Hoe los je goniometrische vergelijkingen op?

Inleiding

• Goniometrische vergelijkingen met sinus of cosinus zijn vaak lastig.
• Er zijn verschillende manieren om deze vergelijkingen op te lossen.

Basisvormen van goniometrische vergelijkingen

Sinus- en cosinusvergelijkingen

• sin(x) = c of cos(x) = c

  • Gebruik de exacte-waarden-cirkel om te vinden waar sin(x) gelijk is aan een waarde c.
  • Bijv. sin(x) = 2 heeft oplossingen op de cirkel bij specifieke hoeken.
  • Algemene oplossing: x = + 2k (waar k een geheel getal is).

• Complexere voorbeelden

  • Bijv. 6 cos(2x) + 2 = 5
    • Herschrijven naar 6 cos(2x) = 3, dan cos(2x) = 1/3.
    • Oplossingen: 2x = 1/3 + 2k en 2x = 1 2/3 + 2k.
    • Deel door 2 voor x: x = 1/6 + k en x = 5/6 + k.

Vergelijkingen met gelijke sinus of cosinus

• sin(x) = sin(y) en cos(x) = cos(y)
  • Oplossing voor sinus: x = y + 2k of x = -y + 2k.
  • Oplossing voor cosinus: zelfde regel als sinus.
  • Voorbeeld: sin(3x) = sin(x)
    • Regel toepassen: 3x = x + 2k en 3x = -x + 2k.
    • Oplossen geeft x = - + k en x = 1/8 + k.

Goniometrische vergelijkingen met een kwadraat

• sin²(x) = c

  • Oplossingen zijn: sin(x) = √c of sin(x) = -√c.
  • Voor cos²(x) geldt hetzelfde principe.

• Complexere kwadratische vergelijkingen

  • Bijv. a sin²(x) + b sin(x) + c = 0
  • Gebruik substitutie: zet sin(x) = u, herschrijf naar au² + bu + c = 0.
  • Oplossen als een kwadratische vergelijking.
  • Voorbeeld: cos²(x) + 1 cos(x) + = 0 geeft oplossingen voor u.

Domeinbeperkingen

• Soms is een domein gespecificeerd, bijv. \[0, 4π\].
  • Alleen bepaalde waarden van k zijn geldig binnen het domein.
  • Let op oplossingen binnen en buiten het domein.

Oefenvragen

1. Los de vergelijking 2sin(x) - 1 = 0 op.
2. Los de vergelijking cos(x - π/4) = cos(x + 2π) op.
3. Los op: sin²(2x) + sin(2x) - 1 = 0 binnen \[0, π\].
4. Los op: sin(13x) = sin(x - π/13) binnen \[0, 2π\].

Aanvullende bronnen

• Sinus, cosinus en tangens: wanneer gebruik je welke?
• Wat zijn sinusoden?
• Inhoud en oppervlakte