy, pokud známe jiný člen a kvocient._

Jak rozpoznat geometrickou posloupnost

• Následující člen se musí získat vynásobením předchozího člen kvocientem.
• Kvocient musí být stejný mezi libovolnými dvěma členy.
• Pokud například ( a_2 = 2 ) a ( a_3 = 6 ), není to geometrická posloupnost, protože kvocient se mění.

Součet členů

Konečný součet prvních n členů

• Vzorec pro součet prvních n členů:
  • ( S_n = a_1 \cdot \frac{1 - Q^n}{1 - Q} )
• Příklad:
  • ( a_1 = 2, Q = 3, n = 5 )
  • Vypočítat součet prvních pěti členů.

Nekonečný součet

• Nekonečný součet existuje, pokud ( |Q| < 1 ).
• Vzorec pro nekonečný součet:
  • ( S = a_1 \cdot \frac{1}{1 - Q} )
• Příklad: ( a_1 = \frac{1}{2}, Q = \frac{1}{2} )
  • Obsah čtverce s délkou hrany 1.

Co se stane, když kvocient není menší než 1

• Pokud je ( Q \geq 1 ) nebo ( Q \leq -1 ):
  • Pokud ( Q > 1 ), součet diverguje k nekonečnu.
  • Pokud ( Q < -1 ), součet také diverguje do záporného nekonečna.

Shrnutí

• Geometrická posloupnost je definována vynásobením předchozího členu konstantním kvocientem.
• Vztahy mezi členy a vzorce pro součty jsou klíčové.
• Součet nekonečné posloupnosti existuje jen pro ( |Q| < 1 ).

Další kroky

• V příštím videu si ukážeme řešení konkrétních příkladů.