ragazzi in questo video perseguiamo il discorso che abbiamo cominciato nel precedente danno un'occhiata alle operazioni che possiamo fare con i radicali e dalle loro principali proprietà prima di entrare nel vivo e dare un'occhiata a tutte le varie operazioni che possiamo fare o non fare con i radicali era fondamentale fare un'importante premessa se ricordate abbiamo visto nel video precedente che la radice ennesima ed è finita per qualunque valore del radicando se l'indice della radice a di stari mentre è definita solo per valori non negativi del radicando se l'indice nella radice un numero pari di conseguenza se il radicando è un'espressione letterale è chiaro che è opportuno studiare le condizioni di esistenza del radicale al variare all'interno dei numeri reali dei valori da attribuire alle lettere giusto per fare un paio di esempi se vi imbattete in un radice quadrata di hicks meno tre è opportuno far notare che esiste all'interno del campo reale solo se il suo radicando in meno tra è maggiore o uguale di zero ovvero per valori dx maggiori uguali di 3 mentre ad esempio radice cubica di spi 1 esisterà per qualunque valore reale di hicks visto che l'indice della radice stavolta è un numero dispari è quindi chiaro che prima di fare qualunque operazione o applicare qualunque proprietà ad un radicale è opportuno aver valutato dove quel radicale esiste cioè aver fatto le condizioni di esistenza e in tutti gli esempi successivi che faremo con radi candy letterali io ero sempre per scontato di trovarci all'interno della zona delimitata dalle condizioni di esistenza in modo da essere sicuro che tutti gli oggetti in questione esistano senza problemi capito questo cominciamo subito a dare un'occhiata alle principali proprietà la prima che segue immediatamente dalla definizione di da dice ennesima che abbiamo dato nel video precedente ci dice che se leviamo una radice ennesima all'indice nella radice che il risultato che otteniamo è semplicemente il radicando se quindi ad esempio prendiamo radice quadrata di tre e deleghiamo al quadrato e chiaro che il risultato sarà e analogamente se prendiamo radice cubica di 7 ed è leviamo il tutto al cubo il risultato sarà l'argomento della radice ovvero 7 similmente se prendiamo la radice quinta di meno 2 ed è leviamo il tutto alla quinta il risultato sarà meno due e analogamente se prendiamo la radice quarta dx quadrato y ed eleviamo alla quarta il risultato sarà semplicemente hicks quadrato y naturalmente come dicevamo poco fa quest'ultima uguaglianza e valida e assenso scriverla solo se il radicando ovvero hicks quadrato y è una quantità maggiore o uguale di zero perché se fosse negativa essendo questa una radice indice pari e voi capite la radice non sarebbe definita e dunque ci ritroveremo in questa uguaglianza ad avere l'oggetto di destra definito è quello di sinistra no e dunque l'uguaglianza non avrebbe alcun senso la seconda proprietà da ricordare e qui bisogna stare un attimo più attenti rispetto al caso precedente è che radici ennesima di alla n e uguale semplicemente a da se n e dispari mentre è uguale al valore assoluto di a se n è pari per capire il motivo della leggera differenza che c'è tra questi due casi vi ho riportato qui questi quattro esempi come vedete se dovessi calcolare radice cubica di due alla terza il risultato viene uguale a 2 e per convincersi è sufficiente svolgere prima 2 alla terza che fa 8 e poi farne la radice cubica e quindi otteniamo due se ora proviamo a fare la stessa cosa con meno 215 calcoliamo radice cubica di meno due alla terza vedete che questa è uguale a radice cubica di meno 8 e quindi a meno due dunque se l'esponente è dispari le cose funzionano un po come prima e sostanzialmente la radice si neutralizza con la potenza è quello che otteniamo esattamente quello che avevamo sotto radice cioè il radicando a meno dell'esponente se ora sostituiamo l'elevamento al cubo è la radice cubica con un elevamento al quadrato e una radice quadrata notate che succede una cosa interessante se è che io parta da due si sa che io parta da meno 2 quando volevo al quadrato ottengo come risultato più 4 e quindi quando ne faccio la radice ottengo come risultato finale 2 in pratica quello che cambia rispetto al caso precedente è che se anche il mio hai negativo quando lo eleva una potenza pari diventa positivo e quando ne faccio la radice ennesima il risultato è nuovamente positivo quindi questa sequenza di operazioni se n è pari non può generare un risultato negativo genererà per forza un risultato positivo dunque se a era positivo alla fine mi ritrovo lui se il mio a era negativo alla fine mi ritrovo lui cambiato di segno ovvero il suo valore assoluto è naturalmente molto importante ricordarsi di questo anche nei casi in cui era nicando è costituito da lettere quindi ad esempio radice quinta dx alla quinta possiamo dire tranquillamente che è uguale a dx mentre radice quarta dx alla quarta non possiamo dire che è uguale a dx perché in principio hicks potrebbe anche essere negativa e come abbiamo detto poco fa il risultato di questa operazione ha sicuramente un numero positivo dobbiamo ammettere il valore assoluto e quindi dire che è uguale a valore assoluto di tensione quindi che se non mettiamo il valore assoluto l'uguaglianza in generale diventa falsa e precisamente non vale per tutti i valori di negativi un'altra proprietà utile da ricordare è la cosiddetta proprietà in varianti va che dice che se a è maggiore o uguale di zero allora la radice ennesima di ha elevato alla m è uguale alla radice di indice n per k di ha elevato alla m x k in sostanza quello che ci dice questa proprietà è che se moltiplichiamo sia all'indice della radice che l'esponente del radicando in uno stesso numero intero positivo otteniamo un nuovo radicale che però equivalente a quello di partenza venivano subito un paio di esempi di applicazione di questa proprietà se ad esempio prendo la radice cubica di sette al quadrato e moltiplico sia l'indice della radio che l'esponente del radicando entrambi per 2 vedete che ottengo radici e sesta di sette alla quarta e la nostra proprietà ci garantisce che il nuovo radicale ottenuto è completamente equivalente a quello di partenza o meno sono lo stesso numero scritto in due modi diversi analogamente se prendo radice quarta di tre e moltiplico sia all'indice della radice che l'esponente del radicando entrambi per tre vedete che ottengo radice dodicesima di 27 e di nuovo la mia proprietà mi garantisce che questi due radicali sono completamente equivalenti mentre mi raccomando non posso prendere radice cubica di meno 1 e moltiplicare sia all'indice della radice che l'esponente del radicando ad esempio per due perché vedete se provo a farlo il risultato che ottengo ovvero radice sesta di uno è un radicale che non è più equivalente a quello di partenza infatti radice cubica di meno uno fa meno 1 mentre radice sesta di uno fa più uno va bene quindi ricordarsi che la proprietà funziona nel caso in cui il radicando è maggiore o uguale di 0 se per caso fosse negativo come nel nostro contro esempio in generale la proprietà non è valida e potreste incorrere nei problemi disegno ha naturalmente nel caso di radici di nietzsche dispari a 20 per argomenti cercherà di canti dei numeri negativi e anche possibile portare il segno meno fuori dalla radice e poi applicare la proprietà quindi ad esempio se prendiamo radice cubica di meno due io potrei vedete portare il segno meno fuori davanti alla radice e a quel punto applicare la proprietà ha radice cubica di due e quindi vedete moltiplicando ad esempio sia l'indice della radice che l'esponente del radicando per 4 trasformarla in radice dodicesima di 16 analogamente se consideriamo radice cubica di meno a quadro che vedete una radice di indice di spagna che ha un radicando che è sempre minore o uguale possiamo di nuovo portare fuori il segno meno e poi prende della radice cubica via quadro che stavolta invece a radicando che sempre maggiore o uguale di zero ed applicare la proprietà qui vedete ad esempio moltiplicate sia l'indice della radice che l'esponente del radicando per due e quindi l'ha trasformata in meno la radice sesta di alla quarta una cosa utile da notare è che naturalmente possiamo utilizzare la proprietà anche al contrario rispetto a quello che abbiamo appena fatto e vedete che qui vi ho riportato l'uguaglianza di prima scritta con il membro di sinistra scambiato con il membro di destra se ora la leggiamo in questo senso questa uguaglianza ci dice che se sia l'indice della radice che l'esponente del radicando hanno un fattore in comune questo caso vedete quello che abbiamo chiamato k noi possiamo dividerli entrambi per k ed ottenere come risultato un nuovo radicale un pochino più semplice più maneggevole da gestire uguale a quello di partenza quindi ad esempio radice quarta di nove ovvero radice quarta t3 elevato alla seconda lo possiamo di scrivere più semplicemente come radice quadrata di tre dividendosi all'indice della radice che l'esponente del radicando per due e analogamente radice ottava di 16 ovvero radice ottava di due elevato alla quarta lo possiamo descrivere più semplicemente come radice quadrata di due dividendo sia l'indice nella radice che l'esponente del radicando per 4 ma chiaramente questo genere di semplificazioni si può fare anche nel caso in cui il radicandosi a letterale però come vedremo questo richiede delle cautele aggiuntive ed in particolare bisogna fare in modo che le condizioni di esistenza restino preservate e che il segno del radicale non si modifichi approfondiremo meglio questo discorso nel prossimo video dove vedremo inoltre come si comportano i radicali rispetto a tutte le altre operazioni quindi moltiplicazioni divisioni aumenti a potenza e così via io per il momento ragazzi di saluto come sempre se vi è piaciuto il video ricordatevi di mettere mi piace passate a trovarci sulla pagina facebook che date un'occhiata all'interno del canale 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